工程力学习题库-弯曲变形
工程力学11弯曲变形共67页
二、结构形式叠加（逐段刚化法）：
14
14
P
q 例3 按叠加原理求A点转角和C点挠
A
B 度。
C
a
a
解、载荷分解如图
P
由梁的简单载荷变形表，
=
A
B
查简单载荷引起的变形。
(0xa) (axL)
最大挠度及最大转角
max(a)
Pa2 2EI
a
P
L
x
fmax f(L)6PE2aI3La
f
13
按叠加原理求梁的挠度与转角
一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。
( P 1 P 2 P n ) 1 ( P 1 ) 2 ( P 2 ) n ( P n )
(axL)
L
x
f 写出微分方程的积分并积分
EfI 0 P(ax)
(0xa) (axL)
EIf
1 2
P(a
x)2
C1
D1
11
EIf16P(ax)3 C1xC2 D1xD2
11
梁的挠曲线近似微分方程及其积分
应用位移边界条件求积分常数
EI(f0)1 6P3 aC20
EI(0)1 2P2aC10
a
P
L f
其方程为：
w =f (x)
三、转角与挠曲线的关系：tg d d fx= d d w x小 变形 f
5
(1 )
5
梁的挠曲线近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程
x M>0 f(x)0 f
力学(弯曲)例题
AB段：由键力图上查得Q=－ qa＜0，由 知，M图斜率为负值。
BC段：因q＜0，由 知，Q图斜率为负值，在Q图上，随着x的增加，剪力由正值变为负值；因为 ，故M图的斜率由正值变为负值，当Q=0时，M取得最大值。
CD段:情况同AB段。
【例3】矩形截面松木梁两端搁在墙上，
承受由梁板传来的荷载作用如图所示。已知梁的间距a=1.2m，两墙的间距为L=5m，楼板承受均布荷载，起面集度为P=3KN/ ，松木的弯曲许用应力［σ］=10MPa。试选择梁的截面尺寸。设 。
(a)
解：此题可以采用下面四种不同方法求解。
解一：利用附录五上简支梁受集中载荷作用的解答。由查表可知，当简支梁上作用集中载荷P时，梁中点的挠度为
令梁在左半跨作用均布载荷,如图a所示,稍作变化即可得中点挠度
=-
解二：利用对称性求解。原题半跨均布载荷可分解为正对称载荷和反对称载荷两种情况的叠加(图b)。
解：梁计算简图如图所示荷载的线集中度为：q=
最大弯矩在跨中截面，其值
1．按正应力强度条件选择截面尺寸
h=1.5b,W =
b≥
取b=150mm，h=1.5b=225mm。
2．该梁为木梁，须校核剪应力强度。在邻近支座的截面上有
Q
矩形截面梁
剪切强度足够。故选定b=150mm，h=225mm。
【例4】简支梁在半个跨度上作用的均布载荷q，如图a所示，试求梁中点的挠度。
（d）（e）
4.对于3-3截面(图d)
∑Y=0Q3=YA－2qa－p=－30kN
∑MC=0M3=2YAa－2qa2－pa=20kN•m
5.对于4-4截面(图e)
∑Y=0Q4=YA－2qa－p=－30kN
材料力学习题册答案_弯曲变形
5. 提高梁的刚度措施有 提高Wz 、 降低 M MAX 等。 四、计算题
4 / 11
1 用积分法求图 5 所示梁 A 截面的挠度和 B 截面的转角。
解 ① 对于 OA 段： 弯矩方程为
即 EIy’’=- 1 Pl-Px
2
EIy’=-
1 2
Plx-
1 2
P
x
2
+
C1
EIy=-
1 4
Plx
2
-
+
20
弯矩图
所以
梁中
max
MAy IZ
MA wz
20103 141106
141.8Mpa
11 / 11
y
y1
y2
24 qa 4 3EI
4 图 8 所示桥式起重机的最大载荷为 P=20KN,起重机大梁为 32a 工字
9 / 11
钢 ， E=210Gpa ， l=8.76cm 。 规 定 [f]=l/500 。 校 核 大 梁 的 刚 度 。
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解： 查表得
P
L
I=11100( cm4 ) ……………………..(课本 408 页)
B 截面转角为
= Pl 2
B 8EI
2 简支梁受三角形分布载荷作用，如图 6 所示梁。
（1）试导出该梁的挠曲线方程；
（2）确定该梁的最大挠度。
解 设梁上某截面到 A 截面距离为 x。
首先求支反力，则有
F
A
=
1 l
（
1 2
ql*
1 3
l）=
1 6
ql
(↑)
M(x)=-( ql x 1 q x3 )
工程力学习题库-弯曲变形
第8章 弯曲变形本章要点【概念】平面弯曲，剪力、弯矩符号规定，纯弯曲，中性轴，曲率，挠度，转角。
剪力、弯矩与荷载集度的关系；弯曲正应力的适用条件；提高梁的弯曲强度的措施；运用叠加法求弯曲变形的前提条件；截面上正应力分布规律、切应力分布规律。
【公式】 1. 弯曲正应力 变形几何关系：yερ=物理关系：Ey σρ=静力关系：0N AF dA σ==⎰，0y AM z dA σ==⎰，2zz AAEI EM y dA y dA σρρ===⎰⎰中性层曲率：1MEIρ=弯曲正应力应力：，My Iσ=，max max z M W σ=弯曲变形的正应力强度条件：[]maxmax zM W σσ=≤ 2. 弯曲切应力矩形截面梁弯曲切应力：bI S F y z z S ⋅⋅=*)(τ，A F bh F S S 2323max ==τ工字形梁弯曲切应力：dI S F y z z S ⋅⋅=*)(τ，A F dh F S S ==max τ圆形截面梁弯曲切应力：bI S F y z z S ⋅⋅=*)(τ，A F S 34max =τ弯曲切应力强度条件：[]ττ≤max3. 梁的弯曲变形梁的挠曲线近似微分方程：()''EIw M x =-梁的转角方程：1()dwM x dx C dx EIθ==-+⎰ 梁的挠度方程：12()Z M x w dx dx C x C EI ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭⎰⎰ 练习题一. 单选题1、 建立平面弯曲正应力公式zI My /=σ,需要考虑的关系有（）。
查看答案A 、平衡关系,物理关系，变形几何关系B 、变形几何关系，物理关系，静力关系；C 、变形几何关系，平衡关系，静力关系D 、平衡关系, 物理关系，静力关系；2、 利用积分法求梁的变形，不需要用到下面那类条件（）来确定积分常数。
查看答案A 、平衡条件B 、边界条件C 、连续性条件D 、光滑性条件3、 在图1悬臂梁的AC 段上，各个截面上的（）。
工程力学课后习题答案第10章题解g
( ) ∑ M B
= 0 ， FC
= − Me l
↓
77
CA 段
M
=
−
Me l
x1
⎜⎛ 0 ⎝
≤
x1
<
l 2
⎟⎞ ⎠
AB 段
M
=
−
Me l
x2
+
Me
⎜⎛ ⎝
l 2
<
x2
≤
l
⎟⎞ ⎠
CA
段 ⎜⎛ 0 ⎝
≤
x1
<
l 2
⎟⎞ ⎠
AB
段 ⎜⎛ ⎝
l 2
<
x2
≤
l ⎟⎞ ⎠
EIw1′′ =
−
Me l
x1
EIw1′
=
3d × (3d )3
12
=
81d 4 12
；设钢丝绳每股横截面为 d × d ，则 9 股钢丝绳的惯
性矩为 I 2
= 9× d ×d3 12
=
9d 4 12
=
1 9
I1
，故钢丝绳要柔软得多。
10-4 用叠加法求梁的位移时，应满足哪些条件？ 答 小变形。
10-5 提高梁的弯曲刚度的主要措施有哪些？与提高梁强度的措施有何不同？ 答 提高梁的弯曲刚度的主要措施有 （1）调整加载方式，改善结构设计； （2）减小梁的跨度，增加支承约束； （3）增大梁的弯曲刚度 EI。
)
=
3 8
qlx2
−
ql 2
⎜⎛ ⎝
x2
−
l 4
⎟⎞ ⎠
⎜⎛ ⎝
l 2
≤
x2
≤
l ⎟⎞ ⎠
第七章 弯曲变形(习题解答)
7-2c 梁受力、尺寸、刚度如图所示，求A 处的转角，以及C 、D 截面的挠度。
解：（1）求反力写弯矩方程：)3()(2)(2211x a P x M BCx P x M AB--=-=（2）分段积分''1112)(E I y x P x M AB-=-=''222)3()(EIy x a P x M BC=--=121'14C x P EIy +=222'2)3(2C x a P EIy +--=11131112D x C x P EIy ++=222322)3(6D x C x a P EIy ++-+=（3）边界、连续条件定积分常量00,0111=→==D y x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==-=→⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=+⨯=+⨯+-⨯=⨯+⨯→⎩⎨⎧=====25673)23(2)2(402)23(602)2(1202322221221222313212121Pa D Pa C Pa C C a a P C a P D a C a a P a C a P y y a x x θθ时，(4)该梁的转角方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+--∈-=]3,2[(67)3(2]2,0[(3422221221'a a x Pax a P a x Pa x P EIy该梁的挠曲线方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-+-+∈-=]3,2[(2567)3(6]2,0[(31223223211231a a x Pa x Pax a P a x x Pa x P EIy(5)将横坐标值代入相应的式子可求出EIPay EIPa y EIPaD C A 4,,3332-==-=θ习题7-2c 图 习题7-5图7-5 用叠加法求图示外伸梁C 截面的挠度和转角。
解：（1）将原结构的荷载分解，如图所示。
（2）查表可得各简单载荷作用下的θC 、y C 之值。
并将其叠加，得所求θC 、y C 之值。
材料力学经典习题册 弯曲变形
弯曲变形1. 已知梁的弯曲刚度EI为常数，今欲使梁的挠曲线在x=l/3处出现一拐点，则比值M e1/M e2为：(A) M e1/M e2=2；(B) M e1/M e2=3；(C) M e1/M e2=1/2；(D) M e1/M e2=1/3。
答：C2. 外伸梁受载荷如图示，其挠曲线的大致形状有下列(A)、(B)、(C)，(D)四种：答：B3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M、剪力F S与分布载荷q之间的关系以及挠曲线近似微分方程为：(A)2SS2dd d(),,d d dFM w M xF qx x x EI===；(B)2SS2dd d(),,d d dFM w M xF qx x x EI=-=-=；(C)2SS2dd d(),,d d dFM w M xF qx x x EI=-==-；(D)2SS2dd d(),,d d dFM w M xF qx x x EI==-=-。
答：B4. 弯曲刚度为EI的悬臂梁受载荷如图示，自由端的挠度23e32BM lFlwEI EI=+（↓）则截面C处挠度为：(A)32e223323MFl lEI EI⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（↓）；(B)322/323323F Fll lEI EI⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（↓）；(C)32e(/3)223323M FlFl lEI EI+⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（↓）；(D)32e(/3)223323M FlFl lEI EI-⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（↓）。
答：C5. 画出(a)、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。
答：6. 试画出图示梁的挠曲线大致形状。
答：7. 正方形截面梁分别按(a)、(b)两种形式放置，则两者间的弯曲刚度关系为下列中的哪一种： (A) (a)＞(b)； (B) (a)＜(b)； (C) (a)=(b)； (D) 不一定。
答：C8. 试写出图示等截面梁的位移边界条件，并定性地画出梁的挠曲线大致形状。
测试题-弯曲变形(答案)
班级：学号：姓名：《工程力学》弯曲变形测试题一、判断题（每小题2分，共20分）1、梁弯曲变形后，最大转角和最大挠度是同一截面。
（×）2、不同材料制成的梁，若截面尺寸和形状完全相同，长度及受力情况也相同，那么这两根梁弯曲变形时，最大挠度值相同。
（×）3、EI是梁的抗弯刚度，提高它的最有效、最合理的方法是改用更好的材料。
（×）4、梁的挠曲线方程随弯矩方程的分段而分段，只要梁不具有中间铰，则梁的挠曲线仍然是一条光滑、连续的曲线。
（√）5、梁弯曲后，梁某点的曲率半径和该点所在横截面位置无关。
（×）6、梁上有两个载荷，梁的变形与两个载荷加载次序无关。
（√ ）7、一般情况下，梁的挠度和转角都要求不超过许用值。
（√ ）8、在铰支座处，挠度和转角均等于零。
（×）9、绘制挠曲线的大致形状，既要根据梁的弯矩图，也要考虑梁的支撑条件。
（√ ）10、弯矩突变的截面转角也有突变。
（×）二、单项选择题（每小题2分，共20分）1、梁的挠度是（B ）。
A. 横截面上任一点沿梁轴方向的位移B. 横截面形心沿垂直梁轴方向的位移C. 横截面形心沿梁轴方向的线位移D. 横截面形心的位移2、在下列关于挠度、转角正负号的概念中，（C）是正确的。
A. 转角的正负号与坐标系有关，挠度的正负号与坐标系无关B. 转角的正负号与坐标系无关，挠度的正负号与坐标系有关C. 转角和挠度的正负号均与坐标系有关D. 转角和挠度的正负号均与坐标系无关3、挠曲线近似微分方程在（D ）条件下成立。
A. 梁的变形属于小变形 B .材料服从胡克定律C. 挠曲线在xoy平面内D. 同时满足A、B、C4、等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的最大曲率发生在（D ）处。
A. 挠度最大B. 转角最大C. 剪力最大D. 弯矩最大5、应用叠加原理求梁横截面的挠度、转角时，需要满足的条件有（C ）A. 梁必须是等截面的B. 梁必须是静定的C. 变形必须是小变形；D. 梁的弯曲必须是平面弯曲6、两简支梁，一根为钢、一根为铜，已知它们的抗弯刚度相同。
材料力学习题弯曲变形
弯曲变形基本概念题一、选择题1. 梁的受力情形如下图，该梁变形后的挠曲线如图（）所示(图中挠曲线的虚线部份表示直线，实线部份表示曲线)。
2. 如下图悬臂梁，假设别离采纳两种坐标系，那么由积分法求得的挠度和转角的正负号为（）。
题2图题1图A．两组结果的正负号完全一致B．两组结果的正负号完全相反C．挠度的正负号相反，转角正负号一致D．挠度正负号一致，转角的正负号相反3.已知挠曲线方程y = q0x(l3 - 3lx2 +2 x3)∕(48EI)，如下图，那么两头点的约束可能为以下约束中的（）。
题3图4. 等截面梁如下图，假设用积分法求解梁的转角、挠度，那么以下结论中（）是错误的。
A．该梁应分为AB、BC两段进行积分B．挠度积分表达式中，会显现4个积分常数题4图 题5图 C ．积分常数由边界条件和持续条件来确信D ．边界条件和持续条件表达式为x = 0，y = 0；x = l ，0==右左y y ，0='y 5. 用积分法计算图所示梁的位移，边界条件和持续条件为( )A ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0；x = a ，右左y y =，右左y y '=' B ．x = 0，y = 0；x = a + l ，0='y ；x = a ，右左y y =，右左y y '=' C ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左y y =D ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左y y '=' 6. 材料相同的悬臂梁I 、Ⅱ，所受荷载及截面尺寸如下图。
关于它们的最大挠度有如下结论，正确的选项是（ ）。
A ． I 梁最大挠度是Ⅱ梁的41倍 B ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的21倍 C ． I 梁最大挠度与Ⅱ梁的相等 D ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2倍题6图 题7图 7. 如下图等截面梁，用叠加法求得外伸端C 截面的挠度为（ ）。
工程力学习题册第八章 - 答案
第八章 直梁弯曲一、填空题1.工程中 发生弯曲 或以 弯曲变形 为主的杆件称为梁。
2.常见梁的力学模型有 简支梁 、 外伸梁 和 悬臂梁 。
3.平面弯曲变形的受力特点是 外力垂直于杆件的轴线，且外力和力偶都作用在梁的纵向对称面内 ；平面弯曲变形的变形特点是 梁的轴线由直线变成了在外力作用面内的一条曲线 ；发生平面弯曲变形的构件特征是 具有一个以上对称面的等截面直梁 。
4.作用在梁上的载荷有 集中力 、 集中力偶 和 分布载荷 。
5.梁弯曲时，横截面上的内力一般包括 剪力 和 弯矩 两个分量，其中对梁的强度影响较大的是 弯矩 。
6.在计算梁的内力时，当梁的长度大于横截面尺寸 五 倍以上时，可将剪力略去不计。
7.梁弯曲时，某一截面上的弯矩，在数值上等于 该截面左侧或右侧梁上各外力对截面形心的力矩 的代数和。
其正负号规定为：当梁弯曲成 凹面向上 时，截面上弯矩为正；当梁弯曲成凸面向上 时，截面上弯矩为负。
8.在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变值等于 集中力偶矩 。
9.横截面上弯矩为 常数 而剪力为 零 的平面弯曲变形称为 纯弯曲变形 。
10.梁纯弯曲变形实验中，横向线仍为直线，且仍与 梁轴线 正交，但两线不再 平行 ，相对倾斜角度θ。
纵向线变为 弧线 ，轴线以上的纵向线缩短，称为 缩短 区，此区梁的宽度 增大 ；轴线以下的纵向线伸长，称为 伸长 区，此区梁的宽度 减小 。
情况与轴向拉伸、压缩时的变形相似。
11.中性层与横截面的交线称为 中性轴 ，变形时梁的 所有横截面 均绕此线相对旋转。
12.在中性层凸出一侧的梁内各点，其正应力均为 正 值，即为 拉 应力。
13.根据弯曲强度条件可以解决 强度校核 、 截面选取 和 确定许可载荷 等三类问题。
14.产生最大正应力的截面又称为 危险截面 ，最大正应力所在的点称为 危险点 。
15.在截面积A 相同的条件下， 抗弯截面系数 越大，则梁的承载能力就越高。
第06章弯曲变形题解
第6章 弯曲变形习题解答6-1 用直接积分法求下列各梁的挠曲线方程和最大挠度。
梁的抗弯刚度EI 为已知。
（a ）解：（1）弯矩方程 0≤ x ≤l+aM (x )=qlx －qx 2/2+q<x-l>2/2-ql 2/2（2）积分 EI θ (x )= qlx 2/2－qx 3/6+q<x-l>3/6-ql 2x /2+CEI ν(x )= qlx 3/6－qx 4/24+q<x-l>4/24-ql 2x 2/4+Cx+D （3）定常数x = 0 θ = 0 → C = 0 x = 0 ν= 0 → D = 0νmax =ν B =)341(84laEI ql +-(↓)（b ）解：（1）支反力 F A = M o / l (↑), F C =－M o / l (↓) （2）弯矩方程 0≤ x ≤ 4l/3M (x )= M o x / l －M o <x-l> / l （3）积分EI θ (x )= M o x 2 / 2l － M o <x-l>2 /2 l +CEI ν(x )= M o x 3 / 6l － M o <x-l>3/6 l +C x+D （4）定常数x = 0 ν= 0 → D = 0x = l ν= 0 → C =－M o l /6νmax =ν B =EIl M o 62(↑)6-2 写出下列各梁的边界条件，并根据弯矩图和支座情况画出挠度曲线的大致形状。
解：x = 0 ν= 0 x = a ν= 0x = l ν= ∆k = M o / lk x = 3a ν= ∆l = Fa /2EA(b) ν(b) (a)x = 0 θ = 0 x = 0 ν= 0 x = 0 ν=0 x = 3a ν= 0x = 0 ν= 0 x = 0 ν= 0 , θ = 0x =2a ν=0 x = 2a ν= 06-3 用叠加法求下列各梁C 截面的挠度和B 截面的转角。
测试题-弯曲应力(答案)
班级： 学号： 姓名：《工程力学》弯曲应力测试题一、判断题（每小题2分，共20分）1、弯曲变形梁，其外力、外力偶作用在梁的纵向对称面内，梁产生对称弯曲。
（ √ ）2、铁路的钢轨制成工字形，只是为了节省材料。
（ × ）3、为了提高梁的强度和刚度，只能通过增加梁的支撑的办法来实现。
（ × ）4、中性轴是中性层与横截面的交线。
（ √ ）5、最大弯矩M max 只可能发生在集中力F 作用处，因此只需校核此截面强度是否满足梁的 强度条件。
（ × ）6、大多数梁只进行弯曲正应力强度校核，而不计算弯曲切应力，这是因为他们横截面上只有正应力存在。
（ × ）7、抗弯截面系数仅与截面形状和尺寸有关，与材料种类无关。
（ √ ）8、矩形截面梁，若其截面高度和宽度都增加一倍，则强度提高到原来的16倍。
（ × ）9、在梁的弯曲正应力公式中，I z 为梁截面对于形心轴的惯性矩。
（ √ ） 10、梁弯曲最合理的截面形状，是在横截面积相同条件下W z 值最大的截面形状。
（ √ ） 二、单项选择题（每小题2分，共20分）1、材料弯曲变形后（ B ）长度不变。
A ．外层 B ．中性层 C ．内层2、梁弯曲时横截面上的最大正应力在（ C ）。
A. 中性轴上B. 对称轴上C. 离中性轴最远处的边缘上3、一圆截面悬臂梁，受力弯曲变形时，若其它条件不变，而直径增加一倍，则其最大正 应力是原来的（ A ）倍。
A.81B. 8C. 2D.214、图示受横力弯曲的简支梁产生纯弯曲变形的梁段是（ D ）A. AC 段B. CD 段C. DB 段D. 不存在 5、由梁弯曲时的平面假设，经变形几何关系分析得到（ C ）A. 中性轴通过截面形心B. 梁只产生平面弯曲；C. y ερ=；D. 1zM EI ρ=6、图示的两铸铁梁，材料相同，承受相同的载荷F 。
当F 增大时，破坏的情况是（ C ）。
弯曲变形例题
・利用边界条件确定积分常数：
①在铰支座上，挠度v等于零
②在固定端，挠度v和转角θ均为零
③在弯曲变形的对称点上，转角θ等于零
④挠曲线是一条光滑和连续的曲线
第7页/共65页
求弯曲变形的二个方法： 1.用直接积分法求梁的弯曲变形（积分常数，分段）
挠曲线方程：
i
d 2 i
dxi 2
M (xi ) EI
C
qa3 6EI
16
第16页/共65页
例5-2：欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。
解：
表7.1中没有
表7.1中序号4，
表7.1中序号7
挠度向上为正
5q (2a)4 vC 384EI
Pa(2a)2 0
16EI
P 5 qa
6
17第17页/共65页 Nhomakorabea 第七章
例6-1 试用叠加法求简支梁在图示载荷作用下跨度中 点C的挠度。
2) 分别求出简单载荷作用时外伸端B的变形：
表7.1-5
(b )
(d)
固定端虽有载荷，但对DB 段的转角和挠度均无影响
载荷P引起D 截面的转角
DP
BP
qa(2a)2 16EI
qa3 4EI
均布载荷q引起B 截面的挠度和转角
表7.1-3
f qa4 Bq 8EI
Bq
qa3 6EI
弯矩引起D 截面的转
刚化BC段，BC为自由端。???取而代之均布载荷的等效
载荷为作用在B截面上的弯矩和集中载荷；由表7.1查取。
平面系内力的迁移。。。
25
第25页/共65页
习题7.8c EI为常量，用叠加法求图示外伸梁B端的θ和ν。
解:1)把复合载荷分解成二个简单
工程力学11弯曲变形
23
梁内的弯曲应变能
一、弯曲应变能的计算： 应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去 dM d P1 P2 M
x
dx
1 dU dW M ( x)d 2
f
d
M(x)
dx
1 M ( x) EI
d
x M dx M+dM Q Q+dQ
24
M 2 ( x) dU dx 2 EI
D
B
16EI
P L2 a f1C 1B a 1 16EI
P2 a 3 f 2C 3EI
ML LaP2 3EI 3EI
= +
a P2
P1=1kN B
2 B 0
C
图2
3 B
+
P2 M C
A
图3
D
B
P2 La 2 f 3C 3 B a 3EI
21
L=400mm
11
11
写出弹性曲线方程并画出曲线
P (a x)3 3a 2 x a 3 6 EI f ( x) P 3a 2 x a 3 6 EI
(0 x a ) (a x L)
最大挠度及最大转角 a P
Pa2 max (a) 2 EI f max Pa2 3L a f ( L) 6 EI
M ( x) f ( x ) EI
f
5
M<0 f ( x) 0
…… （2）
式（2）就是挠曲线近似微分方程。
5
梁的挠曲线近似微分方程及其积分
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
工程力学：弯曲变形 习题与答案
一、单选题1、研究梁的变形的目的是（）。
A.进行梁的正应力计算B.进行梁的刚度计算C.进行梁的稳定性计算D.进行梁的剪应力计算正确答案：B2、图示圆截面悬臂梁，若直径d增大1倍(其它条件不变)，则梁的最大正应力、最大挠度分别降至原来的（）。
A.1/2 1/4B.1/4 1/8C.1/8 1/8D.1/8 1/16正确答案：D3、下面关于梁、挠度和转角的讨论中，正确的结论是（）。
A.挠度最大的截面转角为零B.挠度最大的截面转角最大C.转角为零的截面挠度最大D.挠度的一阶导数等于转角正确答案：D4、已知两悬臂梁的抗弯截面刚度EI相同，长度分别为l和2l，在自由端各作用F1和F2，若二者自由端的挠度相等，则F1/F2=（）。
A.2B.4C.6D.8正确答案：D5、梁上弯矩为零处（）。
A.梁的转角一定为零B.梁的挠度一定为零C.挠度一定为零，转角不一定为零D.梁的挠曲线的曲率一定为零正确答案：D6、已知等直梁在某段上的挠曲轴方程w(x)=–Cx4，C为常量，则在该段梁上（）。
A.分布载荷是x的一次函数B.分布载荷是x的二次函数C.无分布载荷作用D.有均匀分布载荷作用正确答案：D7、在等直梁弯曲变形中，挠曲线曲率最大值发生在（）。
A.剪力最大处B.转角最大处C.弯矩最大处D.挠度最大处正确答案：C8、材料相同的（a）悬臂梁和（b）悬臂梁，长度也相同，在自由端各作用2P和P，截面形状分别是b（宽）×2b（高）、b×b。
关于它们的最大挠度正确的是（）。
A.（a）梁最大挠度是（b）梁的1/4倍B.（a）梁最大挠度是（b）梁的1/2倍C.（a）梁最大挠度与（b）梁的相等D.（a）梁最大挠度是（b）梁的2倍正确答案：A9、已知简支梁的EI为常数，在梁的左端和右端分别作用一力偶m1和m2今欲使梁的挠曲线在x=l/3处出现一拐点，则比值m1/m2为（）。
A.2B.3C.1/2D.1/3正确答案：C10、两根梁尺寸，受力和支承情况完全相同，但材料不同，弹性模量分别为E1和E2，且E1=7E2，则两根梁的挠度之比y1/y2为（）。
06弯曲变形习题
20kN / m ，
17．试用叠加法求图示梁的反力。
4
第六章 弯曲变形习题 同情况下拉杆的轴力和点 B 的位移： （ 1 ）梁 CD 和杆 BF 都是刚性的； （ 2 ）梁 CD 是刚性的，杆 BF 是弹性的； （ 3 ）梁 CD 是弹性的，杆 BF 是刚性的； （ 4 ）各杆都是弹性的。
5
18．在图示结构中，AB 与 CD 两梁的抗弯刚度皆为 EI ，拉杆 BF 的抗拉刚度为 EA 。试求在下列不
ql 3 ， ql 4 ， B 6 EI 8 EI
(a)
(b)Байду номын сангаас
6
Pa3 /(6EI ) ；
(C)
Pa3 /(4EI ) ；
(D)
Pa3 /(12EI ) ；
正确答案是_______________。
07． 用积分法求图示挠曲线方程时，需应用的支承条件是 连续条件是 。
；
08．用叠加法求图示梁 C 端挠度
yc 和 c 转角。
2
第六章 弯曲变形习题 09．AD 梁及所受载荷如图所示。 ( 1 ) 画出梁挠曲线的大致形状； ( 2 ) 指出梁的最大挠度的位置；
2
(B)
P
5ql ; 8
(C)
P
5ql 1 / 49 ; 6
(D)
P
3ql ; 5
正确答案是_______________。
04．图示二梁抗弯刚度 EI 相同，载荷 q 相同，则下列四种关系中，哪一个是正确的？ (A) 两梁对应的内力和位移相同； (B) 两梁对应的内力和位移不同； (A) 内力相同，位移不同； (A) 内力不同，位移相同； 正确答案是_______________。
工程力学复习题3
12
机电李禄昌
例题5： 用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。
解：⑴、假想将外伸梁分成两部
分，AB段为简支梁；BC段为悬臂 梁。截面B处有剪力P2和弯矩m 。 ⑵、分析AB段的变形： 截面B处有剪力P2和弯矩m ： P2= q a ，m = qa2/2 。 在m作用下，B处的转角：
y
y
n
x
E
( , )
2
A( x , x )
x
B( y , y )
x
c
22
机电李禄昌
三、应力圆的应用： 1、利用应力圆，可以方便求出任意斜截面上的σ
α
、τ
α：
y
y
y
n
x
x
( , )
2
A( x , x )
x
c
B( y , y )
18
机电李禄昌
极值正应力σmax、σmin
（主应力）
2
max x y x y 2 xy min 2 2
极值正应力所在平面的方位角α0
（主平面方向）
tg 20
2 xy
x y
可以求出两个角度值：α0、 α0+π/2，其中一个是最大正应力 σmax 所在平面，另一个是最小正应力σmin 所在平面。
2.叠加原理的限制 ：载荷与它所引起的变形成线性关系。 因此要求（1）材料是线弹性材料，服从胡克定律；
（2）弯曲变形很小。
11
机电李禄昌
叠加法求弯曲变形
载荷叠加法:分解载荷,适用于求解简支梁或者悬 臂梁同时受到几种载荷共同作用下的变形
弯曲变形例题
I1
B
a B
yC 1 yC 2
（2）刚化 I2，则：
yC 3 Pa
3
I2
A
a
I1
B
a
P C
所以：
3EI1
7 Pa
3
yC 3
yC yC1 yC 2 yC 3
Pa
3
3Pa
3
3EI 2
3EI1
2 EI1
弯曲变形/用变形比较法解静不定梁 例7-8 图示静不定梁，等截面梁AC的抗弯刚度EI，拉杆BD的抗拉 刚度EA，在F力作用下，试求BD杆的拉力和截面C的挠度 。 解： 1、选择基本静定梁。 D 2、列出变形协调条件。
y B y BF y BF N l BD
弯曲变形
本 章 结 束
材料力学
（2）
弯曲变形/用积分法求梁的变形 3、确定常数C、D. 由边界条件： x L , 0 代入（1）得： C
x L , y 0 代入（2）得： D
1 6 1 8 qL qL
3
4
代入（1）（2）得： 1 1 3 1 3 ( qx qL ) EI 6 6
1(x)
y1 ( x ) Fb 6 LEI Fb 6 LEI [ x ( L b ) x ],
3 2 2
BC段 ( a x L )
2
[ 3 x ( L b )],
2 2
2 (x)
y2 (x)
Fb 6 LEI
Fb 6 LEI
[ 3 x ( L b )]
EI y 1 EI 1 EIy Fb 6L
3
BC段 ( a x L )
建筑力学—弯曲变形及答案
第七章 组合变形本章主要讨论建筑工程中常见的组合变形的强度计算问题。
其中斜弯曲、拉（压）与弯曲、偏心拉（压）组合变形的强度计算问题是本章的重点。
第一节 组合变形的概念前面的章节分别研究了杆件在轴向拉（压）、剪切、扭转、平面弯曲基本变形下的强度和刚度计算。
但在工程实际中，结构中一些杆件的受力情况是复杂的，往往同时发生两种或者两种以上的基本变形，这种由两种或两种以上的基本变形组合而成的变形称为组合变形。
例如，图7-1a 所示的烟囱，除自重引起的轴向压缩外，还有水平方向的风力引起的弯曲变形，即同时产生两种基本变形。
又如，图7-1b 所示的备有吊车的厂房柱，作用在立柱上的荷载1F 和2F ,其合力的作用线一般不在立柱轴线上，此时，立柱即发生压缩变形又发生弯曲变形。
再如，图7-1c 所示的曲拐轴，在荷载F 作用下，曲拐AB 段同时发生扭转和弯曲变形。
上述这些杆件的变形，都是结构杆件发生组合变形的工程实例。
图7-1由上一章梁的弯曲可知：外力沿横向作用在梁的纵向对称平面内，梁将发生平面弯曲变形。
那么，外力虽然沿梁的横向（垂直于轴线），但不作用在纵向对称平面内时，梁会发生怎样的变形呢?实验及理论研究得知，此时梁轴线变形后弯成的曲线已不在荷载的作用平面内，即不属于平面弯曲，这种弯曲称为斜弯曲。
若外力不沿梁的横向（斜交于轴线），但力作用仍在纵向对称平面内，梁将发生拉（压）与弯曲组合变形。
若作用外力虽然沿杆件轴向方向，但不与轴线重合，杆件也将发生拉（压）与弯曲组合变形，称为偏心拉（压）。
对发生组合变形的杆件计算应力和变形时，可将荷载进行简化或分解，使简化或分解后得到的静力等效的荷载，每类荷载各自只引起一种基本变形，分别计算，再进行叠加，就得到由原来的荷载所引起的组合变形的应力和变形，这就是组合变形的分析方法和组合变形计算的叠加原理。
这里需要强调的是：叠加原理是在满足小变形和力与位移成线性关系的条件下才适用。
本章将主要讨论斜弯曲、拉压与弯曲、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算问题。
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第8章 弯曲变形本章要点【概念】平面弯曲，剪力、弯矩符号规定，纯弯曲，中性轴，曲率，挠度，转角。
剪力、弯矩与荷载集度的关系；弯曲正应力的适用条件；提高梁的弯曲强度的措施；运用叠加法求弯曲变形的前提条件；截面上正应力分布规律、切应力分布规律。
【公式】 1. 弯曲正应力 变形几何关系：yερ=物理关系：Ey σρ=静力关系：0N AF dA σ==⎰，0y AM z dA σ==⎰，2zz AAEI EM y dA y dA σρρ===⎰⎰中性层曲率：1MEIρ=弯曲正应力应力：，My Iσ=，max max z M W σ=弯曲变形的正应力强度条件：[]maxmax zM W σσ=≤ 2. 弯曲切应力矩形截面梁弯曲切应力：bI S F y z z S ⋅⋅=*)(τ，A F bh F S S 2323max ==τ工字形梁弯曲切应力：dI S F y z z S ⋅⋅=*)(τ，A F dh F S S ==max τ圆形截面梁弯曲切应力：bI S F y z z S ⋅⋅=*)(τ，A F S 34max =τ弯曲切应力强度条件：[]ττ≤maxv1.0 可编辑可修改3. 梁的弯曲变形梁的挠曲线近似微分方程：()''EIw M x=-梁的转角方程：1()dw M xdx Cdx EIθ==-+⎰梁的挠度方程：12()ZM xw dx dx C x CEI⎛⎫=-++⎪⎝⎭⎰⎰练习题一.单选题1、建立平面弯曲正应力公式zIMy/=σ,需要考虑的关系有（）。
查看答案A、平衡关系,物理关系，变形几何关系B、变形几何关系，物理关系，静力关系；C、变形几何关系，平衡关系，静力关系D、平衡关系, 物理关系，静力关系；2、利用积分法求梁的变形，不需要用到下面那类条件（）来确定积分常数。
查看答案A、平衡条件B、边界条件C、连续性条件D、光滑性条件3、在图1悬臂梁的AC段上，各个截面上的（）。
A．剪力相同，弯矩不同 B．剪力不同，弯矩相同C．剪力和弯矩均相同 D．剪力和弯矩均不同图1 图24、图2悬臂梁受力，其中（）。
A．AB段是纯弯曲，BC段是剪切弯曲B．AB段是剪切弯曲，BC段是纯弯曲C．全梁均是纯弯曲D．全梁均为剪切弯曲5、四种梁的截面形状，从梁的正应力强度方面考虑，最合理的截面形状是（）。
A．圆形B．I字形C．长方形D．正方形6、对于相同的横截面面积，同一梁采用下列截面，强度最高的是（）A．圆形 B.矩形 C.方形 D.工字型7、用截面法求一水平杆某截面的内力时，是对（）建立平衡方程求解的。
A．该截面左段B．该截面右段C．该截面左段或右段D．整个杆8、矩形截面梁受弯曲变形，如果梁横截面的高度增加一倍时，则梁内的最大正应力为原来的多少倍（）A.正应力为1/2倍B.正应力为1/4倍C.正应力为4倍D.无法确定9、在弯曲和扭转变形中，外力矩的矢量方向分别与杆的轴线（）A.垂直、平行B.垂直C.平行、垂直D.平行10、平面弯曲变形的特征是（）A.弯曲时横截面仍保持为平面B.弯曲荷载均作用在同一平面内C.弯曲变形后的轴线是一条平面曲线D.弯曲变形的轴线与荷载作用面同在一个平面内11、选取不同的坐标系时，弯曲内力的符号情况是（）A.弯矩不同，剪力相同B.弯矩相同，剪力不同C.弯矩和剪力都相同D.弯矩和剪力都不同12、在下列四种情况中，（）称为纯弯曲A.荷载作用在梁的纵向对称面内B.荷载仅有集中力偶，无集中力和分布荷载C.梁只发生弯曲，不发生扭转和拉压变形D.梁的各个截面上均无剪力，且弯矩为常量13、梁剪切弯曲时，其截面上（）A.只有正应力，无切应力B.只有切应力，无正应力C.既有正应力，又有切应力D.既无正应力，也无切应力14、中性轴是梁的（）的交线A.纵向对称面与横截面B.纵向对称面与中性面C.横截面与中性层D.横截面与顶面或底面15、梁发生平面弯曲时，其横截面绕（）旋转A.梁的轴线B.截面的中性轴C.截面的对称轴D.截面的上（或下）边缘16、几何形状完全相同的两根梁，一根为铝材，一根为钢材，若两根梁受力状态也相同，则它们的（）A.弯曲应力相同，轴线曲率不同B.弯曲应力不同，轴线曲率相同C.弯曲应力和轴线曲率均相同D.弯曲应力和轴线曲率均不同17、等直实体梁发生平面弯曲变形的充分必要条件是（）A.梁有纵向对称面B.荷载均作用在同一纵向对称面内C.荷载作用在同一平面内D.荷载均作用在形心主惯性平面内18、矩形截面梁，若截面高度和宽度都增加一倍，则其强度将提高到原来的（）B.4 D. 1619、在厂房建筑中使用的“鱼腹梁”实质上是根据简支梁上的（）而设计的等强度梁。
A.受集中力，截面宽度不变B.受集中力、截面高度不变C.受均布荷载、截面宽度不变D.受均布荷载、截面高度不变20、设计钢梁时，宜采用中性轴为（）的截面A.对称轴B.靠近受拉边的非对称轴C.靠近受压力的非对称轴D.任意轴21、梁的挠度是（）A.横截面上任一点沿梁轴垂直方向的线位移B.横截面形心沿梁轴垂直方向的线位移C.横截面形心沿梁轴方向的线位移D.横截面形心的线位移22、在下列关于梁转角的说法中，错误的是（）A.转角是横截面绕中性轴转过的角位移B.转角是变形前后同一横截面间的夹角C.转角是横截面之切线与轴向坐标轴间的夹角D.转角是横截面绕梁轴线转过的角度23、梁挠曲线近似微分方程''()/=-在（）条件下成立。
w M x EIA.梁的变形属小变形B.材料服从胡克定律C.挠曲线在xoy面内D.同时满足前三项24、等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率在最大（）处一定最大。
A.挠度B.转角C.剪力D.弯矩25、在利用积分法计算梁位移时，待定的积分常数主要反映了（）A.剪力对梁变形的影响B.对近似微分方程误差的修正C.支承情况对梁变形的影响D.梁截面形心轴向位移对梁变形的影响26、若两根梁的长度L，抗弯截面刚度EI及弯曲内力图均相等，则在相同的坐标系中梁的（）A.挠度方程一定相同，曲率方程不一定相同B.挠度方程不一定相同，曲率方程一定相同C.挠度方程，曲率方程均相同D.挠度方程，曲率方程均不一定相同27、 在下面这些关于梁的弯矩及变形间关系的说法中，正确的是（）A.弯矩为正的截面转角为正B.弯矩最大的截面转角最大C.弯矩突变的截面转角也有突变D.弯矩为零的截面曲率必为零28、已知等截面直梁在某一段上的挠曲线方程为()222()46w x Ax lx l x =--，则该段梁上（）A.无分布荷载作用B.有均布荷载作用C.分布荷载是x 的一次函数D.分布荷载是x 的二次函数29、梁受弯时的内力，符号为正的是（）A.B.C.D.30、应用叠加原理求位移时应满足的条件是（）A.线弹性小变形B.静定结构或构件C.平面弯曲变形D.等截面直梁二. 填空题1.2. 内力是外力作用引起的，不同的外力引起不同的内力，轴向拉、压变形时的内力称为__________；剪切变形时的内力称为__________；扭转变形时的内力称为__________；纯弯曲变形时的内力称为__________。
3. 受横力弯曲的梁横截面上的正应力沿截面高度按 规律变化，在 处最大。
4. 对于，纯弯曲梁的正应力计算公式可以应用于横力弯曲梁。
5. 工字形截面梁的切应力求解公式d I S F z z S ⋅⋅=/*τ中，d 为工字形截面的。
三. 判断题1、 平面弯曲的梁，横截面上的最大正应力，发生在离中性轴最远的上、下边缘点上。
√×2、平面弯曲的梁，位于横截面中性轴的点，其弯曲正应力σ= 0。
（）3、梁截面的最大正应力和最大剪应力都发生在中性轴上。
（）4、梁的抗弯刚度EI越大，曲率越大，梁越不易变形。
（）5、集中力作用处弯矩图没有变化，集中力偶作用处剪力图没有变化。
（）6、梁受弯曲作用时，相对于正应力，切应力很小，因此可以不校核切应力强度条件。
（）参考答案单选题1-5 BAABB 6-10 DCBAD 11-15 BDCCB 16-20 ABCAA 21-25 BCDDC 26-30 BDBAA填空题1.轴向拉伸，扭转，弯曲2.轴力，剪力，扭矩，弯矩3.线性增大，截面顶边（或底边）4.细长梁5.腹板厚度判断题1.√，2.√，3.×，4.×，5.×，6.×。