中国石油大学2013-2014(1)线性代数(A)[32]答案及评分标准

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线性代数期末试卷A答案及评分标准

线性代数期末试卷A答案及评分标准IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】A卷2015—2016学年第一学期《线性代数》期末试卷答案（32学时必修）专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期2016年1月15日题号一二三四五六七总分本题满分15 15 21 16 12 14 7本题得分阅卷人1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4.本试卷正文共7页。

说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分） 1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【负】.2.设1352413120101311--=D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则4443424122A A A A +-+等于【0】.3．设102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，A 为34⨯矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【2】.4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【1】.5．设A 是3阶实的对称矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【1】.6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式=+-|2|1E B 【-8】.二、选择题（共5个小题，每小题3分） 1.设A 为3阶矩阵，且21||=A ，则行列式|2|*-A 等于【A 】.(A)2-；(B)21-；(C)1-；(D)2. 2.矩阵110120001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为【A 】．(A)210110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；(B)210110001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；(C)110120001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；(D)110110001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【A 】． (A)||0A =；(B)||1A =；(C)A 可逆；(D)A 满秩.4.设300300026,110,001342A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1-=AB C ，则1C -的第3行第1列的元素为【D 】．(A)4；(B)8；(C)0；(D)1-.5．设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【B 】．(A)2=a ；(B)1=a ；(C)3=a ；(D)以上选项都不对.三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)1.若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为零的数321，，λλλ，使得0=3+++2+2+321）（）（）（γβλγβλβαλk ----------2分整理得：0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此0=30122001k ，由此得k =分2.设()011201-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ，由此可得0=+B E A又02=122010012=+≠--E A ----------2分因此0=B因此可得5=-a .----------7分3.设矩阵2001000240021603,A a B t -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且,A B 相似，求a 与t 的值．解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，而易知B 的特征值为-1,t ,3，因此A 的特征值也为-1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3ta t a ++=-++⎧⎨-=-⎩----------5分解得12a t ==,.----------7分四、（共2小题，每小题8分） 1．求向量组的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.解：令()123410311301,,,217242140A αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪⎪⎝⎭,把A 进行行变换，化为行最简形，()123410300110~00010000A C ββββ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭----------6分则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=，故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=.----------8分2.问a 满足什么条件，才能使得21403003A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭共有两个线性无关的特征向量？解：由0=30030412=λλλλ----a E A ，得A 的特征值：3==2=321λλλ，要使A 有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量，即0=)3(x E A -的解空间的维数为1，则2=)3(E A R -，----------6分而114300000A E a -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此可知0≠a .----------8分五、问λ为何值时，线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩λλλ无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．解：记方程组的增广矩阵为，则101412261423B ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭λλλ，对其进行行变换，化为行阶梯形：101012320001B λλλ⎛⎫ ⎪→--+ ⎪ ⎪-+⎝⎭，易知，当1≠λ时，3)(2)(=≠=B R A R ，方程组无解；当1=λ时，2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解；----------6分当1=λ时，101101210000B ⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭，与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+⎧⎨=-⎩，由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.----------12分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩，并求正交变换Py x =，化二次型为标准形．解：记二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=442442221A ,122~000,000A -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故二次型f 的秩为分由0442442221=-------=-λλλλE A ，可得：0，9321===λλλ，当，91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11-211ξ，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3232-311p ,当，032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102-，01232ξξ，正交化：[][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==15452--，012222323322ηηηξηξηξη，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3515541552-15452-35，0125132p p ，----------12分令()321p p p P =，则可得正交变换Py x =，二次型的标准形为：232221321009),,(y y y y y y f ++=.----------14分七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）1.“设A 是n 阶实的反对称矩阵，则对于任何n 维实的列向量α，α和αA 正交，且E A -可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由.解：该结论成立。

全国2013年1月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题与答案解析

1 2 1 3 3 D．
2
2 2 1 2 1 1 A 1 2 A1 A 2 A b b 0 b 1 1 2 3 3 3 3 3 3 3 2 是 Ax b 的解．，3
2 0 0 0 0 0 0 0 3 相似，则下列说法错误的是（ 7．若 3 阶方阵 A 与对角阵
1 1 3 4 4 5 0 k1 1 k 2 0 0 0 1
1 3 1 4 5 4 0 0 0 ，
0 2 1 1 0 0 0 0
1 4 3 2 6 2 1 3 1 2 6 2
1 1 0 2 0 0 0 0
1 2 3 1 0 0 0 0 ，
向量组的秩是 2， 1 , 2 是向量组的一个极大无关组．
第 4页
2013-2015 在最痛的日子里自考真题--本科（会计）
2013-2015 在最痛的日子里自考真题--本科（会计）
全国 2013 年 1 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184
说明：本卷中，AT 表示矩阵 A 的转置，αT 表示向量的转置，E 表示单位矩阵，|A|表示方阵 A 的行列式，A-1 表示方阵 A 的逆矩阵，R(A)表示矩阵 A 的秩.
1 1 2 2 3 3 3 4 4 4
．
1 2 3 4 0 4 6 8 0 0 6 8 0 0 0 8 1 4 6 8 192
1 2
解：
1 2 3 4
．
5 2 1 A 0 4 2 4 3 1 ， B 是三阶方阵，且满足 AB A 2 B E ，求 B ． 22．设

线性代数第四版答案

线性代数第四版答案(总120页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章行列式1利用对角线法则计算下列三阶行列式(1)解2(4)30(1)(1)1180132(1)81(4)(1)2481644(2)解acb bac cba bbb aaa ccc3abc a3b3c3(3)解bc2ca2ab2ac2ba2cb2(a b)(b c)(c a)(4)解x(x y)y yx(x y)(x y)yx y3(x y)3x33xy(x y)y33x2y x3y3x32(x3y3)2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数(1)1 2 3 4解逆序数为0(2)4 1 3 2解逆序数为4 41 43 42 32(3)3 4 2 1解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1(4)2 4 1 3解逆序数为3 2 1 4 1 4 3(5)1 3 (2n1) 2 4 (2n)解逆序数为3 2 (1个)5 2 5 4(2个)7 2 7 4 7 6(3个)(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)(6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2解逆序数为n(n1)3 2(1个)5 2 5 4 (2个)(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)4 2(1个)6 2 6 4(2个)(2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个)3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项解含因子a11a23的项的一般形式为(1)t a11a23a3r a4s其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子a11a23的项分别是(1)t a11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44(1)t a11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a424计算下列各行列式(1)解(2)解(3)解(4)解abcd ab cd ad1 5证明:(1)(a b)3;证明(a b)3(2);证明(3);证明(c4c3c3c2c2c1得)(c4c3c3c2得)(4)(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d);证明=(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d)(5)x n a1x n1a n1x a n证明用数学归纳法证明当n2时命题成立假设对于(n1)阶行列式命题成立即D n1x n1a1x n2a n2x a n1则D n按第一列展开有xD n1a n x n a1x n1a n1x a n因此对于n阶行列式命题成立6设n阶行列式D det(a ij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转依次得证明D3D证明因为D det(a ij)所以同理可证7计算下列各行列式(D k为k阶行列式)(1), 其中对角线上元素都是a未写出的元素都是0解(按第n行展开)a n a n2a n2(a21)(2);解将第一行乘(1)分别加到其余各行得再将各列都加到第一列上得[x(n1)a](x a)n1(3);解根据第6题结果有此行列式为范德蒙德行列式(4);解(按第1行展开)再按最后一行展开得递推公式D2n a n d n D2n2b n c n D2n2即D2n(a n d n b n c n)D2n2于是而所以(5) D det(a ij)其中a ij|i j|;解a ij|i j|(1)n1(n1)2n2(6), 其中a1a2a n0解8用克莱姆法则解下列方程组(1)解因为所以(2)解因为所以9问取何值时齐次线性方程组有非零解解系数行列式为令D0得0或1于是当0或1时该齐次线性方程组有非零解10问取何值时齐次线性方程组有非零解解系数行列式为(1)3(3)4(1)2(1)(3)(1)32(1)23令D0得02或3于是当02或3时该齐次线性方程组有非零解第二章矩阵及其运算1已知线性变换求从变量x1x2x3到变量y1y2y3的线性变换解由已知故2已知两个线性变换求从z1z2z3到x1x2x3的线性变换解由已知所以有3设求3AB2A及A T B解4计算下列乘积(1)解(2)解(132231)(10)(3)解(4)解(5)解(a11x1a12x2a13x3 a12x1a22x2a23x3 a13x1a23x2a33x3)5设问(1)AB BA吗解AB BA因为所以AB BA (2)(A B)2A22AB B2吗解 (A B)2A22AB B2因为但所以(A B)2A22AB B2(3)(A B)(A B)A2B2吗解 (A B)(A B)A2B2因为而故(A B)(A B)A2B26举反列说明下列命题是错误的(1)若A20则A0解取则A20但A0(2)若A2A则A0或A E解取则A2A但A0且A E (3)若AX AY且A0则X Y解取则AX AY且A0但X Y7设求A2A3A k 解8设求A k解首先观察用数学归纳法证明当k2时显然成立假设k时成立，则k1时，由数学归纳法原理知9设A B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明B T AB也是对称矩阵证明因为A T A所以(B T AB)T B T(B T A)T B T A T B B T AB从而B T AB是对称矩阵10设A B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB BA证明充分性因为A T A B T B且AB BA所以(AB)T(BA)T A T B T AB即AB是对称矩阵必要性因为A T A B T B且(AB)T AB所以AB(AB)T B T A T BA11求下列矩阵的逆矩阵(1)解 |A|1故A1存在因为故(2)解 |A|10故A1存在因为所以(3)解 |A|20故A1存在因为所以(4)(a1a2a n0)解由对角矩阵的性质知12解下列矩阵方程(1)解(2)解(3)解(4)解13利用逆矩阵解下列线性方程组(1)解方程组可表示为故从而有(2)解方程组可表示为故故有14设A k O (k为正整数)证明(E A)1E A A2A k1证明因为A k O所以E A k E又因为E A k(E A)(E A A2A k1)所以 (E A)(E A A2A k1)E由定理2推论知(E A)可逆且(E A)1E A A2A k1证明一方面有E(E A)1(E A)另一方面由A k O有E(E A)(A A2)A2A k1(A k1A k)(E A A2A k1)(E A)故 (E A)1(E A)(E A A2A k1)(E A)两端同时右乘(E A)1就有(E A)1(E A)E A A2A k115设方阵A满足A2A2E O证明A及A2E都可逆并求A1及(A2E)1证明由A2A2E O得A2A2E即A(A E)2E或由定理2推论知A可逆且由A2A2E O得A2A6E4E即(A2E)(A3E)4E或由定理2推论知(A2E)可逆且证明由A2A2E O得A2A2E两端同时取行列式得 |A2A|2即 |A||A E|2故 |A|0所以A可逆而A2E A2 |A2E||A2||A|20故A2E也可逆由A2A2E O A(A E)2EA1A(A E)2A1E又由A2A2E O(A2E)A3(A2E)4E(A2E)(A3E) 4 E所以 (A2E)1(A2E)(A3E)4(A 2 E)116设A为3阶矩阵求|(2A)15A*|解因为所以|2A1|(2)3|A1|8|A|1821617设矩阵A可逆证明其伴随阵A*也可逆且(A*)1(A1)*证明由得A*|A|A1所以当A可逆时有|A*||A|n|A1||A|n10从而A*也可逆因为A*|A|A1所以(A*)1|A|1A又所以(A*)1|A|1A|A|1|A|(A1)*(A1)*18设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*证明(1)若|A|0则|A*|0(2)|A*||A|n1证明(1)用反证法证明假设|A*|0则有A*(A*)1E由此得A A A*(A*)1|A|E(A*)1O所以A*O这与|A*|0矛盾，故当|A|0时有|A*|0(2)由于则AA*|A|E取行列式得到|A||A*||A|n若|A|0则|A*||A|n1若|A|0由(1)知|A*|0此时命题也成立因此|A*||A|n119设AB A2B求B解由AB A2E可得(A2E)B A故20设且AB E A2B求B解由AB E A2B得(A E)B A2E即 (A E)B(A E)(A E)因为所以(A E)可逆从而21设A diag(12 1)A*BA2BA8E求B 解由A*BA2BA8E得(A*2E)BA8EB8(A*2E)1A18[A(A*2E)]18(AA*2A)18(|A|E2A)18(2E2A)14(E A)14[diag(21 2)]12diag(12 1)22已知矩阵A的伴随阵且ABA1BA13E求B解由|A*||A|38得|A|2由ABA1BA13E得AB B3AB3(A E)1A3[A(E A1)]1A23设P1AP其中求A11解由P1AP得A P P1所以A11 A=P11P1.|P|3而故24设AP P其中求(A)A8(5E6A A2)解()8(5E62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(11 25)]diag(1158)diag(1200)12diag(100)(A)P()P125设矩阵A、B及A B都可逆证明A1B1也可逆并求其逆阵证明因为A1(A B)B1B1A1A1B1而A1(A B)B1是三个可逆矩阵的乘积所以A1(A B)B1可逆即A1B1可逆(A1B1)1[A1(A B)B1]1B(A B)1A26计算解设则而所以即27取验证解而故28设求|A8|及A4解令则故29设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆求 (1)解设则由此得所以(2)解设则由此得所以30求下列矩阵的逆阵(1)解设则于是(2)解设则第三章矩阵的初等变换与线性方程组1把下列矩阵化为行最简形矩阵(1)解(下一步r2(2)r1r3(3)r1 ) ~(下一步r2(1)r3(2) ) ~(下一步r3r2 )~(下一步r33 )~(下一步r23r3 )~(下一步r1(2)r2r1r3 )~(2)解(下一步r22(3)r1r3(2)r1 )~(下一步r3r2r13r2 )~(下一步r12 )~(3)解(下一步r23r1r32r1r43r1 )~(下一步r2(4)r3(3)r4(5) )~(下一步r13r2r3r2r4r2 )~(4)解(下一步r12r2r33r2r42r2 ) ~(下一步r22r1r38r1r47r1 ) ~(下一步r1r2r2(1)r4r3 )~(下一步r2r3 )~2设求A解是初等矩阵E(1 2)其逆矩阵就是其本身是初等矩阵E(1 2(1))其逆矩阵是E(1 2(1))3试利用矩阵的初等变换求下列方阵的逆矩阵(1)解~~~~故逆矩阵为 (2)解~~~~~故逆矩阵为4 (1)设求X使AX B 解因为所以(2)设求X使XA B 解考虑A T X T B T因为所以从而5设AX2X A求X解原方程化为(A2E)X A因为所以6在秩是r的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式有没有等于0的r阶子式解在秩是r的矩阵中可能存在等于0的r1阶子式也可能存在等于0的r阶子式例如R(A)3是等于0的2阶子式是等于0的3阶子式7从矩阵A中划去一行得到矩阵B问A B的秩的关系怎样解R(A)R(B)这是因为B的非零子式必是A的非零子式故A的秩不会小于B的秩8求作一个秩是4的方阵它的两个行向量是(1 0 1 0 0) (11 0 0 0)解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵此矩阵的秩为4其第2行和第3行是已知向量9求下列矩阵的秩并求一个最高阶非零子式(1);解(下一步r1r2 )~(下一步r23r1r3r1 )~(下一步r3r2 )~矩阵的是一个最高阶非零子式(2)解(下一步r1r2r22r1r37r1 ) ~(下一步r33r2 )~矩阵的秩是2是一个最高阶非零子式(3)解(下一步r12r4r22r4r33r4 )~(下一步r23r1r32r1 )~(下一步r216r4r316r2 )~~矩阵的秩为3是一个最高阶非零子式10设A、B都是m n矩阵证明A~B的充分必要条件是R(A)R(B)证明根据定理3必要性是成立的充分性设R(A)R(B)则A与B的标准形是相同的设A 与B的标准形为D则有A~D D~B由等价关系的传递性有A~B11设问k为何值可使(1)R(A)1 (2)R(A)2 (3)R(A)3解(1)当k1时R(A)1(2)当k2且k1时R(A)2(3)当k1且k2时R(A)312求解下列齐次线性方程组:(1)解对系数矩阵A进行初等行变换有A~于是。

中国石油大学(华东)《计算机图形学》2013年春学期在线自测2

1．第1题单选题下列有关透视投影的叙述中错误的是（）。

A、投影线从视点出发B、投影线是平行的C、任何一束不平行于投影面的平行线的透视投影将汇成一点D、主灭点最多有3个标准答案：B您的答案：题目分数：5此题得分：0.0批注：2．第2题单选题在面片的数量非常大的情况下，（）消隐算法速度最快。

A、深度缓存算法(Z-Buffer)B、扫描线消隐算法C、深度排序算法（画家算法）D、不知道标准答案：C您的答案：题目分数：5此题得分：0.0批注：3．第3题单选题下列有关简单光反射模型的叙述语句中，正确的论述为（）。

A、简单光反射模型模拟物体表面对光的反射作用B、在简单光反射模型中，假定光源是点光源，物体是半透明的C、在简单光反射模型中，对物体间的光反射作用，只有一个环境光常量做近似处理D、简单光反射模型还应考虑物体表面的漫反射作用标准答案：A您的答案：题目分数：5此题得分：0.0批注：4．第4题单选题下列关于三维图形绘制的内容，错误的是（）。

A、在屏幕上显示三维图形，采用的直角坐标系通常是左手系；B、图形绘制中，除世界坐标系外，还要设置屏幕（设备）坐标系统；C、图形绘制中，局部坐标系和观察坐标系是必须要设置的；D、三维空间中的对象要在二维的屏幕或图纸上表示出来，必须要通过投影标准答案：A您的答案：题目分数：5此题得分：0.0批注：5．第5题单选题下面关于曲线的命题中，（）论述正确。

A、Hermite曲线具有凸包性B、改变一个控制点只影响Bezier曲线上局部点的变化C、应用Horner算法计算一个n次多项式曲线中的型值点的复杂性是O(n)D、曲线几何连续性的条件强于参数连续性标准答案：C您的答案：题目分数：5此题得分：0.0批注：6．第6题单选题下列图形绘制的技术中，（）不属于三维图形的真实感绘制技术。

A、Phong光照模型B、梁－Barsky算法C、阴影效果D、纹理映射标准答案：B您的答案：题目分数：5此题得分：0.0批注：7．第7题单选题下列有关简单光反射模型的叙述语句中正确的论述为（）。

07~08中国石油大学华东线性代数考题答案

0 b # 0 0
" 0 0 " 0 0 # # " a b " 0 a
解：按第一行展开，即得
a 0 Dn = a # 0 0
b a # 0 0
" 0 0 b " 0 0 a n+1 # # + ( −1) b # 0 " a b 0 " 0 a
0 b # 0 0
" 0 0 " 0 0 # # ……………….(4) " b 0 " a b
1⎞ ⎟ 1⎟ ， 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎠
……………(4)
故知（1）向量组的秩为 2，…………………………(5)
α 1 , α 2 是一个最大无关组；
……………(6)
（2） α 3 = −α 1 + α 2 ， α 4 = α 1 + α 2 ……………(10)
5
五（10 分）
１．设向量组 α1 ,
β 2 , β3 , β 4 线性无关。…………（5）
2
２．设 A 为三阶实对称矩阵，且满足条件 A + 2 A = 0 ，已知 A 的秩 r ( A) = 2 ．求 A 的全部特征值；解：（ l ） A 的一个特征值，对应的特征向量为 α ，则
Aα = λα , (α ≠ 0) ， A 2α = λ2α 。于是 ( A 2 + 2 A)α = (λ2 + 2λ )α 。由条件
（1）求此向量组的秩，并求一个最大无关组，（2）将其余向量用这个最大无关组线性表示。解记
1 0 2 ⎞ ⎛1 ⎛ 1 ⎟ ⎜ ⎜ 4 3 5 ⎟ r ⎜0 ⎜ 1 A=⎜ ~ − 1 − 3 − 2 − 4⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ − 1 − 1 0 − 2⎟ ⎜ 0 ⎠ ⎝ ⎝

2013-2014(1)线性代数(A)[32] - 答案及评分标准

2013—2014学年第一学期《线性代数》期末试卷答案与评分标准专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2013年11月24日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；一．填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）1．矩阵013241457A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则()R A = 3 . 2．设3阶矩阵A 的特征值为1， 2， 3，则2A E +的特征值为 2,5,10 . 3．若四阶方阵A 的秩等于2，则*()R A = 0 ．4. 二次型2221231231223(,,)24f x x x x x x x x x x =++-+的矩阵为110112021-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.5. 从2R 的基1211,01αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到基1210,11ββ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的过渡矩阵为2111-⎛⎫⎪-⎝⎭.二．选择题（共5小题，每小题3分，共计15分）1．已知2n 阶行列式D 的某一列元素及其余子式都等于a ，则D =( A ).A . 0；B .2a ； C . 2a -； D . 2na . 2．已知三阶方阵A 和B 满足2A B ==，则2AB =( D ).A ．22；B ．32；C ．42；D . 52.3．已知A 和B 均为5阶方阵，且()4R A =，()5R B =，则()R AB =( D).A ．1；B ．2；C ．3；D ．4.4. 设A 是n 阶方阵，2=A ，*A 是A 的伴随矩阵，则行列式*A =( C ).A ．2；B . n 2；C . 12-n ； D . 前面选项都不对.5. 若向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则( C ).A ．α必可由β，γ，δ线性表示；B . β必可由α，γ，δ线性表示；C . δ必可由α，β，γ线性表示；D . δ必不可由α，β，γ线性表示.三．计算下列各题（共4小题，每小题8分，共计32分）1. 计算行列式D = 103100204199200395301300600. 解：3100431412005100125130001303848410015510055102000--=----=--=-=6分8分2. 求A 的逆矩阵，其中矩阵121110200A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 解：2A =-2分*001021243A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦6分110020011102101222433122A -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦8分3. 验证1231111,0,01-11ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是3R 的基，并求343α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标.解：111311131004011111130200100401000011⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭6分343α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为4,0,-18分4. 求解方程组12341234123431,3344,5980.x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩解：1131111311313440467115980046711131111311371046710124400000000335102443710124400000----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭--⎛⎫--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4分134234335244371244x x x x x x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩ 6分即：*12335244371,,244100010ξξη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8分1212335244371,.244100010x k k k k R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭四.求解下列各题 (共3小题，每小题8分，共计24分) 1.设矩阵A 满足2320,A A E --= 证明A 可逆，并求1A -.解：()132,3,232A A E E A E A E A E A --=-⎛⎫= ⎪⎝⎭-=6分8分2.设123,,ααα线性无关，112322331232,,23,βαααβααβααα=-+=-=-+讨论向量组123,,βββ的线性相关性.解：设1122330k k k βββ++=，即：()()()112322331232230k k k αααααααα-++-+-+=()()()()()()112322331231311232123322302230k k k k k k k k k k k ααααααααααα-++-+-+=++-+-+-+=2分因为123,,ααα线性无关，所以13123123200230k k k k k k k k +=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩ 4分因为121110213--=- 6分所以上述方程组有非零解，即：123,,βββ线性相关。

中国石油大学近三年高数期末试题及答案

2013—2014学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A 卷（工科类）参考答案及评分标准一．（共5小题，每小题3分，共计1 5 分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明. 1．若)(x f 在),(∞+a 无界，则∞=∞+→)(lim x f x .（ ⨯ ）------------- （ 1分）例如：x x x f sin )(=，在),1(∞+无界，但∞≠∞+→x x x sin lim . ------- （ 2分）2．若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点必可导.（ ⨯ ）------------- （ 1分）例如：x x f =)(，在0=x 点连续，但x x f =)( 在 0=x 不可导. ------ （ 2分） 3．若0lim =∞→n n n y x ，则0lim =∞→n n x 或.0lim =∞→n n y （ ⨯ ）-------------- （ 1分）例如：,0,1,0,1:n x,1,0,1,0:n y有0lim =∞→n n n y x ，但n n x ∞→lim ，n n y ∞→lim 都不存在. ---------------------------- （ 2分）4．若0)(0='x f ，则)(x f 在0x 点必取得极值.（ ⨯ ）------------------- （ 1分）例如：3)(x x f =，0)0(='f ，但3)(x x f =在0=x 点没有极值. ---------（ 2分） 5．若)(x f 在],[b a 有界，则)(x f 在],[b a 必可积.（ ⨯ ）------------- （ 1分）例如：⎩⎨⎧=.,0,1)(为无理数当为有理数，当x x x D ，在]1,0[有界，但)(x D 在]1,0[不可积. （ 2分）二．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1. 指出函数x x x f cot )(⋅=的间断点，并判断其类型. 解函数x x x f cot )(⋅=的间断点为：,2,1,0,±±==k k x π------------------------------------------------------- ( 3分 )当 ,0=k 即 0=x 时, ,1sin cos limcot lim )(lim 0===→→→xxx x x x f x x x 0=∴x 为函数x x x f cot )(⋅=的第一类可去间断点; ----------------------- ( 2分 )当 ,2,1,±±==k k x π时, ,sin cos limcot lim )(lim ∞===→→→xxx x x x f k x k x k x πππ),2,1(, ±±==∴k k x π为函数x x x f cot )(⋅=的第二类无穷间断点 . --------- ( 2分 )2．求极限⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim解 ⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 202)1(lim-------------------（3分） xxx e x x e x )2()1(lim22++=+∞→----------------------------------------------------------------- ( 3分 ).121lim 22=++=+∞→x x x x ---------------------------------------------------------------（1分）3．设方程)0,0(>>=y x x y yx 确定二阶可导函数)(x y y =，求22d ydx.解1 对yx x y =两边取对数，得 x yy x ln 1ln 1=，即xx y y ln ln =，-------------------------------------------------------------- ( 2分 )等式两边关于x 求导，得：x dxdyy ln 1)ln 1(+=+，即y x dx dy ln 1ln 1++=，------- ( 2分 )⎪⎭⎫⎝⎛=∴dx dy dx d dxy d 222)ln 1(1)ln 1()ln 1(1y dxdyy x y x +⋅⋅+-+=---------------------------- ( 2分 )322)ln 1()ln 1()ln 1(y xy x x y y ++-+=.------------------------------------------------ ( 1分 )三．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1．求不定积分⎰+dx xxx 23sin 1cos sin . 解 ⎰⎰+-=+)(sin sin 1)sin 1(sin sin 1cos sin 2223x d xx x dx x x x ------------------------（2分）（令t x =sin ） =⎰+-dt t t t 221)1(=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dt t t t 212 ------------------（2分） C t t +++-=)1ln(222=.)sin 1ln(sin 2122C x x +++-----------------（3分）2．设x 2ln 是函数)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(. 解)(ln 2)ln (2x f xxx ==' ，------------------------------------------------- ( 2分 )Cx dx x f +=∴⎰2ln )(，------------------------------------------------------- ( 2分 )⎰⎰='∴)()(x df x dx x f x⎰-=dx x f x f x )()(.ln ln 22C x x +-=-------------------------------------------- ( 3分 )3．求定积分dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ.解 dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ⎰⎰--+=44743442cos sin ππππdx x dx x x ------- ( 1分 )dx x 2cos 0744⎰-+=ππ-------------------------------------------------------（2分）dx x 2cos 2740⎰=π----------------------------------------------------------（2分）（令t x =2）dt t 720cos ⎰=π----------------------------------------------------------------（1分）.!!7!!6=---------------------------------------------------------------------------（1分）四．（共2小题，每小题6分，共计1 2分）1．已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速度增加，宽w 以3cm/s 的速度增加，则当长为12cm ，宽为5cm 时，它的对角线的增加率是多少？解：设长方形的对角线为y ，则 222w l y += ----------------------------------- ( 2分 )两边关于t 求导，得 dt dww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅222，即 dt dww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅------（1）-------------------------------- ( 2分 ) 已知,2=dt dl ,3=dtdw,13512,5,1222=+=⇒==y w l 代入（1）式，得对角线的增加率：3=dtdy（cm/s ）.-------------------------------------------------- ( 2分 )2．物体按规律2x ct =做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由0x =移至x a =时克服阻力所做的功.解ct dtdxt v 2)(==----------------------------------------------------------- ( 2分 )cxt c t c k x f 444)(2222===,-------------------------------------------------- ( 2分 )⎰=acxdxW 04＝22ca .------------------------------------------------------ ( 2分 )五．（本题10分）已知x x x f arctan 5)(-=，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线解函数的定义域为.),(+∞-∞22214151)(xx x x f +-=+-='，令0)(='x f 得驻点.2±=x ----------------------------------------------------------------------------------- ( 1分 ),)1(10)(22x xx f +=''令0)(=''x f ，得可能拐点的横坐标：.0=x -------- ( 1分 ) 列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：----------------------------------------------------------------------------------------------------- ( 6分 ),1)arctan 51(lim )(lim1=-==∞+→∞+→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 11π-=-=-=∞+→∞+→x x a x f b x x,1)arctan 51(lim )(lim2=-==∞-→∞-→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 22π=-=-=∞-→∞-→x x a x f b x x 渐近线为：.25π±=x y ---------------------------------------------------------------- ( 2分 )六．（共2小题，每小题7分，共计14分） 1. 试求曲线)0(2≥=-x ex y x与x 轴所夹的平面图形绕x 轴旋转所得到的伸展到无穷远处的旋转体的体积 . 解：⎰⎰∞+-∞+==02dxxe dx y V x ππ------------------------------------------------------（4分） []x x xe x ex -+∞→∞+-+-=+-=)1(lim )1(0πππππππ=-=+-=+∞→01limx x ex ----------------------------------------------（3分）2.求微分方程x y y y 2345-=+'+''的通解.解特征方程为：,0452=++r r 特征根：.1,421-=-=r r ----------------- ( 2分 ) 对应齐次方程的通解为：.241x xe C e C y --+=------------------------------ ( 2分 )而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为B Ax y +=*----------------- ( 1分 ) 代入原方程可得，.811,21=-=B A .8112*+-=∴x y -------------------- ( 1分 )故所要求的通解为.8112241+-+=--x e C e C y x x-------------------------------- ( 1分 )七．（本题7分）叙述罗尔)(Rolle 中值定理，并用此定理证明：方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n在),0(π内至少有一个实根，其中n a a a ,,21为常数.罗尔)(Rolle 中值定理：设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ，使得.0)(='ξf -------------------------------------------------------------- ( 3分 ) 令nnx a xa x a x f nsin 22sin sin )(21+++= ，-------------------------------------- ( 2分 )在],0[π上连续，在),0(π内可导，且nx a x a x a x f n cos 2cos cos )(21+++=' ，0)()0(==πf f ,由罗尔中值定理，),0(πξ∈∃,使得)(ξf '0cos 2cos cos 21=+++=ξξξn a a a n ，即方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n 在),0(π内至少有一个实根. ---- ( 2分 )各章所占分值如下：第一章函数与极限 13 %；第二章一元函数的导数与微分 16 %；第三章微分中值定理与导数的应用 20 %；第四章不定积分 14 %；第五章定积分及其应用 30 % . 第六章常微分方程 7 % .2014—2015学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷( 工科类 )参考答案及评分标准各章所占分值如下：第一章函数与极限 16 %；第二章一元函数的导数与微分 16 %；第三章微分中值定理与导数的应用 14 %；第四章不定积分 15 %；第五章定积分及其应用 26 % . 第六章常微分方程 13 % .一．（共3小题，每小题4分，共计12 分）判断下列命题是否正确在题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明 . 1．极限xx 1sinlim 0→不存在. （ √ ）--------------------------------------------------（2分）证设x x f 1sin)(= ，取πn x n 21=，221ππ+=n y n ，),2,1( =n0lim =∞→n n x ，0lim =∞→n n y ，但)(lim n n x f ∞→n n x 1sinlim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ，)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n ，由海涅定理，xx 1sin lim 0→不存在.---------------------------------------------------------------（2分）2．若曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，则)(x f 在0x 点必可导.（ ⨯ ）--------------------------------------------------------（2分）例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导.---------------------------------------------------------（2分）3．设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸，在),(b a 内二阶可导，则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . （ ⨯ ）----------------------------------------------------------（2分）例：4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸，但 0)0(=''f ..---------------------------------------------------------（2分）二．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1. 求极限)!sin()11(lim n nnn ⋅-∞→ .解,0)11(lim =-∞→nn n,1)!sin(≤n ------------------------------------------------------（3分）.0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------（3分）2.求极限44)1(lim xdte t x x t x ⎰-+∞→+.解44)1(limx dte t x x t x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------（3分）xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→.141lim 434=++=+∞→x x x x -----------------------------------------（3分）3．求极限)21(lim 222222nn n n n n n n ++++++∞→ . 解 )21(lim 222222n n nn n n n n ++++++∞→∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n n n i 12111lim------------------------------------------------------------------（3分）⎰+=1021x dx 4arctan 10π==x.-------------------------------------------------------（3分）三．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1．求函数()xx eex f 11211++=的间断点并判断其类型.解=x 是)(x f 的间断点，---------------------------------------------------------------------（3分）又 )(lim 0x f x +→21211lim 110=++=+→xx x ee，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e， 0=∴x 是)(x f 的跳跃间断点.---------------------------------------------------------------（3分）2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，求 .)(x f '解当0≠x 时，2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222x e e x x --=-----------------（3分）当0=x 时，0)0()(lim)0(0--='→x f x f f x xx ex x 1lim 20-=→201lim 2x e x x -=→122lim 20==→x xe xx ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ （ 3分 )3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t=⎧⎨=+⎩确定y 为x 的函数，求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==' ,--------------------------------------------------------------------（3分）22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin d t t dx =()sin d dt t t dt dx=⋅sin cos ()t t tx t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------（3分）四．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1．求不定积分⎰+dx e xxln 2.解 ⎰+dx e xx ln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------（3分）)(2122⎰=x d e x .212C e x +=-------------------------------------------------------------（3分）2．求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1-------------------------------------------------------（1分）⎰⎰+=xdx x dx x 2cos 2121 ⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------（2分）⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412-------------------------------------（2分）C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------（1分）3．设)(x f 在]1,1[-上连续，求定积分dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------（1分） dx x 210120-+=⎰（上半单位圆的面积）-----------------------------------（3分）242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------（2分）五．（本题8分）设由曲线 x y ln = 与直线 0=-ey x 及 x 轴所围平面图形为 D (1) 求D 的面积S ；（4分）(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积 V .（4分）解曲线x y ln =与直线 0=-ey x 的交点为)1,(e ，------------（1分）.12-=e--------------------（3分）（2）⎰⎰---=-=121221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------（2分） ⎰⎰+---=1221022)2()1(dy e ee e dy y e y y ππ122132)22(3)1(y ye ee y e y e+----=ππ.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ---------------------（2分）xx⎰-=1)()1(dyy e e S y 12]2[e ye y -=六．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.解过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为222x y R +=.-------------------------------------（1分）.44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------（2分）2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为0>k ），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解设降落伞下降的速度为)(t v ，则根据牛顿第二运动定律，有 kv mg dtdvm-=，其中g为重力加速度，-------------------------------------------（2分）分离变量，得m dtkv mg dv =- ，两端积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t mkkv mg --=-， t mk Cekv mg -=- （其中1kC e C -=，>-kv mg ）---------------------------------（2分）y,],0[R x ∈∀所做功的微元：取],[dx x x +（其中g x dx x R g dW ⋅-=)(22πρ分）（3)(32dx x x R g -=πρdxx x R g W R)((320-=⎰πρ故由已知0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=，故.)(0t m ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------（2分）七．（本题6分）求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解特征方程为：,0652=+-r r 特征根：.3,221==r r 对应齐次方程的通解为：.3221x x e C e C y +=----------------------------------------（3分）而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------（1分）B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ， 2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比较同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------（2分）八．（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 经过点)0,21(. （1）试求曲线L 的方程；（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解（1）过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，由题意，得y x y y x '-=+22，即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+21，)0(>x ------------（2分）令u x y=，则,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dx udu )0(>x C x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简，得 C y x y =++22，由L 经过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，故曲线L的方程为：,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------（2分）（2）曲线L ：241x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y ，切线与x轴及y轴的交点分别为：)0,241(2xx +，).41,0(2+x -----------------------（2分）所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ，)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：63=x ，即63=x 为)(x S 在)21,0(内的最小值点，故所求切线方程为： 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------（2分）2015—2016学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试卷答案及评分标准( 工科类 )专业班级姓名A 卷学号开课系室基础数学系考试日期 2016年1月 11 日注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共八道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共8页。

石油储运11线性代数试卷1

适用院系、班级：培黎石油学院储运2011本第 1 页（共 2 页）兰州城市学院2011—2012 学年第一学期石油储运专业《线性代数》课程试卷（A ）题号一二三四五总分得分统分人复核人一、选择题（每小题4分共40分）1．行列式 1110212-k k =0 的充分必要条件是（）。

（A ）k=-2 （B ）k=3 (C) k ≠-2且k ≠3 （D ）k=-2或k=32.若齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+0x -x kx 0x -kx x 0x x -2x 321321321 K 必须满足（）。

（A ）k=4 （B ）k=-1 (C) k ≠-1且k ≠4 （D ）k=-1或k=343.有矩阵A 3х2，B 2х3，C 3х3，下列矩阵运算可行的是（）。

（A ）AC （B ）ABC (C)BAC （D ）AB-BC4.设A 、B 均为n 阶方阵，则必有（）。

（A ）A 或B 可逆，必有AB 可逆（B ）A 或B 不可逆，必有AB 不可逆 (C) A 且B 可逆，必有A+B 可逆（D ）A 且B 不可逆，必有A+B 不可逆 5.设A 、B 、，C 为同阶方阵，且A 可逆，则正确的是（）。

（A ）若A B=CA ，则B=C （B ）若A B=AC ，则B=C (C)若BC=0，则C=0 （D ）若A B=0，则B ≠0 6.设A 为n 阶方阵，且A 2=2A ，则未必有（）。

（A ）A 可逆（B ）A- E 可逆 (C) A+ E 可逆（D ）A- 3E 可逆7.设n 阶矩阵A 的伴随矩阵A ж≠0，若ξ1、ξ2、ξ3ξ4是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系（）。

（A ）不存在（B ）仅含一个非零解(C)含有两个解向量（D ）含有三个线性无关的解向量8.四元齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02104231x x x x 的一个基础解系是（）。

石大在线《线性代数(文)》第一阶段在线作业(自测)答案

Biblioteka 8．第8题单选题()
A、a-1 B、-a-1 C、1-a D、a 1
标准答案：A
您的答案：
题目分数：10
此题得分：0.0
批注：
9．第9题单选题矩阵
的秩等于(
)
A、0 B、1 C、2 D、3
标准答案：D
您的答案：
mhtml:file://D:\用户数据\win8\Desktop\线性代数\《线性代数(文)》第一阶段在线作... 2013/5/9
标准答案：C
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题目分数：10 此题得分：0.0 批注：
mhtml:file://D:\用户数据\win8\Desktop\线性代数\《线性代数(文)》第一阶段在线作... 2013/5/9
试题
页码，2/3
5．第5题单选题下列排列中是奇排列的是(
)
A、4321 B、1234 C、2314 D、4123
3．第3题单选题
4阶行列式D，其第3列的元素分别为1, 2, 3, 4.它们的余子式分别为4，3，2，1，
则行列式D = （
）
A、0
B、1
C、-1
D、2
标准答案：A
您的答案：
题目分数：10
此题得分：0.0
批注：
4．第4题单选题若
,则必有(
).
A、k=-1 B、k=3 C、k=-1或k=3 D、k≠-1且k≠3
试题
此题得分：0.0 批注：
10．第10题单选题若A是4阶方阵,|A|=2则|2A|=（
）
A、4 B、8 C、16 D、32
标准答案：D
您的答案：
题目分数：10
此题得分：0.0

中国石油大学数字电子技术课后习题答案PPT学习教案

I当ILV=i1=.35.m6AV,时
V
o
能
保
证
输
出
0
≤
.
3
V
?
VCC
解: Vi=3.6V时,假设三极管饱和,能保证输出0.3V
I RC R I 灌
C vo R
vi B
b
&
I BS
I CS
b
=(4IIL+IRC)/ b
& =(4x1.5+(VCC-0.3)/RC)/10
=1.07mA
3.6V
(a)
&
&
IB=
3.6-0.7 3
=0.97m A
三极管进入放大状态,不能保K证VO≤0.3V
第26页/共55页
Vcc=5V,Rc=1K,RB=3K,β=10,IIH=10μA,
求II电L=路1.的5m扇A,出系数N=? 解:Vi=0.3V时电路可以
VCC
正常工作; Vi=3.6V时电
路不能正常工作;
R C vo R
F (F')' B C D
第3页/共55页
AB+AC+BC. f（a,b,c,…）= AB+AC
(A+B)(A+C)(B+C+f(a,b,c…)=(A+B)(A+C) F=(A+B)(A+B+C)(A+C)+B+C+D =(A+B)(A+C)+B+C+D =AC+AB+BC+B+C+D =AC+AB+B+C+D =B+C+D

2012-2013线性代数(32学时)期末试卷A卷答案本科

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ～ 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
所以
2 0 1 1 2 1 B ( A E ) ( A E ) ( A E ) ( A E )( A E ) A E 0 3 0 （6 分） 1 0 2
14、（10 分）计算行列式 D
0 0 d2 c2
解：在等式两边同时左乘 A1 ，得： X A1 B （2 分），因为： A 34 0 ，所以 A 可逆，（4 分）
21 19 4 ，又因为 A 的伴随矩阵是： A 19 35 2 4 2 4
=（ a 2 b2 - d 2 c 2）（ a1b1 - d1c1）（10 分）
21 19 4 1 故 A 19 35 2 （7 分） 34 2 4 4
1
21 19 4 1 -3 -29 -21 1 1 所以 X A B 19 35 2 2 -2 57 -15 （10 分） 34 34 12 2 4 4 4 3 -1
0 0 0
1
2 0 0 1 1 3 0 2 2 1 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 r3 1 0 0 r4 3 r3 0 2 r2 0 1 0 r4 1 r3 4 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 2 2 1 1 1 2 6 3 5 1 1 8 24 12
1
五、
阅卷教师得分
计算题（共 3 题，共 24 分）

线性代数习题参考答案

线性代数习题参考答案(总96页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一章行列式§1 行列式的概念1．填空(1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。

(2) i = ，j = 时，排列1274i56j9为偶排列。

(3) n阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n元排列。

若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。

(4) 在6阶行列式中，含152332445166a a a a a a的项的符号为，含324314516625a a a a a a的项的符号为。

2．用行列式的定义计算下列行列式的值(1)112223323300 0aa aa a解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。

(2)12,121,21,11, 12,100000nn nn n n n n n n n n nnaa aa a aa a a a------解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。

3．证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。

证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。

对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n2n 。

4．若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2多，则此行列式为0，为什么 5．n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少（提示：利用3题的结果） 6．利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）21141183---（2）222111ab c a b c§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。

线性代数考试练习题带答案大全(二)

线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关，（B ）列向量组线性相关，（C ）行向量组线性无关，（D ）行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。

(A ) α必可由,,βγδ线性表出，（B ）β必不可由,,αγδ线性表出，（C ）δ必可由,,αβγ线性表出，（D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-；（B ）0λ>；（C ）1λ>；（D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ）所对应的行列式的值都等于1；（C ）相乘仍为初等矩阵；（D ）相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为。

9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。

(1)线性代数(A)[32] - 答案及评分标准.docx

2013—2014学年第一学期《线性代数》期末试卷答案与评分标准专业班级________________________姓名___________________________学号___________________________开课系室应用数学系考试日期2013年11月24日注意事项：1.请在试卷正面答题，反面及附页可■作草稿纸；2.答题时请注意书写清楚，保持卷而清洁；3.本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废;一.填空题(共5小题，每小题3分，共计15分)0-131.矩阵A= 2-41,则R(A)= 3 ._4 5 7_2.设3阶矩阵A的特征值为1, 2, 3,则A2 + E的特征值为2,5,103.若四阶方阵A的秩等于2,则R(A*)= 0 .<1 -1 0、4.二次型f (尤],工2，尤3)=蚌+£ +工；一2而尤2 +4工2工3的矩阵为一1 1 2 .0 2 I\ /小( 1 A( 25.从序的基0= ,%= 到基* = _ ，屈= 的过渡矩阵为_二.选择题(共5小题，每小题3分，共计15分)1.已知2〃阶行列式。

的某一列元素及其余子式都等于。

，则。

=(A ).A. 0；B. ci~；C. —cr；D. ncr.2.已知三阶方阵A和8满足\A\ = \B\ = 2，则|2AB|=( D ).A. 22:B. 2‘；C. 24:D. 25.3.已知A 和B均为5阶方阵，且/?(A) = 4, R(B) = 5 ,贝ij= ( D).A. 1；B. 2；C. 3；D. 4.4.设A是〃阶方阵，|A| = 2, A*是1的伴随矩阵，则行列式|A]=(C).A. 2；B. 2〃；C. 2'i；D.前面选项都不对.5.若向量组Q, (3, /线性无关，0, $线性相关，则(C).A.。

必可由”，y, $线性表示；B. /?必可由S线性表示；C. S必可由Q, (3 , /线性表示；D. $必不可由”，/线性表示.三.计算下列各题（共4小题，每小题8分，共计32分）1031.计算行列式。

石大远程奥鹏-线性代数-在线考试(客观题)正确答案

考答案试读一页
线性代数-在线考试(客观题) 1.
A、. B、. C、. D、. 正确答案：B 2. A、. B、. C、. D、. 正确答案：B 3. A、. B、. C、. D、.
正确答案：A 4.
A、. B、. C、. D、. 正确答案：D 5. A、. B、. C、. D、. 正确答案：D 6. A、. B、. C、. D、. 正确答案：A 7. A、. B、. C、. D、. 正确答案：D 8. A、. B、. C、. D、. 正确答案：C
B、. C、. D、. 正确答案：B 20. A、. B、. C、. D、. 正确答案：B 21. A、. B、. C、. D、. 正确答案：D 22. A、. B、. C、. D、. 正确答案：B 23. A、. B、. C、. D、. 正确答案：D 24. A、. B、.
C、. D、. 正确答案：D 25. A、. B、. C、. D、. 正确答案：C 26. A、. B、. C、. D、. 正确答案：A 27. A、. B、. C、. D、. 正确答案：C 28. A、. B、. C、. D、. 正确答案：B 29. A、. B、. C、.
9. A、. B、. C、. D、.
正确答案：B 10.
A、. B、. C、. D、. 正确答案：B 11. A、. B、. C、. D、. 正确答案：C 12. A、. B、. C、. D、. 正确答案：D 13. A、. B、. C、. D、. 正确答案：B 14.
A、. B、. C、. D、. 正确答案：C 15. A、. B、. C、. D、. 正确答案：D 16. A、. B、. C、. D、. 正确答案：B 17. A、. B、. C、. D、. 正确答案：D 18. A、. B、. C、. D、. 正确答案：A 19. A、.

石油工程专业2013级本科培养计划-中国石油大学(北京)

石油工程专业2013级本科培养计划一、专业代号及名称专业代码：081502专业名称：石油工程二、专业培养目标培养适应社会主义现代化建设和科学技术快速发展需要的，德智体美全面发展，具有宽厚的基础理论知识、扎实的实践应用能力、良好的创新精神、开阔的国际视野和优秀的个人综合素质，能在石油工程领域从事工程设计、生产施工、现场管理、科学研究和国际合作等工作的创新型、应用型、国际化的石油工程高级专门人才。

三、主干学科油气井工程、油气田开发工程四、核心课程普通地质学、机械制图、理论力学、材料力学、油层物理、流体力学、渗流力学、钻井工程、完井工程、油藏工程、采油工程等。

五、特色课程1.双语课：流体力学、岩石力学、气藏工程2.全英文课：油层物理、油藏工程、理论力学、材料力学3.研讨式课程：渗流力学、油藏工程、完井工程、钻井工程、采油工程六、毕业生应获得的知识和能力1. 知识（1）熟练掌握数学、物理、化学和计算机等工科人才必备的基础知识。

（2）熟练掌握石油工程专业的基础理论知识，包括钻井工程、完井工程、采油工程、油藏工程、油田化学等方面的基本概念和原理、关键设计或计算的方法等。

（3）掌握石油工程现场工艺技术和方案设计所涉及的理论知识和方法原理，了解地质、物探、测井、机械、地球化学等学科知识在油气井工程和油气田开发工程中的应用。

（4）初步了解与石油行业相关的经济、管理、法律知识以及相关政策和技术标准，了解石油企业的文化、核心价值观以及石油工业发展的现状和未来趋势。

2. 能力（1）具有应用理论知识分析和解决石油工程实际问题及进行现场钻井、完井、油藏、采油方案设计的初步能力，具备参与钻井、完井、采油等现场操作和生产管理的初步能力。

（2）掌握判断性思维、系统性思维等逻辑思维方法，具有一定的创新精神和开展技术革新的创新意识，具有良好的外语应用能力和人际交往素养，具有开阔的国际化视野和进行国际合作的初步能力。

（3）具有良好的个人修养、健康的身体和心理素质、吃苦耐劳的精神、较强的适应能力、时间和资源管理能力、自主学习和终身学习的能力。

2013-2014-2-线性代数A卷答案及评分标准(1份)

k11 k2 2 , km ，使 kii
, m 是线性无关的向量组.
km m .……………………………（3 分）
, m) 左乘上式两端，得
不妨设向量为列向量，则以 iT (i 1, 2,
.0 ………………………（5 分） ki T , ) i i k ( i i i 因 i ，故 (i , i ) 0 ，从而必有 ki 0 (i 1, 2, 于是， 1 , 2 ,
…...................………………（4 分）
…………………………（5 分） ………………………...…（6 分） ………………...…………（8 分）.
1 , 2 是一个最大无关组；
（2）3 1 2 , 4 1 2
2．证明：两两正交的非零向量构成的向量组 , , 证：设有 k1 , k2 ,
1 1 1 x
.
1
1 1 x 1 1 0 x 0 1 1 1
解: D
1 1 1 x 0 0 0
=x
1 x 1
……………（2 分）
0 x x
= x x 0 x ………………………… …（5 分）
=x
0 0 x
= x( x)
0 x x 0
= x 4 ………………………............………………（8 分）
A卷
2013—2014 学年第二学期《线性代数》期末试卷
答案及评分标准
专业班级 _____________________ 姓学名 _____________________ 号 _____________________ 应用数学系 2014 年 6 月 8 日

石油大学数学物理方法试卷A13-14-1

《数学物理方法》试卷专业班级姓名学号开课系室计算数学系考试日期 2014年 1 月10 日注意事项：（1）答卷时请保持卷面清晰，整洁；（2）请在试卷本正面答题，反面及附页可做草稿纸；（3）本试卷共七页，满分100分；（4）试卷本请勿撕开，否则作废.一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）在下列每小题的4个备选项中，只有一项是最符合题意的，请将代码（A 、B 、C 、D ）填在题后相应的括号内。

1、偏微分方程与初始条件结合在一起，统称为（）.(A) 定解问题； (B) 柯西问题； (C) 边值问题； (D) 以上均不正确.2、下列偏微分方程中，属于二阶、线性、非齐次的是（）.(A) 2260u u u u t x ∂∂++-=∂∂； (B) 2222cos 40∂+-⋅-=∂u t t u x x ； (C) 290∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝⎭u xu t t ； (D) 2260∂∂+⋅-⋅=∂∂t u u e xt u x t .3、在xoy 平面上，方程22222290u u ux x y y∂∂∂-+=∂∂∂∂为（）.(A)椭圆型； (B)双曲型； (C)抛物型； (D)混合型.4、不等式312z z ->-所确定的区域的图形为（）. (A)无界单连通区域； (B)有界多连通区域； (C) 有界单连通区域； (D) 无界多连通区域.5、设()(,)(,)f z u x y iv x y =+，那么(,)u x y 与(,)v x y 在点()00,x y 可微是()f z 在点000z x iy =+可微的（）.(A)充分但非必要条件； (B)必要但非充分条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分也非必要条件.二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分）请将正确答案填在题后相应的横线上。

1、对如下偏微分方程222222320u u u uu x x y y x∂∂∂∂+-++=∂∂∂∂∂ 写出其特征方程 .2、函数在()2f z z =在z 平面上是否解析（“是”或“否”） .3、由贝塞尔函数的递推公式有 =)(0x J dxd.4、一根具有绝热侧表面的均匀细杆，它的初始温度为()f x ，一端0x =温度为()p t ，另一端x l =绝热，写出热过程的定解问题_________________________________________________. 5、i 31--的指数表达形式： .三、计算题（本题20分）1. （5分）⎰=+-3||2d )2()1(e z zz z z2. （5分）122cos (1)Z zdz z z =-⎰3、（10分）已知解析函数v u z f i )(+=的实部y x y u 233-=，求函数v u z f i )(+=的表达式，并使0)0(=f .四、计算题（本题15分）利用特征函数法求定解问题()2222cos 0<,00 0,00 0x x l u u x a A x l t t x l uu t x x u x x l π==⎧∂∂-=<>⎪∂∂⎪∂∂⎪==≥⎨∂∂⎪⎪=≤≤⎪⎩.五、计算题（本题10分）利用拉普拉斯积分变换法求解下列定解问题：（已知()11nn n L t p+Γ+⎡⎤=⎣⎦） ()()226,0 ,010,0y uxx y x y u x x u y e y -⎧∂=-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎪=-∞<<+∞⎨⎪=>⎪⎪⎩六、计算题（本题15分）用Green 函数法求解边值问题：()222220,2,,|,.y u u y x x y u x x ϕ=⎧∂∂+=<-∞<<+∞⎪∂∂⎨⎪=-∞<<+∞⎩七、计算题（本题10分）设(1)i μ(1,2,...)i =为1()J x 的正零点，将函数()f x x =()01x <<展开成贝塞尔函数(1)1()i J x μ的级数.。