数列与不等式的综合问题突破策略1

数列与不等式的综合问题突破策略

类型1：求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题

求数列与不等式相结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f (x )在定义域为D ，则当x ∈D 时，有f (x )≥M 恒成立⇔f (x )min ≥M ；f (x )≤M 恒成立⇔f (x )max ≤M ；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得.

【题1】 等比数列{a n }的公比q ＞1，第17项的平方等于第24项，求使a 1＋a 2＋…＋a n ＞

1231111

n

a a a a ++++……恒成立的正整数n 的范围. 【题1】 利用条件中两项间的关系，寻求数列首项a 1与公比q 之间的关系，再利用等比数列前n 项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数n 的取值范围. 【解】 由题意得：(a 1q 16)2＝a 1q 23，∴a 1q 9＝1. 由等比数列的性质知数列{

1n a }是以11a 为首项，以1q 为公比的等比数列，要使不等式成立， 则须1(1)1n a q q --＞111(1)

11n a q q

--，把a 2

1＝q -18代入上式并整理，得q -18(q n －1)＞q (1－1n q )，

q n ＞q 19，∵q ＞1，∴n ＞19，故所求正整数n 的取值范围是n ≥20.

【点评】 本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后的结果.本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用. 【题2】设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝a ，a n +1＝S n ＋3n ，n ∈N *． (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；（2）若a n +1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 【题2】 第（1）小题利用S n 与a n 的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅱ）小题将条件a n +1≥a n 转化为关于n 与a 的关系，再利用a ≤f (n )恒成立等价于a ≤f (n )min 求解． 【解】 (1)依题意，S n +1－S n ＝a n +1＝S n ＋3n ，即S n +1＝2S n ＋3n ，

由此得S n +1－3 n +1＝2(S n －3n )．

因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2 n -1，n ∈N *, ① (2)由①知S n ＝3n ＋(a －3)2 n -1，n ∈N *， 于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n -1＝3n ＋(a －3)2 n -1－3n -1－(a －3)2 n -2＝2×3n -1＋(a －3)2 n -2，

a n +1－a n ＝4×3 n -1＋(a －3)2 n -2＝2 n -2·[12·(32

)n -2

＋a －3]，

当n ≥2时，a n +1≥a n ，即2 n -2·[12·(32)n -2＋a －3]≥0，12·(32

)n -2

＋a －3≥0，

∴a ≥－9，

综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞)

【点评】 一般地，如果求条件与前n 项和相关的数列的通项公式，则可考虑S n 与a n 的关系求解.本题求参数取值范围的方法也一种常用的方法，应当引起重视.

类型2：数列参与的不等式的证明问题

此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.

【题3】 数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 3＝7，S 4＝24．

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设p 、q 都是正整数，且p ≠q ，证明：S p +q ＜1

2

(S 2p ＋S 2q )．

【题3】 根据条件首先利用等差数列的通项公式及前n 项公式和建立方程组即可解决第(1)小题；第(2)小题利用差值比较法就可顺利解决.

【解】 （1）设等差数列{a n }的公差是d ，依题意得，⎩⎨⎧ a 1＋2d ＝74a 1＋6d ＝24，解得⎩⎨⎧ a 1＝3

d ＝2

，

∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1. （2）证明：∵a n ＝2n ＋1，∴S n ＝

1()

2

n n a a +＝n 2＋2n ． 2S p +q －(S 2p ＋S 2q )＝2[(p ＋q )2＋2(p ＋q )]－(4p 2＋4p )－(4q 2＋4q )＝－2(p －q )2，

∵p ≠q ，∴2S p +q －(S 2p ＋S 2q )＜0，∴S p +q ＜1

2

(S 2p ＋S 2q )．

【点评】 利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形，途径主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，则利用通分；（4）如果涉及根式，则利用分子或分母有理化.

【题4】已知数列{}n a 中，113,21(1)n n a a a n +==-≥ （1）设1(1,2,3)n n b a n =-=，求证：数列{}n b 是等比数列；

（2）求数列{}n a 的通项公式

（3）设1

2n

n n n c a a +=⋅，求证：数列{}n c 的前n 项和13n S <．

【题4】（1）由121n n a a +=-得到112(1)n n a a +-=-，即1

1

21

n n a a +-=-……2分

【点评】关于数列求和与不等式相结合的问题，常结合裂项相消或错位相减法放缩求和.

【题5】已知数列{}n a 满足11111,,224n

n n a a a n N ++⎛⎫

==∈ ⎪⎝⎭

.

(1)求数列{}n a 的通项公式；

(2)若数列{}n b 的前n 项和2

n s n =，112233n n n T a b a b a b a b =+++

+，求证：3n T <.

【题5】（1）1

122111124,41124n n n n n

n n n

a a a a a a +++++⎛⎫

⎪⎝⎭=∴=⎛⎫ ⎪⎝⎭

， 又11221111

,,2244

a a a a ==⋅∴=，

{}n a ∴是公比为12的等比数列，12n

n a ⎛⎫

∴= ⎪⎝⎭

（2）21n b n =-，