相对论例题

x
o' o
A
x'
B
x
解:在s系中看,A’以速度u通过 x ,经历的时间为
x t u
所以,当A’与B相遇时,s系中B钟的读数为 x / u ,设这时s’系中 A’钟读数为 t ',由于A’在s’系中静止,所以 t ' 为原时. 由时间延缓公式 得
t
t ' 1 2
t ' t 1 2 x 1 2 即当A’与B相遇时, s’系中A’的读数为 u
x'
x vt 1 2
v t 2 x c t' 1 2
有 而
x '
x vt 1
2

x 1
2
x 1000m
x ' 2000m
解得
1 2 0.5
v ( 3 / 2)c
又由时间变换关系有
v v t 2 x 2 x c t ' c 5.77 105 s 2 2 1 1
m0 / 1 2
8 8 v 1.2 10 m / s v 2.4 10 例：要使电子的速度从 1 增加到 2
m / s 必须对它作多少功？
解：根据功能原理,要作的功 根据相对论的能量公式 根据相对论的质量公式
Hale Waihona Puke Baidu
W E
E m2c 2 m1c 2
m2 m0 / 1 2 2 m1 m0 / 1 12

1 1 4.72 107 J W m0c 2 2 2 1 1 2 1
L A) v1 v2
L B) v1 v2 D) L v1 1 (v1 / c )2
√
L C) v2
L、v2 均为同一参照系，所求时间也是对该参照系的。
例： 一列高速列车以速度u驶过站台，固定在 站台上的两支机械手在车箱上同时划出两个痕 迹，静止在站台上的观察者同时测出两划痕之 间距离为 1m， 则车箱上的观察者测出这两个 划痕之间的距离为
u ，由洛仑兹变换
x
u t t 2 2 c 1 1
可知, 乙所测得的这两个事件的时间间隔是
洛仑兹变换
u t2 t1 2 x2 x1 c t1 t2 1 2
t1 0 ,代入已知数据，有 由题意：t 2
u (110 2 10 ) 2 (12 10 4 6 10 4 ) c 0 2 u 1 2 c
面飞行，机上乘客下飞机后，是否需要因时间延
缓而对手表进行修正？ 解：由时间延缓表达式 t 将 v 200km / s 代入，有
t ' 1 2
t
t '
1 (2 10 / 3)
3
2
t ' 103 1.00000022t ' 999.9997
例：一体积为V0 ,质量为m的立方体沿其一棱的方向相对 于观察者A以速度 v 运动.求观察者A 测得其密度是多少？
A)(2 / 3)c;
B )(1 / 3)c D )(1/3) 2 c
1
√
C )(2 / 3) c;
2
1
例：一飞船的固有长度为L，相对地面以速度 v1 作匀速直线运动，从飞船中的后端向飞船中的前 端的一个靶子发射一颗相对于飞船的速度为 v2 的 子弹，在飞船上测得子弹从射出到击中靶子的时 间间隔是
可能到达地面. 解:考虑相对论效应,以地球为考照系, 子的平均寿命:

0
1 (v / c )2
31.6 106 s
则 的平均飞行距离
L v 9.46km
子的飞行距离大于它距地面的高度,所以有可能到达地面.
例：一民航客机，以 200km / s 平均速度相对地
A) 1m
B ) 1 1 (u / c ) 1 m D ) 无法测量
2
√ C)
1 ( u / c )2
例： 在狭义相对论中，下述说法正确的有： 1) 一切运动物体相对于观察者的速度都不可能大 于真空中的光速; 2) 质量、长度、时间的测量结果是随着物体与观 察者的相对运动状态而改变; 3) 在惯性系中的观察者观察一个与他相对做匀速 运动的时钟时，会发现这时钟比与他相对静止的 钟走得慢;
A) 1)、3)正确; B ) 1)、2)正确; C ) 2)、3)正确;
√
D) 1)、2)、3)都正确;
例:火箭相对于地面以v=0.6c的匀速度向上飞离地球.
在火箭发射 t ' 10 s 后(火箭上的钟), 该火箭向地面
发射一导弹,其速度相对于地球为 v1 0.3c , 问火箭 发射后多长时间, 导弹到达地球？(地球上的钟) 计算中设地球不动。
例:一艘宇宙飞船船身的固有长度为l0 90m ,相对于地面以v 0.8c
匀速从－地面观测站上空通过,求观测站和宇航员测得的船身通过 观测站的时间分别是多少？
解:由尺缩效应,观测站测得飞船的长度为 l l0 1 2 90 1 0.82 54m 飞船经过观测站上空的时间间隔为
l 54 7 t1 2.25 10 s 8 v 0.8 3 10 宇航员测得飞船长度为 l 0 , 他测得飞船经过观测站上空 的时间间隔为 l0 90 7 t 2 3.75 10 s 8 v 0.8 3 10
也可以由时间延缓效应得(注意：观测站是静止的)
例1 设一质子以速度 v 0.80c 运动. 求其总能量、动能和动量. ( m po 1.67 1027 kg ) 解 质子的静能 E0 m0c2 938 MeV
E mc 2 m0 c 2 1 v2 c2 1563 MeV
Ek E m0c 2 625 MeV
证明:由 在S系中
x'
x vt
1 x vt 2 ( ) y2 a2 1 2
2
y' y
z' z z0
z0
即
( x vt )2 y2 2 1 v 2 a 2 a (1 ( ) c
这正好是一椭园方程.长轴为a, 短轴为a 1 2 ,椭园中心沿
(1)由时间变换关系有∶
x'
x ut 1 2
u t 2 x c t ' 1 2
注意到两事件在k系中发生在同一地点: x 0

将数据代入,即有
t '
t 1 2
5
4 u 2 1 ( ) c
解出
u 1.8 108 m s
(2)由坐标变换关系有
4 4
洛仑兹变换
由此解得乙对甲的速度为
c u 2
根据洛仑兹变换
x
1 1
x ut 2
5.20 104 m
可知, 乙所测得的两个事件的空间间隔是
x x x
2 1
2
x1 u t 2 t1 1
2
例:在惯性参照系S中, 有两个事件同时发生在x轴上相距1000m 的两点, 而在另一惯性参照系S’(沿x轴正方向相对于S运动)中测 得这两个事件发生的地点相距2000m. 求在S’系中测得这两个事 件的时间间隔. 解 :由
例:观察者甲和乙分别静止于两惯性参照系s和s’中, 甲测得在同 －地点发生的两个事件的时间间隔为4s, 而乙测得这两个事件 的时间间隔为5s, 求: (1)s’相对于s的运动速度. (2)乙测得这两个事件发生的地点的距离. 解:设s’相对于s以u沿x方向运动,根据洛仑兹变换关系有
u t 2 x c t' 1 2
例:宇宙飞船相对于地以速度v作匀速直线飞行, 某－时刻飞船头 部的宇航员向飞船尾部发出－光信号,经过 t (飞船上的钟)时 间后, 被飞船尾部的接收器收到,则由此可知飞船的固有长度为: 1 3 l ' y B )l v l l √ A) c t y t l'x 2 2 3 c t 2 1 2 2 l x( ) l 1 ly l C) c t 1 v l/' x c) 1 D 2 1 2 2 2 例:S系与S’系是坐标轴相互平行的两个惯性参照系 , S’相对于S 从中解出 u c 3 系沿X轴正方向匀速运动,一根刚性尺静止在S’系冲, 与o’x’轴成 300角.今在S系中观察得该尺与ox轴成450角,则S’系相对S系的运 动速度为
t2 t1 / 1 2 3.75 107 s
例:一宇宙飞船相对地球以0.8c的速度飞行.一光脉冲从船尾传到船
头,飞船上的观测者测得飞船的长度为90m,地球上的观测者测得光 脉冲从船尾传到船头两事件的空间间隔为
√
A) 90m C ) 270m
B ) 54m D ) 150m
解：设立方体的长、宽、高分别 x0、y0、z0 ,观察者 A测得立方体的长、宽、高分别为
x x0 1 2
y y0
z z0
相应体积为 V xyz V 0 1 2 观察者测得立方体质量为 m
m0 1 2
m0 m 故相应密度为 2 2 V V (1 ) V0 1 0
p mv m0 v 1 v2 c2
6.681019 kg m s 1
例1 设一质子以速度 v 0.80c 运动. 求其总能量、动能和动量. 动量也可这样计算
cp E 2 ( m0c 2 )2 1250 MeV
1250 p MeV 4.17eV c 4.17 1.6 1019 6.68 1019 kg .m / s
参考解: 宇航员测得两事件的时间间隔为 90 7 0 3 10 s 8 3 10 由于时间延缓,地球上的观测者测得两事件的时间间隔为
3 107 5 107 s 0.6 1 2 由于光速不变,这段时间中光脉冲传播距离
0
l c 3 108 5 107 150m
同时,这段时间中飞船向前飞行
l ' 5 107 0.8 3 108 120m
所以,地球上的观测者测得光脉冲从船尾传到船头这两事件 的空间间隔为
L l l ' 120 150 270m
例:静止的 子的平均寿命为 0 2 106 s. 今在8km的高空,由于 介子的衰变产生一个速度为v=0.998c的 子,试证此 子有无
x
以v匀速运动.
例:如图,在s系中x轴上相距 x 处有两只同样的钟A和B,
在s’系中有－只同样的钟A’ .若s’系相对于s系以速度u 沿x轴运动,且当A’与A相遇时刚好两钟读数为0,那么,当 A’钟与B钟相遇时,在s中B钟的读数和在s’系中A’钟的 读数各是多少？ A'
o' o
A
u
x
B
A'
x'
从火箭发射开始计时,导弹飞回地球的时间为
t t1 t2 25 12.5 37.5 s
例: 在S’系中有一质点作园周运动,其轨道方程为
X '2 Y '2 a 2
z' 0
试证明在S系中(S’系以速度v相对于S系沿x轴正方向运动), 测 得这质点的轨迹是一个在oxy平面内的椭园, 椭圆的中心以速 度v沿x方向运动.
3 c4 x ut 8 5 x ' 3 c 9 10 m 2 3 2 1 1 ( ) 5
洛仑兹变换
例题5-1 甲乙两人所乘飞行器沿X 轴作相对运动。甲测得 两个事件的时空坐标为x1=6104m ， y1=z1=0，t1=210-4 s ； x2=12104m， y2=z2=0， t2=110-4 s，若乙测得这两个 事件同时发生于t’ 时刻，问： （1）乙对于甲的运动速度是多少？ （2）乙所测得的两个事件的空间间隔是多少？ 解（1）设乙对甲的运动速度为
解:按地球上的钟计时,火箭发射导弹的时间是发射后的 t 秒
10 t1 12.5 s 0.6c 2 1 2 1 ( ) c 火箭此时飞行高度为 h 12.5 0.6c 7.5c( m )
导弹从该高度飞到地球用时间
t0
h 7.5c t2 25 s 0.3c 0.3c