二次函数和指数对数函数

二次函数及指对数运算

1．已知二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =. （1）求()f x 的解析式；

（2）求函数()y f x =在区间[1,1]-上的值域；

（3）当[1,1]x ∈-时，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的范围.

2．如图，已知二次函数y=x 2

+bx+c 过点A （1，0），C （0，﹣3）

（1）求此二次函数的解析式；

（2）在抛物线上存在一点P 使△ABP 的面积为10，求点P 的坐标．

3．已知函数f （x ）=x 2

+2ax+2，x ∈[﹣5，5]． （1）当a=﹣1时，求函数的最大值和最小值；

（2）求实数a 的取值范围，使y=f （x ）在区间[﹣5，5]上是单调函数．

4．计算： 23

log 2

22

8273lg 2lg 52lg2lg5log 9log 3238ππ-

⎛⎫++⋅+⋅++ ⎪⎝⎭

.

5．计算：（1）()()1

22

3

02

9279.6 1.548--⎛⎫⎛⎫

---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

；

（2）2

021lg 5lg 2()(21)log 83

-+--+-+

6．已知函数()()2log 3f x x =-． （1）求()()516f f -的值； （2）求()f x 的定义域；

（3）若()0f x ≤，求x 的取值集合．

7.（Ⅰ）设 ()()()()24142x f x x f x x ⎧+<⎪

=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭

⎩ ，求)3log 1(2+f 的值；

（Ⅱ）已知]1)1()1ln[()(2

2

+---=x m x m x g 的定义域为R ，求实数m 的取值范围

参考答案

1．（1）2

()1f x x x =-+（2）3

[,3]4

-（3）1m <- 【解析】

试题分析：（1）求函数解析式采用待定系数法，首先设出函数式2

()(0)f x ax bx c a =++≠，将(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =.可得到,,a b c 的值，从而得到函数式；（2）由函数式确定函数单调性，进而求得函数的最值；（3）将不等式变形分离参数，通过求函数最值得到参数m 的取值范围

试题解析：（1）令2

()(0)f x ax bx c a =++≠，

22(1)()(1)(1)22f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++---=++=恒成立.

∴1

1a b ==-，，又(0)1f c == ∴2

()1f x x x =-+

（2）2

13()(),[1,1]2

4f x x x =-+

∈- ∴当12x =时，min 13()()24

f x f ==， 当1

2

x =

时，max ()(1)3f x f =-= ∴ ()f x 的址域为3

[,3]4

-

（3）当[1,1]x ∈-时，()2f x x m >+恒成立，即2

31x x m -+>恒成立， 令2

2

35()31()[1,1]2

4

g x x x x x =-+=--∈-，，

对称轴3

2

x =

在[1,1]-的右边，开口向上， ∴()g x 在[1,1]-上递减，∴min ()(1)1g x g ==-， 1m ∴<- 考点：函数求解析式及函数值域；不等式与函数的转化 2．（1）322

-+=x x y ；（2）P （﹣4，5）（2，5）.

【解析】 试题分析：（1）将二次函数所过的点A 和点C ，代入得到二次函数的解析式；（2）首先根据上一问的结果求点B 的坐标，即求得AB 长，再根据面积公式求解点P 的纵坐标，回代函数解析式求点P 的横坐标.

试题解析：解：（1）∵二次函数y=x 2

+bx+c 过点A （1，0），C （0，﹣3）， ∴

，

解得，

∴二次函数的解析式为y=x 2

+2x ﹣3；

（2）∵当y=0时，x 2

+2x ﹣3=0，[来源:] 解得：x 1=﹣3，x 2=1； ∴A（1，0），B （﹣3，0）， ∴AB=4， 设P （m ，n ），

∵△ABP 的面积为10， ∴AB•|n|=10，

解得：n=±5，

当n=5时，m 2

+2m ﹣3=5， 解得：m=﹣4或2， ∴P（﹣4，5）（2，5）；

当n=﹣5时，m 2

+2m ﹣3=﹣5， 方程无解， 故P （﹣4，5）（2，5）； 考点：二次函数 3．（1）[f （x ）]max =37，[f （x ）] min =1；（2）a≤﹣5或a ≥5． 【解析】 试题分析：（1）可知函数的对称轴为x=1，所以对称轴处取得最小值，在x=-5处取得最大值。（2）二次函数在闭区间上是单调函数说明对称轴在区间外．

试题解析：解：（1）当a=﹣1时，函数表达式是f （x ）=x 2

﹣2x+2，∴函数图象的对称轴为x=1，∴函数的最小值为[f （x ）]min =f （1）=1， [f （x ）]max =f （﹣5）=37综上所述，得 [f （x ）]min =f （1）=1， [f （x ）]max =f （﹣5）=37

（2）∵二次函数f （x ）图象关于直线x=﹣a 对称，开口向上

﹣a≥5时，f （x ）在[﹣5，5]上单调减，解之得a≤﹣5．﹣a ≤-5时，f （x ）在[﹣5，5]上单调增，解之得a ≥5．所以a≤﹣5或a ≥5

考点：1、二次函数在闭区间上的最值问题；2、函数的单调性． 【易错点晴】本题考查的是二次函数在闭区间上的最值问题和函数的单调性问题．在参数的讨论过程中易错． 4．

419

【解析】试题分析：根据对数的换底公式和其运算法则即可化简求值 试题解析：

解：原式()23

2

lg9lg3227lg2lg5lg8lg278-

⎛⎫=++

⋅+ ⎪⎝⎭

2

2lg35lg23104411233lg23lg32999-⎛⎫

=+⋅++=++= ⎪⎝⎭

.

5．（1）

12

；（2）8.