利用Matlab实现Romberg数值积分算法----系统建模与仿真结课作业

利用Matlab 实现Romberg 数值积分算法

一、内容摘要

针对于某些多项式积分，利用Newton —Leibniz 积分公式求解时有困难，可以采用数值积分的方法，求解指定精度的近似解，本文利用Matlab 中的.m 文件编写了复化梯形公式与Romberg 的数值积分算法的程序，求解多项式的数值积分，比较两者的收敛速度。

二、数值积分公式

1.复化梯形公式求解数值积分的基础是将区间一等分时的Newton —Cotes

求积公式:

I =(x)[f(a)f(b)]2

b

a b a

f dx -≈

+⎰ 其几何意义是，利用区间端点的函数值、与端点构成的梯形面积来近似(x)f 在区间[a,b]上的积分值，截断误差为：

3"

(b a)()12

f η-- (a,b)η∈ 具有一次的代数精度，很明显，这样的近似求解精度很难满足计算的要求，因而，可以采用将积分区间不停地对分，当区间足够小的时候，利用梯形公式求解每一个小区间的积分近似值，然后将所有的区间加起来，作为被求函数的积分，可以根据计算精度的要求，划分对分的区间个数，得到复化梯形公式：

I =1

1

(b a)(b a)

(x)dx [f(a)f(b)2(a )]2n b

a

k k f f n n -=--≈+++∑⎰

其截断误差为：

2"

(b a)h ()12

R f η--=

(a,b)η∈ 2.Romberg 数值积分算法

使用复化的梯形公式计算的数值积分，其收敛速度比减慢，为此，采用Romberg 数值积分。其思想主要是，根据I 的近似值2n T 加上I 与2n T 的近似误差，作为新的I 的近视，反复迭代，求出满足计算精度的近似解。

用2n T 近似I 所产生的误差可用下式进行估算：

12221

()3

n n n I T T T -∆=-=-

新的I 的近似值：

122

n n j T T -=∆+ j =（0 1 2 ….） Romberg 数值积分算法计算顺序

i=0 (1) 002T

i=1 (2) 102T

(3) 012T

i=2 (4) 202T (5) 112T

(6) 022T

i=3

(7)

302T (8) 212T (9) 122T

(10) 032T i=4 (11)

402T

(12) 312T

(13) 222T

(14) 132T

…

…

…

…

其中，第一列是二阶收敛的，第二列是四阶收敛的，第三列是六阶收敛的，第四列是八阶收敛的，即Romberg 序列。

三、复化梯形法以及Romberg算法程序流程图

图1 复化梯形法程序流程图

图2 Romberg算法程序流程图

四、计算实例

依据上文所述的流程图，编写复化梯形程序以及Romberg 算法程序，并且利用实例验证程序的正确性，示例如下(计算精度)：

1

2

04

1dx x π=+⎰

表2 计算结果

计算精度 0.5×10^-5 0.5×10^-7

0.5×10^-9

复化梯形 算法 时间

0.069826394633 0.216635802304 3.459824945493

近似值 3.141590110458 3.141592613853 3.141592653434 Romberg 算法

时间

0.0456******** 0.0433******** 0.044913907518

近似值 3.141592502458 3.141592651224 3.141592653552

从上表中可以看出，当要求的计算精度不高时，复化梯形算法与Romberg 算法计算时间相差不太大，但是Romberg 算法是要快于复化梯形算法的；当要求的计算精度更高的时候，Romberg 算法是明显快于复化梯形算法。

本文所编写的程序适用于多项式的数值积分，且对于积分区间内，被积函数在每一点必须有定义，在以后的学习中进一步改进。

附录：

1.复化梯形算法程序

function []=sf(a,b,m,M,d)

tic

disp('请输入分子多项式a，分母多项式b，积分下限m,积分上限M,以及计算精度d')

f=poly2sym(a)/poly2sym(b) %用于给用户显示被积函数的形式%利用梯形公式计算此数值积分

disp('利用梯形公式计算数值积分的结果')

kk=zeros(); %用于存放结果

kk(1,1)=1/2*(M-m)/1*(subs(f,'x',m)+subs(f,'x',M)) %先存储首项

for i=1:1:2^30

t=0;

for j=0:1:2^(i-1)-1

v=m+(2*j+1)*(M-m)/(2^i)

vv=polyval(a,v)/polyval(b,v);

t=t+(M-m)/(2^i)*vv

end

y=1/2*kk(i,1)+t %通项公式计算各项值

kk(i+1,1)=y %存储其他项

f=i+1; %记录符合条件的值的下标

if(1/3*(kk(i+1,1)-kk(i,1))<=d)

break;

end

end

time=toc

fprintf('The result is %f\n', kk(f,1))

2.Romberg算法程序

function []=romberg(a,b,m,M,d)

tic

disp('请输入分子多项式a，分母多项式b，积分下限m,积分上限M,以及计算精度d')

f=poly2sym(a)/poly2sym(b) %用于给用户显示被积函数的形式disp('利用梯形公式计算数值积分的结果')

kk=zeros(); %用于存放结果

kk(1,1)=1/2*(M-m)/1*(subs(f,'x',m)+subs(f,'x',M)); %先存储首项

for i=1:1:2^40

t=0;

for j=0:1:2^(i-1)-1

v=m+(2*j+1)*(M-m)/(2^i);

vv=polyval(a,v)/polyval(b,v);