CUSO4.5H2O原创 关于调和级数收敛的误解

关于调和级数收敛的误解

作者：CUSO4.5H2O 有一篇文章，证明了调和级数收敛。。。。

当然不会两种情况啊！又收敛又发散。。。

作为计算系的学生，俺来算了一把。。。。。

这个归纳法实在有点模糊。。。。

关键在

再次用到这种归纳。。。这也算归纳啊。。。。。。

首先，看到这个（3），我们很明显知道（3）中包含了子列通项是sum 1/(9+10n) ,它本身和sum 1/n 这个级数是同阶的。也是发散的。

这里却证明了收敛。。作者怎么证的呢。。。再仔细一看。。用的是正项级数的比较法。

从而可以知道了：

那么。要不就是前面证明的（1）的收敛证明错了，要不就是这里的定理用错了，即“限制在分母都是n位的时候，所有分母含9的分数之和小于分母不含9的分数之和”这个论断是错的。

不废话了。直接验证：

Matlab程序如下。我们验证8位

function [ output_args ] = a( input_args )

clc

sum=0;

sum9=0;

%%

N=8;

a=power(10,N-1);

b=power(10,N)-1;

%%下面的是从a到b开始加。含9的分数和加到sum9里面，不含9的分数和加到sum里面

for n=a:b

disp((n-a)/(b-a))

i=n;

F=0;

%%F ±íʾº¬9Óë·ñ

while i>0

temp=mod(i,10);

if temp==9

F=1;

end

i=(i-temp)/10;

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

if F==0

%%²»º¬9µÄºÍ

sum=sum+1/n;

% disp(n)

else

sum9=sum9+1/n;

end

end

sum

sum9

end

结果是

这样就证明了确实

“限制在分母都是n位的时候，所有分母含9的分数之和小于分母不含9的分数之和”这句话错了！！

从而这个推导

错了。

反思：

分析下作者这个地方为啥错了

写到这里。我突然想起来实变函数中的一个题目：不含某一个数字的纯小数其实是零测集。（。。。具体语言写的不对头。。）但是可以想到的是，作者误以为不含9的数字远远多于含9的自然数。其实是反的。。。。。。。。。

你想想不含九的n位数是9^n 个，含9的n位数字大概有10^n-9^n

9^n 比较10^n-9^n

简单的数学变形可以比较。

不过我们话一个直观的

这里蓝色的是代表不含9的数字个数占n位数字的百分比：9^i/10^i;红色的是含9的(10^i-9^i)/10^i;

可以看到最后的情况。。。。。。。。。违反了作者的常识。。。。

不写了。。就这个意思吧

最后结论：不是教授写的。。。学生写的。。。有趣的文章。。。。