北京科技大学有限元考试试题
(完整版)有限元考试试题——第一组
有限元考试试题一、简答题（5道，共计25分）。
1.有限单元位移法求解弹性力学问题的基本步骤有哪些？（5分）2. 在划分网格数相同的情况下，为什么八节点四边形等参数单元精度大于四边形矩形单元？（5分）3.轴对称单元与平面单元有哪些区别？（5分）4.有限元空间问题有哪些特征？（5分）5.简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。
（5）分）二、论述题（3道,共计30分）。
1. 简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。
（10分）2.轴对称问题的简单三角形单元是否是常应力，常应变？为什么？（10分）3.在薄板弯曲理论中做了哪些假设？薄板单元和厚板单元的基本假设有什么不同？（10分）三、计算题（3道，共计45分）。
ν=；1.如图所示等腰直角三角形单元，其厚度为t，弹性模量为E，泊松比0单元的边长及结点编号见图中所示。
求(1)形函数矩阵N(2)应变矩阵B和应力矩阵S(3)单元刚度矩阵e K（12分）2.如图所示的四结点矩形单元，求出节点3的位移。
设厚度t＝1m，μ＝0，E 为常量。
（13分）注：对于四节点矩形单元有：()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+-=++=-+=--=ηξηξηξηξ1141114111411141.14321N N N N →)4,3,2,1()1)(1(41=++=i N i i i ηηξξ()[][][][]eT Aek k k k k k k k k k k k k k k k y x t B D B k ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==⎰⎰44434241343332312423222114131211d d .2，[][][][][][][]()()()()())4,3,2,1,( 3111311a 212123111311218d d d d 21111=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-===⎰⎰⎰⎰--j i b a b b a a b Et B D B abt y x t B D B k j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i jTijTAiijηηξξμξξηηηξμξμηηξμξμηξξηημηηξξμηξ3.有一如图3(a)所示的剪力墙，墙顶作用竖向荷载P 。
有限元基础期末试题
有限元基础期末试题
1、简述单元分析的四个主要环节。
对于三结点三角形单元，写出单元分析各环节最终结果
的矩阵表达式。
2、以三结点三角形单元为例，解释位移模式概念并写出三结点三角形单元位移模式的具体
表达式。
3、结合三结点三角形单元位移模式的具体表达式，解释型函数概念并简述型函数的主要性
质。
4、写出推导单元刚度矩阵时所使用的虚功方程并解释其物理意义。
5、对下图所示离散化后的弹性平面应力问题，设弹性模量为E ，泊桑比为零，厚度为1：
a. 写出单元③由9个子矩阵组成、字符表达形式的单元刚度矩阵；
b. 按课堂教学时规定的原则，写出单元③的单元定位向量；
c. 写出单元③的单元刚度矩阵中所有子矩阵在总刚度矩阵中的位置；
d. 设所论平面应力问题中6个结点的位移解为：123456[,,,,,]T
∆=∆∆∆∆∆∆，计算单
元③的应变和应力。
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一．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。
）(每小题2分) （1）用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数u的选择没有任何限制。
（）（2）四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。
（）（3）在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。
（）（4）二维弹性力学问题的有限元法求解，其收敛准则要求试探位移函数C1连续。
（）（5）有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。
（）（6）等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。
（）（7）在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。
（）（8）四边形单元的Jacobi行列式是常数。
（）（9）利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。
（）（10）一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。
（）二．单项选择题（共20分，每小题2分）1 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为________________。
（A）配点法（B）子域法（C）伽辽金法2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用______的结点和______的插值函数。
（A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与___________相等。
（A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般___________。
（A）近似解总小于精确解（B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡（D）没有规律5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少是______完全多项式。
（A）m-1次（B）m次（C）2m-1次6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了_________形式，因此，不用进行回代计算。
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有限元复习一、选择题（每题1分，共10分）二、判断题（每空1分，共10分）三、填空题（每空1分，共10分）三、简答题（共44分）共6题四、综述题（共26分）两题一．基本概念1. 平面应力/平面应变问题；空间问题/轴对称问题；杆梁问题；线性与非线性问题平面应力问题（1） 均匀薄板（2）载荷平行于板面且沿厚度方向均匀分布在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY 平面的三个应力分量，即x y xy yx σσττ=、、 （000z zx xz zy yz σττττ=====，，）。
一般0z σ=，z ε并不一定等于零，但可由x σ及y σ求得，在分析问题时不必考虑。
于是只需要考虑x y xy εεγ、、三个应变分量即可。
平面应变问题（1） 纵向很长，且横截面沿纵向不变。
（2）载荷平行于横截面且沿纵向均匀分布z yz zx εγγ===只剩下三个应变分量x y xy εεγ、、。
也只需要考虑x y xy σστ、、三个应力分量即可轴对称问题物体的几何形状、约束情况及所受外力都对称于空间的某一根轴。
轴对称单元的特点（与平面三角形单元的区别）：轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接；节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；单元边界是一回转面；应变不是常量。
在轴对称问题中，周向应变分量θε是与r 有关。
板壳问题一个方向的尺寸比另外两个方向尺寸小很多，且能承受弯矩的结构称为板壳结构，并把平分板壳结构上下表面的面称为中面。
如果中面是平面或平面组成的折平面，则称为平板；反之，中面为曲面的称为壳。
杆梁问题杆梁结构是指长度远大于其横断面尺寸的构件组成的系统。
在结构力学中常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。
平面（应力应变）问题与板壳问题的区别与联系平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。
而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化。
有限元试题及答案
有限元试题及答案一、选择题1.有限元分析是一种利用计算机数值方法进行结构分析的方法，下面哪个说法是正确的？A. 有限元分析对结构的约束条件没有要求B. 有限元分析只适用于静力分析C. 有限元分析可以用来研究结构的动力响应D. 有限元分析的计算结果一定是精确的答案：C2.有限元法的基本步骤包括以下几个环节：I. 离散化II. 单元划分III. 节点连接IV. 计算材料性质V. 施加边界条件VI. 构建刚度矩阵和载荷向量VII. 求解节点位移和应力VIII. 后处理与结果分析请问选择项中正确的顺序是：A. IV – I – II – III – V – VI – VII – VIIIB. I – II – III – IV – V – VI – VII – VIIIC. II – III – V – IV – VI – I – VII – VIIID. I – III – II – IV – V – VI – VII – VIII答案：B3.在有限元分析中，单元是指将结构划分为有限个小单元来近似表示结构的方法。
下面哪个选项给出了常用的结构单元类型？A. 三角形单元，四面体单元，六面体单元B. 矩形单元，六面体单元，圆形单元C. 圆形单元，矩形单元，六面体单元D. 四面体单元，矩形单元，三角形单元答案：D二、填空题1.有限元分析中，刚度矩阵的计算需要根据单元的_________和材料的_________计算得到。
答案：几何形状，物理性质2.有限元法最常用的数学插值函数是_________函数。
答案：形函数3.在有限元分析中，自由度是指结构中的每个_________未知量。
答案：位移三、计算题1.给定如图所示的二维结构，使用有限元法进行分析。
假设结构材料为线性弹性材料，其杨氏模量为200 GPa，泊松比为0.3。
结构整体尺寸为5m x 3m，单元尺寸为1m x 1m。
分析载荷为2000 N，施加在结构的中心节点上。
(完整版)有限元考试试题及答案
e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go o2. 如图2所示，有一正方形薄板，沿对角承受压力作用，厚度t=1m ，载荷F=20KN/m ，设泊松比µ=0，材料的弹性模量为E ，试求它的应力分布。
（15分）图23. 图示结点三角形单元的124边作用有均布侧压力q ，单元厚度为t ，求单元的等效结点荷载。
图3图1一、简答题1. 答：1）合理安排单元网格的疏密分布2）为突出重要部位的单元二次划分3）划分单元的个数4）单元形状的合理性5）不同材料界面处及荷载突变点、支承点的单元划分6）曲线边界的处理，应尽可能减小几何误差7）充分利用结构及载荷的对称性，以减少计算量2. 答：形函数应满足的三个条件：a.必须能反映单元的刚体位移，就是位移模式应反映与本单元形变无关的由其它单元形变所引起的位移。
b.能反映单元的常量应变，所谓常量应变，就是与坐标位置无关，单元内所有点都具有相同的应变。
当单元尺寸取小时，则单元中各点的应变趋于相等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。
c.尽可能反映位移连续性；尽可能反映单元之间位移的连续性，即相邻单元位移协调。
3. 答：含义：所谓的等参数单元，就是在确定单元形状的插值函数和确定单元位移场的插值函数中采用了完全相同的形函数。
意义：构造出一些曲边地高精度单元，以便在给定地精度下，用数目较少地单元，解决工程实际地具体问题。
4. 答：有限单元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用子有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法．利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，面且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。
有nl⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.0025.025.011212－－－＝＝E k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.0025.0011313－＝＝E k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.125.025.05.125.0005.05.00025.075.025.025.075.032222212222E E E E k k k k ＋＝＋＋＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---5.025.025.0125.025.005.025.0025.05.032312323E E E k k k ＝＋＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡---5.0025.025.022424E k k ＝＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡025.025.00025.0000025.0032522525E E E k k k ＝＋＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.125.025.05.15.00025.075.025.025.075.025.0005.043333313333E E E E k k k k ＝＋＋＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---125.025.05.05.0025.025.05.025.0025.043533535E E E k k k ＝＋＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡0025.0043636E k k ＝＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡75.025.025.075.024444E k k ＝＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡---25.0025.05.024545E k k ＝＝ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.125.025.05.175.025.025.075.05.00025.025.0005.045535525555E E E E k k k k ＝＋＋＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡---25.0025.05.045656E k k ＝＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡25.0005.046666E k k ＝＝把上面计算出的，…，对号入座放到总刚矩阵中去，于是得到11k 66k []K的具体表达式。
有限元期末考试题及答案
有限元期末考试题及答案一、选择题1. 有限元方法是一种数值分析方法，主要用于求解什么类型的数学问题？A. 线性代数方程B. 微分方程C. 积分方程D. 代数方程答案：B2. 在有限元分析中，单元的划分是基于什么原则？A. 单元数量B. 单元形状C. 问题域的几何特性D. 计算资源答案：C3. 下列哪项不是有限元分析中常用的单元类型？A. 三角形单元B. 四边形单元C. 六面体单元D. 圆形单元答案：D二、填空题4. 有限元方法中，______是指将连续的物理域离散成有限数量的小区域，这些小区域称为单元。
答案：离散化5. 在进行有限元分析时，通常需要定义材料属性，包括______、密度和弹性模量等。
答案：泊松比三、简答题6. 简述有限元方法的基本步骤。
答案：有限元方法的基本步骤包括：定义问题域、离散化问题域、选择单元类型、定义材料属性、构建全局刚度矩阵、施加边界条件、求解线性代数方程、提取结果。
7. 解释什么是有限元分析中的收敛性，并说明影响收敛性的因素。
答案：收敛性是指随着单元数量的增加，有限元分析结果逐渐接近真实解的性质。
影响收敛性的因素包括单元的类型、形状、大小以及网格的布局等。
四、计算题8. 假设有一个长度为2米的杆，两端固定，中间施加了一个向下的力F=1000N。
如果杆的材料是钢，其弹性模量E=210 GPa，泊松比ν=0.3，请计算杆的弯曲位移。
答案：首先，根据Euler-Bernoulli梁理论，可以写出弯曲位移的方程为：\[ w(x) = \frac{F}{384EI} L^3 \]其中，\( w(x) \) 是位移，\( F \) 是施加的力，\( L \) 是杆的长度，\( E \) 是弹性模量，\( I \) 是截面惯性矩。
对于一个矩形截面，\( I \) 可以表示为：\[ I = \frac{bh^3}{12} \]假设杆的截面宽度为b，高度为h，代入上述公式，可以计算出位移。
有限元试题及答案
有限元试题及答案一、选择题1. 有限元法是一种数值方法，主要用于求解什么类型的数学问题？A. 线性代数方程B. 微分方程C. 积分方程D. 偏微分方程答案：D2. 在有限元分析中，以下哪项不是网格划分的基本原则？A. 网格应尽量均匀B. 网格应避免交叉C. 网格应尽量小D. 网格应适应几何形状答案：C3. 有限元方法中，单元的局部刚度矩阵可以通过以下哪种方式获得？A. 直接积分B. 矩阵乘法C. 线性插值D. 经验公式答案：A二、填空题1. 有限元方法中，______ 是指将连续的域离散化成有限数量的小单元。
答案：离散化2. 在进行有限元分析时，______ 是指在单元内部使用插值函数来近似求解场变量。
答案：近似3. 有限元法中，______ 是指在单元边界上满足的连续性条件。
答案：边界条件三、简答题1. 简述有限元法的基本步骤。
答案：有限元法的基本步骤包括：（1）定义问题域；（2）离散化问题域，生成网格；（3）为每个单元定义局部坐标系和形状函数；（4）组装全局刚度矩阵和载荷向量；（5）施加边界条件；（6）求解线性代数方程；（7）提取结果并进行后处理。
2. 描述有限元分析中的单元类型有哪些，并简述每种单元的特点。
答案：常见的单元类型包括：（1）一维单元，如杆单元和梁单元，特点是沿一个方向传递力；（2）二维单元，如三角形和四边形单元，特点是在平面内传递力；（3）三维单元，如四面体和六面体单元，特点是在空间内传递力。
每种单元都有其特定的形状函数和刚度矩阵。
四、计算题1. 给定一个简单的一维弹性杆问题，其长度为L，两端固定，中间施加集中力P。
使用有限元法求解该杆的位移和应力分布。
答案：首先，将杆离散化为一个单元。
使用一维杆单元的局部刚度矩阵和形状函数，可以推导出全局刚度矩阵。
然后，施加边界条件，即杆的两端位移为零。
最后，将集中力P转换为等效节点载荷，求解线性代数方程，得到节点位移。
应力可以通过位移和杆的截面特性计算得出。
有限元基础考试试题
有限元基础考试试题work Information Technology Company.2020YEAR一、名词解释1、单元---任何连续体都可以假想的分割成有限个简单形状单元体的组合，将这些简单形状的单元体称为单元2、节点---把单元与单元之间设置的相互连接点称为节点3、静力等效原则----对于刚体来说，所谓静力等效原则就是单元上原有的外力系和将外力系向各节点移置所得的等效节点力，二者向同一点简化应具有相同的主矢和主矩；对于弹性体来说，所谓静力等效原则就是指单元上的外力系和将该力系向各节点移置后的等效节点力在单元上引起的变形能相等，在一定的位移模式下这种移置是唯一的。
4、虚功等效-----就一个单元来说，把作用在单元上的外力系移置到节点上后，应当与原来的实际外力所作虚功等效。
5、等参元-----如果子单元的位移函数插值节点数与其位置坐标变换节点数相等，其位移函数插值公式与位置坐标变换式都用相同的形函数与节点参数进行插值，则称其为等参元6、超参数单元-----如果单元坐标变换所用的形函数的阶次高于位移模式所用的形函数的阶次，即用于规定单元形状的节点数多于用于规定单元位移的节点数，这种单元就称为超参数单元。
7、低阶元-----把有线性位移函数的单元称为低阶元。
8、高阶元----把有非线性位移函数的单元称为高阶元。
二、填空1、等效节点移植方法基于（虚功原理）和（力系等效）。
2、处理位移有（代入法）和（乘大数法）。
3、三角形单元是一阶单元，四边形单元是二阶单元，四面体单元是一阶单元，六面体单元是二阶单元。
4、平面问题包括（平面应力）、（平面应变）和（轴对称）。
5、弹性问题解决方法有（位移法）和（应力法）。
三、简答1、圣维南原理 p9答：如果把物体的一小部分边界的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，那么近处的应力分布将有显著地改变，但是远处所受的影响可以不计。
2、系统能量极值原理 p9答：在所有满足内部连续条件和运动学边界条件的位移中，满足平衡方程的位移使系统的总势能取驻值。
有限元试题及答案[1]
![有限元试题及答案[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/124aad996bec0975f465e211.png)
一、如图所示的1D 杆结构，试用取微单元体的方法建立起全部基本方程和边界条件，并求出它的所有解答。
注意它的弹性模量为E 、横截面积A解：如图1.1所示的1D 杆结构，其基本变量为 位移 x u 应变 x ε 应力 x σ取微单元体Adx ，其应力状态如图1.2，由泰勒展开式知()⋅⋅⋅⋅⋅+∂∂+⋅∂∂+=+22221dx x dx x dx x x x x σσσσ略去2阶以上的商阶微量知()dx xdx x xx ⋅∂∂+=+σσσ 由力的平衡知0=∑i x ：0=-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+A A dx x x x x σσσ即力的平衡方程为：⋅⋅⋅⋅=0dxd xσ① 位移由图1.3知（泰勒展开，略去商阶微量）()dx xu u dx x u xx ⋅∂∂+=+ dxu dxdxdx u dx x uu ABABB A xx x x x ∂=-+-∂∂+=-=∴)(''ε应变 即几何方程为：⋅⋅⋅⋅=dxdu xx ε② 根据虎克定律知⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=dxdu E E xx x εσ③ 由①、②、③知该1D 杆的基本方程为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====dx du E E dx du dx d x x xx xxεσεσ0 在节点1时位移：00==x x u 在节点2时应力：APlx x==σ即其边界条件为00==x x u on u SAPlx x==σ on P S 由①式知⋅⋅⋅⋅⋅=0c x σ ④ ④代入③解得：dxdu Ec x=0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=10c x Ec u x ⑤ 0c 、1c 为待定系数结合边界条件知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+A P c c x Ec 010解知得APc =0，01=c ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==⋅==EA P E x EA P u A P x xx x σεσ二、设平面问题中的应力问题y a x a a x 321++=σy a x a a y 654++=σ y a x a a xy 987++=τ其中i a （1、2、………9）为常数，令所有体积力为零，对下面特殊情况说明平衡是否满足？为什么？或者i a 之间有什么关系才满足平衡。
有限元考试复习题
第1章 杆件结构1.1 单元刚度如何叠加成结构的整体刚度矩阵？为什么这样叠加？如何从刚度矩阵的物理意义去理解此叠加关系？叠加成的整体刚度矩阵又有什么特点？答：（1）首先对杆件结构进行自然离散，并对其进行节点编号和单元编号，然后通过坐标转换公式将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换为整体坐标系下的单元刚度矩阵。
将所得的单元刚度矩阵按节点编号进行组装，即可形成整体刚度。
（2）这样的叠加方法条理清晰，便于电脑程序编程，分块进行，效率较高，且尤其适用于大量杆件结构体系，将所有的计算程序化后，大大节省了时间，并且精度较高。
（3）刚度矩阵的物理意义是表示结构或构件单元在单位位移或变形下所能承受的力的大小。
通过单元刚度矩阵建立单元节点力与节点位移之间的关系，通过整体刚度矩阵建立所受外荷载与整体位移之间的关系。
通过单元刚度矩阵叠加构建整体刚度矩阵，则建立起了结构整体外荷载与整体位移之间的方程，进而通过求得的整体位移进一步求出单元之间的节点位移，并最终求得各单元之间的节点力。
（4）特点：1）对称性。
由于杆单元的单刚是对称矩阵，则由它们集成的总刚也具有对称性。
2)奇异性。
即无论是单刚还是总刚都是奇异的，它们不存在逆阵。
3)存在相当数量的零元素。
由于杆系结构的特点，一个节点可能只连接少数几个单元，因此可能与周围邻近的几个节点之间存在非零的元素。
1.2 如图所示的圆杆，由两个不同截面的杆件（1）与（2）组成，在节点1，2，3上作用有轴向节点载荷1Q 、2Q 、3Q 而平衡。
试写出3个轴向载荷与节点的轴向位移1u 、2u 、3u 之间的矩阵关系。
解：杆件1的单元刚度矩阵为：[]1111111EA k l -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；杆件2的单元刚度矩阵为：[]2221111EA k l -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦； 结构的整体刚度矩阵为：1111111112112211222122111211222221222222EA EA l l k k EA EA EA EA K k k k k l l l l k k EA EA l l ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦而又12l l L ==，所以11112222A A E K A A A A L A A -⎡⎤⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦令节点位移向量为{}123,,Tu u u δ=，节点力为{}123,,TF Q Q Q =，从而可得3个轴向载荷与节点的轴向位移其关系为11112112223223Q A A u E Q A A A A u L Q A A u -⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎢⎥=-+-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎩⎭⎣⎦⎩⎭1.3 如图所示为三角桁架，已知25/101.2mm N E ⨯=，两直边的长度m l 1=，各杆的截面积21000mm A =，求此结构的整体刚度矩阵[]K ，若节点的编号改变后，问[]K 的有无变化？解：杆件的单元刚度矩阵为：[]1111ii iEA k l -⎡⎤'=⎢⎥-⎣⎦，从而可得各个单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵为：[]11111EA k l -⎡⎤'=⎢⎥-⎣⎦；[]21111EA k l -⎡⎤'=⎢⎥-⎣⎦；[]31111k -⎡⎤'=⎢⎥-⎣⎦平面杆单元坐标转置矩阵：cos sin cos sin T αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，而又00012390045ααα===-、和，从而各个单元的坐标转置矩阵分别为：10101T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；21010T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；3222T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎢-⎢⎣⎦根据上面给出的坐标转置矩阵，可得各个单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵为[][]1111000000101101000101001100010000010101T EA EA k T k T l l ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎡⎤'⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦[][]2222101010001110000000011100101010000000T EA EA k T k T l l -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤'⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[][]3333101111101111001111011100111111011111T k T k T --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-----⎡⎤⎡⎤'⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦令节点位移向量为{}112233,,,,,Tu v u v u v δ=，节点力为{}112233,,,,,Tx y x y x y F q q q q q q =，按照整体刚度矩阵的拼装原则，可得[]1010000100011010000011 EAKl-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦若节点的编号改变后，[]K会发生变化，但是并不影响最终的计算结果。
《有限元》期末考题
一、填空（共10个空，每空2分，共20分）11、有限元法是近似求解连续场问题的数值方法。
2、有限元法将连续的求解域离散，得到有限个单元，单元和单元之间用节点相连。
3、直梁在外力作用下，横截面上的内力有剪力和弯矩两个。
4、平面刚架结构在外力作用下，横截面上的内力有剪力、弯矩和轴力。
5、进行直梁的有限元分析，梁单元上每个节点的节点位移为挠度和转角。
、平面刚架结构中，已知单元e的坐标变换矩阵[T e]及局部坐标系x´O´y ´下的单元刚度矩阵[K´]e，则单元在整体坐标系xOy下的单元刚度矩阵为 P31 。
7、平面刚架结构中，已知单元e的坐标变换矩阵[T e]及整体坐标系xOy下的单元节点力矩阵{p}e，则单元在局部坐标系x´O´y´下的单元节点力矩阵为 P30 。
8、在弹性范围和小变形的前提下，节点力和节点位移之间是线性系。
9、弹性力学问题的方程个数有 15个，未知量个数有 15 个。
10、弹性力学平面问题的方程个数有个，未知量个数有个。
11、把经过物体内任意一点各个截面的应力状况叫做一点的应力状态。
12、形函数在单元节点上的值，具有本点为 1 、它点为零的性质，并且在三角形单元的任一节点上，三个形函数之和为 1 。
13、形函数是定义于元内部坐标连续函数。
14、在进行节点编号时，要尽量使同一单元的相邻节点的号码差尽可能小，以便最大限度地缩小刚度矩阵带宽，节省存储、提高计算效率。
15、三角形单元的位移模式为。
16、矩形单元的位移模式为。
17、在选择多项式位移模式的阶次时，要求所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关，这一性质称为几何各向同性。
18、单元刚度矩阵描述了节点力和节点位移之间的关系。
19、在选择多项式作为单元的位移模式时，多项式阶次的确定，要考虑解答的收敛性，即要满足单元的完备性和协调性的要求。
20、三节点三角形单元内的应力和应变是常数，四节点矩形单元内的应力和应变是线性变化的。
有限元期末考试试题
有限元期末考试试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 在有限元分析中，单元的刚度矩阵通常通过以下哪种方式计算？A. 直接积分B. 线性插值C. 经验公式D. 试验数据2. 以下哪个选项不是有限元分析中的边界条件？A. 固定边界B. 自由边界C. 周期边界D. 热边界3. 有限元方法中，节点的自由度数量取决于什么？A. 单元类型B. 材料属性C. 几何形状D. 载荷类型4. 在进行热传导问题的有限元分析时，以下哪个方程是正确的？A. 牛顿第二定律B. 热平衡方程C. 动量守恒定律D. 质量守恒定律5. 以下哪个不是有限元分析中常用的单元类型？A. 四节点矩形单元B. 三角形单元C. 六面体单元D. 八节点等参单元二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述有限元方法的基本步骤，并举例说明其在工程中的应用。
2. 解释什么是等参单元，并说明它在有限元分析中的重要性。
3. 描述在有限元分析中如何处理非线性问题，并给出一个具体的例子。
三、计算题（每题25分，共50分）1. 给定一个由四个节点构成的二维平面应力问题，节点坐标如下：节点1: (0, 0)节点2: (1, 0)节点3: (1, 1)节点4: (0, 1)已知材料的弹性模量E=210 GPa，泊松比ν=0.3。
若在节点1和节点3上施加单位力（1 N），试求该结构的位移场和应力场。
2. 考虑一个长方体热传导问题，其尺寸为Lx=0.5m，Ly=0.3m，Lz=0.2m。
该长方体的热导率为k=50 W/m·K，初始温度分布为T(x, y, z, 0) = 300 K。
若在x=0和x=Lx的面上施加恒定的边界温度T=400 K，试求经过时间t=10s后长方体内部的温度分布。
四、论述题（共30分）1. 论述有限元分析在结构优化设计中的作用，并讨论其在现代工程设计中的重要性。
有限元考试题
判断题1.单元刚度矩阵是奇异的，其行列式等于零。
1单元刚度矩阵一定是奇异的，其矩阵行列式等于零。
1.单元刚度矩阵一定是方阵。
2.等参元是指单元坐标变换和函数插值采用相同的结点和相同的插值函数。
3.对三角形单元来说，节点数目越多，精度越高。
4.对四边形单元来讲，节点数目越多，精度越高5.后处理法得到的总体刚度矩阵较前处理法大。
6.矩形单元是常应力单元，在单元内部各点的应力相等。
7.可以利用虚功原理或几何法推到单元刚度矩阵。
8.可以利用虚功原理推到单元刚度矩阵。
9.利用矩形单元求解平面应变问题和平面应力问题。
10.利用矩阵位移法求解连续梁得到的一定是精确解。
11.利用矩阵位移法求解平面刚架得到的一定是精确解。
12.利用矩阵位移法求解平面刚架得到的一定可以得到精确解。
13.平面桁架平行移动而不转动，单元刚度矩阵要发生改变。
14.平面桁架单元旋转后，整体坐标系下的单元刚度矩阵要改变。
15.三角形单元中其面积坐标的值与三结点三角行单元的结点形函数值相等。
16.四边形等参单元的jacobi行列式是常数。
17.一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好。
18.三角形六节点单元的单元刚度矩阵为12*12阶的。
19.三角形六节点单元的单元刚度矩阵为6X6阶的。
选择题1.n个积分点的高斯积分的精度可达到2n阶。
2.单元刚度方程是表示一个单元的结点外力和结点位移的相互关系。
3.对称荷载在对称面上引起的反对称位移的分量为零4.对分析物体划分好单元后，节点编号会对单元刚度矩阵的半宽带产生影响。
5.根据反力互等定理得到单元刚度矩阵是对称的。
6.空间刚架单元的单元刚度矩阵12*12 阶的。
7.空间问题的八结点六面体单元其单元刚度矩阵是24*24阶的。
8.利用矩阵位移法求解平面桁架，得到的是精确解。
9.利用四边形单元求解应力应变问题，得到的是近似解。
10.平面刚架单元其单元刚度矩阵是对称，奇异的。
11.平面刚架单元其单元刚度矩阵是6*6 阶的。
北京科技大学材料力学期中考试
材料力学期中测验
--杆件受力的有限元计算
问题 1 分布载荷作用下的悬臂梁应力计算
分析模型如图1-1 所示, 梁的横截面为矩形宽х高 = 1х 2 m2. 受到分布载荷作用。
材料的弹性模量200GPa, 泊松比0.3。
习题文件名: Cantilever beam。
注意：用实体单元离散，长度单位m, 力的单位 N，对应应力单位 Pa，按照平面应力处理。
问题2表面效应
单元模拟一螺栓扭转问题
问题描述：表面效应单元：类似一层皮肤，覆盖在实体单元的表面。
它利用实体表面的节点形成单元。
因此，表面效应单元不增加节点数量（孤立节点除外），只增加单元数量。
用ANSYS 对螺栓模型施加扭转荷载，求解并在后处理器中观察整体柱坐标系下的UY 。
载荷和边界条件:沿螺栓上端的扭矩Mt 等效为切向等效切应力：q=10MPa ，底部固定 (UX=UY=UZ=0)。
设:螺栓直径d=100mm ，螺栓长度L=200mm ，螺帽直径D=160mm,螺帽高度H=30mm 。
材料应力—应变关系为线弹性模型，弹性模量200E GPa =，泊松比3.0=ν。
问题 3 悬臂“工”字梁的屈曲建模计算计算模型如下图：
基本参数：集中力F=106N杨氏弹性模量E=2.0e5MPa，泊松比v=0.2，梁长度为2.5 m。
横截面积尺寸见下表:
梁的横截面积尺寸（单位：㎜）
宽度B 高度H 腹板厚t1 翼缘厚t2
150 250 15 15
L
F。
有限元考试试题
有限元考试试题一、选择题（每题5分，共30分）1、在有限元分析中，我们通常使用什么方法来求解偏微分方程？A.积分法B.差分法C.有限差分法D.有限元法2、下列哪个不是有限元法的优点？A.可以处理复杂几何形状B.可以处理非线性问题C.可以处理大规模问题D.可以处理不稳定问题3、在有限元分析中，我们通常将连续的物理场离散化为一系列的什么？A.有限个点B.无限个小段C.有限个小段D.无限个点4、下列哪个不是有限元分析的基本步骤？A.划分网格B.建立模型C.执行计算D.编写代码5、在有限元分析中，我们通常使用什么来描述物理场的性质？A.偏微分方程B.泛函方程C.常微分方程D.边界条件6、下列哪个不是有限元分析的应用领域？A.结构分析B.流体动力学C.电磁学D.社会科学二、填空题（每题10分，共40分）7、______是一种将连续的物理场离散化为一系列有限个点的方法，是有限元分析的基础。
8、在有限元分析中，我们通常使用______来对物理场进行离散化处理。
9、______是一种求解偏微分方程的数值方法，广泛应用于有限元分析。
10、在有限元分析中，我们通常使用______来描述物理场的性质。
三、解答题（每题20分，共60分）11、请简述有限元分析的基本步骤，并解释其在结构分析中的应用。
12、请说明在有限元分析中，如何处理边界条件，并举例说明。
13、请简述有限元分析的优点和局限性。
有限空间培训考试试题及答案一、选择题1、在有限空间内，以下哪个行为是危险的？A.带压操作B.穿著宽松衣服C.使用电动工具D.所有上述答案：D.所有上述。
在有限空间内，带压操作、穿著宽松衣服和使用电动工具都是危险的。
2、当进入有限空间前，应该进行哪项操作？A.排放内部气体B.测试内部气体C.对内部进行冲洗D.所有上述答案：D.所有上述。
在进入有限空间前，应该进行排放内部气体、测试内部气体并对内部进行冲洗。
3、有限空间内的危险因素不包括以下哪个？A.缺氧B.有毒气体C.电击D.所有上述答案：C.电击。
工程中的有限元-必考点-北京科技大学
1.按照研究方法，分为：连续介质单元，（三角形，四边形）——弹性力学结构单元（四面体，五面体，六面体）——结构力学2.连续介质单元是否有一维单元？是！——边界层单元3.为什么商业软件中，节点是乱的？因为这是软件自动优化的结果，以便于优化带宽或者波宽；4.单元分析时如何编号？从某一个角节点开始，按照逆时针进行编号！5.形函数的性质有哪些？a)其中，意思是关于i节点的形函数取本节点值时，形函数值为1，关于i节点的形函数取其他节点值时，形函数值为0。
b)在单元内任一点，位移的插值之和可以归一，否则不能反映单元刚体位移。
c)对于三节点三角形单元，形函数为线性插值函数。
6.有限元可不可以无模型就有网格？可以。
7.ANSYS中什么叫P方法，什么叫h方法？H方法：指的是把网格加密使得单元特征尺寸变小，从而达到提高计算机计算进度的目的。
P方法：网格不变，提高差值函数的阶数，以提高计算精度的方法。
8.做流固分析最好的软件是什么？ANSYS9.特征值计算不允许使用对称性，如做热场分析的时候千万不能用对称性，否则就成了绝热了。
10.有关单元分类：一维单元：线单元（结构单元，如：杆单元，梁单元）、连续单元（接触线单元）；二维单元：结构单元（壳单元）、连续单元（三单元、四单元。
注意没有五边形单元，只有三角形，四边形）；三维单元：连续体单元（四面体-三棱锥、五面体-三棱柱、六面体）2D：四边形较好，3D：六面体较好，四面体精度较差，但是传热学就无所谓了11.当出现Copy命令的时候，注意事项：1)如果实体已经被划分网格，则网格同时被复制；2)如果新-旧网格具有共同边界，两网格之间并没有联系；3)可以在组坐标中进行拷贝，但是只允许环向角度（DY）增量复制以及Z芳香（DZ）增量复制。
12.Reflect命令：a)如果实体已经被划分网格，则经过镜像后，网格同时被复制。
b)如果新-旧网格具有共同边界，两网格之间并没有联系。
c)所有的方向均按激活坐标系，且必须是直角坐标系。
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一．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。
）(每小题2分) （1）用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数u的选择没有任何限制。
（）（2）四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。
（）（3）在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。
（）（4）二维弹性力学问题的有限元法求解，其收敛准则要求试探位移函数C1连续。
（）（5）有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。
（）（6）等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。
（）（7）在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。
（）（8）四边形单元的Jacobi行列式是常数。
（）（9）利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。
（）（10）一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。
（）
二．单项选择题（共20分，每小题2分）
1 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为
________________。
（A）配点法（B）子域法（C）伽辽金法
2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用______的结点和______的插值函数。
（A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同
3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与___________相等。
（A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数
4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般___________。
（A）近似解总小于精确解（B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡（D）没有规律
5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少
是______完全多项式。
（A）m-1次（B）m次（C）2m-1次
6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了_________形式，因此，不用进
行回代计算。
（A）上三角矩阵（B）下三角矩阵（C）对角矩阵
7 对称荷载在对称面上引起的________________分量为零。
（A）对称应力（B）反对称应力（C）对称位移（D）反对称位移
8 对分析物体划分好单元后，__________会对刚度矩阵的半带宽产生影响。
（A）单元编号（B）单元组集次序（C）结点编号
9 n个积分点的高斯积分的精度可达到______阶。
（A）n-1 （B）n（C）2n-1 （D）2n
10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵K的__________。
（A）对称性（B）稀疏性（C）奇异性
三．简答题（共20分，每题5分）
1、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。
2、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。
3、简述有限单元法的收敛性准则。
4、考虑下列三种改善应力结果的方法（1）总体应力磨平、（2）单元应力磨平和（3）分片应力磨平，请分别将它们按计算精度（高>低）和计算速度（快>慢）进行排序。
四．计算题（共40分，每题20分）
1、如图1所示等腰直角三角形单元，其厚度为t ，弹性模量为E ，泊松比0ν=；单元的边
长及结点编号见图中所示。
求
(1) 形函数矩阵N
(2) 应变矩阵B 和应力矩阵S (3) 单元刚度矩阵e K
2、图2（a ）所示为正方形薄板，其板厚度为t ，四边受到均匀荷载的作用，荷载集度为21/N m ，同时在y 方向相应的两顶点处分别承受大小为2/N m 且沿板厚度方向均匀分布的荷载作用。
设薄板材料的弹性模量为E ，泊松比0ν=。
试求
(1) 利用对称性，取图（b ）所示1/4结构作为研究对象，并将其划分为4个面积大小
相等、形状相同的直角三角形单元。
给出可供有限元分析的计算模型（即根据对称性条件，在图（b ）中添加适当的约束和荷载，并进行单元编号和结点编号）。
(2) 设单元结点的局部编号分别为i 、j 、m ，为使每个单元刚度矩阵e
K 相同，试在
图（b ）中正确标出每个单元的合理局部编号；并求单元刚度矩阵e K 。
(3) 计算等效结点荷载。
(4) 应用适当的位移约束之后，给出可供求解的整体平衡方程（不需要求解）。
23
图1 图2
（a ）
（b ）
同济大学本科课程期终考试统一命题纸 A 卷 标准答案
2007—2008学年第 二 学期
一．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。
）(每小题2分)
× √ √ × × √ × × √ √ 二．单项选择题（共20分，每小题2分）
C B B C B C
D C C C 三．简答题（共20分，每小题5分） 1、答：（答对前3个给4分）
（1）对称性；（2）奇异性；（3）主对角元恒正；（4）稀疏性；（5）非零元素带状分布 2、答：
一般原则有
(1) 广义坐标的个数应该与结点自由度数相等；
(2) 选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备；
(3) 多项式的选取应由低阶到高阶； (4) 尽量选取完全多项式以提高单元的精度。
3、答：
完备性要求，协调性要求 (2分) 具体阐述内容
(3分)
4、答：
计算精度 （1）>（3）>（2） 计算速度 （2）>（3）>（1）
四．计算题 1、解：
设图1所示的各点坐标为
点1（a ，0），点2（a ，a ），点3（0，0）
于是，可得单元的面积为 12
A =2
a ，及 (1) 形函数矩阵N 为
(7分)
12122121
(0a a )a
1
(00a )a 1
(a a 0)
a
N x y N x y N x y =
+-=++=-+ ；
[][]
12312
3 N N N ==N I I I N N N
(2) 应变矩阵B 和应力矩阵S 分别为
(7分)
12a 010-a a -a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，220010a a a 0⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，32-a 0100a 0
-a ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
B ； []12
3=B B B B
1a 00-a a 11-a a 22E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦S ，2000a a 1a 02E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦S ，3-a 000a 10-a 2E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
S ；
[][]
123123 ==S D B B B S S S
(3) 单元刚度矩阵e K
(6分)
11
1213T 21
22
233132
33311021131201111001020200200020111001e Et tA ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎡⎤
--⎢⎥
⎢⎥===⎢⎥
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥
⎣
⎦⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦
K K K K B DB K K K K K K
2、解：
(1) 对称性及计算模型正确 (5分)
(2) 正确标出每个单元的合理局部编号 (3分)
(3) 求单元刚度矩阵e K (4分)
(4) 计算等效结点荷载 (3分)
(5) 应用适当的位移约束之后，给出可供求解的整体平衡方程（不需要求解）。
(5分)
对 称 1011012020031214301201e Et --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥
--⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
K 对 称 1233563220000612100612016101620212v v u Et t v u u ⎡⎤
--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--⎢⎥⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦
1、简述弹性力学四边形四节点等参元的收敛性质以及由该单元刚度矩阵装配成的总刚度矩阵的性质。
在单元分析已经提出有限单元解的收敛性要求, 即, 单元必须是完备的和协调的。
对于等参单元: 1.完备性:对于C0型单元,由于等参单元的形函数中包含有常数项和线性项,满足完备性的要求。
2. 协调性:由于单元之间的公共边上有完全相同的节点, 同时每一单元沿这些边的坐标和未知函数均采用相同的插值函数加以确定。
因此, 只要在划分网格时, 遵守单元选择和节点配置的要求, 则等参单元满足协调性的要求。
2、总刚的性质
1）对称性2）奇异性，需引入合适的位移约束。
3）稀疏，（存在许多零元素）4）非零元素呈带状分布5)主元恒正根据物理意义可得此性质，正常情况下，主元占优。