微积分总复习题与答案

第五章 一元函数积分学 例1：求不定积分sin3xdx ⎰

解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ϕ==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1

sin 3sin 3(3)3x x x =

，故有 '

111

sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333

xdx x x dx xd x x u

u C ===-+⎰⎰⎰

1

3cos33

u x x C =-+

例2：求不定积分

(0)a >

解：为了消去根式，利用三解恒等式2

2

sin cos 1t t +=，可令sin ()2

2

x a t t π

π

=-

<<

，则

cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分

化为

2221cos 2cos cos cos 2

t

a t a tdt a tdt a dt +=⨯==⎰⎰⎰

2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++⎰⎰ 2

(sin cos )2

a t t t C =++ 由于sin ()2

2

x a t t π

π

=-

<<

，所以sin x

t a

=

，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写

出cos t a

==

邻边斜边，于是21arcsin(/)22a x a C =+ 例3：求不定积分sin x xdx ⎰

分析：如果被积函数()sin f x x x =中没有x 或sinx ，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x ，那么利用分部积分公式就可以消去x （因为'

1u =）

解令,sin u x dv xdx ==，则du dx =，cos v x =-.

于是sin (cos )(cos )cos sin x xdx udv uv vdu x x x dx x x x C ==-=---=-++⎰⎰⎰⎰

。熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号,u v ，而可以像下面那样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算：

sin cos (cos cos )cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=--=-++⎰⎰⎰

例4：求微分方程

21dy

y dx

-=的通解。 解：原方程为可分离变量的方程，移项分离变量得

12dy dx y =+，两端积分得：12dy dx y =+⎰⎰，得11

ln 212y x C +=+ 从而

122111ln 21222

C x e y x C y e +=+=±-。 因为122C e ±仍然是常数，把它记做C ，故原方程的通解为212

x

y Ce =-其中C 为任意常数

例5：求微分方程

22

dy y x dx x

+=的通解 解：这是一个一阶线性非齐次方程，通解公式为()()(())p x dx p x dx

y e Q x e dx C -⎰

⎰=+⎰

在本题中22

(),()P x Q x x x

=

=，由通解公式知 2

2

()()2(())()dx dx p x dx

p x dx

x x y e Q x e dx C e x e dx C --⎰⎰⎰

⎰=+=+⎰⎰ = 52ln 22ln 4

2211()()()5

x

x

x e

x e

dx C x dx C C x x -+=+=+⎰⎰

即原方程的通解为：2

25

C x y x =+

例6：求定积分

1

20

x dx ⎰

分析：设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，()F x 是在[,]a b 上的一个原函数，则

)()()(a F b F dx x f b

a

-=⎰

，这就是牛顿-莱布尼茨公式。

解：根据牛顿-莱布尼茨公式，因为33

x 是2

x 的一个原函数，所以原式有

3331

2

01101

03333x x dx ==-=⎰

例7：求定积分

8

0⎰

分析：在应用定积分换元时应注意两点：

（1） 换元必换限，上限对上限，下限对下限，即如果用()x t ϕ=把原来的变量换成了新

变量t ，积分限也必须也必须换成新变量t 的积分限，并且原来下限对应的参数做下限，上限对应的参数做上限。

（2） 求出换元后的原函数()t φ后，不必像计算不定积分那样将它还原成x 的函数，只需

将新变量的上、下限带入相减即可。

解 t =，即3x t =，于是2

3dx t dt =，并且当x=0时，

t=0；当x=8时，t=2，因此由换元公式有

228

22

0003(1)1311t t dt dt t t -+==++⎰⎰⎰ =2

220

001

13

(1)3[(1)(1)]11

t dt t dt d t t t -+

=-++++⎰

⎰⎰

=2

223[()ln(1)]3ln 3002

t t t -++=

例8：计算定积分

1

x xe dx -⎰

分析：定积分的分部积分其本质上与先用不定积分的分部积分法求原函数，再用牛顿-莱布

尼茨计算定积分是一样的．因此，定积分的分部积分法的技巧和适应的函数类型与不定积分的分部积分法完全一样．

解 令u x =，x

dv e dx -=，则,x du dx v e -==-．故由分部积分公式得

1

111000

1()()()0x x x x xe dx x e e dx e e d x -----=---=---⎰⎰⎰11210x e e e --=--=- 例９ 求反常积分

x xe dx +∞

-⎰

分析： 设()f x 在[,)a +∞或(,]b -∞或(,)-∞+∞上连续，定义反常积分 ()lim ()b

a a

b f x dx f x dx +∞

→+∞=⎰⎰

()lim

()b

b

a

a f x dx f x dx -∞→-∞=⎰

⎰

()()()f x dx f x dx f x dx +∞

+∞

-∞

-∞

=+⎰

⎰

⎰

若上述极限存在，则称相应的反常积分收敛，否则称其发散．

解 因为

00

0()()[()]0b

b

b b x

x x

x b

x b xe dx xd e xe

e dx be e d x ------=-=--=-+-⎰

⎰⎰⎰

1

()10b

x b b b be

e e

--+=-+=- ，