2.3.2 等差数列的前n项和(二)课件-人教版高中数学必修五 (共18张PPT)

解题思路一般是:建立方程(组)求解
若已知数列{an}前n项和为Sn，则该数列的
通项公式为
an=
S1， n=1 Sn-Sn-1，n≥2
注意：（1）这种做法适用于所有数列；
（2）用这种方法求通项需检验a1是否满足an.
例1、已知数列{an}的前n项和为
Sn
n2
1 2
n1
，求该数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？
(an
1)2，
求数列{an }的通项公式
解：当n 2时，an Sn
Sn1
1 4
[(an
1)2
(an1
1)]
整理得(an an1 )(an an1 2) 0
an 0 an +an1 0
an an1 2 0，即an an1 2
数列{an }是公差为2的等差数列
当n
1时，a1
也为等差数列。
练习：
1、在等差数列{an}中，若a1+a2+a3=-3，a4+a5+a6=1，
则a7+a8+a9=_____5______；
2、在等差数列{an}中，已知S4=2，S8=7，则
S12=___1_5__；
例3、已知等差数列 5, 4 2 , 3 46 1
an+1 =15(n+1) -91≥0
15
15
∴当n=6时，Sn取最小值，此时
n(n 1) Sn na1 2 d 6 (76) 1515 231
练习：已知数列an 的前 n 项和 Sn 3 2n ，求 an
5， n 1 an 2n1，n 2
的前n项和为Sn，
求使得Sn最大的序号n的值.
解2：∵由题意知，a1=5，公差d=
5 7
an
5
(n
1)(
5) 7
5 7
n
40 7
解得7≤n≤8 ∴当n取7或8时，Sn最大
求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法：
（1）利此用时Snn应=p取n最2+接qn近进__行_2_配q_p_方的，正求整二数次值函；数的最值，
S12 S6 6a1 51d , S18 S12 6a1 87d
2(S12 S6 ) 12a1 102d, S6 (S18 S12 ) 12a1 102d 即 2(S12 S6 ) S6 (S18 S12 )
∴S6，S12-S6，S18-S12也是等差数列
例2、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20 项的和是1220，求该数列前30项的和。
一、复习回顾
1、前n项和公式
形式1: 形式2:
Sn
（n a1 2
an )
Sn
na1
（ n n 2
1)
d
2、在等差数列 {an} 中，如果已知五个元素 a1,
an, n, d, Sn 中的任意三个, 可以求出其余两个
量.
Sn
na1
（n n 2
1)
d
an a1 (n 1)d
结论：知 三 求 二
S1
1 4
(a1
1)2 ,
解得a1
1
an a1 (n 1)d 2n 1
数列{an}的通项公式为an 2n 1
思考：等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列 S6，S12-S6，S18-S12
是等差数列吗？
S6 6a1 15d,
证明：∵依题意可得
S12 12a1 66d,
S18 18a1 153d,
an
5 2
,
n
1
2n
1 2
,
n
2
探究： 一般地，如果数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r， 其列S中吗np？、若qA是、n，r2为则常B它数n（的，首A且为项p≠与常0，公数那差）么分这别个是{a数什n列么}等一？差定是数等列差数
分析：当n=1时，a1=S1=p+q+r
∵当n>1时，an =Sn-Sn-1
的前n项和为Sn，
解：由题意知，a1=5，公差d=
5 7
n(n 1) 5
Sn 5n
2
( ) 7
5 n2 75 n 14 14
5 (n 15)2 1125 14 2 56
当n取与15 最接近的整数即7或8时， 2
Sn取最大值
例4、已知等差数列 5, 4 2 , 3 4 , 77
练习：在等差数列{an}中，若a2=-61，a5=-16，则该数列 的前n项和Sn何时取得最小值，最小值是多少？
解：∵ a2=-61，a5=-16
∴ a1+d=-61 a1+4d=-16
解得a1=-76，d=15
∴an= a1 +(n-1)d=-76+15(n-1)=15n-91
令 an =15n-91≤0
（2）利用等差数列的增减性及an的符号变化， 当a1>0，d<0时，Sn有最大值， 此时可由an≥0且an+1≤0求出n的值； 当a1<0，d>0时，Sn有最小值， 此时可由an≤0 且an+1 ≥ 0求出n的值；
注意：当数列中有一项为0时，n应有两解.
小结：
1、利用前n项和求通项的方法：
S1， n=1 an= Sn-Sn-1，n≥2
2、等差数列前n项和的一个重要性质：
Sn An2 Bn( A 0)
一般地，若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列 也为3、等数差列数{列an。}是等S差n，数S列2n-Sn，S3n-S2n ，…
练习：在等差数列{an}中，若a2=-18，a4=-10，则该数列 的前n项和Sn何时取得最小值，最小值是多少？
=pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r =2pn-p+q
又∵当n=1时，an=2p-p+q=p+q ∴当且仅当r =0时，a1满足an=2pn-p+q 故只有当r =0时该数列才是等差数列， 此时首项a1=p+q，公差d=2p(p≠0)
例5、设正项数列{an }的前n项和满足Sn
1 4
解：设该等差数列的前n项和Sn An2 Bn,则
S10 100A 10B 310
S20
400 A
20B
1220
解得A 3, B 1
Sn 3n2 n S30 3 900 30 2730
一般地，若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列 Sn，S2n-Sn，S3n-S2n ，…
解：∵ a2=-18，a4=-10
∴
a1+d= -18 a1+3d= -10
解得a1= -22，d=4
n(n 1) Sn 22n 2 4
2n2 24n
2(n 6)2 72
∴当n=6时，Sn取最小值-72
思考：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，首项a1=13， 且S3=S11，求此数列前n项和的最大值。