10(6)泰勒级数

4 35
2n 1
29
泰勒级数
熟记下面函数的展开式
e x 1 x 1 x2 1 xn x (,)
2!
n!
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
x (,)
cos x 1 1 x2 1 x4 (1)n x2n
ex ~ 1 x 1 x2 1 xn
2!
n!
其收敛半径 R = +∞.
因泰勒公式的余项
Rn ( x)
e (n 1பைடு நூலகம்!
x n1 ,
它满足不等式
(ξ介于0, x之间)
14
泰勒级数
Rn( x)
e
x n1
(n 1)!
ex
x n1 .
(n 1)!
对任一确定的 x R, e x 是确定的数, 而 x n1
(1)
其中Rn ( x)
f (n1) ( )
(n 1)!
(
x
x0
)n1 ,
介于x与x0之间.
公式(1)是函数f(x)在x0处展开的泰勒公式,
Rn(x)是拉格朗日余项.
问(1)是否为幂级数? 是否为
n0
f
(n) ( x0 n!
)
(x
x0
)n的前n
1项之和
4
?
泰勒级数
如函数f (x)在x0的某邻域内是无穷次连续 可微的,自然会想到:
2!
n!
在x 1处收敛性与的取值有关.
1,收敛区间为(1,1); 1 1,收敛区间为(1,1];
1,收敛区间为[1,1].
常见的展开式
23
泰勒级数
将函数用直接展开法展开为幂级数, 一般 计算工作量大. 而且对许多函数来说求各阶导 数与讨论拉格朗日型余项 Rn(x) 趋于零的范围 都是困难的.
3! 5!
(2n 1)!
x (,)
(1) 逐项求导, 逐项积分法
例3 将f ( x) cos x 展开为x的幂级数.
解 cos x (sin x)
cos
x
1
1 2!
x2
1 4!
x4
(1)n
x2n (2n)!
(1)n
x2n
n0
(2n)!
x (,)
26
泰勒级数
例4 将f ( x) arctan x 展开为x的幂级数.
1 x 2 24 246
(2n)!!
双阶乘
[1,1]
22
泰勒级数
e x 1 x 1 x2 1 xn x (,)
2!
n!
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
(1 x)
x (,)
1 x ( 1) x2 ( 1)( n 1) xn
步骤
(1) 求f (n) (x0 );
(2) 写出泰勒级数
f (n) (x0 ) n0 n!
x x0
n;
并求收敛半径R.
(3)
讨
论
lim
n
Rn
(
x
)
0
.
如
lim
n
Rn
(
x)
0,
则级数在收敛区间内收敛于f (x).
13
泰勒级数
例1 将f ( x) e x展开成x的幂级数.
解 f (n) ( x) e x , f (n) (0) 1. (n 0,1,2,)
问: 哪些函数在怎样的区间上可展开为幂级数? 幂级数的系数如何确定? 这是本节要讨论的主要问题.
2
泰勒级数
一、基本定理
上节例题 xn ln(1 x) (1 x 1)
n1 n
f ( x) an ( x x0 )n
n0
存在幂级数在其收敛域 内以f (x)为和函数
1.如果能展开, an 是什么?
f (x)是否可展为如下的幂级数:
f ( x0 )
f
( x0 1!
)
(
x
x0
)
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n)( x0 ) n!
(
x
x0
)n
(2)
不管怎样
称幂级数(2)为函数 f (x)在x0处的 泰勒级数.
5
泰勒级数
特别, 当x0 = 0时,称幂级数
f (0) f (0) x f (0) x2 f (n)(0) xn (3)
除x 0外, f (x)的麦氏级数处处不收敛于f (x).
9
泰勒级数
定理2 f ( x)在点x0处泰勒级数在U ( x0 )内
收敛于f ( x)
在U
(
x0
)内lim n
Rn
(
x)
0.
证 必要性 设f ( x)能展开为泰勒级数,
f (x)
n i0
f
(i) ( x0 i!
)( x
x0 )i
Rn ( x)
2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
3
泰勒级数
回顾
泰勒公式: 若函数f (x)在x0
的某邻域内有n+1阶导数, 则 f (x)可表为:
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 n!
)(
x
x0
)n
Rn (
x)
8
泰勒级数
问题 f ( x)
n0
f
(n)( x0 )( x n!
x0 )n
泰勒级数在收敛区间是否收敛于f (x)? 不一定.
如
f (x)
e
1 x2
,
x0
0, x 0
在x = 0点任意可导, 且 f (n) (0) 0 (n 0,1,2,)
f ( x)的麦氏级数为0 xn
n0
该级数在(,)内和函数s( x) 0.可见
n0
an
1 n!
f
(n)( x0 )
(n 0,1,2,)
规定：0! 1, f (0) ( x0 ) f ( x0 ).
证 由于幂级数在收敛区间内可逐项微分, 于是
f ( x) a0 a1( x x0 ) an ( x x0 )n
7
泰勒级数
f ( x) a1 2a2 ( x x0 ) nan ( x x0 )n1
)
f ( x),
f ( x)的泰勒级数收敛于 f ( x).
11
泰勒级数
定理3 若存在常数M>0,使得
x x0 R, x0 R,n都有 f (n) (x) M , 则 f (x)能在 x0 R, x0 R内 展开为泰勒级数.
12
泰勒级数
二、几个基本初等函数的泰勒级数
直接展开法(泰勒级数法)
1!
2!
n!
为函数 f (x)的 麦克劳林级数.
显然,泰勒级数(2)在什么范围上,收敛于函数
f (x), 取决于在什么范围上有 Rn ( x) 0.
6
泰勒级数
定理1(函数幂级数展开的唯一性)
如果函数f ( x)在U ( x0 )内可展为幂级数
f ( x) an ( x x0 )n ,
则其系数
1 x
1 1 x x2 (1)n xn , x (1,1) 1 x
ln((1 x) x dx
0 1 x
x 1 xx22 11 xx33 ((11))nn11 xxnn ,, x (11,,11]]
2 33
nn
注
利用间接展开法时,要注意区间端点的收敛性.
28
泰勒级数
ln(1 x) x 1 x2 1 x3 (1)n1 xn
下面介绍 间接展开法.
24
泰勒级数
三、应用基本展开式的例子
间接展开法 利用常见展开式及等比级数的和等, 通过
逐项求导,逐项积分, 变量代换, 四则运算, 恒等 变形 等方法, 求展开式.
根据展开的唯一性, 它与直接展开法得到 的结果是一致的.
25
泰勒级数
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
f (n)(0) ( 1)( n 1), (n 0,1,2,)
1 x ( 1) x2 ( 1)( n 1) xn
2!
n!
lim an1 n 1
n an
n1
R 1
18
泰勒级数
所以(1 x) 的泰勒级数的收敛区间是(1,1).
在x 1处,对不同的 , 敛散性不同.
f ( x) 2!a2 3 2a3 ( x x0 ) n(n 1)an ( x x0 )n2 ,
f (n) ( x) n!an (n 1)n3 2an1( x x0 )
令 x x0, 即得
an
1 n!
f
(n)( x0 )
(n 0,1,2,)
泰勒系数
泰勒系数是唯一的, 所以, f (x)的展开式是唯一的.
23
n
当x 1时，ln(1 1) ln 2, 有
x (1,1]
ln 2 1 1 1 (1)n1 1
23
n
arctan x x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
35
2n 1
当x 1时，arctan1 , 有
4
x [1,1]
1 1 1 (1)n 1
Rn( x)
f ( x) sn1( x),
lim
n
sn1
(
x
)
f (x)
lim
n
Rn
(
x
)
lim[
n
f
(
x
)
sn1
(
x
)]
0
;
10
泰勒级数
充分性
设
lim
n
Rn (
x)
0
f ( x) sn1( x) Rn( x),
lim[
n
f
(
x
)
sn1
(
x
)]
lim
n
Rn
(
x
)
0,
即
lim
n
sn1
(
x
第六节 泰勒级数
基本定理 ★ 几个基本初等函数的泰勒级数
应用基本展开式的例子 小结 思考题 作业
第十一章 无穷级数
1
将函数展开为幂级数的形式,在理论上和应 用中都是十分重要的.
如,对函数作数值分析时,总离不开多项式逼 近给定的函数,而幂级数的部分和恰是多项式.
所以有了函数展开成的幂级数,那末函数的多 项式逼近、函数值的近似计算,以及一些积分、 微分方程问题就应刃而解了.
2
2
f (2n) (0) 0, f (2n1) (0) (1)n , (n 0,1,2,)
x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
其收敛半径 R = +∞.
对 x (,) 内任一点x,有
16
泰勒级数
Rn( x)
sin
(n
1)
2
(n 1)!
x n1
是处处收敛的幂级数
x n 的一般项.
n0 n!
(n 1)!
所以在 x (,)上恒有
lim
n
Rn
(
x
)
0
.
于是, 有展开公式
e x 1 x 1 x2 1 xn x (,)
2!
n!
15
泰勒级数
例2 将f ( x) sin x展开成x的幂级数.
解 f (n) ( x) sin( x n), f (n) (0) sin n ,
为了避免讨论余项的极限,设在区间 ( 1,1)内
(1 x) 的泰勒级数和函数s(x),即设 s( x) 1 x ( 1)( n 1) xn
n!
下面证明 s( x) (1 x) , x (1,1).由逐项求导得
s( x) ( 1)x ( 1)( n 1) xn1
21
泰勒级数
当 1, 1时, 有
2 1 1 x x2 x3 (1)n xn 1 x
(1,1)
1 x 1 1 x 1 x2 1 3 x3 (1)n (2n 3)!! xn
2 24 246
(2n)!!
[1,1]
1 1 1 x 1 3 x2 1 3 5 x3 (1)n (2n 1)!! xn
解
(arctanx)
1 1 x2
,
而
1 1 x2
1
x2
x4
(1)n x2n
,
arctaann
x
x
01
dx x2
x (1,1)
x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
35
2n 1
x [1,1]
27
泰勒级数
例5 将 f ( x) ln(1 x)展开为x的幂级数. 解 [ln(1 x)] 1 , 而
n!
n!
(1 x)s( x)
2 x ( 1) x2 2( 1)( n 1) xn1
2!
n!
s( x)
s( x) ,
s( x) 1 x
且 s(0) 1.
20
泰勒级数
两边积分 x s( x)dx x dx, x (1,1)
0 s( x)
0 1 x
得 ln s( x) ln s(0) ln(1 x),
(1 x)
牛顿二项式展开式
1 x ( 1) x2 ( 1)( n 1) xn
2!
n!
注 在x 1处收敛性与的取值有关. 1 收敛区间为(1,1);
1 1 收敛区间为(1,1]; 1 收敛区间为[1,1].
(n 1)!
1
1
1!
x
(
1)(
(n 1)!
n
1)
xn1
.
19
泰勒级数
S(x)
1
1
1!
x
(
1)(
(n 1)!
n
1)
xn1
两边同乘以(1 + x)后,注意右边方括号内的 xn 系数为
( 1)( n 1) ( 1)( n) ( 1)( n 1) .
(n 1)!
x n1
0
(n 1)!
(n )
于是,有展开公式
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
x (,)
17
泰勒级数
例 将f ( x) (1 x) ( R)展开成x的幂级数.
解 f (n)( x) ( 1)( n 1)(1 x)n,