函数的定义域、值域及解析式

函数的定义域、值域及解析式

【教学目标】

1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。

2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。

3.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域

【教学重难点】函数定义域、值域以及解析式的求法。

【教学内容】

1.定义

高中函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．如：f(x)=x2 f(x)=2x+2等

（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

常见函数的定义域与值域

函数解析式定义域值域

一次函数y=ax+b(a≠0)

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)

反比例函数

(k为常数，

k≠0）

1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)例. 判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？

（1）f ( x ) = (x-1) 0；g ( x ) = 1

（2）f ( x ) = x； g ( x ) = （√x）2

（3）f ( x ) = x 2；g ( x ) = (x + 1) 2

（4）f ( x )=x2-2x+2, g ( x )=t2-2t+2

3．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间；“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。 （3）区间的表示：

注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <． 练习、请用区间表示

（1）{|12}x x <<=____________， {|01}x x ≤≤=____________，

{|10}x x -≤<=____________， {|23}x x <≤=____________， （2）{|}x x a ≥=____________， {|}x x a >=____________，

{|}x x b ≤=____________， {|}x x b <=____________.

定义域

能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.

(4)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 含分式的函数：在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：

（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。

题型一：常规函数型

例：求函数 的定义域．

x x x f -+

+=211)(

例：求函数y ＝23-x ＋3

3

23-+x x ）

（的定义域．

练习

求下列函数的定义域。

⑴y=x x -||1

（2）2

14

3)(2-+--=

x x x x f

题型二：抽象函数型

（一）、已知的定义域，求

的定义域， 其解法是：若的定义域为，则

中

，从中解得的取

值范围即为的定义域。 例. 设函数的定义域为

，则

（1）函数的定义域为________。

（2）函数的定义域为__________。

练习

1已知f(x)的定义域为[1,3],求f(x-1)的定义域.

2已知函数)x (f 的定义域为（0，1），则函数)1x 2

1(f -的定义域是________。

（二）、已知的定义域，求的定义域。

其解法是：若的定义域为，则由确定的范围即为

的定义域。

例. 已知函数的定义域为，则的定义域________。

练习、已知函数)4

2(f 的定义域为（0，1），求函数)x(f的定义域。

x

（三）、已知的定义域，求的定义域。

其解法是：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。

例. 函数定义域是，则的定义域是（）

A. B. C. D.

练习

1.函数f(2x-1)的定义域为[1,3]，求函数f(x2+1)的定义域.

运算型的抽象函数

求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。

例. 已知函数的定义域是，求的定义域。

练习

若函数)(x f y =的定义域为[1，1]，求函数)4

1(+=x f y )41

(-⋅x f 的定义域。

逆向型

即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例 已知函数的定义域为R 求实数m 的取值范围。

练习. 已知函数的定义域是R ，求实数k 的取值范围。

求函数的值域或最值

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．求函数值域与最值的常用方法：

①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．

②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．