二次函数和指数对数函数
数值函数、参数函数、通用函数
数值函数、参数函数、通用函数数学中的函数是一种特殊的关系，它将一个或多个输入值映射到唯一的输出值。
函数是数学建模和问题求解的基础，在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍数值函数、参数函数和通用函数的概念及其在实际问题中的应用。
一、数值函数数值函数是指将一个或多个实数作为输入，返回一个实数作为输出的函数。
它可以用一个数学式子来表示，也可以用一张表格或图像来表示。
数值函数的定义域是实数集，值域是实数集。
常见的数值函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
线性函数是最简单的数值函数之一，其表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率a决定了直线的倾斜程度，常数b决定了直线与y轴的交点。
二次函数是一种重要的数值函数，其表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由二次项系数a的正负决定，常数c决定了抛物线与y轴的交点。
指数函数是以指数为变量的函数，其表达式为f(x) = a^x，其中a 为常数。
指数函数的图像是一条逐渐增加或逐渐减小的曲线，常数a决定了曲线的增长速度。
对数函数是指数函数的反函数，其表达式为f(x) = loga(x)，其中a 为常数且a > 0，且a ≠ 1。
对数函数的图像是一条逐渐平缓或逐渐陡峭的曲线，常数a决定了曲线的陡峭程度。
数值函数在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，利润函数、成本函数和供需函数都属于数值函数，用于分析和预测市场行为。
在物理学中，速度函数、加速度函数和力函数都是数值函数，用于描述物体的运动规律。
在生物学中，生长函数和衰减函数也是数值函数，用于研究生物体的生长和衰老过程。
二、参数函数参数函数是指函数中含有一个或多个参数的函数。
参数是函数中可变的量，通过改变参数的值，可以得到不同的函数。
参数函数可以用一个数学式子来表示，也可以用一张表格或图像来表示。
高中数学复习 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数
一次函数、二次函数、指数函数、对数函数一、一次函数函数(0)y ax b a =+≠叫做一次函数，当a>0时，该函数是增函数，当a<0时，该函数是减函数。
由于函数是单调函数，故其在闭区间上的最大、小值一定在端点取得。
故若函数f(x)=ax+b 在[,]x p q ∈时恒为正（负），则在p 、q 处的函数值满足:f(p)、f(q)恒为正（负）；若函数f(x)=ax+b 在[,]x p q ∈上与x 轴有交点，则在p 、q 出的函数值满足f(p)、f(q)一正一负。
二、二次函数1、 一元二次函数的定义:形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数叫做一元二次函数。
2、二次函数的三种表示形式：（1） 一般式：2(0)y ax bx c a =++≠ （2） 顶点式: 2()y a x k h =++ （3） 零点式: 12()()y a x x x x h =+++ 3、 一元二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的性质（1） 定义域为R ，当a>0时，值域为 244(,)a c ba-+∞； 当a<0是，值域为 244(,)a c ba--∞ （2） 图像为抛物线，其对称轴方程为2b a -，顶点为：2424(,)b ac ba a --；（3） 当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下； （4） 当a>0时，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，当a<0时，在区间 上是增函数，在区间 上是减函数（5） 当 时，该函数是偶函数，当 时，该函数是非奇非偶函数。
4、 一元二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[p,q]（p<q ）上的最值问题（以a>0为例）（1）若2b a q ≤-, 则该函数的最大值为 最小值为 （2）若22p q b a q +≤- ， 则该函数的最大值为 最小值为（3）若22p q b a p +≤-，则该函数的最大值为 最小值为（4）若2b a p - ， 则该函数的最大值为 最小值为 解决这种问题不能死记，应利用数形结合的方法来记忆，也就是抓住“三点一轴”（三点是指区间的端点和区间的中点，一轴是指对称轴。
高考数学中的二次函数与相关题型分析
高考数学中的二次函数与相关题型分析高考数学是考生们最为担心的科目之一，而其中涉及到的二次函数和相关题型更是让人头疼。
二次函数是高中数学的重点和难点，因此在备战高考时务必要重视和复习。
本文将着重分析高考数学中的二次函数和相关题型，并介绍备考中的一些技巧和方法。
一、二次函数的基本概念二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c 的一类函数，其中 a、b、c都是实数，且a ≠ 0。
二次函数的图像为一个开口向上或向下的抛物线。
二次函数的一些基本概念包括：1. 零点：指函数图象与 x 轴的交点，也就是方程 ax^2 + bx + c= 0 的解。
2. 判别式：指二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的 b^2-4ac 部分，用于判断此方程的解的数量和类型。
3. 对称轴：指函数图象中抛物线的对称轴，其方程为x = -b/2a。
4. 单调性和极值：指函数图象的凹凸性和最值点。
二、高考中的二次函数题型在高考数学中，二次函数的考察主要分为以下几个方面：1. 二次函数的图像及性质该题型主要考查二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴等性质，需要通过化式子、配方法、求导等方法计算。
例如：已知二次函数 f(x) = 2x^2 - 4x + 1，求出它的零点、对称轴和顶点坐标。
2. 二次函数的解析式以及单调性和极值该题型主要考查对二次函数解析式的把握和对单调性和极值的理解，需要通过求导、解方程等方法计算。
例如：已知二次函数 f(x) = x^2 - 2x + 3，求出它的解析式和单调性和极值。
3. 二次函数与其他函数的关系该题型主要考查二次函数与指数函数、对数函数、三角函数等其他函数的关系，需要掌握函数的基本性质和变换。
例如：已知二次函数 y = x^2 + 2x + 1 和指数函数 y = e^x，求出它们的交点坐标。
4. 实际问题中的二次函数该题型主要考查将二次函数应用于实际问题中的能力，需要理解问题背景和建立模型。
函数知识点总结高中
函数知识点总结高中一、函数的定义1. 函数的定义函数是自变量和因变量之间的一种映射关系。
一般地，如果对于集合A中的每一个元素x，在集合B中有唯一确定的元素y与之对应，则称y是x的函数值，称这种对应关系为函数，记作y=f(x)。
2. 函数的定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
在定义函数的时候，需要确定函数的定义域和值域。
3. 函数的性质函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性等，这些性质可以通过函数的图像来判断。
二、函数的图像1. 函数的图像函数的图像是函数在平面直角坐标系上的表示，对于一元函数y=f(x)，可以通过画出函数的图像来直观地理解函数的性质和规律。
2. 基本初等函数的图像常见的初等函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等，它们都有各自的特点和图像特征。
三、函数的性质1. 奇偶性函数的奇偶性是指函数的图像是否关于原点对称。
如果对于任意x∈D，有f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于任意x∈D，有f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数。
2. 周期性周期函数的函数值随自变量的变化而重复出现。
周期函数可以用来描述一些具有规律性变化的现象，如正弦函数、余弦函数等。
3. 单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减性。
如果对于任意x1<x2，有f(x1)<f(x2)，则函数f(x)是单调增加的；如果对于任意x1<x2，有f(x1)>f(x2)，则函数f(x)是单调减少的。
4. 极限和连续性函数的极限和连续性是函数的重要性质，它们可以用来描述函数在某一点的趋势和变化规律。
四、常见函数1. 线性函数线性函数是最简单的一种函数，它的图像是一条直线，表示为y=kx+b，其中k是斜率，b是截距。
2. 二次函数二次函数是一种常见的函数，它的图像是一个抛物线，表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。
考点02 二次函数及指对数函数问题的探究(解析版)
考点02 二次函数及指、对数函数问题的探究【知识框图】【自主热身，归纳提炼】1、(2019南京、盐城一模）已知y ＝f(x)为定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝e x ＋1，则f (－ln2)的值为________．【答案】－3【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(－ln 2)＝－f(ln 2)＝－(e ln 2＋1)＝－(2＋1)＝－3.2、(2016常州期末） 函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________． 【答案】. ⎝⎛⎦⎤－∞，32 【解析】由题意可得－x 2＋22>0，即－x 2＋22∈(0,22]，故所求函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32. 3、(2018南京、盐城、连云港二模）函数f(x)＝lg (2－x)的定义域为________．【答案】. (－∞，2)【解析】由题意得2－x>0，即x<2，所以函数f(x)＝lg (2－x)的定义域为(－∞，2)．4、(2018苏州期末）已知4a ＝2，log a x ＝2a ，则正实数x 的值为________． 【答案】 12【解析】由4a ＝2，得22a ＝21，所以2a ＝1，即a ＝12.由log 12x ＝1，得x ＝⎝⎛⎭⎫121＝12.5、(2015南京调研）设函数f (x )＝x 2－3x ＋a .若函数f (x )在区间(1,3)内有零点，则实数a 的取值范围为________． 【答案】⎝⎛⎦⎤0，94 解法 1 由f (x )＝0得a ＝－x 2＋3x ＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94.因为x ∈(1,3)，所以－⎝⎛⎭⎫x －322＋94∈⎝⎛⎦⎤0，94，所以a ∈⎝⎛⎦⎤0，94.解法 2 因为f (x )＝x 2－3x ＋a ＝⎝⎛⎭⎫x －322－94＋a ，所以要使函数f (x )在区间(1,3)内有零点，则需f ⎝⎛⎭⎫32≤0且f (3)>0，解得0<a ≤94.解后反思 解法1将函数有零点的问题转化为方程后，再分离出参数a ，从而转化为求函数的值域来加以解决，这体现了函数与方程之间的相互转化关系的应用；解法2则是借助于函数的图像，通过数形结合的方法来解决的．6、(2015苏州期末） 已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫1－a 2x 的定义域是⎝⎛⎭⎫12，＋∞，则实数a 的值为________． 【答案】 2【解析】解法1 由1－a 2x >0，得2x >a .显然a >0，所以x >log 2a .由题意，得log 2a ＝12，即a ＝ 2.解法2 (秒杀解法)当x ＝12时，必有1－a2x ＝0，解得a ＝ 2.7、 (2018苏北四市、苏中三市三调）已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的图像与x 轴相切，若直线y ＝c 与y ＝c ＋5分别交f (x )的图像于A ，B ，C ，D 四点，且四边形ABCD 的面积为25，则正实数c 的值为________．【答案】4【解析】：由题意得a 2＝4b .又由x 2＋ax ＋b ＝c 得AB ＝|x 1－x 2|＝a 2－4(b －c )＝2c .同理CD ＝2c ＋5.因为四边形ABCD 为梯形，所以25＝12(2c ＋5＋2c )×5，解得c ＝4.8、(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数13log a y x =，22log a y x =和3log a y x =(1a >)的图象上，则实数a 的值为 ____ ．【答案】2【解析】设)log 3,(t t A a （0>t ），因为正方形ABCD 的边长为2，所以)log 2,(t t B a ，)log 2,(2t t C a ，则⎩⎨⎧=-=-2log 2log 322t t t t a a ，即⎩⎨⎧==--2log 022t t t a ，解之得⎩⎨⎧==22a t ，即所求的实数a 的值为2．9、(2017徐州、连云港、宿迁三检）已知对于任意的(,1)(5,)x ∈-∞+∞U ，都有22(2)0x a x a --+>，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】 ]5,1(【解析】 当04)2(42<--=∆a a ，即0452<+-a a ，41<<a 时，满足题意；当04)2(42≥--=∆a a ，即0452≥+-a a ，1≤a 或4≥a 时，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+--≥+--<---<0)2(1050)2(2152)2(2122a a a a a ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<5573a a a ，所以53≤<a ，又因为1≤a 或4≥a ，所以54≤≤a ，综上所述，实数a 的取值范围为]5,1(。
比较不同类型函数的单调性
比较不同类型函数的单调性在数学中，函数的单调性是一个重要的性质，它可以帮助我们了解函数在不同区间上的变化规律。
接下来，我们将比较不同类型函数的单调性，包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和反比例函数。
1.一次函数：一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k 和 b 为常数，且k≠0。
一次函数的单调性取决于k 的正负。
当k >0 时，函数在R 上为增函数；当k <0 时，函数在R 上为减函数。
2.二次函数：二次函数的一般形式为y = ax²+ bx + c（a≠0）。
二次函数的单调性取决于 a 的正负。
当 a >0 时，函数在R 上开口向上，对称轴为x = -b/2a，此时函数在对称轴两侧分别为增函数和减函数；当 a <0 时，函数在R 上开口向下，对称轴同样为x = -b/2a，此时函数在对称轴两侧分别为减函数和增函数。
3.指数函数：指数函数的一般形式为y = a^x（a >0，且a≠1）。
当a >1 时，函数在R 上为增函数；当0 < a <1 时，函数在R 上为减函数。
4. 对数函数：对数函数的一般形式为y = log_a(x）（a >0，且a≠1）。
当 a >1 时，函数在(0, +∞) 上为增函数；当0 < a <1 时，函数在(0, +∞) 上为减函数。
5.反比例函数：反比例函数的一般形式为y = k/x（k 为常数，且k≠0）。
反比例函数在第一象限和第三象限为增函数，在第二象限和第四象限为减函数。
综上所述，不同类型函数的单调性具有不同的特点。
了解这些性质有助于我们在实际问题中更好地分析和解决相关问题。
在后续的学习中，我们还将探讨更多类型的函数及其性质，以丰富我们的数学知识体系。
强化第3课时 二次函数、指数函数和对数函数
高考要求 ……二次函数、指数函数和对数函数……………………… 1掌握二次函数的图像性质； 2掌握指数、对数的运算性质 3掌握指数函数和对数函数的概念、图像和性质，并能解决相关问题。
知识点归纳 1（1）二次函数的图象及性质:二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是⎭⎝⎛--a b ac a b 4422，（2）最值问题：二次函数f(x)=ax 2+bx+c 在区间[α,β]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴-b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边 要注意系数a 的符号对抛物线开口的影响以及对称轴与区间的相对位置（3）理解好二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：2分数指数幂的运算性质： )()(),()(),(Q n b a ab Q n m a a Q n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+ s r s r a a a += r r r ab b a )(=3 )10(≠>=a a a y x 且的图象和性质4指数式与对数式的互化：log ba a N Nb =⇔= 5重要公式： 01log =a ，log =a a 对数恒等式N a N a =log6对数的运算法则 （其中0,1,0,0a a N M >≠>>）log ()log log a a a MN M N =+ log log log a a a M M N N=-log log n m a a m M M n= 7对数换底公式：aN a N N m m a log log lg lg log == ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 8两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a② b mn b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1） 9对数函数的性质：10同底的指数函数xy a =与对数函数log a y x =互为反函数 [速练速改]:1．已知二次函数0)(2=++=c bx ax x f ，0)0(=f ，则=c ；2．函数42)(2-+=x x x f 的对称轴为 ，它有最 值为 ；3．画出函数12)(2--=x x x f 的图像，并由图写出函数的单调性，最值。
指对幂函数知识点总结
指对幂函数知识点总结在数学的世界里，函数是一个非常重要的概念，而指对幂函数更是函数家族中的重要成员。
掌握指对幂函数的相关知识，对于我们理解数学的奥秘、解决实际问题都有着至关重要的作用。
接下来，就让我们一起深入了解指对幂函数的知识点吧。
一、指数函数指数函数的一般形式为$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。
1、定义域指数函数的定义域为$R$，即全体实数。
2、值域当$a ＞ 1$时，函数的值域为$（0, ＋＼infty)＄；当$0 ＜ a ＜ 1$时，函数的值域同样为$（0, ＋＼infty)＄。
3、单调性当$a ＞ 1$时，指数函数在$R$上单调递增；当$0 ＜ a ＜ 1$时，指数函数在$R$上单调递减。
4、图像特点（1）指数函数的图像恒过定点$（0, 1)＄。
（2）当$a ＞ 1$时，图像在$x$轴上方，且从左往右逐渐上升；当$0 ＜ a ＜ 1$时，图像在$x$轴上方，且从左往右逐渐下降。
5、指数运算性质（1）＄a^m × a^n ＝ a^｛m ＋ n}＄（2）＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄（3）＄（ab)＾n ＝ a^n b^n$二、对数函数对数函数是指数函数的反函数，一般形式为$y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。
1、定义域当$a ＞ 1$时，定义域为$（0, ＋＼infty)＄；当$0 ＜ a ＜ 1$时，定义域同样为$（0, ＋＼infty)＄。
2、值域对数函数的值域为$R$，即全体实数。
3、单调性当$a ＞ 1$时，对数函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递增；当$0 ＜ a ＜ 1$时，对数函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递减。
4、图像特点（1）对数函数的图像恒过定点$（1, 0)＄。
（2）当$a ＞ 1$时，图像在$y$轴右侧，从左往右逐渐上升；当$0 ＜ a ＜ 1$时，图像在$y$轴右侧，从左往右逐渐下降。
5、对数运算性质（1）＄＼log_a （MN) ＝＼log_a M ＋＼log_a N$（2）＄＼log_a ＼frac{M}｛N} ＝＼log_a M ＼log_a N$（3）＄＼log_a M^n ＝ n ＼log_a M$6、指对数互化若$a^b ＝ N$，则$＼log_a N ＝ b$。
高中数学：一次函数、二次函数、指数函数知识点汇总【必考点】
一次函数一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ②（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
二次函数的所有知识点
二次函数的所有知识点二次函数是高中数学中重要的内容之一，它涉及到许多重要的知识点。
下面我将分享一些关于二次函数的重要知识点。
1. 二次函数的定义：二次函数是具有形式f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
其中，a决定了二次函数的开口方向，正值会使函数开口向上，负值会使函数开口向下；b决定了二次函数的位置，正值会使函数向左移动，负值会使函数向右移动；c是二次函数的常数项，它决定了二次函数与y轴的交点。
2. 顶点和对称轴：二次函数的顶点是函数图像的最高点（如果开口向上）或最低点（如果开口向下），顶点的坐标可以通过公式x = -b/(2a)和y = f(-b/(2a))计算得到。
对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线，它可以通过公式x = -b/(2a)获得。
3. 零点和因式分解：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，也就是方程f(x) = 0的解。
我们可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)来求解二次函数的零点。
另外，二次函数也可以通过因式分解的方式求解零点，即将二次函数表示为两个一次函数的乘积形式。
4. 判别式与函数图像的性质：在求解二次函数的零点时，判别式D = b^2 - 4ac起到了重要的作用。
当判别式为正时，二次函数有两个不同的实根，图像与x轴有两个交点；当判别式为零时，二次函数有一个实根，图像与x轴有一个交点；当判别式为负时，二次函数没有实根，图像与x轴没有交点。
通过判别式可以判断二次函数的零点个数和函数图像的性质。
5. 最值与增减性：二次函数的最值可以通过顶点坐标得到，如果二次函数开口向上，则最小值为顶点的纵坐标；如果开口向下，则最大值为顶点的纵坐标。
关于函数的增减性，二次函数的增减性取决于a的正负性，当a > 0时，二次函数是上升的，当a < 0时，二次函数是下降的。
6. 对称性与轴对称图形：二次函数具有轴对称性，即关于对称轴对称。
数学函数图像知识点总结
数学函数图像知识点总结函数是数学中的一个重要概念，通过函数可以描述各种现象和规律。
函数图像是函数的图形表示，通过函数图像可以直观地理解函数的性质和行为。
在学习数学函数图像时，我们需要掌握一些重要的知识点，包括函数的定义、基本函数图像、函数的性质、函数图像的变换等内容。
本文将围绕这些知识点展开详细的介绍。
一、函数的定义1.1 函数的定义在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每一个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
通俗的讲，函数就是一种映射关系，将自变量映射到因变量。
函数的定义可以用一个公式、图形或者文字描述。
函数通常用f(x)或者y来表示，其中x是自变量，y是因变量。
函数的一般表示形式为y=f(x)，其中f表示函数名，x表示自变量，y表示因变量。
1.2 函数的性质函数有许多重要的性质，包括定义域、值域、奇偶性、周期性等。
在图像中，这些性质通常能够直观地表现出来。
- 定义域：函数的自变量的取值范围称为函数的定义域。
在函数图像上，定义域通常可以通过图形的横坐标范围来表示。
- 值域：函数的因变量的取值范围称为函数的值域。
在函数图像上，值域通常可以通过图形的纵坐标范围来表示。
- 奇偶性：函数的奇偶性是指函数图像关于y轴对称还是关于原点对称。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
- 周期性：具有周期性的函数在一定的距离内重复出现相似的图像。
周期函数的图像通常具有明显的重复性特征。
1.3 常见的基本函数在函数图像中，一些基本函数的图像具有重要的参考意义，这些函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
- 线性函数：线性函数的图像是一条直线，具有固定的斜率和截距。
- 二次函数：二次函数的图像是一个抛物线，具有一个顶点。
- 指数函数：指数函数的图像是以底数为底的指数幂函数，具有快速增长或者快速衰减的特点。
- 对数函数：对数函数的图像是以底数为底的对数函数，具有反映增长速度缓慢的特点。
幂函数,一次,二次,指数,对数函数
课 题 函数教学目标1基本初等函数的图像和性质（幂函数，一次，二次，指数，对数函数） 2二次函数求最值教学内容一、幂函数定义及其图象一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数． 下面我们举例学习这类函数的一些性质． 作出下列函数的图象：（1）x y =；（2）21x y =；（3）2x y =；（4）1-=x y ；（5）3x y =．[解] ○1列表（略） ○2图象二：幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴三、观察图象，总结填写下表：x y =2x y = 3x y =21xy =1-=x y定义域 值域 奇偶性 单调性 定点[例1]比较下列两个代数值的大小： （1）5.1)1(+a ，5.1a（2）322)2(-+a ，322-[例2] 讨论函数32x y =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．课堂练习：1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：（1）433.2，434.2； （2）5631.0，5635.0； （3）23)2(-，23)3(-； （4）211.1-，219.0-．2．作出函数2-=x y 和函数2)3(--=x y 的图象，求这两个函数的定义域和单调区间．3．用图象法解方程：（1）1-=x x ； （2）323-=x x ．思考：如图所示，曲线是幂函数αx y =在第一象限内的图象，已知α分别取2,21,1,1-四个值，则相应图象依次为： ． 练习：1．在函数1,,2,1222=+===y x x y x y xy 中，幂函数的个数为： A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．已知幂函数)(x f y =的图象过点)2,2(，试求出这个函数的解析式．训练：一、选择题：1．下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是（ ）A ．y x =43B ．y x =32C ．y x =-2D ．y x =-142．函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是（ ）A ．41 B ．1-C ．4D ．4- 3．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）A ．3x y -=B ．3-=xyC ．32x y = D ．13-=x y 4．函数34x y =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列命题中正确的是（ ）A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限6．函数3x y =和31x y =图象满足（ ）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x y =对称 7． 函数R x x x y ∈=|,|，满足（ ）A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数 8．函数2422-+=x x y 的单调递减区间是（ ）A ．]6,(--∞B ．),6[+∞-C ．]1,(--∞D ．),1[+∞-9． 如图1—9所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ）A ．102431<<<<<ααααB ．104321<<<<<ααααC ．134210αααα<<<<<D ．142310αααα<<<<< 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）. 1．函数y x=-32的定义域是 .2．幂函数的图象过点（，则f x f x (),)()32741-的解析式是.3．942--=a a xy 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 .4．幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m x y mn k∈=-图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的奇偶性为 .三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤(共76分) . 1．（12分）比较下列各组中两个值大小（1）060720880896116115353..(.)(.).与；（）与--1α3α4α2α2．（12分）已知幂函数f x x m Z x y y mm ()()=∈--223的图象与轴，轴都无交点，且关于 轴对称，试确定f x ()的解析式.3．（12分）求证：函数3x y =在R 上为奇函数且为增函数.4．（12分）下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系..6543212132323123---======x y x y x y x y x y x y ）；（）；（）（；）；（）；（）（（A ） （B ） （C ） （D ） （E ） （F ）四．二次函数一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
常见函数知识点总结
常见函数知识点总结函数是数学中的一个重要概念，它在数学和科学中有着广泛的应用。
在学习函数的过程中，有一些常见的知识点是需要掌握的，包括函数的定义、函数的性质、函数的图像、函数的分类、函数的运算、函数的应用等。
本文将对这些常见的函数知识点进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握函数的相关知识。
一、函数的定义函数是一种特殊的关系，它规定了每个自变量对应一个唯一的因变量。
具体来说，如果对于每一个自变量x，都有唯一的因变量y与之对应，那么我们就说y是x的函数，记作y=f(x)。
其中，x称为自变量，y称为因变量，f称为函数。
例如，f(x)=x^2就是一个函数，它表示自变量x的平方值作为因变量。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是所有自变量可能取值的集合，值域是所有因变量可能取值的集合。
2. 奇偶性：如果对于任意的x，有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)是奇函数；如果对于任意的x，有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)是偶函数。
3. 单调性：如果对于任意的x1<x2，有f(x1)<f(x2)，那么函数f(x)是增函数；如果对于任意的x1<x2，有f(x1)>f(x2)，那么函数f(x)是减函数。
4. 周期性：如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)是周期函数。
5. 对称性：如果对于任意的x1和x2，有f(x1)=f(x2)，那么函数f(x)是对称函数。
三、函数的图像函数的图像是在坐标系中用曲线或点表示的。
常见的函数图像有直线、抛物线、三角函数曲线、指数函数曲线、对数函数曲线等。
在图像上，我们可以通过函数的性质来判断函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等。
例如，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，增函数的图像是逐渐上升的，周期函数的图像有明显的重复规律等。
四、函数的分类1. 初等函数：包括多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、指数对数函数等。
数学函数不等式知识点总结
数学函数不等式知识点总结一、常见的函数不等式类型在数学中，函数不等式涉及到各种类型的函数，常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
这些函数类型在不等式中都有着各自的特点和解法方法。
接下来我们将针对这些常见的函数类型分别进行介绍。
1.1 线性函数不等式线性函数的一般形式为：f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a≠0。
线性函数不等式的形式为：ax + b > 0或者ax + b < 0。
解线性函数不等式最常用的方法就是通过解一元一次不等式，首先将不等式化为一元一次不等式，然后通过移项、乘除以常数等基本操作进行解答。
1.2 二次函数不等式二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数不等式的形式为：ax^2 + bx + c > 0或者ax^2 + bx + c < 0。
解二次函数不等式的方法通常有两种，一种是通过画出二次函数的图像，找出函数的取值范围；另一种是通过配方法或者公式法解出二次函数的解析式。
1.3 指数函数不等式指数函数的一般形式为：f(x) = a^x，其中a为正实数且a≠1。
指数函数不等式的形式为：a^x > b或者a^x < b。
解指数函数不等式的方法通常是通过取对数进行化简，然后再求解对数不等式的解。
1.4 对数函数不等式对数函数的一般形式为：f(x) = loga(x)，其中a为正实数且a≠1。
对数函数不等式的形式为：loga(x) > b或者loga(x) < b。
解对数函数不等式的方法通常也是通过取对数进行化简，然后再求解对数不等式的解。
需要注意的是，对数函数的定义域为正实数，所以在解对数函数不等式时需要考虑函数的定义域。
二、函数不等式的解法方法解函数不等式的方法通常有几种常见的技巧和步骤，下面我们将对这些解法方法进行介绍。
2.1 移项法移项法是解一元一次不等式的常用方法，通过将不等式中的项移到一边，使得不等式变为一个不含未知数的式子，然后再求解不等式。
指对幂函数知识点总结
指对幂函数知识点总结在数学的学习中，指对幂函数是非常重要的一部分内容。
下面咱们就来好好梳理一下指对幂函数的相关知识点。
一、指数函数指数函数的一般形式为＄y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$ 且＄a ≠ 1$），其中＄a$ 是底数，＄x$ 是指数。
1、定义域指数函数的定义域为＄R$，也就是全体实数。
2、值域当＄a ＞ 1$ 时，函数的值域为＄（0, ＋＼infty)＄；当＄0 ＜ a ＜1$ 时，函数的值域同样为＄（0, ＋＼infty)＄。
3、单调性若＄a ＞ 1$，则函数在＄R$ 上单调递增；若＄0 ＜ a ＜ 1$，则函数在＄R$ 上单调递减。
4、图像特点（1）当＄a ＞ 1$ 时，指数函数的图像过点＄（0,1)＄，且从左到右逐渐上升。
（2）当＄0 ＜ a ＜ 1$ 时，指数函数的图像过点＄（0,1)＄，且从左到右逐渐下降。
5、指数运算性质（1）＄a^m × a^n ＝ a^｛m ＋ n}＄（2）＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄（3）＄（ab)＾n ＝ a^n b^n$二、对数函数对数函数是指数函数的反函数，一般形式为＄y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$ 且＄a ≠ 1$），其中＄a$ 是底数，＄x$ 是真数。
1、定义域当＄a ＞ 1$ 时，定义域为＄（0, ＋＼infty)＄；当＄0 ＜ a ＜1$ 时，定义域也是＄（0, ＋＼infty)＄。
2、值域对数函数的值域为＄R$。
3、单调性当＄a ＞ 1$ 时，函数在＄（0, ＋＼infty)＄上单调递增；当＄0 ＜a ＜ 1$ 时，函数在＄（0, ＋＼infty)＄上单调递减。
4、图像特点（1）对数函数的图像都过点＄（1,0)＄。
（2）当＄a ＞ 1$ 时，图像从左到右逐渐上升；当＄0 ＜ a ＜1$ 时，图像从左到右逐渐下降。
5、对数运算性质（1）＄＼log_a （MN) ＝＼log_a M ＋＼log_a N$（2）＄＼log_a ＼frac{M}｛N} ＝＼log_a M ＼log_a N$（3）＄＼log_a M^n ＝ n ＼log_a M$6、指对数互化若＄a^b ＝ N$，则＄＼log_a N ＝ b$ 。
一次二次函数指数对数函数总结
一、基础知识复习：（一）一次函数：1、函数叫做一次函数（也叫线性函数），k叫做，b叫做2、一次函数的图像和性质（二）二次函数：1、函数叫做二次函数，定义域为2、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：（2）顶点式：（3）两根式：3、研究二次函数的基本方法——配方法、数形结合（图像）4、二次函数的图像和性质（三）函数零点：1、零点：如果函数()y f x=在实数α处的值，即，则叫做这个函数的零点2、函数的零点就是函数图像，也就是方程()0f x=的，求函数()f x的零点即求3、根的存在性定理：函数()y f x=在一个区间[a,b]上的图像连续不断，若()()0f a f b<，则在区间[a,b]上，存在一点，使说明：①该定理只能判断变号零点的存在，不能确定零点的个数，也无法判断不变号零点的情况②若函数()f x在区间[a,b]内单调，且()()0f a f b<，则函数在[a,b]内4、二分法求函数的零点（变号零点）：二分法的基本步骤：第一步：确定定义域的一个子区间[,]a b,验证: ，给定精确度第二步：取区间(,)a b的中点x0= ，计算判断：（1）如果，则x0就是函数的零点，计算终止；（2）如果，令b=，则零点位于区间中，（3）如果，令a=，则零点位于区间中，第三步：判断是否达到精确度，即区间端点的近似值按照给定精确度相同时，得到近似零点，计算终止，否则重复第二步。
（四）指数运算1、根式的性质：___(1,)n n N+=>∈且⎧=⎨⎩____,当n为奇数时____,当n为偶数时2、0a= （）na-= （）mna= = (0,,,ma m n Nn+>∈且为既约分数）（分数指数幂与根式互化）3、有理指数幂的运算性质：设0,0,,a bαβ>>为有理数⑴a aαβ= ⑵()aαβ= ⑶()abα=注意：指数运算最重要的是“同底运算”（五）指数函数1、定义：一般地，形如的函数叫做指数函数。
专升本高等数学函数的知识点
高考数学冲刺隐函数考点全面解析在高考数学的复习冲刺阶段，隐函数这一考点常常让同学们感到棘手。
但只要我们深入理解其概念、掌握解题技巧，就能在考场上应对自如。
首先，我们来明确一下隐函数的定义。
隐函数是指在一个方程中，如果指定其中一个变量为因变量，其余变量为自变量，当自变量在某个范围内取值时，由这个方程所确定的因变量与自变量之间的对应关系。
简单来说，就是不像常见的函数那样能明显地把因变量用自变量的式子表示出来。
那隐函数有哪些常见的形式呢？比如说，方程$F(x,y)＝0$就可能表示一个隐函数。
比如$x^2 ＋ y^2 1 ＝ 0$，这个方程就表示了一个单位圆，虽然我们不能直接写出$y$关于$x$的表达式，但通过一定的方法，我们可以研究其性质。
接下来，我们谈谈隐函数求导。
这可是解决隐函数问题的关键步骤。
对于形如$F(x,y)＝0$的隐函数，我们可以对等式两边同时对$x$求导。
这里要用到链式法则，一定要小心仔细。
比如说，对于方程$x^2 ＋ y^2 1 ＝ 0$，对其两边同时对$x$求导，得到：＄2x ＋ 2y ＼frac{dy}｛dx} ＝ 0$然后，解出$＼frac{dy}｛dx}＄：＄＼frac{dy}｛dx} ＝＼frac{x}｛y}＄这里需要注意，求导的时候要把$y$看作是$x$的函数。
再说说隐函数求导的一些应用。
比如，求曲线在某一点的切线斜率。
我们先通过隐函数求导得出导函数，然后把该点的坐标代入导函数，就能得到切线的斜率。
接着，我们来探讨一下隐函数存在定理。
这对于判断一个方程是否能确定隐函数非常重要。
简单来说，如果函数$F(x,y)＄在某点的邻域内满足一定的条件，那么在这个点的附近就能确定一个隐函数。
在解题过程中，我们还经常会遇到由多个方程组成的隐函数组。
这时候，就需要用到方程组的求导方法，通常是通过对每个方程分别求导，然后联立求解。
比如，对于方程组：＄＼begin{cases}x^2 ＋ y^2 ＋ z^2 ＝ 9 ＼＼ x ＋ y ＋ z ＝3\end{cases}＄我们可以分别对两个方程两边同时对$x$求导，然后解出关于$＼frac{dy}｛dx}＄和$＼frac{dz}｛dx}＄的表达式。
1指数对数函数与一次二次函数
课 题：研究性学习课题：一次函数,二次函数与指数函数及对数函数的关系 主讲教师:刘大高 驻马店高级中学高三年级数学组教学目的：了解一次函数,二次函数与指数函数及对数函数的关系，并探究其结论 教学重点：以切线为背景的结论以及二次函数与指对函数的复合函数图象研究． 教学难点：二次函数与指对函数的复合函数图象的探求授课类型：新授课课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：我们已经学过的结论有:①1x e x ≥+②ln 1x x ≤-③ln(1)x x +≤④ln(2)1x x +≤+⑤1x e x -≥⑥21x e x -≥-⑦32x e x -≥-⑧x y e =与y ex =且与点(1,)e 可以由⑤1x e x -≥变形得到.即扩大e 倍就可以了 ⑨1y x e =与ln y x =相切与(,1)e清华北大自主招生真题练习2016年清华大学自主招生暨领军计划试题1.已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值，则函数a x x x g ++=2)(2的零点个数为（）A.0B.1C.2D.取决于a 的值1. 答案：注意)()(/x g e x f x=，答案C .3.已知函数x x g x x f ln )(,1)(2=-=，下列说法中正确的有（ ）A.)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线B.存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行C. )(),(x g x f 有且只有一个交点D. )(),(x g x f 有且只有两个交点3. 答案：注意到1-=x y 为函数)(x g 在)0,1(处的切线，如图，因此答案BD . 2015 年清华大学自主招生暨领军计划试题说明：本试卷共30 小题，共100 分．在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是符合题目要求的.全部选对的，得满分；选对但不全的，得部分分；有选错的得0 分．5.BC7.BD12.12.C 由题设知()()23,xf x f x x e '-=+设 ()()()()()(),()23x x x x x xf x f x e f x e f x f xg x g x x e e e e ''⋅-⋅-'===+⋅ 可得2()()3()x f x g x x x c e==++由导函数得原函数,即2()(3)x f x e x x c =⋅++. 已知0(0)(00)1,1f e c c =++==,所以22()(31),()(54)(4)(1)x x x f x e x x f x e x x e x x '=⋅++=++=++故函数()f x 如图在(,4),(1,)-∞--+∞上递增,在(4,1)--递减,又415(1)0,(4),,()0,()0f f x f x f x e e-=-<-=→-∞→>当时且 又32111(3)0,(2)0,(1)0,(0)10f f f f e e e-=>-=-<-=-<=> 由图可知,若不等式()f x k <的解集中恰好有两个整数,则这两个整数为1,2--则 (2)0,f k -<≤所以实数k 的取值范围是210k e -<≤,故选择C.。
高考数学易错点第6讲：指数函数、对数函数、幂函数、二次函数
高考数学易错点第6讲：指数函数、对数函数、幂函数、二次函数易错知识1．对数函数、指数函数中容易忽略底数的取值范围；2．在对数式中，要注意真数是大于零的；3．函数的单调区间与在区间上单调是两个不同的概念；4.对于最高项系数含有参数的函数，要注意对参数的讨论；易错分析一、对数函数中忽视对底数的讨论致错1．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．【错解】已知f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，知f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，且8－2a >0，解得1<a <83.故实数a【错因】没有对底数a 进行分情况讨论，【正解】二、忽视对数式中真数大于零致错2．函数y ＝log 5(x 2＋2x －3)的单调递增区间是______．【错解】令g (x )＝x 2＋2x －3，则函数g (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，再根据复合函数的单调性，可得函数y ＝log 5(x 2＋2x －3)的单调递增区间是(－1，＋∞)．【错因】没有保证对数式中真数大于零，【正解】3．已知函数f (x )＝log a (ax 2－2x ＋5)(a >0，且a≠1)a 的取值范围为()忽视对高次项系数的讨论致错使用换元法忽视新变量范围致错A.310(，∪[2，＋∞)B.13，(1,2]C.19，13∪[2，＋∞)D ．19，13∪(1,2]【错解】选A当0<a <1时，由复合函数单调性知函数u ＝ax 2－2x ＋5且u >0恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<<3110aa ，解得0<a ≤13；当a >1时，由复合函数单调性知函数u ＝ax 2－2x ＋5u >0恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>2111a a ，解得a ≥2.综上，a 的取值范围为]310(，∪[2，＋∞)．【错因】没有保证对数式中真数大于零，【正解】三、忽视高次项系数的讨论致错4．函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的值为()A ．－14B ．0 C.14D ．0或－14【错解】选A若f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则方程ax 2－x －1=0有且仅有一个根，则Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.【错因】没有对二次项系数a 分情况讨论，【正解】5．若函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是()－14，＋∞ B.－14，＋∞C.－14，D ．－14，0【错解】选C函数f (x )的对称轴为直线x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.故选C.【错因】没有对二次项系数a 分情况讨论，【正解】四、指数函数中忽视对底数的讨论致错6．若函数f (x )＝a22-+1x ax (a >0且a ≠1)在区间(1,3)上单调递增，则实数a 的取值范围为()A ．(1,2)B ．(0,1)C ．(1,4]D ．(－∞，4]【错解】选D221y x ax =-+∞根据复合函数的单调性可知，f (x )∞f (x )在(1,3)上单调递增，所以14≤a，解得a ≤4.所以a 的取值范围为(－∞，4]．【错因】没有对底数a 进行分情况讨论，【正解】五、幂函数中忽视定义域致错7．已知幂函数f (x )＝x-12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围为________．【错解】∵f (x )＝x -12＝1x(x ＞0)，且在(0，＋∞)上是减函数，∴aa 2101->+，解得3＜a .答案：(3,＋∞)．【错因】没有考虑函数的定义域，【正解】六、使用换元法时没有注意注意新元的取值范围致错8．(注意新元的取值范围)已知函数y ＝4x －3·2x ＋3，若其值域为[1,7]，则x 可能的取值范围是()A ．[2,4]B ．(－∞，0]C ．(0,1]∪[2,4]D ．(－∞，0]∪[1,2]【错解】选D令t ＝2x ，则y ＝t 2－3t ＋3＋34，其图象的对称轴为直线t ＝32.当x ∈[2,4]时，t ∈[4,16]，此时y ∈[7,211]，不满足题意；当x ∈(－∞，0]时，t ∈(－∞,1]，此时y ∈[1,3)，不满足题意；当x ∈(0,1]∪[2,4]时，t ∈(－∞,2]∪[4,16]，此时y ∈34，1∪[7,211]，不满足题意；当x ∈(－∞，0]∪[1,2]时，t ∈(－∞,1]∪[2,4]，此时y ∈[1,7]，满足题意．故选D.【错因】没有考虑新元t 的取值范围，因为2x >0，所以t >0。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次函数及指对数运算1．已知二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =. （1）求()f x 的解析式；（2）求函数()y f x =在区间[1,1]-上的值域；（3）当[1,1]x ∈-时，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的范围.2．如图，已知二次函数y=x 2+bx+c 过点A （1，0），C （0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P 使△ABP 的面积为10，求点P 的坐标．3．已知函数f （x ）=x 2+2ax+2，x ∈[﹣5，5]． （1）当a=﹣1时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数a 的取值范围，使y=f （x ）在区间[﹣5，5]上是单调函数．4．计算： 23log 2228273lg 2lg 52lg2lg5log 9log 3238ππ-⎛⎫++⋅+⋅++ ⎪⎝⎭.5．计算：（1）()()1223029279.6 1.548--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）2021lg 5lg 2()(21)log 83-+--+-+6．已知函数()()2log 3f x x =-． （1）求()()516f f -的值； （2）求()f x 的定义域；（3）若()0f x ≤，求x 的取值集合．7.（Ⅰ）设 ()()()()24142x f x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩ ，求)3log 1(2+f 的值；（Ⅱ）已知]1)1()1ln[()(22+---=x m x m x g 的定义域为R ，求实数m 的取值范围参考答案1．（1）2()1f x x x =-+（2）3[,3]4-（3）1m <- 【解析】试题分析：（1）求函数解析式采用待定系数法，首先设出函数式2()(0)f x ax bx c a =++≠，将(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =.可得到,,a b c 的值，从而得到函数式；（2）由函数式确定函数单调性，进而求得函数的最值；（3）将不等式变形分离参数，通过求函数最值得到参数m 的取值范围试题解析：（1）令2()(0)f x ax bx c a =++≠，22(1)()(1)(1)22f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++---=++=恒成立.∴11a b ==-，，又(0)1f c == ∴2()1f x x x =-+（2）213()(),[1,1]24f x x x =-+∈- ∴当12x =时，min 13()()24f x f ==， 当12x =时，max ()(1)3f x f =-= ∴ ()f x 的址域为3[,3]4-（3）当[1,1]x ∈-时，()2f x x m >+恒成立，即231x x m -+>恒成立， 令2235()31()[1,1]24g x x x x x =-+=--∈-，，对称轴32x =在[1,1]-的右边，开口向上， ∴()g x 在[1,1]-上递减，∴min ()(1)1g x g ==-， 1m ∴<- 考点：函数求解析式及函数值域；不等式与函数的转化 2．（1）322-+=x x y ；（2）P （﹣4，5）（2，5）.【解析】 试题分析：（1）将二次函数所过的点A 和点C ，代入得到二次函数的解析式；（2）首先根据上一问的结果求点B 的坐标，即求得AB 长，再根据面积公式求解点P 的纵坐标，回代函数解析式求点P 的横坐标.试题解析：解：（1）∵二次函数y=x 2+bx+c 过点A （1，0），C （0，﹣3）， ∴，解得，∴二次函数的解析式为y=x 2+2x ﹣3；（2）∵当y=0时，x 2+2x ﹣3=0，[来源:] 解得：x 1=﹣3，x 2=1； ∴A（1，0），B （﹣3，0）， ∴AB=4， 设P （m ，n ），∵△ABP 的面积为10， ∴AB•|n|=10，解得：n=±5，当n=5时，m 2+2m ﹣3=5， 解得：m=﹣4或2， ∴P（﹣4，5）（2，5）；当n=﹣5时，m 2+2m ﹣3=﹣5， 方程无解， 故P （﹣4，5）（2，5）； 考点：二次函数 3．（1）[f （x ）]max =37，[f （x ）] min =1；（2）a≤﹣5或a ≥5． 【解析】 试题分析：（1）可知函数的对称轴为x=1，所以对称轴处取得最小值，在x=-5处取得最大值。
（2）二次函数在闭区间上是单调函数说明对称轴在区间外．试题解析：解：（1）当a=﹣1时，函数表达式是f （x ）=x 2﹣2x+2，∴函数图象的对称轴为x=1，∴函数的最小值为[f （x ）]min =f （1）=1， [f （x ）]max =f （﹣5）=37综上所述，得 [f （x ）]min =f （1）=1， [f （x ）]max =f （﹣5）=37（2）∵二次函数f （x ）图象关于直线x=﹣a 对称，开口向上﹣a≥5时，f （x ）在[﹣5，5]上单调减，解之得a≤﹣5．﹣a ≤-5时，f （x ）在[﹣5，5]上单调增，解之得a ≥5．所以a≤﹣5或a ≥5考点：1、二次函数在闭区间上的最值问题；2、函数的单调性． 【易错点晴】本题考查的是二次函数在闭区间上的最值问题和函数的单调性问题．在参数的讨论过程中易错． 4．419【解析】试题分析：根据对数的换底公式和其运算法则即可化简求值 试题解析：解：原式()232lg9lg3227lg2lg5lg8lg278-⎛⎫=++⋅+ ⎪⎝⎭22lg35lg23104411233lg23lg32999-⎛⎫=+⋅++=++= ⎪⎝⎭.5．（1）12；（2）8.【解析】试题分析：在进行指数和对数的运算时，要注意公式使用的准确性，先将合数化为质数，小数化为分数，对数的底数进行统一，然后借助对数的运算法则即可求得结果 试题解析：（1）原式2333341229-⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦14412992=-+= （2）原式2232232log log 33=++ 322232log log 323=⋅++ 232log 333⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭538=+= 6．1. 【解析】试题分析：现将指数式化为对数式4log 100a =，5log 100b =，利用换底公式求得1001log 4a =，1002log 25b=，两式相加求得值为1. 试题解析：由45100ab==,得4log 100a =，5log 100b =，…………3分所以1001log 4a =，1001log 5b =，1002log 25b =.……………………8分 所以10010012log 4log 251a b+=+=.………………10分考点：指数与对数运算.7．（1）4；（2）{}3x x >；（3）(]3 4，． 【解析】试题分析：（1）由()()2log 3f x x =-，分别令51,6x x ==，即可求解()()516f f -的值；（2）由对数函数的性质，可得30x ->，即可求解函数()f x 的定义域；（3）由()()2log 30f x x =-≤，得到3031x x ->⎧⎨-≤⎩，即可求解实数x 的取值集合． 试题解析：（1）∵()()2log 3f x x =-，∴()()222516log 48log 3log 164f f -=-==．…………4分（2）∵()()2log 3f x x =-，∴30x ->，解得3x >， ∴()f x 的定义域为{}3x x >．………………8分 （3）∵()()2log 30f x x =-≤， ∴3031x x ->⎧⎨-≤⎩，解得34x <≤，∴x 的取值集合是(]3 4，．………………12分 考点：对数函数的图象与性质及其应用． 8．（1）12（2）4- 【解析】 试题分析：（1）指数式化简时首先将底数转化为幂指数形式；（2）对数式的化简首先将真数转化为幂指数形式后在化简试题解析：（1）()()1223213344129.63 1.51482992--⎛⎫⎛⎫---+=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()()221lg5lg 221log 8lg 5291343-⎛⎫+--+-+=⨯-++=- ⎪⎝⎭考点：指数式对数式运算 9．（Ⅰ）124（Ⅱ）),1[)35,(+∞--∞ 【解析】试题分析：（Ⅰ）分段函数求值时需结合定义域的取值范围将自变量的值代入相应的解析式；（Ⅱ）由定义域为R 得到不等式01)1()1(22>+---x m x m 恒成立，结合二次函数性质求解m 的取值范围 试题解析：（1）2413181281212121)3log 3()3log 1(312log 32log 332log 322=⨯=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=++f f ； （2）由题设得：01)1()1(22>+---x m x m （*）在R x ∈时恒成立， 若1012±=⇒=-m m ，当1=m 时，（*）为：01>恒成立，当1-=m 时，（*）为：012>+-x 不恒成立，∴1=m ；若012≠-m ，则1 351 351 10)1(42)1( 0122>-<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-<>-<⇒⎪⎩⎪⎨⎧<---=∆>-m m m m m m m m m 或或或….综上，实数m 的取值范围是实数),1[)35,(+∞--∞ 考点：分段函数求值与二次函数性质。