天津市大港区2021届新第四次高考模拟考试数学试卷含解析
天津市滨海新区2021届新高考数学仿真第四次备考试题含解析
天津市滨海新区2021届新高考数学仿真第四次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设x，y满足约束条件2121x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y=-+的最大值为n，则2nxx⎛-⎪⎝⎭的展开式中2x项的系数为( )A．60 B．80 C．90 D．120【答案】B【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到5n=，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，32z x y=-+，即322zy x=+，故z表示直线与y截距的2倍，根据图像知：当1,1x y=-=时，32z x y=-+的最大值为5，故5n=.52xx⎛-⎪⎝⎭展开式的通项为：()()35552155221rrr rr r rrT C x C xx---+⎛=⋅-=⋅⋅-⋅⎪⎝⎭，取2r得到2x项的系数为：()225252180C-⋅⋅-=.故选：B.【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点(3,4)P-，则sin2α=（）．A ．1225-B ．2425-C ．165D ．85【答案】B 【解析】 【分析】根据角终边上的点坐标，求得sin ,cos αα，代入二倍角公式即可求得sin 2α的值. 【详解】因为终边上有一点(3,4)P -，所以43sin ,cos 55αα==-， 4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫∴==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目.3．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ）A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2x y =±D ．2y x =±【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意可知，双曲线2214x y -=的渐近线方程是2x y =±.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用． 4．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据直线平行的等价条件，求出m 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】当m=1时，两直线方程分别为直线l 1：x+y ﹣1=0，l 2：x+y ﹣2=0满足l 1∥l 2，即充分性成立， 当m=0时，两直线方程分别为y ﹣1=0，和﹣2x ﹣2=0，不满足条件． 当m≠0时，则l 1∥l 2⇒32211m m m --=≠-， 由321m mm -=得m 2﹣3m+2=0得m=1或m=2， 由211m -≠-得m≠2，则m=1， 即“m=1”是“l 1∥l 2”的充要条件， 故答案为：A 【点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.5．在ABC 中，D 为BC 边上的中点，且||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒，则||=AD （ ）A．2B ．12C ．34D．4【答案】A 【解析】 【分析】由D 为BC 边上的中点，表示出()12AD AB AC =+，然后用向量模的计算公式求模. 【详解】解：D 为BC 边上的中点，()12AD AB AC =+， ()()()21124AD AB AC AB AC =+=+==故选：A在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题.6．设集合{}2320M x x x =++>，集合1{|()4}2xN x =≤ ，则 M N ⋃=（ ）A ．{}2x x ≥- B ．{}1x x >-C ．{}2x x ≤-D ．R【答案】D 【解析】试题分析：由题{}{}2320|21M x x x x x x =++=--或，{}2111|()4|()|2222x x N x x N x x -⎧⎫⎪⎪⎧⎫⎛⎫=≤=≤==≥-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭，M N R ∴⋃=，选D考点：集合的运算7．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为( )A ．12πB ．16πC ．24πD ．48π【答案】A 【解析】 【分析】由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入求得表面积公式计算． 【详解】由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2， 底面为等腰直角三角形，斜边长为22，如图：ABC ∆∴的外接圆的圆心为斜边AC 的中点D ，OD AC ⊥，且OD ⊂平面SAC ，2SA AC ==，SC ∴的中点O 为外接球的球心，∴半径3R =，∴外接球表面积4312S ππ=⨯=．故选：A 【点睛】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键．8．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】 试题分析：m α⊥，,n βαβ∴⊥,故选D.考点：点线面的位置关系. 9．函数()256f x x x =-+ ）A ．{2x x ≤或}3x ≥B ．{3x x ≤-或}2x ≥- C ．{}23x x ≤≤ D ．{}32x x -≤≤-【答案】A 【解析】 【分析】根据偶次根式被开方数非负可得出关于x 的不等式，即可解得函数()y f x =的定义域. 【详解】由题意可得2560x x -+≥，解得2x ≤或3x ≥. 因此，函数()y f x =的定义域为{2x x ≤或}3x ≥. 故选：A.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题. 10．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)a f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[0,)+∞D ．(,0]-∞【答案】B 【解析】 【分析】先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果. 【详解】令()()x g x e f x =，则当0x <时，()[()()]0xg x e f x f x ''=+>，又()()()()xx g x ef x e f xg x --=-==，所以()g x 为偶函数，从而()()211ae f a f a +≥+等价于211(21)(1),(21)(1)a a ef a e f ag a g a +++≥++≥+， 因此22(|21|)(|1|),|21||1|,3200.3g a g a a a a a a -+≥-+-+≥-++≤∴-≤≤选B. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题. 11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用分离变量法可得31a x x-≤≤-，求得3x -的最大值和1x-的最小值即可得到结果. 【详解】()()f x f x =- ()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数 ()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤- 21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤121ax -≤+≤对于[]1,2x ∈恒成立 31a xx∴-≤≤-在[]1,2上恒成立312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题. 12．若复数52z i=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2i + B ．2i -C ．12i +D ．12i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法法则计算z ，由共轭复数的概念写出z . 【详解】55(2)10522(2)(2)5i i z i i i i ++====+--+, ∴2z i =-,故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届天津市天津市河西区天津市第四中学模拟预测数学试题(含解析)
2024届天津四中高考数学热身试卷一、选择填空：本题包括9个小题，每小题5分，满分45分。
1.设集合，，，则（）A. B. C. D.2.下面四个条件中，使成立的必要而不充分条件是（ ）A. B.C. D.3.函数的图象大致为（）A. B. C. D.4.少年强则国强，少年智则国智.党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质.为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（）A.样本的众数为65B.样本的第80百分位数为72.5C.样本的平均值为67.5D.该校学生中低于的学生大约为1000人5.设，，，则（ ）A. B. C. D.6.数列的通项，其前项和为，则为（ ）A.470B.490C.495D.5107.中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂。
1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破。
今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（）{}0,1,2,3A ={}1,3,4B ={}2320C x x x =∈-+>R ()A B C = {}3{}1,2{}1,3{}0,3,4a b >1a b->1a b+>a b >33a b >()2e 2xf x x =-65kg 121log 3a =1213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭1312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭c b a <<b a c <<a b c<<b c a<<{}n a 222ππcos sin 33n n n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭n n S 30SA. B. C. D.68.设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线的准线围成三角形的面积为（ ）A.B.C.D.9.已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：①的图象关于点对称；②的图象关于直线对称；③的图象可由的图象向左平移个单位长度得到；④若方程在上有且只有两个极值点，则的最大值为.以上四个说法中，正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4二、本题包括6个小题，每小题5分，满分30分.10.已知是虚数单位，若复数满足，则______.11.的展开式中含项的系数为______.（用数字作答）12.直线经过点，与圆：相交截得的弦长为，则直线的方程为1F 2F ()222210,0x y a b a b-=>>P 212PF F F =2F 1PF 24x y =35344353()()πcos 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭()f x 4π,03⎛⎫⎪⎝⎭()f x 5π12x =-()f x π2sin 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭π2()()()0g x f tx t =>5π0,6⎛⎫⎪⎝⎭t 1310i z ()2i i z +=2iz=-()322x x --5x l ()2,3P -C 2222140x y x y +++-=l______.13.甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是.若甲单独答题三轮，则甲恰有两轮通过测试的概率为______；若在甲，乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率为______.（结果均以既约分数表示）14.在四边形中，，，，，为的中点，，则______；设点P 为线段CD 上的动点，则最小值为______.15.已知函数若存在，，，，满足，且，则的取值范围为______.三、本题包括5个小题，满分75分。
天津市西青区2021届新第四次高考模拟考试数学试卷含解析
天津市西青区2021届新第四次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可．【详解】∵a ，b ∈（1，+∞），∴a ＞b ⇒log a b ＜1，log a b ＜1⇒a ＞b ，∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件，故选C ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．2．函数()f x = ）A ．{2x x ≤或}3x ≥B ．{3x x ≤-或}2x ≥-C ．{}23x x ≤≤D ．{}32x x -≤≤- 【答案】A【解析】【分析】 根据偶次根式被开方数非负可得出关于x 的不等式，即可解得函数()y f x =的定义域.【详解】由题意可得2560x x -+≥，解得2x ≤或3x ≥.因此，函数()y f x =的定义域为{2x x ≤或}3x ≥.故选：A.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.3．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n 1=时，当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上的式子，可以分别使得n=k ，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k 时等式的左端，即可得到答案．【详解】当n=k 时，等式左端=1+1+…+k 1，当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k 1+k 1+1+k 1+1+…+（k+1）1，增加了项（k 1+1）+（k 1+1）+（k 1+3）+…+（k+1）1．故选：C ．【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./4．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则AB =（ ） A ．{2}B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-【答案】B【解析】【分析】求出集合B ，利用集合的基本运算即可得到结论.【详解】由10x ->，得1x <，则集合{}|1B x x =<，所以，{}1,0A B ⋂=-.故选：B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合B 是解决本题的关键，属于基础题.5．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或12 B ．3或13 C ．4或14 D ．5或15【答案】C【解析】【分析】先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出,AF BF .【详解】设直线的倾斜角为θ，则222425cos cos 4p AB θθ===， 所以216cos 25θ=，2219tan 1cos 16θθ=-=，即3tan 4θ=±， 所以直线l 的方程为314y x =±+.当直线l 的方程为314y x =+， 联立24314x y y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11x =-和24x =，所以()40401AF BF -==--； 同理，当直线l 的方程为314y x =-+.14AF BF =，综上，4AF BF =或14.选C. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.6．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案.【详解】()f x 是奇函数，排除C ，D ；()2()ln 0f ππππ=-<，排除A. 故选：B.【点睛】本题考查函数图象的判断，属于常考题.7．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】 根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案．【详解】解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示，56846∴用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为B 中的． 故选：B ．【点睛】本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题．8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x +=-，当(]0,1x ∈时，()ax f x e =-（其中e 是自然对数的底数），若()2020ln 28f -=，则实数a 的值为( )A ．3-B ．3C ．13-D ．13【答案】B【解析】【分析】 根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得a .【详解】由已知可知，()()()2f x f x f x +=-=-，所以函数()f x 是一个以4为周期的周期函数，所以()()()ln22020ln 2ln 2ln 228a a f f f e-=-=-===， 解得3a =，故选：B.【点睛】本题考查函数周期的求解，涉及对数运算，属综合基础题.9．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若112PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A．6+B．6+ C ．8D ．6 【答案】C【解析】【分析】 由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简2133e e +，结合基本不等式即可求解. 【详解】设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a '，半焦距为c ， 则1c e a=，2c e a ='，设2PF m = 由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：1222m PF PF a a c +=⇒=+，2122m PF PF a a c ''-=⇒=- 则2133e e +33322633322m m c c a c c c m m c a c c c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=++'⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3262832m c c m c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥+⋅=⎛⎫- ⎪⎝⎭当且仅当73a c =时，取等号. 故选：C ．【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题. 10．已知x ，y 满足不等式00224x y x y tx y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x+6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ）A ．[2，4]B ．[4，6]C ．[5，8]D ．[6，7]【答案】B【解析】【分析】作出可行域，对t 进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.【详解】 画出不等式组0024x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+=⎩所表示的可行域如图△AOB当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM ，此时目标函数z ＝9x+6y 在A （2，0）取得最大值Z ＝18不符合题意t ＞2时可知目标函数Z ＝9x+6y 在224x y t x y +=⎧⎨+=⎩的交点（82433t t --，）处取得最大值，此时Z ＝t+16 由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故选：B ．【点睛】此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.11．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =，E 为BD 的中点，则CE =（ ）. A ．7388BA BC - B ．3788BA BC - C ．3788BA BC + D ．7388BA BC + 【答案】B【解析】【分析】 由13AD DC =，可得34CD CA =，1()2CE CB CD =+13()24CB CA =+，再将CA BA BC =-代入即可.【详解】 因为13AD DC =，所以34CD CA =，故1()2CE CB CD =+=13()24CB CA += 133()244BC BA BC -+-=3788BA BC -. 故选：B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题.12．下列命题为真命题的个数是（ ）（其中π，e 为无理数）32>；②2ln 3π<；③3ln 3e <. A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数()2ln ,03f x x x =->，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到()()f f e π>，即可判定是错误的；对于③中，构造新函数()ln ,0f x e x x x =->，利用导数求得函数的最大值为()0f e =，进而得到()30f <，即可判定是正确的.【详解】由题意，对于①中，由239,() 2.2524e ===，可得 2.25e >，根据不等式的性质，32>成立，所以是正确的；对于②中，设函数()2ln ,03f x x x =->，则()10f x x '=>，所以函数为单调递增函数， 因为e π>，则()()f f e π>又由()221ln 10333f e e =-=-=>，所以()0f π>，即2ln 3π>，所以②不正确； 对于③中，设函数()ln ,0f x e x x x =->，则()1e e x f x x x -'=-=， 当(0,)x e ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以当x e =时，函数取得最大值，最大值为()ln 0f e e e e =-=，所以()3ln330f e =-<，即ln33e <，即3ln 3e<，所以是正确的. 故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天津市西青区2021届新高考第四次模拟数学试题含解析
天津市西青区2021届新高考第四次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设a ，b ，c 是非零向量.若1()2a c b c a b c ⋅=⋅=+⋅，则（ ） A ．()0a b c ⋅+=B ．()0a b c ⋅-=C ．()0a b c +⋅=D ．()0a b c -⋅= 【答案】D【解析】 试题分析：由题意得：若a c b c ⋅=⋅，则()0a b c -⋅=；若a c b c ⋅=-⋅，则由1()2a c b c a b c ⋅=⋅=+⋅可知，0a c b c ⋅=⋅=，故()0a b c -⋅=也成立，故选D.考点：平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.2．函数()()ln 1f x x =++的定义域为（ ） A ．()2,+∞B ．()()1,22,-⋃+∞C ．()1,2-D ．1,2【答案】C【解析】【分析】【详解】 函数的定义域应满足20,1 2.10x x x ->⎧∴-<<⎨+>⎩故选C.3．已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．2)C ．D ．【答案】A【解析】 双曲线22x a ﹣22y b =1的渐近线方程为y=b a ±x ， 不妨设过点F 1与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=b a （x ﹣c ）， 与y=﹣b a x 联立，可得交点M （2c ，﹣2bc a）， ∵点M 在以线段F 1F 1为直径的圆外，∴|OM|＞|OF 1|，即有24c +2224b c a＞c 1， ∴22b a＞3，即b 1＞3a 1， ∴c 1﹣a 1＞3a 1，即c ＞1a ．则e=c a＞1． ∴双曲线离心率的取值范围是（1，+∞）．故选：A ．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.4．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．4【答案】C【解析】【分析】根据对称性即可求出答案．【详解】解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2， 故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2，故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．5．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ）A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题，得到结果.【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可得0:p x R ⌝∃∈，200x ≤本题正确选项：B【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.6．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ）A ．147B ．294C ．882D ．1764 【答案】A【解析】【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值.【详解】依题意列表如下： 上列乘6上列乘5 上列乘2 16 30 60所以6603020151210147S =+++++=.故选：A【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.7．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】【分析】对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果.【详解】因为()3239f x x ax x =++-，所以()2323f x x ax =++'， 又函数()3239f x x ax x =++-在3x =-时取得极值， 所以()327630f a -=-+='，解得5a =.故选D【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.8．复数z 满足()11z i -=，则复数z 等于（）A ．1i -B ．1i +C ．2D ．-2【答案】B【解析】【分析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可.【详解】复数z 满足()112z i -==， ∴()()()2121111i z i i i i +===+--+， 故选B.【点睛】本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题．9．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m=+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ）A ．14B ．15C ．13D ．18【答案】D【解析】【分析】设()11,B x y ，()22,D x y ，联立直线与抛物线方程，消去x 、列出韦达定理，再由直线x my =与抛物线的交点求出A 点坐标，最后根据||3||BD OA =，得到方程，即可求出参数的值；【详解】解：设()11,B x y ，()22,D x y ，由24x my m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my m --=， ∵216160m m ∆=+>，解得1m <-或0m >，∴124y y m +=，124y y m =-.又由24x my y x=⎧⎨=⎩，得240y my -=，∴0y =或4y m =，∴()24,4A m m ， ∵||3||BD OA =，∴)()()224212(191616m y y m m +-=+， 又∵()()22212121241616y y y y y y m m -=+-=+， ∴代入解得18m =. 故选：D【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.10．若平面向量,,a b c ，满足||2,||4,4,||3a b a b c a b ==⋅=-+=，则||cb -的最大值为（） A．B．C．D ．【答案】C【解析】【分析】 可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值.【详解】由题意可得：()(2)c b c a b a b -=-++-，2222|2|(2)||4||444164452a b a b a b a b -=-=+⋅-⋅=+⨯-⨯=|2|213a b ∴-=，2222||()[()(2)]|()(2)|c b c b c a b a b c a b a b ∴-=-=-++-=-++-22|||2|2|||2|cos ,2c a b a b c a b a b c a b a b =-++-+⋅-+⋅-⋅<-++>3522cos ,2c a b a b =++<-++>55cos ,2c a b a b =+<-++>55439+2554395223+=+⨯=，故选：C【点睛】本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.11．若x ，y 满足约束条件103020x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y+的最大值是（ ）A ．92 B．2 C ．13 D 【答案】C【解析】【分析】由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．【详解】解：22x y +表示可行域内的点(,)x y 到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由1020x y x +-=⎧⎨+=⎩解得32y x =⎧⎨=-⎩即()2,3A -点()2,3A -到坐标原点(0,0)的距离最大，即2222()(2)313max x y +=-+=．故选：C ．【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．12．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 为抛物线上任意一点KPF ∠的平分线与x 轴交于(,0)m ，则m 的最大值为( )A ．322-B ．33C ．23D ．22-【答案】A【解析】【分析】 211(1)4m mx x -=+++， 求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解．【详解】解：由题意可得，焦点F （1，0），准线方程为x ＝−1，过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x＋1，记∠KPF的平分线与x轴交于(m,0),(1m1)H-<<根据角平分线定理可得||||||=||||||PF PM FHPK PK KH=，211(1)4mmx x-∴=+++，当0x=时，0m=，当0x≠时，212,142(1)4112x xxx⎡⎫=∈⎪⎢⎪++⎣⎭+++，211032221mmm-∴≤<⇒<≤-+，综上：0322m≤≤-．故选：A．【点睛】本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三4月模拟考试数学理试题 含答案
2021年高三4月模拟考试数学理试题含答案本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回．参考公式：①如果事件互斥，则②如果事件相互独立，则一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设集合=,则集合的子集的个数为（）. . . .2.不等式的解集为（）．. .. .3．若抛物线的焦点坐标为，则的值为（）. . . .4．“”是“函数的最小正周期为”的（）．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件5．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为P全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1， 那么这个几何体的体积为 ( ) . . . .6．程序框图的运算结果为 ( ) . . . . 7.椭圆与直线交于、两点，过原点与 线段中点的直线的斜率为，则值为（ ）． ． ． ． 8.已知满足则 的最大值为( ). . . .二、填空题（本大题共7（一）必做题：第9至139．复数（为虚数单位）的虚部等于__________.10．二项式的展开式的常数项是__________.11. 已知变量满足约束条件, 则的最大值是12．已知为互相垂直的单位向量，, ,且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 ．13. 已知数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列. 类比上述结论，已知数列是正项等比数列，若= ，则数列{}也为等比数列.（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分．14．（极坐标与参数方程）若圆的方程为：（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆的圆心极坐标为_________ ．(极角范围为)15．（几何证明选讲）如右图，是圆外一 点，过引圆的两条割线、， ==，=，则=____________．三、解答题：本大题共6小题，满分80 16．（本题满分12分）已知函数（1）求的值； （2）若，且，求. 17．（本题满分12分）在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记．（1）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率； （2）求随机变量的分布列和数学期望．18．（本题满分14分）如图，已知正三棱柱—的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为． （1）求此正三棱柱的侧棱长； （2）求二面角的余弦值大小.19．（本题满分分）设等比数列的前项和为，已知() （1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列． 求证：().20．(本题满分14分)平面直角坐标系中，直线截以原点为圆心的圆所得的弦长为 （1）求圆的方程；（2）若直线与圆切于第一象限，且与坐标轴交于、，当长最小时，求直线 的方程； （3）设、是圆上任意两点，点关于轴的对称点为，若直线、分别交于轴于点（）和（），问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.21.（本题满分分） 已知函数（1）求函数的单调区间；（2）如果关于x 的方程有实数根，求实数的取值集合；（3）是否存在正数，使得关于x 的方程有两个不相等的实数根？如果存在，求满足的条件；如果不存在，说明理由.数学 (理科）参考答案与评分标准一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分1.【解析】集合的子集有、、、.选D .2.【解析】得：.选B .ABD 1A 1B 1C3.【解析】2p ,12p),0,2p(px 2y 2==∴=即的焦点坐为．选B . 4.【解析】当时,函数可化为,故周期;反之，函数可化为，若周期为，则.选A . 5.【解析】可知该几何体是三棱锥，底面面积为，高为1，故．选D ． 6.【解析】当时，,选B ． 7.【解析】设交点分别为、，代入椭圆方程：，由两式得：，即，，可化简为：，即.选B . 8.【解析】已知满足则可化为；要求最大值，即求的最值，由基本不等式可知 ，，当且仅当取等号，即或 时，的最大值为.选Ａ.二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9． 10． 11． 12． 13． 14． 15．9.【解析】＝，所以虚部等于. 10．【解析】=，=，当则,常数项为=.【解析】先画出可行域（如图），是可行域内的点 与原点连线的斜率，当直线过点时，取得最大值. 【解析】=，又为锐角， 解得：，.13. 【解析】由等差数列的的和，则等比数列可类比为 ﹒的积；对求算术平均值，所以对 ﹒求几何平均值，所以类比结果为.14.【解析】圆的圆心为，，又圆心在第一象限，故.圆心的极坐标为.15.【解析】如右图，是圆外一点，过引圆的两条割线PAB 、PCD ，PA = AB =由圆的割线定理，即,化简为，解得:或（舍去）. 三．解答题16．（本题满分12分）本小题考查三角函数的化简与求值。
2021年天津市高考数学模拟试卷(解析版)
2021年天津市高考数学模拟试卷一．选择题（共9小题）.1．体育节到来，多数同学都会参加至少一个运动项目．设集合U＝{甲班全体同学}，集合A＝{参加跳高的甲班同学}，集合B＝{参加跳远的甲班同学}，则∁U（A∩B）表示的是（）A．既参加跳高又参加跳远的甲班同学B．既不参加跳高也不参加跳远的甲班同学C．参加跳高或跳远的甲班同学D．不同时参加跳高和跳远的甲班同学2．“函数在（0，+∞）上是减函数”是“函数y＝kx在R上是增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．函数f（x）＝cos（x﹣）ln（e x+e﹣x）的图象大致为（）A．B．C．D．4．某农业科研机构对所在地区的大棚西红柿新、旧培育方法的产量进行对比，抽取100个相同规模的大棚，统计各大棚的产量单位：百千克），其频率分布直方图如图，据此以下判断错误的选项是（）A．采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量有了很明显的变化B．采取了新的培育方法后大棚西红柿的平均产量有所提高C．采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量更加稳定了D．新、旧培育方法对大棚西红柿的产量影响不大5．一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．B．C．D．6．已知椭圆的两焦点F1，F2和双曲线的两焦点重合，点P为椭圆和双曲线的一个交点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的最小值为（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于点（，0）对称C．函数f（x）在[，π]上单调递增D．函数f（x）的图象关于直线x＝﹣对称8．已知函数，其中m＜0，若存在实数k，使得关于x的方程f（x）﹣k＝0恰有三个不同的实数根，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．C．[﹣3，0）D．9．已知实数a＝0.70.2，b＝log20.7，c＝20.7，则实数a，b，c的大小是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分10．已知复数z＝+（a﹣1）i的虚部为零，i为虚数单位，则实数a＝．11．二项式的展开式中的常数项为．12．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9，圆C以（﹣1，3）为中点的弦所在直线的斜率k ＝．13．由1，2，3，…，1000这个1000正整数构成集合A，先从集合A中随机取一个数a，取出后把a放回集合A，然后再从集合A中随机取出一个数b，则的概率为．14．已知正实数m，n满足，则m+2n的最小值是．15．设向量，不平行，若向量λ+与﹣2平行，则实数λ的值为．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA＝PB＝2，若点E，F分别为AB和CD的中点．（Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面PEF；（Ⅱ）若二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值为，求PC与平面PAB所成角的正弦值．18．设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点为，四条直线x＝±a，y＝±b所围成的区域面积为4．（1）求C的方程；（2）设过D（0，3）的直线l与C交于不同的两点A，B，设弦AB的中点为M，且|OM|＝|AB|（O为原点），求直线l的方程．19．已知数列{a n}的各项均不为零，设数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n2}的前n项和为T n，且3S n2﹣4S n+T n＝0（n∈N*）．（1）求a1，a2的值；（2）设b n＝（2n﹣1）2n，求数列{b n}前n项和B n；（3）证明：数列{a n}是等比数列．20．已知函数f（x）＝x3+x2﹣ax（a∈R），g（x）＝xlnx．（1）求曲线g（x）在x＝1处的切线方程；（2）对任意x∈（0，a]，f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）当x∈（0，a]时，试求方程f（x）＝g（x）的根的个数．参考答案一．选择题（共9小题）.1．体育节到来，多数同学都会参加至少一个运动项目．设集合U＝{甲班全体同学}，集合A＝{参加跳高的甲班同学}，集合B＝{参加跳远的甲班同学}，则∁U（A∩B）表示的是（）A．既参加跳高又参加跳远的甲班同学B．既不参加跳高也不参加跳远的甲班同学C．参加跳高或跳远的甲班同学D．不同时参加跳高和跳远的甲班同学解：集合U＝{甲班全体同学}，集合A＝{参加跳高的甲班同学}，集合B＝{参加跳远的甲班同学}，则∁U（A∩B）表示的是不同时参加跳高和跳远的甲班同学，故选：D．2．“函数在（0，+∞）上是减函数”是“函数y＝kx在R上是增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：∵函数y＝在（0，+∞）上是减函数，∴k＞0，∴函数y＝kx在R上是增函数，故是充分条件；若函数y＝kx在R上是增函数，则：k＞0；推出函数y＝在（0，+∞）上是减函数，故是必要条件，故选：C．3．函数f（x）＝cos（x﹣）ln（e x+e﹣x）的图象大致为（）A．B．C．D．解：（x）＝cos（x﹣）ln（e x+e﹣x）＝sin xln（e x+e﹣x），f（﹣x）＝sin x（﹣x）ln（e﹣x+e x）＝﹣sin xln（e x+e﹣x）＝﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D，∵y＝e x+e﹣x≥2＝2，当且仅当x＝0时取等号，∴ln（e x+e﹣x）≥ln2＞ln1＝0，当x∈[0，π）时，sin x≥0，当x∈[π，2π）时，sin x≤0，∴当x∈[0，π）时，f（x）＞0，当x∈[π，2π）时，f（x）≤0，故排除AB，故选：C．4．某农业科研机构对所在地区的大棚西红柿新、旧培育方法的产量进行对比，抽取100个相同规模的大棚，统计各大棚的产量单位：百千克），其频率分布直方图如图，据此以下判断错误的选项是（）A．采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量有了很明显的变化B．采取了新的培育方法后大棚西红柿的平均产量有所提高C．采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量更加稳定了D．新、旧培育方法对大棚西红柿的产量影响不大解：由频率分布直方图得：在A中，采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量有了很明显的变化，故A正确；在B中，采取了新的培育方法后大棚西红柿的平均产量有所提高，故B正确；在C中，采取了新的培育方法后大棚西红柿的产量更加稳定了，故C正确；在D中，新、旧培育方法对大棚西红柿的产量影响较大，故D错误．故选：D．5．一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．B．C．D．解：正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，设底面三角形外接圆的半径r，由正弦定理可得，2r＝＝，∴r＝，所以R＝＝，所以球的表面积S＝4＝．故选：A．6．已知椭圆的两焦点F1，F2和双曲线的两焦点重合，点P为椭圆和双曲线的一个交点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的最小值为（）A．B．C．D．解：不妨设椭圆方程为+＝1（a＞b＞0），双曲线方程为﹣＝1（m＞0，n ＞0）．再设|PF1|＝s，|PF2|＝t，P为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义可得s+t＝2a，s﹣t＝2m，解得s＝a+m，t＝a﹣m，在三角形F1PF2中，，可得4c2＝s2+t2﹣2st×＝a2+m2+2am+a2+m2﹣2am﹣（a2﹣m2），即有3a2+5m2＝8c2，可得+＝8，即为+＝8，则e12+e22＝（+）（e12+e22）＝（8++）≥（8+2）＝（8+2）＝1+，当且仅当＝，即e22＝e12，取得最小值1+．故选：A．7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于点（，0）对称C．函数f（x）在[，π]上单调递增D．函数f（x）的图象关于直线x＝﹣对称解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，∴函数f（x）的周期T＝π，故A错误；∵ω＞0∴ω＝2，∴函数f（x+）的解析式为：f（x）＝sin[2（x+）+φ]＝sin（2x++φ），∵函数f（x+）是偶函数，∴+φ＝kπ+，k∈Z，又|φ|＜，解得：φ＝．∴f（x）＝sin（2x+）．∴由2x+＝kπ，k∈Z，解得对称中心为：（﹣，0），k∈Z，故B错误；由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，故C正确．由2x+＝kπ+，k∈Z，解得对称轴是：x＝+，k∈Z，故D错误；故选：C．8．已知函数，其中m＜0，若存在实数k，使得关于x的方程f （x）﹣k＝0恰有三个不同的实数根，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．C．[﹣3，0）D．解：当m＜0时，作出函数的图象如下图所示，当x＜m时，f（x）＝x2﹣2mx+6＝（x﹣m）2+6﹣m2≥6﹣m2，所以若要存在实数k，使得关于x的方程f（x）﹣k＝0恰有三个不同的实数根，则必须6﹣m2＜m2（m＜0），解得，所以m的取值范围是．故选：B．9．已知实数a＝0.70.2，b＝log20.7，c＝20.7，则实数a，b，c的大小是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b解：∵0＜0.70.2＜0.70＝1，log20.7＜log21＝0，20.7＞20＝1，∴b＜a＜c．故选：B．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分10．已知复数z＝+（a﹣1）i的虚部为零，i为虚数单位，则实数a＝．解：z＝+（a﹣1）i＝+（a﹣1）i＝+（a﹣1）i＝+（a﹣）i，因为其虚部为零，所以，即．故答案为：．11．二项式的展开式中的常数项为112．解：展开式的通项为T r+1＝（﹣2）r C8r，令＝0得r＝2，所以展开式中的常数项为（﹣2）2C82＝112．故答案为：112．12．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9，圆C以（﹣1，3）为中点的弦所在直线的斜率k ＝2．解：根据题意，圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9，其圆心C（1，2），设P（﹣1，3），要求斜率的弦所在的直线为l，若要求弦以P（﹣1，3）为中点，则CP⊥l，又由k CP＝＝﹣，则直线l的斜率k＝2，故答案为：2．13．由1，2，3，…，1000这个1000正整数构成集合A，先从集合A中随机取一个数a，取出后把a放回集合A，然后再从集合A中随机取出一个数b，则的概率为．解：由1，2，3，…，1000这个1000正整数构成集合A，先从集合A中随机取一个数a，取出后把a放回集合A，然后再从集合A中随机取出一个数b，P（）＝1﹣P（），∵，∴a，∴P（）＝，则的概率P（）＝1﹣．故答案为：．14．已知正实数m，n满足，则m+2n的最小值是．解：正实数m，n满足，设a＝m+2n，b＝+，∴ab＝（m+2n）（+）＝+2++≥+2＝，当且仅当m＝n时取等号，∵a+b＝，∴a（﹣a）≥，解得≤a≤3，故m+2n的最小值为．故答案为：．15．设向量，不平行，若向量λ+与﹣2平行，则实数λ的值为﹣．解：∵向量λ+与﹣2平行，∴存在实数k使得λ+＝k（﹣2），化为+＝，∵向量，不平行，∴，解得．故答案为：．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．解：（1）∵△ABC中，cos B＝，B∈（0，π），∴sin B＝，∵，∴AB＝＝5；（2）cos A＝﹣cos（π﹣A）＝﹣cos（C+B）＝sin B sin C﹣cos B cos C＝﹣．∵A为三角形的内角，∴sin A＝，∴cos（A﹣）＝cos A+sin A＝．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA＝PB＝2，若点E，F分别为AB和CD的中点．（Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面PEF；（Ⅱ）若二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值为，求PC与平面PAB所成角的正弦值．解：（Ⅰ）∵PA＝PB，∴AB⊥PE．而AB⊥EF，所以AB⊥平面PEF，又AB⊂平面PEF，所以平面ABCD⊥平面PEF．（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知，∠PEF即为二面角P﹣AB﹣C的平面角．如图，作PO⊥EF于O，则，∴．如图建立空间直角坐标系，则．设平面PAB的法向量为，则，令z＝1，则，∴，，∴．故PC与平面PAB所成角的正弦值为．18．设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点为，四条直线x＝±a，y＝±b所围成的区域面积为4．（1）求C的方程；（2）设过D（0，3）的直线l与C交于不同的两点A，B，设弦AB的中点为M，且|OM|＝|AB|（O为原点），求直线l的方程．解：（1）由题意，可知c＝，4ab＝4，则，解得．∴椭圆C的方程为+y2＝1．（2）由题意，当斜率不存在时，点M即为O点，不满足|OM|＝|AB|，故斜率存在，设斜率为k，则直线l：y＝kx+3．设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（3k2+1）x2+18kx+24＝0．则x1+x2＝，x1•x2＝．∴|AB|＝•＝•＝．设点M（x M，y M），则x M＝＝，y M＝k•+3＝．∴|OM|＝＝＝．∵|OM|＝|AB|，∴＝•．即3＝••化简，整理得3k4﹣32k2﹣11＝0，解得k2＝11，或k2＝﹣（舍去）．∴k＝±．∴直线l的方程为y＝±x+3．19．已知数列{a n}的各项均不为零，设数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n2}的前n项和为T n，且3S n2﹣4S n+T n＝0（n∈N*）．（1）求a1，a2的值；（2）设b n＝（2n﹣1）2n，求数列{b n}前n项和B n；（3）证明：数列{a n}是等比数列．【解答】解（1）：∵3S n2﹣4S n+T n＝0，令n＝1，得3a12﹣4a1+a12＝0∵a1≠0，∴a1＝1．令n＝2，得2（1+a2）2﹣4（1+a2）+（1+a22）＝0即2a22+a2＝0∵a2≠0，∴a2＝﹣；（2）∵b n＝（2n﹣1）2n，∴B n＝1•2+3•22+5•23+…+（2n﹣1）n•2n，①2B n＝1•22+3•23+5•24+…+（2n﹣1）•2n+1，②①﹣②，得﹣B n＝2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1＝2+2•﹣（2n﹣1）•2n+1＝﹣6+2n+2﹣（2n﹣1）•2n+1＝﹣6﹣（2n﹣3）•2n+1，∴B n＝（2n﹣3）•2n+1+6．证明（3）∵3S n2﹣4S n+T n＝0，①∴3S n+12﹣4S n+1+T n+1＝0，②②﹣①得：3（S n+1+S n）a n+1﹣4a n+1+a n+12＝0，∵a n+1≠0，∴3（S n+1+S n）﹣4+a n+1＝0，③3（S n+S n﹣1）﹣4+a n＝0，④当n≥2时，③﹣④得：3（a n+1+a n）+a n+1﹣a n＝0，即a n+1＝﹣a n，∵a n≠0，∴＝﹣．又由（1）知，a1＝1，a2＝﹣，∴＝﹣．∴数列{a n}是以1为首项，以﹣为公比的等比数列．20．已知函数f（x）＝x3+x2﹣ax（a∈R），g（x）＝xlnx．（1）求曲线g（x）在x＝1处的切线方程；（2）对任意x∈（0，a]，f（x）＞g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）当x∈（0，a]时，试求方程f（x）＝g（x）的根的个数．解：（1）∵g（x）＝xlnx，则g（x）的定义域为（0，+∞），∴g′（x）＝lnx+1，∴g′（1）＝1，∵g（1）＝0，则切点为（1，0），曲线g（x）在x＝1 处的切线方程是：y＝x﹣1．（2）∵对任意x∈（0，a]，f（x）＞g（x）恒成立，对任意x∈（0，a]，x2+x﹣a＞lnx恒成立，即x2+x﹣lnx﹣a＞0 恒成立，令φ（x）＝x2+x﹣lnx﹣a，x∈（0，a]，则，①当时，当x∈（0，a]时，φ′（x）＜0，∴φ（x）在（0，a]上单调递减，∴，∴，②当时，当时，φ′（x）＜0，∴φ（x）在上单调递减，当时，φ′（x）＞0，∴φ（x）在单调递增，∴，∴，综上，实数a的取值范围是．（3）当时，由（2）得，方程f（x）＝g（x）的根的个数为0，当时，由（2）得，当时，f（x）﹣g（x）＝0，∴方程f（x）＝g（x）的根的个数为1，当时，，φ（e﹣a）＝e﹣2a+e﹣a＞0，根据零点存在性定理，φ（x）在上至少存在1 个零点，又在上单调递减，φ（a）＝a2﹣lna＞a2﹣a＞0，同理，φ（x）在上只有1 个零点，方程f（x）＝g（x）的根的个数为2，综上，当时，方程f（x）＝g（x）的根的个数为0；当时，方程f（x）＝g（x）的根的个数为1；当时，方程f（x）＝g（x）的根的个数为2．。
天津市滨海新区2021届新高考数学四月模拟试卷含解析
天津市滨海新区2021届新高考数学四月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A ．72种 B ．144种 C ．288种 D ．360种【答案】B 【解析】 【分析】利用分步计数原理结合排列求解即可 【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2412A =种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2412A =种排法，所以不同的排表方法共有1212144⨯=种. 选B . 【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题2．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（ ）. A ．432 B ．576 C ．696 D ．960【答案】B 【解析】 【分析】先把没有要求的3人排好，再分如下两种情况讨论：1.甲、丁两者一起，与乙、丙都不相邻，2.甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻. 【详解】首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有33A 种不同排列方式，甲、丁排在一起共有22A 种不同方式；若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有34A 种不同方式； 若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有1224C A 种不同方式；根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为33A 22A 34(A +1224)576C A =种.故选：B.本题考查排列组合的综合应用，在分类时，要注意不重不漏的原则，本题是一道中档题.3．已知数列{}n a 满足：12125 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】B 【解析】 【分析】计算2226716...5n n a a a a a n ++++=-+-，故2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，解得答案.【详解】当6n ≥时，()1211111n n n n n a a a a a a a +--==+-，即211n n n a a a +=-+，且631a =.故()()()222677687116......55n n n n a a a a a a a a a n a a n +++++=-+-++-+-=-+-，2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，故17k =.故选：B . 【点睛】本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.4．如图，已知三棱锥D ABC -中，平面DAB ⊥平面ABC ，记二面角D AC B --的平面角为α，直线DA 与平面ABC 所成角为β，直线AB 与平面ADC 所成角为γ，则（ ）A ．αβγ≥≥B ．βαγ≥≥C ．αγβ≥≥D ．γαβ≥≥【答案】A 【解析】 【分析】作'DD AB ⊥于'D ,DE AC ⊥于E ,分析可得'DED α,'DAD β=∠,再根据正弦的大小关系判断分析得αβ≥,再根据线面角的最小性判定βγ≥即可.作'DD AB ⊥于'D ,DE AC ⊥于E .因为平面DAB ⊥平面ABC ,'DD ⊥平面ABC .故,'AC DE AC DD ⊥⊥, 故AC ⊥平面'DED .故二面角D AC B --为'DED α.又直线DA 与平面ABC 所成角为'DAD β=∠,因为DA DE ≥, 故''sin 'sin 'DD DD DED DAD DE DA.故αβ≥,当且仅当,A E 重合时取等号.又直线AB 与平面ADC 所成角为γ,且'DAD β=∠为直线AB 与平面ADC 内的直线AD 所成角,故βγ≥,当且仅当BD ⊥平面ADC 时取等号.故αβγ≥≥.故选：A 【点睛】本题主要考查了线面角与线线角的大小判断,需要根据题意确定角度的正弦的关系,同时运用线面角的最小性进行判定.属于中档题.5．执行如图所示的程序框图，若输出的310S =，则①处应填写（ ）A ．3?k <B ．3?kC ．5?kD ．5?k <【答案】B【分析】模拟程序框图运行分析即得解. 【详解】2111,0;2,0226k S k S ====+=+； 21113,6334k S ==+=+；21134,44410k S ==+=+.所以①处应填写“3?k ” 故选：B 【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（ ）A ．该市总有 15000 户低收入家庭B ．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C ．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D ．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户 【答案】D 【解析】 【分析】根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案. 【详解】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%， 则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A 正确，该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B 正确， 该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C 正确， 该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D 错误． 故选：D. 【点睛】本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.7．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．1 2B．13C．23D．56【答案】C【解析】【分析】根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积.【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：由图可知，该几何体是在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中截去四棱锥1B ABCD-所形成的几何体，该几何体的体积为321211133V=-⨯⨯=.故选：C.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.8．已知幂函数()f x xα=的图象过点(3,5)，且1aeα⎛⎫= ⎪⎝⎭，3bα=1log4cα=，则a，b，c的大小关系为（）A．c a b<<B．a c b<<C．a b c<<D．c b a<<【答案】A【解析】根据题意求得参数α，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断. 【详解】依题意，得35α=，故3log 5(1,2)α=∈，故3log 5101e a ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，1b =>，3log 51log 04c =<， 则c a b <<. 故选：A. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题.9．已知椭圆E ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线240x y +-=与y 轴交于点A ，线段2AF 与E 交于点B .若1||AB BF =，则E 的方程为（ ）A ．2214036x y +=B ．2212016x y +=C ．221106x y +=D ．2215x y +=【答案】D 【解析】 【分析】由题可得()()20,42,0，A F ，所以2c =，又1||AB BF =，所以1222a BF BF AF =+==a =，故可得椭圆的方程.【详解】由题可得()()20,42,0，A F ，所以2c =，又1||AB BF =，所以1222a BF BF AF =+==，得a =，1b ∴=，所以椭圆的方程为2215x y +=.故选：D 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆标准方程的求解.10．已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=（ ） A ．1318B ．1318或1936C ．139D ．136【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得25968736a a a a a ⋅=⋅==，通分化简即可.【详解】由题意，数列{}n a 为等比数列，则25968736a a a a a ⋅=⋅==，又a a a 76826++=，即68726a a a +=-，所以，()()76877786867678777683636261113636a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +⋅++⋅-⋅+⋅+⋅++===⋅⋅⋅⋅， ()277777777773626362636263626133636363618a a a a a a a a a a +⋅-+⋅-+⋅-⋅=====⋅⋅⋅⋅.故选：A. 【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>满足以下条件：①双曲线E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合；②双曲线E 与过点(4,2)P 的幂函数()f x x α=的图象交于点Q ，且该幂函数在点Q 处的切线过点F 关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ） ABC ．32D1【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求出焦点坐标为(1,0)(-1,0)，,可求得幂函数为()f x =设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率． 【详解】依题意可得，抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，F 关于原点的对称点(1,0)-；24α=，12α=，所以12()f x x ==，()f x '=，设0(Q x0=01x =，∴ ()1,1Q ，可得22111a b -=，又1c =，222c a b =+，可解得12a =，故双曲线的离心率是ce a ===. 故选B ． 【点睛】本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般. 12．已知数列 {}n a 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ， 2a 成等差数列，则公比 q 的值为（ ）A ．12-B ．2-C ．1- 或12D ．1 或 12-【答案】D 【解析】 【分析】由132a a a ，，成等差数列得3122a =a +a ，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q 的方程. 【详解】由题意3122a =a +a ，∴2a 1q 2=a 1q+a 1，∴2q 2=q+1，∴q=1或q=1-2故选：D ． 【点睛】本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q 是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考数学四模试题 文含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年三中高考数学四模试卷〔文科〕一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．1．假设复数z=1+2i，那么复数z的模等于〔〕A．B．2 C．D．2．设集合A={x|y=log2〔x﹣1〕}，，那么A∩B=〔〕A．〔0，2] B．〔1，2〕C．〔1，+∞〕D．〔1，2]3．数列{a n}，那么“对于任意的n∈N*，点P n〔n，a n〕都在曲线y=3x上〞是“数列{a n}为等比数列〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．对于平面α和不重合的两条直线m、n，以下选项里面正确的选项是〔〕A．假设m⊂α，n∥α，m、n一共面，那么m∥nB．假设m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．假设m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αD．假设m⊥α，n⊥m，那么n∥α5．设是不一共线的向量，，，假设与一共线，那么实数k为〔〕A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．±16．a=，b=lo，c=log2，那么〔〕A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c7．执行如下列图的程序框图，假设输出S=16，那么框图中①处可以填入〔〕A．n＞2 B．n＞4 C．n＞6 D．n＞88．假设圆〔x﹣1〕2+〔y+1〕2=r2上有且只有两个点到直线x﹣y+1=0的间隔等于，那么半径r的取值范围是〔〕A．B．C．D．9．数列{a n}的前n项和S n满足S n=2n2﹣n，那么数列{a2n}的前10项和等于〔〕A．380 B．390 C．400 D．41010．某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的外接球的外表积为〔〕A．36πB．30πC．29πD．20π11．函数，假设函数f〔x〕在区间上为单调递减函数，那么实数ω的取值范围是〔〕A．B．C．D．12．定义域为〔0，+∞〕的函数f〔x〕的图象经过点〔2，4〕，且对∀x∈〔0，+∞〕，都有f′〔x〕＞1，那么不等式f〔2x﹣2〕＜2x的解集为〔〕A．〔0，+∞〕B．〔0，2〕C．〔1，2〕D．〔0，1〕二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕13．假设曲线y=lnx的一条切线是直线，那么实数b的值是．14．动点P〔x，y〕满足，那么z=x+2y的最小值为．15．x∈〔0，+∞〕，观察以下各式：x+≥2，x+≥3，x+≥4，…类比得：x+，那么a=．16．a n=〔b＞1，n≥2〕，假设对不小于4的自然数n，恒有不等式a n+1＞a n成立，那么实数b的取值范围是．三、解答题〔本大题一一共5小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．〕17．如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，满足sin2A+sin2C﹣sin2B=sinA•sinC〔Ⅰ〕求角B；〔Ⅱ〕点D在线段BC上，满足DA=DC，且a=11，cos〔A﹣C〕=，求线段DC的长．18．为理解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，分别记录了4月1日至4月5日每天的昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日温差x°C12 11 13 10 8发芽率y颗26 25 30 23 16 〔1〕从这5天中任选2天，求至少有一天种子发芽数超过25颗的概率；〔2〕请根据4月1日、4月2日、4月3日这3天的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；〔3〕根据〔2〕中所得的线性回归方程，预测温差为16°C时，种子发芽的颗数．参考公式：=，=﹣x．19．如图，四边形ABCD与BDEF均为边长为2的菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．〔1〕求证：FC∥平面EAD；〔2〕求点A到平面BDEF的间隔．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1〔a＞b＞0〕经过点和点B〔0，2〕，斜率为k〔k≠0〕的直线经过点P〔2，0〕且交E于M，N两点．〔1〕求椭圆E的方程；〔2〕当△AOM与△AON面积比值为7，务实数k的值．21．函数f〔x〕=e x[x2﹣〔a+2〕x+b]，曲线y=f〔x〕在x=0处的切线方程为2a2x+y﹣b=0，其中e是自然对数的底数〕．〔Ⅰ〕确定a，b的关系式〔用a表示b〕；〔Ⅱ〕对于任意负数a，总存在x＞0，使f〔x〕＜M成立，务实数M的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，将圆O：x2+y2=4上每一个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到曲线C．〔1〕求曲线C的参数方程；〔2〕以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两坐标系中取一样的单位长度，射线θ=α〔ρ≥0〕与圆O和曲线C分别交于点A，B，求|AB|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|tx﹣2|﹣|tx+1|，a∈R．〔1〕当t=1时，解不等式f〔x〕≤1；〔2〕假设对任意实数t，f〔x〕的最大值恒为m，求证：对任意正数a，b，c，当a+b+c=m时，≤m．2021年三中高考数学四模试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．1．假设复数z=1+2i，那么复数z的模等于〔〕A．B．2 C．D．【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：∵z=1+2i，∴|z|==，应选：A．2．设集合A={x|y=log2〔x﹣1〕}，，那么A∩B=〔〕A．〔0，2] B．〔1，2〕C．〔1，+∞〕D．〔1，2]【考点】1E：交集及其运算．【分析】运用对数函数的定义域和含根号函数的值域，化简集合A，B，再由交集的定义，即可得到所求集合．【解答】解：集合A={x|y=log2〔x﹣1〕}={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，={y|y≥0}，那么A∩B={x|x＞1}∩{y|y≥0}=〔1，+∞〕∩[0，+∞〕=〔1，+∞〕，应选：C．3．数列{a n}，那么“对于任意的n∈N*，点P n〔n，a n〕都在曲线y=3x上〞是“数列{a n}为等比数列〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等比数列的定义结合充分条件和必要条件的定义进展判断即可．【解答】解：假设“对于任意的n∈N*，点P n〔n，a n〕都在曲线y=3x上〞，那么a n=3n，那么数列{a n}为公比q=3的等比数列，即充分性成立，假设a n=2n，满足数列{a n}为等比数列，但点P n〔n，a n〕都在曲线y=3x上不成立，即必要性不成立，即“对于任意的n∈N*，点P n〔n，a n〕都在曲线y=3x上〞是“数列{a n}为等比数列〞的充分不必要条件，应选：A4．对于平面α和不重合的两条直线m、n，以下选项里面正确的选项是〔〕A．假设m⊂α，n∥α，m、n一共面，那么m∥nB．假设m⊂α，n与α相交，那么m、n是异面直线C．假设m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αD．假设m⊥α，n⊥m，那么n∥α【分析】此题考察的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，假设m⊂α，n∥α，那么m∥n或者m 与n异面，又由m、n一共面，那么m∥n；假设m⊂α，n与α相交，那么m、n相交或者m、n是异面直线；假设m⊂α，n⊄α，当m、n是异面直线时，那么n与α可能平行，也可能相交；假设m⊥α，n⊥m，那么n∥α或者n⊂α．分析后即可得到正确之答案．【解答】解：A答案中：假设m⊂α，n∥α，那么m∥n或者m与n异面，又由m、n一共面，那么m∥n，故A正确；B答案中：假设m⊂α，n与α相交，那么m、n相交或者m、n是异面直线，故B答案错误；C答案中：假设m⊂α，n⊄α，当m、n是异面直线时，那么n与α可能平行，也可能相交，故C答案错误；D答案中：假设m⊥α，n⊥m，那么n∥α或者n⊂α故D答案错误；应选A5．设是不一共线的向量，，，假设与一共线，那么实数k为〔〕A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．±1【考点】96：平行向量与一共线向量．【分析】根据平面向量的一共线定理和向量相等的定义，列方程求出k的值．【解答】解：是不一共线的向量，且，，假设与一共线，那么存在实数λ，使=λ；∴+k=λ〔k+〕=λk+λ，由向量相等得，解得k=±1．应选：D．6．a=，b=lo，c=log2，那么〔〕A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】分别判断a，b，c的取值范围即可得到结论．【解答】解：a==＞1，b=lo∈〔0，1〕，c=log2＜0，应选：A．7．执行如下列图的程序框图，假设输出S=16，那么框图中①处可以填入〔〕A．n＞2 B．n＞4 C．n＞6 D．n＞8【考点】EF：程序框图．【分析】据程序框图写出几次循环的结果，直到S=16，断定出n满足的条件．【解答】解：第一次循环：s=1，n=3；不满足条件；第二次循环：s=4，n=5，不满足条件；第三次循环：s=9，n=7，不满足条件；第四次循环：s=16，n=9，满足条件；输出s的值，所以判断框中的条件可填写上“n＞8〞．应选：D．8．假设圆〔x﹣1〕2+〔y+1〕2=r2上有且只有两个点到直线x﹣y+1=0的间隔等于，那么半径r的取值范围是〔〕A．B．C．D．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】圆心〔1，1〕到直线x﹣y+1=0的间隔d=，由此根据圆上有且只有两个点到直线x﹣y+1=0的间隔等于，能求出半径r的取值范围．【解答】解：圆〔x﹣1〕2+〔y+1〕2=r2的圆心〔1，1〕，半径为r，圆心〔1，1〕到直线x﹣y+1=0的间隔d==∵圆上有且只有两个点到直线x﹣y+1=0的间隔等于，∴．即半径r的取值范围是〔〕．9．数列{a n}的前n项和S n满足S n=2n2﹣n，那么数列{a2n}的前10项和等于〔〕A．380 B．390 C．400 D．410【考点】8E：数列的求和．【分析】S n=2n2﹣n，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1．n=1时，a1=S1=1，可得a n，进而到达a2n．再利用求和公式即可得出．【解答】解：S n=2n2﹣n，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n2﹣n﹣[2〔n﹣1〕2﹣〔n﹣1〕]=4n﹣3．n=1时，a1=S1=1，对于上式也成立．∴a n=4n﹣3．∴a2n=8n﹣3．那么数列{a2n}的前10项和等于==410．应选：D．10．某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的外接球的外表积为〔〕A．36πB．30πC．29πD．20π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体是平放的三棱柱，底面为直角三角形，高为4，由此计算外接球的外表积．【解答】解：由三视图得到几何体是平放的三棱柱，底面为直角边分别为2，3的直角三角形，棱柱的高为4，所以外接球的直径为，所以外表积为：；应选C．11．函数，假设函数f〔x〕在区间上为单调递减函数，那么实数ω的取值范围是〔〕A．B．C．D．【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的图象和性质求出函数的单调递减区间，建立不等式关系即可得求得实数ω的取值范围．【解答】解：∵函数在区间上为单调递减函数，由2kπ+≤ωx﹣≤2kπ+，求得+≤+，故函数f〔x〕的减区间为[+，+]，k∈Z．∵函数f〔x〕在区间上为单调递减函数，故有，求得2k+≤ω≤+，令k=0，可得≤ω≤，应选：B．12．定义域为〔0，+∞〕的函数f〔x〕的图象经过点〔2，4〕，且对∀x∈〔0，+∞〕，都有f′〔x〕＞1，那么不等式f〔2x﹣2〕＜2x的解集为〔〕A．〔0，+∞〕B．〔0，2〕C．〔1，2〕D．〔0，1〕【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】令g〔x〕=f〔x〕﹣x，求出函数的导数，得到函数g〔x〕的单调性，问题转化为g〔2x﹣2〕＜g 〔2〕，根据函数的单调性求出x的范围即可．【解答】解：令g〔x〕=f〔x〕﹣x，那么g′〔x〕=f′〔x〕﹣1＞0，故g〔x〕在〔0，+∞〕递增，而g〔2〕=f〔2〕﹣2=2，由f〔2x﹣2〕＜2x，得g〔2x﹣2〕＜g〔2〕，故，解得：1＜x＜2，应选：C．二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕13．假设曲线y=lnx的一条切线是直线，那么实数b的值是﹣1+ln2．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得切线的斜率，列出方程求解即可．【解答】解：曲线y=lnx，可得y′=，曲线y=lnx的一条切线是直线y=x+b，可得=，解得切点的横坐标x=2，那么切点坐标〔2，ln2〕，所以ln2=1+b，可得b=﹣1+ln2．故答案为：﹣1+ln2．14．动点P〔x，y〕满足，那么z=x+2y的最小值为3．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目的函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目的函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A〔3，0〕，化目的函数z=x+2y为y=﹣+，由图可知，当直线y=﹣+过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3．故答案为：3．15．x∈〔0，+∞〕，观察以下各式：x+≥2，x+≥3，x+≥4，…类比得：x+，那么a=n n．【考点】F3：类比推理；F1：归纳推理．【分析】观察前几个式子的分子分母可发现规律得出结论．【解答】解：当n=1时，a=1，当n=2时，a=2=22，当n=3时，a=27=33，…∴当分母指数取n时，a=n n．故答案为n n．16．a n=〔b＞1，n≥2〕，假设对不小于4的自然数n，恒有不等式a n+1＞a n成立，那么实数b的取值范围是〔3，+∞〕．【考点】6P：不等式恒成立的问题；8H：数列递推式．【分析】根据题意可得b＞=1+，再根据数列的函数特征，即可求出b的取值范围．【解答】解：假设对不小于4的自然数n，恒有不等式a n+1＞a n成立，那么＞，即〔n+1〕〔1﹣b〕+3b﹣2＞n〔1﹣b〕b+3b2﹣2b，即〔1﹣b〕〔n+1﹣nb〕＞〔3b﹣2〕〔b﹣1〕，∵b＞1，∴nb﹣〔n+1〕＞3b﹣2，∴b〔n﹣3〕＞n﹣1，∵n≥4，∴b＞=1+，∵设T n=1+，当n≥4时，该数列为递减数列，∴1+≤1+=3，∴b＞3，故b的取值范围为〔3，+∞〕，故答案为：〔3，+∞〕三、解答题〔本大题一一共5小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．〕17．如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，满足sin2A+sin2C﹣sin2B=sinA•sinC 〔Ⅰ〕求角B；〔Ⅱ〕点D在线段BC上，满足DA=DC，且a=11，cos〔A﹣C〕=，求线段DC的长．【考点】HT：三角形中的几何计算；HP：正弦定理．【分析】〔Ⅰ〕根据正弦定理以及余弦定理可得cosB=，即可求出B的值，〔Ⅱ〕根据正弦定理和三角形的关系即可求出答案．【解答】解：〔Ⅰ〕由正弦定理及sin2A+sin2C﹣sin2B=sinA•sinC可得，a2+c2﹣b2=ac，∴cosB==，∵B∈〔0，π〕，〔Ⅱ〕由条件∠BAD=∠A﹣∠C，由cos〔A﹣C〕=可得sin〔A﹣C〕=，设AD=x，那么CD=x，BD=11﹣x，在△ABD中，由正弦定理得=，故=，解得x=4﹣5，所以AD=DC=4﹣518．为理解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，分别记录了4月1日至4月5日每天的昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日温差x°C12 11 13 10 8发芽率y颗26 25 30 23 16 〔1〕从这5天中任选2天，求至少有一天种子发芽数超过25颗的概率；〔2〕请根据4月1日、4月2日、4月3日这3天的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；〔3〕根据〔2〕中所得的线性回归方程，预测温差为16°C时，种子发芽的颗数．参考公式：=，=﹣x．【考点】BK：线性回归方程．【分析】〔1〕利用对立事件的概率计算所求的概率值；〔2〕计算、，求出回归系数，，写出回归方程；〔3〕利用回归方程，计算x=16时的值即可．【解答】解：〔1〕从这5天中任选2天，至少有一天种子发芽数超过25颗的概率为P=1﹣=；〔2〕请根据4月1日、4月2日、4月3日这3天的数据，计算=×〔12+11+13〕=12，=×〔26+25+30〕=27，回归系数为===，=﹣=27﹣×12=﹣3，∴y关于x的线性回归方程为=x﹣3；〔3〕根据〔2〕中所得的线性回归方程，计算x=16时，=×16﹣3=37；即预测温差为16°C时，种子发芽的颗数为37．19．如图，四边形ABCD与BDEF均为边长为2的菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．〔1〕求证：FC∥平面EAD；〔2〕求点A到平面BDEF的间隔．【考点】MK：点、线、面间的间隔计算；LS：直线与平面平行的断定．【分析】〔1〕由分别证明FB∥ED，BC∥AD，再由面面平行的断定可得平面FBC/平面EAD，进一步得到FC ∥平面EAD；〔2〕设AC∩BD=O，那么O为AC的中点，可得FO⊥AO，又AO⊥BD，由线面垂直的断定可得AO⊥平面BDEF，在菱形ABCD中，求解三角形得答案．【解答】证明：〔1〕∵BDEF是菱形，∴FB∥ED，又ED⊂平面EAD，FB⊄平面EAD，∴FB∥平面EAD，∵ABCD是菱形，∴BC∥AD，又AD⊂平面EAD，BC⊄平面EAD，∴BC∥平面EAD，又FB∩BC=B，FB⊂平面EAD，BC⊂平面EAD，∴平面FBC∥平面EAD，又FC⊂平面FBC，∴FC∥平面EAD；解：〔2〕设AC∩BD=O，那么O为AC的中点，∵FA=FC，∴FO⊥AO，又AO⊥BD，FO∩BD=O，∴AO⊥平面BDEF，在菱形ABCD中，∵AB=2，∠DAB=60°，∴，故点A到平面BDEF的间隔为．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1〔a＞b＞0〕经过点和点B〔0，2〕，斜率为k〔k≠0〕的直线经过点P〔2，0〕且交E于M，N两点．〔1〕求椭圆E的方程；〔2〕当△AOM与△AON面积比值为7，务实数k的值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】〔Ⅰ〕由椭圆E经过点和点B〔0，2〕，列出方程组，求出a=2，b=，由此能求出椭圆的HY方程．〔Ⅱ〕取立，得〔3k2+4〕y2+16ky+4k2=0，由此利用韦达定理、根的判别式，结合条件能求出实数k的值．【解答】解：〔Ⅰ〕∵椭圆E：=1〔a＞b＞0〕经过点和点B〔0，2〕，∴，解得a=2，b=，椭圆的HY方程为．〔Ⅱ〕设点M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，取立，得〔3k2+4〕y2+16ky+4k2=0，∴，且△=256k2﹣16k2〔3k2+4〕＞0，解得0＜k2＜4，，∴y1=7y2，∴，解得实数k的值是±1．21．函数f〔x〕=e x[x2﹣〔a+2〕x+b]，曲线y=f〔x〕在x=0处的切线方程为2a2x+y﹣b=0，其中e是自然对数的底数〕．〔Ⅰ〕确定a，b的关系式〔用a表示b〕；〔Ⅱ〕对于任意负数a，总存在x＞0，使f〔x〕＜M成立，务实数M的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】〔Ⅰ〕求导数，利用曲线y=f〔x〕在x=0处的切线方程为2a2x+y﹣b=0确定a，b的关系式〔用a 表示b〕；〔Ⅱ〕对于任意负数a，总存在x＞0，使f〔x〕＜M成立，即对于任意负数a，x＞0，使f〔x〕min＜M成立，即可务实数M的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕∵f〔x〕=e x[x2﹣〔a+2〕x+b]，∴f′〔x〕=e x[x2﹣ax+b﹣〔a+2〕]，∴f′〔0〕=﹣2a2，∴b=a+2﹣2a2；〔Ⅱ〕对于任意负数a，总存在x＞0，使f〔x〕＜M成立，即对于任意负数a，x＞0，使f〔x〕min＜M成立，由〔Ⅰ〕可知f′〔x〕=e x〔x﹣2a〕〔x+a〕，令f′〔x〕=0，可得x=2a，或者x=﹣a．a＜0，0＜x＜﹣a，f′〔x〕＜0，函数单调递减，x＞﹣a，f′〔x〕＞0，函数单调递增，∴x＞0，f〔x〕min=f〔﹣a〕=e﹣a〔3a+2〕，令g〔a〕=e﹣a〔3a+2〕，那么g′〔a〕=e﹣a〔1﹣3a〕＞0，此时函数单调递增，即g〔a〕＜g〔0〕=2，∴M≥2．请考生在22、23两题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，将圆O：x2+y2=4上每一个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到曲线C．〔1〕求曲线C的参数方程；〔2〕以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两坐标系中取一样的单位长度，射线θ=α〔ρ≥0〕与圆O和曲线C分别交于点A，B，求|AB|的最大值．【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【分析】〔1〕圆的参数方程为〔θ为参数〕，曲线C的参数方程为〔θ为参数〕〔2〕曲线C的极坐标方程为极坐标方程ρ=，令θ=α，那么极坐标系中A，B〔，π+α〕，那么|AB|=2×，即可求解．【解答】解：〔1〕圆的参数方程为〔θ为参数〕根据题意，曲线C的参数方程为〔θ为参数〕〔2〕曲线C的参数方程为〔θ为参数〕⇒⇒⇒极坐标方程ρ=令θ=α，那么极坐标系中A，B〔，π+α〕那么|AB|=2×，当α=0时，|AB|取最大值为4．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|tx﹣2|﹣|tx+1|，a∈R．〔1〕当t=1时，解不等式f〔x〕≤1；〔2〕假设对任意实数t，f〔x〕的最大值恒为m，求证：对任意正数a，b，c，当a+b+c=m时，≤m．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】〔1〕求出f〔x〕的分段函数的形式，求出f〔x〕的最大值，求出不等式的解集即可；〔2〕根据绝对值不等式的性质求出m的值，结合不等式的性质证明即可．【解答】解：〔1〕t=1时，f〔x〕=|x﹣2|﹣|x+1|，，所以f〔x〕≤1，故不等式的解集为[0，+∞〕〔2〕由绝对值不等式得||tx﹣2|﹣|tx+1|≤|〔tx﹣2〕﹣〔tx+1〕||=3，所以f〔x〕最大值为3，故m=3，故++≤++≤++==3，当且仅当a=b=c=1时等号成立，故原结论成立．。
天津市津南区2021届新第四次高考模拟考试数学试卷含解析
天津市津南区2021届新第四次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图像得到函数的一个解析式为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据平移法则得到答案. 【详解】设函数解析式为()()sin f x A x b ωϕ=++， 根据图像：1,0A b ==，43124T πππ=-=，故T π=，即2ω=， sin 1126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,3k k Z πϕπ=+∈，取0k =，得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数向右平移6π个单位得到sin 2y x =. 故选：D . 【点睛】本题考查了根据函数图像求函数解析式，三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 2．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，23c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin C =（ ） A 3B ．217C 21D 57【解析】【分析】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得3tan B=，可得出6Bπ=，然后利用余弦定理求出b的值，最后利用正弦定理可求出sin C的值. 【详解】31sin sin cos sin32b A a B a B a Bπ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭Q，即31sin sin sin cos sin sin22A B A B A B=-，即3sin sin3sin cosA B A A=，sin0A>Q，3sin3cosB B∴=，得3tan3B=，0BQπ<<，6Bπ∴=.由余弦定理得2232cos112212372b ac ac B=+-=+-⨯⨯⨯=，由正弦定理sin sinc bC B=，因此，123sin212sin77c BCb⨯===.故选：B.【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.3．已知函数()cos()f x A xωϕ=+（0A>，0>ω，||2ϕπ<），将函数()f x的图象向左平移34π个单位长度，得到函数()g x的部分图象如图所示，则1()3f x=是3212xgπ⎛⎫+=⎪⎝⎭的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先根据图象求出函数()g x 的解析式,再由平移知识得到()f x 的解析式,然后分别找出1()3f x =和2123x g π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出. 【详解】设()()sin g x A x ωμ=+,根据图象可知,371,24612A T T πππω⎛⎫==--⇒=⇒= ⎪⎝⎭,再由77sin 211212g ππμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 取3πμ=-, ∴()sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 将函数()g x 的图象向右平移34π个单位长度,得到函数()f x 的图象, ∴33()sin 2cos 24433f x g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.11()cos 2333f x x π⎛⎫=⇔-= ⎪⎝⎭,sin 21263x g x ππ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令6x πθ=-,则21sin cos 212sin 33θθθ=⇒=-=,显然,1cos 2sin 33θθ=⇒=∴1()3f x =是212x g π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的必要不充分条件. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换, 二倍角公式的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题.4．若复数()()2a i 1i (i ++为虚数单位)在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a 为（ ） A ．2- B ．2C ．12-D ．12【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a 值．解：()()()()2a i 1i 2a 12a 1i ++=-++Q 在复平面内所对应的点在虚轴上，2a 10∴-=，即1a 2=． 故选D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 5．已知l ，m 是两条不同的直线，m ⊥平面α，则“//l α”是“l ⊥m”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可. 【详解】当m ⊥平面α时，若l ∥α”则“l ⊥m”成立，即充分性成立， 若l ⊥m ，则l ∥α或l ⊂α，即必要性不成立， 则“l ∥α”是“l ⊥m”充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题6．当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（ ）A ．914B ．514C ．37D ．928【答案】A 【解析】 【分析】根据循环结构的运行，直至不满足条件退出循环体，求出x 的范围，利用几何概型概率公式，即可求出结论. 【详解】程序框图共运行3次，输出的x 的范围是[]23247，， 所以输出的x 不小于103的概率为24710314492472322414-==-.故选:A. 【点睛】本题考查循环结构输出结果、几何概型的概率，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.7．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则A B =I （ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x x 禳镲<-睚镲镲铪C ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{|1}x x >-【答案】C【分析】由题意和交集的运算直接求出A B I . 【详解】∵ 集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<∴A B =I 1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭. 故选:C. 【点睛】本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆. 8．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a //β，b //α，则“a //b“是“α//β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行的判定及性质求解即可． 【详解】解：a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α，由a ∥b ，不一定有α∥β，α与β可能相交； 反之，由α∥β，可得a ∥b 或a 与b 异面，∴a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α， 则“a ∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题．9．已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ）A ．B ．8C ．D ．4【答案】C 【解析】将直线方程1y x =-代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出FA FB -的值． 【详解】F （1，0），故直线AB 的方程为y ＝x ﹣1，联立方程组241y xy x ⎧=⎨=-⎩，可得x 2﹣6x+1＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系可知x 1+x 2＝6，x 1x 2＝1． 由抛物线的定义可知：|FA|＝x 1+1，|FB|＝x 2+1， ∴||FA|﹣|FB||＝|x 1﹣x 2|＝==故选C ． 【点睛】本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．10．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A ．1,0a b <-< B ．1,0a b <-> C ．1,0a b >-< D ．1,0a b >->【答案】C 【解析】 【分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得． 【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'，当10a +„，即1a -„时，0y '…，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如图：∴01ba <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，310(116,)b a a >>-+∴>-． 故选C ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.11．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-()()0≠f x ，且在区间()20172018,上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα,的大小关系是（ ） A ．()()sin cos βα<f f B ．()()sin cos βα>f f C ．()()sin =cos βαf f D ．以上情况均有可能【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求得函数的周期，根据周期及偶函数的对称性可求()f x 在(0,1)上的单调性，结合三角函数的性质即可比较． 【详解】由1(1)()f x f x +=-可得1(2)[(1)1]()(1)f x f x f x f x +=++=-=+，即函数的周期2T =， 因为在区间(2017,2018)上单调递减，故函数在区间(1,0)-上单调递减， 根据偶函数的对称性可知，()f x 在(0,1)上单调递增， 因为α，β是锐角三角形的两个内角， 所以1,(0,)2αβπ∈且12αβπ+>即12απβ>-， 所以1cos cos()2απβ<-即0cos sin 1αβ<<<，(cos )(sin )f f αβ<．故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．12．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=L ）A ．1624B ．1024C ．1198D ．1560【答案】B 【解析】 【分析】根据高阶等差数列的定义，求得等差数列{}n c 的通项公式和前n 项和，利用累加法求得数列{}n a 的通项公式，进而求得19a . 【详解】 依题意n a ：1，4，8，14，23，36，54，……两两作差得n b ：3，4，6，9，13，18，……两两作差得n c ：1，2，3，4，5，……设该数列为{}a ，令b a a =-，设{}b 的前n 项和为B ，又令=-c b b ，设{}c 的前n 项和为n C .易n c n =，22n n n C +=，进而得21332n n n n b C ++=+=+，所以2(1)133222n n n n b n -=+=-+，则(1)(1)36n n n n B n +-=+，所以11n n a B +=+，所以191024a =.故选：B 【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天津市第一中学2023-2024学年高三第四次月考数学试卷(解析版)
天津一中2023—2024-2高三年级第四次月考数学试卷本试卷总分150分，考试用时120分钟．考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得集合，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由不等式，解得，所以，又由，所以.故选：C.2. 将收集到的天津一中2021年高考数学成绩绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A. B. 高三年级取得130分以上的学生约占总数的65%C. 高三年级的平均分约为133.2D. 高三年级成绩的中位数约为125【答案】D 【解析】【分析】对于A ，由各个矩形面积之和为1即可列式求解；对于B ，求最右边两个矩形面积之和即可验算；对于C ，D 分别由平均数计算公式、中位数计算方法即可判断.{}{}2|3100,33A x x x B x x =--<=-≤≤A B = (2,3]-[)3,5-{1,0,1,2,3}-{3,2,1,0,1,2,3,4}---{}1,0,1,2,3,4A =-23100x x --<25x -<<{}1,0,1,2,3,4A =-{}33B x x =-≤≤{}1,0,1,2,3A B ⋂=-0.028a =【详解】对于A ，，故A 正确；对于B ，高三年级取得130分以上的学生约占总数的，故B 正确；对于C ，高三年级的平均分约为，故C 正确；对于D ，设高三年级成绩的中位数为，由于，所以，故D 不正确.故选；D.3. 已知，条件，条件，则是的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合绝对值的性质，根据不等式的性质及充分条件、必要条件的定义分析判断即可.【详解】因为，所以由得，故由能推出；反之，当时，满足，但是；所以是的充分不必要条件.故选：A .4. 函数的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】.()1100.0010.0090.0250.037100.028a =-⨯+++÷=⎡⎤⎣⎦()0.0280.03710100%65%+⨯⨯=()1050.0011150.0091250.0251450.0281350.03710133.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=x 0.010.090.250.350.500.350.370.72++=<<+=130140x <<0a >:p a b >2:q a ab >p q 0a >a b >2a ab ab >≥:p a b >2:q a ab >10,2a b =>=-212a ab =>=-122a =<-=p q ()21cos 31x f x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭【分析】根据函数奇偶性即可排除CD ，由特殊点的函数值即可排除A.【详解】，则的定义域为R ，又，所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD ，当时，，故排除A .故选：B.5. 已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，设，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】结合偶函数的性质，函数单调性，只需比较对数、分数指数幂的大小即可得解.【详解】因为函数是上的偶函数，且在上单调递增，所以，即.故选：B.6. 多项式展开式中的系数为（ ）A. 985B. 750C. 940D. 680【答案】A 【解析】分析】由二项式定理即可列式运算，进而即可得解.【详解】多项式展开式中的系数为.故选：A.7. 已知斜三棱柱中，为四边形对角线的交点，设三棱柱的体积【2()(1)cos 31xf x x =-⋅+()f x ()()()22321cos 1cos 1cos 313131x x x xf x x x x f x -⎛⎫⨯⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=-⋅=-+⋅=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x πx =()ππ22π1cos π103131f ⎛⎫-=< ⎪++⎝⎭=-+()f x R ()f x [0,)+∞12e a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭12b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1ln 2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c <<b<c<ac<a<bb a c<<()f x R ()f x [0,)+∞()()1211ln 2ln 1e 22b f f f c f ff a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<==<<== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b<c<a ()52(71)52x x++2x ()52(71)52x x++2x 32350555C 712C 7159805985⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+=111ABC A B C -O 11ACC A 111ABC A B C -为，四棱锥的体积为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】如图，延长，连接，则、，进而得，即可求解.【详解】如图，延长，连接，则，所以，又O 为的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的2倍，则，所以，即故选：A8. 已知函数（为常数，且）的一个最大值点为，则关于函数的性质，下列说法错误的有（ ）个.1V 11O BCC B -2V 21:V V =1:31:41:62:31OA 11,,OB OB A B 111123A BCC B V -=11122A BCC B V V -=12223V V =1OA 11,,OB OB A B 11111111,3A ABC A BCCB A ABC V V V V V ---=+=111123A BCCB V -=1AC 1A 11BCC B O 11BCC B 11111222A BCC B O BCC B V V V --==12223V V =2113V V =()sin cos f x a x b x =+,a b 0,0a b >>π3x =()sin 2cos 2g x a x b x =+①的最小正周期为；②的一个最大值点为；③在上单调递增；④的图像关于中心对称．A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的性质，求的关系，再根据辅助角公式化简函数，再利用代入的方法，判断函数的性质.【详解】函数，，平方后整理为，所以，，函数的最小正周期为，故①正确；当时，，此时函数取得最大值，故②正确；当时，，位于单调递增区间，故③正确；，故④错误，所以错误的只有1个.故选：B9. 已知双曲线的左焦点为，过作渐近线的垂线，垂足为，且与抛物线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】()g x π()g x π6()g x 2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭()gx 7π,012⎛⎫⎪⎝⎭,a b ()g x ()sin cos f x a x b x =+12b +=()20a =a π()sin 2cos 22sin 26g x x b x b x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭0b >()g x 2ππ2=π6x =πππ2662⨯+=()g x 2π,π3x ⎛⎫∈⎪⎝⎭π3π13π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭77ππ4π2sin 22sin 0121263g b b π⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221(0,0)x y a b a b-=>>1(,0)F c -1F P 212y cx =M 13PM F P =【分析】首先利用等面积法求出点坐标，再根据，求出坐标，再将坐标带入抛物线化简即可求解出双曲线离心率.【详解】据题意，不妨取双曲线的渐近线方程为，此时，，∴，且是直角三角形，设，则，，代入中，得，即；设,则，，由，则，，∴，则；又在抛物线上，，即，化简得，分子分母同时除以，，且，，.故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知，且满足（其中为虚数单位），则_________．【答案】2【解析】【分析】根据复数相等得到关于的方程组，解该方程组即可.【详解】由题意，可得，P 13PM F P =M M 212y cx =by x a=-1F P b =1OF c =OP a =1OPF (,)p p P x y 11122OPF p S ab cy== p aby c ∴=b y xa =-2p a x c =-2(,a ab P c c-(,)M xy 2,a ab PM x y c c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 221,,a ab b ab F P c cc c c ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13PM F P = 223a b x c c+=⋅3ab ab y c c -=⋅2234,b a ab x y c c -==2234(,)b a abM c c -M 212y cx =22243()12ab b a cc c-∴=()()()2222222222221612316123a b b aca c a c a a c ⎡⎤=-⇔-=--⎣⎦422491640c a c a -+=4a 4291640e e ∴-+=1e >2e ∴===e ∴=,R a b ∈(12i)(i)3i a b ++=-i 22a b +=,a b (12i)(i)3i a b ++=-(2)(2)i 3i a b a b -++=-所以，解得，所以.故答案为：211. 著名的“全错位排列”问题（也称“装错信封问题”是指“将n 个不同的元素重新排成一行，每个元素都不在自己原来的位置上，求不同的排法总数．”，若将个不同元素全错位排列的总数记为，则数列满足，．已知有7名同学坐成一排，现让他们重新坐，恰有两位同学坐到自己原来的位置，则不同的坐法有_________种【答案】【解析】【分析】根据数列递推公式求出项，再结合分步计数原理求解.【详解】第一步，先选出两位同学位置不变，则有种，第二步，剩下5名同学都不在原位，则有种，由数列满足，，则，，，则不同的做法有种.故答案为：.12. 已知在处的切线与圆相切，则_________．【答案】或【解析】【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程，再由直线与圆相切，列出方程，即可求解.【详解】由函数，可得，则且，所以函数在处的切线方程为，即，又由圆，可得圆心，半径为，2321a b a b -=⎧⎨+=-⎩1575a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩222a b +=n n a {}n a 120,1a a ==()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥9242776C 2121⨯==⨯5a {}n a 120,1a a ==()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥()()321312a a a =-+=()()432419a a a =-+=()()5435144a a a =-+=2144924⨯=9242()ln f x x x =-1x =22:()4C x a y -+==a -0x y -=2()ln f x x x =-1()2f x x x=-'(1)1f '=(1)1f =()f x 1x =11y x -=-0x y -=22:()4C x a y -+=(,0)C a 2r =因为与圆，解得.故答案为：.13. 元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占，传统灯谜占，一中文化占，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化的概率分别为，，，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为______，若小伟同学运用“超能力”，抽到的5道题都是逻辑推理题，则这5道题目中答对题目个数的数学期望为______.【答案】 ①. ##②. 【解析】【分析】根据全概率公式求解概率，根据二项分布列的期望公式求解即可.【详解】设事件“小伟同学任意抽取一道题目作答，答对题目”，则.由题意小伟同学任意抽取一道逻辑推理题作答，则答对题目的概率为，根据二项式分布知，所以，即的数学期望为.故答案为：，14. 在中，设，，其夹角设为，平面上点满足，，交于点，则用表示为_________．若，则的最小值为_________．【答案】 ①. ②.【解析】【分析】由和三点共线，得到和，得出方程组，求得的值，得到，再由，化简得到，得出，结合基本不等式，即可求解.0x y -=C 2a =±±20%50%30%0.20.60.7X 0.5511201A =()0.20.20.50.60.30.70.55P A =⨯+⨯+⨯=0.2()5,0.2X B ~()50.21E X =⨯=X 10.551ABC ,AB a AC b ==u u u r r u u u r r θ,D E 2AD AB = 3AE AC =,BE DC O AO ,a b65AO DE DC BE ⋅=⋅ cos θ4355AO a b =+ ,,D O C ,,B O E 2(1)AO ta t b =+- ()33AO ua u b =+-2133t ut u =⎧⎨-=-⎩,t u 4355AO a b =+ 65AO DE DC BE ⋅=⋅ 2248209a b a b ⋅=+ 22209cos 48a b a bθ+=【详解】因为三点共线，则存在实数使得，又因为三点共线，则存在实数使得，可得，解得，所以，由，因为，可得，整理得，可得，所以又因为所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以.故答案为：15. 设函数，若函数与直线有两个不同的公共点，则的取值范围是______.【答案】或或【解析】【分析】对于，当可直接去绝对值求解，当时，分和,,D O C t (1)2(1)AO t AD t AC ta t b =+-=+-,,B O E u ()()133AO u AB u AE ua u b =+-=+-2133t u t u =⎧⎨-=-⎩24,55t u ==4355AO a b =+ 32,2,3DE AE AD b a DC AC AD b a BE AE AB b a =-=-=-=-=-=- 65AO DE DC BE ⋅=⋅ 436()(32)(2)(3)555a b b a b a b a +⋅-=-⋅-2248209a b a b ⋅=+ 2248cos 209a b a b θ=+ 22209cos 48a b a bθ+=22209a b+≥ 22209cos 48a b a b θ+=≥ 22209a b = 3b cos θ4355AO a b =+ 22()21f x x ax ax =-++()y f x =y ax =a 2a <-21a -<<-2a >221y x ax =-+0∆≤0∆>a <-a >论，通过和图像交点情况来求解.详解】由已知，即，则必过点，必过，对于，当时，，此时恒成立，所以，令，即，要有两个不同的公共点，则，解得或或，当时，或当时，和图象如下：此时夹在其两零点之间的部分为，令，得无解，则有两个根有两个根，即有两个解，，符合要求；当和图象如下：【221y x ax =-+()1y ax x =-22()21f x x ax ax ax =-++=()2211x ax ax x -+=-()1y ax x =-()()0,0,1,0221y x ax =-+()0,1221y x ax =-+280a ∆=-≤a -≤≤2210x ax -+≥()222()2121f x x ax ax a x ax =-++=+-+()221a x ax ax +-+=()22210a x ax +-+=()21Δ442020a a a ⎧=-+>⎨+≠⎩2a -≤<-21a -<<-2a <≤280a ∆=->a <-a >a <-221y x ax =-+()1y ax x =-221y x ax =-+-2221x ax ax ax -+-=-+()221a x -=()2211x ax ax x -+=-()2211x ax ax x ⇔-+=-()22210a x ax +-+=()2Δ4420a a =-+>a <-a >221y x ax =-+()1y ax x =-或令，根据韦达定理可得其两根均为正数，对于①，则，解得，对于②，则，解得，综上所述，的取值范围是或或.【点睛】方法点睛：对于方程的根或者函数零点问题，可以转化为函数图象的交点个数问题，图象直观方便，对解题可以带来很大的方便.三、解答题（本大发共5小题，共75分）16. 已知中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，．（1）求；（2）若，求的面积．【答案】（1（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理求关系，再利用余弦定理求出，再利用两角和的正弦定理计算即可；（2）利用三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】2210x ax -+=011⎧<<⎪⎪>3a >011⎧<<⎪⎪<3a <<a 2a <-21a -<<-2a >ABC sin cos sin 22C CB =2223a c b -=πsin 3B ⎛⎫+⎪⎝⎭1b =ABC ,,a b c cos B因为，所以，由正弦定理得，所以，即，所以，在中，，所以【小问2详解】由（1）得当时，，所以17. 已知四棱台，下底面为正方形，，，侧棱平面，且为CD 中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）求到平面的距离．【答案】（1）证明见详解 （2）sincos sin 22C CB =sin 2sinC B =2c b =2222223347b a b c b b +=+===a 222cos 2a cb B ac +-===ABC sin B ==π11sin sin 322B B B ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭1b =2a c ==122ABC S =´´=1111ABCD A B C D -ABCD 2AB =111A B =1AA ⊥ABCD 12,AA E =1//A E 11BCC B 11ABC D 11BCC B E 11ABC D 15（3【解析】【分析】（1）直接使用线面平行的判定定理即可证明；（2）构造空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，再计算两个法向量的夹角余弦值的绝对值即可；（3）使用等体积法，从两个不同的方面计算四面体的体积即可求出距离.【小问1详解】由于，，故，而，故四边形是平行四边形，所以，而在平面内，不在平面内，所以平面；【小问2详解】如上图所示，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面与平面的法向量分别是和，则有和，1EAD B 11∥A B AB CE AB ∥11CEA B 1111122CE CD AB A B ====11CEA B 11A E B C ∥1B C 11BCC B 1A E 11BCC B 1//A E 11BCC B 1A 11111,,A A A D A B,,x y z ()2,0,0A ()10,1,0D ()2,0,2B ()10,0,1B ()10,1,1C ()()()()11110,0,2,2,1,0,2,0,1,0,1,0AB AD BB B C ==-=--=11ABC D 11BCC B ()1,,n p q r = ()2,,n u v w =11100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 212110n BB n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，，从而，，.故我们可取，，而，故平面与平面所成角的余弦值是.【小问3详解】设到平面的距离为，由于，而，所以.所以到平面18. 已知椭圆的左右顶点为A ，B ，上顶点与两焦点构成等边三角形，右焦点（1）求椭圆的标准方程；（2）过作斜率为的直线与椭圆交于点，过作l 的平行线与椭圆交于P ，Q 两点，与线段BM 交于点，若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据上顶点与两焦点构成等边三角形求出即可；（2）设出直线方程，利用弦长公式求出求出，，利用点到直线的距离求出点到直线的距离和点到直线的距离，再根据列式计算即可.【小问1详解】2020r p q =⎧⎨-+=⎩200u w v --=⎧⎨=⎩0r v ==2p q =20u w +=()11,2,0n = ()21,0,2n =-11cos ,5n 11ABC D 11BCC B 15E 11ABC D L 111111332E AD B AD B V LS L AD AB L -==⋅⋅⋅= 111142333E AD B B AD E AEB ABCD V V S S --==⋅⋅=⋅= 43=L =E 11ABC D 22221(0)x y a b a b +=>>(1,0)F A (0)k k >l M F N 2AMN BPQ S S =△△k 22143x y +=k =,a b AM PQ N AM B PQ 2AMN BPQ S S =△△由已知在等边三角形中可得，则椭圆的标准方程为为；【小问2详解】设直线的方程为：，联立消去得，则，得，，设直线的方程为：，设，联立，消去得，易知，则，所以，由得，所以直线的方程为，即，联立得，所以点到直线的22,a c b ====22143x y +=l ()2y k x =+()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y ()2222341616120k x k x k +++-=221612234M k x k --=+226834M k x k-=+226834Mk AM x k -=-=-=+PQ ()1y k x =-()()1122,,,P x y Q x y ()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y ()22223484120k x k x k +-+-=0∆>221212228412,3434k k x x x x k k-+==++PQ ==()2212134k k +=+226834M k x k -=+222681223434M k k y k k k ⎛⎫-=⋅+= ⎪++⎝⎭BM ()2221234268234kk y x k k +=---+()324y x k=--()()3241y x k y k x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩222463,4343k k N k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭N AM点到直线，因为，所以，解得.【点睛】方法点睛：直线与椭圆联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根的判别式.第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．第五步：根据题设条件求解问题中的结论．19. 已知数列满足对任意的，均有，且，，数列为等差数列，且满足，．（1）求，的通项公式；（2）设集合，记为集合中的元素个数．①设，求的前项和；②求证：，．【答案】（1），B PQ 2AMN BPQ S S =△△()221211122234k k +=⨯+k =∆0∆>{}n a *N n ∈212n n n a a a ++=12a =24a ={}n b 11b =2105b b a +={}n a {}n b {}*1N n n k n A k a b a +=∈<≤n c n A ()2n n n p b c =+{}n p 2n 2n P *N n ∀∈122121111176n n c c c c -++++< 2n n a =32n b n =-（2）①；②证明过程见解析【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质，结合等差数列的通项公式、等比数列的通项公式进行求解即可；（2）①根据不等式的解集特征，结合累和法、等比数列的前项和公式分类讨论求出的表达式，最后根据错位相减法进行求解即可；②运用放缩法，结合等比数列前项和公式进行运算证明即可.【小问1详解】因为数列满足对任意的，均有，所以数列是等比数列，又因为，，所以等比数列的公比为，因此；设等差数列的公差为，由；【小问2详解】因为，，所以由，因此有，即有，，当时，有于是有当为大于2的奇数时，()2122122n n P n n +=-⋅+-12322,n n k k +*<-≤∈N n n c n {}n a *N n ∈212n n n a a a ++={}n a 12a =24a ={}n a 212a a =1222n n n a -=⨯={}n b d ()210511932313132n b d d d b b n n a ⇒+++=⇒=⇒=+-=+-=2n n a =32n b n =-11,2322,nn n k n a b a k k k *+*+<≤∈⇒<-≤∈N N {}{}{}{}{}123452,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,22A A A A A ===== {}623,24,,43,A =1234561,1,3,5,11,21,c c c c c c ======234512233445562,42,82,162,322,c c c c c c c c c c +=+==+==+==+== 12,n n n c c ++= 2,N n n *≥∈112,n n n c c --+=1112,n n n c c -+--=n ()()()243122431122221n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-+-+=+++++，显然也适合，当为大于2的偶数时，，显然也适合.①，，，设，则有，两式相减，得，，；②设，显然，，当时，有，因此，12214211143n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+=-11c =n ()()()244222442222221n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-++-+=+++++ 122214211143nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+=-21c =()()()21,21,N 221,2,Nn n n n n n n k k p b c n n k k **⎧+=-∈⎪=+=⎨-=∈⎪⎩()()212342121321242n n n n n P P P P P P P P P P P P P --=++++++=+++++++ ()()132124212132321221222424222n nn n n n -⎡⎤⎡⎤=⨯++⨯+++-⋅+-+⨯-+⨯-++⋅-⎣⎦⎣⎦()()()123212122232212221234212n n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅+-+-+--⎣⎦ ()()12321212223221222n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ()()234221212223221222nn S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ 123212212222222n n n S n -+-=+++++-⋅ ()()2212121222212212n n n S n S n ++-⇒-=-⋅⇒=-⋅+-()2122122n n P n n +=-⋅+-()()11321k k k k c *+=∈+-N ()11332121k k k k c +=≤-+-()4213224k k k --⨯=-4,N k k *≥∈()()344213224042132212kk kkkk k--⨯=->⇒->⨯⇒<-()1133421221k k k k k c +=≤<-+-所以当时，，即，显然当时，有成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键由可以确定从第几项开始放缩，根据数列的通项公式的形式，得到，这样可以进行放缩证明.20. 已知函数．（1）讨论的单调区间；（2）已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点；①求证：；②求证：．【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论，结合函数的定义域，即可求函数的单调区间；（2）①要证，即证，只需证，构造函数，，借助导数即可得证；②同①中证法，先证，则可得，利用、是方程的两根所得韦达定理，结合即可得证.【小问1详解】，，N k *∈4512321111111111143222k k k c c c c c -⎛⎫+++++<++++++ ⎪⎝⎭ 43123211111111122114312k k k c c c c c --⎛⎫- ⎪⎝⎭⇒+++++<+++⨯- 312321111171171171322326k k k c c c c c --⎛⎫+++++<+-<+= ⎪⎝⎭ 2k n =122121111176n n c c c c -++++< 171111632=+++()1133421221k k k k k c +=≤<-+-2()24ln f x x ax x =-+()f x [4,6]a ∈()f x ()1212,λλλλ<b ∈R ()y f x =y b =()123123,,x x x x x x <<1212x x λ+>31x x -<∆1212x x λ+>2112x x λ>-()()1112f x f x λ<-()()()12x g x f x f λ=--()10,x λ∈2232x x λ+<()()2312123122x x x x x x λλ=++<---1λ2λ220x ax -+=[4,6]a ∈()()222422x ax f x x a x x-+'=-+=0x >其中，，当时，即，此时恒成立，函数在区间单调递增，当时，即或当时，在区间上恒成立，即函数在区间上单调递增，当，得或当时，，时，，所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，综上可知，当的单调递增区间是；当的单调递增区间是和，单调递减区间是；【小问2详解】①由（1）知，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，、是方程的两根，有，，又的图象与有三个公共点，故，则，()22tx x ax =-+28a ∆=-0∆≤a -≤≤()0f x '≥()f x ()0,∞+0∆>a <-a >a <-()0f x ¢>()0,∞+()f x ()0,∞+a >()0t x =1x =1x =0x <<x >()0f x ¢>x <<()0f x '<()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭a ≤()f x ()0,∞+a >()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭[4,6]a ∈()f x ()10,λ()2,λ+∞()12,λλ1λ2λ220x ax -+=122λλ=12a λλ+=()y f x =y b =()123123,,x x x x x x <<112230x x x λλ<<<<<1112x λλ->要证，即证，又，且函数在上单调递减，即可证，又，即可证，令，，由，则恒成立，故在上单调递增，即，即恒成立，即得证；②由，则，令，，则，故在上单调递增，即，1212x x λ+>2112x x λ>-1112x λλ->()f x ()12,λλ()()1122f x f x λ<-()()12f x f x b ==()()1112f x f x λ<-()()()12x g x f x f λ=--()10,x λ∈()()()()212222422x ax x x f x x a x x xλλ-+--'=-+==()()()()()112211122222x x xx x g x x λλλλλλλ------'=+-()()()()()1221112222x x x x x x x λλλλλλ+--+-=-⋅-()()222211*********x x x x x x xx x λλλλλλλλ-+++--+=-⋅-()()()()()12221111222420x x x x x x x λλλλλλλ--=-⋅=>--()g x '()10,λ()()()()111102g x g f f λλλλ<=--=()()1112f x f x λ<-112230x x x λλ<<<<<2322x λλ-<()()()22x h x f x f λ=--()2,x λ∈+∞()()()()()122221222222x x xx x h x x λλλλλλλ------'=+-()()()()()2112222222x x x x x x x λλλλλλ+--+-=-⋅-()()221122212222222x x x x x x xx x λλλλλλλλ-+++--+=-⋅-()()()()()22112222222420x x x x x x x λλλλλλλ--=-⋅=>--()h x '()2,λ+∞()()()()222202h x h ff λλλλ>=--=即当时，，由，故，又，故，由，，函数在上单调递减，故，即，又由①知，故，又，故.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于先证，从而借助①中所得，得到.()2,x λ∈+∞()()22x f x f λ>-32x λ>()()3232f x f x λ>-()()32f x f x =()()3222f x f x λ>-2322x λλ-<122x λλ<<()f x ()12,λλ2322x x λ<-2232x x λ+<1212x x λ+>()()2312123122x x x x x x λλ=++<---2122λλ-==≤=31x x -<2232x x λ+<1212x x λ+>()()2312123122x x x x x x λλ=++<---。
天津市河北区2021届新高考第四次大联考数学试卷含解析
天津市河北区2021届新高考第四次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知平面α和直线a ，b ，则下列命题正确的是（ ）A ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αB ．若a b ⊥r r ，b α⊥，则a ∥αC ．若a ∥b ，b α⊥，则a α⊥D ．若a b ⊥r r，b ∥α，则a α⊥ 【答案】C【解析】【分析】根据线面的位置关系，结合线面平行的判定定理、平行线的性质进行判断即可.【详解】A ：当a α⊂时，也可以满足a ∥b ，b ∥α，故本命题不正确；B ：当a α⊂时，也可以满足a b ⊥r r ，b α⊥，故本命题不正确；C ：根据平行线的性质可知：当a ∥b ，b α⊥，时，能得到a α⊥，故本命题是正确的；D ：当a α⊂时，也可以满足a b ⊥r r ，b ∥α，故本命题不正确.故选：C【点睛】本题考查了线面的位置关系，考查了平行线的性质，考查了推理论证能力.2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为3π，且点FC 的实轴的长为A ．1B ．2C ．4D 【答案】B【解析】【分析】【详解】双曲线C 的渐近线方程为b y x a =±，由题可知tan 3b a π==．设点(c,0)F ，则点F 到直线y =2c =，所以222222344c a b a a a =+=+==，解得1a =，所以双曲线C 的实轴的长为22a =，故选B ．3．函数()()241x f x x x e =-+⋅的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】用0x <排除B ，C ；用2x =排除D ；可得正确答案.【详解】解：当0x <时，2410x x -+>，0x e >，所以()0f x >，故可排除B ，C ；当2x =时，()2230f e =-<，故可排除D ． 故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象，属基础题．4．已知实数,x y 满足线性约束条件1020x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则1y x +的取值范围为（ ） A ．(-2,-1］B ．(-1,4］C ．[-2,4)D ．[0,4] 【答案】B【解析】【分析】 作出可行域，1y x +表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，观察可行域可得最小值． 【详解】作出可行域，如图阴影部分（含边界），1y x+表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，(1,3)A ，3(1)410QA k --==-，过Q 与直线0x y +=平行的直线斜率为－1，∴14PQ k -<≤． 故选：B ．【点睛】本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题1y x +表示动点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．5．若复数12z i =+，2cos isin ()z ααα=+∈R ，其中i 是虚数单位，则12||z z -的最大值为( ) A 51B 51-C 51D 51+ 【答案】C【解析】【分析】由复数的几何意义可得12z z -表示复数12z i =+，2cos sin z i αα=+对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解.【详解】由复数的几何意义可得，复数12z i =+对应的点为()2,1，复数2cos sin z i αα=+对应的点为()cos ,sin αα，所以()()()22122cos 1sin 12sin 44162562551z z cos sin αααααϕ-=-+--+-+=-++，其中tan φ2=，故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将12z z -转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型.6．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，26SC =，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π 【答案】B【解析】【分析】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，推导出90SDC ∠=o ，设设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F ，可得出OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，利用勾股定理计算出球O 的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果.【详解】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，由SAB ∆和ABC ∆都是正三角形，得SD AB ⊥，CD AB ⊥，则3423SD CD ===，则(((222222336SD CD SC +=+==，由勾股定理的逆定理，得90SDC ∠=o . 设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F .由球的性质可知：OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ， 又31234233OE DF OE OF ====⨯⨯=，由勾股定理得2263OD OE DE =+=. 所以外接球半径为2222266023R OD BD ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭. 所以外接球的表面积为2260804433S R πππ⎛=== ⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A ⋃B ，则集合中的元素共有 （ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 【答案】A【解析】 试题分析：{}3,4,5,7,8,9U A B =⋃=,{}4,7,9A B ⋂=,所以{}()3,5,8U C A B ⋂=，即集合()U C A B ⋂中共有3个元素，故选A ．考点：集合的运算．8．设ln 2m =，lg 2n =，则（ ）A ．m n mn m n ->>+B ．m n m n mn ->+>C ．m n mn m n +>>-D ．m n m n mn +>->【答案】D【解析】【分析】由不等式的性质及换底公式即可得解.【详解】解：因为ln 2m =，lg 2n =，则m n >，且(),0,1m n ∈，所以m n mn +>，m n m n +>-， 又2222111110log 10log log log 21lg 2ln 2e n m e-=-=-=>=, 即1m n mn->,则m n mn ->， 即m n m n mn +>->， 故选：D.【点睛】本题考查了不等式的性质及换底公式，属基础题.9．复数5i 12i +的虚部是 ( ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-【答案】C【解析】因为()()()512510*********i i i i i i i i -+===+++- ，所以5i 12i+的虚部是1 ，故选C. 10．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a b A A B C++=+-，求sin b A =（ ）A B ．3 C ．12 D ．2【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角B 的值，再利用正弦定理可求得sin b A 的值.【详解】sin sin sin sin b c a b A A B C ++=+-Q ，由正弦定理得b c a b a a b c++=+-，整理得222a c b ac +-=， 由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，0B Q π<<，3B π∴=.由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin 1sin 3b A a B π==⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 11．过双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左焦点F 作直线交双曲线的两天渐近线于A ,B 两点，若B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2 D 【答案】C【解析】 由题意可得双曲线的渐近线的方程为b y x a=±. ∵B 为线段FA 的中点，OB FA ⊥∴OA OF c ==，则AOF ∆为等腰三角形.∴BOF BOA ∠=∠由双曲线的的渐近线的性质可得BOF xOA ∠=∠∴60BOF BOA xOA ∠=∠=∠=︒∴tan 603b a =︒=，即223b a =. ∴双曲线的离心率为2222c a b a e aa a+==== 故选C. 点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．643B ．64C ．323D ．32【答案】A【解析】【分析】根据三视图，还原空间几何体，即可得该几何体的体积.【详解】由该几何体的三视图，还原空间几何体如下图所示：可知该几何体是底面在左侧的四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为4，故()16444433V =⨯⨯⨯=. 故选：A【点睛】本题考查了三视图的简单应用，由三视图还原空间几何体，棱锥体积的求法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
《精编》天津市高三数学第四次月考试题 理 新人教A版.doc
当 时, ,于是 在 上单调递减.…………6分
依题意有 ,
解得, …………9分
(3) 的定义域为 ,由(1)知 ,
令 得, 或 (舍去), 当 时, , 单调递增;
当 时, , 单调递减. 为 在 上的最大值.…11分
,故 (当且仅当 时,等号成立)
对任意正整数 ,取 得, …………12分
故 .…………14分
〔方法二〕数学归纳法证明：
当 时，左边 ，右边 ，显然 ，不等式成立.
假设 时， 成立，
那么 时，有 .做差比较：
构建函数 ，那么 ，
单调递减， .
取 ，
即 ，亦即 ，
故 时，有 ，不等式成立.
综上可知，对任意的正整数 ,不等式 都成立.
(Ⅰ〕求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；
(Ⅱ〕假设决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为 ，求 的分布列和数学期望.
17．在长方体 中， ， ， 为 中点.〔Ⅰ〕证明： ；〔Ⅱ〕求 与平面 所成角的正弦值；〔Ⅲ〕在棱 上是否存在一点 ，使得 ∥平面 ？假设存在，求 的长；假设不存在，说明理由.
三．解答题：
15．解：〔Ⅰ〕由 得 ( Z)，
故 的定义域为 R Z}．…………………2分
因为
，………………………………6分
所以 的最小正周期 ．…………………7分
〔II〕由 …………..9分
当 ，…………….11分
当 .……………….13分
16．解：〔Ⅰ〕设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位〞为事件 ，那么
所以在棱 上存在一点 ，使得 ∥平面 ,此时 的长 .……13分
18．解：〔Ⅰ〕由题意， ，那么当 时， .
2022届天津市七校联考高三第四次模拟考试数学试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ）A ．118B ．54C ．14D ．182．下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 3．已知函数332sin 2044y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图像与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为12,x x ，则12x x +=（ ） A ．34π B ．23π C ．3π D ．6π 4．已知2cos(2019)πα+=，则sin(2)2πα-=（ ）A ．79B ．59C ．59-D ．79-5．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P在双曲线C 上运动，若12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ） A ．()27,8B ．()25,7C ．()25,8D ．()27,76．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．37．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A ．12B ．32-C ．12-D ．329．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④10．执行程序框图，则输出的数值为（ ）A ．12B ．29C ．70D ．16911．已知3ln 3a =，1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>12．如图所示程序框图，若判断框内为“4i <”，则输出S =（ ）A ．2B ．10C ．34D ．98二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天津市大港区2021届新高考四诊数学试题含解析
天津市大港区2021届新高考四诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则Vv=（ ） A ．4 B ．8C ．9D ．27【答案】D 【解析】 【分析】设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ，作正四面体的高为PM ，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在Rt AMN ∆中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解. 【详解】设正四面体的棱长为1，取BC 的中点为D ，连接AD ， 作正四面体的高为PM ，则323,233AD AM AD ===， 2263PM PA AM ∴=-=， 1362312P ABC V -∴==， 设内切球的半径为r ，内切球的球心为O ， 则13443P ABC O ABC V V --==⨯， 解得：612r =； 设外接球的半径为R ，外接球的球心为N ，则MN PM R =-或R PM -，AN R =， 在Rt AMN ∆中，由勾股定理得：222AM MN AN +=，22163R R ⎛⎫∴+-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得6R =， 3Rr∴=， 3327V R v r∴== 故选：D 【点睛】本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式，属于基础题.2．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）A ．PA ，PB ，PC 两两垂直 B ．三棱锥P-ABC 的体积为83C ．||||||6PA PB PC ===D ．三棱锥P-ABC 的侧面积为35【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图，可得三棱锥P-ABC 的直观图，然后再计算可得. 【详解】解：根据三视图，可得三棱锥P-ABC 的直观图如图所示，其中D 为AB 的中点，PD ⊥底面ABC. 所以三棱锥P-ABC 的体积为114222323⨯⨯⨯⨯=， 2AC BC PD ∴===，2222AB AC BC ∴=+=，||||||2DA DB DC ∴===()22||||||226,PA PB PC ∴===+=222PA PB AB +≠，PA ∴、PB 不可能垂直，即,PA ,PB PC 不可能两两垂直，1222222PBAS ∆=⨯=()22161252PBC PAC S S ∆∆==-=∴三棱锥P-ABC 的侧面积为2522故正确的为C. 故选：C. 【点睛】本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题.3．已知直线l ：320x y ++=与圆O ：224x y +=交于A ，B 两点，与l 平行的直线1l 与圆O 交于M ，N 两点，且OAB 与OMN 的面积相等，给出下列直线1l 330x y +-=320x y +-=，③320x y -+=3230x y ++=.其中满足条件的所有直线1l 的编号有（ ） A ．①② B ．①④C ．②③D ．①②④【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心O 到直线l 的距离为：112d r ==，得出120AOB ∠=︒，根据条件得出O 到直线1l 的距离1d '=或3.【详解】解：由已知可得：圆O ：224x y +=的圆心为（0,0），半径为2，则圆心O 到直线l 的距离为：112d r ==， ∴120AOB ∠=︒，而1//l l ，OAB 与OMN 的面积相等， ∴120MON ∠=︒或60︒，即O 到直线1l 的距离1d '=或 根据点到直线距离可知，①②④满足条件. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，涉及点到直线的距离公式.4．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是（ ） A ．2z i i ⋅=- B ．复数z 的共轭复数是12i - C ．||5z = D ．13122z i i =++ 【答案】D 【解析】 【分析】首先求得12z i =-+，然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】由题意知复数12z i =-+，则(12)2z i i i i ⋅=-+⋅=--，所以A 选项不正确；复数z 的共轭复数是12i --，所以B 选项不正确；||z ==C 选项不正确；12(12)(1)1311222z i i i i i i -+-+⋅-===+++，所以D 选项正确. 故选：D 【点睛】本小题考查复数的几何意义，共轭复数，复数的模，复数的乘法和除法运算等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想.5．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（ ） A ．i - B ．iC ．1-D ．1【答案】D 【解析】 【分析】由已知等式求出z ，再由共轭复数的概念求得z ，即可得z 的虚部. 【详解】由zi ＝1﹣i ，∴z ＝()()111·i i i i i i i ---==--- ，所以共轭复数z =-1+i ，虚部为1 故选D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题．6．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos2tan 1sin 2βαβ=-，则（ ） A ．22παβ+=B ．4παβ+=C ．4αβ-=πD ．22παβ+=【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得cos 2tan tan 1sin 24βπαββ⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭,即可求得结果. 【详解】2222cos 2cos sin 1tan tan tan 1sin 2cos sin 2sin cos 1tan 4ββββπαβββββββ-+⎛⎫====+ ⎪-+--⎝⎭，所以4παβ=+，即4αβ-=π. 故选:C. 【点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.7．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种 A ．240 B ．320C ．180D ．120【答案】C 【解析】 【分析】在所有两组至少都是3人的分组中减去3名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得出结果.【详解】两组至少都是3人，则分组中两组的人数分别为3、5或4、4，又因为3名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为432882221180C C A A ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题.8．()cos sin xe f x x=在原点附近的部分图象大概是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】分析函数()y f x =的奇偶性，以及该函数在区间()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项. 【详解】令sin 0x ≠，可得{},x x k k Z π≠∈，即函数()y f x =的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()cos cos sin sin x xe ef x f x x x--==-=--，则函数()y f x =为奇函数，排除C 、D 选项；当0πx <<时，cos 0xe >，sin 0x >，则()cos 0sin xe f x x=>，排除B 选项. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 9．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.10．已知a ，b ，c 分别是ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin a C c A b c +=+，则A =（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C 【解析】 【分析】3sin sin cos sin sin C A A C C =+，由于sin 0C ≠，0A π<<可求A 的值. 【详解】解：由cos 3sin a C c A b c +=+及正弦定理得sin cos 3sin sin sin sin A C C A B C +=+. 因为B A C π=--，所以sin sin cos cos sin B A C A C =+代入上式化简得3sin sin cos sin sin C A A C C =+.由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又0A π<<，故3A π=.故选：C. 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，三角函数恒等变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题.11．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A ．-2B ．-1C ．12-D ．12【答案】B 【解析】若输入2S =-，则执行循环得1313,2;,3;2,4;,5;,6;3232S k S k S k S k S k =====-===== 132,7;,8;,9;32S k S k S k =-=====结束循环，输出32S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入1S =-，则执行循环得11,2;2,3;1,4;,5;2,6;22S k S k S k S k S k =====-=====11,7;,8;2,9;2S k S k S k =-=====结束循环，输出2S =，符合题意；若输入12S =-，则执行循环得212,2;3,3;,4;,5;3,6;323S k S k S k S k S k =====-=====12,7;,8;3,9;23S k S k S k =-=====结束循环，输出3S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入12S =，则执行循环得12,2;1,3;,4;2,5;1,6;2S k S k S k S k S k ===-======-=1,7;2,8;1,9;2S k S k S k =====-=结束循环，输出1S =-，与题意输出的2S =矛盾；综上选B.12．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29 B ．30C ．31D ．32【答案】B 【解析】 【分析】设正项等比数列的公比为q ，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求． 【详解】设正项等比数列的公比为q ， 则a 4=16q 3，a 7=16q 6， a 4与a 7的等差中项为98， 即有a 4+a 7=94， 即16q 3+16q 6，=94，解得q=12（负值舍去），则有S 5=()5111a q q--=511612112⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-=1． 故选C ． 【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天津市大港区2021届第四次新高考模拟考试物理试卷含解析
天津市大港区2021届第四次新高考模拟考试物理试卷一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．空中飞椅是游乐场里少年儿童们十分喜爱的娱乐项目，其模型如图所示，顶端转盘上吊着多个座椅，甲、乙两个儿童分别坐在A 、B 两个吊椅中，当转盘以一定的角速度稳定匀速转动时，连接座椅的钢丝绳与竖直方向的夹角分别为a 、θ。
巳知连接A 、B 座椅的钢丝绳长度分别为L 1、L 2，甲、乙两儿童的质量分别为m 1、m 2，两座椅的质量相等，若a>θ，则一定有A ．L 1>L 2B ．L 1<L 2C ．m 1>m 2D ．m 1<m 2【答案】A【解析】【详解】 设座椅做匀速圆周运动时转速为n ，由重力和绳子的拉力的合力提供座椅圆周运动的向心力，如图，则有：2tan (2)(sin )mg m n L r θπθ=+解得1tan 2sin g n L rθπθ=+据题知：n 相同，r 也相同，则当L 变长时，θ变大，与m 无关。
A. L 1>L 2与计算结果相符，故A 正确。
B. L 1<L 2与计算结果不符，故B 错误。
C. m 1>m 2与计算结果不符，故C 错误。
D. m 1<m 2与计算结果不符，故D 错误。
2．电磁流量计广泛应用于测量可导电流体（如污水）在管中的流量（在单位时间内通过管内横截面的流体的体积）。
为了简化，假设流量计是如图所示的横截面为长方形的一段管道，其中空部分的长、宽、高分别为图中的a 、b 、c ．流量计的两端与输送流体的管道相连接（图中虚线）。
图中流量计的上下两面是金属材料，前后两面是绝缘材料。
现于流量计所在处加磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于前后两面。
当导电流体稳定地流经流量计时，在管外将流量计上、下两表面分别与一电压表（内阻很大）的两端连接，U 表示测得的电压值。
天津市大港区2021届新高考第四次大联考物理试卷含解析
天津市大港区2021届新高考第四次大联考物理试卷一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．如图所示，一固定斜面上两个质量均为m 的小物块A 和B 紧挨着匀速下滑，A 与B 的接触面光滑。
已知A 与斜面之间的动摩擦因数是B 与斜面之间的动摩擦因数的2倍，斜面倾角为α，重力加速度为g 。
B 与斜面之间的动摩擦因数μ与A 、B 间弹力F N 的大小分别是（ ）A ．μ=23tanα，F N =13mgsinα B ．μ=23tanα，F N =12mgsinα C ．μ=tanα，F N =13mgcosα D ．μ=tanα，F N =23mgsinα 【答案】A【解析】【分析】【详解】以AB 整体为研究对象，根据平衡条件得2mgsinα=μA mgcosα+μB mgcosα=2μmgcosα+μmgcosα解得2tan 3μα=对B 受力分析可知，B 受重力、支持力、A 的弹力及摩擦力而处于平衡状态；则有mgsinα=μmgcosα+N F解得 N 1sin 3F mg α= 故A 正确，BCD 错误。
故选A 。
2．图像法具有自己独特的优势，它能把复杂的物理过程直观形象清楚地展现出来，同时也能够形象地描述两个物理量之间的关系，如图所示，若x 轴表示一个物理量，y 轴表示一个物理量，其中在实验数据处理时，会发现图像与两个坐标轴的交点（称为截距）具有特殊的物理意义。
对该交点的物理意义，下列说法不正确．．．的是（ ）A ．在测电源电动势和电源内阻时，若x 轴表示流过电源的电流，y 轴表示闭合电路电源两端的电压，则该图像与x 轴的交点的物理意义是短路电流B ．在利用自由落体法验证机械能守恒实验时，若x 轴表示重锤下落到某点时速度的平方，y 轴表示重锤落到该点的距离，则该图像与x 轴交点的物理意义是重锤下落时的初速度C ．在用单摆测重力加速度的实验中，若x 轴表示摆线长度，y 轴表示单摆周期的平方，则该图像与x 轴交点绝对值的物理意义是该单摆摆球的半径D ．在研究光电效应的实验中，若x 轴表示入射光的频率，y 轴表示光电子的最大初动能，则该图像与x 轴的交点物理意义是该金属的极限频率【答案】B【解析】【分析】【详解】A ．根据闭合电路欧姆定律E U Ir =+可知，当0U =时，电源的短路电流为E I r= A 正确；B ．根据机械能守恒定律2201122mgh mv mv =- 变形得220122v h v g g=- 可知2h v -图像与横轴截距的物理意义为初速度的平方，B 错误；C ．根据单摆的周期公式2l T g=变形得 2204()T l r g π=+ 可知20T l -图像与横轴交点绝对值的物理意义为摆球半径，C 正确；D ．根据光电效应方程变形得km 0E h W ν=-E ν-km 图像与横轴的交点满足c 0h W ν=此时频率c ν即为该金属的极限频率，D 正确。
天津市大港区2021届新高考一诊数学试题含解析
天津市大港区2021届新高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足()()5z i i --=，则z =（ ） A ．6i B ．6i -C ．6-D ．6【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算法则计算． 【详解】因为()()5z i i --=，所以56z i i i=+=- 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的运算．属于简单题．2．某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（ ）A ．7πB ．6πC ．5πD ．4π【答案】C 【解析】 【分析】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，计算得到答案. 【详解】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为21322152πππ⨯⨯+⨯=. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.3．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：6,6,10.392AB cm BC cm AC cm===（其中30.8662≈）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）A ．3π B ．4π C ．2π D ．23π 【答案】A 【解析】 【分析】由已知6AB BC ==，设2ABC θ∠=．可得 5.196sin 0.8667θ==．于是可得θ，进而得出结论． 【详解】解：依题意6AB BC ==，设2ABC θ∠=． 则 5.1963sin 0.8667θ==． 3πθ∴=，223πθ=． 设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α． 则2αθπ+=，3πα∴=．故选：A ． 【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．9πB ．29π C ．18π D ．24π【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的变换规则表示出()g x ，根据()g x 是奇函数，可得m 的取值，再求其最小值. 【详解】解：由题意知，将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，得()sin 36y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，再将sin 336y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，1()sin(3)26g x x m π∴=-+，因为()g x 是奇函数， 所以3,6m k k Z ππ-+=∈，解得,183k m k Z ππ=-∈， 因为0m >，所以m 的最小值为18π. 故选：C 【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题. 5．已知函数()sin()(0,0)3f x x πωφωφ=+><<满足()(),()12f x f x f ππ+==1，则()12f π-等于（ ）A ．B ．C ．-12D ．12【答案】C 【解析】 【分析】设()f x 的最小正周期为T ，可得,nT n N π*=∈，则*2,n n ω=∈N ，再根据112f π⎛⎫=⎪⎝⎭得*2,,26k n k Z n N ππφπ=+-⋅∈∈，又03πφ<<，则可求出122n k -=，进而可得()12f π-.【详解】解：设()f x 的最小正周期为T ，因为()()f x f x π+=，所以,nT n N π*=∈，所以*2,T n nππω==∈N ，所以*2,n n ω=∈N ，又112f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以当12x π=时，262x n k ππωϕφπ+=⋅+=+， *2,,26k n k Z n N ππφπ∴=+-⋅∈∈，因为03πφ<<02263k n ππππ∴<+-⋅<，整理得1123n k <-<，因为12n k Z -∈，122n k ∴-=，()2212266k k πππφπ∴=+-+⋅=，则2662n k ππππ⋅+=+263n k πππ∴=+ 所以()sin 212126sin 66f n n πππππ⎛⎫--- ⎪⎝⎡⎤⎛⎫=⋅+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎭ 1sin 2sin 3662k ππππ⎛⎫⎛⎫=--+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查三角形函数的周期性和对称性，考查学生分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目. 6．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体分析正视图和侧视图的形状，结合题干中的数据可计算出结果. 【详解】由三视图的性质和定义知，三棱锥P BCD -的正视图与侧视图都是底边长为2高为1的三角形，其面积都是11212⨯⨯=，正视图与侧视图的面积之和为112+=， 故选：A. 【点睛】本题考查几何体正视图和侧视图的面积和，解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点12,,3M N PF PF =若，且260MF N ∠=，则双曲线的离心率为( )A ．5B ．3C ．2D ．72【答案】D 【解析】 【分析】本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a 与c 的等式，计算离心率，即可． 【详解】结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO ，而12F O F O =，结合四边形对角线平分，可得四边形12PF MF 为平行四边形，结合0260MF N ∠=，故01260F MF ∠=对三角形12F MF 运用余弦定理，得到，222121212122cos F M F M F F MF MF F MF +-=⋅⋅⋅∠而结合213PF PF =，可得12,3MF a MF a ==，122F F c =，代入上式子中，得到2222943a a c a +-=，结合离心率满足c e a =，即可得出2c e a ==，故选D ． 【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难． 8．已知集合{}21|A x log x =<，集合{|B y y ==，则A B =（ ）A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()0,2D ．[)0,+∞【答案】D 【解析】 【分析】可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可． 【详解】解：{}|02A x x =<<，{}|0B y y =≥；∴[)0,A B =+∞．故选D ． 【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算． 9．若1tan 2α=，则cos2=α( ) A ．45-B ．35C ．45D ．35【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果． 【详解】 ∵1tan 2α=， ∴22222211cos sin 1tan 34cos21cos sin 1tan 514ααααααα---====+++， 故选D 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A．4B．3C．5D．2【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线l 的方程为y 222ab a b =-（x ﹣c ），与y ＝±bax 联立，可得A ，B 的纵坐标，利用2AF FB =，求出a ，b 的关系，即可求出该双曲线的离心率． 【详解】双曲线2222x y a b-=1（a ＞b ＞0）的渐近线方程为y ＝±b a x ，∵直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍， ∴k l 222aba b =-，∴直线l 的方程为y 222aba b =-（x ﹣c ），与y ＝±b a x 联立，可得y 2223abc a b =--或y 222abca b=+， ∵2AF FB =， ∴222abc a b =+2•2223abc a b -，∴a =， ∴c ＝2b ， ∴e 3c a ==． 故选B ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．11．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y =-对称的点在()1g x kx =-的图像上，则k 的取值范围是( )A．13 (,)34B．13(,)24C．1(,1)3D．1(,1)2【答案】D【解析】【分析】根据对称关系可将问题转化为()f x与1y kx=--有且仅有四个不同的交点；利用导数研究()f x的单调性从而得到()f x的图象；由直线1y kx=--恒过定点()0,1A-，通过数形结合的方式可确定(),AC ABk k k-∈；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得ACk和ABk，进而得到结果.【详解】()1g x kx=-关于直线1y=-对称的直线方程为：1y kx=--∴原题等价于()f x与1y kx=--有且仅有四个不同的交点由1y kx=--可知，直线恒过点()0,1A-当0x>时，()ln12ln1f x x x'=+-=-()f x∴在()0,e上单调递减；在(),e+∞上单调递增由此可得()f x图象如下图所示：其中AB、AC为过A点的曲线的两条切线，切点分别为,B C由图象可知，当(),AC ABk k k-∈时，()f x与1y kx=--有且仅有四个不同的交点设(),ln2C m m m m-，0m>，则ln21ln1ACm m mk mm-+=-=-，解得：1m=1ACk∴=-设23,2B n n n⎛⎫+⎪⎝⎭，0n≤，则23132220ABn nk nn++=+=-，解得：1n=-31222ABk∴=-+=-11,2k ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，则1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭本题正确选项：D 【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c，已知1,30a b B ===，则A 为( )A ．60B ．120C ．60或150D ．60或120【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理可求得sin A =，再由角A 的范围可求得角A. 【详解】 由正弦定理可知sin sin a b A B =，所以1sin sin 30A =，解得sin 2A =，又0180A <<，且>a b ，所以60A ︒=或120︒。
高考数学四模试题 理含解析 试题 2
卜人入州八九几市潮王学校2021年师大附中高考数学四模试卷〔理科〕一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1．集合，那么集合A的子集的个数为〔〕A．7 B．8 C．15 D．162．复数Z=〔i是虚数单位〕，那么复数Z的一共轭复数是〔〕A．1+i B．1﹣i C．D．3．对于实数x，y，假设p：x+y≠4，q：x≠3或者y≠1，那么p是q的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．假设，那么|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=〔〕A．0 B．1 C．32 D．﹣15．据统计2021年“十一〞黄金周太阳岛每天的游客人数服从正态分布N，那么在此期间的某一天，太阳岛的人数不超过2300的概率为〔〕附；假设X～N〔μ，σ2〕．6．函数f〔x〕的局部图象如下列图，向图中的矩形区域随机投出200粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数，通过100次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数为66，由此可估计的值约为〔〕A．B．C．D．7．正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，E，F分别是PB，PC的中点，那么异面直线AE与BF所成角的余弦值为〔〕A．B．C．D．8．执行如下列图的程序框图，假设输入x=0，输出K的值是10，那么判断框内可填入的条件是〔〕A．x＞50？B．x＞90？C．x＞100？D．x＞200？9．中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见HY行里数，请公子仔细算相还．〞其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程且前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问题第六天走了〞〔〕A．96里B．48里C．12里D．6里10．某几何体的三视图如下列图，那么该几何体体积是〔〕A．B．C．D．11．函数在[0，2〕上的最大值为a，在〔2，4]上的最小值为b，那么a+b=〔〕A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．212．P是双曲线C：x2﹣y2=2左支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F2是双曲线C的右焦点，那么|PF2|+|PQ|的最小值为〔〕A．B．C．D．二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕13．假设圆M过三点A〔1，3〕，B〔4，2〕，C〔1，﹣7〕，那么圆M直径的长为．14．平面向量的夹角为，且，假设平面向量满足=2，那么=．．①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；②将一组数据的每个数据都加一个一样的常数后，方差不变；③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近0，说明模型的拟合效果越好；④用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组〔1～8号，9～16号，…，153～160号〕，假设第16组抽出的号码为126，那么第一组中用抽签法确定的号码为6号．16．数列{a n}满足，那么数列{a n•b n}满足对任意的n∈N+，都有b1a n+b2a n﹣1+…+b n a1=，那么数列{a n•b n}的前n项和T n=．三、解答题〔本大题一一共5小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°〔∠BAC=15°〕方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角60°，假设山高为千米，〔1〕船的航行速度是每小时多少千米？〔2〕假设该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？18．甲乙两家快递公司其“快递小哥〞的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的局部每单抽成6元〔1〕设甲乙快递公司的“快递小哥〞一日工资y〔单位：元〕与送货单数n的函数关系式为f〔n〕，g〔n〕，求f〔n〕，g〔n〕；〔2〕假设同一公司的“快递小哥〞一日送货单数一样，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥〞，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：假设将频率视为概率，答复以下问题：①记乙快递公司的“快递小哥〞日工资为X〔单位：元〕，求X的分布列和数学期望；②小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥〞的工作，假设仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，且AB⊥AC．〔1〕求证：AC⊥BB1；〔2〕假设AB=AC=A1B=2，M为B1C1的中点，求二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：y2=2px〔p＞0〕的焦点，M是抛物线C上的任意一点，当M 位于第一象限内时，△OFM外接圆的圆心到抛物线C准线的间隔为．〔1〕求抛物线C的方程；〔2〕过K〔﹣1，0〕的直线l交抛物线C于A，B两点，且，点G为x轴上一点，且|GA|=|GB|，求点G的横坐标x0的取值范围．21．f〔x〕=2x﹣ax2+bcosx在点处的切线方程为．〔1〕求a，b的值及f〔x〕在[0，π]上的单调区间；〔2〕假设x1，x2∈[0，π]，且x1≠x2，f〔x1〕=f〔x2〕，求证．请考生在22、23两题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．曲线C1的极坐标方程为ρ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．〔1〕假设曲线为参数〕与曲线C1相交于两点A，B，求|AB|；〔2〕假设M是曲线C1上的动点，且点M的直角坐标为〔x，y〕，求〔x+1〕〔y+1〕的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设f〔x〕=|ax﹣1|，假设f〔x〕≤2的解集为[﹣1，3]．〔1〕务实数a的值；〔2〕假设x+y+z=a〔x，y，z∈〔0，+∞〕〕，求的最小值．2021年师大附中高考数学四模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1．集合，那么集合A的子集的个数为〔〕A．7 B．8 C．15 D．16【考点】16：子集与真子集．【分析】由≤0，可得〔x+1〕〔x﹣2〕≤0，且x≠2，解得x，根据x∈Z，可得x，A．即可得出．【解答】解：由≤0，可得〔x+1〕〔x﹣2〕≤0，且x≠2，解得﹣1≤x＜2，又x∈Z，可得x=﹣1，0，1，∴A={﹣1，0，1}．∴集合A的子集的个数为23=8．应选：B．2．复数Z=〔i是虚数单位〕，那么复数Z的一共轭复数是〔〕A．1+i B．1﹣i C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数Z得答案．【解答】解：Z==，那么复数Z的一共轭复数是：．应选：D．3．对于实数x，y，假设p：x+y≠4，q：x≠3或者y≠1，那么p是q的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由可得p⇒q，反之不成立，例如取x=5，y=﹣1．【解答】解：p：x+y≠4，q：x≠3或者y≠1，那么p⇒q，反之不成立，例如取x=5，y=﹣1．∴p是q的充分不必要条件．应选：A．4．假设，那么|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=〔〕A．0 B．1 C．32 D．﹣1【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】T r+1==〔﹣1〕r x r，当r为奇数时，＜0．当r为偶数时，＞0．可得|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5，对，令x=1，即可得出．【解答】解：T r+1==〔﹣1〕r x r，当r为奇数时，＜0．当r为偶数时，＞0．∴|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5．对，令x=1，可得：a0+a1+a2+a3+a4+a5=〔1﹣1〕2=0．应选：A．5．据统计2021年“十一〞黄金周太阳岛每天的游客人数服从正态分布N，那么在此期间的某一天，太阳岛的人数不超过2300的概率为〔〕附；假设X～N〔μ，σ2〕．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态分布的对称性得出P〔X＞2300〕，从而可得P〔X≤2300〕．【解答】解：P=0.9974，∴P〔X＞2300〕=〔1﹣0.9974〕=0.0013，∴P〔X≤2300〕=1﹣0.0013=0.9987．应选D．6．函数f〔x〕的局部图象如下列图，向图中的矩形区域随机投出200粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数，通过100次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数为66，由此可估计的值约为〔〕A．B．C．D．【考点】CE：模拟方法估计概率．【分析】根据几何概型的概率计算公式得出阴影局部的面积，再根据定积分的几何意义得出答案．【解答】解：矩形局部的面积为S矩形=2×3=6，由题意可知：==，∴S阴影==．∴=S阴影=．应选B．7．正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，E，F分别是PB，PC的中点，那么异面直线AE与BF所成角的余弦值为〔〕A．B．C．D．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】由题意，建立空间直角坐标系，利用数量积公式求向量夹角，得到所求．【解答】解：建立空间直角坐标系如图，设PA=4，那么A〔0，0，0〕，B〔4，0，0〕，C〔4，4，0〕，P〔2，2，2〕．所以E〔3，1，〕，F〔3，3，〕，所以=〔3，1，〕，=〔﹣1，3，〕，所以异面直线AE与BF所成角的余弦值为：=；应选：C．8．执行如下列图的程序框图，假设输入x=0，输出K的值是10，那么判断框内可填入的条件是〔〕A．x＞50？B．x＞90？C．x＞100？D．x＞200？【考点】EF：程序框图．【分析】由中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=0，K=0执行循环体，x=3，K=2不满足条件，执行循环体，x=9，K=4不满足条件，执行循环体，x=21，K=6不满足条件，执行循环体，x=45，K=8，不满足条件，执行循环体，x=93，K=10由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出K的值是10．可得判断框内可填入的条件是：x＞90？应选：B．9．中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见HY行里数，请公子仔细算相还．〞其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程且前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问题第六天走了〞〔〕A．96里B．48里C．12里D．6里【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出结果．【解答】解：记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6==378，解得：a1=192，∴=6．应选：D．10．某几何体的三视图如下列图，那么该几何体体积是〔〕A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体为半个圆锥与四棱锥的组合体，根据图中数据计算体积．【解答】解：由三视图得到几何体为半个圆锥与四棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，所以几何体的体积为：=；应选C．11．函数在[0，2〕上的最大值为a，在〔2，4]上的最小值为b，那么a+b=〔〕A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由函数g〔x〕=在〔﹣∞，2〕，〔2，+∞〕单调递减，函数h〔x〕=cos在[0，4]单调递减，可得函数在[0，2〕，〔2，4]上单调性，即可求得a，b即可．【解答】解：函数g〔x〕=，函数g〔x〕是函数y=向右平移2个单位，向上平移1个单位，故函数g〔x〕在〔﹣∞，2〕，〔2，+∞〕单调递减；对于函数h〔x〕=cos，由2k〔k∈Z〕，得8k≤x≤8k+4，故函数h〔x〕在[0，4]单调递减．∴函数在[0，2〕上单调递减，故其最大值为f〔0〕=a，∴a=1，函数在〔2，4]上单调递减，其最小值为f〔4〕=b，∴b=1．所以a+b=2，应选D．12．P是双曲线C：x2﹣y2=2左支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F2是双曲线C的右焦点，那么|PF2|+|PQ|的最小值为〔〕A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的ab，c，以及一条渐近线方程，运用双曲线的定义，可得|PF2|+|PQ|=|PF1|+2+|PQ|，依题意，当且仅当Q、P、F1三点一共线，且P在F1，Q之间时，|PF1|+|PQ|最小，且最小值为F1到l的间隔，从而可求得|PF2|+|PQ|的最小值．【解答】解：双曲线C：x2﹣y2=2的a=b=，c=2，一条渐近线l方程为x﹣y=0，设双曲线的左焦点为F1，连接PF1，由双曲线定义可得|PF2|﹣|PF1|=2a=2，∴|PF2|=|PF1|+2，∴|PF2|+|PQ|=|PF1|+2+|PQ|，当且仅当Q、P、F1三点一共线，且P在F1，Q之间时，|PF1|+|PQ|最小，且最小值为F1到l的间隔，可得F1〔﹣2，0〕到l的间隔d==，∴|PQ|+|PF2|的最小值为2+=3．应选：C．二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕13．假设圆M过三点A〔1，3〕，B〔4，2〕，C〔1，﹣7〕，那么圆M直径的长为10．【考点】J2：圆的一般方程．【分析】设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0〔d2+e2﹣4f＞0〕，代入三点的坐标，解方程可得d，e，f，再化为HY式，可得圆的半径，进而得到直径．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0〔d2+e2﹣4f＞0〕圆M过三点A〔1，3〕，B〔4，2〕，C〔1，﹣7〕，可得，解方程可得d=﹣2，e=4，f=﹣20，即圆的方程为x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，即为〔x﹣1〕2+〔y+2〕2=25，即有圆的半径为5，直径为10．故答案为：10．14．平面向量的夹角为，且，假设平面向量满足=2，那么=．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设出向量，夹角为α，那么与夹角为〔〕，由平面向量满足=2，以及三角函数的平方关系得到cosα，再由数量积公式求得．【解答】解：设向量，夹角为α，那么与夹角为〔〕，由平面向量满足=2，得到，整理得到sin，代入sin2α+cos2α=1得到cosα=，所以||===；故答案为：②④．①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；②将一组数据的每个数据都加一个一样的常数后，方差不变；③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近0，说明模型的拟合效果越好；④用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组〔1～8号，9～16号，…，153～160号〕，假设第16组抽出的号码为126，那么第一组中用抽签法确定的号码为6号．【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据回归直线恒过样本点的中心，不一定过样本点判断①错误；根据方差是表示数据波动大小的量，判断②正确；用相关指数R2刻画回归效果时，R2越接近1说明模型的拟合效果越好判断③错误；根据系统抽样原理求出第1组中抽取的号码值，判断④正确．【解答】解：对于①，回归直线恒过样本点的中心，不一定过任一样本点，∴①错误；对于②，因为方差是表示数据波动大小的量，将一组数据的每个数都加一个一样的常数后，方差不变，∴②正确；对于③，用相关指数R2来刻画回归效果，R2越接近1，说明模型的拟合效果越好，∴③错误；对于④，根据系统抽样原理，样本间隔为=8，第16组抽出的号码为15×8+a0=126，解得a0=6，即第1组中抽取的号码为6号，④正确．②④．故答案为：②④．16．数列{a n}满足，那么数列{a n•b n}满足对任意的n∈N+，都有b1a n+b2a n﹣1+…+b n a1=，那么数列{a n•b n}的前n项和T n=．【考点】8E：数列的求和．【分析】对任意的n∈N+，都有b1a n+b2a n﹣1+…+b n a1=，求得n=1的情况，当n≥2时，将n换为n ﹣1，相减求得b n=n，可得a n•b n=n•2n，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：∵数列{a n}满足，由b1a n+b2a n﹣1+…+b n a1=2n﹣n﹣1，①令n=1，那么b1a1=2﹣﹣1，解得b1=．∵b1a n+b2a n﹣1+…+b n a1=2n﹣n﹣1，当n≥2时，b1a n﹣1+b2a n﹣2+…+b n﹣2a2+b n﹣1a1=2n﹣1﹣〔n﹣1〕﹣1，将上式两边同乘公比2得，b1a n+b2a n﹣1+…b n﹣1a2=2n﹣n﹣1．②①﹣②可得：b n a1=n，〔n≥2〕，由a1=2，可得b n=n，对n=1也成立，那么a n•b n=n•2n，T n=〔1•2+2•22+3•23+…+n•2n〕，可得2T n=〔1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1〕，两式相减可得﹣T n=〔2+22+23+24+…+2n﹣n•2n+1〕=〔﹣n•2n+1〕，化简可得T n=．故答案为：．三、解答题〔本大题一一共5小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°〔∠BAC=15°〕方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角60°，假设山高为千米，〔1〕船的航行速度是每小时多少千米？〔2〕假设该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】〔1〕解△BCP，利用BCP中，，在△ABC中，由正弦定理求得；〔2〕利用正弦定理和余弦定理，分别解△BCD，求得∠CDB．【解答】解：〔1〕在△BCP中，在△ABC中，由正弦定理得：，所以，船的航行速度是每小时千米．〔2〕在△BCD中，由余弦定理得：，在△BCD中，由正弦定理得：，所以，山顶位于D处南偏东1350．18．甲乙两家快递公司其“快递小哥〞的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的局部每单抽成6元〔1〕设甲乙快递公司的“快递小哥〞一日工资y〔单位：元〕与送货单数n的函数关系式为f〔n〕，g〔n〕，求f〔n〕，g〔n〕；〔2〕假设同一公司的“快递小哥〞一日送货单数一样，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥〞，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：假设将频率视为概率，答复以下问题：①记乙快递公司的“快递小哥〞日工资为X〔单位：元〕，求X的分布列和数学期望；②小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥〞的工作，假设仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】〔1〕甲公司规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的局部每单抽成6元，由此能求出甲乙快递公司的“快递小哥〞一日工资y〔单位：元〕与送货单数n的函数关系式f〔n〕，g〔n〕．〔2〕①记乙快递公司的“快递小哥〞日工资为X〔单位：元〕，由条形图得X的可能取值为100，106，118，130，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．②乙快递公司的“快递小哥〞日平均送单数为45，从而乙快递公司的“快递小哥〞日平均工资为115元，甲快递公司的“快递小哥〞日平均工资为112元．由此推荐小赵去乙快递公式应聘．【解答】解：〔1〕甲快递公式的“快递小哥〞一日工资y〔单位：元〕与送单数n的函数关系式为：y=70+n，n∈N+，∴f〔n〕=y=70+n，n∈N+．乙快递公式的“快递小哥〞一日工资y〔单位：元〕与送单数n的函数关系式为：．∴g〔n〕=．〔2〕①记乙快递公司的“快递小哥〞日工资为X〔单位：元〕，由条形图得X的可能取值为100，106，118，130，，，所以X的分布列为：X 100 106 118 130P②乙快递公司的“快递小哥〞日平均送单数为：42×+44×+46×+48×+50×0.1=45，所以乙快递公司的“快递小哥〞日平均工资为70+45×1=115〔元〕，由①知，甲快递公司的“快递小哥〞日平均工资为112元．故推荐小赵去乙快递公式应聘．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，且AB⊥AC．〔1〕求证：AC⊥BB1；〔2〕假设AB=AC=A1B=2，M为B1C1的中点，求二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】〔1〕推导出A1B⊥AC，AB⊥AC，从而AC⊥平面A1ABB1，由此能证明AC⊥BB1．〔2〕过点A作AY∥A1B，以射线AB，AC，AY为x，y，z正半轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值．【解答】证明：〔1〕∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，∴A1B⊥AC，∵AB⊥AC，A1B∩AB=B，∴AC⊥平面A1ABB1，∵BB1⊂平面A1ABB1，∴AC⊥BB1．解：〔2〕过点A作AY∥A1B，∵A1B⊥平面ABC，∴AY⊥平面ABC，又AB⊥AC，以射线AB，AC，AY为x，y，z正半轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A1B=2，得A〔0，0，0〕，B〔2，0，0〕，C〔0，2，0〕，A1〔2，0，2〕，由，得B1〔4，0，2〕，C1〔2，2，2〕，M为B1C1的中点，M〔3，1，2〕，，设平在ABM的法向量=〔x，y，z〕，那么，取y=2，得平面ABM的法向量，，平面ABA1的法向量，∴，设二面角M﹣AB﹣A1的平面角为θ，由图知θ锐角，∴二面角M﹣AB﹣A1平面角的余弦值为．20．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：y2=2px〔p＞0〕的焦点，M是抛物线C上的任意一点，当M 位于第一象限内时，△OFM外接圆的圆心到抛物线C准线的间隔为．〔1〕求抛物线C的方程；〔2〕过K〔﹣1，0〕的直线l交抛物线C于A，B两点，且，点G为x轴上一点，且|GA|=|GB|，求点G的横坐标x0的取值范围．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】〔1〕求得抛物线的焦点和准线方程，点Q在FO的垂直平分线上，运用点到直线的间隔，解方程可得p，进而得到所求抛物线的方程；〔2〕设A，B的坐标，运用向量的坐标运算，设直线l：x=my﹣1，并代入到y2=4x中，运用韦达定理，可得m和λ，运用对勾函数的单调性，可得4m2的范围，求出AB的垂直平分线方程，令y=0，结合不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：〔1〕F是抛物线C：y2=2px〔p＞0〕的焦点〔，0〕，根据题意，点Q在FO的垂直平分线上，所以点Q到准线x=﹣的间隔为，所以C：y2=4x．〔2〕设，①设直线l：x=my﹣1代入到y2=4x中得y2﹣4my+4=0，所以y1+y2=4m，y1y2=4，②由①②可得4m2==λ++2，由2≤λ≤3可得y=λ++2递增，即有4m2∈[，]，又AB中点〔2m2﹣1，2m〕，所以直线AB的垂直平分线的方程为y﹣2m=﹣m〔x﹣2m2+1〕，令y=0，可得．21．f〔x〕=2x﹣ax2+bcosx在点处的切线方程为．〔1〕求a，b的值及f〔x〕在[0，π]上的单调区间；〔2〕假设x1，x2∈[0，π]，且x1≠x2，f〔x1〕=f〔x2〕，求证．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】〔1〕求导数，利用函数f〔x〕=2x+ax2+bcosx在点处的切线方程为y=π，求a，b的值，利用导数的正负讨论f〔x〕在[0，π]上的增减性；〔2〕由〔Ⅰ〕的单调性，设，推导F〔x〕的单调性，由x2＞π﹣x1，所以x1+x2＞π，结合单调性，即可得证．【解答】解：〔1〕f〔x〕=2x﹣ax2+bcosx在点处的切线方程为y=π，f〔x〕的导数为f′〔x〕=2﹣2ax﹣bsinx，可得⇔⇔，所以，①当时，1﹣x≥0，1﹣sinx≥0，可得f′〔x〕＞0，所以f〔x〕在为增函数；②当时，，所以f〔x〕在为减函数；〔2〕由〔1〕得f〔x〕在为增函数，在上为减函数，所以，由f'〔x〕在恒为负，，设，那么，所以F'〔x〕＞0，所以F〔x〕在递增，，当时，f〔x〕＜f〔π﹣x〕，所以f〔x1〕＜f〔π﹣x1〕，又f〔x2〕=f〔x1〕，所以，又f〔x〕在上为减函数，所以x2＞π﹣x1，所以x1+x2＞π，所以，所以．请考生在22、23两题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．曲线C1的极坐标方程为ρ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．〔1〕假设曲线为参数〕与曲线C1相交于两点A，B，求|AB|；〔2〕假设M是曲线C1上的动点，且点M的直角坐标为〔x，y〕，求〔x+1〕〔y+1〕的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】〔1〕C1：ρ=1化为直角坐标方程为，为参数〕可化为为参数〕，代入，化简得，设A，B对应的参数为t1，t2，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．〔2〕M〔x，y〕在曲线C1上，设为参数〕，可得〔x+1〕〔y+1〕=〔cosθ+1〕〔sinθ+1〕=sinθcosθ+sinθ+cosθ+1，令，那么，代入化简即可得出．【解答】解：〔1〕C1：ρ=1化为直角坐标方程为，为参数〕可化为为参数〕，代入，得，化简得，设A，B对应的参数为t1，t2，那么，∴．〔2〕M〔x，y〕在曲线C1上，设为参数〕那么〔x+1〕〔y+1〕=〔cosθ+1〕〔sinθ+1〕=sinθcosθ+sinθ+cosθ+1，令，那么，那么，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．设f〔x〕=|ax﹣1|，假设f〔x〕≤2的解集为[﹣1，3]．〔1〕务实数a的值；〔2〕假设x+y+z=a〔x，y，z∈〔0，+∞〕〕，求的最小值．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】〔1〕通过讨论a的范围，求出x的范围，结合不等式的解集，求出对应a的值即可；〔2〕求出x+y=1﹣z，根据z的范围，求出u的最小值即可．【解答】解：〔1〕|ax﹣1|≤2⇒﹣2≤ax﹣1≤2⇔﹣1≤ax≤3，当a＞0时，，当a＜0时，，此时无解，当a=0时，也无解．〔2〕由x+y+z=1⇒x+y=1﹣z，z∈〔0，1〕，那么，所以，此时．。
天津大港区德远中学2021年高三数学理模拟试题含解析
天津大港区德远中学2021年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是（）A. ③④B. ①②C. ②④D. ①③④参考答案：A【分析】由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④.【详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为,乙同学成绩的中位数为,故①错误；,,则,故②错误,③正确；显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,故选:A【点睛】本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.2. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的是（）参考答案：C略3. 已知f(x)为定义在R上的奇函数，当时，，以下列命题：①当时，②的解集为③函数f(x)共有2个零点④，都有其中正确命题个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：B【分析】首先根据奇函数，求时，函数的解析式，然后再判断②③④，再判断④时，转化为成立.【详解】①设，是奇函数，，①不成立；②当时，，解得：；当时，，解得：，综上：不等式的解集是，故②正确；③由②可知有两个零点，分别是和，是上的奇函数，，有3个零点，分别是.故③不正确；④当时，，，当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，取得最大值，，是奇函数，的最小值是，，，都有，故④正确.故正确的有②④.故选：B【点睛】本题考查根据函数的奇偶性，求函数的解析式，并判断分段函数的性质，本题的关键是①式的正确判断，根据函数的奇偶性求函数的解析式时，求的解析式，那就需设，再根据函数的奇偶性，求的解析式，本题的易错点是③，函数的零点个数，不要忘记.4. 已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（）A．B．C． D．参考答案：A5. 若函数(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=A．3 B．2 C． D．参考答案：C本题考查了三角函数的单调性以及取得最值的条件，难度中等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
天津市大港区2021届新第四次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示程序框图，若判断框内为“4i <”，则输出S =（ ）A ．2B ．10C ．34D ．98【答案】C【解析】【分析】 由题意，逐步分析循环中各变量的值的变化情况，即可得解.【详解】由题意运行程序可得：4i <，122j =⨯=，0122s =+⨯=，112i =+=；4i <，224j =⨯=，22410s =+⨯=，213i =+=；4i <，428j =⨯=，103834s =+⨯=，314i =+=；4i <不成立，此时输出34s =.故选：C.【点睛】本题考查了程序框图，只需在理解程序框图的前提下细心计算即可，属于基础题.2．函数2sin 1x x y x+=+的部分图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。
【详解】 22sin()sin ()()11x x x x f x f x x x -+-+-==-=-++，故奇函数，四个图像均符合。
当(0,)x π∈时，sin 0x >，2sin 01x x y x+=>+，排除C 、D 当(,2)x ππ∈时，sin 0x <，2sin 01x x y x +=>+，排除A 。
故选B 。
【点睛】图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。
3．已知正四面体A BCD -外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为（ ）A ．183B ．163C ．143D ．123【答案】B【解析】【分析】设正四面体ABCD 的外接球的半径R ，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长，从而得出正四面体的棱长，最后可求出正四面体的表面积．【详解】将正四面体ABCD 放在一个正方体内，设正方体的棱长为a ，如图所示，设正四面体ABCD 的外接球的半径为R ，则34863R ππ=，得6R =．因为正四面体ABCD 的外接球3a=226R =2．而正四面体ABCD 的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以，正四面体ABCD 2a=2224=，因此，这个正四面体的表面积为234163a =本题考查球的内接多面体，解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来，考查计算能力，属于中档题．4．设集合1,2,6,2,2,4,26{}{}{|}A B C x R x ==-=∈-<<，则()AB C = ( ) A ．{}2B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{|15}x x ∈-≤≤R 【答案】B【解析】【分析】直接进行集合的并集、交集的运算即可．【详解】解：{}2,1,2,4,6A B ⋃=-；∴(){}1,2,4A B C ⋃⋂=．故选：B ．【点睛】本题主要考查集合描述法、列举法的定义，以及交集、并集的运算，是基础题.5．已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线y =PAB △面积的最小值为（ ）A ．6B ．3C ．92D ．92+【答案】B【解析】【分析】求得直线AB 的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P 位于(1,0)-，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.【详解】解：曲线y =O 为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，直线AB 的方程为30x y -+=，可得||AB =，由圆与直线的位置关系知P 在(1,0)-时，P 到直线AB 距离最短，即为22=， 则PAB △的面积的最小值为132232⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．6．执行下面的程序框图，如果输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是（ ）A ．58B ．57C ．56D ．55【答案】B【解析】【分析】 先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可.【详解】本程序框图的功能是计算m ，n 中的最大公约数，所以199********=⨯+，228171157=⨯+，1713570=⨯+，故当输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是57.故选：B.【点睛】本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题.7．在ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ⋅=（ ）． A ．3-B ．6-C ．4D ．9【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析可得1AD =,由余弦定理求得DC 的值，由()BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅可得结果.【详解】根据题意，3,2AB BD AD ==，则1AD =在ADC 中，又2AC =,60BAC ∠=︒则2222cos 3DC AD AC AD DC BAC =+⋅∠=-则DC =则CD AB ⊥则()32cos1806BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=-故选：B【点睛】此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.8． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ）A ．56383B ．57171C ．59189D ．61242【答案】C【解析】【分析】根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前n 项和公式，可得结果.【详解】被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，公差为5735⨯=的等差数列，记数列{}n a则()233513512n a n n =+-=-令35122020n a n =-≤，解得25835n ≤. 故该数列各项之和为5857582335591892⨯⨯+⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查等差数列的应用，属基础题。
9．已知函数()y f x =在R 上可导且()()f x f x '<恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．3(3)(0)f e f >、2018(2018)(0)f e f >B ．3(3)(0)f e f <、2018(2018)(0)f e f >C ．3(3)(0)f e f >、2018(2018)(0)f e f <D ．3(3)(0)f e f <、2018(2018)(0)f e f <【答案】A【解析】【分析】设()()x f x g x e=，利用导数和题设条件，得到()0g x '>，得出函数()g x 在R 上单调递增， 得到()0(3)(2018)g g g <<，进而变形即可求解.【详解】由题意，设()()x f x g x e =，则()2()()()()()x x x xf x e f x e f x f xg x e e '''--'==， 又由()()f x f x '<，所以()()()0x f x f x g x e'-'=>，即函数()g x 在R 上单调递增， 则()0(3)(2018)g g g <<，即032018(0)(3)(2018)(0)f f f f e e e =<<， 变形可得32018(3)(0),(2018)(0)f e f f ef >>.故选：A.【点睛】 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及利用单调性比较大小，其中解答中根据题意合理构造新函数，利用新函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.10．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】【分析】求得()51x ax +的二项展开式的通项为15C k k k a x +⨯⋅,令2k =时,可得3x 项的系数为90,即25290C =a ⨯,求得a ,即可得出结果.【详解】若3a =则()()55=113x ax x x ++二项展开式的通项为+15C 3k k k x ⨯⋅,令13k +=,即2k =,则3x 项的系数为252C 3=90⨯,充分性成立;当()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90,则有25290C =a ⨯,从而3a =±,必要性不成立.故选:B.【点睛】本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识,考查考生的分析问题的能力和计算能力,难度较易.11．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a <”是“20210S <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的前n 项和公式，判断出正确选项.【详解】 由于数列{}n a 是等比数列，所以20212021111q S a q -=⋅-，由于2021101q q->-，所以 1202100a S <⇔<，故“10a <”是“20210S <”的充分必要条件.故选：C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题.12．曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（ ）A ．1y x =-B ．23y x =-C ．3y x =-+D ．25y x =-+【答案】A【解析】将点代入解析式确定参数值，结合导数的几何意义求得切线斜率，即可由点斜式求的切线方程.【详解】曲线24x y =，即214y x =， 当2x =时，代入可得21124t =⨯=，所以切点坐标为()2,1， 求得导函数可得12y x '=， 由导数几何意义可知1212k y ='=⨯=， 由点斜式可得切线方程为12y x -=-，即1y x =-，故选：A.【点睛】本题考查了导数的几何意义，在曲线上一点的切线方程求法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。