平行四边形

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平行四边形性质

平行四边形的性质1．平行四边形的概念有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．作用：(1)给出了一种判定四边形是平行四边形的方法，如果所给四边形的两组对边分别平行，那么它一定是平行四边形．(2)给出了平行四边形的一个重要性质：两组对边分别平行．2．平行四边形的性质详解：(1)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；(2)平行四边形的对边平行且相等；(3)平行四边形的对角相等，邻角互补；(4)平行四边形的对角线互相平分．3．平行四边形的面积平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积．如图1，拓展：同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图2，二、平行四边形的判定1．平行四边形的判定方式2．三角形中位线定理定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线；定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

作用：(1)位置关系：可以证明两条直线平行；(2)数量关系：可以证明线段的相等或倍分．拓展：(1)三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形；(2)要会区别三角形的中线与中位线．三、平行四边形小结：四、矩形1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．拓展：矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件。

2．矩形的性质(1)具有平行四边形的所有性质；(2)对角线相等；(3)四个角都是直角；(4)是轴对称图形，它有两条对称轴．3．直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半拓展：己学过的直角三角形的性质主要有：(1)两锐角互余；(2)两条直角边的平方和等于斜边的平方；(3)30°角所对的直角边等于斜边的一半；(4)斜边上的中线等于斜边的一半．4．矩形的判定方法(1)有一个角是直角的平行四边形；(2)有三个角是直角的四边形；(3)对角线相等的平行四边形；(4)对角线相等且互相平分的四边形．5．矩形的面积公式：矩形面积=长×宽五、菱形1．概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．性质：(1)具有平行四边形的一切性质；(2)四条边都相等；(3)两条对角线互相垂直，并且每一组对角线平分一组对角；(4)既是中心对称图形又是轴对称图形，其对称轴为对角线所在的直线．拓展：由于菱形的对角线互相垂直平分，许多涉及菱形的问题都会在直角三角形中解决．3．判定：(1)定义；(2)四条边都相等的四边形；(3)对角线互相垂直平分的四边形；(4)对角线平分一组对角的平行四边形．4．面积：(1)平行四边形面积公式：底×高(2)两条对角线乘积的一半．若a、b分别表示两条对角线的长，则六、正方形1．概念：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．拓展：正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．2．性质：(1)边——四条边都相等，邻边垂直，对边平行；(2)角——四个角都是直角；(3)对角线——①相等；②相互垂直平分；③每一条对角线平分一组对角；两条对角线将它分成四个全等的等腰直角三角形．(4)是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，对称中心就是两条对角线的交点．拓展：(1)若正方形的边长为a，则对角线的长为；(2)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离相等．3．判定：(1)先证它是矩形，再证一组邻边相等；(2)先证它是菱形，再证一个角是直角．4．面积：(1)正方形的面积等于边长的平方；(2)正方形的面积等于两条对角线的乘积的一半．拓展：周长相等的四边形中，正方形的面积最大．例题分析：1．如图，ABCD中，AE=CF，AE与CF交于点O，连结BO．求证：∠AOB=∠COB．解：作BM⊥CF于M，BN⊥AE于N，连接BE、BF；根据和AE=CF，可证BN=BM，于是∠AOB=∠COB．2．如图：工人师傅要把一块三角形的钢板，通过切割焊接成一个与其面积相等的平行四边形．请你设计一种方案并在图中标出焊接线，然后证明你的结论．解：如图，分别取边AB、AC的中点D、E，沿线段DE切割开，将△ADE的边AE与边EC重合(点A与点C重合、点E与点E重合)后焊接，点D至点F处，则所得四边形DBCF为平行四边形．证明略．3．如图，ABCD为等腰梯形，AB∥CD，对角线AC，BD交于O，且∠AOB=60°，又E，F，G别离为DO，AO，BC的中点．求证：△EFG为等边三角形．证明：连接EC．∵ABCD为等腰梯形，∴AD=BC，且AC=BD．又∵DC=DC，∴△ADC≌△BCD，∠ACD=∠BDC，∴△ODC为等腰三角形．∵∠DOC=∠AOB=60°，∴△ODC为等边三角形．又∵E为OD中点，∴∠OEC=90°．在Rt△BEC中，G为斜边的中点，∴。

平行四边形的概念和定义

平行四边形的概念和定义
平行四边形是一种特殊的四边形，它具有特定的几何属性和定义。

下面是平行四边形的概念和定义：
1.定义：平行四边形是一个四边形，其对边两两平行。

2.性质：
•对边平行性质：平行四边形的对边两两平行，即相对的两边是平行的。

•对角线性质：平行四边形的对角线相互平分，并且相交点将对角线分成相等的两部分。

•边长性质：平行四边形的相邻边长度相等，即相邻边是相等的。

•内角性质：平行四边形的内角相邻补角，即相邻内角的和为180度。

•对边长度比例：平行四边形的对边长度比例相等，即相对的两条边的长度比相等。

3.特殊情况：
•矩形是一种特殊的平行四边形，它的四个角都是直角，对边相等。

•正方形是一种特殊的矩形和平行四边形，它的四边长度相等，四个角都是直角。

•菱形是一种特殊的平行四边形，它的四条边长度相等，对角线互相垂直，且相互平分。

平行四边形是几何学中重要的概念，它的定义和性质可以用于解决各种几何问题和证明定理。

在实际应用中，平行四边形的概念也经常被用于建筑设计、工程测量、图形绘制等领域。

平行四边形是什么

平行四边形是什么
平行四边形是：在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。

平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次命名。

注：在用字母表示四边形时，一定要按顺时针或逆时针方向注明各顶点。

在欧几里德几何中，平行四边形是具有两对平行边的简单（非自相交）四边形。

平行四边形的相对或相对的侧面具有相同的长度，并且平行四边形的相反的角度是相等的。

相比之下，只有一对平行边的四边形是梯形。

平行四边形的三维对应是平行六面体。

定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

1.平行四边形属于平面图形。

2.平行四边形属于四边形。

3.平行四边形属于中心对称图形。

平行四边形的性质及判定

平行四边形1.平行四边形的概念定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.平行四边形的性质性质：（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分.注意：平行四边形是以对角线的交点为中心的对称图形，但不一定是轴对称图形.3.平行四边形的判定判定：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.注意：（1）平行四边形的定义既可以作为性质，又可以作为判定；（2）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形. 重点记忆：（1）夹在两平行线间的平行线段相等.（2）如图31-1，四边形ABCD是平行四边形，则有4.两平行线间的距离定义：两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线间的距离.1.平行四边形的性质一.填空题.1.如图4.1-1, D,E,F 分别在△ABC 的三边BC,AC,AB 上,且DE ∥AB, DF ∥AC, EF ∥BC,则图中共有_______________个平行四边形,分别是_______________________________________.FED CBA图4.1-12.已知平行四边形的周长是100cm, AB:BC=4 : 1,则AB 的长是________________.3.已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______________.4.在平行四边形ABCD 中,∠A : ∠B=3:2,则∠C=_________ 度,∠D=_____________度.5.用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:2,则它的边长为________短边长为__________.6.如图4.1-2,在平行四边形ABCD 中, BC=2AB, CA ⊥AB,则∠B=______度,∠CAD=______度.DCB A图4.1-2二.选择题.7.平行四边形ABCD 的周长32, 5AB=3BC,则对角线AC 的取值范围为( )A. 6<AC<10B. 6<AC<16C. 10<AC<16D. 4<AC<16 8. 在平行四边形ABCD 中,∠A=65°,则∠D 的度数是 ( )A. 105°B. 115°C. 125°D. 65° 9. 在平行四边形ABCD 中,∠B -∠A=20°,则∠D 的度数是 ( ) A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°10. 由等腰三角形底边上任一点(端点除外)作两腰的平行线,则所成的平行四边形的周长等于等腰三角形的 ( ) Ａ．周长 B. 一腰的长 C. 周长的一半 D. 两腰的和 11. 在以下平行四边形的性质中,错误的是 ( )A. 对边平行B. 对角相等C. 对边相等D. 对角线互相垂直三. 解答题12. 平行四边形ABCD 的两条对角线AC,BD 相交于O.(1) 图4.1-3中有哪些三角形全等? 有哪些相等的线段?(2) 若平行四边形ABCD 的周长是20cm,△AOD 的周长比△ABO 的周长大6cm.求AB,AD 的长.ODCBA图4.1-313. 如图4.1-4,平行四边形ABCD 中,∠ADC 的邻补角的平分线交BC 的延长线于E,延长ED 交BA 的延长线于F,试判断△FBE 的形状.GFEDCBA图4.1-4四. 应用题14. (1) 如图4.1-5,平行四边形ABCD 中,AB=5cm, BC=3cm, ∠D 与∠C 的平分线分别交AB 于F,E, 求AE, EF, BF 的长?(2) 上题中改变BC 的长度,其他条件保持不变,能否使点E,F 重合,点E,F 重合时BC 长多少?求AE,BE 的长. (3) 由(1),(2)题,你想到了什么?请写下来与你同伴交流.F E DCBA图4.1-5五. 综合能力提高题15. 如图4.1-6,平行四边形ABCD 的四个外角的平分线分别两两交于E,F. (1) 试判断∠AED, ∠BFC 的大小.(2) 线段AE, ED, BF, FC, EC, HF 中哪些相等?H GFEDCBA图4.1-616. 如图4.1-7,BD 是平行四边形ABCD 的对角线,AE ⊥BD 于E,CF ⊥BD 于F. (1) 在图中,根据题意补全图形;(2) 试问: △ABE 与△CDF 能全等吗?请说明理由.DCB A图4.1-72. 平行四边形的判定一. 填空题1. 如图4.2-1,平行四边形ABCD 中,AE=CG, DH=BF,连结E,F,G,H,E,则四边形EFGH 是_________________.2. 如图4.2-2,平行四边形ABCD 中,E,F 是对角线AC 上的两点,且AE=CF,连结B,F,D,E,B 则四边形BEDF 是______________.HGFED CBA图4.2-1GFEDCB A图4.2-23. 一组对边平行且相等的四边形一定是_____________形.4. 有公共顶点的两个全等三角形,其中一个三角形绕公共顶点旋转180°后与另一个重合,那么不共点的四个顶点的连线构成____________形.5. 如图4.2-3,E,F 分别是平行四边形ABCD 的边AD 与BC 的三分之一点,则四边形AECF 是________________形.F EDCB A图4.2-3F E DCBA图4.2-4二. 选择题6. 如图4.2-4,平行四边形ABCD 中,E,F 分别为边AB,DC 的中点,则图中共有平行四边形的个数是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 67. 以长为5cm, 4cm, 7cm 的三条线段中的的两条为边,另一条为对角线画平行四边形,可以画出形状不同的平行四边形的个数是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4 8. 能够判定一个四边形是平行四边形的条件是 ( )A. 一组对角相等B. 两条对角线互相平分C. 两条对角线互相垂直D. 一对邻角的和为180°9. 四边形ABCD 中,AD ∥BC,要判定ABCD 是平行四边形,那么还需满足 ( ) A. ∠A+∠C=180° B. ∠B+∠D=180° C. ∠A+∠B=180° D. ∠A+∠D=180° 10. 平行四边形的一组对角的平分线 ( )A. 一定相互平行B. 一点相交C. 可能平行也可能相交D. 平行或共线三. 解答题11. 如图4.2-5,在平行四边形ABCD 中,M,N 分别是OA,OC 的中点,O 为对角线AC 与BD 的交点,试问四边形BMDN 是平行四边形吗?说说你的理由.OMNDCBA图4.2-512. 如图4.2-6,AC 是平行四边形ABCD 的一条对角线,BM ⊥AC, DN ⊥AC,垂直分别为M,N,四边形BMDN 是平行四边形吗?你有几种判别方法?NMDCBA图4.2-6 四. 应用题13. 如图4.2-7,在平行四边形ABCD 中,AC 的平行线MN 交DA 的延长线于M,交DC 的延长线于N,交AB,BC 于P,Q. (1) 请指出图中平行四边形的个数,并说明理由. (2) MP 与QN 能相等吗?NMQP DCBA图4.2-714. 已知如图4.2-8,在平行四边形ABCD 中,EF ∥DC,试说明图中平行四边形的个数.NMH G FE D CBA图4.2-8五. 综合能力提高题15. 如图4.2-9,为公园的一块草坪,其四角上各有一棵树,现园林工人想使这个草坪的面积扩大一倍,又要四棵树不动,并使扩大后的草坪为平行四边形,试问这个想法能否实现,若能请你设计出草图,否则说明理由.DCBA图4.2-916. 楠楠想出了一个测量池塘的两端A,B 引两条直线AC,BC 相交于点C,在BC 上取点E,G,使BE=CG,再分别过E,G 作EF ∥AB,交AC 于F,H.测出EF=8m, GH=3m,(如图4.2-10),她就得出了结论: 池塘的宽AB 为11m .你认为她说的对吗?图4.2-103.平行四边形性质和判定综合。

关于平行四边形的公式

关于平行四边形的公式
平行四边形公式：S(面积）=a（底）h（高），边长=2×（一条边的边长+另一条边的边长）。

如用“h”表容示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S平行四边形=a*h。

平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值；如用“a”“b”表示两组邻边长，α表示两边的夹角，“S”表示平行四边形的面积，则S平行四边形=ab*sinα。

平行四边形，是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。

平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次命名。

注：在用字母表示四边形时，一定要按顺时针或逆时针方向注明各顶点。

平行四边形的定义和性质

平行四边形的定义和性质定义平行四边形是一种四边形，其中四条边两两平行。

性质1. 对角线互相平分：- 平行四边形的对角线互相平分，即对角线的交点分割两条对角线成相等的线段。

- 证明：设平行四边形的对角线交点为O，连接OA、OC和OB、OD。

- 由于平行四边形的边互相平行，所以可以证明三角形OAB与三角形OCB相似，且三角形ODB与三角形ODA相似。

- 因此，可得OA/OC = OB/OD = AB/CD = AD/BC。

由此可知，对角线互相平分。

2. 相邻角互补：- 平行四边形的相邻内角互补，即相邻内角的和为180度。

- 证明：设平行四边形的内角为A、B、C、D，其中A和B是相邻角。

- 由于平行四边形的边互相平行，可证明角A与角C互补，角B与角D互补。

- 因此，角A + 角B = 180度，角C + 角D = 180度。

由此可知，相邻角互补。

3. 边长相等：- 平行四边形的对边长度相等，即相对的两条边长度相等。

- 证明：设平行四边形的对边长度为AB、CD和AD、BC。

- 由于平行四边形的边互相平行，所以可以证明三角形ABC与三角形CDA相似，且三角形ABD与三角形BCD相似。

- 因此，可得AB/CD = AD/BC。

由此可知，边长相等。

4. 所有内角和为360度：- 平行四边形的内角之和为360度。

- 证明：设平行四边形的内角为A、B、C、D。

- 由于平行四边形的相邻内角互补，可得角A + 角B + 角C +角D = 180度 + 180度 = 360度。

由此可知，所有内角和为360度。

以上是关于平行四边形的定义和性质的简要介绍。

平行四边形专题详解

平行四边形专题详解18.1 平行四边形知识框架{基础知识点{ 平行四边形的定义平行四边形的性质平行四边形的判定定理三角形中位线定理典型题型{利用平行线的性质求角度平行线间距离的运用平行四边形的证明难点题型{平行四边形间距离的应用平行四边形有关的计算平行四边形的有关证明一、基础知识点知识点1 平行四边形的定义1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。

平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD 表示为“▱ABCD ”，读作“平行四边形ABCD ”注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形 2）平行四边形的高：一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。

3）两条平行线之间的距离：一条直线上任一点到另一直线的距离。

平行线间距离处处相等。

例1.如图，AB ∥EG ，EF ∥BC ，AC ∥FG ，A ，B ，C 分别在EF ，EG 上，则图中有个平行四边形，可分别记作。

例2.如图，▱ABCD 中，DE ⊥AB ，BF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=DF 。

例3.如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法错误的是（）A.AB=CDB.CE=FGC.直线a，b之间的距离是线段AB的长D.直线a，b之间的距离是线段CE的长知识点2 平行四边形的性质平行四边形的性质，主要讨论：边、角、对角线，有时还会涉及对称性。

如下图，四边形ABCD是平行四边形：1）性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC2）性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC3）性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD（矩形的对角线才相等）；②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO（菱形对角线才平分角）4）性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。

平行四边形的性质与应用

平行四边形的性质与应用平行四边形是一种具有特定性质和广泛应用的几何图形。

在本文中，我们将探讨平行四边形的性质以及它在现实中的应用。

一、平行四边形的定义与性质平行四边形是指具有两组对边平行的四边形。

它具有以下几个重要性质：1. 对边性质：平行四边形的对边相等。

即相对的两条边长度相等。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，并且互相垂直。

这意味着平行四边形的两条对角线长度相等且互相垂直。

3. 内角性质：平行四边形的内角之和为360度。

换句话说，平行四边形的任意两个相邻内角之和为180度。

4. 对顶角性质：平行四边形的对顶角相等。

即相对的两个内角大小相等。

二、平行四边形的应用平行四边形在几何学和实际生活中都有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 建筑设计：平行四边形的性质被广泛应用于建筑设计中，用于绘制平行四边形的模型，计算建筑物的面积和体积，以及确定建筑物内部布局的合理性。

2. 航空航天工程：在航空航天工程中，平行四边形的性质被用于计算飞机的机翼面积，帮助设计师设计出更加稳定和高效的飞行器结构。

3. 地理测量：在地理测量中，平行四边形的性质被应用于测量地表的形状、面积以及地表变动的研究。

同时，平行四边形也是测量工具中常用的标志物，用于校准和校正测量仪器。

4. 平行四边形的证明与运用：在数学课堂上，我们经常需要证明平行四边形的性质，通过证明和推理，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

此外，平行四边形的性质也应用于解决三角函数和向量等数学问题。

5. 平行四边形的网格结构：平行四边形的性质使其成为一种理想的结构形式，例如篮球场地板、瓷砖地板、蜂窝状网格等。

这些结构具有稳定性、坚固性和美观性。

结论平行四边形作为一种常见的几何图形，在我们的日常生活和学习中有着广泛的应用。

通过了解平行四边形的性质和运用，我们能够更好地理解和应用几何学知识，同时也能培养我们的逻辑思维和问题解决能力。

平行四边形不仅仅是数学课堂上的概念，它在各行各业中都发挥着重要的作用，为我们的生活和工作带来了便利和创造力。

平行四边形的性质及应用

平行四边形的性质及应用平行四边形是初中数学中一个重要的几何概念，它具有独特的性质和广泛的应用。

本文将详细介绍平行四边形的定义、性质以及它在几何、物理、工程和日常生活中的应用。

一、平行四边形的定义和基本性质1.1 定义平行四边形是一种具有两对对边平行的四边形。

根据这个定义，我们可以得出平行四边形的两个重要性质：对边平行和对角线等长。

1.2 对边平行平行四边形的两对对边是平行的。

这意味着如果我们取平行四边形的两个对边，通过延长它们，可以得到两条相交于一点的平行线。

1.3 对角线等长平行四边形的对角线相互平分，且等长。

这意味着平行四边形的对角线把它分成两个全等的三角形。

1.4 内角和平行四边形的内角和为360度。

我们可以将平行四边形切割为多个三角形，通过对这些三角形的角度求和可以得出这个结论。

二、平行四边形的性质应用2.1 几何应用在几何学中，平行四边形有很多应用。

首先，平行四边形的性质使其成为求解各种几何问题的有力工具。

例如，我们可以利用平行四边形的对边平行性质来证明两条直线平行，或者利用对角线等长性质来证明四边形是平行四边形。

其次，平行四边形的面积计算也是几何学中的一个重要应用。

由于平行四边形可以拆分为两个全等三角形，我们可以利用三角形的面积公式S=1/2*底边*高，计算平行四边形的面积。

2.2 物理应用平行四边形的性质在物理学中也有很多应用。

例如，当我们施加力来推动一个物体时，如果施加的力和物体的位移呈平行关系，我们可以利用平行四边形法则求解物体所受的力和推动方向的关系。

另外，在力学中，平行四边形法则也被应用于合力的计算。

如果存在多个力作用于一个物体上，可以利用平行四边形法则将这些力进行合成，得到合力的大小和方向。

2.3 工程应用平行四边形的性质被广泛应用于工程学中。

例如，在建筑设计中，平行四边形的对边平行性质可以用来判断建筑的平整度。

如果对角线相互垂直，表示建筑物的四个墙壁是垂直的。

另外，平行四边形的面积计算也可以用来计算房屋的面积。

平行四边形的判定方法5个

平行四边形的判定方法5个平行四边形是一种特殊的四边形，其相邻两边互相平行。

在数学中，有多种方法可以判断一个四边形是否为平行四边形。

下面将介绍五种常见的判定方法。

方法一：利用对角线性质如果一个四边形的对角线互相垂直且平分彼此，那么这个四边形就是一个平行四边形。

假设四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直且平分彼此，那么我们可以得出AB∥CD和AD∥BC。

这个方法一般用于已知对角线情况。

方法二：利用四边形相对角性质如果一个四边形的相对角相等，那么这个四边形就是一个平行四边形。

假设四边形ABCD的∠A=∠C且∠B=∠D，那么我们可以得出AB∥CD和AD∥BC。

这个方法一般用于已知内角情况。

方法三：利用同位角性质如果两条平行线被一组直线所截，那么这两条平行线的同位角相等。

假设直线l和m分别平行于直线n，且l和m被直线n所截，那么我们可以得出l∥m。

这个方法可以用于平行线的判定。

方法四：利用向量性质如果四边形的对应边向量平行，那么这个四边形就是一个平行四边形。

假设四边形ABCD的向量→AB和向量→CD平行，那么我们可以得出AB∥CD。

这个方法可以用于已知向量情况。

方法五：利用线段比值如果一个四边形两组对应边的线段比值相等，那么这个四边形就是一个平行四边形。

假设四边形ABCD中，AB/CD=AD/BC，那么我们可以得出AB∥CD。

这个方法可以用于已知边长比值情况。

需要注意的是，以上方法都是单程性质，即如果一个四边形满足了这些条件，那么它是一个平行四边形；但是如果一个四边形是平行四边形，未必满足以上所有条件。

所以在进行判断时，需要综合多个条件来得出结论。

平行四边形具有许多重要的性质和特点，如对角线平分每个其他对角线、对角线长度相等等。

平行四边形在几何学中有广泛的应用，在计算几何和平面几何中经常出现。

因此，准确判断一个四边形是否为平行四边形对于我们理解和应用相应的几何知识至关重要。

平行四边形的性质

平行四边形的性质平行四边形是一个具有特殊性质的四边形形状。

在本文中，我们将探讨平行四边形的定义、性质以及相关的定理。

1. 定义：平行四边形是指有四条边都相互平行的四边形。

这意味着对于平行四边形ABCD，边AB与边CD平行，边AD与边BC平行。

2. 性质：平行四边形具有以下性质：2.1 对角线性质：平行四边形的两条对角线相等，即对角线AC与对角线BD相等。

2.2 边性质：平行四边形的对边相等且平行，即边AB与边CD相等且平行，边AD与边BC相等且平行。

2.3 角性质：平行四边形的对角线相交处所成的角相等，即∠CAB = ∠CDA，∠BCD = ∠BAC。

2.4 对角性质：平行四边形的每个对角的两个邻角互补，即∠CAB + ∠DAC = 180°，∠BCD + ∠BDA = 180°。

3. 定理：在考察平行四边形时，我们还可以利用一些定理来判断和证明相关性质。

3.1 平行四边形的基本定理：如果一个四边形的对边相等且平行，那么这个四边形是一个平行四边形。

依据这个定理，我们可以通过观察对边是否相等且平行来判断一个四边形是否为平行四边形。

3.2 平行四边形的推论定理：基于平行四边形的基本定理，我们可以得出以下推论定理：3.2.1 平行四边形的对边平分定理：平行四边形的对边等分对角线，即对边AB与CD平分对角线AC和BD，对边AD与BC平分对角线AB和CD。

3.2.2 平行四边形的同位角定理：平行四边形的同位角互相等，即对边的内角相等，对边的外角相等。

3.2.3 垂直平行四边形定理：如果一个四边形既是平行四边形又是矩形，那么这个四边形就是垂直平行四边形。

4. 应用：平行四边形的性质在几何学和物理学中有着广泛的应用。

例如，在建筑设计中，平行四边形的性质可以用来确定墙面是否水平，从而保证建筑物的结构稳定。

在力学中，平行四边形的性质可以用来分析力的平衡和作图。

总之，平行四边形是一个具有特殊性质的四边形，它的对角线相等，对边平行且相等，以及对角线相交处所成的角相等。

平行四边形(经典)

平行四边形（一）：【知识梳理】1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的定义要抓住两点，即“四边形”和“两组对边分别平行”．四边形的边角按位置关系可分为两类：对边（没有公共端点的两条边）；邻边（有一个公共端点的两条边）对角（没有公共边的两个角）；邻角（有一条公共边的两个角）对角线：不相邻的两个顶点连成的线段2.两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离．两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相等．3.平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行；符号语言表达：平行四边形的两组对边分别相等；四边形ABCD是平行四边形平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．4.平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言表达：AB∥CD.BC∥AD⇒四边形ABCD是平行四边形AB=CD，BC=AD⇒四边形ABCD是平行四边形．AB平行且相等CD或BC平行且相等AD⇒四边形ABCD是平行四边形．OA=OC，OB=OD⇒四边形ABCD是平行四边形．∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB⇒边形ABCD是平行四边形．5.平面的密铺定义：把形状、大小完全相同的一种或几种平面图形拼接在一起，使得平面上不留空隙，不重叠，这就是平面图形的密铺，也叫平面图形的镶嵌．6.对于限于用一种图形密铺的问题，有三角形、四边形和正六边形，如果能实现平面图形的密铺，密铺图的每个顶点都必须集中在几个多边形的顶角，于是在每个顶点集中的顶角刚好拼成一个周角．二：【经典考题剖析】1.下面给出四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判别四边形ABCD是平行四边形的是（）A．l：2：3：4 B．2：3：2：3C．2：3：3：2 D．1：2：2：32.以不在同一直线上的三点作平行四边形的三个顶点，则可作出平行四边形（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.如图，□ABCD中，对角线AC和 BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（）A．1＜m＜11；B．2＜m＜22；C．10＜m＜12；D．5＜m＜64.一个正多边形的每个外角都是36○，则这个多边形是_________边形．5.已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，那么这个多边形的边数是_________．三：【课后训练】1.平行四边形一组对角的平分线（）A．在同一条直线上；B．平行；C．相交； D．平行或在同一直线上2.如图，在□ABCD中，如果点M为CD中点，AM与BD相交于点N那么SΔDMN：S□ABCD为（）A．1：12 B．1：9 C．1：8 D．1：63.已知□ABCD的周长为30㎝，AB：BC=2：3，那么AB=___________㎝.4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=10，BD=8，AB=x，则x的取值范围是（）A．1＜x＜9；B．2＜x＜18；C．8＜x＜10；D．4＜x＜55.现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45○角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并说明你的方案正确的理由．6.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F 在对角线AC上，且AE=CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一个点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等．（只需说明一组线段相等即可）（1）连接_______；（2）猜想________（3）说明理由.7.如图，某村有一块四边形池塘，在它的四个角A、B、C、D处均有一棵大核桃树，此村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘的面积扩大一倍，又保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形状，你认为该村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能请说明理由．8.已知：如图1―4―7在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长；(2)写出图中的两对相似三角形（不需证明）；(3)M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.9.小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工(如图1－4－61甲所示)，他想在现有的六块瓷砖余料中(如图1－4－61乙所示)挑选2块或3块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案(在下面图丙、图丁中画出铺设示意图，并标出所选用每块余料的编号)10.用三种不同的方法把平行四边形面积四等分．（在所给的图形图如图1－4－78中，画出你的设计方案，画图工具不限）．矩形、菱形、正方形（一）：【知识梳理】1.性质：（1）矩形：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．（2）菱形：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③具有平行四边形所有性质．（3）正方形：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．2.判定：（1）矩形：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．（2）菱形：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．（3）正方形：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．3.面积计算：（1）矩形：S=长×宽；（2）菱形：1212S l l =⋅（12l l 、是对角线）（3）正方形：S=边长24.平行四边形与特殊平行四边形的关系二：【经典考题剖析】1.下列四边形中，两条对角线一定不相等的是（）A ．正方形B ．矩形C ．等腰梯形D ．直角梯形2.周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（）A ．98B ． 96C ．280D ．2843.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝80 ，AB 的垂直平分线EF 交对角线A C 于点F 、E 为垂足，连结DF ，则∠CDF 等于（）A ．80°B ．70°C ．65°D ．60°4.如图，小明想把平面镜MN 挂在墙上，要使小明能从镜子里看见自己的脚？问平面镜至多离地面多高？（已知小明身高1．60米）5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由，添加的条件__________，理由：三：【课后训练】1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．四个角都是直角；B．对角线相等；C．对角线互相平分；D．对角线互相垂直2.如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他的判断方法是________-3.如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，且CA：BD=l： 3 ,若AB=2，求菱形ABCD的面积．4.如图，以△ABC的三边长为边在 BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△ACF、△BCE，请回答下列问题：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？5.在一次数学兴趣小组活动中，组长将两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，并问同学，重叠部分是一个什么样的四边形？同学说：这是一个平行四边形．乙同学说：这是一个菱形．请问：你同意谁的看法要解决此题，需建构数学模型，将实际问题转化成数学问题来解决，即已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，边CD与边BC上的高相等，试判断四边形 ABCD的形状．6.检查你家（或教室）的门框（或方桌面）是不是矩形，如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？并解释其中的道理。

平行四边形知识点总结

平行四边形知识点总结平行四边形是一种特殊的四边形，具有许多独特的性质和规律。

本文将对平行四边形的定义、性质以及相关定理进行总结和论述，以加深对平行四边形的理解。

一、定义平行四边形是指具有两组平行的对边的四边形。

它的特点是四条边两两平行。

二、性质1. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，即对角线交点处是对角线的中点。

2. 边性质：平行四边形的相对边长相等，即对边对应边长相等。

3. 角性质：平行四边形的对角线所夹的两个内角互补，即它们的和为180度。

4. 对边关系：平行四边形的对边互为补角，即相邻内角的和为180度。

5. 直角性质：如果平行四边形的一个角为直角，则它的所有角均为直角。

三、常见定理1. 平行四边形的对边平行定理：平行四边形的对边互相平行。

2. 平行四边形的对边等长定理：平行四边形对边的长度相等。

3. 平行四边形的对角线互相平分定理：平行四边形的对角线互相平分，交点是对角线的中点。

4. 平行四边形的内角和定理：平行四边形的相邻内角和为180度。

5. 平行四边形的补角关系定理：平行四边形的对边互为补角。

四、推论1. 平行四边形的一组对边平行，则另一组对边也平行。

2. 平行四边形的一组对边等长，则另一组对边也等长。

3. 平行四边形的一组对边互相垂直，则另一组对边也互相垂直。

五、例题解析1. 已知ABCD是平行四边形，AC的中点为E，连接BE，证明BE 平分CD。

解析：由平行四边形的对角线互相平分定理可知，BE平分CD。

2. 在平行四边形ABCD中，已知AD=BC，AC的中点为E，连接BE，证明BE平行AD。

解析：由平行四边形的对边等长定理可知，AD=BC，而AC的中点为E，连接BE，则BE平行AD。

3. 平行四边形ABCD中，角A的补角为20度，求角C的度数。

解析：平行四边形的补角关系定理告诉我们，平行四边形的对边互为补角，所以角C的补角也为20度，角C的度数为180度减去20度，得160度。

平行四边形性质及应用

平行四边形性质及应用平行四边形是指具有两对对边平行的四边形。

它具有一些特殊的性质和应用。

以下是对平行四边形性质及应用的讨论：1. 对边性质：平行四边形的两对对边分别平行，且长度相等。

这意味着平行四边形的对边具有一一对应的关系，它们的长度相等，方向相反。

这个性质可以用于解决一些长度或角度的问题。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。

也就是说，平行四边形的两条对角线将其分割成两个相似的三角形，且这两个三角形的面积相等。

这个性质可以用于计算平行四边形的面积。

3. 内角性质：平行四边形的内角和为180度。

由于平行四边形的两对边是平行的，所以相对的内角是对应角。

这个性质可以用于计算平行四边形的内角度数。

4. 外角性质：平行四边形的相邻外角互补。

也就是说，相邻外角的和等于180度。

这个性质可以用于计算平行四边形的外角度数。

5. 高度性质：平行四边形的任意一条边可以作为其高度。

平行四边形的高度是垂直于其对边的线段，可以用于计算平行四边形的面积。

平行四边形的应用主要体现在几何学和实际生活中。

以下是一些常见的应用：1. 房屋设计：在房屋设计中，平行四边形的形状经常出现。

例如，房屋的外墙形状可以是一个平行四边形，内部的某些空间也可以被设计成平行四边形的形状。

设计师可以根据平行四边形的性质来计算出房屋的面积、角度等参数。

2. 环境规划：在城市规划和环境规划中，平行四边形的概念也有应用。

例如，街道的布局可以采用平行四边形的形状，个别建筑物的布置也可以参考平行四边形的形状，以提高城市的美观度和空间利用效率。

3. 科学研究：在物理学、力学和工程学中，平行四边形的概念也有重要应用。

例如，在力学中，力的平行四边形法则可以用于计算合力的结果。

在电学中，磁力线也可以形成平行四边形的形状。

4. 统计分析：在统计学中，平行四边形的概念可以用于可视化数据，帮助分析数据的相关性和分布情况。

通过绘制平行四边形图，可以清晰地展示变量之间的关系，并帮助比较数据。

平行四边形的计算公式

平行四边形的计算公式
1、平行四边形的面积公式：底×高
2、平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值。

3、平行四边形周长：四边之和。

周长c=2(a+b)。

平行四边形是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形，一般用图形名称加四个顶点依次命名。

平行四边形的相对或相对的侧面具有相同的长度，并且其相反的角度是相等的，只有一对平行边的四边形是梯形，其三维对应是平行六面体。

该图形的特点是对边平行且相等、容易变形
平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。

平行四边形属于平面图形。

平行四边形属于四边形。

平行四边形属于中心对称图形。

平行四边形的性质：
1、平行四边形的两组对边分别相等。

2、平行四边形的两组对角分别相等。

3、平行四边形的邻角互补。

4、平行线间的高距离处处相等。

5、平行四边形的对角线互相平分。

1。

平行四边形的概念及性质

平行四边形的概念及性质
1. 概念
平行四边形是一种特殊的四边形，具有以下特点：
- 四条边两两平行；
- 相邻两边相等。

2. 性质
平行四边形具有以下性质：
2.1 内角性质
平行四边形的内角性质如下：
- 对角线互补：平行四边形的任意一条对角线与其它对角线所夹的角互为补角；
- 内角和为180度：平行四边形的内角和为180度；
- 对角线平分：平行四边形的任意一条对角线平分另一条对角线。

2.2 边性质
平行四边形的边性质如下：
- 相对边相等：平行四边形的对边相等；
- 邻边互补：与同顶点相邻的两条边互为补角。

2.3 对边平行性质
平行四边形的对边平行性质如下：
- 任意两对对边都是平行的；
- 对边长度相等：平行四边形的对边长度相等。

3. 实例
以下是一些平行四边形的实例：
- 矩形：是一种特殊的平行四边形，具有四个直角；
- 菱形：是一种等边的平行四边形，具有四个相等的内角；- 平行四边形：四边都平行但不一定相等的四边形。

以上是关于平行四边形的概念及性质的简要介绍。

参考资料：。

空间几何中的平行四边形

空间几何中的平行四边形在空间几何中，平行四边形是一种特殊的四边形，其具有一些独特的性质和特点。

平行四边形是指拥有两对相对平行的边的四边形。

在本文中，我们将探讨平行四边形的定义、性质以及其在几何学中的应用。

一、定义平行四边形是一种四边形，它的两对相对边分别平行。

具体而言，如果一个四边形的两对相对边都是平行的，则该四边形就是平行四边形。

二、性质1. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。

也就是说，对于平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，那么点O将AC和BD两条对角线平分。

2. 边性质：平行四边形的对边长度相等。

也就是说，对于平行四边形ABCD，AB与CD的长度相等，AD与BC的长度相等。

3. 角性质：平行四边形的相对角相等。

也就是说，对于平行四边形ABCD，∠A等于∠C，∠B等于∠D。

三、面积计算计算平行四边形的面积可以利用其底边长度和高来进行。

设平行四边形的底边长度为b，高为h，则其面积可以用公式S = b * h来计算。

四、应用案例平行四边形在几何学中有着广泛的应用。

以下是平行四边形的一些具体应用案例：1. 建筑设计：平行四边形的性质使得它在建筑设计中得到广泛应用。

例如，在设计某些建筑物的门窗时，可以利用平行四边形的性质来确保门窗框的平整和稳定。

2. 统计学：平行四边形的面积计算方法可以应用于某些统计学中的计算问题。

例如，在研究某个区域内的土地利用时，可以利用平行四边形的面积计算方法来计算不同类型土地的面积比例。

3. 电子工程：在电子工程中，平行四边形的性质可以应用于电路板的设计和焊接。

利用平行四边形的性质，可以确保电路板的线路连接平行且稳定。

综上所述，在空间几何中，平行四边形是一种具有特殊性质和应用的四边形。

通过对平行四边形的定义和性质的研究，我们可以更好地理解和应用几何学知识。

在实际生活和工作中，平行四边形的应用也十分广泛，涉及到建筑设计、统计学、电子工程等领域。

因此，对平行四边形的深入理解和应用能够帮助我们更好地解决实际问题。

判定平行四边形五种方法

判定平行四边形五种方法平行四边形是指四边形的对边两两平行。

在判定一个四边形是否为平行四边形时，可以使用以下五种方法。

方法一：对边平行法平行四边形的定义中明确了四边形的对边两两平行，因此，我们可以通过判断四边形的对边是否平行来判定它是否为平行四边形。

为了进行对边平行的判断，我们可以使用直线的斜率来进行计算。

如果四边形的对边斜率相等，则对边平行，进而可以判定该四边形为平行四边形。

方法二：对角线平分法平行四边形的特点之一是对角线互相平分。

因此，我们可以通过绘制四边形的对角线并判断对角线是否相互平分来判定该四边形是否为平行四边形。

若对角线互相平分，则可确信这是一个平行四边形。

方法三：角平分线平行法对于平行四边形，它的对角线平分的角分别是对边的内角。

通过使用角度平分定理，我们可以通过绘制四边形的对角线并判断对角线上的角平分线是否平行，进而判定是否为平行四边形。

方法四：边长比较法平行四边形的特点之一是对边长度相等。

所以我们可以通过计算四边形的各个边长并比较它们的关系来判定是否为平行四边形。

如果对边长度相等，那么这个四边形就是一个平行四边形。

方法五：对边夹角法平行四边形的特点之一是对边的夹角相等。

我们可以通过计算四边形的各个对边夹角并比较它们的关系来判定是否为平行四边形。

如果对边夹角相等，那么这个四边形就是一个平行四边形。

综上所述，平行四边形可以通过对边平行、对角线平分、角平分线平行、边长比较以及对边夹角相等这五种方法进行判定。

这些方法可以单独使用，也可以组合使用，以确保判断的准确性。

在进行判定时，我们还可以结合绘图来辅助判断，以增加准确性。

总之，通过这五种方法的运用，我们可以轻松判定一个四边形是否为平行四边形。

平行四边形ppt课件

高难度练习题及解析
总结词：综合拓展
具体题目示例及解析：在平行四边形ABCD中，E 、F分别为AB、CD上的点，且AE=CF。求证：四边形AFCE是平行四边形。
详细描述：高难度练习题不仅要求学员掌握平行四边形的性质和判定方法，还要求学员能够综合运用知识，进行深度思考和分析。这类题目旨在培养学员的思维能力和解决问题的能力。
家居用品中的平行四边形
总结词
实用、常见
详细描述
在家居用品中，平行四边形是一种非常实用的形状，常见于各种物品设计。例如，家具的桌面或床垫的床框，通常采用平行四边形形状，因为这种形状可以方便地拼接或组合，同时也能节省空间。
平行四边形在机械中的应用
总结词
精密、高效
详细描述
在机械领域，平行四边形具有精密和高效的特点。例如，某些机器的传动系统或支撑结构，以及一些精密仪器的框架或底座，都采用平行四边形设计。这种设计能够提高机器的精度和稳定性，同时也能使机器更加高效地运转。
定义
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
性质
正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线相等且互相垂直平分。
判定
有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形。
03
平行四边形与生活中的应用
建筑中的平行四边形
总结词
引人注目、富有创意
详细描述
在建筑设计中，平行四边形具有独特的美学特质，常常被用来创造引人注目的视觉效果。例如，某些建筑物的斜撑或屋顶结构，以及一些装饰性元素，如百叶窗或格子窗，都采用平行四边形设计。
VS
详细描述
在平行四边形ABCD中，AB和CD是一组对边，它们不仅平行而且相等。根据平行四边形的定义，两组对边分别平行，即 AB // CD。此外，两组对边分别相等，即AB = CD。这是平行四边形的一个核心特性。