高中数学必修五同步练习题库：基本不等式(简答题：较难)
最新人教版高一数学知识(必修5)专题同步练习附解答： 基本不等式
专题 基本不等式1．下列结论正确的是（ ） A ．当0x >且1x ≠时,1lg 2lg x x+≥ B ．当0x >时,12x x+≥ C ．当2x ≥时,1x x+的最小值是2 D ．当02x <≤时,1x x-无最大值 【答案】B 【解析】A ．当1＞x ＞0时，lgx ＜0，lgx 1lgx+≥2不成立； B ．当0x >时,12x x+≥，正确； C ．当x ≥2时，x 1x+＞2，不成立； D ．当0＜x ≤2时，函数y ＝x 1x -单调递增，当x ＝2时，有最大值21322-=，不正确． 故选B ．2．若正实数,a b 满足1a b +=，则（ ） A ．11a b+有最大值4 B ．ab 有最小值14C ．+a b 有最大值2D ．22a b +有最小值22【答案】C 【解析】因为正实数，满足，所以112224a b a b b a a b a b a b+++=+=++≥+=，故11a b +有最小值4，故A 不正确；由基本不等式可得112,4a b ab ab +=≥∴≤，故有最大值14，故B 不正确；由于()22122,2a ba b ab ab a b +=++=+≤∴+≤，故+a b 由最大值为2，故C 正确；()22211212122a b a b ab ab +=+-=-≥-=Q ，故22a b +由最小值12，故D 不正确． 3．【海南省海南中学2018-2019学年高一下学期期中】0x >，0y >，且260x xy y -+=，则x y +的最小值为（ ）A ．843+B ．16C ．3D ．25【答案】A 【解析】260x xy y -+=Q ，0x >，0y >()26x x y ∴=-⋅ 26xy x ∴=- 6x ∴>()2121268268438666x y x x x x x x x ∴+=+=-+≥-+=---++⋅当且仅当1266x x -=-，即623x =+时取等号 故选：A4．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高一下学期期末】若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y+的最大值是（） A ．6 B ．233C ．4D ．23【答案】B 【解析】()22211x y xy x y xy ++=⇒+-=,Q 22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， ()2212x y x y +⎛⎫∴+-≤ ⎪⎝⎭，解得()2314x y +≤，223333x y ∴-≤+≤， x y ∴+的最大值是233. 故选B.5．【湖北省第五届高考测评活动2019-2020学年高一上学期期末】若不等式11014m x x+-≥-对10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】C 【解析】 将不等式化为1114m x x+≥-，只需当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，min 1114m x x ⎛⎫+≥ ⎪-⎝⎭即可，由()11114141414x x x x x x ⎛⎫+=++- ⎪--⎝⎭14414441525491414x x x xx x x x--=+++≥+⋅=+=--， 当且仅当15x =时取等号，故9m ≤,故m 的最大值为9. 故选：C6．【四川省攀枝花市2018-2019学年高一下学期期末】已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2 B ．92C ．143D ．5【答案】B 【解析】1x y +=Q ，所以，(1)2x y ++=，则141441412()[(1)]()52591111x y x yx y x y x y y x y x+++=+++=+++=++++g …， 所以，14912x y ++…， 当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，141x y ++的最小值为92， 故选B ．7．若直线220ax by +-=（,0a b >）始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则12a b+的最小值为（ ） A ．1 B ．5C ．42D ．322+【答案】D 【解析】由圆的性质可知，直线()220,0ax by a b +-=>， 是圆的直径所在的直线方程，Q 圆224280x y x y +---=的标准方程为：()()222113,x y -+-= ∴圆心()2,1在直线220ax by +-=上，2220a b ∴+-=，即1a b +=，()1212a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭Q22332322b a b a a b a b=++≥+⋅=+， 12a b∴+的最小值为322+，故选D. 8．【北京东城崇文门中学2017届高三上学期期中】某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外，每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( ) A ．10 B ．11 C ．13 D ．21【答案】A 【解析】由题意可知：每年的维护费构成一个以2为首项，2为公差的等差数列， 故第n 年的维护费为：22(1)2n a n n =+-=，总的维护费为：(22)(1)2n n n n +=+，故年平均费用为：1000.5(1)n n n y n+++=，即1001.5y n n=++，（n 为正整数）； 由基本不等式得：1001001.52 1.521.5y n n n n=++≥+=（万元）， 当且仅当100n n=， 即10n =时取到等号，即该企业10年后需要更新设备． 故选A ．9．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019-2020学年高一上学期期末】已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】C 【解析】()11a ax yx y a x y y x⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭Q .若0xy <，则0yx<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意；若0xy >，则0yx>，0x y >.①当0a <时，1ax ya y x+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥不恒成立； ③当0a >时，()()21121211a ax y ax yx y a a a a a x y y xy x ⎛⎫++=+++≥⋅++=++=+ ⎪⎝⎭，当且仅当=y ax 时，等号成立.所以，()219a +≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.故选：C.10．【上海市市北中学2017-2018学年高一上学期期中】设,x y R +∈，当21x y +=时，14ax y+≥恒成立，则a 的最小值是（ ） A ．12B ．1C ．23D ．2【答案】A 【解析】由题意可知：0a >， ∵,x y R +∈，21x y +=，∴()1122121222a a y ax x y a a a x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当2y axx y=时，等号成立， 要使14ax y+≥恒成立，则12224a a ++≥，即()2124a+≥∴122a +≥，即12a ≥， ∴a 的最小值是12故选：A11．若正数a,b 满足a+b=2,则1411a b +++ 的最小值是( ) A ．1 B ．94C ．9D ．16【答案】B 【解析】∵2a b +=，∴()()114a b +++=，又∵0a >，0b >， ∴()()141141111411a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ ()()411119145441144a b a b ⎡⎤++=+++≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当()41111a b a b ++=++， 即13a =，53b =时取等号, 1411a b +++ 的最小值是94,故选B. 12．【河南省开封市五县联考2019-2020学年高二上学期期末】若两个正实数x ，y 满足412222x y+=，并且246x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()(),82,-∞-⋃+∞ B ．()(),28,-∞-+∞U C ．(),2-∞ D ．()2,8-【答案】D 【解析】因为412222x y+=，所以411x y +=. 所以()4144x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭ 1616448y y x x xy x y =+++=++182166y x x y ≥+⋅=. 当且仅当16y xxy=，即64x =，4y =时等号成立， 若使得246x y m m +>-恒成立则需2166m m >-，即26160m m --<，解得28m -<<. 所以实数m 的取值范围是()2,8-.故选：D13．【上海市上海交通大学附属中学2016-2017学年度高一上学期期末】已知x ，()0,y ∈+∞，且191x y+=，那么x y +的最小值是______. 【答案】16. 【解析】()199********x yx y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当9x yy x=，0,0x y >> 即3x y =时等号成立，∴x y +的最小值是16.故答案为：1614．【浙江省杭州高级中学2018-2019学年高二上学期期末】已知a,b ∈R ，且a >b >0，a +b =1，则a 2+2b 2的最小值为______，4a−b +12b 的最小值为______.. 【答案】23 9 【解析】因为a +b =1，所以a =1−b ，因a >b >0，故0<b <12． a 2+2b 2=(1−b)2+2b 2=3b 2−2b +1=3(b −13)2+23，当b =13时，a 2+2b 2有最小值且为23．4a−b +12b =41−2b+12b，故4a−b +12b=(41−2b +12b)(1−2b +2b )=5+8b1−2b +1−2b 2b≥5+4=9，当且仅当b =16时等号成立，故4a−b +12b 的最小值为9． 综上，填23，9．15．【湖南省湘西州2018-2019学年高二（上)期末】已知两个正数,x y 满足4x y +=,则使不等式14m x y+≥恒成立的实数m 的范围是__________【答案】94m ≤ 【解析】由题意知两个正数x ，y 满足4x y +=， 则14559144444x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+=，当4y x x y=时取等号； 14x y ∴+的最小值是94， Q 不等式14m x y +≥恒成立，94m ∴≤． 故答案为94m ≤． 16．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab ≤1； ②a +b ≤2； ③a 2+b 2≥2；④a 3+b 3≥3;112a b+≥⑤. 【答案】①③⑤ 【解析】 对于①：因为，，所以，所以，故①项正确； 对于②：左边平方可得：，所以，故②项错误；而利用特殊值，代入②中式子，也可得出②错误的结论；对于③：因为，由①知，所以，故③项正确；对于④：()3322()a b a b a ab b +=+-+22()3a b ab ⎡⎤=⨯+-⎣⎦8686ab =-≥-2=,故④项错误；对于⑤1a +1a=a b ab +=2ab≥2，故⑤项正确； 故本题正确答案为：①③⑤.17．设0a b >>，则a ，b ，ab ，2a b +，211a b+，222a b +按从小到大顺序排列是______．【答案】2221122a b a b b ab a a b++<<<<<+【解析】由0a b >>，可得()2222ab ab b ab ab b a b b b a b>⇒>+=+⇒>+，即2211abba b a b =>++，由基本不等式可得2122a b ab ab ab a b a b ab+>⇒<⇒<++，即211aba b<+，由基本不等式可得2222222222a b ab a ab b a b +>⇒++<+，()()2222222222222a b a b a b a b a b a b ++++⎛⎫⇒+<+⇒<⇒< ⎪⎝⎭， 由0a b >>，可得222222a b a a a ++<=.所以答案为22222ab a b a b b ab a a b ++<<<<<+.18．某校要建一个面积为392m 2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m 和4m 的小路(如图所示)，则占地面积的最小值为________m 2.【答案】648 【解析】设游泳池的长为xm ，则游泳池的宽为392m x， 又设占地面积为ym 2， 依题意，得()392784844244424224648y x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当784x x=，即x ＝28时，取“＝”． 答：游泳池的长为28m ，宽为14m 时，占地面积最小为648m 2. 故答案为64819．【山东省枣庄市滕州市滕州市第一中学2019-2020学年高一上学期期中】2019年滕州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元.每生产x （百辆）新能源汽车，需另投入成本()C x 万元，且210100,040()100005014500,40x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩.由市场调研知，每辆车售价5万元，且生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2019年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售-成本） （2）2019年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）2104002500,040()100002000,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）2019年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元【解析】（1）当040x <<时，22()5100101002500104002500L x x x x x x =⨯---=-+-；当40x …时， 1000010000()5100501450025002000L x x x x x x ⎛⎫=⨯--+-=-+ ⎪⎝⎭； 所以2104002500,040()100002000,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当040x <<时，2()10(20)1500L x x =--+，当20x =时，max ()1500L x =；当40x …时，1000010000()200020002L x x x x x ⎛⎫=-+≤-⋅ ⎪⎝⎭ 20002001800=-=. （当且仅当10000x x=即100x =时，“=”成立） 因为18001500>所以，当100x =时，即2019年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元.20．已知,,,a b R x y R +∈∈，试比较22x y a b +与2()x y a b ++的大小． 【答案】答案见解析．【解析】因为()()2222222222x y bx ay a b x y x y xy x y a b a b ⎛⎫++=+++≥++=+ ⎪⎝⎭， 所以()222x y x y a b a b ++≥+，当且仅当x y a b =时等号成立． 21．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和矩形EFGH 构成的面积是200 m 2的十字形区域，现计划在正方形MNPQ 上建一花坛，造价为4 200元/m 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m 2.(1)设总造价为S 元，AD 的边长为x m ，试建立S 关于x 的函数解析式；(2)计划至少要投多少万元才能建造这个休闲小区？【答案】（1）S ＝38 000＋4 000x 2＋2400000x (0＜x ＜102)；（2）至少要投入11.8万元。
人教A版高中数学必修五《基本不等式》同步测试.doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作《基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B. 63C. 46D. 183 5. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．11123abc++≥ D ．3a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．114x y ≤+ B ．111x y+≥ C ．2xy ≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则2,,2a babab a b++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b abab a b+≤≤+ Ｃ．22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22ab a bab a b +≤≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ）Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上. 11. 函数21y x x =-的最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗？答 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值.18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y 恒成立？试证明你的结论.专题五《基本不等式》综合检测一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A B C D C A B C C C 二．填空题11. 1212.3600 13.212-14.对三、解答题15．ab16.略17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)17418．存在，23c=。
高中数学：基本不等式(含答案)
高中数学：必修5 基本不等式一、基础知识1．重要不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )一般地，对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当______________时，等号成立．2．基本不等式如果a ＞0，b ＞0，那么2a bab +≤，当且仅当______________时，等号成立． 其中，2a b+叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数． 因此基本不等式也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．基本不等式的证明（1）代数法：方法一 因为a ＞0，b ＞0，所以我们可以用a ，b 分别代替重要不等式中的a ，b ，得22()()2a b a b +≥⋅，当且仅当a b =时，等号成立．即2a bab +≥( a ＞0，b ＞0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 方法二 因为2222()()2()0a b ab a b ab a b +-=+-=-≥， 所以20a b ab +-≥，即2a b ab +≥，所以2a bab +≤． 方法三 要证2a bab +≥，只要证2a b ab +≥，即证20a b ab +-≥，即证2()0a b -≥，显然2()0a b -≥总是成立的，当且仅当a ＝b 时，等号成立．（2）几何法：如图，AB 是圆的直径，C 是AB 上一点，AC ＝a ，BC ＝b ，过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD ，BD ．易证Rt Rt ACD DCB △∽△，则CD 2＝CA ·CB ，即CD ＝______________．这个圆的半径为2a b +，显然它大于或等于CD ，即2a bab +≥，当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立．2a bab +≤的几何意义：半径不小于半弦．4．重要不等式和均值不等式的常用变形公式及推广公式（1）2b a a b +≥(a ，b 同号)；2b aa b +≤-(a ，b 异号)． （2）12a a +≥(a ＞0)；12a a+≤-(a ＜0)． （3）114a b a b +≥+(a ＞0，b ＞0)；22a a b b≥-(a ＞0，b ＞0)．（4）222a b ab +≤，2()2a b ab +≤，4ab ≤a 2＋b 2＋2ab ，2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(,)a b ∈R ． （5）12212(,,,,2)nn n a a a a a a a n n n+++≥∈≥∈R N ,．（6）2121212111()()(,,,n n na a a n a a a a a a ++++++≥为正实数，且2)n n ≥∈N ,．5．均值不等式链若a ＞0，b ＞0，则2112a b a b+≤≤≤+，当且仅当a ＝b 时，等号成立．其中211a b +分别叫做a ，b 的调和平均数和平方平均数．6．最值定理已知x ＞0，y ＞0，则若x＋y 为定值s ，则当且仅当x ＝y 时，积xy 有最大值24s (简记：和定积最大)； 若xy 为定值t ，则当且仅当x ＝y 时，和x ＋y有最小值简记：积定和最小)．参考答案：重难易错点：一、利用基本不等式判断不等式是否成立要判断不等式是否成立，关键是把握其运用基本不等式时能否严格遵循“一正、二定、三相等”这三个条件．例1.（1）设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f )，q ＝()2a b f +，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是 A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞q（2）给出下列不等式：①12x x +≥；②1||2x x+≥；③21(0)4x x x +>>；④1sin 2sin x x +≥；⑤若0＜a ＜1＜b ，则log a b ＋log b a ≤－2．其中正确的是______________． 【答案】（1）B ；（2）②⑤．【点析】基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等．一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换（利用基本不等式可将整式和根式相互转化），使其中的不等关系明晰即可解决问题．二、利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式的一般思路：先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有其他条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到．例2.（1）已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：222a b c a b c b c a++≥++；（2）已知a ＞b ，ab ＝2，求证：224a b a b+≥-．观察a－b，a2＋b2，可联想到通过加减2ab的方法配凑出(a－b)2，从而化为可使用基本不等式的形式，结合ab ＝2可使问题得到解决．三、利用基本不等式求最值（1例3.（1）已知f(x)＝x＋1x＋2(x＜0)，则f(x)有A．最大值为4B．最小值为4 C．最小值为0 D．最大值为0（2）已知0＜x＜4，则x(4－x)取得最大值时x的值为A．0 B．2 C．4 D．16（3）已知函数f(x)＝2x(x＞0)，若f(a＋b)＝16，则f(ab)的最大值为_______________；（4）已知a，b∈R，且ab＝8，则|a＋2b|的最小值是_______________．【答案】（1）D；（2）C；（3）16；（4）8．【点析】利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等，即①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时条件是否具备．（2使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、凑项、凑系数等．例4.（1）已知x＞0，则函数y＝231x xx++的最小值为_______________；（2）若x＞1，则函数y＝11xx+-的最小值为_______________；（3）若0＜x＜125，则函数y＝x(12－5x)的最大值为_______________．（31”的替换，或构造不等式求解．例5.（1）已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则11a b+的最小值为_______________；（2）已知a＞0，b＞0，11a b+＝2，则a＋b的最小值为_______________；（3）若正实数x，y满足x＋y＋3＝xy，则xy的最小值是_______________；（4）已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值是_______________． 【答案】（1）4；（2）2；（3）9；（4）2．【点析】在构造不等式求最值时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用．例如，当a ＞0，b ＞0时，a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤222a b +；2a b+≥ab 逆用就是ab ≤2()2a b +等．还要注意“添项、拆项、凑系数”的技巧和等号成立的条件等．四、基本不等式在实际中的应用利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题过程中尽量向模型2bax ab x+≥(a ＞0，b ＞0，x ＞0)上靠拢． 例6.如图，要规划一个矩形休闲广场，该休闲广场含有大小相等的左右两个矩形草坪（如图中阴影部分所示），且草坪所占面积为18 000 m 2，四周道路的宽度为10 m ，两个草坪之间的道路的宽度为5 m ．试问，怎样确定该矩形休闲广场的长与宽的尺寸（单位：m ），能使矩形休闲广场所占面积最小？【答案】当矩形休闲广场的长为140 m ，宽为175 m 时，可使休闲广场的面积最小．【点析】本题容易出现的思维误区：①未能理清草坪边长与休闲广场边长之间的关系；②求出目标函数后不会运用基本不等式求最值，缺乏必要的配凑、转化变形能力，从而无法利用基本不等式求最值，或者不会利用基本不等式等号成立的条件求变量的取值．五、忽略等号成立的条件导致错误例7、函数22()2f x x =+的最小值为_______________．【错解】2222223211()22222x x f x x x x x +++===++≥+++，所以函数()f x 的最小值为2．【错因分析】错解中使用基本不等式时，等号成立的条件为22122x x +=+，即22x +＝1，显然x 2≠－1，即等号无法取到，函数()f x 的最小值为2是不正确的． 【正解】()21222+++=x x x f ，令()()t t t g t x t 1,2,22+=≥+=.易知函数()tt t g 1+=在[)∞+，2上六、忽略等号成立的一致性导致错误例8、若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则11x y+的最小值为_______________．基本不等式：基础习题强化1．已知01x <<，则(1)x x -取最大值时x 的值为A B C D 2．若实数,a b 满足323a b +=，则84a b +的最小值是A ．B ．4C ．D ．3．若0,0,x y >>且22x y +=，则21x y+的最小值是A ．3BC ．3D ．924．若1a >，则211a a a -+-的最小值是A ．2B ．4C ．1D ．35．已知2212,202b m a a n b a -=+>=≠-（）（），则m ，n 之间的大小关系是 A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．不能确定6．己知,a b 均为正实数，且直线60ax by +-=与直线()3250b x y --+=互相垂直，则23a b +的最小值为 A ．12B ．13C ．24D ．257．已知0a >，0b >，11a b a b +=+，则12a b+的最小值为A ．4B ．C ．8D ．168．若正数a ，b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围为________________． 9．已知,,a b c +∈R ，且3a b c ++=，则111a b c++的最小值是________________．10．若实数a ，b 满足12a b+=ab 的最小值为________________． 11．设230<<x ，则函数4(32)y x x =-的最大值为________________． 12．已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________________时，22log log (2)a b ⋅取得最大值．能力提升13．已知a ，b 都是正实数，且满足2a b ab +=，则2a b +的最小值为A ．12B ．10C ．8D ．614．已知1,1a b >>，且11111a b +=--，则4a b +的最小值为 A ．13B ．14C ．15D ．1615．已知不等式1)()9ax y x y++≥（对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 A ．8B ．6C ．4D ．216．若正实数,a b 满足1a b +=，则A ．11a b+有最大值4 B ．ab 有最小值14C ．a b +有最大值2D ．22a b +有最小值2217．已知0,0a b >>，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为 A ．4B ．16C ．9D ．318．设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为A ．252B ．492C ．12D ．1419．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则111a b c++的最小值为_________________． 20．在4×＋9×＝60的两个中，分别填入一个自然数，使它们的倒数之和最小，则中应分别填入____________和____________．21．若a ，b ，c ＞0且(a ＋c )(a ＋b )＝423-，则2a ＋b ＋c 的最小值为________________． 22．已知正实数a ，b 满足：1a b +=，则222a ba b a b +++的最大值是________________．其他23．某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图所示）．设矩形的长为x 米，钢筋网的总长度为y 米． （1）列出y 与x 的函数关系式，并写出其定义域；（2）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？24．（1）求函数2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值；（2）已知正数a ，b 和正数x ，y ，若a ＋b ＝10，1a bx y+=，且x ＋y 的最小值是18，求a ，b 的值．25．已知函数2()21,f x x ax a a =--+∈R ．（1）若2a =，试求函数()(0)f x y x x=>的最小值； （2）对于任意的[0,2]x ∈，不等式()f x a ≤成立，试求a 的取值范围．26．（天津文理）已知a ，b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_______________． 27．（江苏）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为_______________．28．（山东理）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是A ．()21log 2aba ab b +<<+ B ．()21log 2a b a b a b<+<+ C ．()21log 2a b a a b b +<+<D ．()21log 2a ba b a b +<+< 29．（天津文理）若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为________________．30．（江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________________． 31．（山东文）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点（1，2），则2a b +的最小值为________________．【参考答案】1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】B8．【答案】[)+∞,9 9．【答案】3 10．【答案】 11．【答案】9212．【答案】4 13．【答案】C 14．【答案】B 15．【答案】C 16．【答案】C 17．【答案】B 18．【答案】A19．【答案】9 20．【答案】6 4 21．【答案】2 22．23．【答案】（1）9003(0150)y x x x=+-<<；（2）长为30米，宽为15米时，所用的钢筋网的总长度最小． 24．【答案】（1）9；（2）28a b =⎧⎨=⎩或82a b =⎧⎨=⎩． 25．【答案】（1）2-；（2）3[,)4+∞．26．【答案】0.25 27．【答案】9 28．【答案】B 29．【答案】4 30．【答案】30 31．【答案】8。
北师大版高中数学必修五同步练测：3.3基本不等式(含答案解析).docx
§3 基本不等式（数学北京师大版必修5）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1.下列函数中，最小值为4的函数是（）A.y=x+B.y=sin x+(0＜x＜π)C.y=D.y=+2.已知f(x)＝x+ 2(x＜0),则f(x)的（）A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为-4D.最小值为-43.设a＞1，b＞1且ab-（a+b）=1，那么（）A.a+b有最小值2（2+1）B.a+b有最大值（2+1）2C.ab有最大值2+1D.ab有最小值2（2+1）4.设，则a2+的最小值是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题(每小题5分，共20分) 5．若实数a，b满足ab=a+b+3，则a+b的取值范围是.6．当a＞1时，+a的最小值为. 7.已知关于x的不等式在x∈(a,+∞)上恒成立，则实数a的最小值为____________.8.某商场中秋节前30天月饼销售总量f(t)（单位：盒）与时间t(0＜t≤30，单位：天)的关系大致满足＝，则该商场前t天的平均销售量最少为______________.三、解答题(共60分)9．（12分）已知，，∈（0，+∞），求证：2ab+2bc+2ca≥a+b+c.10. (12分)求函数f（x）=2x（5-3x），x∈（0，53）的最大值.11．（12分）已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，求1x+1y的最小值.12.（12分）某单位决定投资3 200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元.计算：仓库底面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？13.（12分）某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x张(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x).(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由.§3 基本不等式（数学北京师大版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6． 7． 8．三、解答题9.10.11.12.13.§3 基本不等式（数学北京师大版必修5）参考答案一、选择题1.C 解析：A 项，y =x + 4≥4或x + 4≤-4，∴ A 项不正确；B 项等号不能取到；D 项，y log 34log 3与A项相同，所以只有C 项正确.2.C 解析：∵ x ＜0，∴ -x ＞0，∴ x + 1-2=-[(-x )+ 1]-2≤-2·1-2=-4，等号成立的条件是-x =1，即x =-1.3.A 解析：∵ ab-（a+b ）=1，ab ≤（2a b +）2， ∴ （2a b +）2-（a+b ）≥1，它是关于a+b 的一元二次不等式， 解得a+b ≥2（2+1）或a+b ≤2（1-2）（舍去）. ∴ a+b 有最小值2（2+1）. 又∵ ab-（a+b ）=1，a+b ≥2ab ，∴ ab-2ab ≥1，它是关于ab 的一元二次不等式， 解得ab ≥2+1，或ab ≤1-2（舍去）. ∴ ab ≥3+22，即ab 有最小值3+22，选A. 4. D 解析：a 2+1ab +1()a a b -=a 2-ab+ab+1ab +1()a ab - +1()a a b -+ ab +1ab≥2+2=4，当且仅当a （a-b ）=1且ab =1，即a =2，b =22时取等号. 二、填空题5. （-∞，-2］∪［6，+∞） 解析：∵ ab ≤，∴ ab =a+b+3≤，∴ （a+b ）2-4（a+b ）-12≥0， 即［（a+b ）-6］·［（a+b ）+2］≥0， ∴ a+b ≥6或a+b ≤-2，∴ 所求a+b 的取值范围是（-∞，-2］∪［6，+∞）.6.5解析：41a-+a=41a-+（a-1）+1≥24(1)1aa∙--+1=5，当且仅当41a-=a-1，即a=3时取等号，所以41a-+a的最小值为5.7. 32解析：因为x＞a，所以2x+ 2 =2(x-a)+ 2 +2a≥2 22 +2a=2a+4，即2a+4≥7，所以a≥32，即a的最小值为32.8.18 解析：平均销售量y= 21016 =t+ 16 +10≥18，当且仅当t= 16，即t=4∈［1，30］时等号成立，即平均销售量最少为18.三、解答题9.证明：∵a，b∈（0，+∞），∴2ab+b≥22a=2a，同理2bc+c≥22b=2b，2ca+a≥22c=2c，当且仅当a=b=c时，上述三式均取“=”.三式两边分别相加得2ab+b+2bc+c+2ca+a≥2a+2b+2c，即2ab+2bc+2ca≥a+b+c.10．解：∵x∈(0，53)，∴5-3x＞0.∴f（x）=2x·（5-3x）=23［3(53)x x-］2≤23·(3532x x+-)2=256.当且仅当3x=5-3x，即x=56时，等号成立.故f（x）的最大值为25 6.11.解：因为x＞0，y＞0，且x+2y=1，所以1x+1y=2x yx++2x yy+=1+2+2yx+xy≥3+23+22.当且仅当2yx=xy且x+2y=1，即x=2-1，y=1-22时，取等号.所以1x+1y的最小值为3+22.12.解：设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则有S=xy.由题意得40x+2×45y+20xy 3 200.由基本不等式得3 200≥2 y+20xy=120xy+20xy=120S+20S，∴S+6S≤160，即（S+16）（S-10）≤0.∵S+16＞0，∴S-10≤0，从而S≤100.因此S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x=90y，而xy=100，由此求得x=15，即铁栅的长应是15米.13.解：(1)设题中比例系数为k，若每批购入x张书桌，则共需分36批，每批价值为20x元，由题意得f(x)= 36·4+k·20x.由x=4时，f(x)=52，得k= 1680 = 15.∴f(x)= 144 +4x(0＜x≤36，x∈N).(2)由(1)知f(x)= 144 +4x(0＜x≤36，x∈N)，∴f(x)≥2 144448(元). 当且仅当144 =4x，即x=6时，上式等号成立.故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用.。
高中数学基本不等式专题50练(含答案)
高中数学基本不等式（含答案）【习题1】已知实数0,>y x 且2=xy ，则8482233+++y x y x 的最小值是 ．【答案】1【习题2】若实数0>y ,x 且1=xy ，则y x 2+的最小值是 ，yx y x 2422++的最小值是 ． 【答案】 22，2【习题3】已知,x y 满足方程210x y --=，当x >时，则353712x y x y m x y +-+-=+--的最小值为_______. 【答案】8【习题4】已知y x ,为实数，且1)2)((=-+y x y x ，则222y x +的最小值为_______. 【答案】3322+【习题5】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则a b +的取值范围为 . 【答案】]22,22[-【习题6】已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则ab 的最小值为 .【答案】12-【习题7】若实数y x ,满足02422=+++y y x x ，则y x +2的范围是 ． 【答案】]0,2[-【习题8】ABC ∆的三边,,a b c 成等差，且22221a b c ，则b 的取值范围是 ． 【答案】]7,6(【习题9】已知,a b <二次不等式20ax bx c ++≥对任意实数x 恒成立，则24a b cM b a++=-的最小值为___________【答案】8 【习题10】实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，则maxmin11S S += ．【答案】85【习题11】非零向量,a b 夹角为60，且1a b -=，则a b +的取值范围为 ． 【答案】]3,1(【习题12】已知0,0<>b a ，且9)12)(14(-=+-b a ，若06)2(2≥---abx x b a 总成立，则正实数x 的取值范围是_______. 【答案】),1[+∞【习题13】正实数y x ,满足111=+yx ，则2210x y xy +-的最小值为 .【答案】36-【习题14】已知实数y x ,满足,32,0,0=+>>y x y x 则xyyx +3的最小值为 ，xy y x ++224 的最小值为 ． 【答案】3627+；845【习题15】已知直线21ax by +=（其中0ab ≠）与圆221x y +=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且0120AOB ∠=，则2212a b +的最小值为 .【答案】2【习题16】设R b a ∈,，满足43=+-ab b a ，则33-+b a 的最小值是______． 【答案】332-【习题17】已知正实数a ，b 满足：1a b +=，则222a ba b a b+++的最大值是 . 【答案】3332+ 【习题18】已知正数y x ,满足1≤xy ，则yx M 21111+++=的最小值为________. 【答案】222-【习题19】已知0>a ，0>b ，且12122=+++ba a ，则b a +的最小值是_______，此时=a _______.【答案】212+；2【习题20】已知0,0a b >>，且1a b +=，则1122a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 ；221aba +的最大值是 . 【答案】16；413- 【习题21】已知实数x ，y 满足3xy x y -+=，且1x >，则(8)y x +的最小值是 （ ） A ．33 B ．26 C ．25 D ．21 【答案】C【习题22】若实数,x y 满足2x y xy -+≥，则x y +的最小值是 . 【答案】2【习题23】已知实数a ，b 满足：1,2a b R ≥∈，且||1a b +≤，则12b a +的取值范围是 ．【答案】]23,12[-【习题24】实数y x ,满足22222=+-y xy x ，则222y x +的最小值是________. 【答案】224-【习题25】已知实数R b a ∈,，若322=+-b ab a ，则1)1(222+++b a ab 的值域为 ．【答案】]716,0[【习题26】设b a ,为正实数，则ba bb a a +++2的最小值为 . 【答案】222-【习题27】若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是 ． 【答案】5【习题28】若存在正实数y ，使得yx x y xy 451+=-，则实数x 的最大值为_________. 【答案】51【习题29】若0x >，0y >，则xyy x x ++2的最小值为___________． 【答案】212-【习题30】已知正数y x ,满足yx yx xy 3+-=，则y 的最大值为__________，当且仅当___________.【答案】31；1=x【习题31】已知,1,0=+>>b a b a 则bb a 214+-的最小值等于 . 【答案】9【习题32】已知)0,0(24122<<-+=y x xy y x ，则y x 2+的取值范围为__________. 【答案】)1,2[--【习题33】已知实数y x ,满足322=++y xy x ，则xy 的最小值为________，22y xy x +-的最小值为_______.【答案】3-，1【习题34】已知实数b a ,满足122=+-b ab a ，则)(|2|b a b a +-的取值范围是________. 【答案】]3,3[-【习题35】已知0>a ，0>b ，且满足ab a b a +=+23，则b a +2的最小值为________. 【答案】223+【习题36】已知非负实数y x ,满足92422222=+++y x y xy x ，则xy y x ++)(22的最大值为 . 【答案】241+【习题37】若164622=++xy y x ，R y x ∈,，则22y x -的最大值为_______.【答案】51【习题38】设正实数y x ,，则21||y xy x ++-的最小值为（ ）A. 47B. 2233C. 2D. 32【答案】A【习题39】已知b a ,均为正数，且1=+b a ，1>c ，则12)121(2-+⋅-+c c ab a 的最小值为_________. 【答案】23【习题40】设实数0,0>>y x 且满足k y x =+，则使不等式2)22()1)(1(kk y y x x +≥++恒成立的k 的最大值为______.【答案】522+【习题41】若1≥≥≥z y x ，且4=xyz ，则222222)(log )(log )(log z y x ++的取值范围是______.【答案】]4,34[【习题42】已知正实数y x ,满足4232=++y x xy ，则y x xy 45++的最小值为________. 【答案】55【习题43】已知实数y x ,满足yxyx9933+=+，则yx yx 332727++的取值范围是_________.【答案】9[1,]8【习题44】已知实数b a ,满足1=ab ，且32≥>b a ，则22b a ba +-的最大值为___________.【答案】3097【习题45】若正数b a ,满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】B 【习题46】若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【答案】(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【习题47】已知y x ,为正实数，若12=+y x ，则xyxy x ++22的最小值为 ．【答案】222+【习题48】若正数y x ,满足12422=+++y x y x ，则xy 的最大值为_________. 【答案】432- 【习题49】若实数a 和b 满足132923242++=⨯+⋅-⨯b a b b a a ， 则b a 32+的取值范围为__________________． 【答案】]2,1(【习题50】设+∈R b a ,,4222=-+b a b a ，则ba 11+的最小值是 【答案】24。
基本不等式 同步练习5北师大版必修5.doc
3XL1-3 23X 、丿-4-第六章第四节基本不等式命题报告难度及题号知识点容易题 （题号）中等题 （题号）稍难题 （题号）利用基本不等式证明不等式11利用基本不等式求最值 1、2、7 3、4、8 10 基本不等式的实际应用65、912一、选择题1.已知2（xV0）,则沧）有A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为一4D.最小值为一4解析：'.'x <0,- x > 0,+ £-2 = - （-* + 三p - 2W - 2 2 = - 4,等号成立的条件是 _x = 即 x答案：C2.若0VxVl,则/（x ）=x （4-3x ）取得最大值时，x 的值为解析：V0<x<l, .•.4-3x>0, •*.x(4 - 3x) = £・3X (4 - 3x)2当且仅当3x = 4 - 3x,即x = j 时取得等号. 答案:D3. （2009•童庆高考）已知a>0, b>0,贝1右+*+2価的最小值是 A. 2B. 2y/2C. 4解析：•.弓+ * + 2価M 壽+ 2価M2作& 立，即。
=方=1时，不等式取最小值4・ 答案:c4. 已知圆X 2+J 2+2X —4y + l = 0关于直线lax —by + 2 = 0(a>0,方>0)对称，贝吐+十的最小值是时，等号()A. 4B. 6 C・ 8 D・ 94 i 4(a + b) 解析：由圆的对称，性可得，直线勿兀一〃y+ 2 = 0必过圆心(_1,2),所以a + b = l•所以：+方=—-—+ 宇=乎+扌+诊2书| +5 = 9,当且仅当乎吟即a = 2b时取等号.答案：D5.设M是AABC内一点，且AABC的面积为1,定义n, p),其中加、"、p分别是/\MBC, △MCA, /\MAB 的面积，若_AM)=g, x, y),贝斗+扌的最小值是()A. 8B. 9C. 16D. 18解析：由AABC的面积为Z\MBC, A.MCA,的面积之和，所以£ + x+y = l,即x+y =专，£ +-=(- + -)(2x + 2j) = 10 + —+ 込1&y v x y八八y x当且仅当爭=¥，即y = 2x时，即x = £, 时取等号.答案：D6.(2010•惠州模拟)某商场中秋前30天月饼销售总量几)与时间/(0VW30)的关系大致满足/(Z)=/2+10Z + 16,则该商场前/天平均售出(如前10天的平均售出为誥)的月饼最少为()A. 18B. 27C. 20D. 16解析：平均销售量y 哼="+岁+"=/ + 芋+ 10^18.当且仅当t = ¥，即/ = 4G [1,30]等号成立，即平均销售量的最小值为18.答案:A二、填空题7.(2010•南京模拟)若log m n = -l,则3n+m的最小值是___________ .解析：•.•log zw M= - 1, .•・加「1 = 〃，J.mn = 1, Vn >0,加>0 且加工1,/. 3/z + m^2yl3mn = 2羽.答案：2yf328.函数丿=注孑(兀HO)的最大值为 ______ ,此时兀的值为__________ ・x2 1 11解析：厂尹丽苛x v当且仅当*2=壬，即X = ±V5时取等号.答案：|9.当a>0, aHl时，函数/(x)=log a(x—1)+1的图象恒过定点A,若点A在直线mx—y+n=0±,则4"'+2"的最小值是_________ .解析：4(2,1),故2m + n = l....4，" + 2"三莎=2^22ra+n = 2^2.当且仅当4" = 2",即2m = n,即”=*, "2=扌时取等号..•.4'"+ 2"的最小值为2迈.答案：2^2三、解答题10.⑴求函数y =x(a—2x)(x>0, a为大于2x的常数)的最大值；(2)设X>-1,求函数y = a+；*；+2)的最值.解：(l)Vx>0, a>2x,/.j = x(a - 2x) = ^X2x(a - 2r)A 2x + (a - 2x) 2 分[~~1~~]2=p2 当且仅当x = ^时取等号，故函数的最大值为务(2)Vx> -1,・・・兀 + 1>0,设兀 + 1 = z>0,贝•] x = z- 1,. (z + 4)(z + 1) / + 5z + 4 4 _..y = ---------------- = = z + _ + 5当且仅当z = 2即兀=1时上式取等号，・・・兀=1时，函数y有最小值9,无最大值.11・已知：a,方是正常数，x, yER*,且a+方= 10, ^+^=1,兀+y的最小值为18,求a、方的值. 兀y= a + b +~~ ++ b + 2y[ab当且仅当bx2 = ay2时等号成立./.x +y的最4、值为a + b + 2y[ab = 18又a +方=10 •①.\2yfab = 8,:.ab = 16 •②由①②可得a = 2,方=8或a = 8, b = 2・12•某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积匚x为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248 元/米，池底建造单价为80元咪彳，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解:(1)设污水处理池的宽为兀米，则长为号^米•小、上一人2X162 1296X100则总造价沧)=400 X (2x + —-―) + 248 X2x +80X162 = 1 296x + —— -------- + 1 2960=1 296(x + 爭)+ 12 960^1296X2 yj x•譽 + 12 960 = 38 880(元)，当且仅当x =譽(x>0),即x = 10时取等号.当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元.0 < x = 16 ](2)由限制条件知( 162 ，・・・10—WxW6・0< ——W16 8x设g(x) = x + ¥^(10暫WxW16),X o由函数性质易知g（x）在[io|, 16]上是增函数，当x = 10 g时（此时些^ = 16）,o Xg（X）有最小值，即/U）有最小值1296 X（10 | + 需）+ 12960 = 38 882（元）.当长为16米，宽为10 +米时，总造价最低，为38 882元.。
高中数学必修五同步练习题库：基本不等式(选择题：较难)
基本不等式（选择题：较难）1、若正数满足，且的最小值为18，则的值为（）A．1 B．2 C．4 D．92、，动直线过定点A，动直线过定点，若与交于点(异于点)，则的最大值为A． B． C． D．3、若函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．4、若，，，则的最小值是A． B． C． D．5、如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为（）A．2 B． C． D．6、若，，，则的最小值是A． B． C． D．7、已知实数满足，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．48、如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（）A． B． C． D．9、已知，则的最小值为（）A． B． C． D．10、已知等差数列的公差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A．3 B．4 C． D．11、半圆的直径AB＝4, O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是（）A．2 B．0 C． D．12、抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A．1 B． C．2 D．13、抛物线的焦点为F，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（）A． B． C． D．14、已知，且满足，那么的最小值为（）A．3﹣ B．3+2 C．3+ D．415、曲线（）在点处的切线的斜率为2，则的最小值是（）A．10 B．9 C．8 D．16、函数的值域为（）A． B． C． D．17、，动直线过定点A，动直线过定点，若与交于点 (异于点)，则的最大值为A． B． C． D．18、抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A． B． C． D．19、已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A． B． C． D．20、已知等差数列的等差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A． B． C． D．21、定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，我们可以把1拆为若干个不同的单位分数之和，如：，，，依此类推，可得：，其中，设，，则的最小值为（）A． B． C． D．22、设且，则的最小值是A． B． C． D．23、已知，则的最小值是A．6 B．5 C． D．24、设正实数满足.则当取得最大值时，的最大值为() A．0 B． C．1 D．325、已知函数，若，，使得，则实数的取值范围是()A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．(－∞，2] D．[2，＋∞)26、已知等差数列的等差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A． B． C． D．27、已知偶函数是定义在上的可导函数，其导函数为.当时，恒成立.设，记，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．28、已知函数，则不等式成立的概率是（）A． B． C． D．29、在中,角所对的边分别为，若，则当角取得最大值时，的周长为（）A． B． C． D．30、锐角三角形ABC的三边长成等差数列，且，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．（6，7]31、若，，，则的最小值为（）A． B． C． D．32、在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为是抛物线上位于第一象限内的任意一点，是线段上的点，且满足，则直线的斜率的最大值为（）A． B． C． D．33、已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．34、正项等比数列｛a n｝中，存在两项a m，a n（m，n）使得a m a n=16a12，且a7=a6+2a5，则+的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．835、已知圆的半径为1，为该圆上四个点，且，则的面积最大值为（）A．2 B．1 C． D．36、长方体中，,,,点是平面上的点，且满足，当长方体的体积最大时，线段的最小值是( )A． B． C．8 D．37、若直线过点，则的最小值等于（）A．6 B．3 C．7 D．438、若直线和直线相交于一点，将直线绕该点依逆时针旋转到与第一次重合时所转的角为，则角就叫做到的角，，其中分别是的斜率，已知双曲线：的右焦点为，是右顶点，是直线上的一点，是双曲线的离心率，，则的最大值为（）A． B． C． D．39、中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（）A． B． C． D．40、若正数满足则的最小值是（）A． B． C． D．41、已知函数，对任意的，恒成立，则的最小值为（）A．3 B．2 C．1 D．042、已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为（）A．8 B．4 C．2 D．143、中，为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（）A． B． C．6 D．844、圆：和圆：有三条公切线，若，，且，则的最小值为（）A．1 B．3 C．4 D．545、在中，角，，的对边分别为，，，且，则角的最大值为（）A． B． C． D．46、抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A． B． C． D．47、抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A． B． C． D．48、设正实数，满足，，不等式恒成立，则的最大值为（）A． B． C． D．49、定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，我们可以把1拆为若干个不同的单位分数之和，如：，，，依此类推，可得：，其中，设，，则的最小值为（）A． B． C． D．50、已知函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（）A．3 B．C．4 D．851、若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．52、已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．53、已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．54、设均为正实数，且，则的最小值为（）A．4 B． C．9 D．1655、已知是内的一点，且，若的面积分别为，则的最小值为（）A． B． C． D．56、已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数），与圆x+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则+的最小值为（）A．4 B．2 C．5 D．857、设，则的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．58、设，对于使成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做的上确界．若，且，则的上确界为（）A． B． C． D．59、已知x＞0，由不等式x+≥2=2，x+=≥3=3，…，可以推出结论：x+≥n+1（n∈N*），则a=（）.A．2n B．3n C．n2 D．n n60、已知关于的不等式的解集是，且，则的最小值是（）A． B．2 C． D．161、下列推理正确的是()A．如果不买彩票，那么就不能中奖．因为你买了彩票，所以你一定中奖B．因为a>b，a>c，所以a－b>a－cC．若a>0，b>0，则＋≥D．若a>0，b<0，则62、对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 ()A．1 B．2 C．3 D．463、已知,且,成等比数列,则xy( )A．有最大值e B．有最大值 C．有最小值e D．有最小值64、对于函数y=f(x)(x∈I),y=g(x)(x∈I),若对任意x∈I,存在x0使得f(x)≥f(x0),g(x)≥g(x0)且f(x0)=g(x0),则称f(x),g(x)为“兄弟函数”,已知f(x)=x2+px+q,g(x)=是定义在区间上的“兄弟函数”,那么函数f(x)在区间上的最大值为()A． B．2 C．4 D．65、已知f(x)=log2(x-2),若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3,则m+n的最小值为()A．5 B．7 C．8 D．966、设第一象限内的点满足约束条件，若目标函数的最大值为40，则的最小值为（）A． B． C．1 D．467、定义域为的函数的图象的两个端点为,是图象上任意一点，其中，向量，若不等式恒成立，则称函数在上“阶线性近似”. 若函数上“阶线性近似”，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D．68、不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是( )A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－4,2) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)69、已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC外接的球表面积等于()．A．8π B．16π C．48π D．不确定的实数70、在直角坐标系中，定义两点之间的“直角距离”为，现给出四个命题：①已知，则为定值；②用表示两点间的“直线距离”，那么；③已知为直线上任一点，为坐标原点，则的最小值为；④已知三点不共线，则必有.A．②③ B．①④ C．①② D．①②④参考答案1、B2、B3、D4、B5、C6、B7、B8、B9、C10、B11、D12、D13、D14、B15、B16、C17、B18、D19、B20、B21、D22、A23、C24、C25、A26、B27、B28、B29、C30、C31、A32、D33、D34、B35、B36、B37、A38、C39、B40、D41、A42、B43、D44、A45、A46、D47、D48、C49、D50、D51、B52、D53、D54、D55、B56、A57、C58、D59、D.60、A61、D62、A63、C64、B65、B66、B67、C68、C69、B70、C【解析】1、由题意，应用基本不等式可得令则方程，所以是方程的根，所以选B.点睛：（1）应用基本不等式构造关于的不等式.(2)换元法将不等式转化为一元二次不等式.(3)结合二次函数图像知是一元二次方程的根.2、由题意可得：A（1，0），B（2，3），且两直线斜率之积等于﹣1，∴直线x+my﹣1=0和直线mx﹣y﹣2m+3=0垂直，则|PA|2+|PB|2=|AB|2=10≥．即.故选B.点睛：含参的动直线一般都隐含着过定点的条件，动直线，动直线l2分别过A（1，0），B（2，3），同时两条动直线保持垂直，从而易得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，然后借助重要不等式，得到结果.3、函数的定义域为，，由已知有，所以对于恒成立，恒成立，所以，而，当且仅当时等号成立，所以，选D.点睛：本题主要考查用导数研究函数的单调性，基本不等式等，属于中档题。
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10， 又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米． 练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ， 即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。
高中数学必修五同步练习题库：基本不等式(困难)
基本不等式（困难）1、（原创）已知，则的最小值是（）A． B．16 C． D．172、阅读：已知、，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数、、，，求证：.3、（满分12分）设命题P：关于的不等式：的解集是R，命题Q：函数的定义域为R，若P或Q为真，P且Q为假，求的取值范围。
参考答案1、D2、（1）9；（2）18；（3）证明见解析.3、【解析】1、。
令，又是增函数，故选D.2、试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2）， 7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.3、试题分析：1．判断含有逻辑联结词的命题的真假，关键是对逻辑联结词“且”“或”“非”含义的理解．2．解决该类问题的基本步骤：(1)弄清构成复合命题中简单命题p和q的真假；(2)明确其构成形式；(3)根据复合命题的真假规律判断构成新命题的真假．3．对于已知命题的真假求字母范围的问题，需将条件转化为相关的不等式(组)来求解试题解析：P真Q真恒成立∵（1）当时，恒成立，∴（2）∴∴若P真而Q假，则或，若Q真而P假，则∴所求的取值范围是。
考点：含有逻辑联结词的命题的真假问题。
基本不等式练习题带答案
06
基本不等式的扩展 知识
基本不等式的推广形式
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平方和与平方差形式：a²+b² ≥ 2ab 和 a²-b² ≥ 2ab
• 题目：已知 x > 0，y > 0，且 xy = 4，则下列结论正确的是 ( ) A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 答案： A
• A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 • C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 • 答案：A
基本不等式的应用：在数学、物 理、工程等领域有广泛的应用， 用于解决最优化问题、估计值域 和解决一些数学竞赛问题等。
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基本不等式的形式：常见的形式 有AM-GM不等式、CauchySchwarz不等式和Holder不等式 等。
基本不等式的证明方法：可以通 过代数、几何和概率统计等方法 证明基本不等式。
• 题目：若 a > b > c，且 a + b + c = 1，则下列结论正确的是 ( ) A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab 答案：B
• A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab • C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab
高中数学必修5常考题型：基本不等式Word版含解析
【知识梳理】1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2．基本不等式（1）有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．（2）不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (3)变形：ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a ＋b ≥2 ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时等号成立)．【常考题型】题型一、利用基本不等式证明不等式【例1】 已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.[证明] 由基本不等式可得：a 4＋b 4＝(a 2)2＋(b 2)2≥2a 2b 2，同理：b 4＋c 4≥2b 2c 2，c 4＋a 4≥2a 2c 2，∴(a 4＋b 4)＋(b 4＋c 4)＋(c 4＋a 4)≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2a 2c 2，从而a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.【类题通法】1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．【对点训练】1．已知a ，b 是正数，求证21a ＋1b ≤ab . 证明：∵a ＞0，b ＞0，∴1a ＋1b≥21ab ＞0，∴21a ＋1b ≤221ab ＝ab ， 即21a ＋1b≤ab (当a ＝b 时取“＝”). 题型二、利用基本不等式求最值【例2】 (1)已知m ，n ＞0，且m ＋n ＝16，求12mn 的最大值． (2)已知x ＞3，求f (x )＝x ＋4x －3的最小值； (3)设x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y的最小值． [解] (1)∵m ，n ＞0且m ＋n ＝16，所以由基本不等式可得mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝⎝⎛⎭⎫1622＝64， 当且仅当m ＝n ＝8时，mn 取到最大值64.∴12mn 的最大值为32. (2)∵x ＞3，∴x －3＞0，4x －3＞0， 于是f (x )＝x ＋4x －3＝x －3＋4x －3＋3≥2 (x －3)·4x －3＋3＝7， 当且仅当x －3＝4x －3即x ＝5时，f (x )取到最小值7. (3)法一：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 y x ·2x y＝3＋22， 当且仅当y x ＝2x y，即y ＝2x 时，等号成立， 解得x ＝1－22，y ＝2－1， ∴当x ＝1－22，y ＝2－1时，1x ＋1y 有最小值3＋2 2. 法二：1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·1＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (2x ＋y )＝3＋2x y ＋y x≥3＋2y x ·2x y ＝3＋22， 以下同解法一．【类题通法】1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式a ＋b 2≥ab 成立的前提条件，a >0，b >0； (2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．【对点训练】2．(1)已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值；(2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．(3)已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值． 解：(1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2 ab ＝2 100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20.(2)∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6，∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22 ＝16·⎝⎛⎭⎫622＝32， 当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. (3)∵1x ＋9y＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )×⎝⎛⎭⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9x y＋10， 又∵x ＞0，y ＞0，∴y x ＋9x y ＋10≥2y x ×9x y＋10＝16， 当且仅当y x ＝9x y，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ，1x ＋9y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16. 题型三、利用基本不等式解应用题【例3】 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[解] (1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18，设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .由于2x ＋3y ≥2 2x ·3y ＝2 6xy ，∴2 6xy ≤18，得xy ≤272， 即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3，故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大．(2)法一：由条件知S ＝xy ＝24，设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .∵2x ＋3y ≥2 2x ·3y ＝2 6xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m 时，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．法二：由xy ＝24，得x ＝24y. ∴l ＝4x ＋6y ＝96y＋6y ＝6⎝⎛⎭⎫16y ＋y ≥6×2 16y ·y ＝48，当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立．此时x ＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．【类题通法】在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)根据实际背景写出答案．【对点训练】3．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200 万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100 万元，每辆车第一年各种费用约为16 万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16 万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x (x ∈N *)的函数关系式；(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？解：(1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元，总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x )＝200＋12x (x ＋1)·16(万元)． ∴y ＝4⎣⎡⎦⎤100x －200－12x (x ＋1)·16 ＝16(－2x 2＋23x －50)．(2)年平均利润为 y x＝16⎝⎛⎭⎫23－2x －50x ＝16⎣⎡⎦⎤23－2⎝⎛⎭⎫x ＋25x . 又x ∈N *，∴x ＋25x ≥2 x ·25x ＝10， 当且仅当x ＝5时，等号成立，此时y x≤16×(23－20)＝48. ∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48 万元．【练习反馈】1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )有( ) A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：选C ∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号． 2．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是( )A ．a ＞b ＞a ＋b 2＞abB ．a ＞a ＋b 2＞ab ＞bC ．a ＞a ＋b 2＞b ＞abD ．a ＞ab ＞a ＋b 2＞b 解析：选B a ＝a ＋a 2＞a ＋b 2＞ab ＞b ·b ＝b ，因此只有B 项正确． 3．若x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则x ·y 的最大值为________． 解析：1＝x ＋4y ≥2 4xy ＝4 xy ，∴xy ≤116，当且仅当x ＝4y 时等号成立． 答案：1164．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y的最小值为________． 解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10.则2x ＋5y ≥2 10xy ＝2，故⎝⎛⎭⎫2x ＋5y 最小值＝2， 当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立．答案：25．已知a ，b ，c 均为正数，a ，b ，c 不全相等．求证：bc a ＋ac b ＋ab c＞a ＋b ＋c . 证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ac b≥2 abc 2ab ＝2c ， ac b ＋ab c≥2 a 2bc bc ＝2a ， bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c＝2b . 又a ，b ，c 不全相等，故上述等号至少有一个不成立． ∴bca ＋acb ＋abc ＞a ＋b ＋c .。
高中数学必修五同步练习题库：基本不等式(填空题：较难)
基本不等式（填空题：较难）1、（2014年苏州B14）已知，，，则的最小值是______．2、已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________3、设的最小值为___________4、若正实数x，y满足2x+y=2，则的最小值是_____．5、已知正数满足则的最小值为__________．6、已知圆，圆上的点到直线的最短距离为，若点在直线位于第一象限的部分，则的最小值为__________．7、等比数列的首项为2，公比为3，前项的和为，若的最小值为____．8、已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是________9、已知半径为的动圆经过圆的圆心，且与直线相交，则直线被圆截得的弦长最大值是__________．10、已知三次函数在上单调递增，则的最小值为__________．11、已知，，则的最小值为___________.12、已知函数若函数只有一个零点，则函数的最小值是_________.13、定义：关于的不等式的解集叫的邻域。
若的邻域为区间，则的最小值是___________14、设的最小值为___________15、已知函数，给出下列3个命题：：若，则的最大值为16；：不等式的解集为集合的真子集；：当时，若恒成立，则，那么，这3个命题中所有的真命题是______.16、已知两正实数，满足，则的最大值为__________．17、如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形为一水池，其余的地方种花，若，，设的面积为，正方形的面积为，当固定，变化时，则的最小值是__________．18、已知，且，则的最小值是___．19、以为钝角的中，，当角最大时，面积为________．20、已知直线，是之间的一定点，并且点到的距离分别为1，2，是直线上一动点，，与直线交于点，则面积的最小值为__________．21、在数列中，首项不为零，且，为的前项和．令，则的最大值为__________．22、记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]＝2，[1.5]＝1，[－0.3]＝－1.设a为正整数，数列{x n}满足x1＝a，x n＋1＝ (n∈N*)．现有下列命题：①当a＝5时，数列{x n}的前3项依次为5,3,2；②对数列{x n}都存在正整数k，当n≥k时总有x n＝x k；③当n≥1时，x n＞－1；④对某个正整数k，若x k＋1≥x k，则x k＝[]．其中的真命题有________．23、设S n是等比数列{a n}的前n项和，a n>0，若S6－2S3＝5，则S9－S6的最小值为__________．24、在公差不为0的等差数列中，，记的最小值为m；若数列满足，，是1与的等比中项，若对于任意恒成立，则的取值范围是__________25、已知正数满足则的最小值为__________．26、如图，抛物线的一条弦经过焦点，取线段的中点，延长至点，使，过点，作轴的垂线，垂足分别为，则的最小值为__________．27、已知的内角满足，则的最大值为______．28、已知函数与函数在区间上都有零点，则的最小值为______．29、已知正数满足，则的最大值为__________．30、（2016年苏州B12）已知正实数满足，则的最小值为_______.31、（2011年苏州B13）已知0 <x< 4，则的最小值为___________.32、已知变量满足约束条件，若不等式恒成立，则实数的最大值为 __________．33、等比数列的首项为2，公比为3，前项的和为，若的最小值为____．34、设，，为正实数，满足，则的最小值是__________．35、在中，，其面积为，则的最大值是__________．36、如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点A、B、C、D四点，则的最小值为__________．37、设分别为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上任一点，当的最小值为时，则该双曲线的离心率的取值范围是__________．38、中，是上的点，，则的最大值是__________．39、在△中, ,当△的周长最短时,的长是_______.40、已知函数和，若存在实数使得，则实数的取值范围为__________．41、若正实数a,b满足，则的最大值为__________.42、已知，，，且，则的最小值为．43、已知点到点和的距离相等，则的最小值为．44、设正实数满足．则当取得最小值时，的最大值为_____45、已知，且，则的最小值是 .46、已知且，则的最小值为______.47、设,则的最大值为________.48、不等式的解集为__________.49、某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量（单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度（假设车辆以相同速度行驶，单位：米/秒）平均车长（单位：米）的值有关，其公式为（1）如果不限定车型，，则最大车流量为_______辆/小时；（2）如果限定车型，，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加辆/小时.50、若则的最小值为_________.51、设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则+的最小值是________.52、已知点的距离相等，则的最小值为．53、的最大值和最小值的乘积为；54、下列结论中①函数有最大值②函数（）有最大值③若，则正确的序号是_____________.55、若实数满足，则的最大值___________；56、已知，且，则的最大值为参考答案1、2、3、4、5、6、7、8、.9、10、11、312、13、14、15、16、17、18、19、20、221、22、①③④23、2024、25、26、427、28、-129、30、31、32、33、34、835、36、37、38、39、40、41、42、43、.44、45、46、47、48、49、（1）1900；（2）10050、151、852、53、54、①③55、56、【解析】1、，所以等号成立条件，解得，所以最小值，填。
基本不等式练习题(带答案)
基本不等式练习题(带答案)基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 $a\in R$，下列不等式恒成立的是（）A。
$a^2+1>a$B。
$\frac{1}{2}<a<1$C。
$a^2+9>6a$D。
$\log_{a+1}。
\log_{|2a|}$2.若 $|a|<|b|$ 且 $a+b=1$，则下列四个数中最大的是（）A。
$1$B。
$2$C。
$a^2+b^2$D。
$a$3.设 $x>0$，则 $y=3-\frac{3}{x}$ 的最大值为（）A。
$3$B。
$\frac{3}{2}$C。
$\frac{3}{4}$D。
$-1$4.设$x,y\in R$，且$x+y=5$，则$3x+3y$ 的最小值是（）A。
$10$B。
$6\sqrt{3}$C。
$4\sqrt{10}$D。
$18$5.若 $x,y$ 是正数，且 $\frac{1}{4x^2}+\frac{1}{9y^2}=1$，则 $xy$ 有（）A。
最小值 $\frac{1}{36}$B。
最大值 $\frac{1}{36}$C。
最小值 $\frac{16}{9}$D。
最大值 $\frac{16}{9}$6.若 $a,b,c\in R$，且 $ab+bc+ca=1$，则下列不等式成立的是（）A。
$a^2+b^2+c^2\ge 2$XXX 3$C。
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 2$D。
$a+b+c\le 3$7.若 $x>0,y>0$，且 $x+y\le 4$，则下列不等式中恒成立的是（）A。
$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\le 1$B。
$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\ge 1$C。
$xy\ge 2$D。
$xy\le 1$8.若 $a,b$ 是正数，则$\frac{a+b}{2},\sqrt{ab},\frac{2ab}{a+b}$ 三个数的大小顺序是（）A。
高中数学必修5同步测试题 第3章 第3节 基本不等式 缺答案
《基本不等式》同步测试题1、若R c b a ∈,,，且b a >,则下列不等式一定成立的是（ )A ．c b c a -≥+B ．bc ac >C ．02>-b a cD ．0)(2≥-c b a 2、若a ∈R，下列不等式恒成立的是（ ） A ．21a a +> B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>3、 若0a b <<且1a b +=,则下列四个数中最大的是（ ) Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 4、下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②错误!≤2；③x 2＋错误!≥1,正确的个数是( ）．A ．0B ．1C ．2D ．35、设x 〉0，则133y x x=--的最大值为（ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－1 6、若x ， y 是正数，且141x y +=，则xy 有（ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1167、下列函数中,最小值为4的是( ) Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<<Ｃ．e4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+ 8、设y x ,满足,404=+y x 且,,+∈R y x 则y x lg lg +的最大值是 。
9、某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =_______10、已知正数y x ,满足12=+y x ,则yx 11+的最小值为_______ 11、设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是_______ 12、 函数y =的最大值为 。
13、若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0,则ab 的最大值为_______14、已知正数x 、y 满足811x y+=，则2x y +的最小值是_______ 15、已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则错误!＋错误!的最小值为________;16、当x ＞0时，则f (x )＝错误!的最大值为________．17、已知x ＞1，则f (x ）＝x ＋1x －1的最小值为________． 18、已知0＜x ＜错误!,则y ＝2x －5x 2的最大值为________．19、若x ，y ∈(0，＋∞）且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．20、若对任意x ＞0，错误!≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．21、已知x ＞0，y ＞0,xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立,则实数m 的最大值是________．。
完整word版)高中数学必修五基本不等式练习题
完整word版)高中数学必修五基本不等式练习题基本不等式练题一、单项选择1.已知$x>0$，函数$y=\frac{4}{x}+x$的最小值是（）A．4.B．5.C．6.D．82.在下列函数中，最小值为2的是（）A $y=x+1$B $y=3x+3-x^2$C $y=\log_{10}x+\frac{11}{\pi}$D $y=\sin x+\log_{10}(x\sin^2x)$3.已知$\frac{5}{3}x+\frac{3}{5}y=1(x>0,y>0)$，则$xy$的最小值是（）A．15.B．6.C．60.D．14.已知$x>1,y>1$且$xy=16$，则$\log_2x\cdot\log_2y$（）A．有最大值2.B．等于4.C．有最小值3.D．有最大值465.若$a,b\in\mathbb{R}$，且$ab>0$，则下列不等式中恒成立的是（）A．$a^2+b^2>2ab$。
B．$a+b\geq2ab$。
C．$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>\frac{2}{a+b}$。
D．$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2$6.若正数$a$、$b$满足$ab=a+b+3$，则$a+b$的取值范围是（）A．$[9,+\infty)$。
B．$[6,+\infty)$。
C．$(0,9]$。
D．$(0,6)$7.已知正项等比数列$\{a_n\}$满足$a_7=a_6+2a_5$。
若存在两项$a_m$,$a_n$使得$a_ma_n=4a_1$，则$(19+\sqrt{17})$的最小值为（）A．3456.B．811.C．1417.D．198.设$0<b<a<1$，则下列不等式成立的是()A．$a+b>1$。
B．$a+b1$9.已知$a+2b=2(a,b>0)$，则$ab$的最大值为( )A。
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基本不等式（简答题：较难）1、（1）已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值；（2）已知x>0，y>0且＝1，求x＋y的最小值．2、已知曲线上有一点列过点在x轴上的射影是，且1＋2＋3＋…＋n＝2n+1－n－2.（n∈N*）（1）求数列{}的通项公式（2）设四边形的面积是，求（3）在（2）条件下，求证： .3、在平面直角坐标系中，已知椭圆，如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.（1）求的最小值；（2）若，求证：直线过定点.4、如图设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为4840 cm2，画面上下边要留8cm空白，左右要留5cm空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画面所用纸张面积最小？5、设函数的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中为自然对数的底数.（1）求的解析式，并证明：当时，；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．6、已知关于x不等式x2﹣2mx+m+2<0（m∈R）的解集为M．（1）当M为空集时，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，求的最大值；（3）当M不为空集，且M [1，4]时，求实数m的取值范围．7、已知直线l经过点P（2，2）且分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A、B两点，O为坐标原点.(1)求面积的最小值及此时直线l的方程；(2)求的最小值及此时直线l的方程.8、. 问：是否存在正数m，使得对于任意正数，可使为三角形的三边构成三角形？如果存在：①试写出一组x,y,m的值，②求出所有m的值；如果不存在，请说明理由.9、若，，且|k＋b|＝|－kb|(k＞0)．（Ⅰ）用k表示数量积；（Ⅱ）求的最小值.10、已知曲线上有一点列过点在x轴上的射影是，且1＋2＋3＋…＋n＝2n+1－n－2.（n∈N*）（1）求数列{}的通项公式（2）设四边形的面积是，求（3）在（2）条件下，求证： .11、已知函数（其中，是自然对数的底数），为导函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）对任意，恒成立，求整数的最大值.12、已知函数，.（1）求证：（）；（2）设，若时，，求实数的取值范围.13、（2011年苏州B19）某企业有员工共100名，平均每人每年创造利润10万元．为了进一步提高经济效益，该企业决定优化产业结构，调整部分员工从事第三产业．经测算，若x（20≤x≤50，x∈）名员工从事第三产业，则剩下的员工平均每人每年创造的利润可提高20%，而从事第三产业的员工平均每人每年创造利润为万元．（1）如果要保证调整后该企业的全体员工创造的年总利润，至少比原来的年总利润多150万元，求可从事第三产业员工的最少人数与最多人数；（2）如果要使调整后该企业的全体员工创造的年总利润最大，求从事第三产业的员工人数．14、（2014年苏州B18）如图，在中，，，（1）求的长和的值；（2）延长到，延长到，连结，若四边形的面积为，求的最大值．15、在中，内角、、所对的边分别是、、，不等式对一切实数恒成立.(1)求的取值范围；(2)当取最大值，且的周长为9时，求面积的最大值，并指出面积取最大值时的形状.16、已知数列满足：.（1）求证：；（2）求证：.17、已知函数，（为常数）.（1）函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数的值；（2）若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围；（3）若，，且，都有成立，求实数的取值范围.18、宜昌一中江南新校区拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角（弧度）.（1）求关于的函数关系式；（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为，求关于的函数关系式，并求出的最大值.19、（本小题满分10分）已知正数满足：，若对任意满足条件的:恒成立，求实数的取值范围．20、（1）已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值；（2）已知x>0，y>0且＝1，求x＋y的最小值．21、已知实数，且，若恒成立.（1）求实数m的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数x的取值范围.22、（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知正实数满足：.（1）求的最小值;（2）设函数,对于（1）中求得的,是否存在实数,使得成立,说明理由.23、选修4—5：不等式选讲设，求证：．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数,（1）当时，求不等式的解集;（2）若的解集包含，求的取值范围．25、给定数列(1)判断是否为有理数,证明你的结论;(2)是否存在常数.使对都成立? 若存在,找出的一个值, 并加以证明; 若不存在,说明理由.26、已知a，b是正常数，，求证：，指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数的最小值，指出取最小值时x的值.27、已知函数（1）解关于的不等式；（2）若存在，使得的不等式成立，求实数的取值范围．28、已知,证明：，并利用上述结论求的最小值(其中．29、如图，已知小矩形花坛ABCD中，AB＝3 m，AD＝2 m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，AN的长应在什么范围内？(2)M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM，AN的长度；若不存在，说明理由．30、已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若对，有成立，求实数的取值范围.31、某工厂建一个长方形无盖蓄水池，其容积为4800m3,深度为3m。
如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，怎么设计水池能使造价最低？最低造价多少元？32、已知,若恒成立,则实数的取值范围33、已知a,b均为正数，且a+b=1,证明：（1）（2）34、已知椭圆的右准线，离心率，，是椭圆上的两动点，动点满足，（其中为常数）．（1）求椭圆标准方程；（2）当且直线与斜率均存在时，求的最小值；（3）若是线段的中点，且，问是否存在常数和平面内两定点，，使得动点满足，若存在,求出的值和定点，;若不存在，请说明理由．35、图1是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图2所示的模型，其中桥塔、与桥面垂直，通过测量得知，，当为中点时，.（1）求的长；（2）试问在线段的何处时，达到最大.图136、已知实数，且，若恒成立.（1）求实数m的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数x的取值范围.37、（1）已知，，求证：；（2）已知，，求证：；并类比上面的结论写出推广后的一般性结论（不需证明）.38、某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162m2的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/m2，中间两道隔墙建造单价为248元/m2，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16m，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．39、已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝4时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．40、已知函数f(x)＝.(1)若f(x)>k的解集为{x|x<－3，或x>－2}，求k的值；(2)对任意x>0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围．41、已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n. (1)证明：n i A＜m i A；(2)证明：(1+m)n＞(1+n)m参考答案1、（1）1；（2）162、（1）（2）（3）见解析3、（1）.（2）见解析4、当画面高为88cm，宽为55cm时，所需纸张面积最小为6760cm25、（1）证明见解析；（2）.6、(1) 实数m的取值范围为（﹣1，2）;(2) 的最小值为 ;(3) a的取值范围为.7、(1)8，；(2)8；.8、9、(1) ;(2) 当k＝1时，·b取得最小值，最小值为.10、（1）（2）（3）见解析11、（1）（2）312、（1）见解析（2）13、（1）最少人数为20，最多人数为40．（2）从事第三产业的员工人数应为20．14、（1）；（2）2．15、(1);(2) ，为等边三角形.16、(1)见解析;(2)见解析.17、（1）（2）（3）18、（1），；（2），的最大值为.19、20、（1）1；（2）1621、（1）3；（2）或.22、（1）；（2）不存在.23、详见解析24、（1）{x|x£1}∪{x|x³4};（2）[-3，0]．25、(1)是无理数 (2) (或等).则对,均有成立.证明略.26、（1）当时取等号；（2）当时，.27、（1）;（2）28、见解析；29、（1）在(2，)或(8，＋∞)内（2）AM＝6，AN＝4时，S min＝24.30、（1）极大值，极小值；（2）.31、29760032、33、见解析34、（1）;（2）;（3）,35、(1);（2）时，最大.36、（1）3；（2）或.37、（1）证明书详见解析；（2）证明详见解析；（3）结论推广为：，则．38、（1）当长为16.2m，宽为10m时总造价最低，最低总造价为38880元．（2）当长为16m，宽为10m时，总造价最低，为38882元．39、（1）6（2）40、（1）k＝－（2）41、证明见解析【解析】1、试题分析：（1）将原函数进行化简，将题中给出已知条件带入化简后的函数，并根据公式进行比较，求出原函数最大值即可。
（2）将＝1此式带入到x＋y中，进行化简，得出函数式，再根据公式，进行比较，求出x＋y的最小值即可。
试题解析：（1）x<，∴4x－5<0．∴y＝4x－5＋＋3＝－[（5－4x）＋]＋3≤－2＋3＝1，y max＝1．（2）∵x>0，y>0且＝1，∴x＋y＝（x＋y）＝10＋≥10＋2＝16，即x＋y的最小值为16考点：函数万能关系不等式2、试题分析：（1）当n2时，n用n-1代，与原式作差，可解得n=2n－1。
(2)由点在曲线上得，，根据直角梯形面积公式可求。
（3）由（2）得，）累加可证。
试题解析：（1）n=1时，1=1n2时，1＋2＋3＋…＋n-1=－（n－1）－2又1＋2＋3＋…＋n＝2n+1－n－2. ②②得：n=2n－1（n=1仍成立）故n=2n－1（2），又，故四边形的面积为：（3）3、试题分析：（1）设，联立直线和椭圆方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，求出点的坐标和所在直线方程，求点的坐标，利用基本不等式即可求得的最小值；（2）由（1）知所在直线方程，和椭圆方程联立，求得点的坐标，并代入，得到，因此得证直线过定点；试题解析：（1）设直线的方程为，由题意，，由方程组，得，由题意，所以，设，由根与系数的关系得，所以，由于为线段的中点，因此，此时，所以所在直线的方程为，又由题意知，令，得，即，所以，当且仅当时上式等号成立，此时由得，因此当且时，取最小值.（2）证明：由（1）知所在直线的方程为，将其代入椭圆的方程，并由，解得，又，由距离公式及得，，，由，得，因此直线的方程为，所以直线恒过定点.4、试题分析：设出画幅的高宽，根据题意表示出纸张的面积，利用均值不等式即可求解．试题解析：设画面高为cm，宽为cm，依意有，则所需纸张面积，即,当且仅当，即时等号成立．即当画面高为cm，宽为cm时，所需纸张面积最小为cm25、试题分析：（1）根据奇函数，偶函数即可得到，联立，即可解出时，容易得出，而由基本不等式即可求出；（2）代入原不等式便可得出，可令，得到，容易得出，进而得出，根据基本不等式即可求出，这样即可得出的取值范围.试题解析：（1），.证明：当时，，，故又由基本不等式，有，即-（2）由条件知m（e x－e－x＋1）≤e－x－1在（0，＋∞）上恒成立．令t＝e x（x＞0），则t＞1，因为在R上为增函数，所以，所以m≤－＝－对任意t＞1成立．因为,所以，=－当且仅当t＝2,即x＝ln2时等号成立．因此实数m的取值范围是 .6、试题分析：（1）为空集时，由此求出的取值范围；(2)由（1）知，则函数化为 ,利用基本不等式可求出其最大值（3）设，讨论M为空集和M不为空集时，利用判别式，结合图象求出实数m的取值范围．试题解析：（1）∵M为空集，∴△=4m2﹣4（m+2）＜0，即m2﹣m﹣2＜0∴实数m的取值范围为（﹣1，2）.（2）由（1）知m∈（﹣1，2），则m+1>0，∴f(m)=即f(m)=当且仅当，即时取等号.所以（3）令f（x）=x2﹣2ax+a+2=（x﹣a）2﹣a2+a+2，当M不为空集时，由M⊆[1，4]，得．综上，实数a的取值范围为7、试题分析; 设，则(1)，当且仅当时，等号成立，即(2)，当且仅当试题解析 :设，则(1)，当且仅当时，等号成立，即(2)，当且仅当时等号成立，即【点睛】本题给出直线经过定点，求满足特殊条件的直线方程，着重考查了直线的基本量与基本形式、基本不等式求最值等知识，其中设出直线方程转化为是解题的关键8、试题分析：首先判断a＞b，由构成三角形的条件可得b+c＞a且a+b＞c，即有+m＞x+y且x+y+＞m．运用参数分离和换元法，结合基本不等式和函数的单调性，可得最值，进而得到m的范围．试题解析：x＞0，y＞0，a=x+y，，，由a2﹣b2=（x+y）2﹣（x2+xy+y2）=xy＞0，可得a＞b，由题意可得要构成三角形，必须b+c＞a且a+b＞c，即有+m＞x+y且x+y+＞m．由m＜，≥=2+，当且仅当x=y取得等号．可得m＜2+①由m＞，=+﹣，令u=，则上式为u+﹣．可令t=u+（t≥2），可得上式为t﹣=，可得在[2，+∞）递减，可得t﹣≤2﹣，即有m＞2﹣②由①②可得m的取值范围是（2﹣，2+）．9、试题分析：（1）由|k＋b|＝|－kb|化简得即；（2）利用均值不等式求最值即可.试题解析:解法一：，由|k+b|＝|－kb|得整理得，（1）；（2）·b＝＝.由均值不等式可知当k＝1时，·b取得最小值，最小值为.解法二：（1）(k＋b)2＝3(－kb)2，∴k2＋2k·b＋b2＝3－6k·b＋3k2b2，∴(k2－3)2＋8k·b＋(1－3k2)b2＝0.∵||＝1，|b|＝1，∴k2－3＋8k·b＋1－3k2＝0，∴·b＝.（2）同解法一.点睛：平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.10、试题分析：（1）当n2时，n用n-1代，与原式作差，可解得n=2n－1。