2.2.3 向量数乘运算及其几何意义(教案)
第二章 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
2．2.3 向量数乘运算及其几何意义学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．知识点一 向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同；当λ<0时，与a 方向相反.特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0. 知识点二 向量数乘的运算律 1．λ(μa )＝(λμ)a . 2．(λ＋μ)a ＝λa ＋μa . 3．λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 知识点三 向量共线定理 1．向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 2．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b . 思考 共线向量定理中为什么规定a ≠0?答案 若将条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线． (1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa . (2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .1．若向量b 与a 共线，则存在唯一的实数λ使b ＝λa .( × ) 提示 当b ＝0，a ＝0时，实数λ不唯一． 2．若b ＝λa ，则a 与b 共线．( √ ) 提示 由向量共线定理可知其正确．3．若λa ＝0，则a ＝0.( × ) 提示 若λa ＝0，则a ＝0或λ＝0.题型一 向量的线性运算例1 (1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝________. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 9a解析 3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . (2)若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝______. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 4b －3a解析 由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0， 所以x ＋3a －4b ＝0，所以x ＝4b －3a . 反思感悟 向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 跟踪训练1 计算：(a ＋b )－3(a －b )－8a . 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算解 (a ＋b )－3(a －b )－8a ＝(a －3a )＋(b ＋3b )－8a ＝－2a ＋4b －8a ＝－10a ＋4b .题型二 向量共线的判定及应用命题角度1 判定向量共线或三点共线 例2 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)若a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2，判断向量a ，b 是否共线．考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定向量共线 解 ∵b ＝6a ，∴a 与b 共线．(2)若AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定三点共线证明 ∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →， ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．反思感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b ＝λa (a ≠0)，还要说明向量a ，b 有公共点．跟踪训练2 已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定三点共线 答案 A ，B ，D解析 ∵AB →＝e 1＋2e 2，BD →＝BC →＋CD → ＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB →， ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．命题角度2 利用向量共线求参数值例3 已知非零向量e 1，e 2不共线，欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定k 的值． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 解 ∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.反思感悟 利用向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．跟踪训练3 设两个不共线的向量e 1，e 2，若a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，问是否存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？ 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 解 d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2，要使d 与c 共线，则存在实数k ，使得d ＝k c ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2. 因为e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ.故存在实数λ和μ，使得d 与c 共线，此时λ＝－2μ. 题型三 用已知向量表示其他向量例4 在△ABC 中，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.13AC →＋23AB → B.53AB →－23AC →C.23AC →－13AB → D.23AC →＋13AB → 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 示意图如图所示，由题意可得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →.跟踪训练4 如图所示，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形．又BM＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量解 因为BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )，所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .因为CN →＝13CD →＝16OD →，所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )． MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .向量的综合应用典例 如图，设O 是△ABC 内一点，且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 3解析 如图所示，分别取BC ，AC 边的中点D ，E ，则OB →＋OC →＝2OD →，① OA →＋OC →＝2OE →，② 由①×2＋②可得OA →＋2OB →＋3OC →＝2(2OD →＋OE →)．又因为OA →＋2OB →＋3OC →＝0， 所以2OD →＋OE →＝0，即OE →＝－2OD →， 所以OD →，OE →共线，且|OE →|＝2|OD →|.所以S △AOC ＝2S △COE ＝2×23S △CDE ＝2×23×14S △ABC ＝13S △ABC ，所以S △ABC S △AOC＝3.[素养评析] 本题主要考查向量共线条件的应用，解题时需充分利用好几何图形，借助几何直观使问题得解，这正体现了数学中直观想象的核心素养.1．下列各式计算正确的有( ) (1)(－7)6a ＝－42a ； (2)7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ； (3)a －2b ＋a ＋2b ＝2a ； (4)4(2a ＋b )＝8a ＋4b .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 C解析 (1)(3)(4)正确，(2)错，7(a ＋b )－8b ＝7a ＋7b －8b ＝7a －b . 2．在△ABC 中，M 是BC 的中点，则AB →＋AC →等于( ) A.12AM → B.AM → C ．2AM → D.MA → 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 C解析 如图，作出平行四边形ABEC ，因为M 是BC 的中点，所以M 也是AE 的中点，由题意知，AB →＋AC →＝AE →＝2AM →，故选C.3．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( ) A ．k ＝0B ．k ＝1C ．k ＝2D ．k ＝12考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 D解析 当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2.∴n ＝2m ，此时m ，n 共线．4．已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且P A →＋PB →＋PC →＝AC →，则下列向量一定共线的是( ) A.PC →与PB → B.P A →与PB → C.P A →与PC →D.PC →与AB →考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定向量共线 答案 B解析 因为P A →＋PB →＋PC →＝AC →， 所以P A →＋PB →＋PC →＋CA →＝0， 即－2P A →＝PB →，所以P A →与PB →共线．5.如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 解 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的． 2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．λa 与a 的方向不是相同就是相反 B ．若a ，b 共线，则b ＝λa C ．若|b |＝2|a |，则b ＝±2a D ．若b ＝±2a ，则|b |＝2|a | 考点 向量数乘的定义及运算 题点 向量数乘的定义及几何意义 答案 D解析 显然当b ＝±2a 时，必有|b |＝2|a |. 2．3(2a －4b )等于( ) A ．5a ＋7b B ．5a －7b C ．6a ＋12bD ．6a －12b考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 D解析 利用向量数乘的运算律，可得3(2a －4b )＝6a －12b ，故选D.3．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，且A ，B ，C 三点共线，则实数λ的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．－2或1D ．－1或2考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 D解析 因为A ，B ，C 三点共线， 所以存在实数k 使AB →＝kAC →. 因为AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ， 所以λa ＋2b ＝k [a ＋(λ－1)b ]．因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2＝k (λ－1)，解得λ＝2或λ＝－1.4．如图，△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，DC →＝3BD →，AE →＝2EC →，则DE →等于( )A ．－13a ＋34bB.512a －34bC.34a ＋13b D ．－34a ＋512b考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 DE →＝DC →＋CE →＝34BC →＋⎝⎛⎭⎫－13AC → ＝34(AC →－AB →)－13AC →＝－34AB →＋512AC →＝－34a ＋512b ，故选D.5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 连接CD ，OD ，如图所示．∵点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点， ∴AC ＝CD ，∠CAD ＝∠DAB＝12×60°＝30°. ∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°. 由此可得∠CAD ＝∠ADO ＝30°，∴AC ∥DO . 由AC ＝CD ，得∠CDA ＝∠CAD ＝30°， ∴∠CDA ＝∠DAO ，∴CD ∥AO ， ∴四边形ACDO 为平行四边形， ∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .6．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列说法中正确的是( ) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . A ．②④ B ．①② C ．①③ D ．③④ 考点 向量数乘的定义及运算 题点 向量数乘的运算及运算律 答案 B解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．7．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D.23a ＋13b 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 ∵△DEF ∽△BEA ， ∴DF AB ＝DE EB ＝13，∴DF ＝13AB ， ∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →.∵AC →＝AB →＋AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →＝b ， 联立得AB →＝12(a －b )，AD →＝12(a ＋b )，∴AF →＝12(a ＋b )＋16(a －b )＝23a ＋13b .二、填空题8．(a ＋9b －2c )＋(b ＋2c )＝________.考点 向量的线性运算及应用题点 向量的线性运算答案 a ＋10b9．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.考点 向量共线定理及其应用题点 利用向量共线定理求参数答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又∵向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12. 10．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b表示)考点 向量共线定理及其应用题点 用已知向量表示未知向量答案 14b －14a 解析 如图，MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC → ＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14b －14a . 11．若非零向量a 与b 不共线，k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，则实数k 的值为________． 考点 向量共线定理及其应用题点 利用向量共线定理求参数答案 ±6解析 ∵k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使得k a ＋2b ＝λ(3a ＋k b )，∴(k －3λ)a ＋(2－λk )b ＝0，∴(k －3λ)a ＝(λk －2)b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －3λ＝0，λk －2＝0，∴k ＝±6. 12．如图，在△ABC 中，延长CB 到D ，使BD ＝BC ，当点E 在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB→＋μAC →，则t ＝λ－μ的最大值是________．考点 向量共线定理及其应用题点 向量共线定理在平面几何中的应用答案 3解析 设AE →＝kAD →，0≤k ≤1，则AE →＝k (AC →＋2CB →)＝k [AC →＋2(AB →－AC →)]＝2kAB →－kAC →，∵AE →＝λAB →＋μAC →，且AB →与AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ，μ＝－k ，∴t ＝λ－μ＝3k . 又0≤k ≤1，∴当k ＝1时，t 取最大值3.故t ＝λ－μ的最大值为3.三、解答题13．计算：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；(2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎡⎦⎤12a ＋37⎝⎛⎭⎫b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )．考点 向量的线性运算及应用题点 向量的线性运算解 (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b .(2)原式＝12⎝⎛⎭⎫3a －23a ＋2b －b －76⎝⎛⎭⎫12a ＋12a ＋37b ＝12⎝⎛⎭⎫73a ＋b －76⎝⎛⎭⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. (3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c＝(6a －4a ＋4a )＋(8b －6b )＋(6c －4c －2c )＝6a ＋2b .14．在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.考点 向量的线性运算及应用题点 用已知向量表示未知向量解 如图，设AB →＝a ，AD →＝b .∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，∴BN →＝12b ，DM →＝12a . ∵在△ADM 和△ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD →＋DM →＝AM →，AB →＋BN →＝AN →， 即⎩⎨⎧ b ＋12a ＝c ，①a ＋12b ＝d . ②①×2－②，得b ＝23(2c －d )， ②×2－①，得a ＝23(2d －c )． ∴AB →＝43d －23c ，AD →＝43c －23d .15．已知在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD为梯形．考点 向量共线定理及其应用题点 向量共线定理在平面几何中的应用证明 如图所示．∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )，∴AD →＝2BC →.∴AD →与BC →共线，且|AD →|＝2|BC →|.又∵这两个向量所在的直线不重合，∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．。
《向量的数乘运算及其几何意义》教学设计
教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图复习回顾复习回顾：向量的加法、向量的减法教师提问学生回答复习回顾，引发新知情景引入问题：已知甲向东走了1千米，乙向东走了3千米，丙向西走了3千米，丁站在原地没有动，如果把甲的位移用a来表示，那么怎么用向量来表示乙、丙、丁的位移？教师提问学生思考并容易回答出a3，-a3，0a用学生熟悉的物理知识引入今天的新课，是学生有一种似曾相识的感觉。
激发学生的求知欲和增强学生的自信心。
探究1：向量的数乘运算定义极其几何意义作图：已知非零向量a，作出a+a+a和（a-）+（a-）+（a-）想一想：它们的大小和方向有什么变化？学生作图，观察并思考认识和理解向量数乘的几何意义必须从几何直观入手，即通过让学生自己作图，以及独立观察、思考，让学生对向量的伸缩有一个初步的感性认识，进而为下一步对向量的数乘的定义及其几何意义的理性认识作好铺垫。
得出新知实数与向量的积的定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作aλ，它的长度与方向规定如下：（1）||||||a aλλ=；（2）当0λ>时，aλ的方向与a的方向相同；当0λ<时，aλ的方向与a的方向相反；当0λ=时，0aλ=．问题1：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？学生思考并单作答通过引出向量的数乘的定义，让学生体会从特殊到一般的思想方法问题2：你能说明它的几何意义吗？学生思考交流并作答从从直观入手，从具体开始，逐步抽象。
通过师生互动，得到向量数乘的几何意义是把向量a沿a的方向或反方向伸长或缩短λ倍。
说一说：aaaaa222121--、、、：与下列向量之间的关系教师启发学生思考抽学生回答，并指出其几何意义通过简单口答题来巩固学生对向量数乘的理解及应用，同时渗透几何问题向量化的一种思考方式。
a b λλ+a+b ）=（第二分配律）．)(3c a ---的位置关系。
三点、、试判断，已知，变式一：如图E C A .33BC DE AB AD ==引导学生思考学生思考作答 共线向量定理的应用二：判断三点共线DEBC C E AB AD //.A 3A 3求证：，已知，变式二：如图== 引导学生思考学生思考作答 共线向量定理的应用三：判断直线平行例3.如图，已知任意两个向量,,b a试作出.3,2,b a OC b a OB b a OA+=+=+=你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？让学生完成作图学生上黑板上作图这道例题是先让学生猜想，再证明；利用向量共线证明点共线，具体方法是先证明向量共线，再证明向量有公共点；进而引出利用向量共线证明直线平行.例4.如图，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且b AD a AB==,，你能用b a ,表示MD MC MB MA ,,,吗？引导学生思考学生思考作答综合运用向量的加、减、数乘等向量的线性运算.使学生明确：有了向量的线性运算，平面中的点、线段（直线）就可以得到向量表示，这是利用向量解决几何问题的重要步骤.课堂小结一、①aλ的定义及运算律；② 向量共线定理)0(≠a ，⇔=a b λ 向量a 与b共线.二、 定理的应用：（1） 证明向量共线； (2) 证明三点共线；⇒=BC AB λA 、B 、C 三点共线；（3） 证明两直线平行：⇒⎪⎭⎪⎬⎫=,,不在同一条直线上与CD AB CD AB λ直线AB ∥直线CD .三、你体会到了那些数学思想.引导学生体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般，归纳，猜想，类比，分类讨论，等价转化.1.知识性内容的总结，可以把课堂教学传授的知识尽快转化为学生的素质.2.运用数学方法，创新素质的小结能让学生更系统，更深刻地理解数学理想方法在解题中的地位和作用，并且逐渐培养学生的良好个性品质.3.由学生口头表述，不仅可以提高学生的综合概括能力，还能提高学生的口头表达能力.新课程标准高中数学人教A版高中数学必修4授课人：孔明明20XX年3月20日。
数学：2.2.3《向量数乘运算及其几何意义》教案(必修4) 最新!!
思考：为什么要求 是非零的？（若 ，则 总共线，而 时，则不存在实数 ，使 成立；而 时，不管 取什么值， 总成立， 不唯一．）
例2（P98例6）
例３（P99例7）
例４．设 是两个不共线的向量，已知 ， ，
，若A、B、D三点共线，求k的值．（ ）
教学内容：§2.2.3向量数乘运算及其几何意义
教学目标
1.掌握向量的数乘运算及几何意义；
2.掌握向量数乘运算律，并会运用它们进行计算；
3.理解两个向量共线的条件，能表示与某个非零向量共线的向量，能判断两个向量共线；
4.通过本节课的学习，继续向学生渗透类比和化归思想．
本节重点
向量的数乘运算及几何意义
本节难点
观察它们的方向、长度与向量 的关系．
， ．
让学生想一想，猜一猜， 该记作什么？ ，且 ， 与 同向； ， 与 方向相反．
二．探究新课
(1)实数与向量的积
一般地，实数 与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度与方向规定如下：① ；②当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向小结：
实数乘向量的定义及运算律，一个向量与一个非零向量共线的充要条件．
作业
Ｐ101 /习题2.2 A组9,10,12；B组3
后记
(2)向量数乘的运算律
摘要与反思
主要内容及板书
① ；② ；③ ；
④ ；⑤
例１．（P98例5）计算： ① ；② ；
③
练习：Ｐ100 /练习1，2，3，5
追问：对于练习3，你能发现 和 的位置关系吗？
对于向量 、 ，①如果有一个实数，使得 ，那么 共线吗？②如果 共线，是否存在一个实数 ，使 ？
(完整word版)2.2.3向量数乘运算及其几何意义(教学设计)
SCH 高中数学(南极数学)同步教学设计(人教 A 版必修4第二章)•'•I 入（pa ）I=I （入 2）I1223向量数乘运算及其几何意义(教学设计)一、知识与能力：1理解掌握向量数乘运算及其几何意义，数乘运算的运算律，并能熟练运用定义、运算律进行有关计算。
2、 理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。
3、 通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能 力。
二、 过程与方法：1. 经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程； 2 •体会数形结合的数学思想方法 . 三、 情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题. 教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件. 教学难点：向量共线的充要条件. 一、复习回顾，新课导入探究：已知非零向量a ,作出a+a+a 和(-a)+(-a)+(-a),并说明它类似数的乘法，把 a+a+a 记作3a ,显然3a 的方向与a 的方向 倍，即即 |3a|=3|a|.同样，(-a)+( -a)+( -a)=3( -a)，显然3(-a)的方向与a 的方向相反, 由学生作图，归纳几何意义，教师补充完善，引出本节课所学的内容。
、师生互动，新课讲解 1.定义：实数 与向量a 的积是一个向量，称为向量的数乘，记作a ，它的长度与方向规定如下: (1) I a|=||| a| ;(2) 当>0时，a 的方向与向量a 的方向相同；当 <0时，a 的方向与a 的方向相反. 2. 特别地，当 =0或a=0时，a=0 ;当=-1时，(-1) a=-a ，就是a 的相反向量. 3.实数与向量的积的运算律设、为实数，那么 (1)( a)=( ) a ;(结合律)(2) ( + )a= a+ a ;(第一分配律) (3)(a+b)= a+ b.(第二分配律)结合律证明：如果入=0,尸0, a =0至少有一个成立，则①式成立 们的几何意义•相同，3a 的长度是a 的33(-a)的长度是a 的3倍，这样3(-a)=-3a.如果入0，卩0, a 0有：|入(旧)1=1入II旧1=1入II川a I1(入2 a|=入训a I=I入II训a I解：(1)原式=(-3 4) a=-12a;2解：(1)原式=(-3 4) a=-12a;3如果入、卩同号，则①式两端向量的方向都与 a 同向； 如果入、卩异号，则①式两端向量的方向都与a 反向。
向量数乘运算及其几何意义教案
1 2.2.3向量数乘运算及其几何意义一.教学目标1.知识与技能: 通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线定理。
熟练 运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线 平行等问题。
2.过程与方法:理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是 否共线。
3.态度情感与价值观：通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能 力，合作释疑过程中合作交流的能力。
激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶 学生的情感，培养学生实事求是的科学态度，勇于创新的精神。
二.教学重难点重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线定理。
难点：向量共线定理的探究及其应用。
三.教学过程（一）复习回顾问题1：向量加法的运算法则？问题2：向量减法的运算法则？（二）新课讲解1.向量数量积的定义【探究1】 已知非零向量a ，作出a a a ++和()()()a a a -+-+-，你能说出他们的几何意义 吗？问题1：相加后，和的长度和方向有什么变化？问题2：这些变化与哪些因素有关？练一练：P 90 第1题，第2题.22.向量数乘的运算律【探究2】 问题一：求作向量)2(3a 和a 6(a 为非零向量)，并进行比较。
问题二：已知向量a 、b ，求作向量)(2b a +和b a 22+，并进行比较。
类比实数乘法的运算律得向量数乘的运算律：对于任意向量a 、b 及任意实数λ、μ,恒有b a b a 2121)(λμλμμμλ±=±. 例5：计算(口答) (1) a 4)3(⨯-(2) a b a b a ---+)(2)(3(3) )23()32(c b a c b a +---+练一练：P 90 第5题.3、向量共线定理 【探究3】问题1：如果 a b λ=(0≠a ), 那么，向量a 与b 是否共线？问题2: b 与非零向量a 共线， 那么，a b λ= ？思考：1. a 为什么要是非零向量？ 2. b 可以是零向量吗？例6.已知任意两非零向量a 、b ，试作b a OA +=, b a OB 2+=，b a OC 3+=。
高中数学 第二章 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义教案 新人教A版必修4
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
1.知识与技能
(1)掌握向量的数乘运算及其几何意义.
(2)理解向量共线定理,并应用其解决相关问题.
2.过程与方法
通过由向量加法运算探究向量的数乘运算的过程,使学生形成数形结合的研究问题的方法,由λ的符号来判断λa与a的方向是否相同的过程,培养学生用分类讨论的思想研究问题的方法.
3.情感、态度与价值观
通过对向量数乘运算的探究学习,经历数学探究活动的过程,培养学生的探索精神和创新意识;通过数乘向量的实际应用,体会数学的应用价值,学会用数学的方式解决问题.
重点:向量的数乘运算及其几何意义,向量共线定理.
难点:向量共线定理的应用.
重难点突破:引导学生作出几个相同向量的和,再讨论它们的几何意义,得到向量数乘运算的直观感知,然后过渡到一般的向量数乘运算的定义.要强调λa是一个向量,λa也有长度和方向.
【例】如图所示,O为△ABC的外心,H为垂心,求证:.
分析:作直径BD,连接DA,DC,根据四边形AHCD是平行四边形求解.
证明:作直径BD,连接DA,DC,
则=-,DA⊥AB,AH⊥BC,CH⊥AB,CD⊥BC.
∴CH∥DA,AH∥DC.
故四边形AHCD是平行四边形.
∴.
又,
∴.
变式训练已知G为△ABC内一点,若=0,求证:G是△ABC的重心.
证明:如图,由=0,
知=-().
以为邻边作▱BGCD,
则,即=-.
而在▱BGCD中,BC与GD相交于E,且,
则AE是△ABC中BC边上的中线.
又因为||=2||,所以G为△ABC的重心.。
高中数学2.2.3向量数乘运算及其几何意义教案新人教A版必修4
课题 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义教学目标知识与技能理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算．过程与方法理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．情感态度价值观启发引导，讲练结合重点了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义难点了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义教学设计教学内容教学环节与活动设计探究点一向量数乘运算的物理背景(1)一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量v，那么在同方向上3秒钟的位移对应的向量用3v表示，试在直线l上画出3v向量，看看向量3v与v的关系如何？(2)已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，你能说明它们与向量a之间的关系吗？（3)已知非零向量a，你能说明实数λ与向量a的乘积λa的几何意义吗？探究点二向量数乘的运算律根据实数与向量积的定义，可以验证下面的运算律：设λ，μ∈R，则有①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.探究点三共线向量定理及应用由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件：如果a(a≠0)与b共线，当且仅当存在一个实数λ，使b＝λa.向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明教学内容教学环节与活动设计推论1：已知O 为平面ABC 内任一点，若A 、B 、C 三点共线，则存在α、β∈R，使OC →＝αOA →＋βOB →，其中α＋β＝1.推论2：已知O 为平面ABC 内任一点，若存在α，β∈R，使OC →＝αOA →＋βOB →，α＋β＝1，则A 、B 、C 三点共线． 【典型例题】 例1 计算：(1)(－3)×4a ；(2)3(a ＋b )－2(a －b )－a ； (3)(2a ＋3b －c )－(3a －2b ＋c )． 解 (1)原式＝(－3×4)a ＝－12a ； 原式＝3a ＋3b －2a ＋2b －a ＝5b ；原式＝2a ＋3b －c －3a ＋2b －c ＝－a ＋5b －2c . 跟踪训练1 计算：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )； (2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2b－23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )．例2 已知任意两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ＋b ， OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系，并说明理由．解 因为AB →＝OB →－OA →＝(a ＋2b )－(a ＋b )＝b ， ＝OC →－OA →＝(a ＋3b )－(a ＋b )＝2b ， 故有AC →＝2AB →.因为AC →∥AB →，且有公共点A ，向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．本题给出了证明三点共线方法，利用向量共线定理，关键是找到唯一实数λ，使a ＝λb ，先证向量共线，再证三点共线．教学设计教学内容教学环节与活动设计例3如图，▱ABCD的两条对角线相交于点M，且AB→＝a，AD→＝b，你能用a、b表示MA→、MB→、MC→和MD→吗？解在▱ABCD中，AC→＝AB→＋AD→＝a＋b，DB→＝AB→－AD→＝a－b，又∵平行四边形的两条对角线互相平分，MA→＝－12AC→＝－12(a＋b)＝－12a－12b，MB→＝12DB→＝12(a－b)＝12a－12b，MC→＝12AC→＝12a＋12b，MD→＝－MB→＝－12DB→＝－12a＋12b.踪训练3如图，D、E分别是边AB、AC的中点，求证：DE→＝12BC→.1．化简：(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；(2)13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a＋8b－a－2b.2．如图，AM→＝1AB→，AN→＝1AC→.结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关键．教学小结1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算例如λ＋a，λ－a是没有意义的．2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a|表示与向量a同向的单位向量．课后。
高中数学学案6：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义学习目标1．掌握向量数乘运算的定义，理解向量数乘的几何意义． 2．掌握向量数乘的运算律，并会根据运算律熟练进行有关的计算．3．理解并掌握向量共线定理，能判断两个向量是否共线，能灵活运用向量判断点共线． 学习重点：向量的数乘运算及其几何意义． 学习难点：向量共线定理的应用． 新知导学 1．向量数乘运算实数λ与向量a 的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，记作λa ，其长度与方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当 时，与a 方向相同，当 时，与a 方向相反.特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0.温馨提示：实数与向量可以相乘，但是不能相加、减，如λ＋a ，λ－a 均无意义． 2．向量数乘的运算律 (1)λ(μa )＝(λμ)a . (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa . (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .特别地，有(－λ)a ＝－(λa )＝λ(－a )； λ(a －b )＝λa －λb .温馨提示：数乘向量与数乘数有区别：前者结果为一个向量，后者结果为一个实数． 3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa .温馨提示：该定理加a ≠0这一条件的原因：(1)若a ＝b ＝0，则实数λ仍然存在，但λ并不唯一，此时定理不成立．(2)若a ＝0，b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa ，此时定理也不成立．因此，向量共线定理必须加上a ≠0这一条件． 4．向量的线性运算向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ＋μ2b )＝λμ1a ＋λμ2b .温馨提示：向量的线性运算可与多项式和多项式的运算类比，在运算过程中，我们将同一向量看做是同类项，相应的运算只是实数的运算，因此向量的线性运算基本上是代数式的运算． 互动探究探究点1 数乘向量与原向量之间有什么关系？探究点2 向量数乘的几何意义是什么？探究点3 若向量a 是非零向量，则向量a|a |与向量a 什么关系？题型探究类型一 向量的数乘运算 例1 化简下列各式：(1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )； (2)16[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]．规律方法 向量的初等运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段． 活学活用1 若向量a ＝3i －4j ，b ＝5i ＋4j ，则⎝⎛⎭⎫13a －b －3⎝⎛⎭⎫a ＋23b ＋(2b －a )＝________. 类型二 用已知向量表示未知向量例2 如图所示，已知▱ABCD 的边BC ，CD 上的中点分别为K ，L ，且AK →＝e 1，AL →＝e 2，试用e 1，e 2表示BC →，CD →.规律方法 (1)由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则，以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何知识的应用，如法三．(2)当直接表示较困难时，应考虑利用方程(组)求解，如本题法一、法二．活学活用2 如图所示，D ，E 分别是△ABC 中边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC →＝a ，BD →＝b ，试用a ，b 分别表示DE →，CE →，MN →.类型三 共线向量定理的应用 例3 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．规律方法 (1)本题充分利用了向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．活学活用3 如图所示，已知在▱ABCD 中，点M 为AB 的中点，点N 在BD 上，且3BN ＝BD .求证：M 、N 、C 三点共线．方法技巧 数形结合思想在向量中的应用所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数释形”使复杂的问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性表现． 本节中的数形结合主要体现在：(1)让向量的分解更加直观；(2)让向量的计算小巧、有趣． 示例 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AE →＝( )．A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b 题后反思 本题灵活利用了向量的三角形法则和平行四边形法则的逆向运算，以向量AE →为目标，一步步分解成向量a 和b . 课堂达标1．化简4(a －b )－3(a ＋b )－b ＝( ) A ．a －2b B ．a C ．a －6b D ．a －8b2．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1、e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系为( ) A ．不共线 B ．共线 C ．相等D ．无法确定3．若|a |＝3，向量b 与a 反向，且|b |＝2，则a ＝________b .4．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝________.(填写正确的序号) ①－BC →＋12BA →；②－BC →－12BA →；③BC →－12BA →；④BC →＋12BA →.5．计算：(1)(－7)×6a；(2)4(a＋b)－3(a－b)－8a；(3)(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)．课堂小结1．λa是一个向量，它既有长度又有方向，其长度|λa|＝|λ||a|，其方向与λ的符号有关，当λ>0时，λa与a同向；λ<0时，λa与a反向．2．判断两个向量是否共线，关键是能否找到一个实数λ，使b＝λa.若λ存在，则共线；λ不存在，则不共线．3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具．即三点共线问题通常转化为向量共线问题.参考答案新知导学1．向量数乘(2)λ>0 λ<04．加 减 数乘 互动探究探究点1 提示 数乘向量与原向量共线．探究点2 提示 由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩．当|λ|>1时，表示a 的有向线段在原方向(λ>0) 或反方向(λ<0)上伸长为原来的|λ|倍； 当|λ|<1时，表示a 的有向线段在原方向(λ>0) 或反方向(λ<0)上缩小为原来的|λ|倍．探究点3 提示 ∵向量a 是非零向量，∴|a |>0.根据数乘向量的几何意义知：a|a |是与向量a同向的单位向量. 题型探究类型一 向量的数乘运算例1 解：(1)原式＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b ； (2)原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b .活学活用1 【答案】 －16i ＋323j【解析】 ⎝⎛⎭⎫13a －b －3⎝⎛⎭⎫a ＋23b ＋(2b －a ) ＝13a －b －3a －2b ＋2b －a ＝－113a －b＝－113(3i －4j )－(5i ＋4j )＝－11i ＋443j －5i －4j＝－16i ＋323j .类型二 用已知向量表示未知向量 例2 解：法一 设BC →＝x ，则BK →＝12x ，AB →＝AK →＋KB →＝e 1－12x ，DL →＝12e 1－14x ，又AD →＝x ，由AD →＋DL →＝AL →，得x ＋12e 1－14x ＝e 2，解方程得x ＝43e 2－23e 1，即BC →＝43e 2－23e 1，由CD →＝－AB →，AB →＝e 1－12x ，得CD →＝－43e 1＋23e 2.法二 设BC →＝x ，CD →＝y ， 则BK →＝12x ，DL →＝－12y .由AB →＋BK →＝AK →，AD →＋DL →＝AL →，得⎩⎨⎧－y ＋12x ＝e 1， ①x －12y ＝e 2，②－2×②＋①得12x －2x ＝e 1－2e 2，x ＝23(2e 2－e 1)，同法得y ＝23(－2e 1＋e 2)，即BC →＝43e 2－23e 1，CD →＝－43e 1＋23e 2.法三 如图所示，延长BC 与AL 交于点E ，则△DLA ≌△CLE ， 从而AE →＝2AL →，CE →＝AD →，KE →＝32BC →，由KE →＝AE →－AK →，得32BC →＝2e 2－e 1，即BC →＝23(2e 2－e 1)＝43e 2－23e 1.同理可得CD →＝23(－2e 1＋e 2)＝－43e 1＋23e 2.活学活用2 解：由三角形中位线定理， 知DE12BC ，故D E →＝12BC →，即DE →＝12a . CE →＝CB →＋BD →＋DE →＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .MN →＝MD →＋DB →＋BN →＝12ED →＋DB →＋12BC →＝－14a －b ＋12a ＝14a －b .类型三 共线向量定理的应用例3 解：(1)∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →.∴AB →，BD →共线，且有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，即(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.活学活用3 证明：设AB →＝a ，AD →＝b ， 则BD →＝BA →＋AD →＝－a ＋b ，BN →＝13BD →＝－13a ＋13b ，MB →＝12a ，BC →＝AD →＝b ，∴MC →＝MB →＋BC →＝12a ＋b ，MN →＝MB →＋BN →＝12a －13a ＋13b ＝13⎝⎛⎭⎫12a ＋b ， ∴MN →＝13MC →，∴MN →∥MC →，又M 为公共点．∴M 、N 、C 三点共线． 示例 【答案】C【解析】如图，∵AE →＝12(AO →＋AD →)，且AO →＝12a ，AD →＝AO →＋OD →＝12a ＋12b .∴AE →＝12⎝⎛⎭⎫12a ＋12a ＋12b ＝12a ＋14b .故选C.课堂达标 1．【答案】D【解析】4(a －b )－3(a ＋b )－b ＝(4－3)a －(4＋3＋1)b ＝a －8b . 2．【答案】B【解析】a ＋b ＝3e 1－e 2，c ＝6e 1－2e 2＝2(a ＋b )，故c 与a ＋b 共线． 3．【答案】－32【解析】∵b 与a 反向， ∴由共线向量定理知a ＝－32b .4．【答案】①【解析】－BC →＋12BA →＝CB →＋12BA →＝CB →＋BD →＝CD →.5．解：(1)原式＝(－7×6)a＝－42a.(2)原式＝(4a－3a－8a)＋(4b＋3b)＝－7a＋7b.(3)原式＝(5a－6a)－4b＋4b＋(c－2c)＝－a－c.。
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义(课件)
C 3b 2b b b B A a
a 2b a b b AC OC OA a 3b a b 2b AC 2 AB
所以,A、B、C三点共线
1.向量加法三角形法则: 特点:首尾相接
2.向量加法平行四边形法则:
C
ab
B
a
ab b
C 特点:共起点
b
b
A
a B
b
B
O
a
A
a b
3.向量减法三角形法则:
O
a
A
BA a b
特点：共起点，连终点，方向指向被减数
思考题1:已知向量 a, 如何作出 a a a 和(a) (a) (a)?
问题1：怎样理解数与向量的乘积的定义？
二、实数与向量的积的运算律：
a
2a
3(2a ) 6a ?
3(2a )
6a
( a ) ( )a
二、实数与向量的积的运算律：
(2 3)a 2a 3a ? a 5a
2a
3a
BC 4a b ， 5a 3b ， CD
求证：四边形ABCD为梯形． 解：AD AB BC CD
8a 2b 2 BC AD // BC AB与CD不在同一直线上
直线AD // 直线BC
所以四边形ABCD为梯形
例8 如图, ABCD 的两条对角线相交于点M, 且 AB=a, AD b, 你能用a,b表示MA、 、 和MD MB MC D C ABCD中 解：在
课件5：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
学习重点、难点 重点：向量的数乘运算及其几何意义，向量共线定理． 难点：向量共线定理的应用．
知识点 1：向量的数乘运算 问题导思 1．我们知道，x＋x＋x＝3x，那么 a＋a＋a 是否等于 3a 呢？ 等于 2．3a 与 a 的方向有什么关系？－3a 与 a 的方向呢？ 相同，相反
总结
1．定义：一般地，我们规定实数 λ 与向量 a 的积是一个 向量 ，这 种运算叫做 向量的数乘 ，记作 λa. 2．规定：①|λa|＝|λ||a|，②当 λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向相同 ； 当 λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向相反 ；当 λ＝0 时，λa＝0.
解：(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. (2)原式＝12(2a＋32b)－a－34b ＝a＋34b－a－34b＝0. (3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
规律方法 1．要注意向量的线性运算的结果仍是一个向量． 2．向量的数乘运算类似于实数运算，先算小括号再算中括 号，将相同的向量看作同类项进行合并．
例 3.如图所示，已知▱ABCD 的边 BC，CD 上的中点分别为 K， L，且A→K＝e1，A→L＝e2，试用 e1，e2 表示B→C，C→D.
图 2－2－15
ห้องสมุดไป่ตู้
解：设B→C＝x，C→D＝y，则B→K＝12x，D→L＝－12y.
由A→B＋B→K＝A→K，A→D＋D→L＝A→L得－x－y＋12y＝12x＝e2，e1，
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
学习目标 1．知识与技能 (1)掌握向量的数乘运算及其几何意义． (2)理解向量共线定理，并应用其解决相关问题．
2．过程与方法 通过由向量加法运算探究向量的数乘运算的过程，形成数形结 合的研究问题的方法，由 λ 符号来判断 λa 与 a 方向是否相同 的过程，培养用分类讨论的思想研究问题的方法． 3．情感、态度与价值观 通过对向量数乘运算的探究学习，经历数学探究活动的过程， 培养探索精神和创新意识；通过数乘向量的实际应用，体会数 学的应用价值，学会用数学的方式解决问题．
[精品]新人教A版高中数学必修42.2.3向量数乘运算及其几何意义教学案
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2. 2.3向量数乘运算及其几何意义一、教学内容分析实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。
实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。
向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。
特别：向量的平行要与平面中直线的平行区别开。
二、教学目标设计1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。
三、教学重点与难点重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。
四、教学用具准备多媒体、实物投影仪五、教学流程设计六、教学过程设计1．设置情境：引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。
如力与加速度的关系F m a=，位移与速度的关系s v t=。
这些公式都是实数与向量间的关系。
师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a a a++和-+-+-向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什a a a()()()么变化？这些变化与哪些因素有关？生：a a a++的长度是a的长度的3倍，其方向与a的方向相同，-+-+-的长度是a长度的3倍，其方向与a的方向相反。
()()()a a a师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积）2．探索研究1）定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考）可根据小学算术中3333335++++=?的解释，类比规定：实数λ与向量a 的积就是λa ，它还是一个向量，但要对实数λ与向量a 相乘的含义作一番解释才行。
高中数学_向量的数乘运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义一、教学目标1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.4.理解实数相乘与向量数乘的区别.二、教学重难点重点：向量的数乘运算的几何意义，熟练进行向量的线性运算。
难点：掌握并能运用向量共线的定理三、学案设计《2.2.3 向量数乘运算及其几何意义》学案班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿一、学习目标1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的线性运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.二、情景导入:已知非零向量a,作出a+a+a和（—a）+（—a）+（—a）。
你能说明它们的几何意义吗？三、学习过程：一）向量的数乘运算1.定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个＿＿＿＿，这种运算叫做向量的数乘，记作＿＿＿＿.2.规定：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当＿＿＿＿时，λa的方向与a的方向相同；当＿＿＿＿时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝＿＿＿＿.典例1(1)若两个非零向量a 与a x 1)－(2方向相同，则x 的取值范围为________.(2)已知点C 在线段AB 的延长线上(在B 点右侧)，且AB ∶AC ＝2∶3. 则AB →=______BC →，AC →=______CB →。
再练一题点C 在线段AB 上，且25=CB AC ,则AC →=______AB →，BC →=______AB →。
3.运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ(μa )＝_________a ；(2)(λ＋μ) a＝__________________；(3)λ(a ±b)＝__________________.（4） (－λ) a＝__________________＝__________________4.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a ，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b )＝____________________________.典例2 计算（1）a 43-⨯）（ （2）ab a a --2-b 3）（）（+（3））（）（c b a a ++2-3-c -b 32（4）已知向量x a ，，b ，且)(---b a x x b a x +=-）（）（，则x＝________.再练一题化简：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)-()(2131b a b a2482二)共线向量 共线向量定理：向量a (a ≠0 )与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使__________.探究1 已知m ，n是不共线向量，n m a 43+=,n m b 86-=，判断a 与b 是否共线？探究2 已知是1e ,2e 共线向量，a =31e +42e ，b =61e -82e 则a 与b是否共线？探究3 设两非零向量1e 和2e 不共线，是否存在实数k ，使k 1e ＋2e 和1e ＋k 2e共线？典例3已知非零向量1e ，2e不共线.如果A B →＝1e ＋2e ，B C →＝2 1e ＋82e ，C D →＝3(1e －2e )，求证：A ，B ，D 三点共线.[再练一题]3.设两个非零向量1e ，2e 不共线，已知AB →＝21e ＋k 2e ，CB →＝1e ＋32e ，CD →＝21e －2e.问：是否存在实数k ，使得A ，B ，D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.四、课堂总结一）向量的数乘运算1、向量数乘的定义2、向量数乘的几何意义3、运算律4、向量的线性运算 二）共线向量定理 1、定理 2、应用 五、达标练习1、设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________.①a 与－λa 的方向相反； ②|－λa |≥|a |； ③a 与λ2a 方向相同； ④|－2λa |＝2|λ|·|a |.2、化简⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b 432c b 21 --3a a3、在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，证明：直线AD ∥BC.四、教学过程情景导入：已知非零向量,作出++和（—）+（—）+（—）。
2.2.3向量数乘运算及其几何意义(教学设计)(最新整理)
SCH 高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A 版必修4第二章）2.2.3向量数乘运算及其几何意义（教学设计）一、知识与能力：1、理解掌握向量数乘运算及其几何意义，数乘运算的运算律，并能熟练运用定义、运算律进行有关计算。
2、理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。
3、通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能力。
二、过程与方法：1． 经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程；2．体会数形结合的数学思想方法.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．教学重点:实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件．教学难点:向量共线的充要条件．一、复习回顾，新课导入探究：已知非零向量a ，作出a+a+a 和(-a)+(-a)+(-a)，并说明它们的几何意义.类似数的乘法，把a+a+a 记作3a ，显然3a 的方向与a 的方向相同，3a 的长度是a 的3倍，即|3a|=3|a|.同样，(-a )+(-a )+(-a )=3(-a )，显然3(-a )的方向与a 的方向相反，3(-a )的长度是a 的3倍，这样3(-a )=-3a .由学生作图，归纳几何意义，教师补充完善，引出本节课所学的内容。
二、师生互动，新课讲解1．定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，称为向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（1）|λa |=|λ||a |；（2）当λ>0时，λa 的方向与向量a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反.2． 特别地，当λ=0或a=0时，λa=0；当λ=-1时，(-1)⋅a=-a ，就是a 的相反向量.3． 实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么（1）λ(μa )=( λμ)a ；（结合律）（2）(λ+μ)a=λa+μa ；（第一分配律）（3）λ(a+b )= λa+λb .（第二分配律）结合律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立a 0如果λ≠0，μ≠0，≠有：|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ|||a 0a a a |(λμ)|=|λμ|| |=|λ||μ|||a a a ∴|λ(μ)|=|(λμ)|a aSCH 高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A 版必修4第二章）如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；a 如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向。
向量数乘运算及其几何意义教学设计
《向量数乘运算及其几何意义》教学设计一背景分析1 教材分析（1）教材内容：“向量数乘运算及其几何意义”是普通高中课程标准试验教科书，人民教育出版社（A）版必修4，2.2.3节内容。
主要内容是向量数乘运算的运算律及其向量共线定理。
（2）地位与作用：“类比”的思想将向量数乘运算问题类比到实数运算问题，不仅是这节课的重要思想，也是我们学习新知识的一个重要方法。
同时它是前面学过的向量加法减法运算法则的延续也为后面我们学习平面向量基本定理做好了铺垫。
（3）教学重难点：这节内容的重点是向量数乘运算的意义，运算律及其向量共线定理。
难点是向量共线定理的探究及其运用。
（4）学情分析：通过前面对向量加减法德学习学生能轻易的处理向量加减法的作图问题，这对我们引领学生探究向量数乘运算的定义及其运算律大有帮助，但是另一方面用向量来解决一些平面几何的问题还是没有形成基本思路，作为高一的学生他们思维灵活，想象力丰富，求知欲强，对学习数学有一定的兴趣，能够积极参与探究，但在合作交流意识方面有待加强。
为此我们应适当的多设计些共同完成的活动培养学生这方面的能力。
二教学目标1 理解掌握数乘运算及其几何意义，数乘的运算律，并能熟练的运用定义，运算律进行有关计算。
2 理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。
3 通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察，分析，抽象思维能力，以及运算能力和逻辑思维能力。
三教学媒体设计根据本节课教学任务的需要，我将教学媒体设计如下：1 多媒体辅助教学：利用多媒体展示图片，使学生更直观的感受向量数乘运算的定义及其运算律及共线向量定理。
在学生动手操作后用多媒体课件进行动态演示，同时利用多媒体增加课堂教学容量。
2 学生自备：要求每个学生课前自备三角板或直尺，一便学生画图，有助于学生对知识的发现和理解。
3 设计科学合理的板书：为使学生对本节课所学习的内容有一个整体认识，教学时将重要内容进行如下板书：四教学流程图：计算及练一练五教学过程例1如图，已知AD = 3AB,DE = 3BC,试判断AC 与AE 是否共线。
人教版数学高一教学设计向量数乘运算及其几何意义
2.2.3向量数乘运算及其几何意义教学目标1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，使学生掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律．2．理解两个向量共线的等价条件，使学生能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行．3．通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养学生创新能力和积极进取精神．通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用．教学重点难点教学重点：1.实数与向量积的意义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条件及其运用．教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用．教学过程导入新课前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算，这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及推广．在代数运算中，a ＋a ＋a ＝3a ，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算．推进新课新知探究提出问题①已知非零向量a ，试一试作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a ).②你能对你的探究结果作出解释，并说明它们的几何意义吗？③引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？对问题①，学生通过作图1可发现，OC →＝OA →＋AB →＋BC →＝a ＋a ＋a .类似数的乘法，可把a ＋a ＋a 记作3a ，即OC →＝3a .显然3a 的方向与a 的方向相同，3a 的长度是a 的长度的3倍，即|3a|＝3|a |.同样，由图1可知，图1PN →＝PQ →＋QM →＋MN →＝(－a )＋(－a )＋(－a )，即(－a )＋(－a )＋(－a )＝3(－a )．显然3(－a )的方向与a 的方向相反，3(－a )的长度是a的长度的3倍，这样，3(－a )＝－3a .对问题②，上述过程推广后即为实数与向量的积．我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反． 由(1)可知，λ＝0时，λa ＝0.根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律．实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么a )＝λ(－a )，λ(a －b )＝λa －λb .对问题③，向量共线的等价条件是：如果a (a ≠0)与b 共线，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa .推证过程教师可引导学生自己完成，推证过程如下：对于向量a (a ≠0)、b ，如果有一个实数λ，使b ＝λa ，那么由向量数乘的定义，知a 与b 共线．反过来，已知向量a 与b 共线，a ≠0，且向量b 的长度是向量a 的长度的μ倍，即|b |＝μ|a |，那么当a 与b 同方向时，有b ＝μa ；当a 与b 反方向时，有b ＝－μa .讨论结果：①数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ|·|a |确定．②它的几何意义是把向量a 沿a 的方向或a 的反方向放大或缩小．③向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形． 例1.计算：(1)(－3)×4a ；(2)3(a ＋b )－2(a －b )－a ；(3)(2a ＋3b －c )－(3a －2b ＋c )．解：(1)原式＝(－3×4)a ＝－12a ；(2)原式＝3a ＋3b －2a ＋2b －a ＝5b ；(3)原式＝2a ＋3b －c －3a ＋2b －c ＝－a ＋5b －2c .例2.如图，已知任意两个非零向量a 、b ，试作OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？解：如图，分别作向量OA →、OB →、OC →，过点A 、C 作直线AC .观察发现，不论向量a 、b 怎样变化，点B 始终在直线AC 上，猜想A 、B 、C 三点共线．事实上，因为AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b －(a ＋b )＝b ，而AC →＝OC →－OA →＝a ＋3b －(a ＋b )＝2b ， 于是AC →＝2AB →.所以A 、B 、C 三点共线．例3.如图，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示MA →、MB →、MC →和MD →吗？解：在ABCD 中，∵AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b ，又∵平行四边形的两条对角线互相平分，∴MA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ， MB →＝12DB →＝12(a －b )＝12a －12b ，MC →＝12AC →＝12a ＋12b ， MD →＝－MB →＝－12DB →＝－12a ＋12b . 课堂检测1.13[12(2a ＋8b )－(4a －2b )]等于() A ．2a －b B ．2b －a C ．b －a D ．a －b【答案】B2．设两非零向量e 1、e 2不共线，且k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则k 的值为()A．1 B．－1 C．±1 D．0 【答案】C。
高一数学《向量数乘运算及其几何意义》教学设计
教 学 设 计 备课组长 李梅仙 中心发言人 李枝升 年级 周次 七 备课日期 5.2备课题目 2.2.3向量数乘运算及其几何意义第几课时 1、2 学科长签名一、内容及其解析 1．内容：实数与向量的积的概念，实数与向量的积的运算律，两个向量共线的充要条件。
2． 解析：实数与向量的积是后续学习实数与空间向量的积及运算律的基础。
本节课将围绕实数与向量的积来展开，实数与向量的积的概念、实数与向量的积的运算律、两个向量共线的充要条件是这节课的重点，能够运用实数与向量的积的概念、实数与向量的积的运算律进行具体的运算，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行是解决教学重点的关键。
二、目标及其解析1．目标：2．解析（1）会用实数与向量积的定义，实数与向量积的几何意义解决问题；思考题1：已知a //b ，问a //b 吗？（2）能够熟练运用实数与向量的积的运算律解决问题；思考题2：若3m ＋2n ＝a ，m －3n ＝b ，其中a ，b 是已知向量，求m ，n .（3）知道两个向量共线的充要条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行。
思考题3：1e 、2e 是两个不共线的向量,已知AB =21e +32e ，BC =61e +232e , CD =41e -82e ,求证：A 、B 、D 三点共线。
三、教学问题诊断分析1．学生在理解实数与向量积的定义时可能会出现障碍，主要是学生在此之前研究的都是数与数的积，并习惯了两个数的积只有大小没有方向，从而把它们混为一谈。
要克服这一困难，关键是让学生知道实数与向量的积的定义可以看作是数与数的积的推广，但要注意它们的区别。
启发学生在掌握向量加法的基础上，学习实数与向量的积的概念及运算律，引导学生从特殊归纳到一般。
2．学生在掌握实数与向量的积的运算律时，又可能会出现障碍，原因是他们可能会认为实数与向量的积的运算律与数与数的积的运算律是一样的，每个等式的证明只证明等式两边的模相等。
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2.2.3 向量数乘运算及其几何意义【教学目标】1、知识与技能掌握实数与向量的积的定义，理解实数与向量的积的几何意义；掌握实数与向量的积得运算律；理解两个向量共线的充要条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行。
2、过程与方法通过本节的教学，培养学生数形结合和分类讨论思想，同时渗透类比和化归思想方法。
3、情感、态度与价值观通过对向量共线的充要条件的分析理解，培养学生严谨的学习习惯。
【教学重点】实数与向量积的定义、运算律，向量共线的充要条件。
【教学难点】向量共线定理的理解。
【教学方法】讲练结合法。
【教学过程】〖创设情境 导入新课〗【导语】在物理学科中我们学习过如下的公式：,F ma S vt ==等，这些公式都是实数与向量的乘积的具体体现，并且从这些公式可以看出，实数可以与向量相乘，并且一个实数乘以一个向量的结果还是一个向量。
因此，在数学中我们就从这些公式出发，抽象出一般的实数与向量的乘积的定义以及它们的一些运算律和性质。
在小学我们由几个相同的有理数相加导出了数的乘法的运算法则，现在我们已经学过了向量的加法运算，那么由几个相同的向量相加，我们又能否得出类似的实数与向量的乘法运算呢？已知向量a ，求向量a a a ++和()()()a a a -+-+-，并思考和向量与向量a 的关系。
【总结】（1）由于向量a a a ++是由三个向量a 相加得到的，因此为了简单起见，我们将a a a ++记作：3a ，因此3a 是一个向量，又因为a a a ++的方向与向量a 的方向相同，模长为向量a 的模长的3倍，所以3a 的方向与向量a 的方向相同，模长为向量a 的模长的3倍。
即：向量3a 与向量a 同向且33a a =。
（2）类似地，由于()()()a a a -+-+-是由三个向量()a -相加得到的，因此为了简单起见，我们将()()()a a a -+-+-记作：()3a -，因此，()3a -也是一个向量，又因为()()()a a a -+-+-的方向与向量a 的方向相反，模长为向量a 的模长的3倍，所以()3a -的方向与向量a 的方向相反，模长为向量a 的模长的3倍。
即：向量()3a -与向量a 反向且()33a a -=。
由上面的作图可知：向量()()()a a a -+-+-与向量a a a ++互为相反向量，因此()()()a a a -+-+-=()a a a -++，又由于a a a ++可记作：3a ，(-a )+(-a )+(-a )a所以()()()a a a -+-+-又可记作3a -，从而：()()a a -+-()3a a +-=-，这样，()33a a -=-。
所以，3a -的方向与向量a 的方向相反，模长为向量a 的模长的3倍。
即：向量3a -与向量a 反向且333a a a -==-。
【导语】从另一个角度也可以这样理解上述结论：既然3a 是一个记号，因此，3a 也可以看成是实数3与向量a 相乘得到；同理，3a -也可以看成是实数3-与向量a 相乘得到。
同时，上面这两种记法实际上是由多个相同的向量相加而且为了简化结果而引入。
但是为了得到更一般的结论，我们规定任意实数λ与任意向量a 之间也可以相乘，但此时不代表多个相同的向量相加，而是一种实数与向量的乘法运算了。
下面我们就来学习实数与向量的积的相关知识。
〖合作交流 解读探究〗1、实数与向量的积（也叫数乘向量）的定义：一般地，设λ是任意一个实数，a 是任意一个向量，则实数λ与向量a 的乘积仍然是一个向量，记作a λ，它的长度与方向规定如下：（1）a a λλ=；（2）当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=。
【说明】（1）实数λ与向量a 可以作乘积运算，其结果是一个向量；但不能作加减运算，即：a λ± 是无意义的； （2）000a a λλ=⇔==或； （3）a a λ∥；（4）a λ的几何意义：当0λ>时，我们可以认为a λ是将向量a 同向伸长（1λ>）或缩短（01λ<<）到原来的λ倍得到的； 当0λ<时，我们可以认为a λ是将向量a 反向伸长（1λ<-）或缩短（10λ-<<）到原来的λ倍得到的；综上：我们可以认为a λ是将向量a 同向（0λ>）或反向（0λ<）伸长（1λ>）或缩短（1λ<）到原来的λ倍得到的。
（5）向量的线性运算：向量的加法、减法和实数与向量的乘积的综合运算，通常叫做向量的线性运算（或线性组合，也叫初等运算）。
对于任意向量a b 、以及任意实数12λμμ、、，恒有：()1212a b a b λμμλμλμ±=±。
这里只有定义向量的加法、减法和数乘运算，没有定义向量与向量的除法运算，如式子OAOB是没有定义的，在解题过程中不能随便创造符号与运算。
【例1】点P 是线段AB 上的一点，且:2:3AP PB =，设向量PA a =，试用向量a 表示向量,AB PB 和BP 。
【变式1】1、课本90P 练习1、2【总结】已知直线上三点A B C 、、，用向量AB 表示向量AC 时，实系数λ的求法： （1）根据向量AB 与向量AC 的方向决定λ的正负：同向为正，反向为负； （2）求λ：AC ABλ=；DA（3）由（1）（2）求出λ的值。
2、如图所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD CA CB BC BA =+=+ 。
2、实数与向量的积得运算律：设,λμ是任意两个实数；,a b 是任意两个向量，则： （1）结合律：()()()a a a λμλμμλ==； （2）第一分配律：()a a a λμλμ+=+； （3）第二分配律：()a b a b λλλ+=+；【说明】由以上运算律可知，实数与向量的积的运算法则与实数中的多项式运算法则一样，可以按多项式的运算法则进行运算；同时也提公因式、去括号、添括号、分解因式等。
【例2】课本88P 例5【例3】（1）()()11284232a b a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦的结果是（ ）.2A a b - .2B b a - .C b a - .D a b -（2）设向量32,2a i j b i j =+=-，则()12233a b a b b a ⎛⎫⎛⎫---+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 。
【变式2】1、课本90P 练习3、52、化简()()2114367334a b b a b ⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦。
3、若32,3m n a m n b +=-=，其中,a b 是已知向量，求,m n 。
3、共线向量定理：定理1：向量b 与非零向量a 共线当且仅当有且只有一个（有唯一一个）实数λ，使得b a λ=。
即：若0a ≠，则b a b a λ⇔=∥（R λ∈且λ唯一）【证明】“⇐”若b a λ=，由实数与向量的积的定义可知：(),a a b a λ∴∥∥；“⇒”若b a ∥，则先证存在性再证唯一性。
存在性：（1）当0b =时，则00b a ==，此时0λ=。
故存在一个实数0λ=使得b a λ=成立； （2）当0b ≠时，有以下两种情况： ①当b a ∥且同向时，令b aλ=，此时，b b a a a b aaλ===，且a λ与a 同向，又b 与a 同向，b a λ∴=； ②当b a ∥且反向向时，令b aλ=-，此时，b b a a a b aaλ=-=-=，且a λ与a 反向，又b 与a 反向，b a λ∴=。
综上所述：若b a ∥，则存在唯一的一个实数λ使得b a λ=成立。
唯一性：（反证法） 假设还存在一个实数μ使得：b a μ=，且λμ≠，则：,b a b a λμ==，()0,,0,0a a a a λμλμλμλμ∴=⇒-=≠∴-≠∴=，这与0a ≠矛盾，∴λ是唯一一个使得等式成立的实数。
综上所述：当b a ∥时，存在唯一一个实数λ使得b a λ=。
【说明】（1）定理中的限制条件“0a ≠”不能去掉。
若0a =，则：当0b =时，λ有无数多个，此时不满足唯一性； 当0b ≠时，λ不存在，此时不满足存在性； 综上所述：0a ≠。
（2）若b a ∥，则式子“b a λ=”中λ的求法：①根据,b a 的方向确定λ的正负：同向为正，反向为负；②求λ：b aλ=；③根据①②确定λ的值。
（3）若,a b 不共线，且a b λμ=，则必有0λμ==。
（4）与非零向量a 共线的单位向量是a a±。
（5）该定理可应用于证明或判断向量共线和几点共线（转化为有公共点的向量共线）。
定理2：两个向量a 与b 共线当且仅当存在．．两个不全为0的实数,λμ使得0a b λμ+=。
即： ()220,R 0a b a b λμλμλμ⇔+=∈+≠且∥。
【证明】略。
【说明】若,a b 不共线，且0a b λμ+=，则0λμ==。
【例4】如图：已知3,3AD AB DE BC ==，试判断向量AC 与AE【变式3】课本90P 练习4 定理3：若点O 在点A B 、所在直线外，则不同的三点A B C 、、共线AB AC AB BC AC BC ⇔或或∥∥∥AC AB AB BC AC BC λμγ⇔===或或⇔()1OC mOA nOB m n =++=⇔0xOA yOB zOC ++=（0,,,x y z x y z ++=不全为0）【证明】现只证明倒数第二个等价结论。
“⇒”若不同的点A B C 、、共线，则AC AB λ=，即：()OC OA OB OA λ-=-， ()1OC OA OB λλ∴=-+，令1,x y λλ=-=，则：,1OC xOA yOB x y =++=。
“⇐”若,1OC xOA yOB x y =++=，则：()1OC y OA yOB =-+，()OC OA y OB OA AC yAB ∴-=-⇒=， ACAB ∴∥，又AC AB ,有公共点A ，∴点A B C 、、共线。
【例5】课本89P 例6【例6】已知非零向量12,e e 不共线。
（1）若1212,28,AB e e BC e e =+=+()123CD e e =-，求证：A B D 、、三点共线。
（2）欲使12ke e +和12e ke +共线，试确定实数k 的值。
【变式4】已知非零向量1e 和2e 不共线，若12121223,623,48,AB e e BC e e CD e e =+=+=-求证：A B D 、、三点共线。
【例7】如图所示，已知在ABCD 中，点M 为AB 的中点，点N 在BD 上，且3BN BD =。
求证：M N C 、、三点共线。