天津市大港区2021届新第四次高考模拟考试数学试卷含解析

天津市大港区2021届新第四次高考模拟考试数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示程序框图，若判断框内为“4i <”，则输出S =（ ）

A ．2

B ．10

C ．34

D ．98

【答案】C

【解析】

【分析】 由题意，逐步分析循环中各变量的值的变化情况，即可得解.

【详解】

由题意运行程序可得：

4i <，122j =⨯=，0122s =+⨯=，112i =+=；

4i <，224j =⨯=，22410s =+⨯=，213i =+=；

4i <，428j =⨯=，103834s =+⨯=，314i =+=；

4i <不成立，此时输出34s =.

故选：C.

【点睛】

本题考查了程序框图，只需在理解程序框图的前提下细心计算即可，属于基础题.

2．函数2sin 1x x y x

+=+的部分图象大致为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。

【详解】 22sin()sin ()()11x x x x f x f x x x -+-+-=

=-=-++，故奇函数，四个图像均符合。 当(0,)x π∈时，sin 0x >，2sin 01x x y x

+=>+，排除C 、D 当(,2)x ππ∈时，sin 0x <，2sin 01x x y x +=>+，排除A 。 故选B 。

【点睛】

图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。

3．已知正四面体A BCD -外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为（ ）

A ．183

B ．163

C ．143

D ．123

【答案】B

【解析】

【分析】

设正四面体ABCD 的外接球的半径R ，将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，根据正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长，从而得出正四面体的棱长，最后可求出正四面体的表面积．

【详解】

将正四面体ABCD 放在一个正方体内，设正方体的棱长为a ，如图所示，

设正四面体ABCD 的外接球的半径为R ，则3

4863

R ππ=，得6R =．因为正四面体ABCD 的外接球3a=226R =2．而正四面体ABCD 的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以，正四面体ABCD 2a=2224=，因此，这个正四面体的表面

积为2

34163a =

本题考查球的内接多面体，解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来，考查计算能力，属于中档题．

4．设集合1,2,6,2,2,4,26{}{}{|}A B C x R x ==-=∈-<<，则()A

B C = ( ) A ．{}2

B ．{1,2,4}

C ．{1,2,4,6}

D ．{|15}x x ∈-≤≤R 【答案】B

【解析】

【分析】

直接进行集合的并集、交集的运算即可．

【详解】

解：{}2,1,2,4,6A B ⋃=-；

∴(){}1,2,4A B C ⋃⋂=．

故选：B ．

【点睛】

本题主要考查集合描述法、列举法的定义，以及交集、并集的运算，是基础题.

5．已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线y =PAB △面积的最小值为（ ）

A ．6

B ．3

C ．92

D ．92+【答案】B

【解析】

【分析】

求得直线AB 的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P 位于(1,0)-，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.

【详解】

解：曲线y =O 为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，

直线AB 的方程为30x y -+=，

可得||AB =，由圆与直线的位置关系知P 在(1,0)-时，P 到直线AB 距离最短，即为

22

=， 则PAB △的面积的最小值为132232

⨯⨯=. 故选：B.

【点睛】

本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．

6．执行下面的程序框图，如果输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是（ ）

A ．58

B ．57

C ．56

D ．55

【答案】B

【解析】

【分析】 先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可.

【详解】

本程序框图的功能是计算m ，n 中的最大公约数，所以199********=⨯+，

228171157=⨯+，1713570=⨯+，故当输入1995m =，228n =，则计算机输出的数

是57.

故选：B.

【点睛】

本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题.

7．在ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，

2CE ED =，则BE AB ⋅=（ ）

． A ．3-

B ．6-

C ．4

D ．9

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，分析可得1AD =,由余弦定理求得DC 的值，由()BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅可得结果.

【详解】

根据题意，3,2AB BD AD ==，则1AD =

在ADC 中，又2AC =,60BAC ∠=︒

则2222cos 3DC AD AC AD DC BAC =+⋅∠=-

则DC =则CD AB ⊥

则()32cos1806BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=-

故选：B

【点睛】

此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.

8． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ）

A ．56383

B ．57171

C ．59189

D ．61242

【答案】C

【解析】

【分析】

根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前n 项和公式，可得结果.

【详解】

被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，

公差为5735⨯=的等差数列，记数列{}n a