人教版必修五数学《基本不等式》课件
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人教版高中数学必修五第三章3.4基本不等式第一课时教学课件共14张PPT含视频
人教版高中数学必修五第三章3.4基本 不等式 第一课 时教学 课件共 14张PP T含视 频 (2份打包)
探究二：基本不等式的变形及应用
ab a b（a 0,b 0）
a b 2 a（b a 0,b 0）
2
例1、若
x 0 ,求 y
x
1
的最小值.
x
变1:若 x 0,求 y 3x 12 的最小值
人教版高中数学必修五第三章3.4基本 不等式 第一课 时教学 课件共 14张PP T含视 频 (2份打包)
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1. 两个不等式
（1） a,b R, 那么a2 b2 2ab (当且仅当a b时取""号)
温馨提示
准备好你的导学案，练习本， 笔记本，课本，双色笔，最重 要的是你的激情！
基本不等式
ab a b 2
学习目标
1、熟记重要不等式、基本不等式及使用条 件，并会推导基本不等式。 2 、会写出基本不等式的变形，并会利用 基本不等式求最值。 3、掌握基本不等式的综合应用．
3班导学案反馈
小组 一组
ab a b（a 0,b 0） 2
a b 2 a（b a 0,b 0）
（1）如果a，b＞0，且ab＝P（定值），那么
a+b有最___小_值__2___p_(当且仅当a____b_时取“=”）.
ab a b（a 0,b 0） 2
ab
a
2
b
（2 a
0,
b
0）
（2）如果a，b＞0，且a＋b＝S （定值），那么
2
2
为3_、__已__知_正_. 数x，y满足x+2y=1，则x
基本不等式ppt课件
对于任意实数a和b，$(a-b)^2 \geq 0$，即 $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)
基本不等式：
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
基本不等式(共43张)ppt课件
15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
人教版A版高中数学必修5：基本不等式： ≤(a+b)_课件28
[课堂笔记]
【证明】法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＋1a＝1＋a＋a b＝
2＋ba.同理，1＋1b＝2＋ab.∴1＋1a 1＋1b ＝2＋ba2＋ab ＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9，当且仅当ba＝ab，即 a＝b 时取“＝”． ∴1＋1a1＋1b≥9，当且仅当 a＝b＝12时等号成立．
则 y＝14·2x(1－2x)≤142x＋21－2x2＝116，
当且仅当 2x＝1－2x，即 x＝14时取到等号，∴ymax＝116. (2)∵x<3，∴x－3<0，∴3－x>0，∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋ (x－3)＋3
＝－3－4 x＋（3－x）＋3≤－2 3－4 x·（3－x）＋3＝－1，
基本不等式
1．基本不等式：
a＋b ab≤ 2
基本不等式成立的条件是什么?等号成立的条件又是什么?
提示: a>0且b>0；a＝b时取等号
a＋2 b叫做 a，b 的算术平均数， ab叫做 a，b 的几何平均数.
2．常用的几个重要不等式
(1)a2＋b2≥__2_a_b__(a，b∈R)； (2)ab___≤___(a＋2 b)2(a，b∈R)； (3)a2＋2 b2___≥___(a＋2 b)2(a，b∈R)； (4)ba＋ab≥__2____(a，b 同号且不为零)．
在利用基本不等式解决实际应用问题时，一定要注意问题中 所涉及变量的取值范围，即函数的定义域，分析在该范围内 是否存在使基本不等式的等号成立的变量值，若存在，则可 利用基本不等式求解，若使基本不等式的等号成立的变量值 不在函数定义域内，则应利用导数研究函数的单调性，根据 单调性求最值．
3．围建一个面积为 360 m2 的矩形场地， 要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧 墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧 墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，如图所示．已 知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m.设利 用的旧墙长度为 x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用 为 y(单位：元)． (1)将 y 表示为 x 的函数； (2)试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最 少总费用．
【证明】法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＋1a＝1＋a＋a b＝
2＋ba.同理，1＋1b＝2＋ab.∴1＋1a 1＋1b ＝2＋ba2＋ab ＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9，当且仅当ba＝ab，即 a＝b 时取“＝”． ∴1＋1a1＋1b≥9，当且仅当 a＝b＝12时等号成立．
则 y＝14·2x(1－2x)≤142x＋21－2x2＝116，
当且仅当 2x＝1－2x，即 x＝14时取到等号，∴ymax＝116. (2)∵x<3，∴x－3<0，∴3－x>0，∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋ (x－3)＋3
＝－3－4 x＋（3－x）＋3≤－2 3－4 x·（3－x）＋3＝－1，
基本不等式
1．基本不等式：
a＋b ab≤ 2
基本不等式成立的条件是什么?等号成立的条件又是什么?
提示: a>0且b>0；a＝b时取等号
a＋2 b叫做 a，b 的算术平均数， ab叫做 a，b 的几何平均数.
2．常用的几个重要不等式
(1)a2＋b2≥__2_a_b__(a，b∈R)； (2)ab___≤___(a＋2 b)2(a，b∈R)； (3)a2＋2 b2___≥___(a＋2 b)2(a，b∈R)； (4)ba＋ab≥__2____(a，b 同号且不为零)．
在利用基本不等式解决实际应用问题时，一定要注意问题中 所涉及变量的取值范围，即函数的定义域，分析在该范围内 是否存在使基本不等式的等号成立的变量值，若存在，则可 利用基本不等式求解，若使基本不等式的等号成立的变量值 不在函数定义域内，则应利用导数研究函数的单调性，根据 单调性求最值．
3．围建一个面积为 360 m2 的矩形场地， 要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧 墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧 墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，如图所示．已 知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m.设利 用的旧墙长度为 x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用 为 y(单位：元)． (1)将 y 表示为 x 的函数； (2)试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最 少总费用．
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件
人教版必修五数学《基本不等式》PPT课件•课程介绍与目标•基本不等式概念及性质•基本不等式证明方法•基本不等式应用举例目录•拓展与提高：含参数的基本不等式问题•课程总结与回顾01课程介绍与目标人教版必修五数学教材基本不等式章节内容概述与前后知识点的联系教材版本及内容概述教学目标与要求知识与技能目标掌握基本不等式的形式、性质和应用方法，能够运用基本不等式解决简单的最值问题。
过程与方法目标通过探究、归纳、证明等过程，培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
情感态度与价值观目标让学生感受数学的美和严谨性，培养学生的数学兴趣和数学素养。
本节课共分为引入、新课、巩固练习、小结四个部分。
课程安排时间分配重点与难点引入部分5分钟，新课部分30分钟，巩固练习部分15分钟，小结部分5分钟。
本节课的重点是基本不等式的形式、性质和应用方法；难点是运用基本不等式解决复杂的最值问题。
030201课程安排与时间02基本不等式概念及性质不等式定义及表示方法不等式的定义用不等号连接两个解析式所组成的数学式子。
不等式的表示方法常见的不等号有“<”、“>”、“≤”、“≥”和“≠”，用于表示两个量之间的大小关系。
对称性传递性可加性同向正值可乘性基本不等式性质探讨01020304当a=b 时，a<b,b>a 同时成立，反之亦然。
若a>b 且b>c ，则a>c ；若a<b且b<c ，则a<c 。
同向不等式可以相加，即若a>b 且c>d ，则a+c>b+d 。
若a>b>0且c>d>0，则ac>bd 。
特殊情况下的基本不等式均值不等式对于任意两个正数a和b，有√(ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b 时取等号。
柯西不等式对于任意两组实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn，有(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2，当且仅当ai/bi为常数时取等号。
人教版高中数学必修五课件3.4 第1课时 基本不等式4精选ppt课件
(1
1)
a
b
易错案例 利用基本不等式比较大小
【典例】(2015·潍坊高二检测)给出下列结论：
(1)若a>0，则a2+1>a.
(2)若a>0，b>0，则 9
a
(3)若a>0，b>0，则(a+b)
≥4.
(4)若a∈R且a≠0，则 +a≥6.
其中恒成立的是________.
【失误案例】 a21a(a1)230， 24 1 a
a bc
11 2 2
ab
2.因为a，b，c都是正数，所以 也都是正数.
所以
ab3，ab8，a2b210，2ab8.
三式相加得2 a b
2 2 ab3
即 a ，当且仅当a=bb=c时取等号.
bcacab(abc) a bc bcac(bcac)2c， acab(acab)2a， ab ab bc bc
ab
ab
所以 ≥2， 所以(a+b) ≥4，故(3)恒成立. 因为a∈R且a≠0，不符合基本不等式的条件， 故 +a≥6是错误的. 答案：(1)(2)(3)
【防范措施】 1.把握基本不等式适用的条件 基本不等式适用的条件是“一正，二定，三相等”， 这三个条件缺一不可，如本例忽视正实数，则会导致 错选.
(AC1aa..)(ba21b)2a4.+bb2
B. D.a+b
(1a)(b1)4. ab
【解析】选D.因为0<a<1，0<b<1，a≠b， 所以a+b> ，a2+b2>2ab， 所以，最大(1a)(b的1)4只. 能是a2+b2与a+b之一. 而a2+b2-a(a+b b)=a(a-1)+b(b-1)， 又0<a<1，0<b<1，所以a-1<0，b-1<0， 因此a2+b2<a+b，所以a+b最大.
高中数学必修五基本不等式人教A版必修市公开课一等奖省优质课获奖课件.pptx
C．a>a＋2 b>b> ab
D．a>
a＋b ab> 2 >b
第12页
[解析] 本题的关键在于比较a＋2 b，b， ab的大小，因 为 ab> b2， ab>b，又由推论知a＋2 b> ab，∴a>a＋2 b > ab>b，故选 B. [答案] B
第13页
迁移变式 1 以下结论中，错用基本不等式作依据的是 ()
a2＋2 b2时，可
先证平方成立，然后开方．
第20页
[证明] ∵a>0，b>0，∴1a>0，1b>0，∴1a＋2 1b≥
a1b＝ 1ab>0，
∴1a＋2 1b≤ ab，∴1a＋1 1b≤ 2ab≤ ab.
又a＋4 b2＝a2＋b42＋2ab≤a2＋b2＋4 a2＋b2＝a2＋2 b2，∴a＋2 b
，
∴lga＋2 lgb<lg(a＋2 b)，即 Q<R，∴P<Q<R.
第16页
[点评] 依据均值不等式与对数运算法则， 利用不等式传递性，即可得到三个式子大 小关系．
第17页
迁移变式 2 设 m＝12logax，n＝loga1＋2 x，p＝loga12＋xx，其
中 0<a<1，x>0 且 x≠1，则下列结论正确的是( )
A．x，y 均为正数，则yx＋xy≥2 B．a∈R，则(1＋a)(1＋1a)≥4 C．若 x>1，则 lgx＋logx10≥2 D. xx2＋2＋21≥2
第14页
解析：A、C符合基本不等式，能够利用基
本不等式作理论依据．D拆项后为
，
符合基本不等式，只有B，因给出a∈R，
中学高中数学 3.4基本不等式课件 新人教版必修5
a
7
[例 1] 已知 a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋ c2a2.
[证明] 由基本不等式可得： a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2， 同理：b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2， ∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2， 从而 a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
∴xy＋9yx＋10≥2 时，等号成立．
xy×9yx＋10＝16，当且仅当xy＝9yx，即 y＝3x
y＝3x， 由1x＋9y＝1，
得yx＝＝142，， 即当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取得最
小值 16
a
18
[例 3] 如图所示，动物园要围成相 同面积的长方形虎笼四间，一面可利 用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围 36 m 长的材料， 每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设 计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
a
19
[解] (1)设每间虎笼长为 x m，宽为 y m，则由条件得 4x＋6y＝ 36，
即 2x＋3y＝18，设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy. 由于 2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy， ∴2 6xy≤18，得 xy≤227，即 S≤227，当且仅当 2x＝3y 时，等 号成立， 由22xx＋＝33yy＝，18， 解得xy＝＝34，.5， 故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使面积最大．
a
23
[活学活用] 3．某汽车公司购买了 4 辆大客车，每辆 200 万元，用于 长途客运，预计每辆车每年收入约 100 万元，每辆车第一年 各种费用约为 16 万元，且从第二年开始每年比上一年所需费 用要增加 16 万元． (1)写出 4 辆车运营的总利润 y(万元)与运营年数 x(x∈N*) 的函数关系式；