微积分总复习题与答案

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大学微积分考试题及答案

大学微积分考试题及答案

大学微积分考试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 函数f(x) = x^2在区间(-1, 1)上是:A. 增函数B. 减函数C. 先减后增函数D. 先增后减函数答案:A2. 极限lim (x->0) [sin(x)/x]的值是:A. 0B. 1C. 2D. 无穷大答案:B3. 下列哪个函数是奇函数?A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = cos(x)答案:C4. 曲线y = x^3在点(1, 1)处的切线斜率是:A. 1B. 2C. 3D. 4答案:C5. 定积分∫[0, 1] x dx的值是:A. 0B. 1/2C. 1/3D. 1答案:C6. 微分方程dy/dx = x^2的通解是:A. y = x^3 + CB. y = e^x + CC. y = sin(x) + CD. y = ln(x) + C答案:A7. 函数f(x) = e^x在点x=0处的导数是:A. 0B. 1C. 2D. e答案:B8. 以下哪个级数是收敛的?A. ∑(-1)^n / nB. ∑n^2C. ∑(1/n)D. ∑(1/n^2)答案:D9. 曲线y = ln(x)的拐点是:A. x = 1B. x = eC. x = 0D. 没有拐点答案:D10. 以下哪个选项是正确的泰勒公式展开?A. e^x = ∑x^nB. sin(x) = ∑(-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)!C. ln(1+x) = ∑(-1)^n * x^n / nD. cos(x) = ∑x^(2n) / (2n)!答案:D二、填空题(每题4分,共20分)11. 函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2的驻点是______。

答案:x = 0, x = 312. 极限lim (x->∞) (1 + 1/x)^x的值是______。

答案:e13. 定积分∫[1, e] e^x dx可以通过分部积分法计算,其结果是______。

微积分试题及答案

微积分试题及答案

微积分试题及答案1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在x = 2处的导数。

解析:首先,我们需要求函数f(x)的导数。

对于一个二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c,它的导数等于2ax + b。

因此,对于f(x) = 3x^2 - 2x + 1,其导数即为 f'(x) = 6x - 2。

接下来,我们需要求在 x = 2 处的导数。

将 x = 2 代入导数公式,得到 f'(2) = 6(2) - 2 = 10。

答案:函数f(x)在x = 2处的导数为10。

2. 求函数g(x) = sin(x) + cos(x)的定积分∫[0, π] g(x)dx。

解析:我们需要求函数 g(x) = sin(x) + cos(x) 在[0, π] 区间上的定积分。

首先,我们可以分别求 sin(x) 和 cos(x) 在[0, π] 区间上的定积分,然后将结果相加即可。

根据积分的基本性质,∫sin(x)dx = -cos(x) 和∫cos(x)dx = sin(x),所以:∫[0, π]sin(x)dx = [-cos(x)]|[0, π] = -cos(π) - (-cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2∫[0, π]cos(x)dx = [sin(x)]|[0, π] = sin(π) - sin(0) = 0 - 0 = 0将上述结果相加,得到定积分的结果:∫[0, π]g(x)dx = ∫[0, π]sin(x)dx + ∫[0, π]cos(x)dx = 2 + 0 = 2答案:函数g(x) = sin(x) + cos(x)在[0, π]区间上的定积分为2。

3. 求曲线y = x^3在点(1, 1)处的切线方程。

解析:要求曲线 y = x^3 在点 (1, 1) 处的切线方程,我们需要确定切线的斜率和过切点的直线方程。

首先,我们求出这个曲线在点(1, 1)处的导数来获得切线的斜率。

数学微积分复习题集及答案

数学微积分复习题集及答案

数学微积分复习题集及答案导言微积分是数学的一个重要分支,广泛应用于物理、工程、经济等领域。

为了帮助学生复习微积分知识,本文提供了一套包括复习题和答案的微积分复习题集。

通过解答这些问题,学生可以巩固对微积分的理解,提高解题能力和应用能力。

一、求导篇1. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x + 1的导函数f'(x)。

答案:f'(x) = 6x + 2。

2. 求函数g(x) = sin(x) + cos(x)的导函数g'(x)。

答案:g'(x) = cos(x) - sin(x)。

3. 求函数h(x) = ln(x^2)的导函数h'(x)。

答案:h'(x) = 2/x。

二、定积分篇4. 求函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1在区间[1, 3]上的定积分∫[1,3] f(x) dx。

答案:∫[1,3] f(x) dx = 26/3。

5. 求函数g(x) = e^x的不定积分F(x)。

答案:F(x) = e^x + C,其中C为任意常数。

6. 求函数h(x) = sin(x)在区间[0, π]上的定积分∫[0,π] sin(x) dx。

答案:∫[0,π] sin(x) dx = 2。

三、微分方程篇7. 求微分方程y' = 2x的通解。

答案:y = x^2 + C,其中C为任意常数。

8. 求微分方程y' = y的通解。

答案:y = Ce^x,其中C为任意常数。

9. 求微分方程y'' + y = 0的通解。

答案:y = A*sin(x) + B*cos(x),其中A和B为任意常数。

四、面积与体积篇10. 求曲线y = x^2和直线y = 2x的交点坐标,并求由该曲线、直线以及x轴所围成的面积。

答案:交点坐标为(0, 0)和(2, 4),所围成的面积为8/3。

11. 求曲线y = sin(x)在区间[0, π]上绕x轴旋转一周所形成的体积。

微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)

微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)

微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,,log(2x,3)(4) (5) yx,,,1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,,,1ln(2)x2,1x,3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,,(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112,求. (1)设fxx(),,,fx()2xx2(2)设,求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n,1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x,31x,32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn,,211020100nn,,3100n,limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,,,?,lim,,lim,,,(4)? (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,,nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim,,,?lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn,,,111,,,,?12n222lim(1)nnn,,(8) (9) limx,,x,,111,,,,?12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,,56xx,,562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,,x,x,13x,3x,3x,2222256x,xx,,44()xx,,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx,,21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,?13x,,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,,56xx,,56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa,,,,?011nn,lim(11)xx,,,(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb,,,,?011mm,lim(11)xxx,,,(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,,6lim3,(1)设,求的值; ab,x,,23x,2xaxb,,lim5,,(2)设,求的值; ab,x,11x,22axbxc,,lim1,(3)设,求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时,有:(1),(2) ,(3); 213、利用等价无穷小的性质,求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0,tan5x3x2x3sinx21111sin,,x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质,求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1,,,x,0x,0,,xsinxx,3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,,lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk,,,,,,, 1/x(10)lim12,x ,,,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若,在处连续,则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1,,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0,2]上连续 a,a,x(1,x,2),53xx,,,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,,,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,,,,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数,则关系式( )成立。

微积分综合练习试题和参考答案与解析

微积分综合练习试题和参考答案与解析

(1)函数 f(X)=•1 In(x - 2) 的定义域是(2)函数 f(x)=1 ln( x 2)的定义域是 ____________ •答案:(—2, —1)^(—1,2](4)若函数f(x T xs 「x 0在X 二0处连续,则k =x _ 0•答案:k = 1(1)设函数y 二-xe,则该函数是().A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数 D .既奇又偶函数综合练习题1 (函数、极限与连续部分)1 •填空题(3)函数 f (x 2^ x 2 4x 7,贝U f(x)二 _______________________ •答案:f(x^ x 2 3(5) 函数 f(x-1) =x 2 -2x ,则 f(x)二 __________________ .答案:f(x) =x 2 -1x 2 _2x _3(6)函数y _________________________ 的间断点是.答案:x- -1x +1 1(7)lim xsin .答案:1X护 x sin 4x(8)若 lim _______________ 2,则 k = .答案:k = 2―0 sin kx2.单项选择题答案:B(2)下列函数中为奇函数是( ).答案:CA. xsin xln (x . 1 x 2) D . x x 2).D . x 卞 一5 且 x = -4x(3)函数y ln(x • 5)的定义域为(x +4A. x 占-5 B . x -4 C . x 占 一5 且 x = 0答案:D2(4)设 f(X * 1) = X 「1 ,则 f(X)二( )A. x(x 1)C. x=1,x=2, x=3D x 2 -3x 2(1)(2)解: limX —3x 2 -3x 2x 2 -4-9(x-2)(x-1) (x-2)(x 2)lim x =3 x-9(x-3)(x 3)-2x -3xB (x -3)(x 1)= lim 』^X —3 X 14 2答案:A3.计算题-4C. x(x _2)D . (x +2)(x —1)答案: Ce^2,x 式0亠 (5) 当k =()时,函数f f(x) =在x=0处连续..k,x = 0A. 0B. 1C .2D . 3答案:Dx +1,x 式0 (6) 当k =()时,函数f f(x)—w,在X = 0处连续、k,x = 0 A. 0 B. 1C .2D .-1答案:B(7) 函数f (x)x —3— 2 的间断点是()X 2 _3x +2A. x =1,x = 2B.x =3.无间断点解:WORD 格式整理版综合练习题2 (导数与微分部分)(3)解:lim "卫二 lim HX T x 2 -5x 4x —4 & -4)(x -1)二lim x j4x -2x —11 •填空题(1)曲线f(x) __________________________________ ・1在(1,2)点的切斜率是11答案:2(2)_______________________________________________________ 曲线f(x) =e x在(0,1)点的切线方程是 __________________________________________ •答案:y = x • 1(3)已知f (x^ x3 3x,则f (3) =答案: f (x) =3x23x ln3f (3) =27 (1 ln 3)(4)已知f(x) = In x ,贝U f (x) = _____________________ •1 1答案:f (x) , f (x) = 2x x(5)若f (x) _______________________________ ,贝y f (0)二答案:f (x)二「2e» xe」f (0) =「22.单项选择题(1)若f (x) = e^ cosx,贝U f (0)= ( ) •A. 2B. 1C. -1D. -2因f (x) = (e“ cosx) = (e“)cosx e^(cosx)-x X x=-e cosx -e sin x = -e (cosx sinx)所以f (0) - -e-0 (cos0 sin0) - -1答案:C(2)设y = lg2 x,则dy 二(1 1A. dx B dx2x xln 10答案:B(3)设y二f (x)是可微函数,则)•ln 10 1 C •dx D • 一dxx x df(cos2x)二( )•A • 2f (cos2x)dxB f (cos2x)sin 2xd2x(4)若 f(X) . 丄3=si nx a,其中a 是常数,则f (x) =().A2.cosx 3a B. sin x 6ac.-sin xD.cosx答案 :C3.计算题1e ,求八(1 )设 y = x 211 2 1 .1C . 2f (cos2x)sin 2xdxD . - f (cos2x)sin2xd2xx(2 )设 y = sin 4x cos 3 x ,求 y .2解: y = 4cos4x 3cos x(-sinx)2= 4cos4x 「3sinxcos x(3 )设 y = e % 12,求讨.x答案:D21 解: / = 2xe x x 2e x (-p)二 e x (2x-1)A.单调增加 B .单调减少C.先增后减 D •先减后增答案:D(2)满足方程f (x) =0的点一定是函数y二f (x)的( ).A极值点 B.最值点 C .驻点 D.间断点答案:C(3)下列结论中( )不正确.A . f (x)在X=X0处连续,则一定在X0处可微.B . f(X)在X = X0处不连续,则一定在X0处不可导•C •可导函数的极值点一定发生在其驻点上•D.函数的极值点一定发生在不可导点上•答案:B(4)下列函数在指定区间(-::,•::)上单调增加的是( ).A . sinxB . e XC . X10D . 3「x答案:B3.应用题(以几何应用为主)(1)欲做一个底为正方形,容积为108m i的长方体开口容器,怎样做法用料最省?解:设底边的边长为xm,高为h m容器的表面积为y m l。

微积分综合练习题及参考答案精选全文完整版

微积分综合练习题及参考答案精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版综合练习题1(函数、极限与连续部分)1.填空题 (1)函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 . 答案:2>x 且3≠x .(2)函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 .答案:]2,1()1,2(-⋃--(3)函数74)2(2++=+x x x f ,则=)(x f. 答案:3)(2+=x x f(4)若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续,则=k .答案:1=k (5)函数x x x f 2)1(2-=-,则=)(x f .答案:1)(2-=x x f(6)函数1322+--=x x x y 的间断点是 .答案:1-=x(7)=∞→xx x 1sin lim .答案:1(8)若2sin 4sin lim 0=→kxxx ,则=k .答案:2=k2.单项选择题(1)设函数2e e xx y +=-,则该函数是( ).A .奇函数B .偶函数C .非奇非偶函数D .既奇又偶函数 答案:B(2)下列函数中为奇函数是().A .x x sinB .2e e x x +- C .)1ln(2x x ++ D .2x x +答案:C(3)函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为( ). A .5->x B .4-≠x C .5->x 且0≠x D .5->x 且4-≠x答案:D(4)设1)1(2-=+x x f ,则=)(x f ( )A .)1(+x xB .2x C .)2(-x x D .)1)(2(-+x x 答案:C(5)当=k ( )时,函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A .0B .1C .2D .3 答案:D(6)当=k ( )时,函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ,在0=x 处连续.A .0B .1C .2D .1- 答案:B (7)函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是( ) A .2,1==x xB .3=xC .3,2,1===x x xD .无间断点 答案:A 3.计算题(1)423lim 222-+-→x x x x . 解:4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x (2)329lim 223---→x x x x解:234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x (3)4586lim 224+-+-→x x x x x解:3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2(导数与微分部分)1.填空题 (1)曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 .答案:21 (2)曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 . 答案:1+=x y(3)已知xx x f 3)(3+=,则)3(f '= . 答案:3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27()3ln 1+(4)已知x x f ln )(=,则)(x f ''= . 答案:x x f 1)(=',)(x f ''=21x- (5)若xx x f -=e )(,则='')0(f.答案:x xx x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 (1)若x x f xcos e)(-=,则)0(f '=( ).A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案:C (2)设,则( ). A . B .C .D .答案:B(3)设)(x f y =是可微函数,则=)2(cos d x f ( ).A .x x f d )2(cos 2'B .x x x f d22sin )2(cos 'C .x x x f d 2sin )2(cos 2'D .x x x f d22sin )2(cos '- 答案:D(4)若3sin )(a x x f +=,其中a 是常数,则='')(x f ( ).A .23cos a x + B .a x 6sin + C .x sin - D .x cos 答案:C3.计算题(1)设xx y 12e =,求y '.解: )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x(2)设x x y 3cos 4sin +=,求y '.解:)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=(3)设xy x 2e 1+=+,求y '. 解:2121(21exx y x -+='+ (4)设x x x y cos ln +=,求y '.解:)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3(导数应用部分)1.填空题 (1)函数的单调增加区间是 .答案:),1(+∞(2)函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加,则a 应满足 . 答案:0>a2.单项选择题(1)函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是( ) A .单调增加 B .单调减少 C .先增后减 D .先减后增 答案:D(2)满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的( ). A .极值点 B .最值点 C .驻点 D . 间断点 答案:C(3)下列结论中( )不正确. A .)(x f 在0x x =处连续,则一定在0x 处可微. B .)(x f 在0x x =处不连续,则一定在0x 处不可导. C .可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D .函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案: B(4)下列函数在指定区间上单调增加的是( ).A .x sinB .xe C .2x D .x -3答案:B3.应用题(以几何应用为主)(1)欲做一个底为正方形,容积为108m 3的长方体开口容器,怎样做法用料最省?解:设底边的边长为x m ,高为h m ,容器的表面积为y m 2。

微积分试题及答案

微积分试题及答案

微积分试题及答案一、选择题1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数是:A. 0B. 2C. 4D. 8答案:C2. 定积分 \( \int_{0}^{1} x dx \) 的值是:A. 0B. 0.5C. 1D. 2答案:B二、填空题1. 若 \( f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x \),则 \( f'(x) \) 等于__________。

答案:\( 9x^2 - 4x + 1 \)2. 曲线 \( y = x^3 \) 与直线 \( y = 6x \) 相切的点的横坐标是__________。

答案:2三、简答题1. 请说明如何求函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的导数。

答案:函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的导数可以通过对数函数的导数公式求得,即 \( f'(x) = \frac{1}{x} \)。

2. 计算定积分 \( \int_{1}^{e} e^x dx \)。

答案:首先找到 \( e^x \) 的原函数,即 \( e^x \) 本身。

然后根据定积分的计算法则,代入上下限得到 \( e^e - e \)。

四、计算题1. 求曲线 \( y = x^2 + 3x - 2 \) 在 \( x = -1 \) 处的切线斜率及切点坐标。

答案:首先求导得到 \( y' = 2x + 3 \)。

将 \( x = -1 \) 代入得到切线斜率 \( m = 1 \)。

切点坐标为 \( (-1, 0) \)。

2. 计算由曲线 \( y = x^2 \),直线 \( y = 4x \) 及 \( x \) 轴所围成的平面图形的面积。

答案:首先求出两曲线的交点,然后计算定积分 \( \int_{0}^{2} (4x - x^2) dx \),结果为 \( \frac{16}{3} \)。

五、证明题1. 证明 \( \frac{d}{dx} [(x^2 + 1)^5] = 10x(x^2 + 1)^4 \)。

微积分考试题库(附答案)

微积分考试题库(附答案)

微积分考试题库(附答案)85考试试卷(⼀)⼀、填空1.设c b a,,为单位向量,且满⾜0=++c b a ,则a c c b b a ?+?+?= 2.xx e 10lim +→= ,xx e 10lim -→=,xx e 1lim →=3.设211)(x x F -=',且当1=x 时,π23)1(=F ,则=)(x F4.设=)(x f ?dt t x 2sin 0,则)(x f '=5.?>+≤+=0,0,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导,则=a ,=b⼆、选择1.曲线==-0122z y x 绕x 轴旋转⼀周所得曲⾯⽅程为()。

(A )12222=+-z y x ;(B )122222=--z y x ;(C )12222=--z y x ;(D )122222=+-z y x2.2)11(lim xx x x -∞→-+=()。

(A )1(B )21e (C )0 (D )1-e3.设函数)(x f 具有连续的导数,则=+'?dx x f x f x )]()([()(A )c x xf +)(;(B )c x f x +')(;(C )c x f x +'+)(;(D )c x f x ++)( 4.设)(x f 在],[b a 上连续,则在],[b a 上⾄少有⼀点ξ,使得()(A )0)(='ξf (B )ab a f b f f --=')()()(ξ86(C )0)(=ξf (D )ab dxx f a bf -=?)()(ξ5.设函数x x a y 3sin 31sin +=在x =3π处取得极值,则=a ()(A )0 (B )1 (C )2 (D )3 三、计算题1.求与两条直线??+=+==211t z t y x 及112211-=+=+z y x 都平⾏且过点(3,-2,1)的平⾯⽅程。

微积分考试题目及答案

微积分考试题目及答案

微积分考试题目及答案一、选择题1. 下列哪个选项描述了微积分的基本思想?A. 求导运算B. 求积分运算C. 寻找极限D. 都是答案:D2. 求函数f(x) = 2x^3 + 3x^2的导数是多少?A. f'(x) = 4x^2 + 6xB. f'(x) = 6x^2 + 3xC. f'(x) = 6x^2 + 6xD. f'(x) = 4x^2 + 3x答案:A3. 计算积分∫(2x^2 + 3x)dxA. x^3 + 2x^2B. x^3 + 2x + CC. (2/3)x^3 + (3/2)x^2D. (2/3)x^3 + 3x^2答案:C二、填空题4. 函数f(x) = 3x^2 + 2x的导数为_________答案:f'(x) = 6x + 25. 计算积分∫(4x^3 + 5x)dx = __________答案:x^4 + (5/2)x^2 + C6. 函数y = x^2在点x=2处的切线斜率为_________答案:4三、解答题7. 求函数y = x^3 + 2x^2在x=1处的切线方程。

解:首先求函数在x=1处的导数,f'(x) = 3x^2 + 4x。

代入x=1得斜率为7。

又因为该点经过(1,3),故切线方程为y = 7x - 4。

8. 求曲线y = x^3上与x轴围成的面积。

解:首先确定曲线截距为(0,0),解方程得x=0。

利用定积分区间求解:∫[0,1] x^3dx = 1/4。

以上为微积分考试题目及答案,希望对您的学习有所帮助。

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微积分试题及答案

微积分试题及答案

微积分试题及答案一、选择题(每题2分)1、设??x?定义域为(1,2),则??lgx?的定义域为()a、(0,lg2)b、(0,lg2?c、(10,100)d、(1,2)x2?x2、x=-1就是函数??x?=的()x?x2?1?a、跳跃间断点3、试求lima、?4、若b、可以回去间断点c、无穷间断点d、不是间断点2?x?4等于()x?0x1b、0c、1d、?4yx??1,谋y?等同于()xya、2x?yy?2x2y?xx?2yb、c、d、2x?y2y?x2y?x2x?y2x的渐近线条数为()21?x5、曲线y?a、0b、1c、2d、36、以下函数中,那个不是态射()a、y?x(x?r,y?r)b、y??x?12c、y?xd、y?lnx(x?0)2??22二、填空题(每题2分)1、y=11?x2fx)?mil、设(的反函数为__________2、(n?)1x,则()fx的间断点为__________x??nx2?1x2?bx?a?5,则此函数的最大值为__________3、已知常数a、b,limx?11?x4、已知直线y?6x?k是y?3x的切线,则k?__________5、求曲线xlny?y?2x?1,在点(,11)的法线方程是__________三、判断题(每题2分)2x2就是存有界函数()2、存有界函数就是发散数列的充份不必要条件()1、函数y?1?x23、若lim,就说道?就是比?低阶的无穷小()4可微函数的极值点未必就是它的驻点()?5、曲线上凹陷弧与凸弧的分界点称作拐点()sin1x四、计算题(每题6分)1、求函数y?x1的导数2、已知f(x)?xarctanx?ln(1?x2),求dy23、未知x2?2xy?y3?6,确认y就是x的函数,谋y?4、谋limtanx?sinx2x?0xsinxdxx2(cosx)5、排序?6、排序lim?3x?0(1?x)x五、应用题1、设某企业在生产一种商品x件时的总收益为r(x)?100x?x2,总成本函数为c(x)?200?50x?x2,问政府对每件商品征收货物税为多少时,在企业获得利润最大的情况下,总税额最大?(8分)2、描绘函数y?x?211的图形(12分)x1x六、证明题(每题6分)f()?a1、用音速的定义证明:设limf(x)?a,则lim?xx?02、证明方程xex?1在区间(0,1)内有且仅有一个实数一、选择题1、c2、c3、a4、b5、d6、b二、填空题1、x?02、a?6,b??73、184、35、x?y?2?0三、判断题1、√2、×3、√4、×5、×四、计算题1、y??(x?(esin1x)?)?1sinlnxx1111ecos(?2)lnx?sin??xxxx??1sin1111x?x(?2coslnx?sin)xxxx1sinlnxx2、dy?f?(x)dx112x?(arctanx?x?)dx221?x21?x?arctanxdx3、求解:2x?2y?2xy??3y2y??02x?3y?y??22x?3yy4、解:2)2(2?3y?)(2x?3y2)?(2x?2y)(2?6yy?)(2x?3yx2?当x?0时,x?tanx?sinx,1?cosx?212xxtanx(1?cosx)12?原式=lim?lim3?2x?0x?0xsinxx25、解:令t=6x,x?t6dx?6t5原式??(1?t2)t3t2?6?1?t2t2?1?1?6?1?t21?6?(1?)21?t?6t?6arctant?c?66x?6arctan6、求解:6x?c1原式?lime?x?0x2lncosx?ex?0?lim1x2lncosx其中:1lncosx2x?0xlncosx?lim2x?0?x1(?sinx)cosx?limx?0?2x?tanx1?lim??x?0?2x2lim??原式?e五、应用题1、解:设每件商品征收的货物税为a,利润为l(x)12l(x)r(x)c(x)ax100xx2(20050xx2)ax2x2(50a)x200l(x)4x50 a50?a令l?(x)?0,得x?,此时l(x)获得最大值4a(50?a)税收t=ax?41t??(50?2a)41令t??0得a?25t02?当a?25时,t取得最大值2、解:d,00,间断点为x?0y??2x?1x2132令y??0则x?y2?2x3令y0则x??1xy?(??,?1)?1(?1,0)0?1??0,3?213201(3,??)2?y??y渐进线:k0拐点?k无定义?k?极值点?jlimyy无水平渐近线x??x?0limy?0?x?0就是y的圆外渐近线yx?1lim?2y无斜渐近线x??xx3图象六、证明题1、证明:limf(x)ax0,m0当x?m时,存有f(x)?a??111?0,则当0?x?时,存有?mmmx1?f()?a??x1即limf()?ax??x挑?=2、证明:。

微积分总复习题详细答案

微积分总复习题详细答案

微积分总复习题详细答案一、极限与连续性1. 极限的定义- 极限是描述函数在某点或无穷远处的行为。

对于函数f(x),当x趋近于a时,如果存在一个实数L,使得对于任意给定的正数ε,总存在一个正数δ,使得当0 < |x - a| < δ时,都有|f(x) - L| < ε,则称L为函数f(x)在x趋近于a时的极限。

2. 极限的运算法则- 极限的加法法则:lim(x→a) (f(x) + g(x)) = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)- 极限的乘法法则:lim(x→a) (f(x) * g(x)) = (lim(x→a)f(x)) * (lim(x→a) g(x))- 极限的除法法则:lim(x→a) (f(x) / g(x)) = (lim(x→a)f(x)) / (lim(x→a) g(x)),前提是lim(x→a) g(x) ≠ 0。

3. 连续性的定义- 函数f(x)在点a处连续,如果lim(x→a) f(x) = f(a)。

4. 间断点的类型- 可去间断点:函数在a点的左极限或右极限存在,但不等于f(a)。

- 跳跃间断点:函数在a点的左极限和右极限都存在,但两者不相等。

- 无穷间断点:函数在a点的左极限或右极限为无穷大。

二、导数与微分1. 导数的定义- 函数f(x)在点a处的导数定义为:f'(a) = lim(h→0) [(f(a+h)- f(a)) / h]。

2. 导数的几何意义- 导数表示函数在某点处的切线斜率。

3. 基本导数公式- (c)' = 0,其中c是常数。

- (x^n)' = nx^(n-1),其中n是实数。

- (sin(x))' = cos(x)。

- (cos(x))' = -sin(x)。

- (e^x)' = e^x。

4. 高阶导数- 高阶导数是一阶导数的导数,记作f''(x)。

大学微积分试题及答案

大学微积分试题及答案

大学微积分试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 若函数f(x)在点x=a处可导,则下列说法正确的是:A. f(x)在点x=a处连续B. f(x)在点x=a处一定有极值C. f(x)在点x=a处的导数为0D. f(x)在点x=a处的导数一定大于0答案:A2. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线方程是:A. y=2x-1B. y=x+1C. y=2xD. y=x-1答案:A3. 函数f(x)=x^3-3x+2的导数是:A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^2-3D. x^3-3答案:A4. 曲线y=x^3-6x^2+9x+1在x=3处的凹凸性是:A. 凹B. 凸C. 不确定D. 既非凹也非凸答案:B二、填空题(每题5分,共20分)1. 函数f(x)=2x^2-4x+3的极小值点是______。

答案:12. 曲线y=x^3-3x在点(2,5)处的切线斜率是______。

答案:33. 函数f(x)=x^2-6x+8的单调递增区间是______。

答案:[3, +∞)4. 曲线y=x^2-4x+3在x=2处的法线方程是______。

答案:y=-x+7三、解答题(每题10分,共60分)1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+4x-2在区间[0,3]上的最大值和最小值。

答案:函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x+4。

令f'(x)=0,解得x=1, 2。

在区间[0,1]上,f'(x)>0,函数单调递增;在区间[1,2]上,f'(x)<0,函数单调递减;在区间[2,3]上,f'(x)>0,函数单调递增。

因此,函数在x=1处取得极大值f(1)=1,在x=2处取得极小值f(2)=-2。

在区间端点处,f(0)=-2,f(3)=1。

所以,函数在区间[0,3]上的最大值为1,最小值为-2。

2. 求由曲线y=x^2与直线y=4x-3围成的面积。

微积分复习题附答案

微积分复习题附答案

微积分复习题附答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 函数\( f(x) = x^2 \)在点x=1处的导数是:A. 1B. 2C. 0D. 32. 定积分\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)的值是:A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/43. 以下哪个函数是奇函数?A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = |x| \)C. \( f(x) = sin(x) \)D. \( f(x) = cos(x) \)4. 函数\( f(x) = e^x \)的泰勒展开式在x=0处的前两项是:A. \( 1 + x \)B. \( e + x \)C. \( 1 + e \cdot x \)D. \( e + e^2 \cdot x \)5. 以下哪个级数是收敛的?A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} n \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \)二、填空题(每题3分,共15分)6. 函数\( g(x) = sin(x) + cos(x) \)的导数是_________。

7. 函数\( h(x) = \ln(x) \)的定义域是_________。

8. 函数\( F(x) = \int_{1}^{x} t^2 dt \)的原函数是_________。

9. 函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)的极值点是_________。

10. 函数\( G(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 \)的拐点是_________。

三、解答题(每题10分,共65分)11. 求函数\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5 \)的导数,并找出其单调区间。

微积分考试试题及答案

微积分考试试题及答案

微积分考试试题及答案一、选择题1. 设函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1,那么 f'(1) 的值是多少?A. -1B. -4C. -3D. 0答案:C2. 给定曲线 y = 2e^x - x,求当 x = 0 时,曲线的切线方程为?A. y = 1 - xB. y = x - 1C. y = e - xD. y = x - e答案:A3. 对于函数 f(x) = 3x^2 + 2x + 1,在 [0,2] 区间上的定积分为?A. 12B. 10C. 14D. 16答案:C二、填空题1. 设函数 g(x) = 2x^3 - 6x + 5 的不定积分为 F(x),那么 F(2) 的值为________。

答案:272. 设函数 h(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 5x - 2,那么 h'(x) 的导函数为_________。

答案:4x^3 - 6x^2 + 6x + 5三、解答题1. 计算函数f(x) = ∫[0,2] (3x^2 + 2x + 1) dx 的值。

解答步骤:首先对 f(x) 进行积分得到 F(x) = x^3 + x^2 + x + C。

然后将积分上下限代入 F(x),得到 F(2) = 2^3 + 2^2 + 2 + C = 14 + C。

由于题目没有给定积分常数 C,所以无法具体计算 F(2) 的值。

2. 求函数g(x) = ∫[-1,1] (2x^3 - 6x + 5) dx 的值。

解答步骤:首先对 g(x) 进行积分得到 G(x) = x^4 - 3x^2 + 5x + C。

然后将积分上下限代入 G(x),得到 G(1) - G(-1) = (1^4 - 3(1)^2 +5(1)) - ((-1)^4 - 3(-1)^2 + 5(-1))= (1 - 3 + 5) - (1 - 3 - 5) = 3 - (-7) = 10。

微积分期末试题及答案

微积分期末试题及答案

微积分期末试题及答案(正文开始)第一部分:选择题(共20题,每题5分,共100分)1. 设函数 f(x) = x^3 - 2x + 1,求 f'(x)。

2. 求函数 f(x) = e^x 的不定积分。

3. 将函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上进行定积分,求结果。

4. 设函数 f(x) = ln(x),求 f'(x)。

5. 求函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 1 的定积分,其中积分区间为 [-1, 2]。

6. 设函数f(x) = √(x^2 + 1),求 f'(x)。

7. 求函数 f(x) = 3x^2 - 6 的不定积分。

8. 计算定积分∫(0 to π/2) cos(x) dx 的值。

9. 设函数 f(x) = e^(2x),求 f'(x)。

10. 求函数 f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2 的不定积分。

11. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx 的值。

12. 设函数 f(x) = (sinx + cosx)^2,求 f'(x)。

13. 求函数 f(x) = 2e^x 的不定积分。

14. 计算定积分∫(1 to e) ln(x) dx 的值。

15. 设函数 f(x) = x^2e^x,求 f'(x)。

16. 求函数 f(x) = ln(2x + 1) 的不定积分。

17. 求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

18. 设函数 f(x) = e^(3x),求 f'(x)。

19. 求函数f(x) = ∫(1 to x) t^2 dt 的不定积分。

20. 计算定积分∫(0 to π) sin^2(x) dx 的值。

第二部分:计算题(共4题,每题25分,共100分)1. 计算函数f(x) = ∫(0 to x^2) (2t + 1) dt 在区间 [-1, 1] 上的定积分。

微积分练习100题及其解答

微积分练习100题及其解答

《微积分》练习100题及其解答1.求极限:.⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x e x x 111lim 0解:∵,)0(~1→-x xe x ∴.()2121lim 1lim 11lim 111lim 02000-=-=+-=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→→→x e x e x e x e x x e x x x x x x x x x 2.求极限:.xx e e x x x sin lim sin 0--→解:∵,∴.)0(~1→-x xe x1sin 1lim sin lim sin sin 0sin 0=--⋅=---→→xx e e x x e e xx x x x x x 或者:记,则当时,在之间满足Lagrange 定理的条件,存x e x f =)(0≠x )(x f x x sin ,在(介于与之间),使得,从而ξξx x sin )(sin sin ξf x x e e xx '=--,所以,.1)0()(lim sin lim 0sin 0='='=--→→f f x x e e x x x x ξ1sin lim sin 0=--→xx e e x x x 3.求极限:.()x xx x e1lim+→解:;()11200lim lim 1xxe e xx xx x x x e xe e e →→⎡⎤⎛⎫⎢⎥+=⋅+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦或者.()()12000ln 1limlim 2lim x x xx x x x x e x e e x e xe x →→→++==⇒+=+4.求极限:.01lim 1xx x +→⎛⎫+ ⎪⎝⎭解:,而,所以,.01lim ln 101lim 1x xx x x e x +→+⎛⎫+ ⎪⎝⎭→⎛⎫+= ⎪⎝⎭0ln(1)1lim ln 1lim0t x t x t x +→+∞→⎛⎫++== ⎪⎝⎭01lim 11xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭5.求极限:.())0,0,0(3ln ln lim0>>>-++→c b a xc b a x x x x解:.()00ln ln 3ln ln ln ln limlim 3x x x x x x x x x x x a b c a a b b c c abc xa b c →→++-++==++6.求极限:.()00x αα→>解:.()()112110001101lim lim 10111x x x x x x x αααααααααα--→→→->⎧==-=⎨∞<≤⎩-++7.求极限:.lim(0)x αα→>解:.()()22211000112202limlim022211x x x x x x x αααααααααα--→→→->⎧==-=⎨∞<≤⎩-++8.求极限:.(0)x αα→>解:.012x α→=-9.设函数在内,讨论的单调性.)(x f ()∞+∞-,0)0(,0)(≤>''f x f xx f y )(=解:,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'=-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛='x x f x f x x x f x f x x x f y )()(1)()()(20)0()()(--≤x f x f x x f 当时,,而,则,即,从而此时0>x )0()(f xx f '≤0)(>''x f )0()(f x f '≥'0>'y 递增;同理,当时,递增.x x f y )(=0<x xx f y )(=所以,在内单调增加.xx f y )(=()∞+∞-,10.设函数,求:(1)的极大值;(2)()220()2(0)xf x a ta dta =-+->⎰)(x f M 求极小时的值.M a 解:(1),而,所以xx f a x x f 2)(0)(=''±=⇒='0>a ;a a a f M 232)(3-=-=(2)时,,此时,0>a 102223223=⇒=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='a a a a M a04>=''a M的极小值为.M 34)1(-=M 11.求极限:.22011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭解:()()2222224000sin sin 11sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x xx →→→-+-⎛⎫-== ⎪⎝⎭.320000sin sin 1cos sin 1limlim 2lim 2lim 363x x x x x x x x x x x x x x →→→→-+-====12.求极限:.⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220sin 11lim 解:2222222200011sin sin 22lim lim lim sin sin 2sin sin 2x x x x x x x x x x xx x x x →→→--⎛⎫-== ⎪+⎝⎭;222000cos 212sin 2limlimsin 2sin 2cos 22sin 26cos 22sin 22sin 212lim 2sin 234cos 2sin 22x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x →→→--==+++--==-+-13.求极限:.⎪⎭⎫⎝⎛--→x x x ln 111lim 1解:;211ln 11lim ln 11lim ln 111lim ln )1(1ln lim ln 111lim 11111-=---=--+=--+=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→→→→x x x x x x xx xx x x x x x x x x x x 14.求极限:.1lim arcsin xx e x +→解:∵,∴.arcsin ~(0)x x x →11100lim arcsin lim lim t t xx x t x x ee x xe t ++=→+∞→→=====+∞15.求极限:.⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→x x x arctan 2lim解:.22221arctan 21lim arctan lim lim lim 11121x x x x x x x x x x xxππ→+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭+-==== ⎪+⎝⎭-16.求极限:.2120lim x x x e→解:.22112lim lim t tx x x t e x et=→→+∞====+∞17.求极限:.lim sin ln x x x +→解:.00001ln tan sin lim sin ln lim lim lim 0csc csc cot x x x x x x x x x x x x x x++++→→→→===-=-18.求极限:.1lim x -→解:11lim x x -→→=112sec 24x x ππ--→→===19.求极限:.xx xx x sin tan lim 20-→解:.22232200000tan tan sec 11cos sin21lim lim lim lim lim sin 3363x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→----=====20.求极限:.()ln 1ln limcot x x xarc x→+∞+-解:()222222111ln 111lim lim lim 1lim 1.111cot 1111x x x x x x x x x x arc x x xx x x →+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫+-- ⎪+⎝⎭==+==-+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭21.求极限:.()2lim sec tan x x x π→-解:.()2221sin cos lim sec tan limlim 0cos sin x x x x xx x x x πππ→→→--===-22.求积分:.cos sin 1sin 2x xdx x --⎰解:()2cos sin cos sin 11sin 2cos sin cos sin x x x x dx dx dx x x x x x --==---⎰⎰⎰.1ln csc cot 2244sin 4dx x x C x πππ⎛⎫⎛⎫=-=---+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭⎰23.求积分:.cos sin 1sin 2x xdx x -+⎰解:.()()()22cos sin 11cos sin cos sin sin cos sin cos x xdx d x x C x xx x x x -=+=-++++⎰⎰24.求积分:.cos sin 1cos 2x xdx x -+⎰解:()2cos sin cos sin 1sec tan sec 1cos22cos 2x x x x dx dx xdx xdxx x --==-+⎰⎰⎰⎰.()1sec ln sec tan 2x x x C =--++25.求积分:.dx xxx ⎰--2cos 1sin cos 解:()2cos sin cos sin 1csc cot csc 1cos 22sin 2x x x x dx dx x xdx xdxx x --==--⎰⎰⎰⎰.()1csc ln csc cot 2x x x C =-+-+26.求积分:.cos sin 1cos 2x xdx x +-⎰解:()2cos sin cos sin 1csc cot csc 1cos 22sin 2x x x x dx dx x xdx xdxx x ++==+-⎰⎰⎰⎰.()1csc ln csc cot 2x x x C =---+27.求积分:.1sin 1cos2xdx x--⎰解:()221sin 1sin 1csc csc 1cos 22sin 2x x dx dx xdx xdx x x --==--⎰⎰⎰⎰.()1cot ln csc cot 2x x x C =-+-+28.求积分:.1sin 1cos2xdx x -+⎰解:()221sin 1sin 1sec sec tan 1cos 22cos 2x x dx dx xdx x xdx x x --==-+⎰⎰⎰⎰.()1tan sec 2x x C =-+29.求积分:.1cos 1cos2xdx x-+⎰解:()221cos 1cos 1sec sec 1cos22cos 2x x dx dx xdx xdx x x --==-+⎰⎰⎰⎰.()1tan ln sec tan 2x x x C =-++30.求积分:.1cos 1cos2xdx x--⎰解:.()()221sin 1sin 1csc csc 1cos22sin 211cot ln tan cot ln csc cot 222x x dx dx xdx xdxx x x x C or x x x C--==--⎛⎫=-++-+-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰31.求积分:.1arctan21xedx x +⎰解:.1arctan11arctan arctan 21arctan 1xx x e dx e d e C x x=-=-++⎰⎰32.求积分:.2x dx解:222211222xe t x x e dx =⎛⎫==== ⎪⎝⎭.(2211ln ln 222x x e c e C ⎛ '=++=++ ⎝33.求积分:.211x dx e +⎰解:⎰+dx e x 211⎰⎰----++-=+=)1(112112222xx x x e d e dx e e C e x ++-=-)1ln(212或者:⎰⎰+=+=xxx x x x de e e dx e e e 222222)1(121)1(.[]C e x de e de e xx x x x ++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰⎰)1ln(221111212222234.求积分:.()21xxe dx x +⎰解:()()()2211(1)11111xxx xxxe xe xe dx d x xe d d xe x x x x x ⎛⎫=+=-=-+ ⎪+++⎝⎭++⎰⎰⎰⎰.11x x xxe e e dx C x x=-+=+++⎰35.求积分:.211dx x x -+⎰解:2221141133111422dx dx dxx x x x ==-+⎛⎫⎤⎫+-+- ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦⎰⎰⎰.211122112d x x C x ⎤⎤⎫⎫=--+⎪⎪⎥⎥⎭⎭⎦⎦⎤⎫+-⎪⎥⎭⎦⎰36.求积分:.2141dx x x -+⎰解:()2221111413231dx dx dxx x x ==-+---⎰⎰⎰.21ln ln 3661d C C ⎫==+=⎪⎭⎫-⎪⎭⎰37.求积分:.dx解:22111ln 1111u u du du C u u u u -⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭⎰⎰.))ln 2ln12ln1Cor x C or x C ⎛⎫=+-+-+ ⎝38.求积分:.解:设,则,,x e u +=1)1ln(2-=u x du u udx 122-=222112111u du du u u u ⎛⎫==+- ⎪--+⎝⎭⎰⎰12ln ln 1u u C C u ⎛⎫-⎛⎫=++=+ ⎪+⎝⎭.)2ln1orx C -+39.求积分:.21443dx x x +-⎰解:.21121ln 443823x dx C x x x -=++-+⎰40.求积分:.23222x dx x x --+⎰解:222323*********(1)x x dx dx x x x x x ⎡⎤--=+⎢⎥-+-+++⎣⎦⎰⎰.()23ln 22arctan(1)2x x x C =-++++41.求积分:.2dx x⎰解:设,则,,t x sin 2=t x cos 242=-tdt dx cos 2=.()222cot csc 1cot arcsin 2x dx tdt t dt t t C C x x ==-=--+=--+⎰⎰⎰42.求积分:.2dx x ⎰解:设,则,,θtan 2=x 2sec θ=θθd dx 2sec 2=.()Cxx x x C x x x x x x C d d d dx x x ++-++=++++--+-=++---=⎪⎭⎫⎝⎛-+=-==+⎰⎰⎰⎰22222222222244ln 44ln 2141sin 1sin ln 21csc sin sin 11sin 1sin sin )sin 1(1sin cos 14θθθθθθθθθθθθ43.求积分:.⎰++dx x x 1)2(1解:消去根号,记,t =122122+=+=-=t x tdtdx t x.()222arctan 21tdtt C C t t ==+=++⎰44.求积分:.⎰-+dx x x x21解:记,3122222+=+=+=⇒-=t x tdtdx t x x t ()()⎰⎰⎰⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=-+dt t t dt t t t dt t t dx x x x 21222112232212222.C x x C tt +-+-=++=22arctan 2222arctan2245.求积分:.⎰++dx x x x21解:记,1122222-=+=-=⇒+=t x tdtdx t x x t ()()⎰⎰⎰⎰-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--=++dt t t dt t t t dt t t dx x x x 21222112212212222.C x x x C t t t +++-+++=++-+=2222ln 222222ln 22246.求积分:.2dx x -⎰解:记,2213222t t t x dx tdt x +-=⇒==-=,.2222312212623332t dx dt dt t dt x t t t t C C⎛⎫==+=+ ⎪----⎝⎭=+=+⎰⎰⎰⎰47.求积分:.解:记,232212122+=+=-=⇒+=t x tdtdx t x x t .Cxx C t t dt t t dt t dt t t dx x x ++-+=+-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=++⎰⎰⎰⎰321arctan 322123arctan3223162331232221222248.求积分:.⎰++dx x 3111解:记,dt t dx t x x t 23323,211=-=⇒+=.22233313331ln 1212142233(1)ln 142t dx dt t dt t t t C t t x C ⎛⎫==-+=-+++ ⎪++⎝⎭=+-+++⎰⎰49.求积分:.()⎰-dx x xx 2321arcsin 解:设:,则x u arcsin =;()332222arcsin sin sin sin sec cos cos 1sec sec sec ln sec tan 1lnln 1ln 12x xu u u udx d u du ud uu u x u u udu u u u u C C x x C ===-=-=-++==-++-+⎰⎰⎰⎰⎰50.求积分:.()()2213xdx xx ++⎰解:.()()()222222211111ln 4134313xx dx d x C x x x x x ⎛⎫+⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎰⎰51.假设某种商品的需求量,商品的总成本是,每1200080Q P =-2500050C Q =+单位商品需要纳税2元,试求使销售利润最大时商品单价(单位:元)和最大利润额.P 解:收入,28012000)8012000(P P P P PQ R -=-==总成本,P Q C 40006250005025000-=+=总利润,649000161608022-+-=--=P P Q C R L 边际利润,16160160+-='-'='P C R L 令,得,此时,有最大利润(元).0='L 101=P 0160<-=''L 167080=Max L 52.一商家销售某种商品的价格(万元/吨),为销售量,商品的成本函数x P 2.07-=x 是(万元).(1)若每销售1吨商品,政府征税t (万元),求商家获取最大利润时13-=x C 的销售量;(2)t 为何值时,政府税收最大?解:(1)收入,总成本,22.07)2.07(x x x x Px R -=-==13-=x C 税收,总利润,tx T =1)4(2.02+-+-=--=x t x T C R L 边际利润;令,得,此时,有最t x L -+-='44.00='L t x 5.210-=04.0<-=''L 大利润;(2),,令,得,所以当时政府税25.210t t tx T -==t T 510-='0='T 2=t 2=t 收最大.53.求积分:.()322arcsin 1x xdx x -⎰解:设,则x u arcsin =;()332222arcsin sin sin sin sec cos cos 1sec sec sec ln sec tan 1ln 1ln 1.2x xu u u udx d u du ud u u ux u u udu u u u u C Cx x C ===-=-=-++==++-+⎰⎰⎰⎰⎰54.已知的一个原函数为,求积分:.()f x ()1sin ln x x +()xf x dx '⎰解:∵,()1sin ()1sin ln cos ln xf x x x x x x'+=+=+⎡⎤⎣⎦∴()()()()xf x dx xdf x xf x f x dx'==-⎰⎰⎰.()1sin cos ln 1sin ln x x x x x x C =++-++55.设是三阶可导函数,,而.求.()f t ()0f t ''≠()()()x f t y tf t f t '=⎧⎨'=-⎩33d y dx解:由已知,,,,从而;()dx f t dt ''=()dy tf t dt ''=dy dy dt t dx dx dt ==1d dy dt dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭,.()221d y d dy dx dt dx dt dx f t ⎛⎫== ⎪''⎝⎭()()()323321()d f t d y d d y f t dx dx dx d f t f t ⎡⎤⎢'''''⎛⎫⎣⎦===- ⎪'⎡⎤''⎡⎤⎝⎭⎣⎦⎣⎦56.设,求.()22tan()sec x yx x y tdt x y ---=≠⎰22d ydx解:对等式两边求导.得,()()()()222sec 1sec 1x y y x y y ''---=--整理,得,2sin ()y x y '=-()()()222sin cos 1d yx y x y y dx '∴=---.()()()21sin 2()cos sin 22y x y x y x y '=--=--57.已知,其中二阶可微,求.()y f x y =+()f u 22d ydx 解:,.()()1y f x y y '''=++()'1()f x y y f x y '+∴='-+对两边再求导,()()1y f x y y '''=++,()()()21y f x y y y f x y ''''''''=++++.()()()211y f x y y f x y '''++''∴='-+3"()[1'()]f x y f x y +=-+58.已知,求.0sin ()xtf x dt t p =-ò0()f t dt p ò解:由已知,,或sin ()xf x xp ¢=-sin ()()x f x xf x p ¢¢=-01cos sin ()()t t tt xdx f x dx xf x dxp ¢¢-==-òòò,()(0)()()()()()t tt f t f xf x f x dx f t tf t f x dx p p p =--+=-+òò取,有,t p =021cos ()()()f f f x dx pp p p p p =-=-+ò.()2f t dt p\=ò59.求积分:.121211x x x e x +æö÷ç+-÷ç÷çèøò解:1111122222111112222221111x x x x x x x x x x I x e dx e dx x e dx e dx xd e x x +++++æöæöæö÷ç÷÷çç÷=+-=+-=+ç÷÷çç÷÷÷ççç÷çèøèøèøòòòòò.21521232x x xee +==60.求极限:.2240sin lim x x xx®-解:224300sin sin sin lim lim x x x x x x x x x x x ®®-+-=×302sin cos 222lim x x xx x®-=.3022sin cos 2lim 8t t t t t ®-=2011cos lim 2t t t ®-=2202sin 12lim 2t t t ®=20sin 12lim 42t t t ®æö÷ç÷ç÷çç=çç÷ç÷÷çèø14=而,22223200000sin sin sin 1cos 1sin 1lim lim lim 2lim 2lim sin 3323x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ®®®®®-+--=×==´=请问以上方法错在哪里?61.计算.x ò解:记,代入,得()221ln 1x u e u x u ==+=+原式()()222ln 1121u u uduu u ++=+ò()()22222ln 12ln 121u u du u u duu =+=+-+òò.()22ln 12222u u u arctgu c c =+-++=-++62.求积分:.()12ln 11x dx x++ò解:令,,,,11t x t -=+211x t +=+()221dt dx t =-+()()22222111111t t x t t +æö-ç+=+=ççè++代入,则()12ln 11x I dx x +=+ò()()()()21122200ln 1122ln 11211x t I dx dt x t t t ++==×++++òò()()1112220001120ln 2ln 1ln 1ln 211112ln 2ln 214t x dt dt dx t t xI dt t p-++==-+++\==+òòòò.112011ln 221I dx x \=×+òln 28p =63.求积分:1ò解:记212t x t dx tdt==-=-当时,;当时,,则0x =t 1=1x =0t =原式.110202212dt arctgtt p ===-ò64.设在内有意义,且(1)可导;(2)有反函数;(3)()F x ()0,+¥()x j .求.()()5322115F x t dt x x j æö÷ç÷=-ç÷ç÷èøò()F x 解:由(3)可知,时,,0x =()()010F t dt j =ò()01F =记,则为其反函数()x F y =()y x j =且或()()F y y j =()()F x xj =对(3)的式子两边求导,有,即.()()()23321123F x F x x x j ¢=- ()23321123x F x x x ¢×=-化简有()F x ¢=()23321132F x dx x x c æö\==-+ò而,故.()01F =()233211132F x x x =-+65.求积分:1ò解:11I -==òò.112-==òò12arcsin tp ==66.求积分:1ò解:令sin 02x t t p =<<.()22202200sin cos cos 1cos 1cos 4t d t I dt arctg t tt p pp p==-=-=++òò67.证明:.()4011212n tg xdx n np<<+ò证明:记,则.14201n nn t I tg xdx dt t p==+òò()11212n I n n<<+68.求积分:.244sin 1xxdx ep p --+ò解:.224404sin 11sin 111x x x x dx xdx e e e pp p ---æö÷ç=+÷ç÷çèø+++òò2402sin 8xdx p p -==ò69.设,且,则方程0在()[],f x C a b Î()0f x >()()1xxabf x dx dx f x +=òò(),a b内有几个根.解:记,,()()()1xxabF x f t dt dt f t =+òò()()()110abbaF a dt dt f t f t ==-<òò,而.;()()0baF b f x dx =>ò()0f x >[],x a b Î()()()10F x f x f x ¢=+>在内严格单调增加.因此,在内只有一个根.()F x \(),a b ()F x (),a b 70.在上连续可微,且满足.试证存在一点.使()f x [)0,1()()1212f xf x dx =ò()0,1x Î.()()0f f x x x ¢+=证:设.则,()()F x xf x =()()0000F f =´=.()()()()112211122F f xf x dx F x dx =´==´òò由于在上可微,由积分中值定理,必存在一点,使得()F x []0,110,2h æö÷çÎ÷ç÷çèø,在上,满足Rolle 定理的三个条件,固而存在()()()1122F F F h h =´´=[],1h ()F x ,使得.即.x (),1h Î()0,1Ì()0F x ¢=()()0f f x x x ¢+=71.设求,.()11010x x xe x f x e x ìïïïï¹ï=íï+ïïï=ïî()0f -¢()0f +¢解:由知()()()000limx x f x f x f x x x ®-¢=-()0f -¢()()11000lim lim lim 0011txt t x x x f x f e e x e e --®-¥®®-====-++()0f +¢()()11000lim lim lim 1011txt t x x xf x f e e x ee ++®+¥®®-====-++另,时0x ¹()1121111xx x e e x f x e æö÷ç÷-+ç÷ç÷èø¢=æö÷ç÷+ç÷ç÷èø;()0f -¢()1121011lim lim 1xx x x xe e xf x e --®®æö÷ç÷-+ç÷ç÷èø¢==æö÷ç÷+ç÷ç÷èø()()121lim01u u u xu u e u e e =®-¥-+¾¾¾®=+()0f +¢()1121011lim lim 1xx x x xe e xf x e ++®®æö÷ç÷-+ç÷ç÷èø¢==æö÷ç÷+ç÷ç÷èø()()21lim1u u u u e u e e ®+¥-+=+()()()11lim21u u u u u uu e u e e e e e ®+¥-++-=+()22lim21u uu uu e ue e e ®+¥-=+.()221lim lim 1221u u u u u u e u e e e ®+¥®+¥--===+72.设在上连续,且,证明:必存在,使()f x []0,n ()()()0f f n n N =Î()0,n x Î.()()1f f x x +=证明:记,则在上连续,因而有最大(小)值()()()1x f x f x j =+-()x j []0,1n -,,;()M m ()m x M j ££[]0,1x n Î-而,,…,;()()()010f f j =-()()()121f f j =-()()()11n f n f n j -=--从而,()()()1110n n k k k f k f k m M nnj --==éù+-ëû£==£åå故而,必存在,使,即()0,n x Î()0j x =.()()1f f x x +=73.证明:函数在上一致连续.3)(x x f =[]1,0证明:任取两点,,不妨设,则,考虑到1x []1,02∈x 21x x ≠03231≠-x x ()321232312132232132121323121)()(x x x x x x x x x x x x x x x f x f +--≤++-=-=-;()2323121323121)()(x x x x x x x f x f --≤-=-即;2133231321)()(x x x x x f x f -≤-=-所以,对于任意小的正数,取,当时,必有0>ε3εη=η<-21x x 成立,ε<-≤-=-321323121)()(x x x x x f x f 故而函数在上一致连续.3)(x x f =[]1,074.函数在上有定义,且(1),(2)对于在,)(x f ()∞,0)1()(lim 1f x f x =→0>∀x ,则(为常数).)()(2x f x f =C x f ≡)(C 证明:任取,记,,,…,()∞+∈,0x x x =1x x x ==124123xx x x ===,….则1211-==-n x x x n n 由可知,,即)()(2x f x f =)()(x f x f =;)()()()()(321n x f x f x f x f x f ===== 而注意到,故)0(1lim >=+∞→x x n n ;)0(1lim lim 121>==-+∞→+∞→x x x n n n n 而,从而)1()(lim 1f x f x =→;)1()lim ()(lim )(11f x f x f x f n x n x ===→→所以,(为常数).C x f ≡)()1(f C =75.求极限:.21n n n tan n lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→解:注意到⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛n tan n ln n exp n tan n n 1122,⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=11111112n tan n n tan n ln n tan n n exp 且,111111=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→ntan n n tan n ln lim n 而22111tan lim 11tan lim n n n n n n n n -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→∞→30201tan lim1tan lim y y y y y y y y ny -=-=→→=.yy tan lim y y sec lim y y 31331220220==-=→→故.e n tan n lim n n 3121=⎪⎭⎫⎝⎛∞→76.已知,,求.12a =()11112n n n a a n a +⎛⎫=+> ⎪⎝⎭lim n n a →∞解:很明显,,,,,12a =0n a >11112n n n a a a +⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭()12111122n n n a n a a +⎛⎫=+≤>⎪⎝⎭所以,,单调有界,存在;1212n n a a a +≤≤≤≤= {}n a lim n n a →∞记,则由得,注意到,解得.lim n n a l →∞=1112n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭112l l l ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭21≤≤l 1l =77.设函数,求.xx y +=12()n y 解:,,11112++-=+=x x x x y 2111111⎪⎭⎫⎝⎛+-='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-='x x x y ,()()322121111+-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=''x x y 由数学归纳法可得:.()()())1(1!11>+-=+n x n yn n n 78.设函数在区间上连续,在内可导,且,()x f []0,1()0,1()()010==f f .试证:121=⎪⎭⎫ ⎝⎛f (1)存在,使;1,12η⎛⎫∈⎪⎝⎭()ηη=f (2)对任意实数,必存在,使得.λ()0,ξη∈()()1f f ξλξξ'--=⎡⎤⎣⎦证明:(1)设,则在区间上连续,在内可导,且()()h x x f x =-()h x []0,1()0,1,,,则存在,,即()00h =()11h =11022h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭1,12η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()0h f ηηη=-=.()ηη=f (2)记,在区间上连续,在内可导,且,()()xF x f x x e λ-=-⎡⎤⎣⎦[]0,1()0,1()00F =,则由定理,必存在,使得,即()0F η=Rolle ()0,ξη∈()0F ξ'=.()()1f f ξλξξ'--=⎡⎤⎣⎦79.判断级数的敛散性.11nn ¥=åò提示:.220001122n xdx n n>=®<òòò80.证明:当时,.0>x ()x x xx<+<+1ln 1证明:记,则在上连续因而可积.tt f +=11)()(t f []x 0由积分第一中值定理,比存在一点,使得:()x 0∈ξ,()()x f dt t x x⋅=+=+⎰ξ0111ln 即.()x x ξ+=+111ln 而,,x <<ξ011111<+<+ξx ∴,)0(11><+<+x x x x x ξ即.()x x x x<+<+1ln 181.求在条件下,()22212312323,,2334f x x x x x x x x =+++2221231x x x ++=()123,,f x x x 的最大值和最大值点.解:利用拉格朗日乘数法,设,()()22222212312323123,,,23341L x x x x x x x x x x x λλ=++++++-,则123112233322221234206240624010x x x L x x L x x x L x x x L x x x λλλλ'=+=⎧⎪'=++=⎪⎨'=++=⎪⎪'=++-=⎩.1231222312323(1)020121(2)05x x x x Maxf x x x x x Maxf x x λ≠⇒=-⇒==→=±⇒=⎧+=⎪=⇒⇒==⇒=⎨=⎪⎩82.设随机变量,问:当取何值时,落入区间的概率最大?()2~,X N μσσX ()1,3解:因为,()212~x X f x σ⎛⎫- ⎝⎭=,{}133113()X P X P g σσσσσσ∆⎧⎫⎛⎫⎛⎫<<=<<=Φ-Φ=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭利用微积分中求极值的方法,有223311()g σσσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=-Φ+Φ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;222222221311111422231111130e e σσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎢⎥==-=⎢⎥⎣⎦令得,则;又,故.404ln 3σ=0σ=0()0g σ''<0σ=故当落入区间的概率最大.σ=X ()1,383.设,讨论方程的实数根.x e x f x λ-=)(0=-x e x λ解:(1)显然,当时,方程没有实根;0λ=0=-x e x λ(2)当时,方程有唯一实根;0λ<0=-x e xλ(3)当时,;曲线为下凸的,0>λ0)(,)(>=''-='x x e x f e x f λx e x f x λ-=)(呈∪型;由可知,驻点,极小值,0)(=-='λx e x f λln 0=x )ln 1()(0λλ-=x f 由此可知,当时,方程没有实根;e <<λ00=-x e x λ当,极小值,方程只有一个实根;e =λ0)ln 1()(0=-=λλxf 0=-x e x λλln 0=x 当,极小值,方程有2个实根.e >λ0)ln 1()(0<-=λλxf 0=-x e xλ84.函数的单调增减区间、凹凸区间与极值.()()()211f x x x =-+解:,()()()()()()()()()22111211131f x x x ,f x x x x x x '=-+=++-+=+-由得驻点:;()0f x '=113x ,=-由上可知,函数在与内单调递增,在内递减;极()f x ()1,-∞-13,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭113,⎛⎫- ⎪⎝⎭大值,极小值;()10f -=132327f ⎛⎫=-⎪⎝⎭由可得,因而函数曲线在内()()()211f x x x =-+()62f x x ''=+13,⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,函数曲线上凸;在内下凸,如下图.()0f x ''<13,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭85.已知收益函数为,其中为价格,为需求量,求需求弹性时260R=Q Q -P Q 2d ε=-的边际收益.MR 解:因为,所以需求函数,边际收益函数为,且260R=Q Q -60P Q =-602R =Q '-需求弹性函数为;60601d P dQ Q Q dP Q Qε-==-=-当需求弹性时,,此时的边际收益.2d ε=-20Q =()20604020MR R '==-=86.设函数,求其渐近线.xx exe x f y 111)(+==解:首先考虑其水平渐近线和垂直渐近线:x()1,-∞-1-113,⎛⎫- ⎪⎝⎭1313,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '+0-0+()f x 增加极大值递减极小值递增因为,,,所以,1lim 1=∞→x x e +∞=+→x x e 100lim 0lim 100=-→xx e ;11011lim lim lim 0(1)(1)1t x t t t t x xxee t t e t e x e+-→+∞→+∞→⎛⎫==== ⎪++⎝⎭+;11011lim lim lim 0(1)(1)1t x t t t t x xxee t t e t e x e--→-∞→-∞→⎛⎫==== ⎪++⎝⎭+;110011limlim lim (1)(1)1t x t t x t t xxee t t e t e x e-→∞→→⎛⎫===∞=⎪++⎝⎭+故而没有水平渐近线和垂直渐近线;xx exex f y 111)(+==由于,()111limlim 21xx x xf x e a x e →∞→∞===+()1111111211lim lim lim 2211x x x x x x x x xe x e xe b fx x x e e →∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥⎡⎤ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦,11011111122lim lim 2(1)41x t t x t xx xe e t t e x e→∞→-+-⎛⎫==== ⎪+⎝⎭+故而有斜渐近线:.xx exe x f y 111)(+==4121+=x y 87.求函数曲线的渐近线.()1ln 1x y e x=++解:显然,,为其垂直渐近线;()01lim ln 1x x e x→⎡⎤++=∞⎢⎥⎣⎦0x =,为其水平渐近线;()()1lim ln 1lim ln 10x xx x e e x →-∞→-∞⎡⎤++=+=⎢⎥⎣⎦0y =又,,,因而()()11ln 1ln 1x x y e x e x x -=++=+++()1lim ln 10x x e x -→+∞⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦为其一条斜渐近线.y x=88.若,试证明:与具有相同的敛散性.lim (0)n n a a a →∞=≠∑∞=+-11n n n a a ∑∞=+-1111n nn a a 证明:问题为讨论两个正项级数的敛散性,可以用比较法的极限形式,因为不是具体的级数形式.记,则,111nn n a a V -=+0,0>>n n V U ==n n n V U ∞→limnn nn n a a a a 11lim11--=++∞→1.lim +∞→n n n a a )0(2≠a 可见,与具有相同的敛散性.∑∞=+-11n n n a a∑∞=+-1111n nn a a 89.讨论下列级数的敛散性:(1)2);(3);(4)1n ∞=11tan 2n n n ∞+=∑()3113nnn n n ∞=⎤+-⎣⎦∑()∑∞=+-+121211n n n n n(5);(6);(7).()()1111ln 1n n n ∞+=-+∑()211nn n n ∞=-+∑()()1111ln n n nn e e ∞+-=-+∑解:(1)当充分大时,比如时,有,从而n 3>n ()n n <+<1ln 1,而当时,,()n n n n <+<1ln 1∞→n 1→n n由极限的夹逼性定理知,当时,,所以,∞→n 1→1n ∞=(2)注意到,这是正项级数,当时,(等价无穷小),0→x x x ~tan 所以,而后者收敛,所以收敛.11tan ~2n n n π∞+=∑112n n n π∞+=∑11tan 2n nn π∞+=∑(3)利用柯西判别法:也是正项级数,,可见原()33113n+-=<→级数收敛;事实上,,,)())333111333nnnn nnnn nn ⎤+-+⎣⎦<<3113nnn n ∞=⎤⎣⎦∑都收敛,且同为正项级数,因而原级数收敛.3113nn n n ∞=⎤⎣⎦∑(4)因为,()()111111122221212112121→+⋅+⋅=+=+=+-+-nn nnnn n n n n n n nnnnnu 改用比较判别法:取,则21nv n =;()11lim 1lim lim 122121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+∞→++∞→∞→n n n n n nn n n n n nv u其中()(){}1122222lim lim exp lim 12ln ln 111n x n x x n x x x x n x ++→∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎡⎤==+-+ ⎪ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎝⎭,()()()()()22222222ln ln 1211exp lim exp lim exp lim 111111x x x x x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞⎧⎫⎧⎫⎪⎪-⎪⎪⎧⎫-++⎪⎪⎪⎪⎪⎪+===-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎩⎭+⎪⎪⎪⎪+⎩⎭⎩⎭所以,与同时收敛.()∑∞=+-+121211n n n nn ∑∞=121n n(5)条件收敛.(6),发散.()()22111111nnn n n nn n n∞∞∞===-+-=+∑∑∑(7)=,()()1111ln n n n n e e ∞+-=-+∑()()12111ln 1n n n e n∞+=-+-∑,()222ln 1n n n e n e n e +-<-<()()()22222lim lim lim ln 1ln 1ln n x xn x x x n x x e e e e n e x e e -→∞→+∞→+∞==+-+-+==∞.()=+-=--+∞→x x x x xx e e e e e 22lim ()22221lim 1x x x x e e e →+∞+-x xx x ee e 2532106lim ++∞→另一方面,==,;()x x e e -+ln 1()xe x 21ln 1-++()x e xx x 1~1ln 11112-++()+∞→x 可见,原级数非绝对收敛;但是单调减少且趋于0,所以,原级数条件收敛.()x x e e -+ln 190.若正项级数与都发散,讨论与的敛散性.1nn v∞=∑1nn u∞=∑{}1max ,nnn u v ∞=∑{}1min ,nnn u v ∞=∑解:,,{}{}1max ,2n n n n n n u v u v u v =++-{}{}1min ,2n n n n n n u v u v u v =+--(1)显然,,或者,故而{}{}1max ,2n n n n n n n u v u v u v u =++-≥{}max ,n n n u v v ≥发散;{}1max ,nnn u v ∞=∑(2)而的敛散性未定.{}1min ,nnn u v ∞=∑例如,若,()222211111111123456212n n u n n ∞==+++++++++-∑ ,()222=11111111123456221n n v n n ∞=+++++++++-∑。

微积分期末试题及答案

微积分期末试题及答案

微积分期末试题及答案一、选择题1.微积分的概念是由谁提出的?A.牛顿B.莱布尼茨C.高斯D.欧拉答案:B2.一个物体在 t 秒后的位移函数为 s(t) = 4t^3 - 2t^2 + 5t + 1。

求该物体在 t = 2 秒时的速度。

A.10B.23C.35D.49答案:C3.定义在[a,b]上的函数 f(x) 满足f(x) ≥ 0,对于任意 x ∈ [a,b] 都有∫[a,b] f(x) dx = 0,则 f(x) =A.常数函数B.0C.连续函数D.不满足条件,不存在这样的函数答案:B4.若函数 f 在区间 [a,b] 上连续,则在区间内至少存在一个数 c,使得A.∫[a,b] f(x) dx = 0B.∫[a,b] f(x) dx = f(c)C.∫[a,b] f'(x) dx = f(b) - f(a)D.∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a),其中 F 为 f 的不定积分答案:D5.已知函数 f(x) = x^2,求在点 x = 2 处的切线方程。

A.y = 2x - 2B.y = 2x + 2C.y = -2x + 2D.y = -2x - 2答案:A二、计算题1.计算∫(2x - 1) dx。

解:∫(2x - 1) dx = x^2 - x + C。

2.计算极限lim(x→∞) (3x^2 - 4x + 2)。

解:lim(x→∞) (3x^2 - 4x + 2) = ∞。

3.计算导数 dy/dx,其中 y = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 1。

解:dy/dx = 15x^2 - 4x + 7。

4.计算函数 f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 3 的驻点。

解:驻点为 f'(x) = 0 的解。

f'(x) = 3x^2 + 4x - 5 = 0,解得 x = -1 或 x = 5/3。

5.计算定积分∫[0,π/2] sin(x) dx。

微积分考试题库(附答案)

微积分考试题库(附答案)

85考试试卷(一)一、填空1.设c b a,,为单位向量,且满足0=++c b a ,则a c c b b a ⋅+⋅+⋅=2.xx e 10lim +→= ,xx e 10lim -→=,xx e 1lim →=3.设211)(x x F -=',且当1=x 时,π23)1(=F ,则=)(x F4.设=)(x f ⎰dt t x 2sin 0,则)(x f '=5.⎩⎨⎧>+≤+=0,0,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导,则=a ,=b二、选择1.曲线⎩⎨⎧==-0122z y x 绕x 轴旋转一周所得曲面方程为( )。

(A )12222=+-z y x ; (B )122222=--z y x ;(C )12222=--z y x ; (D )122222=+-z y x2.2)11(lim xx x x -∞→-+=( )。

(A )1(B )21e (C )0 (D )1-e3.设函数)(x f 具有连续的导数,则=+'⎰dx x f x f x )]()([( ) (A )c x xf +)(; (B )c x f x +')(; (C )c x f x +'+)(; (D )c x f x ++)(4.设)(x f 在],[b a 上连续,则在],[b a 上至少有一点ξ,使得( ) (A )0)(='ξf (B )ab a f b f f --=')()()(ξ86(C )0)(=ξf (D )ab dxx f a bf -=⎰)()(ξ5.设函数x x a y 3sin 31sin +=在x =3π处取得极值,则=a ( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 三、计算题1. 求与两条直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+==211t z t y x 及112211-=+=+z y x 都平行且过点(3,-2,1)的平面方程。

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第五章 一元函数积分学 例1:求不定积分sin3xdx ⎰解:被积函数sin3x 是一个复合函数,它是由()sin f u u =和()3u x x ϕ==复合而成,因此,为了利用第一换元积分公式,我们将sin3x 变形为'1sin 3sin 3(3)3x x x =,故有 '111sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333xdx x x dx xd x x uu C ===-+⎰⎰⎰13cos33u x x C =-+例2:求不定积分(0)a >解:为了消去根式,利用三解恒等式22sin cos 1t t +=,可令sin ()22x a t t ππ=-<<,则cos a t ==,cos dx a dt =,因此,由第二换元积分法,所以积分化为2221cos 2cos cos cos 2ta t a tdt a tdt a dt +=⨯==⎰⎰⎰2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++⎰⎰ 2(sin cos )2a t t t C =++ 由于sin ()22x a t t ππ=-<<,所以sin xt a=,arcsin(/)t x a =,利用直角三角形直接写出cos t a==邻边斜边,于是21arcsin(/)22a x a C =+ 例3:求不定积分sin x xdx ⎰分析:如果被积函数()sin f x x x =中没有x 或sinx ,那么这个积分很容易计算出来,所以可以考虑用分部积分求此不定积分,如果令u=x ,那么利用分部积分公式就可以消去x (因为'1u =)解令,sin u x dv xdx ==,则du dx =,cos v x =-.于是sin (cos )(cos )cos sin x xdx udv uv vdu x x x dx x x x C ==-=---=-++⎰⎰⎰⎰。

熟悉分部积分公式以后,没有必要明确的引入符号,u v ,而可以像下面那样先凑微分,然后直接用分部积分公式计算:sin cos (cos cos )cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=--=-++⎰⎰⎰例4:求微分方程21dyy dx-=的通解。

解:原方程为可分离变量的方程,移项分离变量得12dy dx y =+,两端积分得:12dy dx y =+⎰⎰,得11ln 212y x C +=+ 从而122111ln 21222C x e y x C y e +=+=±-。

因为122C e ±仍然是常数,把它记做C ,故原方程的通解为212xy Ce =-其中C 为任意常数例5:求微分方程22dy y x dx x+=的通解 解:这是一个一阶线性非齐次方程,通解公式为()()(())p x dx p x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰在本题中22(),()P x Q x x x==,由通解公式知 22()()2(())()dx dx p x dxp x dxx x y e Q x e dx C e x e dx C --⎰⎰⎰⎰=+=+⎰⎰ = 52ln 22ln 42211()()()5xxx ex edx C x dx C C x x -+=+=+⎰⎰即原方程的通解为:225C x y x =+例6:求定积分120x dx ⎰分析:设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,()F x 是在[,]a b 上的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰,这就是牛顿-莱布尼茨公式。

解:根据牛顿-莱布尼茨公式,因为33x 是2x 的一个原函数,所以原式有333120110103333x x dx ==-=⎰例7:求定积分80⎰分析:在应用定积分换元时应注意两点:(1) 换元必换限,上限对上限,下限对下限,即如果用()x t ϕ=把原来的变量换成了新变量t ,积分限也必须也必须换成新变量t 的积分限,并且原来下限对应的参数做下限,上限对应的参数做上限。

(2) 求出换元后的原函数()t φ后,不必像计算不定积分那样将它还原成x 的函数,只需将新变量的上、下限带入相减即可。

解 t =,即3x t =,于是23dx t dt =,并且当x=0时,t=0;当x=8时,t=2,因此由换元公式有228220003(1)1311t t dt dt t t -+==++⎰⎰⎰ =222000113(1)3[(1)(1)]11t dt t dt d t t t -+=-++++⎰⎰⎰=2223[()ln(1)]3ln 3002t t t -++=例8:计算定积分1x xe dx -⎰分析:定积分的分部积分其本质上与先用不定积分的分部积分法求原函数,再用牛顿-莱布尼茨计算定积分是一样的.因此,定积分的分部积分法的技巧和适应的函数类型与不定积分的分部积分法完全一样.解 令u x =,xdv e dx -=,则,x du dx v e -==-.故由分部积分公式得11110001()()()0x x x x xe dx x e e dx e e d x -----=---=---⎰⎰⎰11210x e e e --=--=- 例9 求反常积分x xe dx +∞-⎰分析: 设()f x 在[,)a +∞或(,]b -∞或(,)-∞+∞上连续,定义反常积分 ()lim ()ba ab f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰()lim()bbaa f x dx f x dx -∞→-∞=⎰⎰()()()f x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰若上述极限存在,则称相应的反常积分收敛,否则称其发散.解 因为000()()[()]0bbb b xx xx bx b xe dx xd e xee dx be e d x ------=-=--=-+-⎰⎰⎰⎰1()10bx b b b bee e--+=-+=- ,所以 01limlim (1)bxx bb b b xe dx xe dx e +∞--→+∞→+∞+==-⎰⎰11lim 1b b b e →+∞+=-=这里.极限1limb b b e →+∞+是∞∞型未定式,由洛必达法则易知其极限为0例10 计算由抛物线2y x =与2y x =,0,1x x ==所围阴影图形的面积分析:设函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续,并且()()([,])f x g x x a b ≥∈,则由曲线()y f x =与()y g x =以及,x a x b ==所围成的图形面积A为[()()]baA f x g x dx =-⎰解 联立两抛物线方程22y x x y ⎧=⎨=⎩,得交点(0,0),(1,1)O B ,并且由图形可知当[0,1]x ∈时均有2()()f x x x g x =>=,则所求图形面积为3123201211()[]0333A x x dx x x ==-=⎰第六章 多元函数微积分1.基本要求(1)了解多元函数的概念,了解二元函数的几何意义,知道求二元函数的定义域。

(2)了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶偏导数和全微分。

(3)了解二重积分的概念与基本性质,掌握二重积分的计算方法。

2.本章重点难点分析(1) 本章重点:二元函数的定义域、多元复合函数一阶偏导数和全微分以及二重积分的计算方法。

(2) 本章难点:一阶偏导数、全微分以及二重积分的计算。

3.本章典型例题分析例1. 求函数(x y) cos sin(x y)z 2+=的一阶偏导数. 解: 把y 看成常数, 对x 求导.)]2sin()[cos()]sin([)cos(2)cos(xy xy y y xy xy xy y xz-=⋅-⋅+=∂∂ 例2. 设,yxxy z +=求dz 解:根据全微分公式,先求两个偏导数yy x z 1+=∂∂;2yxx y z -=∂∂。

所以.)()1(2dy yxx dx y y dy y z dx x z dz -++=∂∂+∂∂=例3. 计算二重积分⎰⎰Dxyd σ,其中D 是由直线2,1==x y 及x y =所围成的闭区域.解 区域D 如图所示,可以将它看成一个x -型区域, 即 ()}1,21|,{x y x y x D ≤≤≤≤=.所以⎰⎰⎰⎰=xDxydy dx xyd 121σ⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅===213211289212121dx x x dxy x xy y例4. 计算二重积分⎰⎰Dxyd σ,其中D 是有抛物线x y=2及2-=x y 所围成的有界闭区域.解:如图,区域D 可以看成是y -型区域,它表示为()}2,21|,{2+≤≤≤≤-=y x y y y x D ,所以84522121221222=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰-+-+dy xy xydx dy xyd y y y yDσ. 一、选择题 1、=-⎰)d(e x x ().(A )c x x+-e(B )c x x x++--e e(C )c x x+--e(D )c x x x +---e e2、若)(x f 是)(x g 的原函数,则( ). (A )⎰+=C x g dx x f )()( (B )⎰+=C x f dx x g )()( (C )⎰+='C x f dx x g )()( (D )⎰+='C x g dx x f )()(3、若⎰+=c e x dx x f x 22)(,则=)(x f ( ).(A )xxe 22 (B )xe x 222 (C )xxe2 (D ))1(22x xe x+4、⎰=xdx 2sin ( ).(A )c x +2cos 21 (B )c x +2sin (C )c x +-2cos (D )c x +-2cos 215、=⎰-])(arctan [02xdt t dxd ( )。

(A )2arctant 211t+ (B )2)(arctan x - (C ) 2)(arctan x (D )2)(arctan t - 二、填空:1、已知)(x f 的一个原函数为x-e,则)(x f = .2、若)(x f '存在且连续,则='⎰])(d [x f . 3、若c x F x x f +=⎰)(d )(,则x f x x )de (e --⎰= .4、⎰=-dx xx 2)1( .5、⎰=-dx ctgx x x )(csc csc .6、⎰+dx x x xsin cos 2cos = .7、xdx e x sin cos ⎰= .8、已知)(x f 在),(∞+-∞上连续,且2)0(=f ,且设⎰=2sin )()(x xdt t f x F ,则(0)F '= .9、203sin limxx t dt x→=⎰.10、设20(2)4,()1f f x dx ==⎰,则20()xf x dx '=⎰.11、⎰=-21dx x.12、0cos 2=-'+'''x y y y x 的阶数是.13、0=+'''xy y y 的阶数是 . 四、求不定积分 (1)()⎰++1024sec 2dx x x x(2)⎰402tan πxdx(3)()⎰++dx xx x 222113 (4)()⎰-dx x 52sin (5)⎰-dx x x 22(6)⎰-2102411dx x(7)()dx xx e⎰13ln (8)()⎰-dx x x 221arcsin(9)⎰203cos sin πxdx x (10)dx x x x ⎰+--32222(11)⎰+80311dx x (12)⎰+2322)(a x dx(13) ⎰-224dx x (14)⎰20cos πxdx x(15)dx x x ⎰arctan 2(16)dx e x x ⎰102 ( 17) dx x e x ⎰sin (18)()⎰+-212132dx x x(19)⎰--1145xdx (20)()⎰edx x 12ln (21)求由曲线2x y =,直线x y x y 2,==所围成的图形的面积. (22)求由曲线2x y =与直线2+-=x y ,0=x 围成的平面图形面积.(23)33xy y x z -=, 求x ∂∂z ,y z∂∂. (24)x y z arctan =,求x ∂∂z ,y z∂∂.(25))(ln 2xy x z =, 求dz .(26)xyx z e =,求dz .(27)Dydxdy ⎰⎰,其中D是由直线,1,01y x y x y y ==-==及及所围成的平面区域.(28)dxdy x y xD ⎰⎰-+)(22,其中D 由直线x y y ==,2与x y 2=所围成.(29)dxdy xy D⎰⎰2其中D 由抛物线2x y =和直线x y =所围成. (30)解微分方程:0sin cos =+x y x dxdy. (31)解微分方程:0)1()1(=++-dy x dx y .(32)某厂生产某种商品q 千件的边际成本为36)(+='q q C (万元/千件),其固定成本是9800(万元).求(1)产量为多少时能使平均成本最低?(2)最低平均成本是多少?(33)已知某产品的边际成本为q q C 4)(='(万元/百台),边际收入为q q R 1260)(-='(万元/百台)。

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