卷积和相关
积分变换第4讲卷积定理与相关函数
解 ：F（si n w 0 t
• u(t )） F（e iw0t
e iw0t 2i
• u(t)）
1 {F（e iw0t • u(t )） F (e iw0t • u(t )）}
2i
1{1 2i iw
d（w）} |www0
1{1 2i iw
d（w）} |www0
例4 利用傅氏变换的性质, 求d(tt0),
ejw0t ,以及tu(t )的傅氏变换 解：因F (d (t)) 1,由位移性质得
F (d (t t0)) e jt0w F (d (t)) e jt0w 由 F (1) 2d (w),得
F (ejw0t ) 2d (w w0)
w0t
•
e t u(t )）
F
（ eiw0t
eiw0t 2
•
e t u(t )）
1 {F （eiw0t • e tu(t)） F (eiw0t • u(t)）}
2
1 2
{ iw
1
}
|w
w
w0
1 2
{ iw
1
}
|w
w
w0
1 2
{ i
w
1 w0
2n
t
Dt
n
则g(t)
f
(t
)
1
Dt
e
j
2n
t
Dt
n
G(w)
1
Dt
F (w nDw)
n
(Dw
2 Dt
)
33
卷积定理和相关定理.ppt
|
f
(t)
|2dt
ii)能量信号E ，例 f (t) EG (t)
②功率与功率信号
i)功率P lim 1
T T
T
2 T
2
f (t) 2 dt
ii) 功率信号 P ，例f (t) sin t, f (t) sin tu(t)
③既非功率又非能量：例如 f (t) et2
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3．利用频域卷积定理求傅立叶变换
[例1]：f
(t
)
G2
(t)
cos(
2
t)的傅立叶变换
解：ℱ[
f
(t)]
1
2
ℱ[cos
2
t]
ℱ[G2
(t)]
1 [ ( ) ( )] 2Sa()
2
2
2
sa( ) sa( )
2
2
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信号与系统—signals and systems
R21( ) f1(t ) f2 (t)dt f1(t) f2 (t )dt
iii) 性质：R12 ( ) R21( ), R12 ( ) R21( )
iv) 若 f1(t) f2 (t) f (t) 定义自相关函数：
f1(t) f2 (t)
f1
(
)
f
2
(t
)d
e
jt
dt
f1
(
)
f
2
(t
)e
jt
dt
d
时移特性
Байду номын сангаас
f1( )F2 ()e j d
F2 ()
f1( )e j d
相关运算和卷积运算的区别和联系
相关运算和卷积运算的区别和联系
相关运算是通过将两个信号在时间轴上进行滑动并逐个相乘后求和得到的。
它主要用于测量两个信号之间的相似度，以及在匹配过程中用来寻找匹配位置。
而卷积运算是将一个信号反转后和另一个信号进行乘积并求和得到的。
它主要用于信号的滤波、平滑、增强等处理。
2.联系：
虽然相关运算和卷积运算看似截然不同，但它们在某些方面是相似的。
首先，它们都是一种线性运算，即它们满足叠加原理，即两个信号的相关或卷积等于它们的分别进行相关或卷积之和。
其次，在频域上，相关运算和卷积运算都对应着乘积运算。
因此，我们可以使用傅里叶变换将它们转换到频域中进行处理。
总的来说，相关运算和卷积运算是信号处理中非常重要的运算方式，它们可以用于信号的分析、滤波、增强等多种应用场景。
理解它们的区别和联系对于提高信号处理的技能和水平具有重要意义。
- 1 -。
卷积和相关
I 0 ( xi ) I 0 ( ) P( x i )d
线 光 源 的 夫 琅 和 费 衍 射
二、卷积 convolution定义
若f(x)与h(x)有界且可积, 定义
g ( x ) f ( x ) h( x )
f ( )h( x )d
*: 卷积符号
h( x) f ( x) h( ) f ( x )d f ( x )h( )d
证明：h( x) f ( x) g ( x) 证:
令 x- = x’
f ( x' )h( x x' )d ( x' ) f ( x' )h( x x' )dx'
f(0)h(x)
f( 2)h(x- 2) x
像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以 后的结果.。需用卷积运算来描述
g ( x) f ( )h( x )d
f ( x ) h( x )
一、卷积概念的引入 由线光源经过狭缝后的夫琅和费衍射，经过推 导，最后得到
1
(图d,e)
9 x2 (4)2＜ x ＜3， g x x2 1 d 3x (图f) 2 2
(5)x≥3，
g x f x h x 0
(图g,h)
综合上述各式,可知所求二函数的卷积为:
0 x0 x x2 2 0 x 1 12 1 x 2 g x f x h x 2 9 3x x 2 x 3 2 2 0 x3
平移量等于两者的平移量之和。
8、函数 f ( x, y) 与
卷积的本质及物理意义(整理)
[衰减系数是（t-τ）的函数，仔细品味]
数学表达为：y(t)=∫T(τ)H(t-τ)
——拿人的痛苦来说卷积的事，太残忍了。除了人以外，其他事物也符合这条规律吗？
——呵呵，县令大人毕竟仁慈。其实除人之外，很多事情也遵循此道。好好想一想，铁丝为什么弯曲一次不折，快速弯曲多次却会轻易折掉呢？
卷积是在时域求解LTI系统对任意激励的零状态响应的好方法，可以避免直接求解复杂的微分方程。
从数学上来说卷积就是定义两个函数的一种乘法。对离散序列来说就是两个多项式的乘法。物理意义就是冲激响应的线性叠加，所谓冲激响应可以看作是一个函数，另一个函数按冲激信号正交展开。
在现实中,卷积代表的是将一种信号搬移到另一频率中.比如调制.这是频率卷
把一个点的像素值用它周围的点的像素值的加权平均代替。
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
卷积的物理意义，解释的真幽默！
有一个七品县令，喜欢用打板子来惩戒那些市井无赖，而且有个惯例：如果没犯大罪，只打一板，释放回家，以示爱民如子。
图像处理基本算法-卷积和相关
图像处理基本算法-卷积和相关在执⾏线性空间滤波时，经常会遇到两个概念相关和卷积⼆者基本相似，在进⾏图像匹配是⼀个⾮常重要的⽅法。
相关是滤波器模板移过图像并计算计算每个位置乘积之和的处理卷积的机理相似，但滤波器⾸先要旋转180度相关的计算步骤：（1）移动相关核的中⼼元素，使它位于输⼊图像待处理像素的正上⽅（2）将输⼊图像的像素值作为权重，乘以相关核（3）将上⾯各步得到的结果相加做为输出卷积的计算步骤：（1）卷积核绕⾃⼰的核⼼元素顺时针旋转180度（2）移动卷积核的中⼼元素，使它位于输⼊图像待处理像素的正上⽅（3）在旋转后的卷积核中，将输⼊图像的像素值作为权重相乘（4）第三步各结果的和做为该输⼊像素对应的输出像素超出边界时要补充像素，⼀般是添加0或者添加原始边界像素的值可以看出他们的主要区别在于计算卷积的时候，卷积核要先做旋转。
⽽计算相关过程中不需要旋转相关核。
离散单位冲击：我们将包含单个1⽽其余全是0的函数成为离散单位冲击。
重要性质：⼀个函数与离散单位冲击相关，在冲击位置产⽣这个函数的⼀个翻转版本。
f 函数w 滤波器模板eg：f（x，y）0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0w（x，y）1 2 34 5 67 8 9相关 f*w =0 0 0 0 00 9 8 7 00 6 5 4 00 3 2 1 00 0 0 0 0卷积f*w=0 0 0 0 00 1 2 3 00 4 5 6 00 7 8 9 00 0 0 0 0相关的⽤途：图象的匹配。
卷积和相关
1 2 * R12 ( ) T f1 (t ) f 2 (t )dt ，其中星号表示复共轭。 T 2
卷积和相关
如果 f 1 ( t ) 和 f 2 ( t ) 是两个不同的函数，则称为 互相关函数, 表示为
R12 ( ) ，如果 f 1 ( t ) 和 f 2 ( t ) 是同一个函数，则称为自相关函数， 表示为 R( ), Rxx ( ) 等。
f ( t ) f1 ( ) f 2 ( t )d f1 ( t ) f 2 ( t )
卷积和相关
任何函数与冲激函数卷积得出函数f(t)本身
f (t ) * (t ) f ( ) (t )d f (t )
f (t ) * (t T ) f (t T )
R ( ) R ( ) f ( t ) f ( t ) 12 21 注意： 1 ， 2 次序一般不可交换。可证
当
f 1 ( t ) ， f 2 ( t ) 为实函数时，有 R12 ( ) R21( )
R( ) R* ( )
R( ) R ( )
相关定理：
R( ) lim
FT ( )
S ( )
卷积和相关
自相关函数的性质： * R ( ) R ( ) ，实部为 的偶函 1、复对称性： 数，虚部为 的奇函数 2 R ( 0 ) f ( t ) dt E 能量 2、对于能量信号： T 1 2 2 对于功率信号： R(0) T f (t ) dt 平均功率 T 2 3、 R(0) R( ) 4、周期信号自相关也是同周期的周期函数
北交 通信系统原理 主要知识点第2章
第2章信号与噪声分析知识点及层次1. 确知信号时－频域分析(1) 现代通信系统周期信号的傅氏级数表示和非周期信号的傅氏积分。
(2) 几个简单且常用的傅氏变换对及其互易性。
(3) 信号与系统特征－卷积相关－维钠－辛钦定理。
2. 随机过程统计特征(1) 二维随机变量统计特征。
(2) 广义平稳特征、自相关函数与功率谱特点。
(3) 高斯过程的统计特征。
3. 高斯型白噪声统计特征(1) 理想白噪声及限带高斯白噪声特征。
(2) 窄带高斯白噪声主要统计特征。
以上三个层次是一个层层深入的数学系统，最终旨在解决信号、系统及噪声性能分析，是全书各章的基本理论基础，也是系统分析的最主要的数学方法。
第2章信号与噪声分析知识点及层次1. 确知信号时－频域分析（1）现代通信系统周期信号的傅氏级数表示和非周期信号的傅氏积分。
（2）几个简单且常用的傅氏变换对及其互易性。
（3）信号与系统特征－卷积相关－维钠－辛钦定理。
2.随机过程统计特征（1）二维随机变量统计特征（2）广义平稳特征、自相关函数与功率谱特点。
（3）高斯过程的统计特征。
3. 高斯型白噪声统计特征（1）理想白噪声及限带高斯白噪声特征。
（2）窄带高斯白噪声主要统计特征。
以上三个层次是一个层层深入的数学系统，最终旨在解决信号、系统及噪声性能分析，是全书各章的基本理论基础，也是统分析的最主要的数学方法。
傅里叶分析是从时域、频域描述信号的有效方法。
狭义而言，通信过程更是信号与传输信道在频域相适应的过程。
往往信号和系统的频域特征分析更有利于解决传输问题。
第二章信号与噪声分析经典例题[例 2-1] 求图2-1所示信号f(t)的频谱。
解：这一结果表明，频谱是两部分构成，为虚轴上奇对称于原点。
证实了奇对称实信号的频谱为虚频谱奇对称形式。
[例2-2] 由随机过程定义，典型的数学表达式是无法写出的。
一般地，在一个确知形式的时间函数中，若其中一个（或2个）变量是随机的，称准随机过程。
设随机过程，其中是均值为0、方差为的高斯变量，是内均匀分布的相位随机变量，且与统计独立。
卷积与相关函数
F 1{ 1
2
[
F1
(
)
F2
(
)]
}
(
1
2
)2
[F1
(
)
F2
(
)
]
e
jt
d
( 1 )2
2
[
F1
(
)F2
(
)
d
]
e
jt
d
( 1 )2
2
F1( )d [
F2
(
)
e
jt
d
]
1
2
F1( )d[
f2 (t) e j t ]
1
2
[
F1
(
)d
e
j
t
]
f
2
(t
)
f1(t) f2 (t)
一、卷积
1、卷积的定义 函数 f1(t) 和f2(t) 的卷积运算为
f (t) f1(t) f2 (t) f1( ) f2 (t )d
卷积的意义：一个函数与另一个函数折叠后之 积的曲线下的面积，又称折积积分。
函数f ( ) 绕纵轴折叠后为f ( )
2、与奇异信号的卷积
f (t) (t) f (t)
二、 相关函数
1、相关函数的定义与性质
相关函数的意义：衡量两波形函数之间的关联或相似 程度的函数，表示两个信号之间或同一信号相隔一 段时间的相互关系
相关函数的定义：
1）能量信号 f1(t) 和 f2(t) 的互相关函数为
R12 ( ) f1(t) f2 (t ) dt
2）周期均为T的周期功率信号 f1(t) 和 f2(t) 互相关函数
R( ) 时0 两信号不相关， R(0时) 两信号最相关
《信号与系统》课程讲义3-4
t 2
1
§3.4卷积定理和相关定理
二、相关定理
1．能量信号与功率信号
①能量与能量信号
∫ i)能量 E =
+∞
|
f
(t) |2dt
−∞
ii)能量信号E<+ ∞，例 f (t) = EGτ (t)
∫ ②iii功))功功率率率与P信功=号率Tl→iPm信+<∞+号T1∞−T22T
f (t 例f
) 2 dt (t) =
) )
f f
2 2
(t (τ
−τ −t
)dt )dτ
③ ⇒ f1(t) * f2 (−t) = R12 (t)
§3.4卷积定理和相关定理
[例3]：已知 f1(t) = G2 (t)，f2 (t) = (−t + 2)R2 (t) 求① f1(t) * f2 (t)
② R12 (t) = f1(t) * f2 (−t)
t+2 -1
1τ
§3.4卷积定理和相关定理
⎧0
∫⎪
⎪
t+2 2dτ
−1
∫ f1 (t )
*
f2 (t)
=
⎪ ⎨
⎪
∫⎪
⎪⎩
+21dτ
−1
12dτ
t−2
0
t < −3 ⎧ 0
− 3 ≤ t < −1 −1≤ t <1
=
⎪⎪⎪⎨2(t 4+
3)
1 ≤ t < 3 ⎪⎪2(3 − t)
t>3
⎪⎩ 0
t < −3 − 3 ≤ t < −1 −1≤ t <1
§3.4卷积定理和相关定理
卷积和相关的部分区别
������ ������ ������(������ + ������ )������������
②
则称������ (������)为函数������(������)与������(������)的互相关函数。 （容易证明������������������ ������ = 等价） 。 互相关函数描述了两信号之间的相关情况或取值依赖关系。 如果对一个 理想测试系统的输入和输出信号求互相关函数，那么，互相关函数取得最大 值的������值等于系统的滞后时间。 1.3 卷积和相关定义的比较 比较①式和②式容易发现： 1）在①式中被积函数的第二个因子������(������ − ������ )中如果������ 不反号，便成为相关运 算的定义。
2.卷积与相关的运算过程
2.1 卷积的运算过程 设�����(������)为矩形脉冲信号，������(������)为三角脉冲信号，如图 1(a)所示。则卷积 的运算过程如下：
(a)
(b)
(c)
图 1 卷积的运算过程
(d)
图 1 表示首先将������(������)对折（即反号） ，得到������(−������)，再平移������ 个单位得到 ������(������ − ������ )， 然后将������(������ − ������ )与另一函数������ (������)相乘后再从−∞到+∞积分 （对������ 积 分） ，得到相乘后的新曲线������(������ ) ∙ ������(������ − ������ )与横坐标轴包围的面积������（如图 1 (d)） ，该面积������便是������(������ )与������(������ )在������点处的卷积。取不同的������值时，该卷积（面 积）不同，故该卷积是������的函数。 可见卷积可分为对折、平移、积分三步。
最新线性卷积与循环卷积的关系及相关算法应用(下附讲稿)课件PPT
线性卷积的计算
一、定义计算 二、利用DFT循环卷积
为了获得使线性卷 积与循环卷积相等
的条件
x(n) y(n) N
引入了两周期 序列的周期卷
积
综上所述……
终极结论
两序列的循环卷积序列是它 们线性卷积序列以循环卷积的 长度为周期进行周期延拓后的 主值序列。
归纳、推论
7
重叠保留法 6
xk=[1 2 3];
h=[1 2];
N=3;M=2;
5
for L=1:10
x((L-1)*N+1:L*N)=xk; 4
end
Hk=fft(h,M+N-1);
3
y=zeros(1,M+N*10-1);
overlap=zeros(1,M-1); y(1:M+N-1)=ifft(fft([overlap2 x(1:N)],M+N-1).*Hk);
18
n
100
50
0
-50
-100
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
n
通过循环卷积求卷积
方剂学课件
福建中医学院方剂学教研室
第十一章 补益剂
❖ 一、定义：凡用补益药为主组成，具有补养人体气血阴阳等 作用，主治各种虚证的方剂，统称补益药。
❖ 二、立论根据：损者益之”
❖ 三、适应范围：先天不足。
❖ 后天失调
八珍汤
❖ A组成内容 ❖ 人参： 益气养血 ❖ 熟地黄： ❖ 白朮： 健脾渗湿 ❖ 白茯苓： ❖ 当归： 养血和营 ❖ 白芍药： ❖ 川芎：活血行气 ❖ 甘草：益气和中，调和诸药
3-4卷积定理和相关定理
1 2π
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统— 信号与系统—signals and systems
3．利用频域卷积定理求傅立叶变换 ． [例1]： f (t ) = G2 (t ) cos( t ) 的傅立叶变换 例 ： 2 1 π 解：ℱ[ f (t )] = ℱ[cos t ] ∗ ℱ[G2 (t )] 2π 2 1 π π = π [δ (ω − ) + δ (ω + )] ∗ 2Sa(ω ) 2π 2 2
t < −2 0 −2 ≤ t < 0 t + 2 −2 ≤ t < 0 = 0 ≤ t < 2 2 − t 0 ≤ t < 2 0 t>2 t>2
2
f1 (t ) ∗ f 2 (t )
t < −2
F (ω ) = Sa(ω )Sa(ω ) = Sa 2 (ω )
-2 0 2
t
R12 (τ ) = ∫ f 1 (t ) f 2 (t − τ )dt = ∫ f 1 (t + τ ) f 2 (t )dt
−∞ −∞ +∞ +∞ +∞ +∞
R21 (τ ) = ∫ f 1 (t − τ ) f 2 (t )dt = ∫ f 1 (t ) f 2 (t + τ )dt
−∞ −∞
④复能量信号的相关函数： 复能量信号的相关函数：
R12 (τ ) = ∫
+∞ −∞
f1 (t ) f 2* (t − τ ) dt
⑤复功率信号的相关函数： 复功率信号的相关函数：
1 T R12 (τ ) = lim ∫ 2T f1 (t ) f 2* (t − τ )dt T →∞ T − 2
信号与系统第二章 总结
第二章 总结一﹑LTI 连续系统响应（一）微分方程经典解法=解开方式：全解y （t ）=通解）（特解）（t y t y p n + 1﹑通解（齐次解）：令右侧为零由特征方程n a +n λ1-n a +1-n λ…+0a a 01=+λ确定通解形式，再由n 个+0初始条件确定系数。
总结：齐次解模式由系统决定，系数由n 个初始条件决定，有时与f （t ）有关。
2﹑特解：函数形式与f （t ）有关，根据f （t ）形式选择特定形式后，代入原微分方程，球的系数。
3﹑全解：） y （t ）=）（）（t y t y p n + 响应。
）又称强迫响应或受迫（响应；）又称自由响应或固有（t y t y p n (二)初始条件与-00+（1）经典系统的响应应限于到正无穷范围。
+0（2）不能将{）（-n 0y }作为微分方程初始条件。
（3）{）（+0y n }由{）（-n 0y }导出，{）（+0y n }又称导出初始条件。
（三）零输入响应与零状态响应y （t ）=）（）（t y t y zs zi + 定义求解：（1）求解zi y ：微分方程→特征方程→特征根→zi y （t ）模式→数由{）（-n 0y }确定。
（2））（t y zs 求解：经典法﹑卷积积分法。
二﹑卷积积分卷积积分及其图解计算（1）定义： （2）图解计算：∑=n 1i i i t y a ）（）（∑=m 1j j j t f b ）（）（()()()τττd 21⎰∞∞--=t f f t f ττ ),()(.111积分变量改为f t f →)()()()(.22222τττ-−−→−-−−→−→t f f f t f 平移翻转τττd )(.)(.321-⎰∞∞-t f f 乘积的积分：总结：翻卷（翻转+平移）→乘积→积分三﹑卷积的性质：（一）卷积的代数性质：（1） 交换性：（2） 分配性：（3） 结合律： (二)延时特性：卷积的延迟量等于相卷积的两函数卷积之和（三）函数与冲激函数卷积)()()(t f t t f =*δ卷积奇偶性：同偶异奇（四）卷积的导数与积分：1﹑卷积导数：[）（）（t f t f 21*]´=）（）（t f t f 21*´=）（）（，t f t f 21* 推广：）（）（）（）（）（）（t f t f t f t f n 2n 121-*=* 2、卷积积分）（）（）（）（）（）（t f dx x f dx x f t f dx x f x f 2t 1t 212t 1*=*=*⎰⎰⎰∞-∞-∞- 若y （t ）=）（）（t f t f 21*，则）（）（）（）（）（）（t f t f t y j -i 2j 1i *= （五）相关函数dt t f t f dt t f t )()()(f R 212-112•+=-•=⎰⎰∞∞-∞∞τττ）（）（ dt t f t f dt t f t )()()(-f R 212-121τττ+•=•=⎰⎰∞∞-∞∞）（）（ )-(R 2112ττR =）（ ）（）（ττ-R R 1221=自相关函数：若）（）（）（t f t f t f 21==，则R （τ）称为自相关函数。
卷积的本质及物理意义(整理)
卷积的本质及物理意义分三个部分来理解：1．信号的角度2．数学家的理解（外行）3．与多项式的关系卷积这个东东是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。
因为是对模拟信号论述的，所以常常带有繁琐的算术推倒，很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了，那么卷积究竟物理意义怎么样呢？卷积表示为y(n) = x(n)*h(n)使用离散数列来理解卷积会更形象一点，我们把y(n)的序列表示成y(0),y(1),y(2) and so on; 这是系统响应出来的信号。
同理，x(n)的对应时刻的序列为x(0),x(1),x(2)...and so on;其实我们如果没有学过信号与系统，就常识来讲，系统的响应不仅与当前时刻系统的输入有关，也跟之前若干时刻的输入有关，因为我们可以理解为这是之前时刻的输入信号经过一种过程（这种过程可以是递减，削弱，或其他）对现在时刻系统输出的影响，那么显然，我们计算系统输出时就必须考虑现在时刻的信号输入的响应以及之前若干时刻信号输入的响应之“残留”影响的一个叠加效果。
假设0时刻系统的响应为y(0)，若其在1时刻时，此种响应未改变，则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和（与序列的和不一样）。
但常常系统中不是这样的，因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化，那么怎么表述这种变化呢，就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表述，表述为x(m)×h(n-m)，具体表达式不用多管，只要记着有大概这种关系，引入这个函数就能够表述y(0)在1时刻究竟削弱了多少，然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值，再通过累加和运算，才得到真实的系统响应。
再拓展点，某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻和前一时刻这两个响应决定的，也可能是再加上前前时刻，前前前时刻，前前前前时刻，等等，那么怎么约束这个范围呢，就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(n-m)中的m的范围来约束的。
第四章数字相关和卷积运算Corr...
第四章 数字相关和卷积运算 （Correlation and Convolution ）在第三章我们已经介绍了相关函数的基本定义，相关可以从时域角度表现信号间的相似程度，可以用来作为滤波和识别分类手段。
卷积是线性时不变系统分析中基本的运算，也可以起到滤波的作用。
由于计算机的普及，总是用计算机来进行信号与系统的分析，所以这里我们只介绍数字相关和数字卷积。
第一节 线性相关（Linear Correlation）线性相关是相关的一种运算，这里的线性相关与医学统计中略有不同。
线性相关是讨论两信号之间的同步性（synchronism ）或相似性(similarity)或同相性(in-phase)或两信号的变化规律是否具有线性关系(linear relationship)或接近线性关系的程度。
这里还要给出相关函数(correlation Function)（在医学统计里一般是不给出的）和相关系数（correlation coefficient ）这两个相联系而又不同的概念。
设有离散信号和，其线性相关函数为：)(n x )(n y (4-1)∑+∞−∞=+=n xy m n y n x m r )()()(上式表示的相关运算，是两数字序列的对应项相乘再相加的运算。
式中m 表示位移量，m>0表示序列左移，m<0表示右移，不同的m 得到不同的值，如、、。
值大于0表示有同相成份存在，小于0表示有反相成分存在，等于0表示两序列正交或者相互独立。
线性相关运算的简洁表示为：)(n y )(m r xy )0(xy r )1(xy r )1(－xy r )(m r xy )()()(n y n x m r xy •= (4-2)式中 “·”表示线性相关运算符（correlation operator ）。
当和完全相等时(4-1)，(4-2)就由互相关函数变成自相关函数了。
)(n x )(n y 对应式(4-1)，令k ＝m ＋n ，则n ＝k －m ，得：∑+∞−∞=−=k xy k y m k x m r )()()( (4-3)上式表示左移，相当于右移，(4-1) 与(4-3)是完全等效的。
第四五讲二维-傅里叶变换
当f(x)=g(x)时,互相关变为复函数f(x)的自相关, 定义为
rff (x)
f (x)★f (x)
f ( ) f *( x)d
或:
rff (x)
f (x)★f (x)
f ( 'x) f *( ')d '
由(4)式立即可得:
rff(x)= rff*(-x)
F(,)一般是复函数, F(,) =A(,)e jf (,)
位相谱 振幅谱
描述了各频率分量的相对幅值和相移.
§1-5二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
广义 F.T.
对于某些不符合狄氏条件的函数, 求F.T.的方法.
对某个可变换函数组成的系列取极限不符合狄氏条件的函数, 函数系列变换式的极限原来函数的广义F. T.
宽度 =1/2
周期 t =1
a0
2
t
t
1
2 g(t)dt 2 4 dt 1
t 2
1 4
频率 f0 =1
an
2
t
t 2
t 2
g(t) cos(2nt)dt
2
1
4 cos(2nt)dt
1 4
sin(2nt) n
1/ 4 1/ 4
sinc
n 2
bn
2
t
t
2 t 2
g (t
)
sin(2nf0t)dt
( ) ( )d 2
2
( ) d
2
( ) d
其中与一般为复函数，且仅当=k 时，等号成立。
令()=f(-x)， ()=g()，则施瓦兹不等式为：
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g(x)称为函数f(x)与h(x)的卷积. 二维函数的卷积:
g ( x, y ) f ( x, y ) h ( x, y )
f ( , )h( x , y )d d
三、卷积的物理意义和几何意义
物理意义：像强度分布是物强度分布与单位强度点 光源对应的像强度分布的卷积.
3、可分离变量
g ( x, y ) f ( x, y ) h ( x , y )
f ( , )h( x , y )d d
f x ( ) h( x )d
f ( ) h( y ) d
g x ( x) g y ( y )
-1/2 1 rect(t) 1 rect(t)
t
0 1/2 1 -1/2 rect(t) 0 1/2
t
2.将rect(t)折叠后不变;
3.将一个rect(-t)移位至给定的 x0, rect[-(t -x0)]= rect(x0 - t);
t
-1/2 0 1/2 x0-1/2 x0 x0+1/2
4.二者相乘;乘积曲线下 面积的值 即为g(x0).
5、卷积符合结合律 f (x, y) h1(x, y) h2 (x, y) f ( x, y) h1( x, y) h2 ( x, y)
6、坐标缩放性质
若f ( x, y) h( x, y) g ( x, y ) 1 则f (ax, by) h(ax, by) g (ax, by) ab
f (ax, by) h(ax, by ) f a , b h ax a , by b d d
1 ab
ห้องสมุดไป่ตู้
f a , b h ax a , by b d a d b
7、卷积位移不变性
1
(图d,e)
9 x2 (4)2＜ x ＜3， g x x2 1 d 3x (图f) 2 2
(5)x≥3，
g x f x h x 0
(图g,h)
综合上述各式,可知所求二函数的卷积为:
0 x0 x x2 2 0 x 1 12 1 x 2 g x f x h x 2 9 3x x 2 x 3 2 2 0 x3
y
l
x
d
练习: 1-10 (透过率 = 输出/输入)
y
l
yy x
=
l
x
*
d
x
0
d
t (x, y)
=
x2 y2 circ l/2
*
d (x+d/2) + d (x-d/2 ) ]
p 位相板: 输出 = 输入 exp(jp ), 即: 透过率= exp(jp ) = -1
根据上述计算结果画出了g(x)=f(x)*h(x)的完整 曲线，如图（i）。
5.卷积运算举例(续) 例2：求解 解:
x 1 x 1 g ( x) rect( ) * rect( ) 2 2
由卷积定义和矩形函数表达式，有：
x 1 x 1 g x rect rect 2 2 1 x 1 = rect rect d 2 2 0 x 1 = rect d -2 2
若f ( x, y ) h( x, y ) g ( x, y ) 则f ( x x0 , y y0 ) h( x, y ) f ( x, y ) h( x x0 , y y0 ) g ( x x0 , y y0 )
参与卷积的两个函数发生平移，卷积的结果也仅仅 发生平移，卷积结果的幅值和形式不变。
1
|x| >1; g(x) = 0
g(x)
x
1
-1< x <0; g(x) = 1[x+1/2-(-1/2)]=1+x
0 < x <1; g(x) = 1[1/2-( x-1/2)]= 1- x
-1
0
rect(x)*rect(x) = tri(x)
五、卷积的运算性质 1、线性性质 叠加性和均匀性
f ( x' )h( x x' )dx' g ( x)
六.卷积运算举例(难点) 例1：设有二函数，分别为:
求:
x 1 f x x step x , h x rect 2 g x f x h x
4、卷积符合交换律
f ( x, y) h( x, y) h( x, y) f ( x, y) 令 x y f x, y h x, y f , h x , y d d h , f x , y d d h x, y f x, y
I 0 ( xi ) I 0 ( ) P( x i )d
线 光 源 的 夫 琅 和 费 衍 射
二、卷积 convolution定义
若f(x)与h(x)有界且可积, 定义
g ( x ) f ( x ) h( x )
f ( )h( x )d
*: 卷积符号
(a)-2≤x≤0
(b)0≤x≤2
图1-3-5 例2卷积运算过程
0 x d 2 x 2(1 x ) 2 2 g ( x) 0 x d 2 x 2(1 ) 2 x2 0
x 2
2 x 0
卷积运算：可用来表示一个观测系统或一个 观测仪器对输入信号的作用过程，等等。
相关运算：常用于比较两个函数的关联 性，相似程度，用于信号检测
一、卷积概念的引入
物体分布
成像系统
像平面分布
一、卷积概念的引入
设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生 的分布为h(x)
f() 1 0 2
成像
f( 1)h(x- 1)
第二讲 卷积和相关 （convolution and correlation） 是两种运算关系(或过程)；都是含参量的无穷积分， 与FT、线性系统关系密切。
都是两个函数通过某种运算得到另一函数。 一个函数是输入函数（待观测量、输入信号）， 一个函数描述观测方式或观测仪器的特征（或作用 特点） 另外一个函数就是输出函数（信号），即观测得到 的结果。 “某种运算”：就是观测方式或观测仪器对输入 函数作用的数学描述。
h( x) f ( x) h( ) f ( x )d f ( x )h( )d
证明：h( x) f ( x) g ( x) 证:
令 x- = x’
f ( x' )h( x x' )d ( x' ) f ( x' )h( x x' )dx'
卷积运算是积分运算，积分运算是连续的叠加 求和，积分运算具有叠加性和均匀性。
af ( x, y) bh( x, y) g( x, y) af ( x, y) g( x, y) bh( x, y) g( x, y)
2、复函数的卷积 根据卷积运算的线性性质，复函数的卷积运算可以 转化为实函数的卷积运算
f(x)*d(x - x0) = f (x - x0) 任意函数与脉冲函数卷积的结果, 是将该函数平 移到脉冲所在的位置.
f(x)与梳状函数即脉冲阵列的卷积运算
f(x)与梳状函数的卷积运算可在每个脉冲位置产 生f(x)的函数波形,用于描述各种重复性的结构.
练习
若
f ( x) h( x) g ( x)
几何意义：可采用图解分析法帮助理解卷积运算的 含义。其运算过程分为折叠，位移，相 乘，积分4个步骤 卷积运算的两个效应：⑴展宽效应 ⑵平滑化效应
四、卷积计算方法--借助几何作图
步骤:
1.用哑元t 画出函数f(t)和h(t); 2.将h(t)折叠成h(-t); 3.将h(-t)移位至给定的x, h[-(t -x)]= h(x -t); 4.二者相乘; 5. 乘积函数曲线下面积 的值即为g(x). 练习: 计算 rect(x)*rect(x)
1/3 0 4 6 h(x-t) 1/3 f(t) h(t)
0
f(t)
t
4 6
1/5 0
t
5 9 h(-t)
t
-9 -5 0
1/5
t
x-9
x-5 g(x)
x 0
4
6
t
2/15
x
0 9 11 13 15
四、计算方法--几何作图法
练习: 计算 rect(x) *rect(x)
1.用哑元t画出 二个 rect(t)
f ( x, y) f R ( x, y) if I ( x, y) h( x, y) hR ( x, y) ihI ( x, y) g R ( x, y) f R ( x, y) hR ( x, y ) f I ( x, y ) hI ( x, y ) g I ( x, y) f R ( x, y) hI ( x, y ) f I ( x, y ) hR ( x, y )
0 x2
2 x
故最后结果可表示成：
x 1 x 1 x g x rect rect 2 2 2 2
其函数图形如图1-3-6所示
图1-3-6
例2卷积运算结果