小学奥数共边模型
小学五六年级奥数学竞赛五大模型——共边模型、鸟头模型
大海传功等积变形五大模型——共边模型、鸟头模型共角模型(鸟头模型)两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
1.两个三角形，如果底边相等，高也相等，那么它们的面积相等。
拓展：夹在一组平行线间的同底三角形面积相等。
2.两个三角形，如果底相等，一个的高是另一个的n倍，那么它的面积也是另一个的n倍；两个三角形，如果高相等，一个的底是另一个的n倍，那么它的面积也是另一个的n倍。
DAE D EADD AE EAB C B C B CB如图,S:S (AB AC):(AD AE)△ABC△ADEC【例1】(★★)【例2】(★★★)如图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积为4.6平方厘米，BE=EF=FD，求三角形ABF、CDF、ABD、ACD的面积。
如图，由面积分别为2、3、5、7的四个三角形拼成一个大三角形，已知：S△ADE 2,S△AEC 5,S△BDF 7,S△BCF 3,那么三角形BEF的面积为___________。
1如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△OAB、△ABC、△ BCD、△CDE、△DEF的面积都等于1，则△DCF的面积等于。
等腰△ABC中，AB=AC=12cm，BD、DE、EF、FG把它的面积5等分，求AF、FD、DC、AG、GE、EB的长。
【例5】（★★★）【例6】(★★★★)已知四边形ABCD、BEFG、CHIJ为正方形，正方形ABCD边长为10，正方形BEFG边长为6，求阴影部分的面积。
E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若 AD=5， BC=7，AE=5 ， EB=3。
求阴影部分的面积。
2已知△DEF的面积为7 平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC 的面积。
1如图，在△ABC中，延长AB至D，使BD=AB，延长BC至E，使CE BC,2 F是AC的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？大海点睛大海点睛一、本讲重点知识回顾等积变形边比＝面积比二、本讲经典例题例2，例3，例5，例7，例8共角模型(鸟头模型)如图, △ABC△ADE3。
(精选)2021-2022学年人教版五年级下册奥数培优试题：共边模型(附答案)
2021-2022学年五年级下册奥数专训：共边模型姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图所示，四边形ABCD是边长为18的正方形，E、F、G分别是AB、BC、CD的三等分点，H是AD上任意一点，求图中的阴影部分面积。
2．如图所示，四边形ABCD是边长为8的正方形，四边形GIHJ 的面积为5，求图中阴影部分的面积。
3．如图所示，已知BD CDS=，求图中阴影部分=，2EC AE=，30ABC面积。
4．如图所示，在MON ∠的两边上分别有A 、C 、E 及B 、D 、F 六个点，且OAB 、,,,ABC BCD CDE DEF 的面积都等于1，求图中阴影部分面积。
5．分别延长四边形ABCD 的四个边，使得,,,AB BA BC CB CD DC DA AD ''''====，如图所示，若四边形ABCD 的面积为1，求四边形A B C D ''''的面积。
解析答案1．108【分析】图中阴影部分由不规则四边形BEHF 和HDG 组成，无法直接求面积，需要运用“分解法”，做辅助线转化为三角形，再根据三角形的底和高与正方形边长的数量关系：三角形面积＝底×高÷2，可知等高的两个三角形，面积比等于底之比，再根据三角形面积和正方形面积公式，知底和高均等于正方形边长的三角形的面积是正方形面积的一半，从而将题目中边的关系转化为面积关系，据此列式求解。
【解答过程】连接HC 、HB ，如图所示：1136BHF BHC ABCD S S S ∆∆==正方形 ()11331316BHE HDG ABH HDC ABH HDC ABCD S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆+=+=+=正方形 116613118183108BHF BHB HDGABCD ABCD ABCD S S S S S S S ∆∆∆=+++==⨯⨯==正方形正形正方形阴影方 答：图中阴影部分面积为108。
小学奥数平面几何五种面积模型(等积_鸟头_蝶形_相似_共边)
小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；S1S2A B两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；a b C D如右图 S1: S 2 a : b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 S△ACDS△BCD；反之，如果 S△ACD S△BCD，则可知直线 AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；三两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在△ABC 中，D,E分别是AB,AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC 上)，则 S△ABC: S△ADE( AB AC ) : ( AD AE)DAADEEBC B C图⑴图⑵三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：① S1: S2 S4: S3或者S1S3S2S4②AO:OC S1S2:S4S3DA S 1S 4S 2OS 3B C蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；1。
(完整版)小学奥数平面几何五种面积模型
小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙 漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型① 等底等高的两个三角形面积相等；② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图S 1：S a:b③ 夹在一组平行线之间的等积变形，如右图E A CD足BCD ；反之，如果S ACD S A BCD ，则可知直线AB 平行于CD .④ 等底等高的两个平行四边形面积相等 （长方形和正方形可以看作特殊的平 行四边形）；⑤ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相 等，面积比等于它们的咼之比. 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.如图在A ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图 ⑴（或D 在BA 的延长线上，E 在 AC 上）,贝S S AABC: S A ADE （AB AC ）： （AD AE ）图⑵任意四边形中的比例关系（“蝶形定理”）： ① S ：S 2S 4 ：S 3 或者 S iS 3 S 2S 4 ② AO:OC S i&: S 4S 3蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造Si S2aA BC DCD模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边 形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积 对应的对角线的比例关系.梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”）： ① S ：S a 2：b 2② S 1 : S 3 : S 2: S 4 a 2: b 2: ab: ab ; ③ S 的对应份数为a b 2 . 四、相似模型（一）金字塔模型①ADAE DE AB AC BC^②ADE:& ABC所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形 （只要其形状不改变, 不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如 下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似 比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半. 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工 具/、・ 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形. 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD , BE , CF 相交于同一点O ，那么上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因 为ABO 和ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称 为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用， 它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为ABO:S ACOBD:DC .二）沙漏模型AF AG ；AF 2:AG 2.三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径 .典型例题【例1】如图，正方形ABC 啲边长为6，AE 1.5，CF 2.长方形EFGH 勺面 积为 _______【解析】连接DE DF,则长方形EFG 啲面积是三角形DEF 面积的二倍. 三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，S ^ DEF 6 6 1.5 6 2 2 6 2 4.5 42 16.5 ,所以长方形 EFGH面积为33.【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等 （长方 形和正方形可以看作特殊的平行四边形）.三角形面积等于与它等底 等高的平行四边形面积的一半.证明：连接AG .（我们通过△ ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起）.F , 、,1、. ••在正方形 ABCD 中 , S A ABG21二S A ABG 2 S WABCD （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）8 8 10 6.4（厘米）.同理, S A ABG2SEFGB •二正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等.长方形的宽D GC【例2】长方形ABCD 的面积为36cm 2, E 、F 、G 为各边中点, 意一点，问阴影部分面积是多少？【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接 BH 、HC ，如下图:解法二：特殊点法.找H 的特殊点，把H 点与D 点重合,那么图形就可变成右图:【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ,将正方形的一组对边 二等分，另一组对边三等分，分别与 P 点连接，求阴影部分面积.可得：SEHB1S 2 AHB、S 1FHB — 2SCHB、 S DHG1SS DHC,S A BCD S AHBS CHB S CHD36即 S EHB SBHFSD HGAHBSCHBSCHD )1 23618；而S EHB S BHF S DHGS 阴影SEBF而S EBF12 BE BF - (- AB) (- BC) - 36 4.5 2 2 2 8S S S S 1 11 1 11 1S ABCDSAEDSBEFSCFD36— 3636362 2 2 2 2 2 2S 阴影H 为AD 边上任所以阴影部分的面积是: S 阴影 18S EBF18 4.5 13.5 这样阴影部分的面积就是DEF 的面积，根据鸟头定理，则有:【解析】（法1）特殊点法.由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，贝S阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的〕和1，所以阴影部分的面积为4 662（1 1） 15平方厘米.4 6（法2）连接PA、PC .由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1,同理可知4 左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的丄，所以阴6 影部分的面积为62（1 1） 15平方厘米.4 6【例3】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70, AB 8 , AD 15，四边形EFGO的面积为 _________ .【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积.由于长方形ABCD的面积为15 8 120 ,所以三角形BOC的面积为120 1 30，所以三角形AOE和DOG的面积之和为120 - 70 20 ；4 4又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120 - - 30，所以2 4四边形EFGO的面积为30 20 10 .另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积三角形AFC面积三角形BFD 面积白色部分的面积，而三角形AFC面积三角形BFD面积为长方形面积的一半，即60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部【解析】因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的 中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形 ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200.根据图形的容斥关系，有S ABC 鬲 即 400 S 丙 200 200 S AMHN ，所以 S WS ABN S AMCS AMHN.S AMHN,又S 阴影S ADFS 甲S 乙 S AMHN ，所以S阴影SFS^S丙SADF143 1 400 434分的面积，即120 70 50，所以四边形的面积为60 50 10 .【例4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400, D 、E 、F 分别为三边的中点， 已知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形HBC ）【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是 阴影部分的面积为 36, E 是AD 的三等分点，AE 2ED ，则【解析】如图，连接OE . 根据蝶形定理，ON : NDS OEN — S2S COE: SCDE12 SCAE ：S CDE1:1,所以OM : MA S BOE : S BAE1——S 巨形 ABCD3 411 362.7 .又 S OEDS BDE : S BAE 23 ， s OEAs 1S OEM 52S OED 6，所以阴影部分面积为:1:4，所以OEA •【例5】如图，已知CD 5 , DE 7 , EF 15 , FG 6，线段AB 将图形分成两部 分，左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG 的面 积是 . 连接AF , BD .根据题意可知，CF 5 7 15于是：28 S A DG2I S CBF 65； 28S ADG^IS CBF38可得s ADG 40 .故三角形ADG 的面积是40.【例6】如图在 △ ABC 中,D,E 分别是AB,AC 上的点，且AD: AB 2:5 , AE:AC 4:7 , S A ADE 16平方厘米，求△ ABC 的面积.【解析】连接 BE , s ADE ： S A ABE AD ：AB 2:5(2 4):(5 4),S^ ABE : S A ABC AE : AC 4 :7(45)： (7 5), 所以 ADE : S A ABC(2 4): (75), 设S A ADE 8份，则S A ABC 35份，S ^ADE 16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC 的面积是70平方厘米.由此我们得到一 个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角 (相等角 或互补角)两夹边的乘积之比.【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角 形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？【解析】所以，S BEF1527SCBF S BEC27 SCBF , S AEGS ADG , SAED28箱SADGGG27 ； DG 7 15 6 28 ；连接AD . •/ BE 3 , AE 6 …AB 3BE , S V ABD 3S VBDE 又 v BD DC 4 ,…S V ABC 2S VABD ，…S V ABC 6S VBDE ,【例7】如图在△ ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB: AD 5:2 , AE:EC 3:2 , ADE 12平方厘米，求 △ ABC 的面积.【解析】连接 BE , ADE ： ABE AD ： AB 2:5(2 3):(5 3)S ABE : S ^ ABC AE:AC 3: (32) (3 5): (3 2) 5 ,所以 S ^ADE : S ^ ABC (3 2) : 5 (3 2) 6:25，设 ADE 6 份，贝S $△ ABC 25 份， S SDE 12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ ABC 的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共 角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比…SvABC3SvABE又v AB 5AD…S vADESVABE5 SVABC15【巩固】如图,三角形 ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分, BE 3， AE 6，乙部分面积是甲部分面积的几倍?BD DC 4 ,【解析】【例8】如图，平行四边形ABCD , BE AB , CF 2CB , GD 3DC , HA 4AD ，平 行四边形ABCD 的面积是2 ,求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面 积比.【例9】如图所示的四边形的面积等于多少?【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形， 难以运用公式直接 求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三 角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新 图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形 的面积. 因此，原来四边形的面积为12 12 144.（也可以用勾股定理） 【例10】如图所示， ABC 中， ABC 90 , AB 3 , BC 5，以AC 为一边向 ABC 外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC 的面积.又S ^ABC 1，所以 S ^ FBE3 .同理口」彳得 S ^ GCF 8 , S ^ DHG 15 ,S ^ AEH8•以 S EFGH S ^ AEH S ^CFG 所以 SABCD2 1. SEFGH3618S ^ DHG S ^ BEF SABCD8 8 15+3+2【解析】连接AC 、BD .根据共角定理•.•在△ ABC 禾口 △ BFE 中， ABC 与 FBE 互补, • ABC AB BC 11 1S ^FBEBE BF 门 3 .36.HEE【解析】如图，将OAB 沿着O 点顺时针旋转90，到达OCF 的位置.由于 ABC 90 , AOC 90，所以 OAB OCB 180 .而 OCF OAB , 所以 OCF OCB 180，那么B 、C 、F 三点在一条直线上.由于OB OF , BOF AOC 90，所以BOF 是等腰直角三角形，且斜边BF 为5 3 8，所以它的面积为82 - 16 .4根据面积比例模型，OBC 的面积为16 510 .8【例11】如图，以正方形的边 AB 为斜边在正方形内作直角三角形 AEB 90 , AC 、BD 交于 O . 三角形OBE 的面积.【解析】如图，连接DE ,以A 点为中心，将ADE 顺时针旋转90到ABF 的位置. 那么 EAF EAB BAF EAB DAE 90，而 AEB 也是90，所以四边 形AFBE 是直角梯形，且 AF AE 3 ,所以梯形AFBE 的面积为：1 / 2\ 3 5 312( cm ).2又因为ABE是直角三角形，根据勾股定理，AB 2 AE 2 BE 2 3 2 52 34 ,所以S ABD那么S BDE 1 2-AB 217( cm 2). 2 /S ABDS ABE S ADES ABD S AF BE17 12 5( Cm ),所以S OBE1 2 s BDE2・5 ( cm 2).ABE , 5cm ,求已知AE 、BE 的长分别为3cm 、 ES AADE ADC1 2S2 3 S ABC1BF S A ABD3，所以FE S3【例12】如下图，六边形ABCDEF中，AB ED , AF CD , BC EF，且有AB平行于ED , AF平行于CD , BC平行于EF ,对角线FD垂直于BD ,已知FD 24 厘米，BD18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？【解析】如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，将DEF平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都重合到图中的AG 了 .这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为24 18 432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米.【例13】如图，三角形ABC的面积是1 ,BD:DC 1:2 , AD 与BE 交于点 F .E是AC的中点，点D在BC上，且则四边形DFEC的面积等于____________ ,1方法二：连接DE，由题目条件可得到S A ABD ABC【解析】方法一：连接CF,根据燕尾定理,设BDF如图所标所以S DCEF1 份，则S ADCF5 5ABC12 122份,S A ABF BD 1S A ABF AESA ACFDC 2，S△CBFECS A ABF3份，SA AEFS A EFC13份,3131 s 1 1 s 11 1s 1—S ^ DEB二 二S^ BEC二 二 二ABC 二,22 32 3 2 12而S A CDES A ABC .所以则四边形DFEC 的面积等于—.3 2312【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，EC 2DE ,F 是DG 的中点.阴 影部分的面积是多少平方厘米？平方厘米.【例14】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点0（如图所示）.如果三角形ABD的面积等于三角形BCD 的面积的1 ,且AO 2 , DO 3 ,那么CO 的长度3是DO 的长度的 _________ 倍.【解析】在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无 外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解 决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形 .看到题目中给出条件S/ABD : S/BCD 1:3，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法.又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得 到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H , CG 垂直BD 于G ,面积比转化为高 之比.再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果.请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从 而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题.解法一：T AO ：OC s ABD : s BDC 1： 3，二 OC 2 3 6，二 OC:OD 6:3 2:1 .解法二：作 AH BD 于H , CG BD 于G .S A DEF【解析】设S A DEF 1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示 S阴影职BCD12512•/ sABD3S BCD ，…AH 1 CG ，…sAOD1—s DOC3D E C13y【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4个三角形，其中三个三角形的面 积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵AG:GC ？【例15】如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于0点，A CEF 、△OEF 、△ODF 、 △ BOE 的面积依次是 2、4、4和6.求：⑴求厶OCF 的面积；⑵求△ GCE 的面积.【解析】⑴根据题意可知，A BCD 的面积为2 4 4 6 16，那么△ BCO 和CDO 的 面积都是16 2 8，所以A OCF 的面积为8 4 4 ；⑵由于A BCO 的面积为8, △ BOE 的面积为6,所以△ OCE 的面积为 8 6 2 ,根据 蝶 形定理EG :FG S COE : S COF 2:4 1: 2 , 所 以SGCE : SGCFEG:FG"2 ,那么S G CE1SSCEF1 2 21 23 3 •为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积.【例16】如图，长方形ABCD 中, BE:EC 2:3 , DF : FC 1:2，三角形DFG 的面积【解析】⑴根据蝶形定理, ⑵根据蝶形定理,因为M 是AD 边上的中点，所以AM : BC 1:2 ,根据梯形蝶形定理可以知 道S A AMG : S A ABG : S A MCG : S A BCG 1 ： (1 2) : (1 2) : 21: 2:2:4 , 设S △ AGM 1份，则S A MCD 1 2 3 份，所以正方形的面积为1 2 2 4 3 12份， s 阴影 2 2 4份，所以 s 阴影：S 正【解析】SVDEF【例17】（3 1 1）S丄乩（5 3 2）S长方形ABCD和8长方形ABCD因为 S VA ED 2 S 长方形 ABCD , AG : GF厘米，所以S/AFD1 2 12平方厘米.ABCD 的面积是72平方厘米.DF:FC 1:2110 因为5:1，所以S V AGD1 、SVAFD S长方形 ABCD, 所以长方形6如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米, 阴影部分的面积.5S VGDF10 平方M 是AD 边上的中点.求图中【解析】D F连接AE , FE . 因 为 BE:EC 2:3D F1: 3, 所以S阴影1平方厘米.方形【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米.【解析】连接DE ,根据题意可知BE: AD 1:2 ,根据蝶形定理得2S弟形（1 2）9（平方厘米），ECD 3（平方厘米），那么S WABCD 12（平方厘米）•BC:CE 3:2 ,三角形ODE的面积为6平方厘平方厘米.【解析】连接AC .由于ABCD是平仃四边形，BC:CE 3:2，所以CE::AD2:3 ,根据梯形蝶形定理，S VCOE:S AOC : S VDOE2:S VAOD 2: 23: 23: 324: 6:6:9,所以S VAO C6（平方厘米），SVAOD 9 （平方厘米），又【例18】已知ABCD是平行四边形,米.则阴影部分的面积是A DA DSVA BCS VA CD 6 9 15（平方厘米），阴影部分面积只为6 1521（平方厘米）.【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是______________ 平方厘米.【分析】连接AE .由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么 SOCD SOAE .2 根据蝶形疋理，S OCD S OAE S OCE S OAD 4 9 36，故 S OCD 36, 所以S 6（平方厘米）.【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所 示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是 _________ 平方厘米.【解析】连接AE .由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么根据蝶形定理，S OCD SOAE SOCE SOAD 2816，故 SOCD 16, 所以S OCD 4（平方厘米）.另解：在平行四边形ABED 中，S ADE - S Y ABED - 16 812 （平方厘米），2 2所以 SAOE SADE SAOD 128根据蝶形定理，阴影部分的面积为8 2 4 4（平方厘米）.【例19】如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中 3块的面积分别 为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为 ______________ 平方厘米.【解析】连接DE 、CF .四边形EDCF 为梯形，所以S EOD S V FOC,又根据蝶形定理，S EOD 4（平方厘米），S ECD 4 8 12（平方厘米）.那么长方形ABCD 的面 积为12 2 24平方厘米，四边形OFBC 的面积为24 5 2 8 9（平方厘OCDS OAE .S EOD S FOC S EOF S COD , 所以 S EOD SFOC S EOF S COD 28 16，所以米).【例20】如图，ABC 是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交 于K点.已知正方形DEFG 的面积48, AK:KB 1:3，贝卩BKD 的面积是 多少？【解析】由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形.在 梯形ADBC 中，BDK 和ACK 的面积是相等的.而AK :KB 1:3，所以ACK 的面积是ABC 面积的丄 丄，那么BDK 的面积也是 ABC 面积的-.1 3 44由于ABC 是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么 M 是BC 的中点，而且AM DE ，可见 ABM 和ACM 的面积都等于正方 形DEFG 面积的一半，所以 ABC 的面积与正方形DEFG 的面积相等，为 48. 那么BDK 的面积为48 - 12 .4【例21】下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是 AB , BC , CD , DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分 的面积之比是最简分数 印，那么，(m n)的值等于 ___________n【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观 察发现两个图中的空白部分面积都比较好求， 所以可以先求出空白部 分的面积，再求阴影部分的面积.如下图所示，在左图中连接EG .设AG 与DE 的交点为M . 左图中AEGD 为长方形，可知 AMD 的面积为长方形AEGD 面积的-，所4以三角形AMD 的面积为12 1 11.又左图中四个空白三角形的面积是2 48相等的，所以左图中阴影部分的面积为1 1 4丄.8 2B F C如上图所示，在右图中连接AC 、EF .设AF 、EC 的交点为N . 可知EF // AC 且AC 2EF .那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的1,所以三角形BEF 的面积为12 1 --，梯形AEFC 的面积为---. 4 2 4 82 8 8在梯形AEFC 中，由于EF:AC 1:2，根据梯形蝶形定理，其四部分的面 积比为：12：1 2:1 2: 22 1:2: 2: 4 ,所以三角形EFN 的面积为24，那么四边形BENF的面积为1 24 i .而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为 1 14〕.6 3 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为3:2 ,2 3m 3 n 2，那E 么 m n 3 2 5 .【例22】 如图， A ABC 中，DE , FG , BC 互相平行，AD DF FB , 贝y 足 ADE : S四边形DEGF:S 四边形FGCB ________________________________________ .【巩固】 如图， DE 平行BC ，且 AD 2 , AB 5 , AE 4，求 AC 的长.3 18 12 2 4【解析】设S AADE 1份，根据面积比等于相似比的平方,所以 S A ADE : S A AFG AD : AF 1:4 , 因此S △ AFG 4份， S A ABC 9份，S A ADE : SA ABCAD 2: AB 21:9 ,进而有Sg 边形DEGF3份, S 四边形FGCB 5份，所以S A ADE:乐边形DEGF :足边形FGCB1:3: 51111422A【解析】 由金字塔模型得 AD:AB AE: ACDE: BC 2:5 ,所以 AC 4 2 5 10【巩固】如图， A ABC 中，DE ， FG ，相平行，MN ，PQ ，BC 互AD DFFM MP PB , 则S A ADE : S 四 边形DEGF : S 四边形FGNM :s 四边形MNQP: S 四边形PQCB设 SA ADE1份，S A ADE : S A AFG AD 2 :AF 2 1: 4，因此 S A AFG4份，进而有 §四边形DEGF 3份，同理有S四边形FGNM5份，§四边形MNQP 7份 ,&边形PQCB 9份.【解析】 所以有S A ADE: S四边形DEGF : S 四边形FGNM : S 四边形MNQP : S 四边形PQCB1: 3: 5:7: 9【例23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4 , F 是BC 边的中点，E 是DC 边上 的点，且 DE:EC 1:3 ,BAF 与BE 相交于点G ，求S A ABG【解析】 【例24】FCM方法一：连接AE ，延长AF , 所以有AB:CM 沙 S ABGS A ABE方法AEFBF:FC 1:1，因此 CM 4 漏 -(411连2S A ABF : S AEFBG:GE4 2)AE, EF2 4DC 两条线交于点M ,构造出两个沙漏，再根据另 所 GB:GE 32 11 .4:7 ,所以SA ABG，根据题意有CE 3，AB: EM 4:7SA ABESA ABF蝶4 已知平行四边形ABCD 的面积是1 , 如图所示，点， BF 交EC 于M ，求 BMG 的面积.(4 42 4疋2) 32 F 是AB 、AD 的中【解析】 AD 的中点, 得 EF//BD【例25】 【解析】 FD:BC FH : HC 1:2 ,EB:CD BG:GD 1:2 所以 CH : CF GH : EF 并得G 、H 是BD 的三等分点， BG: EF BM : MF 2:3，所以 BM又因为BG 1BD ，所以S BMG3解法二：延长CE 交DA 于I 1:1，可得， BM : MF可得S AI:BC AE: EB BC: IF 2:3 , 2 1BMG —_S BDF5 3BM所以 2BF51 2 3 5BG2:3， GH ，所以1S22 5BFDABDBFD1 1S2 2S YA BCD130 °如右图， 从而可以确定 2 -BF ，5—S/ABCD41 BG - BD3丄 30M 的点的位置,（鸟头定理），如图，ABCD 为正方形，AM 形PQRS 的面积为多少?（法1）由AB //CD，有 MNPC DC，MQ QC 1MC，所以 PQ 级CNB DEFC 1cm 且 MN 2 cm ，请问四边所以PC 2PM，又器MB EC， 所以3MC i MC ，所以 S SPQR 占 S AMCF的i ，以 S SPQR1(112) (cm ).63(法 2)如图，连结 AE ，则 S ABE - 4 4 8 ( cm 2),2RB ERRB AB小 2小 216 2\而，所以2 , S ABR S ABE8( cm ).AB EFEF EF 33 3112MN MP而 S MBQ S ANS 3 43 ( cm )，因为 --- 22 DC PC 所以MP -MC ，则S MNP -24- -( cm 2)，阴影部分面积等于3233【例26】如右图，三角形 ABC 中，BD:DC 4:9 , CE: EA 4:3，求 AF : FB .【解析】根据燕尾定理得S A AOB ：S A AOC BD :CD 4:912:27（都有△ AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以 S A AOC : S A BOC 27:16AF : FB【点评】本题关键是把△ AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我 们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达 到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！ 【巩固】 如右图，三角形 ABC 中，BD:DC 3: 4 , AE:CE 5:6，求AF :FB .【解析】根据燕尾定理得S A AOB S AOC BD :CD 3： 4 15:20S A AOB : S A BOC AE : CE 5： 615:18(都有△ AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数) ^所以 S A AOC : S A BOC 20 ：1810:9AF : FBSABR S ANS SMBQ SMNP163 3 34 -(cm 2). 33S^ AOB : SA BOCAE : CE 3: 4 12:16【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC 2:3 , EA:CE 5: 4，求AF : FB .【解析】根据燕尾定理得 S ^AOB S AOC BD :CD 2:3 10:15S ^AOB : S ^ BOC AE : CE 5: 410:8（都有△ AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 S ^ AOC : S ^BOC 15:8 AF : FB【点评】本题关键是把△ AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我 们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达 到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例27】如右图，三角形 ABC 中，AF: FB BD: DC CE: AE 3:2，且三角形 ABC 的 面积是1，则三角形 ABE 的面积为 ____________ ，三角形AGE 的面积为 ________ ，三角形GHI 的面积为 ______ .AA的面积是1，求三角形ABC 的面积.【分析】连接AH 、BI 、CG . 由于CE: AE 3:2，所以AE 根据燕尾定理，S ACG : S ABG : S BCGSACG : S ABG 4:6:9，贝y 2 j4 _8 5 1995 ' 2AC ,5CD : BD■4 19S ACG同样分析可得S ACHEG : EB S ACG : S ACB 4:19 ,AG:GI : ID 10:5: 4 ,所以 S BIE ?S BAE @ 2 -1010 55【巩固】如右图，三角形ABC 中，故 S ABE2:32S S ABC 5SBCG : S ABG BCG19_9 19EG:GH:HBA S A S BIE 1919 AF : FB BD: DC S GHICE:EA 3:2，所以SACG : S ACH 4: 9,4:5:10 ,同样分析可得EG : EH1丄5 19 •CE: AE 3: 2，且三角形 GHIAH同理可知A CG和ABH 的面积也都等于ABC 面积的f ，所以阴影三角积的7倍.【解析】连接BG根据燕S A ABG : S A AGC BD : DC 3: 29:6得 S A BGC4（份）,ABG9（份）， S AGC : S A BGCAF : FB 3: 2 6:4则 S A ABC 19（份）， 因此呂GCSA ABC2所以- S A GHI19 6 619SA ABC同理连接AI 、CH 得4 2, ASA ABC19 SA ABC三角形GHI 的面积是1,所以三角形ABC 勺面积是 191919【巩固】 如图， ABC 中BD 2DA , CE 2EB , AF 2FC ，那么 影三角形面积的 ___________ 倍.ABC 的面积是阴【分析】如图，连接AI .根据燕尾定理，S BCI :S ACI BD : AD 2:1 , S BCI : S ABI CF : AF 1: 2 ,所以， S ACI : S BCI : S ABI1:2:4，那么，S BCI-S ABC -S1 2 47ABC •形的面积等于 ABC 面积的1 +，所以ABC 的面积是阴影三角形面 【巩固】如图在△ ABC 中,罟EAFB FAr 求x ABC 的面积的值.ED【解析】连接BG 设S A BGC 1份，根据燕尾定理S A AGC : S A BGC AF : FB 2：1 , S A ABG : S A AGC BD : DCS A ABG 4（份），则S AABC7（份），因此 仏 ？，同理连接AI 、CH 得S A ABC7S A ABH 2 S A BIC【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置 上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很 多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们 有对称法作辅助线•【例28】 如图，三角形 ABC 的面积是1 , BD DE EC , CF FG GA ，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少？【解析】设BG 与 AD 交于点P, BG 与 AE 交于点Q BF 与AD 交于点M BF 与AE 交于点N 连接CP CQ CM CN根据燕尾疋理， 5A ABP : S A CBP AG ： GC 1:2 , S A ABP : S A ACP BD : CD 1: 2 ,设1351 1 _511丄 15S 四边形MNED—S四边形NFCES四边形GFNQ3 35 70 423 21 42 63 21 6 425A ABC7 SA ABC2:1 ,得 S A AGC 2（份）,7，所以S A GHISA ABC S A ABP 1（份），则 S A ABC 122 5（份）,所以S A ABP S A AQG同理可得,1 ? 丄S A ABQ -, S A ABN 丄i而 S A ABG1所以S A APQ723同理, S A BPM2SS A BDM35 21,所以s四边形PQMN3570A A_2 1 3 7 5 35【巩固】如图，ABC 的面积为1,点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为84，那么四边形JK |H周围的图形的面积之和为S CGKJ 2 S AGI S ABE □ 2 2 1里，所以四边形JKIH8415 3 70的面积为1 61 2 .7070［例 29】右图，△ ABC 中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M , AF 与BG 交于N ,已知△ ABM 的面积比四边形FCGN 的 面积大7.2平方厘米，则△ ABC 的面积是多少平方厘米？【解析】连接CM 、CN .1S ； SA ABC，根据燕尾定理,SA ABM : SA CBMAG : GC 1:1，SA ABM : SA ACMBD :CD1:3，所以再根据燕尾定理,S ABN : S A CBNAG :GC 1:1，所以2 ABN : S A FBNSA CBN : SA FBN4:3，所以 AN : NF4:3，那么邑遊SA AFC边的三等分点，那么四边形 JKIH 的面积是多少?【解析】连接CK 、CI 、CJ . 根据燕尾定理， S ACK : S ABK 所以 S ACK : S ABK : S CBK 类似分析可得S AGICD:BD 1 :2 ， S ABK : S CBK1：2：4，那么 S ACK11，12 4 72 AG :CG 1:2， -S 3S AGK1ACK21那么,15 SCBJAF :CF2 :1S CGKJ1 1 17 — ——4 21 84，S ABJ ： S ACJ BD:CD 2:1，可得S ACJABM又 S【例30】如图，面积为I 的三角形ABC 中, D E 、F 、G H I 分别是AB BC CA 的三等分点，求阴影部分面积.【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理 吧!令BI 与CD 的交点为M AF 与CD 的交点为N, BI 与AF 的交点为P, BI 与CE 的交点为Q 连接AM BN CP⑴求 S 四边形ADMI : 在A ABC 中，根据燕尾定理,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ ABC 面积的£⑵求s 五边形DNPQE:在A ABC 中，根据燕尾定理同理另外两个五边形面积是△ ABC 面积所以&CGNS A AFC 75 1S A ABC7 4根据题意，有5S A ABC 28S A ABCS A ABC •287.2，可得 S A ABC336 （平方厘米）S A ABM : S A CBMAI : CI1:2 S A ACM : S A CB MAD : BD 1: 2设 S A ABM 则 S A CBM2 （份）,S A ACM1（份）,S A ABC4（份）,所以S A ABM S A ACM —S A ABC, 4所以S A ADM—S A ABM3SA ABC , SA AIM12—S 12△ ABC 5 所以窃边形ADMI^'）S A ABC1S AABC,SA ABN : SA ACN BF: CF 1: :2 S A ACN : S A BCNAD : BD 1:2,所以 S A ADN — S A ABN 1 1sS A ABC 1 S A ABC,同理S A 在3 A ABC 3 7 中21 1根据SA ABP : SA ACPBF:CF 1: 2 , S A ABP : S A CBPAI :CI 1:2所以S A ABP 1 S A ABC燕八S五边形DNPQESA ABP SA ADNSA BEP5 21丄S△ ABC21^S A AB Cs阴影11 33 13105705BEQ — S A ABC21【例31】如图，面积为I 的三角形ABC 中, D E 、F 、G H I 分别是AB BG CA 的三等分点，求中心六边形面积.【解析】设深黑色六个三角形的顶点分别为 N R 、P 、 在△ ABC 中根据燕尾定理，S AABR : S AACR BG : CG.S \ABR:S 4CBRAI : C I 1: 2所以 S\ ABR2S AABC 5 同理S2SSS2SA CQBS \ ABC777所以 S\ RQS2 1 -2 2 1 ,同理 S A MNP17 7 7 77根据容斥原和上题结果S 六边形11 1317 7 70 10课后练习：练习1.已知△ DEF 的面积为7平方厘米，BE CE,AD 2BD,CF 3AF ，求△ ABC 的 面积.【解析】S A BDE :S A ABC(BD BE): (BA BC)(1 1):(2 3) 1:6 , S A CEF:S A ABC (CE CF):(CB CA)(1 3):(2 4) 3:8S\ ADF :S A ABC (AD AF): (AB AC)(2 1):(3 4) 1:6设 S A ABC 24 份，则S A BDE 4份， S A ADF 4份，S A CEF9份，S A DEF24 4 4 9 7份，恰好是7平方厘米，所以$△ ABC 24平方厘米练习2.如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB , CB BF , DC CG , HD DA ，求四边形ABCD 的面积.S 、M Q 连接CR2 :1 ,练习3.正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点, 四边形BGHF 的面积是 平方厘米.而EH :HC E M :CD ( 1 — AB 2AB) :CD 3: 2 , 而CF 1 BC 所以 S CHF 1 2 S BCE 1 S BC 2112 55S BCE1 AB BC 120 302 241177 S四边形BGHF S EBC 上EB C -S EBC —S EBC351515BM : DC MF: FD BF : FC3014.1:1 ,得 CH -CE , 5 连接BD .由共角 定理得 S A BCD : S ACGF (CD CB) : (CGS \ CGF2S^ CDB同理A BD :S A AHE1: 2，即 S A AHE2SA ABD所以AHE SA CGF2(SA CBDSA ADB )2S^边形 ABCD连接AC , 同理可以得到 S\ DHGS A BEF2S 四边形 ABCDS四边形EFGHS A AHECGFS A HDG S A BEF S四边形 ABCD 5S 四边形 ABCD所以S 四边形ABCD 66 5 13.2平方米EBG 和 【解析】欲求四边形BGHF 的面积须求出 由题意可得到： EG:GC EB:CD 1:2 , 将AB 、DF 延长交于M 点，可得： CHF 的面积.所以可得：S EBG〕S BCE3本题也可以用蝶形定理来做, FH : HD ），同样也能解出. 连接 EF ，确定H 的位置（也就是 HG BFE【解析】CF) 1:2 ,即DC。
小学奥数平面几何五种面积模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)
小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边）目标:熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型与沙漏模型),共边（含燕尾模型与风筝模型), 掌握五大面积模型得各种变形 知识点拨一、等积模型①等底等高得两个三角形面积相等;②两个三角形高相等,面积比等于它们得底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们得高之比;如右图③夹在一组平行线之间得等积变形,如右图; 反之，如果,则可知直线平行于、④等底等高得两个平行四边形面积相等(长方形与正方形可以瞧作特殊得平行四边形);⑤三角形面积等于与它等底等高得平行四边形面积得一半；⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们得底之比；两个平行四边形底相等,面积比等于它们得高之比、 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形、 共角三角形得面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边得乘积之比、 如图在中,分别就就是上得点如图 ⑴(或在得延长线上,在上), 则EDCBA图⑴ 图⑵三、蝶形定理任意四边形中得比例关系(“蝶形定理”):①或者②蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形得面积问题得一个途径、通过构造模型,一方面可以使不规则四边形得面积关系与四边形内得三角形相联系;另一方面，也可以得到与面积对应得对角线得比例关系、 梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”):DC BA S 4S 3S 2S 1O DCBA A BC DO ba S 3S 2S 1S 4① ②；③得对应份数为、 四、相似模型(一）金字塔模型 (二） 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①; ②、所谓得相似三角形，就就就是形状相同,大小不同得三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关得常用得性质及定理如下:⑴相似三角形得一切对应线段得长度成比例，并且这个比例等于它们得相似比；⑵相似三角形得面积比等于它们相似比得平方；⑶连接三角形两边中点得线段叫做三角形得中位线、三角形中位线定理:三角形得中位线长等于它所对应得底边长得一半、 相似三角形模型,给我们提供了三角形之间得边与面积关系相互转化得工具、在小学奥数里，出现最多得情况就就是因为两条平行线而出现得相似三角形、五、共边定理(燕尾模型与风筝模型） 在三角形中,,，相交于同一点,那么、 上述定理给出了一个新得转化面积比与线段比得手段,因为与得形状很象燕子得尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理、该定理在许多几何题目中都有着广泛得运用,它得特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中得O FEDCBA三角形面积对应底边之间提供互相联系得途径、 典型例题【例 1】如图,正方形ABCD 得边长为６，１、5,2、长方形ＥFGH 得面积为 、【解析】 连接DE ，ＤF,则长方形EFGH 得面积就就是三角形ＤEF 面积得二倍、三角形DEF 得面积等于正方形得面积减去三个三角形得面积, ,所以长方形E ＦＧH 面积为33、【巩固】如图所示,正方形得边长为厘米，长方形得长为厘米,那么长方形得宽为几厘米？【解析】 本题主要就就是让学生会运用等底等高得两个平行四边形面积相等(长方形与正方形可以瞧作特殊得平行四边形)、三角形面积等于与它等底等高得平行四边形面积得一半、 证明:连接、（我们通过把这两个长方形与正方形联系在一起)、 ∵在正方形中,边上得高,∴（三角形面积等于与它等底等高得平行四边形面积得一半) 同理,、∴正方形与长方形面积相等、 长方形得宽(厘米）、【例 2】 长方形得面积为３6,、、为各边中点,为边上任意一点，问阴影部分面积就就是多少？E【解析】 解法一：寻找可利用得条件,连接、,如下图：_H_G_ F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_ F_G_H_ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D_ A _ B_ G_ C _ E_ F_ DE可得:、、,而 即; 而，、所以阴影部分得面积就就是:解法二：特殊点法、找得特殊点，把点与点重合,那么图形就可变成右图:GE (H )这样阴影部分得面积就就就是得面积,根据鸟头定理,则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影、【巩固】在边长为6厘米得正方形内任取一点,将正方形得一组对边二等分,另一组对边三等分，分别与点连接,求阴影部分面积、【解析】 （法1）特殊点法、由于就就是正方形内部任意一点,可采用特殊点法,假设点与点重合,则阴影部分变为如上中图所示，图中得两个阴影三角形得面积分别占正方形面积得与,所以阴影部分得面积为平方厘米、(法２）连接、、由于与得面积之与等于正方形面积得一半，所以上、下两个阴影三角形得面积之与等于正方形面积得，同理可知左、右两个阴影三角形得面积之与等于正方形面积得,所以阴影部分得面积为平方厘米、 【例 3】 如图所示,长方形内得阴影部分得面积之与为7０,,,四边形得面积为 、B【解析】 利用图形中得包含关系可以先求出三角形、与四边形得面积之与,以及三角形与得面积之与,进而求出四边形得面积、由于长方形得面积为,所以三角形得面积为,所以三角形与得面积之与为;又三角形、与四边形得面积之与为,所以四边形得面积为、另解：从整体上来瞧，四边形得面积三角形面积三角形面积白色部分得面积,而三角形面积三角形面积为长方形面积得一半,即6０,白色部分得面积等于长方形面积减去阴影部分得面积,即,所以四边形得面积为、【巩固】如图，长方形得面积就就是36,就就是得三等分点,,则阴影部分得面积为 、ABAB【解析】 如图，连接、根据蝶形定理，,所以;,所以、又，,所以阴影部分面积为:、 【例 4】 已知为等边三角形,面积为400,、、分别为三边得中点，已知甲、乙、丙面积与为143，求阴影五边形得面积、(丙就就是三角形)B【解析】 因为、、分别为三边得中点,所以、、就就是三角形得中位线,也就与对应得边平行，根据面积比例模型,三角形与三角形得面积都等于三角形得一半,即为200、根据图形得容斥关系,有，即,所以、又,所以、【例 5】如图,已知,,,,线段将图形分成两部分，左边部分面积就就是38,右边部分面积就就是６5,那么三角形得面积就就是、【解析】连接，、根据题意可知,；;所以,，，,,于就就是:;;可得、故三角形得面积就就是40、【例 6】如图在中,分别就就是上得点,且,,平方厘米,求得面积、【解析】连接,,,所以,设份,则份,平方厘米,所以份就就是平方厘米,份就就就是平方厘米,得面积就就是平方厘米、由此我们得到一个重要得定理，共角定理:共角三角形得面积比等于对应角(相等角或互补角）两夹边得乘积之比、【巩固】如图,三角形中,就就是得5倍，就就是得3倍,如果三角形得面积等于1，那么三角形得面积就就是多少?【解析】连接、∵∴又∵∴,∴、【巩固】如图,三角形ＡBＣ被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,,,,乙部分面积就就是甲部分面积得几倍？【解析】连接、∵,∴,又∵,∴,∴,、【例 7】如图在中,在得延长线上，在上,且,,平方厘米,求得面积、EDCBAEDCB A【解析】 连接,,所以,设份,则份,平方厘米,所以份就就是平方厘米，份就就就是平方厘米,得面积就就是平方厘米、由此我们得到一个重要得定理,共角定理：共角三角形得面积比等于对应角(相等角或互补角）两夹边得乘积之比【例 8】 如图,平行四边形,，,,，平行四边形得面积就就是, 求平行四边形与四边形得面积比、HGAB CD EFHGAB CDEF【解析】 连接、、根据共角定理 ∵在与中，与互补，∴、又,所以、 同理可得,,、所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△、 所以、【例 9】 如图所示得四边形得面积等于多少？DB13131212【解析】 题目中要求得四边形既不就就是正方形也不就就是长方形,难以运用公式直接求面积、我们可以利用旋转得方法对图形实施变换:把三角形绕顶点逆时针旋转,使长为得两条边重合,此时三角形将旋转到三角形得位置、这样,通过旋转后所得到得新图形就就是一个边长为得正方形,且这个正方形得面积就就就是原来四边形得面积、因此,原来四边形得面积为、(也可以用勾股定理)【例 10】如图所示，中,，，,以为一边向外作正方形,中心为，求得面积、【解析】如图,将沿着点顺时针旋转,到达得位置、由于,,所以、而,所以,那么、、三点在一条直线上、由于，,所以就就是等腰直角三角形,且斜边为,所以它得面积为、根据面积比例模型,得面积为、【例 11】如图，以正方形得边为斜边在正方形内作直角三角形，,、交于、已知、得长分别为、,求三角形得面积、F【解析】如图,连接,以点为中心，将顺时针旋转到得位置、那么,而也就就是，所以四边形就就是直角梯形，且,所以梯形得面积为:(）、又因为就就是直角三角形,根据勾股定理,，所以（）、那么(）,所以（)、【例 12】如下图,六边形中,,,,且有平行于，平行于,平行于,对角线垂直于,已知厘米,厘米,请问六边形得面积就就是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将平移使得与重合,将平移使得与重合,这样、都重合到图中得了、这样就组成了一个长方形,它得面积与原六边形得面积相等,显然长方形得面积为平方厘米,所以六边形得面积为平方厘米、【例 13】 如图,三角形得面积就就是,就就是得中点,点在上,且,与交于点、则四边形得面积等于 、ABCDEF【解析】 方法一：连接,根据燕尾定理,，,设份，则份,份,份，如图所标 所以方法二:连接，由题目条件可得到， ，所以, ，而、所以则四边形得面积等于、【巩固】如图,长方形得面积就就是平方厘米,，就就是得中点、阴影部分得面积就就是多少平方厘米？x yyx ABC D EFG E D CBA【解析】 设份,则根据燕尾定理其她面积如图所示平方厘米、【例 14】 四边形得对角线与交于点(如图所示)、如果三角形得面积等于三角形得面积得,且,,那么得长度就就是得长度得_＿_＿_____倍、ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中,四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:⑴利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形、瞧到题目中给出条件,这可以向模型一蝶形定理靠拢,于就就是得出一种解法、又观察题目中给出得已知条件就就是面积得关系，转化为边得关系,可以得到第二种解法，但就就是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于就就是可以作垂直于,垂直于,面积比转化为高之比、再应用结论:三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果、请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝶形定理得优势,从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题、解法一：∵，∴,∴、 解法二:作于,于、 ∵,∴,∴, ∴,∴,∴、【巩固】如图,四边形被两条对角线分成４个三角形,其中三个三角形得面积已知, 求:⑴三角形得面积；⑵？B【解析】 ⑴根据蝶形定理,,那么；⑵根据蝶形定理，、【例 15】 如图,平行四边形得对角线交于点,、、、得面积依次就就是2、4、４与6、求：⑴求得面积;⑵求得面积、OGF EDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，得面积为,那么与得面积都就就是,所以得面积为;⑵由于得面积为８,得面积为6,所以得面积为, 根据蝶形定理,,所以, 那么、【例 16】 如图,长方形中，,,三角形得面积为平方厘米，求长方形得面积、ABCD EF GABCD EF G【解析】 连接,、因为,，所以、因为,,所以平方厘米,所以平方厘米、因为，所以长方形得面积就就是平方厘米、【例 17】 如图,正方形面积为平方厘米,就就是边上得中点、求图中阴影部分得面积、CBA【解析】 因为就就是边上得中点，所以,根据梯形蝶形定理可以知道,设份，则 份,所以正方形得面积为份,份，所以,所以平方厘米、 【巩固】在下图得正方形中，就就是边得中点，与相交于点,三角形得面积为1平方厘米,那么正方形面积就就是 平方厘米、ABCDEF【解析】 连接,根据题意可知,根据蝶形定理得（平方厘米),(平方厘米),那么(平方厘米)、【例 18】 已知就就是平行四边形,,三角形得面积为6平方厘米、则阴影部分得面积就就是 平方厘米、BB【解析】连接、由于就就是平行四边形,,所以,根据梯形蝶形定理,,所以（平方厘米），(平方厘米)，又（平方厘米）,阴影部分面积为(平方厘米）、【巩固】右图中就就是梯形,就就是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米),阴影部分得面积就就是平方厘米、BB【分析】连接、由于与就就是平行得,所以也就就是梯形,那么、根据蝶形定理,，故，所以（平方厘米)、【巩固】右图中就就是梯形,就就是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米）,阴影部分得面积就就是平方厘米、BB【解析】连接、由于与就就是平行得,所以也就就是梯形，那么、根据蝶形定理,,故,所以(平方厘米)、另解:在平行四边形中,(平方厘米）,所以(平方厘米）,根据蝶形定理,阴影部分得面积为(平方厘米）、【例 19】如图，长方形被、分成四块,已知其中3块得面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下得四边形得面积为_＿_____＿__＿平方厘米、?852O A B C DEF?852O A BCD EF【解析】 连接、、四边形为梯形,所以,又根据蝶形定理，,所以，所以(平方厘米),(平方厘米)、那么长方形得面积为平方厘米，四边形得面积为(平方厘米)、【例 20】 如图,就就是等腰直角三角形，就就是正方形,线段与相交于点、已知正方形得面积４８,,则得面积就就是多少？BB【解析】 由于就就是正方形,所以与平行,那么四边形就就是梯形、在梯形中,与得面积就就是相等得、而,所以得面积就就是面积得，那么得面积也就就是面积得、由于就就是等腰直角三角形,如果过作得垂线,为垂足,那么就就是得中点，而且，可见与得面积都等于正方形面积得一半,所以得面积与正方形得面积相等,为4８、 那么得面积为、【例 21】 下图中,四边形都就就是边长为１得正方形,、、、分别就就是，,,得中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分得面积之比就就是最简分数,那么,得值等于 、BEE【解析】 左、右两个图中得阴影部分都就就是不规则图形,不方便直接求面积,观察发现两个图中得空白部分面积都比较好求,所以可以先求出空白部分得面积,再求阴影部分得面积、如下图所示，在左图中连接、设与得交点为、左图中为长方形,可知得面积为长方形面积得,所以三角形得面积为、又左图中四个空白三角形得面积就就是相等得,所以左图中阴影部分得面积为、BEE如上图所示，在右图中连接、、设、得交点为、可知∥且、那么三角形得面积为三角形面积得，所以三角形 得面积为,梯形得面积为、在梯形中,由于,根据梯形蝶形定理,其四部分得面积比为：,所以三角形得面积为,那么四边形得面积为、而右图中四个空白四边形得面积就就是相等得,所以右图中阴影部分得面积为、那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为，即, 那么、【例 22】 如图， 中，,,互相平行,,则 、【解析】 设份，根据面积比等于相似比得平方，所以,,因此份，份,进而有份,份,所以【巩固】如图,平行,且,,,求得长、【解析】 由金字塔模型得，所以【巩固】如图, 中，,，,,互相平行,,则、 【解析】 设份,,因此份,进而有份，同理有份,份,份、 所以有 【例 23】 如图,已知正方形得边长为,就就是边得中点,就就是边上得点,且,与相交于点,求Q EGNM F PAD CBGFAEDC BM GFAEDCB GFAEDCB【解析】 方法一:连接,延长,两条线交于点,构造出两个沙漏,所以有,因此,根据题意有，再根据另一个沙漏有,所以、方法二:连接，分别求,,根据蝶形定理,所以、 【例 24】 如图所示,已知平行四边形得面积就就是1，、就就是、得中点, 交于，求得面积、A【解析】 解法一：由题意可得,、就就是、得中点,得，而，所以,并得、就就是得三等分点，所以，所以 ,所以,;又因为,所以、解法二:延长交于,如右图,可得，,从而可以确定得点得位置, ，,(鸟头定理), 可得【例 25】 如图，为正方形,且,请问四边形得面积为多少?CACA【解析】 (法)由，有,所以，又,所以,所以,所以占得， 所以、(法)如图，连结,则(， 而,所以,（）、而(),因为,所以,则（）,阴影部分面积等于 ()、【例 26】 如右图,三角形中,,,求、【解析】 根据燕尾定理得(都有得面积要统一,所以找最小公倍数) 所以【点评】本题关键就就是把得面积统一,这种找最小公倍数得方法,在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它得转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤得巨大力量！【巩固】如右图,三角形中,,,求、【解析】 根据燕尾定理得(都有得面积要统一,所以找最小公倍数) 所以【巩固】如右图,三角形中,,,求、【解析】 根据燕尾定理得(都有得面积要统一，所以找最小公倍数) 所以【点评】本题关键就就是把得面积统一，这种找最小公倍数得方法,在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它得转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤得巨大力量!【例 27】 如右图，三角形中,,且三角形得面积就就是,则三角形得面积为_____＿,三角形得面积为_____＿＿_,三角形得面积为__＿___、I HGFEDCBAI HG FEDCBA【分析】 连接、、、由于,所以，故;根据燕尾定理，,,所以，则,;那么;同样分析可得，则,,所以,同样分析可得，所以,、【巩固】如右图，三角形中，，且三角形得面积就就是,求三角形得面积、【解析】连接BG,份根据燕尾定理，,得(份),（份)，则(份),因此,同理连接ＡI、CH得，,所以三角形GHＩ得面积就就是1，所以三角形ABC得面积就就是1９【巩固】如图,中,,，那么得面积就就是阴影三角形面积得倍、B CB【分析】如图，连接、根据燕尾定理,,，所以,,那么,、同理可知与得面积也都等于面积得,所以阴影三角形得面积等于面积得,所以得面积就就是阴影三角形面积得7倍、【巩固】如图在中，,求得值、【解析】连接BG,设１份，根据燕尾定理,，得(份),(份),则(份）,因此，同理连接ＡI、CH得,,所以【点评】如果任意一个三角形各边被分成得比就就是相同得，那么在同样得位置上得图形,虽然形状千变万化,但面积就就是相等得,这在这讲里面很多题目都就就是用“同理得到”得,即再重复一次解题思路,因此我们有对称法作辅助线、【例 28】如图,三角形得面积就就是,，，三角形被分成部分,请写出这部分得面积各就就是多少?NMQ P G FEDC BA【解析】 设BG 与AD 交于点Ｐ,BG 与AE 交于点Q ,ＢＦ与AD 交于点M ,BF 与AE交于点N 、连接CP ,CQ ,CM ,C Ｎ、 根据燕尾定理，，,设(份)，则（份）,所以 同理可得,,,而,所以，、 同理,，所以,,,【巩固】如图,得面积为１，点、就就是边得三等分点,点、就就是边得三等分点,那么四边形得面积就就是多少？K J IHABC D EF GKJI HABCD EFG【解析】 连接、、、根据燕尾定理，,,所以,那么,、 类似分析可得、 又,,可得、 那么，、根据对称性,可知四边形得面积也为,那么四边形周围得图形得面积之与为,所以四边形得面积为、 【例 29】 右图,中,就就是得中点，、、就就是边上得四等分点,与交于,与交于,已知得面积比四边形得面积大平方厘米,则得面积就就是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BC D EF【解析】 连接、、根据燕尾定理，,，所以;再根据燕尾定理,,所以,所以,那么,所以、 根据题意,有,可得(平方厘米)【例 30】 如图,面积为l 得三角形AB Ｃ中,Ｄ、E 、Ｆ、G 、H 、Ｉ分别就就是AB 、ＢC 、C Ａ 得三等分点,求阴影部分面积、GC BAGCBA【解析】 三角形在开会,那么就好好利用三角形中最好用得比例与燕尾定理吧!令BI 与ＣＤ得交点为M ，AF 与CD 得交点为N ,BI 与A Ｆ得交点为Ｐ,BI 与CE 得交点为Q ,连接AM 、BN 、ＣＰ ⑴求：在中,根据燕尾定理， 设(份)，则(份)，(份)，(份), 所以，所以,, 所以,同理可得另外两个顶点得四边形面积也分别就就是面积得 ⑵求:在中,根据燕尾定理, 所以,同理在中,根据燕尾定理，所以,所以1111152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形 同理另外两个五边形面积就就是面积得，所以【例 31】 如图,面积为l 得三角形ABC 中,D 、Ｅ、F 、Ｇ、H 、I 分别就就是AB 、B Ｃ、ＣA 得三等分点,求中心六边形面积、CBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形得顶点分别为N 、R 、Ｐ、Ｓ、M 、Ｑ，连接C Ｒ在中根据燕尾定理,,所以,同理， 所以,同理根据容斥原理，与上题结果 课后练习: 练习1. 已知得面积为平方厘米，，求得面积、【解析】 ,设份,则份,份,份,份,恰好就就是平方厘米,所以平方厘米 练习2. 如图,四边形得面积就就是平方米,,,,,求四边形得面积、H GFED CB AAB CDEFGH【解析】 连接、由共角定理得,即同理,即所以连接，同理可以得到5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以平方米练习3. 正方形得面积就就是１20平方厘米,就就是得中点,就就是得中点，四边形得面积就就是 平方厘米、H GFEDCBAMH GFEDCBA【解析】 欲求四边形得面积须求出与得面积、由题意可得到:,所以可得： 将、延长交于点,可得: ,而,得, 而，所以、,连接,确定得位置(也就就就是),同样也能解出、练习4. 如图，已知,,，,则 、DCEBABCA'C'EDA【解析】 将三角形绕点与点分别顺时针与逆时针旋转,构成三角形与，再连接,显然,，，所以就就是正方形、三角形与三角形关于正方形得中心中心对称，在中心对称图形中有如下等量关系: ;;、所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=、练习5. 如图,正方形得面积就就是平方厘米,就就是得中点,就就是得中点，四边形 得面积就就是___＿_平方厘米、EDC B EDCB【解析】 连接,根据沙漏模型得,设份，根据燕尾定理份,份,因此份,，所以(平方厘米）、练习6. 如图,中,点就就是边得中点，点、就就是边得三等分点，若得面积为1,那么四边形得面积就就是___＿＿＿＿__、F ABCDEM NFABCDEMN【解析】 由于点就就是边得中点，点、就就是边得三等分点,如果能求出、、三段得比，那么所分成得六小块得面积都可以求出来,其中当然也包括四边形得面积、 连接、、根据燕尾定理，，而,所以，那么,即、 那么,、另解:得出后,可得,则、练习7. 如右图,三角形中，,且三角形得面积就就是,求角形 得面积、【解析】 连接BG ,12份根据燕尾定理，,得(份),(份),则(份)，因此, 同理连接ＡI 、CH 得，,所以三角形ABC 得面积就就是,所以三角形G ＨI 得面积就就是月测备选【备选1】按照图中得样子,在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形、已知甲三角形两条直角边分别为与,乙三角形两条直角边分别为与,求图中阴影部分得面积、【解析】 如右图,我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之与、所以阴影部分面积为:【备选2】如图所示，矩形得面积为３６平方厘米，四边形得面积就就是3平方厘米,则阴影部分得面积就就是平方厘米、【解析】因为三角形面积为矩形得面积得一半,即1８平方厘米，三角形面积为矩形得面积得,即9平方厘米,又四边形得面积为3平方厘米,所以三角形与三角形得面积之与就就是平方厘米、又三角形与三角形得面积之与就就是矩形得面积得一半,即18平方厘米,所以阴影部分面积为(平方厘米)、【备选3】如图,已知,,与相交于点,则被分成得部分面积各占面积得几分之几?【解析】连接,设份,则其她部分得面积如图所示,所以份，所以四部分按从小到大各占面积得【备选4】如图,在中，延长至,使,延长至，使,就就是得中点,若得面积就就是,则得面积就就是多少？AB C D EF 【解析】∵在与中,与互补,∴、又,所以、同理可得，、所以【备选5】如图，,，则【解析】根据燕尾定理有,,所以。
小学奥数平面几何五种面积模型(等积_鸟头_蝶形_相似_共边)
小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比 ．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCBA图⑴ 图⑵三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +． b a S 2S 1DC BA S 4S 3S 2S 1O DCBA A BCD O ba S 3S 2S 1S 4四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF ABACBCAG===；②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题【例 1】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH 面积为33．_H_G_F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_ F_G_HOFE DCBAE【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高，∴12ABGABCDS S =△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABG EFGB S S =△．∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等． 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=(厘米)．【例 2】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHGAHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBFS BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=． 所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFDS S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影． _ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D_ A _ B_ G_ C_ E_ F_ D【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 3】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO的面积为 ．B【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE和DOG 的面积之和为312070204⨯-=；又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．BB【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．【解析】 如图，连接OE ．根据蝶形定理，1:::1:12COE CDE CAE CDEON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OEN OED S S ∆∆=； 1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM OEA S S ∆∆=．又11334OEDABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=．【例 4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC )B【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有ABC ABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙，即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙．又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】 如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=， 于是：2115652827ADG CBFS S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．E D C B A A B C D EA B C D E 甲乙乙甲E D C B AED C B AEDC BA 【例 6】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75A D E A B C S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？【解析】 连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 7】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6A D E S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)HGAB CD EFHGA B CD EF【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBES AB BC S BE BF⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△． 所以213618ABCDEFGHS S ==．【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？DCB13131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．【例 11】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．DF【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==，所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )．又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )． 那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )，所以12.52OBEBDE S S ∆∆==(2cm )．【例 12】 如下图，六边形ABCDEF中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．E D BAE D CBAADOH GA B CDO【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA33321F E DC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBFS AE SEC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标 所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABDABC S S ==△△， 11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△， 111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?【解析】 设1DEFS =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果． 【解析】 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵13ABD BCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AODDOC S S ∆∆=， ∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．BCB【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AG GC=？【解析】⑴根据蝶形定理，123BGCS⨯=⨯，那么6BGCS =；⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AG GC=++=．【例15】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，CEF△、OEF△、ODF△、BOE△的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF△的面积；⑵求GCE△的面积．【解析】⑴根据题意可知，BCD△的面积为244616+++=，那么BCO△和CDO∆的面积都是1628÷=，所以OCF△的面积为844-=；⑵由于BCO△的面积为8，BOE△的面积为6，所以OCE△的面积为862-=，根据蝶形定理，::2:41:2COE COFEG FG S S∆∆===，所以::1:2GCE GCFS S EG FG∆∆==，那么11221233GCE CEFS S∆∆==⨯=+．【例16】如图，长方形ABCD中，:2:3BE EC=，:1:2DF FC=，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积．AB CDEFGAB CDEFG【解析】连接AE，FE．因为:2:3BE EC=，:1:2DF FC=，所以3111()53210DEF ABCD ABCDS S S=⨯⨯=长方形长方形．因为12AED ABCDS S=长方形，11::5:1210AG GF==，所以510A G D G D FS S==平方厘米，所以12AFDS =平方厘米．因为16AFD ABCDS S=长方形，所以长方形ABCD的面积是72平方厘米．【例17】如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．【解析】因为M是AD边上的中点，所以:1:2AM BC=，根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCGS S S S=⨯⨯=△△△△（）（），设1AGMS=△份，则123MCDS=+=△份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S=+=阴影份，所以:1:3S S=阴影正方形，所以1S=阴影平方厘米．OGFEDCBAABCD EF BBBB 【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，【解析】 根据蝶形定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)， 【解析】 那么12ABCDS=(平方厘米)．【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AC．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯=，所以6AOC S =(平方厘米)，9AOD S =(平方厘米)，又6915ABC ACD S S ==+=(平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．【分析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 【分析】 那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=，所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形， 【解析】 那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)． 另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABEDS S∆==⨯+=(平方厘米)， 所以1284AOE ADE AODS S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．B【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A BC DEF?852O A BCD EF【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ∆=，又根据蝶形定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？B【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14．由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM D E =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48． 那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m n，那么，()m n +的值等于 ．BE【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．左图中AEGD 为长方形，可知AM D ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ．可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=．在梯形AEFC 中，由于:1:2E F A C =，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n =，那么325m n +=+=．Q E GNMF PA D CBA ED CB【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△，因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD D F FM M P PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 ．【解析】 设1ADES =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDC BM GFAEDCBGFAEDCB【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△． 方法二：连接,AE EF ，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝶形定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG ∆的面积．MHGF E D CBAA【解析】 解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==，::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFDABD ABCDS S S ∆∆==⨯=； 又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=． 解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置， ::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)，可得2121115353430BMG BDF ABCDS S S ∆∆=⨯=⨯⨯=【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS的面积为多少？CACA【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PC MN DC=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的16，所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm )．(法2)如图，连结AE ，则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm )，而RB ER AB EF =，所以2RB AB EF EF ==，22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm )． 而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm )，因为MN MP DC PC=，所以13MP MC =，则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )．O F ED C B AO FED C B AOFEDC B AI H G FEDCB AI H G F EDCBA 【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．【分析】 连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==； 根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=； 那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=；同样分析可得919ACH S ∆=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=．IH G FEDCBAI H GFED CBA CBB【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积．【解析】 连接BG ，AGC S △=6份 根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△， ::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGCABCS S =△△, 同理连接AI 、CH得619ABH ABC S S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△ 三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC ∆中2BD D A =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的倍．【分析】 如图，连接AI ． 根据燕尾定理，::2:1BCI ACI S S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==， 所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++． 同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DBECFA===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIH G FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABCSS =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△ 同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△． 同理，335BPMS =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，13953357042MNEDS =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K J IHABC D EF GKJI HABCD EFG【解析】 连接CK、CI 、CJ ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==， 所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==． 类似分析可得215AGI S ∆=． 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=． 那么，111742184CGKJS =-=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．N MGABCD E F 【例 29】 右图，ABC △中，G是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？ N M GA BCD E F【解析】 连接CM、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBMS S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBNS S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯=⎪⎝⎭△△△． 根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.GFCBAGFCBA【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△ 设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABMACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△, 所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△ 在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15ABP ABC S S =△△，所以1111152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形 同理另外两个五边形面积是ABC △面积的11105，所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影FEDCBA【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.CBGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△,::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△，同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形课后练习： 练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB AABCDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米MH GFEDCB AH GFEDCBA【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点，可得：:::1:1BM DC MF FD BF FC ===，而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25CH CE =，而12CF BC =，所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11112030224BCE S AB BC ∆=⨯⨯=⨯=117730141515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )，同样也能解出．练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++=2cm ．DCEBABCA'C'EDA【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系：''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=．EDCBFAB CDEMNFAB CDEMN【解析】连接BH,根据沙漏模型得:1:2BG GD=,设1BHCS=△份，根据燕尾定理2CHDS=△份，2BHDS=△份，因此122)210S=++⨯=正方形（份，127236BFHGS=+=，所以712010146BFHGS=÷⨯=(平方厘米).练习6.如图，ABC∆中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，若ABC∆的面积为1，那么四边形CDMF的面积是_________．【解析】由于点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，如果能求出BN、NM、MD三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF的面积．连接CM、CN．根据燕尾定理，::2:1ABM ACMS S BF CF∆∆==，而2ACM ADMS S∆∆=，所以24ABM ACM ADMS S S∆∆∆==，那么4BM D M=，即45BM BD=．那么421453215BMF BCDBM BFS SBD BC∆∆=⨯⨯=⨯⨯=，14721530CDMFS=-=四边形．另解：得出24ABM ACM ADMS S S∆∆∆==后，可得111155210ADM ABDS S∆∆==⨯=，则11731030ACF ADMCDMFS S S∆∆=-=-=四边形．练习7.如右图，三角形ABC中，:::4:3AF FB BD DC CE AE===，且三角形ABC的面积是74，求角形GHI的面积．IHGFED CBAIHGFED CBA【解析】连接BG，AGCS△=12份根据燕尾定理，::4:312:9AGC BGCS S AF FB===△△，::4:316:12ABG AGCS S BD DC===△△得9BGCS=△(份)，16ABGS=△(份)，则9121637ABCS=++=△(份)，因此1237AGCABCSS=△△,同理连接AI、CH得1237ABHABCSS=△△,1237BICABCSS=△△,所以3712121213737GHIABCSS---==△△三角形ABC的面积是74,所以三角形GHI的面积是174237⨯=。
小学奥数平面几何五种面积模型[等积,鸟头,蝶形,相似,共边]
![小学奥数平面几何五种面积模型[等积,鸟头,蝶形,相似,共边]](https://img.taocdn.com/s3/m/55495dc7aeaad1f346933fc6.png)
小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCBA图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；b a S 2S 1DC BA S 4S 3S 2S 1O DCBA另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF ABACBCAG===；②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题A B CD O ba S 3S 2S 1S 4O FED C BA【例 1】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高，∴12ABGABCDS S =△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABG EFGB S S =△．∴正方形ABCD 与长方形E F G B 面积相等． 长方形的宽88106.=⨯÷=(厘米)．【例 2】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？_H_G_F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_ F_G_H_ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D_ A _ B_ G_ C_ E_ F_ DE【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EH B A H BS S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHDS S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=； 而EHB BHF DHG EBFS S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 3】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．B【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE和DOG 的面积之和为312070204⨯-=；又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．BB【解析】 如图，连接OE ．根据蝶形定理，1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OE N O EDS S ∆∆=； 1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM OEA S S ∆∆=．又11334OEDABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=．【例 4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有ABC ABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙， 即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙． 又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】 如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC D E FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=， 于是：2115652827ADG CBFS S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 6】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(7A D E A BC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBAABCD E【解析】 连接BE ．∵3EC AE =∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAABCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 7】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25A D E A B C S S =⨯⨯+=△△，设6A D E S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABCFBES AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△．又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△． 所以213618ABCDEFGHS S ==．【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？DB13131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 11】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．F【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==， 所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )．又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )． 那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )， 所以1 2.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FEDCBA33321F EDC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABCS S ==△△， 11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADES BF FE S ==△△，111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABCS S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512． 【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDB A【解析】 设1DEFS =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题．解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1O C O D ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABD BCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AODDOC S S ∆∆=， ∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝶形定理，123BGCS⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF△、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGFEDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝶形定理，::2:4C O EC O F E G F G S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+．【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G【解析】 连接AE ，FE ．因为:2B E EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEFABCD ABCD SS S =⨯⨯=长方形长方形． 因为12AEDABCD S S =长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==平方厘米，所以12AFD S =平方厘米．因为16AFDABCD S S =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 17】 如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1A G M S =△份，则123M C D S =+=△ 份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．A BCDEF【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝶形定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCD S =(平方厘米)．【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AC．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯=，所以6AOC S =(平方厘米)，9AOD S =(平方厘米)，又691A B C A C DS S ==+=(平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【分析】 连接AE．由于AD 与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCDOAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=， 所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AE．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABEDS S∆==⨯+=(平方厘米)， 所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A BCDEF?852O A BC DEF【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ∆=，又根据蝶形定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？BB【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14．由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM D E =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m n，那么，()m n +的值等于 ．E【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．左图中AEGD 为长方形，可知AM D ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ． 可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=．在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n=，那么325m n +=+=．【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△， 因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD D F FM M P PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形． 【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5F G N M S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDC BM GFAEDCBGFAEDCB【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::G B G E A B E M==，所以4432(442)471111AB GAB E S S ==⨯⨯÷=+△△． 方法二：连接,AE EF，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝶形定理::AB F A EFS S BG G E ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点，BF 交EC 于M ，求BMG ∆的面积．Q E GNMFPA DCBMHGF E DCBAA【解析】 解法一：由题意可得，E、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2F D B C F H H C ==，::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFDABD ABCDS S S ∆∆==⨯=； 又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=． 解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置， ::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)，可得2121115353430BMG BDF ABCDS S S ∆∆=⨯=⨯⨯=【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？CACA 【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PC MNDC=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的16，所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm )．(法2)如图，连结AE ，则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm )，而RB ER ABEF=，所以2RB AB EFEF ==，22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm )．而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm )，因为MN MP DC PC=，所以13MP MC =，则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )．【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDCBAI HG FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=； 那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=； 同样分析可得919ACH S ∆=，则::4A C G AC HE GE H S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:E G G H H B =，同样分析可得::10:5A G G II D =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=． 【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBA IH G FEDCBA【解析】 连接BG ，AGCS △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGCABCS S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABHABCS S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC ∆中2BD D A =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．BCCB【分析】 如图，连接AI ．根据燕尾定理，::2:1BCI ACIS S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DBECFA===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2A B P C B P S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△ 同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPMS =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，13953357042MNEDS =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K J IHABC D EF GKJI HABCD EFG【解析】 连接CK、CI 、CJ ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==， 所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==． 类似分析可得215AGI S ∆=． 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=． 那么，111742184CGKJS =-=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 29】 右图，ABC △中，G是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BC D EF【解析】 连接CM、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBMS S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBNS S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGNAFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.GC BACB【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABMACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△在ABC△中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15A BPABCS S =△△，所以1111152121A B DNBED N PE S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形同理另外两个五边形面积是ABC△面积的11105，所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.GCBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△, ::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△，同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形课后练习： 练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△ 设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2C G F CD B S S =△△ 同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形 所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米．H GFEDCBAM H GFEDCBA【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点，可得： :::1:1BM DC MF FD BF FC ===，而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25CH CE =，而12CF BC =，所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11112030224BCE S AB BC ∆=⨯⨯=⨯=117730141515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．DCEBABCA'C'EDA【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=．练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．EDCBEDCB【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，因此122)210S =++⨯=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以712010146BFHG S =÷⨯=(平方厘米).练习6. 如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．。
小学奥数之共边模型
共边模型
本讲主线
1、等积变形中的共边
2、一半模型中的共边
课前小练习
将下面的两个三角形各自分成面积相等的4个小三角形
知识要点：
1、等底等高的两个三角形面积相等
2、夹在平行线间的一组同底三角形面积相等如下图：
3、三角形等分面积：等分底边，即可等分面积
4、一半模型
板块一：等积变形
例1、正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为20厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？
例2、四边形ABCD是一个直角梯形。
以上底AD为边向外作正方形ADEF，面积为9平方厘米。
连接BE交AD于P，再连接PC。
试求图中阴影部分的面积
例3、如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点，4321S S S S 、、、分别表示四个小四边形的面积。
试比较 的大小与4231S S S S ++
例4、如图，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，AB=8，AD=15，四边形EFGO 的面积为多少？
例5、如图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是多少？
例6、如图，P为长方形ABCD内的一点，△PAB的面积为5，△PBC面积为13，请问：△PBD的面积是多少？
例7、超常大挑战
图中正方形面积为1，把每条边都3等分，然后将这8个等分点与正方形内部的某一点相连，形成4个阴影的四边形和4个空白的三角形，那么，阴影部分的总面积是多少？。
数学共边模型课件(五年级)奥数
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S2+S4=O+☆+△+？ 相等
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面积等分三角形 三角形平分底边，那么，将会平分 三角形的面积
例题四（★ ★ ★ ）
如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB
＝8，AD＝15，四边形EFGO的面积为
。
长方形面积：15×8=120 △AFC和△DFB的面积之和为 120÷2=60而空白部分的面积： 120-70=50所以四边形EFGO的面 积是60-50=10
阴=4.5（cm2 ）
△AED=4.5
知识链接
3、三角形等分面积；得分底边，即可等分面积
例题【三】（★ ★ ★ ）
如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边四边形ABC各边的中点 ，S1、S2、S3及S4分别表示四个小四边形的面积. 试比较S1＋S3与S2＋S4的大小。
小学的奥数平面几何五种面积模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)
小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCBA图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；S 2S 1DC BA S 4S 3S 2S 1O DCBA另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF ABACBCAG===；②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.A B CD O ba S 3S 2S 1S 4O FED C BA典型例题【例 1】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高， ∴12ABG ABCDS S=△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABG EFGB S S =△．∴正方形ABCD 与长方形E F G B 面积相等． 长方形的宽88106.=⨯÷=(厘米)．_H_G_F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_F_G_H_ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D_ A _ B_ G_ C_ E_ F_ D【例 2】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=； 而EHB BHF DHG EBFS S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 3】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．B【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=； 又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．BB【解析】 如图，连接OE ．根据蝶形定理，1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OE N O EDS S ∆∆=； 1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM OEA S S ∆∆=．又11334OED ABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=．【例 4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有ABC ABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙，即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙． 又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】 如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=， 于是：2115652827ADG CBFS S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 6】 如图在ABC△中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(7A D E A B C S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBAABCDE【解析】 连接BE ．∵3EC AE =∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAABCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 7】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25A D E A B C S S =⨯⨯+=△△，设6A D E S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB=，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBES AB BC S BE BF⋅⨯===⋅⨯△△．又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△． 所以213618ABCDEFGHS S ==．【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？DB13131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 11】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．F【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将AD E ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==， 所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )． 又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )．那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )， 所以1 2.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FEDCBA33321F EDC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBFS AE SEC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△，111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512． 【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDB A 【解析】 设1DEFS =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题．解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1O C O D ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABDBCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AODDOC S S ∆∆=， ∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝶形定理，123BGCS⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF△、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGFEDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝶形定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+．【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G【解析】 连接AE ，FE ．因为:2B E EC=，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEFABCD ABCD SS S =⨯⨯=长方形长方形． 因为12AEDABCD S S =长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==平方厘米，所以12AFD S =平方厘米．因为16AFDABCD S S =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 17】 如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1A G M S =△份，则123M C D S =+=△ 份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．A BCDEF【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝶形定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCDS=(平方厘米)．【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AC．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯=，所以6AOC S =(平方厘米)，9AOD S =(平方厘米)，又691A B C A C D S S ==+=(平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【分析】 连接AE．由于AD 与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCDOAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=， 所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AE．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABEDS S∆==⨯+=(平方厘米)， 所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A BCDEF?852O A BC DEF【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ∆=，又根据蝶形定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？BB【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14．由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM D E =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m n，那么，()m n +的值等于 ．E【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．左图中AEGD 为长方形，可知AM D ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ． 可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=．在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n=，那么325m n +=+=．【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△， 因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD D F FM M P PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形． 【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5F G N M S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDC BM GFAEDCBGFAEDCB【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．方法二：连接,AE EF，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝶形定理::AB F A EFS S BG G E ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG ∆的面积．Q E GNMFPA DCBMHGF E DCBAA【解析】 解法一：由题意可得，E、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2F D B C F H H C ==，::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFDABD ABCDS S S ∆∆==⨯=； 又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=． 解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置， ::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)，可得2121115353430BMG BDF ABCDS S S ∆∆=⨯=⨯⨯=【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？CACA 【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PC MNDC=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的16，所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm )．(法2)如图，连结AE ，则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm )，而RB ER ABEF=，所以2RB AB EFEF ==，22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm )．而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm )，因为MN MP DC PC=，所以13MP MC =，则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )．【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDCBAI HG FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=； 那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=； 同样分析可得919ACH S ∆=，则::4A C G AC HE GE H S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:E G G H H B =，同样分析可得::10:5A G G I I D =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=． 【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBA IH G FEDCBA【解析】 连接BG ，AGC S △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGCABCS S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABHABCS S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC ∆中2BD D A =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．BCCB【分析】 如图，连接AI ．根据燕尾定理，::2:1BCI ACIS S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DBECFA===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2A B P C B P S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△ 同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPMS =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，13953357042MNEDS =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K J IHABC D EF GKJI HABCD EFG【解析】 连接CK、CI 、CJ ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==，所以::1:2:4ACK ABK CBKS S S ∆∆∆=，那么111247ACKS ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==． 类似分析可得215AGI S ∆=． 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=． 那么，111742184CGKJS =-=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 29】 右图，ABC △中，G是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BC D EF【解析】 连接CM、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBMS S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGNAFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.C BAGCB【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABMACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△在ABC△中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15A BPA BCS S =△△，所以1111152121A B P ADNBED N P QE S S S SS ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形 同理另外两个五边形面积是ABC△面积的11105，所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.GCBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△, ::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△，同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形课后练习： 练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2C G F CD B S S =△△ 同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形 5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形 所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米．H GFEDCBAM H GFEDCBA【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点，可得： :::1:1BM DC MF FD BF FC ===，而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25CH CE =，而12CF BC =，所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11112030224BCE S AB BC ∆=⨯⨯=⨯=117730141515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．DCEBABCA'C'EDA【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=．练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．EDCBEDCB【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，因此122)210S =++⨯=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以712010146BFHG S =÷⨯=(平方厘米).练习6. 如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．。
小学奥数五年级测试及答案(共边模型、共角模型)
一、共边模型
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第1题
第2题
第3题
第4题
第5题
第6题
试题答案第1题：
答案解析
第2题：正确答案:D 答案解析
第3题：正确答案:D 答案解析
第4题：正确答案:C 答案解析
正确答案:C
答案解析
第6题：
正确答案:D
答案解析
二、共角模型第1题
第2题
第3题
第4题
第5题
第6题
试题答案
第1题：
正确答案:C 答案解析
第2题：
正确答案:C 答案解析
第3题：
正确答案:B 答案解析
第4题：
正确答案:D 答案解析
第5题：正确答案:D 答案解析
第6题：正确答案:C 答案解析。
小学奥数平面几何五种面积模型(等积-鸟头-蝶形-相似-共边)
小学奥数平面几何五种模型（等积,鸟头,蝶形,相似,共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似（含金字塔模型和沙漏模型）,共边（含燕尾模型和风筝模型）, 掌握五大面积模型地各种变形知识点拨一，等积模型①等底等高地两个三角形面积相等。
②两个三角形高相等,面积比等于它们地底之比。
两个三角形底相等,面积比等于它们地高之比。
如右图12::S S a b=③夹在一组平行线之间地等积变形,如右图A C D B C D S S =△△。
反之,假如ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高地两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊地平行四边形)。
⑤三角形面积等于与它等底等高地平行四边形面积地一半。
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们地底之比。
两个平行四边形底相等,面积比等于它们地高之比．二，鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形地面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边地乘积之比．如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上地点如图 ⑴(或D 在BA 地延长线上,E 在AC 上),则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△ 图⑴ 图⑵三，蝶形定理任意四边形中地比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形地面积问题地一个途径．通过构造模型,一方面可以使不规则四边形地面积关系与四边形内地三角形相联系。
EDCBAEDCB Ab a S 2S 1D C BA S 4S 3S 2S 1O DCBA另一方面,也可以得到与面积对应地对角线地比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =。
小学奥数平面几何五种面积模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)
小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCBA图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型ba S 2S 1DC B A S 4S 3S 2S 1O DCBA A BCDO ba S 3S 2S 1S 4GF E ABCD AB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小分歧的三角形(只要其形状不改变，不管大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的经常使用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，而且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题 【例 1】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为．【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH 面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？_H_G_ F_E_D_C_B_ A _ A_B_C_D_E_ F_G_HO FE D C B A【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高， ∴12ABGABCDS S =△(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABG EFGB S S =△． ∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等． 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=(厘米)．【例 2】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHGDHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBFS S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影 解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可酿成右图：_ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D_ A_ B_ G_ C_ E_ F_ DGE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采取特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变成如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米． （法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 3】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为．B【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=；又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为．BB【解析】 如图，连接OE ．根据蝶形定理，1:::1:12COE CDECAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OENOED S S ∆∆=； 1:::1:42BOE BAEBDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEMOEA S S ∆∆=． 又11334OEDABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=． 【例 4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC )B【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有ABCABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙，即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙．又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】 如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是．GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF FS S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=， 于是：2115652827ADG CBFS S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 6】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBA ABCDE【解析】 连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAABCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDES S=，5S S =乙甲．【例 7】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==． 【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？DB13131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 11】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．D【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==， 所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )．又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )． 那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )，所以12.52OBEBDE S S ∆∆==(2cm )． 【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．FED CBA33321F E DC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AES EC==△△, 设1BDFS =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABCS S ==△△， 11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△，111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512． 【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDCB A 【解析】 设1DEF S =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米. 【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABCDOH GA BCD O【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题．解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABDBCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AODDOC S S ∆∆=， ∴13AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OCOD ==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝶形定理，123BGCS⨯=⨯，那么6BGCS=；⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGFEDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝶形定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCECEF S S ∆∆==⨯=+． 【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G【解析】 连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEFABCD ABCD SS S =⨯⨯=长方形长方形． 因为12AED ABCD S S =长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==平方厘米，所以12AFDS =平方厘米．因为16AFD ABCD S S =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△ 份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是平方厘米．A BCDEF【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝶形定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCD S =(平方厘米)．【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．BB【解析】 连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COEAOCDOEAODSSSS=⨯⨯=，所以6AOCS=(平方厘米)，9AODS =(平方厘米)，又6915ABCACDSS==+=(平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．BB【分析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，4936OCD OAEOCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=，所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．BB【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCDS ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABEDS S ∆==⨯+=(平方厘米)， 所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A B C DEF?852O A BCDEF【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOCS S∆=，又根据蝶形定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？BB【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14． 由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM D E =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，()m n +的值等于．E【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积． 如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．左图中AEGD 为长方形，可知AM D ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ．可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=．在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n =，那么325m n +=+=．【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADEDEGF FGCB S S S =△四边形四边形．EGF A D CB【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△， 因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯= 【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD D F FM M P PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形． 【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDC BM GFAEDCBGFAEDCB【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△． 方法二：连接,AE EF ，分别求4224ABF S =⨯÷=△，Q E GNMF PA DCB4441232247AEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝶形定理::4:7ABF AEFS S BG GE ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△． 【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG ∆的面积．MHGF E D CBAA【解析】 解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==，::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==， 并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFDABD ABCDS S S ∆∆==⨯=； 又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=．解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置，::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)，可得2121115353430BMG BDF ABCDS S S ∆∆=⨯=⨯⨯=【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS的面积为多少？CACA【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PCMN DC=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以 12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的16，所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm )．(法2)如图，连结AE ，则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm )，而RB ER AB EF =，所以2RB AB EF EF ==，22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm )． 而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm )，因为MN MPDC PC =， 所以13MP MC =，则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )．【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△ ::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化实质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！ 【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化实质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDCBAI HG FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==； 根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=；那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=；同样分析可得919ACH S ∆=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=．【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA【解析】 连接BG ，AGC S △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得619ABH ABC S S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△ 三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC ∆中2BD D A =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的倍．BCCB【分析】 如图，连接AI ．根据燕尾定理，::2:1BCI ACI S S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． IHG FEDCBAIH G FEDCB A【解析】 连接BG,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPM S =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，139********MNED S =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K JI HABC D EF GKJI HABC D E FG【解析】 连接CK 、CI 、CJ ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==，所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==． 类似分析可得215AGI S ∆=． 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=． 那么，111742184CGKJ S =-=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 29】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BCD EF【解析】 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBM S S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.GC BACBA【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P,BI 与CE 的交点为Q,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABM ACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15ABP ABCS S =△△，所以1111152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形同理另外两个五边形面积是ABC △面积的11105，所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影 【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.CBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△,::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△ 所以222117777RQS S =---=△，同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形课后练习： 练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEGH【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是平方厘米．H GFEDCBAMHGFEDCBA【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点，可得： :::1:1BM DC MF FD BF FC ===，而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25CH CE =，而12CF BC =，所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11112030224BCE S AB BC ∆=⨯⨯=⨯=11773014351515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．本题也可以用蝶形定理来做，连接EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )，同样也能解出． 练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++=2cm ．DCEBABCA'C'EDA【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系：''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=．练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．。
小学的奥数平面几何五种面积模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)
小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△baS 2S 1DC BAEDCBAEDCBA图⑴ 图⑵三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AF ABACBCAG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，S 4S 3S 2S 1O DCBA A BCDO ba S 3S 2S 1S 4不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题【例 1】如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为 ．【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，_H_G_ F_E_D_C_B_A _A_B_C_D_E_ F_G_HOFE DCBA66 1.562262 4.54216.5DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形EFGH面积为33．【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯△边上的高，∴12ABG ABCD S S =W △(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，12ABG EFGB S S =△．∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等． 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=(厘米)．【例 2】长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？E【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：_ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D_ A _ B_ G_ C _ E_ F_ DE可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHDS S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=； 而EHB BHF DHG EBFS S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影 解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116()1546⨯+=平方厘米．【例 3】如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．B【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积． 由于长方形ABCD的面积为158120⨯=，所以三角形BOC的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=； 又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．BB【解析】 如图，连接OE ．根据蝶形定理，1:::1:12COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以12OEN OED S S ∆∆=； 1:::1:42BOE BAE BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM OEA S S ∆∆=．又11334OED ABCD S S ∆=⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面积为：1136 2.725⨯+⨯=．【例 4】已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200． 根据图形的容斥关系，有ABC ABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙， 即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙．又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以1143400434ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．【例 5】如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC D E FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=， 于是：2115652827ADG CBF S S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=；可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 6】如图在ABC△中，,D E分别是,AB AC上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBAABCD E【解析】 连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAABCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．【例 7】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGAB CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理 ∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABCFBES AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△． 同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCDEFGHS S ==．【例 9】如图所示的四边形的面积等于多少？DB13131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上． 由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 11】 如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．F【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==， 所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )． 又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )． 那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )，所以12.52OBEBDE S S ∆∆==(2cm )．【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FEDCBA33321F EDC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABCS S ==△△， 11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADES BF FE S ==△△， 111111122323212DEFDEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△， 而211323CDE ABCS S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512． 【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?yB CDEGEDCBAEDCBA【解析】设1DEFS=△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCDS S==△阴影平方厘米.【例 14】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD的面积的13，且2AO=，3DO=，那么CO的长度是DO的长度的_________倍．AB CDO HGAB CDO【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCDS S=V V，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题．解法一：∵::1:3ABD BDCAO OC S S∆∆==，∴236OC=⨯=，∴:6:32:1OC OD==．解法二：作AH BD⊥于H，CG BD⊥于G．∵13ABD BCDS S∆∆=，∴13AH CG=，∴13AOD DOCS S∆∆=，∴13AO CO=，∴236OC=⨯=，∴:6:32:1OC OD==．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【解析】 ⑴根据蝶形定理，123BGCS ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝶形定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE△的面积．OGF EDCBA【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝶形定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==，那么11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+．【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G【解析】 连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEF ABCD ABCD S S S =⨯⨯=V 长方形长方形．因为12AED ABCD S S =V 长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==V V 平方厘米，所以12AFD S =V 平方厘米．因为16AFD ABCD S S =V 长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝶形定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△ 份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．ABCDEF【解析】 连接DE，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝶形定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCD S =W (平方厘米)．【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AC ．由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，根据梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯=V V V V ，所以6AOC S =V (平方厘米)，9AOD S =V (平方厘米)，又6915ABC ACD S S ==+=V V (平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【分析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=，所以6OCD S ∆=(平方厘米)．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．BB【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ∆∆=．根据蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED 中，()111681222ADE ABED S S ∆==⨯+=Y (平方厘米)， 所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝶形定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A BCDEF?852O A BC DEF【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ∆=V ，又根据蝶形定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？BB【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14． 由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM DE =，可见ABM ∆和ACM∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．那么BDK ∆的面积为148124⨯=．【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m n，那么，()m n +的值等于 ．E【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ． 左图中AEGD 为长方形，可知AMD ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为21111248⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为111482-⨯=．BEE如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ． 可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为21111248⨯⨯=，梯形AEFC 的面积为113288-=． 在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463-⨯=．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32m n=，那么325m n +=+=．【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△， 因此4AFG S =△份，9ABC S =△份， 进而有3DEGFS =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形．【解析】 设1ADES =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此Q E GNMFPADCB4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDC BM GFAEDCBGFAEDCB【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，根据题意有3CE =，再根据另一个沙漏有::4:7GB GE AB EM ==，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△． 方法二：连接,AE EF，分别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，根据蝶形定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△．【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG ∆的面积．MHGF EDCBAA【解析】 解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，而::1:2FD BC FH HC ==，::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以 ::2:3BG EF BM MF ==，所以25BM BF =，11112224BFD ABD ABCD S S S ∆∆==⨯=Y ； 又因为13BG BD =，所以1212113535430BMG BFDS S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=．解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置，::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13BG BD =(鸟头定理)，可得2121115353430BMG BDF ABCD S S S ∆∆=⨯=⨯⨯=Y【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？CACA【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PC MNDC=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的16，所以121(112)63SPQR S =⨯⨯++=2(cm )．(法2)如图，连结AE ，则14482ABE S ∆=⨯⨯=(2cm )，而RB ER ABEF=，所以2RB AB EFEF ==，22168333ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm )．而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm )，因为MN MP DC PC=，所以13MP MC =，则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于164233333ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )．【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDCBAI HG FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=； 那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=； 同样分析可得919ACH S ∆=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=．【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA【解析】 连接BG ，AGCS △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGCABCS S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABHABCS S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．BCCB【分析】 如图，连接AI ．根据燕尾定理，::2:1BCI ACI S S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==， 所以，::1:2:4ACI BCI ABIS S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DBECFA===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△ 同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPMS =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，13953357042MNEDS =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K J IHABC D EF GKJI HABCD EFG【解析】 连接CK 、CI 、CJ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==， 所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==． 类似分析可得215AGI S ∆=． 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=． 那么，111742184CGKJS =-=． 根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 29】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BC D EF【解析】 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBMS S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGNAFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.GC BAGCB【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABMACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△ 在ABC△中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15ABP ABCS S =△△，所以1111152121105ABP ADN BEPABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形 同理另外两个五边形面积是ABC△面积的11105，所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.CBGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△,::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△，同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形课后练习：练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADFS =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CBA A BCDEFGH【解析】 连接BD．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米．H GFEDCBAM H GFEDCBA【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆=将AB 、DF 延长交于M 点，可得：:::1:1BM DC MF FD BF FC ===，而1::():3:22EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25CH CE =，而12CF BC =，所以121255CHF BCE BCE S S S ∆∆∆=⨯=11112030224BCE S AB BC ∆=⨯⨯=⨯=117730141515EBC EBC EBC EBC BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形．EF ，确定H 的位置(也就是:FH HD )，同样也能解出．练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．DCEBABCA'C'EDA【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90o ，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系：''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=W ．练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．EDCBEDCB【解析】 连接BH,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，因此122)210S =++⨯=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以712010146BFHG S =÷⨯=(平方厘米).练习6. 如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．。
五年级奥数之共边模型
1等积变形中的共边
本讲主线
1.等积变形中的共边。
2.一半模型中的共边。
1.等底等高的两个三角形面积相等
夹在行线间的2.夹在平行线间的一组同底三角形面积相等如下图，△E P
D
C
3. 三角形等分面积：等分底边，即可等分面积.
【例3】(★★★)(2008年”希望杯”二试六年级)(2008年希望杯二试六年级)如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形中点S 1、S 2、S 及S 4分别表示四个小四边形的中点，面积. 试比较S 1＋与S 2＋S 4的大小。
板块二:一半模型
4. 一半模型
长方形中，
平行四边形中，
【例5】(★★)
如下图长方形
如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长
方形ABCD，长方形ABCD的长是20，宽是12，
则它内部阴影部分的面积是
则它内部阴影部分的面积是______。
知识大总结
1三角形面积底×高÷2A
1.三角形面积＝底×高÷2
平行线性质：夹在平行线间的一
组同底三角形面积相等
组同底三角形面积相等.
面积等分三角形：
C
4．一半模型：
例1，例4，超常大挑战
______________________________________________。
_______________________________________________。
小学奥数平面几何五种面积模型(等积_鸟头_蝶形_相似_共边)
A
D (H)
E
G
B
F
C
这样阴影部分的面积就是 DEF 的面积，根据鸟头定理，则有：
1 1 1 1 1 1 1 S阴影 S ABCD SAED SBEF SCFD 36 36 36 36 13.5 ． 2 2 2 2 2 2 2
【例 2】 长方形 ABCD 的面积为 36 cm 2 ， E 、 F 、 G 为各边中点， H 为 AD 边上任意一点，
问阴影部分面积是多少？
A H D
E
G
B
F
C
【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接 BH 、 HC ，如下图： H D A
E
G
B
F
C
可 得 ：
SE
S ABCD SAHB SCHB SCHD
1 BS H 2 36
S 、 A H FHB B
1 SCHB 2
、
1 SDHG SDHC 2
， 而
1 1 即 SEHB SBHF SDHG (SAHB SCHB SCHD ) 36 18 ； 2 2 SEHB SBHF SDHG S阴影 SEBF 而
A O B 【解析】如图，连接 OE ． C E D
A M O B
E N
D
C
1 1 根据蝶形定理， ON : ND SCOE : SCDE SCAE : SCDE 1:1 ，所以 SOEN SOED ； 2 2 1 1 OM : MA SBOE : SBAE SBDE : SBAE 1: 4 ，所以 SOEM SOEA ． 5 2 1 1 又 SOED S矩形ABCD 3 ， SOEA 2SOED 6 ， 所 以 阴 影 部 分 面 积 为 ： 3 4
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⑴直线AB 平行于CD ，可出现三对面积相等的三角形，如图⑴ ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米
图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，H 是任意点。
如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是______。
(2008年仁华考题)如图，正方形的边长为10，四边形EFGH 的面积为5，那么阴影部分的面积是 。
共边模型
(★★)
(★★★)
(★★★★ )
⑴如图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米。
⑵(第三届“华杯赛”初赛试题)一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方
形面积的15%，黄色三角形面积是21cm 2。
问：长方形的面积是多少平方厘米
如图，正方形ABCD 的边长为6，AE ＝，CF ＝2。
长方形EFGH 的面积为 。
如图，已知BD ＝DC ，EC ＝2AE ，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积。
(★★★)
(★★★★)
(★★★★★)
请用一条直线把它分成两个三角形，不允许有剩余呦！
在线测试题
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1．如下图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别为10厘米和12厘米。
求阴影部分的面积。
A ．452cm
B ．502cm
C ．602cm
D ．482cm
2．下图是一个长为8cm ，宽为6cm 的长方形，其中E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 边上边上的中点，求阴影部分的面积
A ．122cm
B ．102cm
C ．142cm
D ．202cm
3．长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =cm ，15AD =cm ，四边形EFGO 的面积为多少 A ．122cm B ．102cm C ．152cm D ．182cm
4．下图是一个矩形，长为10厘米，宽为5厘米，则阴影部分面积为多少平方厘米。
A ．302cm B ．352cm C ．252cm
D ．202cm
5．如图，ABCD 是梯形，ABFD 是平行四边形，CDEF 是正方形，AGHF 是长方形。
又知AD ＝14厘米，BC ＝22厘米，那么，阴影部分的总面积是多少平方厘米 A ．452cm B ．502cm C ．602cm D ．562cm
6．如图，AD ＝DE ＝EC ，F 是BC 中点，G 是FC 中点，如果三角形ABC 的面积是24平方厘米，则阴影部分是多少平方厘米。
A ．142cm B ．132cm C ．122cm
D ．112cm。