三角形五心及其性质延伸

三角形五心及其性质延伸

1.内心：三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心。 角平分线性质:到角两边距离相等. 内心性质：到三角形三边距离相等。 延伸：①内角平分线定理

如图，AD 为△ABC 中BAC ∠的平分线，则有

(=)AB BD AC DC =上左下左

上右下右

证明过程如下：

作BE E DAC ∠=∠∵BAD DAC ∠=∠,∴

E BAD ∠=∠,AB BE ==c.

又∵

BE

BD =DC AB EB AC AC =()AB BD

AC DC

=同上AEC EAF ∠=∠EAF EAC ∠=∠, ∴AEC EAC ∠=∠,AC AE =.

A

B

D

C

E

c b c

A

B

C

D

E

F

又∵

CE

BD

=

DC

AB AB AC CE =BAC ∠2bccos

2cos

2211b+c +b c A A

AD =（或

）⊥b c AD

AC DE BE ==又+DE=AE AD ,即b b+c

AD AE =

.而△ABE 为等腰三角形, BF ⊥AE, ∴22sin =2csin 2

A

AE AF AB BAF ==∠,∴2bccos 2cos 2211b+c +b c

A A

AD =

（或

）. ④内心到三边距离r(三角形内切圆半径) 设三角形面积为S ，则有

2r=a+b+c

S

（即面积的2倍除以周长）

证明过程如下：

连接OA,OB,OC. ∵相切，∴OF AB ⊥，即S △AOB = 11cr 2

2

AB OF •=，同理

S △AOC = 1br 2

，S △BOC = 1ar 2

.又∵S=S △AOB + S △AOC + S △BOC ,即S=

1

(a+b+c)r 2

, ∴2r=

a+b+c

S

.

2.重心:三角形三条中线交点

c b c

A

F B D

C E

B

D

C

中线性质:将三角形面积等分成两部分.

重心性质:分三角形的中线两段长比例为2:1(长:短

)

如图:AD,BE,CF 为△ABC 三条中线，G 为其重心，则有 :::2:1AG GC BG GE CG GF ===

证明过程如下：

作BH ,2GD DH GH GD ==2AG GH GD ==:2:1AG GC = 延伸:三角形中线长公式 如图,AD 为△ABC 的中线,则有

AD =

证明过程如下: 作

BE 1

,=2

AD DE AD AE =即ABF A ∠=∠⊥cos ABF ∠cos c A sin c A cos c A b

+12AD AE =

=三角形三边垂直平分线的交点,三角形外接圆圆心。

垂直平分线性质:到线段两端点距离相等。 A

G

F

E

C B D

H

A

F

B

E

D

C

内心到三顶点距离R(三角形外接圆半径) R=

2sin c

C

(某边除以它对角正弦的2倍) 证明过程于下:

连接AO 并延长交圆O 于D,则AD 为圆直径,AD=2R.

又90ABD ∠=︒(直径所对的圆周角是90︒),AB=c,

ADB C ∠=∠(同弧AB 所对的圆周角相等),∴AD=

sin AB

ADB

∠,即

2R sin c C =

, R= 2sin c C

. 延伸①:正弦定理 由于R=

2sin c C ,同理易证2sin 2sin 2sin c b a

R C B A

===,变形得到 正弦定理: 2sin sin sin a b c

R A B C

===(每边除以它所对角的正弦为2R)

延伸②:余弦定理

2

2

2

2cos a b c bc A =+- （222

cos 2b c a A bc +-=）

证明过程如下：

A

B

C

D

作CD ⊥AB 交其于D ，∴cos cos AD AC A b A ==，BD= cos c b A -，

sin CD b A =，又222BC BD CD =+，即222(cos )(sin )a c b A b A =-+=

22222222cos cos sin 2cos c bc A b A b A b c bc A -++=+-，其他边角也同

求

4.旁心：三角形一个内角平分线与另外两个外角的平分线的交点。

旁心性质：三角形的四心（内心、重心、垂心、外心）只有一个，

但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等。

证明过程如下：

如图，P 1、P 2、P 3为△ABC 三个旁心。 以P 1为例，P 1在2BAM ∠平分线上，

∴P 1到AB 、AM 2距离相等，即P 1到 AB 、AC 所在直线M 1N 1、M 2N 2距离相等，

P

A

C

P 3

P

B

M 2

M 3

N 1

N 3

N 2

1M