2015年北京中考数学试题及答案(高清版)

2015年北京市高级中等学校招生考试数 学 试 卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．截止到2015年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到140000立方米，将140000用科学记数法表示应为 A ．41410⨯ B ．51.410⨯ C ．61.410⨯ D ．60.1410⨯2．实数a b c d ，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是A ．aB ．bC ．cD ．d3．一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为A. 16B.13` C.12D.234．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为5．如图，直线123l l l ，，交于一点，直线41l l ∥，若1124288∠=︒∠=︒，，则3∠的度数为A. 26°B. 36°C. 46°D. 56°6．如图，公路AC BC ，互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开，若测得AM 的长为1.2km ，则M C ，两点间的距离为A ． 0.5 kmB ． 0.6 kmC ． 0.9 kmD ．1.2 km7．某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是A ．21，21B ．21， 21.5C ．21，22D ．22，228．右图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向，表示太和门的点的坐标为()01-，，表示九龙壁的点的坐标为()41，，则表示下列宫殿的点的坐标正确的是A ．景仁宫()42，B ．养心殿()23-，C ．保和殿()10，D ．武英殿()3.54--，9．一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：会员年卡类型办卡费用（元）每次游泳收费（元）A类50 25B类200 20C类400 15+⨯=元，若一年内在该游例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费502520550泳馆游泳的次数介于45~55次之间，则最省钱的方式为A．购买A类会员年卡B．购买B类会员年卡C．购买C类会员年卡D．不购买会员年卡，，，，，组10．一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB BC CA OA OB OC 成．为记录寻宝者的行进路线，在BC的中点M处放置了一台定位仪器．设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为A．A O B→→→→B．B A CC．B O C→→→→D．C B O二、填空题（本题共18 分，每小题3 分）11．分解因式：32-+= _____________________．5105x x x，，，，组成的平面图形，则12．右图是由射线AB BC CD DE EA∠+∠+∠+∠+∠=____.1234513．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为__________________________ ．14．关于x的一元二次方程210 4ax bx++=有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a b，的值：a=________，b=__________.15．北京市2009－2014年轨道交通日均客运量统计如图所示．根据统计图中提供的信息，预估2015年北京市轨道交通日均客运量约__________万人次，你的预估理由是________________________________________________________.16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是．三、解答题（本题共72分，第17－26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：()2017324sin 602π-⎛⎫--+-+︒ ⎪⎝⎭18．已知22360a a +-=．求代数式()()()3212121a a a a +-+-的值．19．解不等式组()41710853x x x x ⎧+≤+⎪⎨--<⎪⎩，并写出它的所有非负整数．．．．解．20．如图，在ABC △ 中，AB AC AD =，是BC 边上的中线，BE AC ⊥ 于点E ． 求证：CBE BAD ∠=∠．21．为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用．到2013年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个．预计到2015年底，全市将 有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍．预计到2015年底，全市将有租赁点多少个？22．在ABCD 中，过点D 作DE AB ⊥于点E ，点F 在边CD 上，DF BE =，连接AF BF ，. （1）求证：四边形 BFDE 是矩形；（2）若345CF BF DF ===，，，求证：AF 平分DAB ∠.23．在平面直角坐标系xOy 中，直线()0y kx b k =+≠与双曲线8y x=的一个交点为()2P m ，，与x 轴、y 轴分别交于点A B ，. （1）求m 的值；（2）若2PA AB =，求k 的值.24．如图，AB是O∥，交AB于点F，且⊙的切线BM，弦CD BM⊙的直径，过点B作O，，延长AD交BM于点E.=，连接AC ADDA DC△是等边三角形；（1）求证：ACD（2）连接OE，若2DE=，求OE的长.25．阅读下列材料：2015年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为主题的游园活动，虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190万人次.其中，玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为38万人次、21.75万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为26万人次、20万人次、17.6万人次；北京动物园游客接待量为18万人次，熊猫馆的游客密集度较高.2014年清明小长假，天气晴好，北京市属公园游客接待量约为200万人次，其中，玉渊潭公园游客接待量比2013年清明小长假增长了25%；颐和园游客接待量为26.2万人次，比2013年清明小长假增加了4.6万人次；北京动物园游客接待量为22万人次.2013年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人次、13万人次、14.9万人次.根据以上材料解答下列问题：（1）2014年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为万人次；（2）选择统计表或统计图，将2013-2015年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量表示出来.26．有这样一个问题：探究函数2112y x x=+的图象与性质. 小东根据学习函数的经验，对函数2112y x x =+的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数2112y x x=+的自变量x 的取值范围是 ；（2）下表是y 与x 的几组对应值.x … -3 -2-1 12- 13- 1312 1 2 3 ... y (256)32 12- 158- 5318- 551817832 52m…求m 的值； （3）如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是312⎛⎫⎪⎝⎭，，结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：__________________________________.27．在平面直角坐标系xOy 中，过点()02，且平行于x 轴的直线，与直线1y x =-交于点A ，点A 关于直线1x =的对称点为B ，抛物线2:C y x bx c =++经过点A B ，. （1）求点A B ，的坐标； （2）求抛物线1C 的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线()22:0C y ax a =≠ 与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围.28．在正方形ABCD 中，BD 是一条对角线，点P 在射线CD 上（与点C D ，不重合），连接AP ，平移ADP △，使点D 移动到点C ，得到BCQ △，过点Q 作QH BD ⊥于H ，连接AH PH ，. （1）若点P 在线段CD 上，如图1.①依题意补全图1；②判断AH 与PH 的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P 在线段CD 的延长线上，且152AHQ ∠=︒，正方形ABCD 的边长为1，请写出求DP 长的思路.（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）29．在平面直角坐标系xOy 中，C ⊙的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于O ⊙的反称点的定义如下：若在射线．．CP 上存在一点'P ，满足'2CP CP r +=，则称'P 为点P 关于C ⊙的反称点，下图为点P 及其关于C ⊙的反称点'P 的示意图.特别地，当点'P 与圆心C 重合时，规定'0CP =.（1）当O ⊙的半径为1时.①分别判断点()()3210132M N T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，关于O ⊙的反称点是否存在，若存在?求其坐标；②点P 在直线2y x =-+上，若点P 关于O ⊙的反称点'P 存在，且点'P 不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围；（2）C ⊙的圆心在x 轴上，半径为1，直线3233y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A B ，，若线段．．AB 上存在点P ，使得点P 关于C ⊙的反称点'P 在C ⊙的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围.2015 年北京市高级中等学校招生考试一、选择题数学考参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B D B D C B C C 二、填空题题号11 12 13 14答案5x x1 2 3605x 2 y102x 5 y 8a 1b 1（满足b2 a ，a 0 即可，答案不唯一）15参考答案①：1038，按每年平均增长人数近似相等进行估算参考答案②：980，因为2012-2013 年发生数据突变，故按照2013-2014 增长进行估算（因为题目问法比较灵活，只要理由合理均可给分估计学生答出980 至1140 之间均可给分）16 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线17．解：原式 4 1 2 3 4 325 3 2 35 318．解：原式 3a(2a 1) (2a 1)(2a 1) 6a2 3a 4a2 12a2 3a 1∵2a2 3a 6 0∴2a2 3a 6∴原式 74( x 1) ≤7x 10①19．解： x 8x 5 ②3由①4x 4 ≤7x 10x≥ 2由②3x 15 x 82x 7x 72∴ 2 ≤x 72∴非零整数解为0，1，2，3.20．证：∵A B AC∴ ABC C又∵A D 是B C 边上的中线∴A D BC∴ BAD ABC 90 .∵B E AC .∴ CBE C 90∴ CBE BAD .21．解：设2015 年底全市租赁点有x个.50000 1.2 25000x600x1000经检验：x 1000 是原方程的解，且符合实际情况.答：预计到2015 年底，全市将有租赁点1000 个.22．解⑴∵四边形A BCD 为平行四边形．∴D C ∥A B即D F ∥BE又∵D F BE ．∴四边形D EBF 为平行四边形．又∵D E AB ，即 DEB 90 ．∴四边形D EBF 为矩形．⑵∵四边形D EBF 为矩形．∴ BFC 90∵C F 3 ，B F 4 ．∴B C 32 42 5∴A D BC 5 ∴ A D DF 5 ∴ DAF DFA ∵ DFA FAB ∴ DAF FAB 即A F 平分 DAB23．解：（1）点 P (2 ，m ) 在y 8 上. x∴ m 8 42m 4（2）P （2，4）在 y kx b∴4 2k bb 4 2k∵ y kx b 与 x 、 y 轴交于 A 、 B 两点∴ A (2 4 ，0) ， B (0 ，4 2k )k∵ P A 2AB 如图①PB AB ，则O D OA 2 .∴4 2 2 . k∴k 1 如图②PA 2AB ，P D 2OB 4 ∴O B 2 ， 2k 4 2k 3∴k 1 或 k 324．证：（1）∵ B M 是⊙O 切线， A B 为 ⊙ O 直径∴ A B BM∵B M ∥CD ∴A B CD∴DA ︵ ==A C ︵∴A D AC∵ D A ︵ == D C ︵∴D C AD ∴A D CD AC ∴△ACD 为等边三角形. 证：（2）△ACD 为等边三角形，A B CD ∴DAB 30 连结B D ，∴ B D AD .EBD DAB 30∵ D E 2∴ B E 4 ， B D 2 3AB 4 3 , OB 2 3在R t △OBE 中OE OB 2 BE 212 16 2 725．（1）40（2）2013-2015 清明小长假公园游客接待量统计表公园人数（万）年份玉渊潭颐和园动物园2013 32 21.6 14.9 2014 40 26.2 22 20153826182013-2015 清明小长假公园游客接待量统计图26．（1）x 0（2）令x 3∴y 1 32 12 39 1 292 3 6∴m 296y6543（3）如图-4 -3-2-1 O 1 2 3 4 x-1-2-3-4（4）①该函数没有最大值②该函数在x 0 处断开③该函数没有最小值④该函数图像没有经过第四象限27．解：①当y 2 ，则2 x 1，x 3⎩ ⎩ ∴ A （3，2）∵ A B 关于x 1 对称 ∴ B ( 1，2)②把（3，2）（ 1 ，2）代入得：2 9 3b c 2 1 b c，解得 b 2 c 1∴ y x 2 2x 1③如图，当 C 2 过 A 点， B 点时为临界代入A (3，2) 则 9a 2 ， a 2 9-12代入B ( 1，2) 则 a 2∴ 2 ≤ a 2928．（1）①ABH②法一：轴对称作法判断：A H PH ， A H PH 证：连接C H 得：△DHQ 等腰R t △ D P C Q又∵D P CQ ，∴△HDP ≌△HQC∴P H CH ， HPC HCP BD 为正方形A BCD 对称轴 ∴A H CH ， DAH HCP ∴ A H PH ， DAH HPC ∴AHP 180 ADP 90 ∴ A H PH 且 A H PH法二：四点共圆作法.同上得：HPC DAH ∴ A 、 D 、 P 、 H 共同∴ AHP 90 ， APH ADH 45 ∴△APH 等腰 R t △ A BP D R Q C（2）法一：轴对称作法考虑△DHQ 等腰R t△PD CQ作H R PC 于R∵ AHQ 152∴ AHB 62∴ DAH 17∴ DCH 17设D P x ，则D R HR RQ 1 x .2由t an17 HR 得：CR∴x 1 tan171 tan17 1x21x2tan17法二：四点共同作法A 、H、D、P共同∴ APD AHB 62∴P DADtan 621tan62tan 2829．②∵CP ≤2r 2CP2 ≤4P x, x2CP2 x2 x 2 22x2 4x 4 ≤42x2 4x ≤0x x 2 ≤0∴0 ≤x≤2当x 2 时，P 2,0 ,P 0,0 不符合题意当x 0 时，P 0,2 ,P 0,0 不符合题意∴0 x 2H O C A x∴ OAB 30设C x,0①当C在O A 上时，作C H AB 于H则C H ≤CP ≤2r 2∴AC ≤4C 点横坐标x≥2（当x 2 时，C点坐标 2,0 ，H点的反称点H 2,0 在圆的内部）②当C在A点右侧时，C 到线段A B 的距离为A C 长yAC 最大值为2∴C 点横坐标x≤8 B综上所述：圆心C的横坐标的取值范围2≤x≤8O A C x。