等差数列的前n项和

等差数列的前n项和

1．理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系．(重点)

2．熟练掌握等差数列的五个基本量a1，d，n，a n，S n之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个．(重点)

[基础·初探]

教材整理等差数列的前n项和

1．等差数列的前n项和公式

已知量首项、末项与项数首项、公差与项数

求和公式S n＝n a1＋a n

2S n＝na1＋

n n－1

2d

2.等差数列前n项和公式的函数特点

S n＝na1＋n n－1

2d＝

d

2n2＋⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

a1－

d

2n.

d≠0时，S n是关于n的二次函数，且无常数项．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)公差为零的数列不能应用等差数列的前n项和公式．()

(2)数列{n2}可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和S n.()

(3)若数列{a n}的前n项和为S n＝an2＋bn，则{a n}是等差数列．()

【解析】(1)任何等差数列都能应用等差数列的前n项和公式．

(2)数列{n2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式．

(3)当公差不为0时，等差数列的前n项和是关于n的二次函数(常数项为0)．【答案】(1)×(2)×(3)√

[小组合作型]

与S n 有关的基本量的计算

(1)已知等差数列{a n }中，a 1＝32，d ＝－1

2，S n ＝－15，求n 和a n ； (2)已知等差数列{a n }中，S 5＝24，求a 2＋a 4；

(3)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d ； (4)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，求a 10.

【精彩点拨】 运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换．

【尝试解答】 (1)S n ＝n ·32＋n n －1

2·⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0， 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)， 所以a 12＝32＋(12－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫

－12＝－4.

(2)设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则S 5＝5a 1＋

5×5－1

2

d ＝24， 即5a 1＋10d ＝24，所以a 1＋2d ＝24

5， 所以a 2＋a 4＝2(a 1＋2d )＝2×245＝48

5. (3)因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋

n n －1

2

d ，

又a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022， 所以⎩⎪⎨⎪⎧

1＋n －1d ＝－512， ①n ＋1

2n n －1d ＝－1 022， ② 把(n －1)d ＝－513代入②得

n ＋12n ·(－513)＝－1 022，解得n ＝4， 所以d ＝－171.

(4)由已知可得⎩⎪⎨⎪

⎧

a 1＋d ＋a 1＋4d

＝19，

5a 1＋5×4

2d ＝40，

解得a 1＝2，d ＝3，

所以a 10＝a 1＋9d ＝2＋9×3＝29.

等差数列中基本计算的两个技巧：

(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．

(2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n a 1＋a n

2

结合使用．

[再练一题] 1．等差数列中：

(1)a 1＝105，a n ＝994，d ＝7，求S n ； (2)a n ＝8n ＋2，d ＝5，求S 20； (3)d ＝1

3，n ＝37，S n ＝629，求a 1及a n .

【解】 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 且a 1＝105，d ＝7， 得994＝105＋(n －1)×7，解得n ＝128， ∴S n ＝

n a 1＋a n

2

＝

128×105＋994

2

＝70 336. (2)∵a n ＝8n ＋2，∴a 1＝10，又d ＝5， ∴S 20＝20a 1＋

20×20－1

2

×5＝20×10＋10×19×5＝1 150. (3)将d ＝1

3，n ＝37，S n ＝629代入a n ＝a 1＋(n －1)d ，

S n ＝

n a 1＋a n

2

，得⎩

⎨⎧

a n ＝a 1＋12，37·a 1＋a n

2＝629，

解得⎩⎨⎧

a 1＝11，

a n ＝23.

等差数列前n 项和公式在实际中的应用

为响应教育部下发的《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》的

要求，某市提出了实施“校校通”工程的总目标：从2011年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2011年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2011年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少

【精彩点拨】 将该实际问题转化为数列问题求解，由于每年投入资金都比上一年增加50万元，故可考虑利用等差数列求解．

【尝试解答】 根据题意，从2011年～2020年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，

所以，每年投入的资金依次组成等差数列{a n }，其中，a 1＝500，d ＝50. 那么，到2020年(n ＝10)，投入的资金总额为 S 10＝10×500＋10×10－1

2

×50＝7 250(万元)， 即从2011年～2020年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元．

有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：

(1)问题中所涉及的数列{a n }有何特征； (2)是求数列{a n }的通项还是求前n 项和； (3)列出等式(或方程)求解． [再练一题]

2.如图1-2-2，一个堆放铅笔的V 型架的最下面一层放1支铅笔，往上每一