集合与常用逻辑用语,函数知识总结大全

第一章 集合与常用逻辑用语知识结构

【知识概要】

一、集合的概念、关系与运算

1. 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性. 在应用集合的概念求解集合问题时，要特别注意这三个性质在解题中的应用，元素的互异性往往就是检验的重要依椐。

2. 集合的表示方法：列举法、描述法. 有的集合还可用Venn 图表示，用专用符号表示，如,,,,,,N N N Z R Q φ*+等。

3. 元素与集合的关系：我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，若元素x 是集合A 的元素，则x A ∈，否则x A ∉。

4. 集合与集合之间的关系：

①子集：若x A ∈，则x B ∈，此时称集合A 是集合B 的子集，记作A B ⊆。

②真子集：若A B ⊆，且存在元素x B ∈，且x A ∉，则称A 是B 的真子集，记作：A B .

③相等：若A B ⊆，且A B ⊇，则称集合A 与B 相等，记作A ＝B .。 5. 集合的基本运算：

①交集：{}A B x x A x B =∈∈I 且 ②并集：{}A B x x A x B =∈∈U 或 ③补集：{|,}U C A x x U x A =∈∉且，其中U 为全集，A U ⊆。 6. 集合运算中常用结论：

①,,A A A A A B B A φφ===I I I I ，A B A A B =⇔⊆I 。 ②,,A A A A A A B B A φ===U U U U ，A B A B A =⇔⊆U 。

③()U A C A U =U ，()U C A A ϕ=I ，

()()()U U U C A B C A C B =I U ，()()()U U U C A B C A C B =U I 。 ④由n 个元素所组成的集合，其子集个数为2n 个。

⑤空集是任何集合的子集，即A ϕ⊆。

在解题中要特别留意空集的特殊性，它往往就是导致我们在解题中出现错误的一个对象，避免因忽视空集而出现错误。 ●7.含参数的集合问题是本部分的一个重要题型，应多根据集合元素的互异性挖掘题目的隐含条件，并注意分类讨论思想、数形结合思想在解题中的运用。

二、命题及其关系

●1．命题的概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。 ●2．四种命题的相互关系：

●3. “若p 则q ”是真命题，即p q ⇒；“若p 则q ”是假命题，则p q ⇒/。

●4. 在判断命题真假的问题中，一方面可以直接写出命题进行判断，也可以通过命题的等价性进行判断，即原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价。 ●5. 充分必要条件的判断是本部分的一个重要题型，在解题中应注意：

（1）注意问题的设问方式，我们知道，①p 是q 的充分不必要条件是指p q ⇒且p q ⇐/；②p 的必要不充分条件是q 是指p q ⇒且q p ⇒/。这两种说法是在充分必要条件推理判断中经常出现且容易混淆的说法，在解题中一定要注意问题的设问方式，弄清它们的区别，以免出现判断错误。

（2）要善于举出恰当的反例来说明一个命题是错误的。

（3）恰当地进行转化，由原命题与逆否命题等价可知：若p 是q 的充分不必要条件，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件；若p 是q 的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件。

●6. 证明p 是q 的充要条件

（1）充分性：把p 当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q ； （2）必要性：把q 当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p 。

三、逻辑联结词与量词

●1．含有“且（∧）”“或(∨)”“非（⌝）”命题的真假性：

●2．全称量词与存在量词：命题中的“对所有”、“任意一个”等短语叫做全称量词，用符号“∀”表示，“存在”、“至少有一个”等短语叫做存在量词，用符号“∃”表示。

含有全称量词的命题叫做全称命题，全称命题：“对M中任意一个x，有()

p x成立”可用符号简记为,()

∀∈。

x M p x

含有存在量词的命题叫做特称命题，特称命题：“存在M中任意一个x，使()

p x成立”可用符号简记为,()

∃∈。

x M p x

●3．全称命题与特称命题的关系：

第二章函数知识结构

一..函数的概念及其表示

（1）函数的概念

①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B

f x和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）

中都有唯一确定的数()

→．

叫做集合A到B的一个函数，记作:f A B

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．

③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法

①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤

≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足

a x

b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的

集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集

合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <

<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须

a b <．

（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：

①()f x 是整式时，定义域是全体实数．

②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．

③

()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．

④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤

tan y x =中，()2

x k k Z π

π≠+

∈．

⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若

()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数

的定义域的交集．

⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]

f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤

≤解出．

⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，