卷积和相关

I 0 ( xi ) I 0 ( ) P( x i )d

线 光 源 的 夫 琅 和 费 衍 射
二、卷积 convolution定义
若f(x)与h(x)有界且可积, 定义
g ( x ) f ( x ) h( x )

f ( )h( x )d
*: 卷积符号
f(x)*d(x - x0) = f (x - x0) 任意函数与脉冲函数卷积的结果, 是将该函数平 移到脉冲所在的位置.
f(x)与梳状函数即脉冲阵列的卷积运算
f(x)与梳状函数的卷积运算可在每个脉冲位置产 生f(x)的函数波形,用于描述各种重复性的结构.
练习
若
f ( x) h( x) g ( x)

5、卷积符合结合律 f (x, y) h1(x, y) h2 (x, y) f ( x, y) h1( x, y) h2 ( x, y)
6、坐标缩放性质
若f ( x, y) h( x, y) g ( x, y ) 1 则f (ax, by) h(ax, by) g (ax, by) ab
若右边园孔上加p 位相板, 则 t (x, y)
=
x2 y2 circ l/2

*
d (x+d/2 - d (x-d/2)]
练习 1-12
若f(x) * h(x) = g(x), 证明 (1) f(x- x0) * h(x) = g(x - x0) (2) h(x) * f(x) = g(x)
第二讲 卷积和相关 （convolution and correlation） 是两种运算关系(或过程)；都是含参量的无穷积分， 与FT、线性系统关系密切。
都是两个函数通过某种运算得到另一函数。 一个函数是输入函数（待观测量、输入信号）， 一个函数描述观测方式或观测仪器的特征（或作用 特点） 另外一个函数就是输出函数（信号），即观测得到 的结果。 “某种运算”：就是观测方式或观测仪器对输入 函数作用的数学描述。
1/3 0 4 6 h(x-t) 1/3 f(t) h(t)
0
f(t)
t
4 6
1/5 0
t
5 9 h(-t)
t
-9 -5 0
1/5
t
x-9
x-5 g(x)
x 0
4
6
t
2/15
x
0 9 11 13 15
四、计算方法--几何作图法
练习: 计算 rect(x) *rect(x)
1.用哑元t画出 二个 rect(t)
1 经翻转并平移x后，有： 其中， rect 2 x 1 1 x 2 x
rect 2 0 其他
由式中积分限知：-2≤ξ ≤0，再结合上 述 矩 形 函 数 的 表 达 式 可 以 看 出 ： 只 有 当 -2 x≤0和0≤x≤2时，函数乘积曲线下的积分面积 不等于0，而当 x 超出上述界限时，积分面积都 为0，如图1-3-5所示。
(a)-2≤x≤0
(b)0≤x≤2
图1-3-5 例2卷积运算过程
0 x d 2 x 2(1 x ) 2 2 g ( x) 0 x d 2 x 2(1 ) 2 x2 0
x 2
2 x 0
卷积运算：可用来表示一个观测系统或一个 观测仪器对输入信号的作用过程，等等。
相关运算：常用于比较两个函数的关联 性，相似程度，用于信号检测
一、卷积概念的引入
物体分布
成像系统
像平面分布
一、卷积概念的引入
设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生 的分布为h(x)
f() 1 0 2
成像
f( 1)h(x- 1)
几何意义：可采用图解分析法帮助理解卷积运算的 含义。其运算过程分为折叠，位移，相 乘，积分4个步骤 卷积运算的两个效应：⑴展宽效应 ⑵平滑化效应
四、卷积计算方法--借助几何作图
步骤:
1.用哑元t 画出函数f(t)和h(t); 2.将h(t)折叠成h(-t); 3.将h(-t)移位至给定的x, h[-(t -x)]= h(x -t); 4.二者相乘; 5. 乘积函数曲线下面积 的值即为g(x). 练习: 计算 rect(x)*rect(x)
若f ( x, y ) h( x, y ) g ( x, y ) 则f ( x x0 , y y0 ) h( x, y ) f ( x, y ) h( x x0 , y y0 ) g ( x x0 , y y0 )
参与卷积的两个函数发生平移，卷积的结果也仅仅 发生平移，卷积结果的幅值和形式不变。
卷积运算是积分运算，积分运算是连续的叠加 求和，积分运算具有叠加性和均匀性。
af ( x, y) bh( x, y) g( x, y) af ( x, y) g( x, y) bh( x, y) g( x, y)
2、复函数的卷积 根据卷积运算的线性性质，复函数的卷积运算可以 转化为实函数的卷积运算
3、可分离变量
g ( x, y ) f ( x, y ) h ( x , y )



f ( , )h( x , y )d d

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f x ( ) h( x )d
f ( ) h( y ) d
g x ( x) g y ( y )
图1-3-3
例1中的二函数图形
图1-3-4
例1 一维卷积过程
分段计算结果： (1)x≤0， (2)0 ＜ x≤1，
g x f x h x 0
g x 1 d x x2 2
x 0 1
(图a,b) (图c)
(3)1＜x≤0， g x 0 1 d 1 2
1
(图d,e)
9 x2 (4)2＜ x ＜3， g x x2 1 d 3x (图f) 2 2
(5)x≥3，
g x f x h x 0
(图g,h)
综合上述各式,可知所求二函数的卷积为:
0 x0 x x2 2 0 x 1 12 1 x 2 g x f x h x 2 9 3x x 2 x 3 2 2 0 x3
h( x) f ( x) h( ) f ( x )d f ( x )h( )d

证明：h( x) f ( x) g ( x) 证:
令 x- = x’
f ( x' )h( x x' )d ( x' ) f ( x' )h( x x' )dx'
平移量等于两者的平移量之和。
8、函数 f ( x, y) 与
d
函数的卷积
根据 1. d-函数是偶函数, 2. d-函数的筛选性质, 有:
f ( x) d ( x) f ( )d ( x )d f ( x)


即任意函数与d(x) 卷积后不变 利用卷积的位移不变性可得:
根据上述计算结果画出了g(x)=f(x)*h(x)的完整 曲线，如图（i）。
5.卷积运算举例(续) 例2：求解 解:
x 1 x 1 g ( x) rect( ) * rect( ) 2 2
由卷积定义和矩形函数表达式，有：
x 1 x 1 g x rect rect 2 2 1 x 1 = rect rect d 2 2 0 x 1 = rect d -2 2
0 x2
2 x
故最后结果可表示成：
x 1 x 1 x g x rect rect 2 2 2 2
其函数图形如图1-3-6所示
图1-3-6
例2卷积运算结果
练习
1-9. 利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过 率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为N. 1-10. 利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔 屏的透过率。若在其中任一圆孔上嵌入p位相板， 透过率怎样变化？



f ( x' )h( x x' )dx' g ( x)


六.卷积运算举例(难点) 例1：设有二函数，分别为:
求:
x 1 f x x step x , h x rect 2 g x f x h x
f(0)h(x)
f( 2)h(x- 2) x
像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以 后的结果.。需用卷积运算来描述
g ( x) f ( )h( x )d


f ( x ) h( x )
一、卷积概念的引入 由线光源经过狭缝后的夫琅和费衍射，经过推 导，最后得到
4、卷积符合交换律
f ( x, y) h( x, y) h( x, y) f ( x, y) 令 x y f x, y h x, y f , h x , y d d h , f x , y d d h x, y f x, y
f (ax, by) h(ax, by ) f a , b h ax a , by b d d

1 ab



f a , b h ax a , by b d a d b
7、卷积位移不变性
f ( x, y) f R ( x, y) if I ( x, y) h( x, y) hR ( x, y) ihI ( x, y) g R ( x, y) f R ( x, y) hR ( x, y ) f I ( x, y ) hI ( x, y ) g I ( x, y) f R ( x, y) hI ( x, y ) f I ( x, y ) hR ( x, y )
-1/2 1 rect(t) 1 rect(t)
t
0 1/2 1 -1/2 rect(t) 0 1/2
t
2.将rect(t)折叠后不变;
3.将一个rect(-t)移位至给定的 x0, rect[-(t -x0)]= rect(x0 - t);
t
-1/2 0 1/2 x0-1/2 x0 x0+1/2
4.二者相乘;乘积曲线下 面积的值 即为g(x0).
g(x)称为函数f(x)与h(x)的卷积. 二维函数的卷积:
g ( x, y ) f ( x, y ) h ( x, y )


f ( , )h( x , y )d d
三、卷积的物理意义和几何意义
物理意义：像强度分布是物强度分布与单位强度点 光源对应的像强度分布的卷积.
1
|x| >1; g(x) = 0
g(x)
x
1
-1< x <0; g(x) = 1[x+1/2-(-1/2)]=1+x
0 < x <1; g(x) = 1[1/2-( x-1/2)]= 1- x
-1
0
rect(x)*rect(x) = tri(x)
五、卷积的运算性质 1、线性性质 叠加性和均匀性
y
l
x
d
练习: 1-10 (透过率 = 输出/输入)
y
l
yy x
=
l
x
*
d
x
0
d
t (x, y)
=
x2 y2 circ l/2

*
d (x+d/2) + d (x-d/2 ) ]
p 位相板: 输出 = 输入 exp(jp ), 即: 透过率= exp(jp ) = -1