中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解
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高等数学一第6章课后习题详解
课后习题全解
习题6-2
★ 1．求由曲线
x
y =与直线
x y =所围图形的面积。
知识点：平面图形的面积
思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1
∵所围区域D 表达为X-型：⎩⎨
⎧<<< x y y 21 0） ∴⎰-=10)(dx x x S D 61)2132(1 22 3 =-=x x （⎰= -=1 26 1 )(dy y y S D ） ★ 2．求在区间[0， π/2]上，曲线x y sin =与直线0=x 、1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解：见图6-2-2 ∵所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<< )cos ()sin 1(2020 -= +=-=⎰π π π x x dx x S D （ 12 arcsin 1 -= =⎰π ydy S D ） ★★3．求由曲线 x y =2与42+-=x y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-3 ∵两条曲线的交点：⎩⎨⎧±==⇒⎩ ⎨⎧+-==22 42 2y x x y x y ， ∴所围区域D 表达为Y-型：⎩⎨ ⎧-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ⎰ y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=⎰ y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：⎩ ⎨⎧<<< 0， ∴3 43 2 2)2(2210 231 1= ⨯ =-==⎰y dy y y S S D D （若用X-型做，则第一象限内所围区域=1D b a D D Y ，其中a D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<22 4 10x y x x ， b D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<14 212y x x ；∴122122 01422[()(1)]443D D x x S S x dx dx ==-+-=⎰⎰） ★★5．求由曲线 x y 1 = 与直线x y =及2=x 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做 解：见图6-2-5 ∵两条曲线x y = 和x y =的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和2=x 分别交于 )2 1 ,2(、2) ,2( ∴所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<< x 1 21， ∴2 2 21 1 113 ((ln )ln 222D S x dx x x x =-=-=-⎰ ★★★6．抛物线 x y 22=分圆822=+y x 的面积为两部分，求这两部分的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于X 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为1D S ，剩余面积为2D S ∵两条曲线 x y 22=、822=+y x 的交于(2,2)±（舍去4-=x 的解）， ∴所围区域1D 表达为Y-型：⎪⎩⎪⎨⎧-<<<<-2 2 82 22y x y y ；又图形关于x 轴对称， ∴342)342(2)68(2)28(22 03202 2 0221 +=-+=--=--=⎰⎰ππy y dy y y S D （其中 22 2cos 18cos 22cos 2284 4 sin 222 2 +=+=⨯= -⎰ ⎰⎰ =πππ dt t tdt t dy y t y ） ∴3 4634282 -=- -=πππD S ★★★7．求由曲线 x e y =、x e y -=与直线1=x 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做 解：见图6-2-7 ∵两条曲线 x e y =和x e y -=的交点为（0，1），又这两条线和1=x 分别交于 ) ,1(e 和) ,1(1 -e ∴所围区域D 表达为X-型：⎩⎨ ⎧<<<<-x x e y e x 1 0，