最优投资策略的数学模型

最优投资策略的数学模型

摘要：本文就市场投资问题建立了决策优化模型。模型中由于交易费的分布为非线性，因此本文通过引入λ,提出了迭代算法,求解最优投资组合，将资金M 很大和很小都加以考虑，为个人投资以及中小企业提供较为优化投资组合，因此模型更具一般性。 结论：当投资者更看重风险时（k=0时），他更愿意投资于银行。当他愿意冒一定风险，但相对较小时，投资将趋于分散, 与实际相符。n ＝4：模型中表中数据可以看出，当k 较大时，投资者会倾向与对s1，s2的投资。 其中k ＝0.006时对应的投资组合为最优的。n ＝16：模型的求解数据看出，投资者一般不对s5，s12，s14的投资，而倾向于对s8，s10的投资。当风险值较小时，则投资种类分散，随着k 的增大，投资者会逐渐增加对s3，s7，s10，的投资额。

1．问题的分析：

本问题要求给出一种投资组合，从而可以达到两个目标：净利润最大和整体风险最小，但二者是矛盾的即风险大时，则收益大，风险小时，则收益小，因此，只有在一定的风险下，达到收益最大的投资策略是我们所追求的。

2．模型的假设与符号约定：

假设对第i s 种投资额应保证所得利润不小于该种资产交易费,否则不买此资产.符号约定： i x ——对第i s 种资产的购买比例 (不含交易部分)

i z ——购买第i s 种资产所得利润

)(i i x c ——购买第i s 种资产的交易费

)(i i x Q ——购买第i s 种资产的风险损失

)(i i x f ——购买第i s 种资产须支出的费用比例

k ——购买各资产时的可接受的风险风险系数

i λ——购买第i s 种资产交易费门阀值

3．模型建立

设银行存款也是等价于市场上供投资者选择的资产之一，存银行记为S 0，而它相应的风险损失率记为q 0，交易费为p 0，经以上变换，存银行生息与投资市场上的资产可以统一处理。

对第i s 中投资的交易费)(i i x c 为 ⎩⎨⎧≤<=为其它i i

i i i i i i x x p u x u x c 0)( 对第i s 中投资的净利润为： )()(i i i i i i x c x r x z -=

风险为： i i i i x q x Q =)(

购买i s 的金额为： )()(i i i i i x c x x f +=

则总利润为： ∑==15

0)(i i

i x z z 总风险为： }{max 15

0i i i x q Q ≤≤= 该式体现了投资越分散，则风险越小，且用所投资的i s 中最大一个风险来度量总体风险。

总费用： ∑==15

)(i i i x f f

从而优化模型为

⎪⎩⎪⎨⎧=≥=+=-=∑∑∑∑====15

1,001

)(..)

(max 15015

15015

i x x c x f t s x c x r z i i i i i i i i i i i i

通过前面对问题的分析了可以得到如下模型：

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤=+=-=∑∑∑∑====15

1,001

)(..)

(max 15015

015015

i x k

x q x c x f t s x c x r z i i i i i i i i i i i i i i

4．模型简化与求解

引入λ，有 ⎩⎨⎧≤<=为其它

i i

i i x u x 001λ

从而将 )(i i x c 进行简化为： i i i i i i i x p u x c )1()(λλ-+=

则模型简化为

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤=+-+=---=∑∑∑∑==

==15

1,001

])1(1[..])1([max 15015

15015

i x k

x q u p x f t s u x p r z i i i i i i i i i i i i i

i i i i i λλλλ 本文采用迭代算法求解，算法如下:

1. 先给定一组)0,.....

0,0(=λ 2. 2.利用单纯行法求解出一组)......,(121n x x x X =，求出利润1z 。

3．将n x x ......,2依次与固定交易费n u u u ......,21相比较，若i i u x <,则令1=i λ，否则0=i λ；从而新得到一组λ。

4．重复步骤1，2得到2X 和2z ，若12z z =则停止，转到5，否则转到3。

5．令),....2,1max(zn z z zm =，将zm 对应的一组X ，λ分别赋给λoptim optimX ,。运算结束。