高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)几何证明选讲第2课时 圆的进一步认识

《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）选修4－1 几何证明选讲第2课时 圆的进一步认识考情分析考点新知掌握圆的切线的判定定理和性质定理，弦切角定理割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理，能用这些定理解决有关圆的问题．.①理解圆的切线的判定定理和性质定理，圆周角定理，弦切角定理，相交弦定理，割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理.②能应用圆的切线的判定定理和性质定理，圆周角定理，弦切角定理，相交弦定理，割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理解决与圆有关的问题1. 如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，求PC 和CD 的长．解：由切割线定理得PC 2＝PB·PA＝12，∴ PC ＝23，连结OC ，则OC ＝12OP ，∴ ∠P ＝30°， ∴ CD ＝12PC ＝ 3.2. 如图，AC 为圆O 的直径，弦BD⊥AC 于点P ，PC ＝2，PA ＝8，求tan ∠ACD 的值．解：由相交弦定理和垂径定理得BP 2＝PC·PA＝16，BP ＝4.∵ ∠ACD＝∠ABP，∴ tan ∠ACD ＝tan ∠ABP ＝AP BP ＝84＝2.3. 如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，求圆O 的面积． 解：(解法1)连结OA 、OB ，则∠AOB＝90°. ∵ AB ＝4，OA ＝OB ，∴ OA ＝22，则S 圆＝π×(22)2＝8π.(解法2)2R ＝4sin45°＝42R ＝22，则S 圆＝π×(22)2＝8π.4. 如图，点B 在圆O 上， M 为直径AC 上一点，BM 的延长线交圆O 于N ，∠BNA ＝45°，若圆O 的半径为2 3，OA ＝3OM ，求MN 的长．解：∵ ∠BNA＝45°，∴ ∠BOA ＝90°.∵ OM ＝2，BO ＝23，∴ BM ＝4.∵ BM·MN＝CM·MA＝(23＋2)(23－2)＝8，∴ MN ＝2.5. 如图，已知P 是圆O 外一点，PD 为圆O 的切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O ，若PF ＝12，PD ＝4 3，求圆O 的半径长和∠EFD 的大小．解：由切割线定理，得PD 2＝PE·PF PE ＝PD 2PF ＝16×312＝4EF ＝8，OD ＝4.∵ OD⊥PD，OD ＝12PO ，∴ ∠P ＝30°，∠POD ＝60°，∴∠PDE ＝∠EFD＝30°.1. 圆周角定理(1) 圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半．(2) 推论1：同弧(或等弧)上的圆周角相等．同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．(3) 半圆(或直径)上的圆周角等于90°.反之，90°的圆周角所对的弦为直径． 2. 圆的切线(1) 圆的切线的性质与判定① 切线的定义：当直线与圆有2个公共点时，直线与圆相交；当直线与圆有且只有1个公共点时，直线与圆相切，此时直线是圆的切线，公共点称为切点；当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离．② 切线的判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．③切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．④切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等．(2) 弦切角①弦切角的定义：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角称为弦切角．②弦切角定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．③推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．3. 相交弦定理相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两段的积相等．4. 切割线定理(1) 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等．(2) 切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段的等比中项．5. 圆内接四边形(1) 圆内接四边形性质定理：圆内接四边形对角互补．(2) 圆内接四边形判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆．[备课札记]题型1 探求角的关系例1如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：∠DEA＝∠DFA.证明：连结AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EFA＝90°，所以A、D、E、F四点共圆．所以∠DEA＝∠DFA.备选变式（教师专享）(2011·南通三模)如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为圆O上一点，AE＝AC，求证：∠PDE＝∠POC.证明：因为AE ＝AC ，AB 为直径，故∠OAC＝∠OCA＝∠OAE.所以∠POC＝∠OAC＋∠OCA ＝∠OAC＋∠OAE＝∠EAC.又∠EAC＝∠PDE，所以∠PDE＝∠POC.题型2 求线段长度例2 如图所示，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，EF ∥CB ，EF 交AD 的延长线于点F ，FG 切圆O 于点G.(1) 求证：△DEF∽△EFA； (2) 如果FG ＝1，求EF 的长．(1) 证明：因为EF∥CB，所以∠BCE＝∠FED. 又∠BAD＝∠BCD，所以∠BAD＝∠FED. 又∠EFD＝∠EFD，所以△DEF∽△EFA.(2) 解：由(1)得EF FA ＝FD EF ，即EF 2＝FA·FD.因为FG 是切线，所以FG 2＝FD·FA，所以EF＝FG ＝1.变式训练如图，圆O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB ＝AC ，延长BC 到点D ，使CD ＝AC ，连结AD 交圆O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F.(1) 判断BE 是否平分∠ABC，并说明理由； (2) 若AE ＝6，BE ＝8，求EF 的长． 解：(1) BE 平分∠ABC.∵ CD ＝AC ，∴ ∠D ＝∠CAD. ∵ AB ＝AC ，∴ ∠ABC ＝∠ACB.∵ ∠EBC ＝∠CAD，∴ ∠EBC ＝∠D＝∠CAD.∵ ∠ABC ＝∠ABE＋∠EBC，∠ACB ＝∠D＋∠CAD， ∴ ∠ABE ＝∠EBC，即BE 平分∠ABC. (2) 由(1)知∠CAD＝∠EBC＝∠ABE. ∵ ∠AFE ＝∠ABE，∴ △AEF ∽△BEA.∴ AE BE ＝EFAE .∵ AE ＝6，BE ＝8， ∴ EF ＝AE 2BE ＝368＝92.题型3 证明线段相等例3 如图，在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N.若AC ＝12AB ，求证：BN ＝2AM.证明： 在△ABC 中，因为CM 是∠ACB 的角平分线，所以AC BC ＝AMBM .又已知AC ＝12AB ，所以AB BC ＝2AMBM .①又BA 与BC 是圆O 过同一点B 的割线， 所以BM·BA＝BN·BC，即BA BC ＝BNBM .②由①②可知，2AM BM ＝BNBM ，所以BN ＝2AM.备选变式（教师专享）如图，圆O 的直径AB ＝25，C 是圆O 外一点，AC 交圆O 于点E ，BC 交圆O 于点D ，已知AC ＝AB ，BC ＝4，求△ADE 的周长．解：∵ AB 是圆O 的直径，∴ AD ⊥BC. 又AC ＝AB ，∴ AD 是△ABC 的中线． 又BC ＝4，∴ BD ＝DC ＝2，∴ AD ＝AB 2－BD 2＝4. 由CE·CA＝CD·CB ，得CE ＝455. ∴ AE ＝25－455＝655. 由∠DEC＝∠B＝∠C，所以DE ＝DC ＝2. 则△ADE 的周长为6＋655.题型4 证明线段成比例例4 如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，以AB 为直径的圆O 交AC 于D ，过点D 作圆O 的切线交BC 于E ，AE 交圆O 于点F.求证：(1) E 是BC 的中点； (2) AD·AC＝AE·AF.证明：(1) 连结BD ，因为AB 为圆O 的直径，所以BD⊥AC.又∠B＝90°，所以CB 切圆O 于点B 且ED 切圆O 于点D ，因此EB ＝ED ，所以∠EBD＝∠EDB，∠CDE ＋∠EDB＝90°＝∠EBD ＋∠C，所以∠CDE＝∠C，得ED ＝EC ，因此EB ＝EC ，即E 是BC 的中点．(2) 连结BF ，显然BF 是Rt △ABE 斜边上的高，可得△ABE∽△AFB，于是有AB AF ＝AEAB ，即AB 2＝AE·AF，同理可得AB 2＝AD·AC， 所以AD·AC＝AE·AF. 备选变式（教师专享）如图，PA 切圆O 于点A ，割线PBC 交圆O 于点B 、C ，∠APC 的角平分线分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，求证：(1) AD ＝AE ；(2) AD 2＝DB·EC.证明：(1) ∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE ＝∠APD＋∠PAB.因为PE 是∠APC 的角平分线，所以∠EPC＝∠APD.又PA 是圆O 的切线，故∠C＝∠PAB.所以∠AED＝∠ADE.所以AD ＝AE.(2)⎭⎪⎬⎪⎫∠PCE＝∠PAD，∠CPE ＝∠APDÞ△PCE ∽△PAD ÞEC AD ＝PCPA.⎭⎪⎬⎪⎫∠PEA＝PDB ，∠APE ＝∠BPD Þ△PAE ∽△PBD ÞAE DB ＝PA PB .又PA 是切线，PBC 是割线ÞPA 2＝PB·PC PA PB ＝PC PA .故EC AD ＝AEDB.又AD ＝AE ，所以AD 2＝DB·EC.1. (2013·广东)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB ＝6，ED ＝2，求BC 的值．解：依题意易知△ABC∽△CDE，所以AB CD ＝BC DE ，又BC ＝CD ，所以BC 2＝AB·DE＝12，从而BC ＝2 3.2. (2013·重庆)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，求DE 的长．解：延长BA 交切线CD 于M.因为∠C＝90°，所以AB 为直径，所以半径为10.连结OC ，则OC⊥CD，且OC∥BD. 因为∠OAC＝60°，所以∠AOC＝60°，∠OBE ＝60°， 即BE ＝OB ＝10且∠M＝30°. 所以OM ＝2OC ＝20，所以AM ＝10.所以BD ＝12(AM ＋AB)＝10＋202＝15，即DE ＝BD －BE ＝15－10＝5.3. (2013·江苏)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D 、C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC.求证：AC ＝2AD.证明：连结OD ，∵ AB 、BC 分别与圆O 相切于点D 、C ， ∴ ∠ADO ＝∠ACB＝90°. ∵ ∠A ＝∠A，∴ Rt △ADO ∽Rt △ACB. ∴ BC OD ＝AC AD. ∵ BC ＝2OC ＝2OD ，∴ AC ＝2AD.4. (2013·新课标Ⅰ)如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于D.(1) 证明：DB ＝DC ；(2) 设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．(1) 证明：连结DE ，交BC 与点G. 由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE， ∵ ∠ABE ＝∠CBE，∴ ∠CBE ＝∠BCE，BE ＝CE. ∵ DB ⊥BE ，∴ DE 是直径，∠DCE ＝90°. 由勾股定理可得DB ＝DC.(2) 解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE，BD ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线， ∴ BG ＝32. 设DE 中点为O ，连结BO ，则∠BOG＝60°， ∠ABE ＝∠BCE＝∠CBE＝30°， ∴ CF ⊥BF ，∴ Rt △BCF 的外接圆半径等于32.1. 如图，圆O 与圆O′内切于点T ，点P 为外圆O 上任意一点，PM 与内圆O′切于点M.求证：PM∶PT 为定值．证明：设外圆半径为R ，内圆半径为r ，作两圆的公切线TQ.设PT 交内圆于C ，连结OP ，O ′C ，则PM 2＝PC·PT，所以PM 2PT 2＝PC·PT PT 2＝PC PT. 由弦切角定理知∠POT＝2∠PTQ，∠CO ′T ＝2∠PTQ， 则∠POT＝∠CO′T，所以PO∥CO′， 所以PC PT ＝OO′OT ＝R －r R ，即PM PT＝R －rR，为定值．2. 如图， 弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P.已知PD ＝2DA ＝2, 求PE.解：∵ BC//PE ∴ ∠BCD＝∠PED.且在圆中∠BCD＝∠BAD ∠PED ＝∠BAD.△EPD ∽△APEPE PA ＝PD PEPE 2＝PA·PD＝3·2＝6.所以PE ＝ 6.3. 如图，正三角形ABC 外接圆的半径为1，点M 、N 分别是边AB 、AC 的中点，延长MN 与△ABC 的外接圆交于点P ，求线段NP 的长．解：设正三角形ABC 的边长为x ，由正弦定理，得xsin60°＝2，所以x ＝ 3.延长PN 交圆于Q ，则NA·NC＝NP·NQ.设NP ＝t ，则t·⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322.所以t ＝15－34，即NP＝15－34.4. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BE 是角平分线，DE ⊥BE 交AB 于D ，圆O 是△BDE 的外接圆．(1) 求证：AC 是圆O 的切线；(2) 如果AD ＝6，AE ＝62，求BC 的长． (1) 证明：连OE ，∵BE ⊥DE ， ∴O 点为BD 的中点．∵OB ＝OE ，∴∠OEB ＝∠OBE.∵∠OEC ＝∠OEB＋∠CEB＝∠OBE＋∠CEB＝∠CEB ＋∠CBE＝90°，即OE⊥AC. 又E 是AC 与圆O 的公共点，∴AC 是圆O 的切线． (2) 解：∵AE 是圆的切线，∴∠AED ＝∠ABE. 又∠A 共用，∴△ADE ∽△AEB ，∴AD AE ＝AE AB ，即662＝62AB ，解得AB ＝12， ∴圆O 的半径为3.又∵OE∥BC，∴OE BC ＝AO AB ，即3BC ＝912，解得BC ＝4.几个重要定理的符号语言及图形(1) 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等． 符号语言：∵ 在圆O 中，弦AB 、CD 相交于点P ， ∴ PA ·PB ＝PC·PD.(图①) 图形语言：推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．符号语言：∵ 在圆O中，直径AB⊥CD，垂足为E，∴ CE2＝AE·BE.(图②)(2) 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等．符号语言：∵ 在圆O中，PB、PE是割线，∴ PC·PB＝PD·PE.(图③)(3) 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．符号语言：∵ 在圆O中，PA是切线，PB是割线，∴ PA2＝PC·PB.(图③)请使用课时训练（B）第2课时（见活页）.[备课札记]。