北京理工大学复变函数与积分变换总结
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8
zk z 2 z3 z e 1 ... | z | k ! 2! 3! k 0 (1) k sin z z 2 k 1 | z | (2 k 1)! k 0 (1) k 2 k cos z z | z | Taylor常见初等展开式 k 0 (2 k)! 以收敛形式为核心的间接展开 1 z k | z | 1 1 z k 0 (1) k k 1 ln(1 z) z | z | 1 k 1 k 0 a! (1 z) a 1 z k | z | 1 k 1 (a k)!k! 2.利用四则运算、微分积分(*千万不要忘记微分积分*)
2)对数函数 w Lnz ln | z | (arg(z) 2n )i
性质：
1 多值函数，因为Arg为多值 <2>单值函数lnz:lnz=ln|z|+arg(z)i,Lnz=lnz+2k i
3）幂函数 z e
aLnz
有助于求解不容易求解的幂方程。
5
4）三角函数与双曲函数
cos z
eiz eiz 2 cos yi chy
sin z
eiz eiz 2i chyi cos y
e z e z e z e z shy 2 2 sin yi ishy i sin y shyi chy
基本三角公式
（注明：乘以变量化为平方，但2.2处两个问题）
幂级数的收敛性、收敛范围均由收敛半径来描述 1.初等函数求法，变为实级数，类似等比求法 2.初等泰勒公式变量替换法 Ck 1 1 k C ; l lim | 4.收敛半径（模长核心） |; R ; 3.公式法:l= lim k k k Ck l 4.展开奇点距离法：设被展开函数点为z , 被展开函数奇点为z , 1 0 |z-z1|<|z1 -z 0 | 则其收敛半径（范围）： 收敛圆周上的情况需具体问题具体判断 任意次数微分、积分，收敛域不变
我们常用的复平面，就是用来表示一个像的实部虚部关系的，即一个点集。 8.复映射 单叶型函数、函数映射尽量采用参数方程的表达形式 9.整线性映射及其保圆型
平移:w=z a; 旋转:w=ei z; 伸缩 : w | a | z
复数运算尽量用方程形式转化到实数域、
第二章：解析函数
本章为后面研究奠定基础，为复变函数的主要研究对象。
北京理工大学
----复变函数与积分变换总结
1
第一章：Βιβλιοθήκη Baidu数和复变函数及其极限
复数在实际工程中有着广泛的应用，其可以表示模和相位，比如，负电压与负电流。 （显而易见， 复数的引入对物理学发展意义重大。 因为， 许多物理量不只有大小， 还有方向） 在数学上，所有的多项式都存在解，所有的多项式都可以分解为一次项式的乘积。
z1 z ) 1 z2 z2
z z; z z z | z |2 ; z z 2 Re(z); z z 2ilm( z )
2
4.复变函数的意义 从几何的角度上看，复变函数是一个复平面上的点集到另一个复平面上的一个映射。 在直角坐标系复平面上，自变量记作 z x yi ，函数值记作 w u vi 。那么复变函 数 w f (z) 就等价于两个二元函数 u u(x, y), v v(x, y) ，即一个复变函数的映射，等同 于两个二元实函数的映射。 在物理学或力学中， 可以用复变函数来建立 “平面场” 的数学模型， 例如在流体力学中， 平面流速场的速度分布可用复函数 V＝V（z）＝Vx（x，y）＋i Vy（x，y）来表示，其中， Vx（x，y）和 Vy（x ，y）是坐标轴方向的速度分量（不是偏导数记号） ，V（z）则称为复 速度。 5.复平面上各种曲线方程的表示（即映射中原像的描述）
零碎知识点
1.复变函数的求导 1）求导条件：
u v u v ; x y y x u v v u f (z) i i x x y y
2）求导法则：
4
[f(z) g(z)] f (z) g(z) f (z) f (z) g(z) g(z) f(z) [{f(z) g(z)] f(z) g(z) f (z) g(z) [ ] g (z) g (z) 2 f [g(z)] f (g(z)) g(z) Lnz
2.函数的解析性
z n n z n 1
(C ) 0
f (z)
1 (z)
n
z zn
1
1 1 1 zn n
1 z
1 ln z (主值或某一固定分支) z
区域内解析 区域内可导；点的解析 点的可导
（注：33页有问题；不存在绝对值运算，全部都是模运算；高阶运算变化为斜率） 3.初等解析函数 1）指数函数 z x yi,e e
2.sin jn与cosjn在复变函数时，尽量分解成e jn
1.lim(z n ) 0, z n 必发散，反之不成立。 n 1.普通法 2.绝对收敛的判定 2.an、b n两项判别法 3.复级数收敛性的判别 3.普通an、b n两项判别法——> ak A0 ; bk B0 ; k 0 k 0 n 4.根据级数收敛的定义： lim zn lim Sn n n i 0
i
5)向量表示法：模、幅角、全部幅角、幅角主值 3.复数的运算 复数中不会有隐藏解的出现，两边一一对应。 复数的比较大小、加减乘除、交换律、结合律、分配率、共轭运算、乘幂与方根（欧拉 公式） （方根对应图形）
z z1 z2 z1 z2 ; z z1 z2 z1 z2 ; z (
7
复级数
从完美数学角度研究复变函数。进行级数分解有助于：1.进一步研究函数的性质 2. 易于积分运算 3.易于进行估值
零碎知识点
1.级数项的收敛性 : 单边收敛法： lim zn ; 双边收敛法： lim an a0 , lim bn b0 ;
n n n
参数方程法（基本）：z(t)=x(t)+y(y)i( <t< )--> f (z) dz f [z(t)]z(t) dt(一维积分) C 1.积分路径闭路 2.内部解析 f (z) dz 0 C 复积分路径无关性 区域内部解析 f (z) dz f (z) dz(化为一维时，计算完全一样) C 定义： =C +C1 C2 ... Cn ； n 复闭路定理（沿围线积分的方法） f (z) dz 0; f (z) dz f (z) dz i 1 Ck C 内部存在奇点时，外部路径积分的求取方法 目的只在于分解奇点，形状各异 n! f (z) f (n) (z 0 ) dz n 1 2 i ( z z ) 0 C 下部有且仅有一个奇点，上部在区域内解析 高阶导数定理 当下部奇点过多时，采用复闭路定理将区域分解 目的只在于分解奇点，形状各异 高阶只需要一个奇点，而复闭路可剥离奇点 Cauchy积分定理为高阶导数定理的特例 y 调和函数 已知调和函数u (x, y), 求 v(x, y) : v(x, y) x (x, y ) dx (x, y) dy c x0 y 0 x y0 z在0处的罗朗展开
6.罗朗级数与 Taylor 级数完全一样，除了分解时必须考虑双边
7.罗朗级数求积分： 1）找到收敛域、收敛半径—>展开形式2）写出罗朗展开式得出c（ ） -1 2 ic1 同样可以采用高阶导数公式
6.简单曲线与光滑曲线
arg(z i) 开集、有界、无界、 0 | z 1 i | 2去心圆、
7.复变函数的概念
4
射线
1）复变函数只是一个映射对应关系，难以画出图像（由于其本质为点点对应而不是数数对 应） 2.matlab 复变函数图像的理解
3
z x yi; w u vi; w(z) w(x, y) u(x, y) v(x, y) i u (z) v(z) i; w(z) u(z) v(z) i
C C C C
2）区域分解性
C
f (z)dz f (z) dz f (z) dz
C1 C2
6
3）取反性
C
f (z) dz
f (z) dz
C
4）估值不等式
| f(x) | M | f (z)dz | | f (z) |dz Ml
C C
4.积分的计算
零碎知识点
1.复积分基本概念:曲线方向、积分路径、被积函数 2.复积分的存在条件
C
f (z) dz udx udy vdx vdy
C
3.复积分的性质 1）线性性
C
kf (z) dz k f (z)dz; [ f (z) g(z)]dz f (z) g (z)
zz zz 直角坐标方程表示：F (z) F(x, y) F( , ) 2 2i 直角坐标表示 复数的模等式表示 复数角表示 参数表示：F(z)=F(x(t),y(t))=F(z(t));z(t)=x(t)+y(y)i
二级结论： Az z z z D =0....圆； z z D =0....直线； x x0 r cos y y0 r sin z z0 r (cos sin i ) z0 r ei
z x yi
e x (cosy sinyi)
性质：
1 | e z | e x (模) 2 Arg (e z ) y 2 ( 0, 1, 2.....) 3 Re(e z ) e x cos y 4 Im(e z ) e x sin y 5 f (z) f(z) 6 为周期函数，周期2 i 7 z 2n i时，e z 1
第三章：复积分
复空间上面的积分，很简单的就是求原函数。这是最直观的。通过一个起点，加上他的 变化情况，然后作出还原原来的情况的能力就是复函数的积分。 具体来讲，电子领域，你可以对应上去，将几个变量联系到复空间领域，然后就可以知 道他们的一致变化情况。这也许是一个想法。积分变换的目的就是得到真正的变化情况。复 积分也是如此。
5.Taylor级数（幂级数展开式、唯一性、展开点的解析性） 1.找到收敛形式、收敛半径（奇点到展开点的距离）<有时需要拓展收敛域> f (n) (z 0 ) Taylor展开步骤 2.定义法：f(z)= ck (z z 0 ) k ;ck ; 有些麻烦，有些不麻烦 n! k 0 3.以收敛形式为核心的间接展开法
零碎知识点
1.实数、虚数、共轭复数 2.复数的表示形式（相互一一对应） （这几个貌似都为考点） 1）定义法： z x yi 2）复平面坐标表示法：有助于平行四边法则的运用 3）三角函数表示法： z r (cos sin i)
4)欧拉公式表示法： z r (cos sin i) re
zk z 2 z3 z e 1 ... | z | k ! 2! 3! k 0 (1) k sin z z 2 k 1 | z | (2 k 1)! k 0 (1) k 2 k cos z z | z | Taylor常见初等展开式 k 0 (2 k)! 以收敛形式为核心的间接展开 1 z k | z | 1 1 z k 0 (1) k k 1 ln(1 z) z | z | 1 k 1 k 0 a! (1 z) a 1 z k | z | 1 k 1 (a k)!k! 2.利用四则运算、微分积分(*千万不要忘记微分积分*)
2)对数函数 w Lnz ln | z | (arg(z) 2n )i
性质：
1 多值函数，因为Arg为多值 <2>单值函数lnz:lnz=ln|z|+arg(z)i,Lnz=lnz+2k i
3）幂函数 z e
aLnz
有助于求解不容易求解的幂方程。
5
4）三角函数与双曲函数
cos z
eiz eiz 2 cos yi chy
sin z
eiz eiz 2i chyi cos y
e z e z e z e z shy 2 2 sin yi ishy i sin y shyi chy
基本三角公式
（注明：乘以变量化为平方，但2.2处两个问题）
幂级数的收敛性、收敛范围均由收敛半径来描述 1.初等函数求法，变为实级数，类似等比求法 2.初等泰勒公式变量替换法 Ck 1 1 k C ; l lim | 4.收敛半径（模长核心） |; R ; 3.公式法:l= lim k k k Ck l 4.展开奇点距离法：设被展开函数点为z , 被展开函数奇点为z , 1 0 |z-z1|<|z1 -z 0 | 则其收敛半径（范围）： 收敛圆周上的情况需具体问题具体判断 任意次数微分、积分，收敛域不变
我们常用的复平面，就是用来表示一个像的实部虚部关系的，即一个点集。 8.复映射 单叶型函数、函数映射尽量采用参数方程的表达形式 9.整线性映射及其保圆型
平移:w=z a; 旋转:w=ei z; 伸缩 : w | a | z
复数运算尽量用方程形式转化到实数域、
第二章：解析函数
本章为后面研究奠定基础，为复变函数的主要研究对象。
北京理工大学
----复变函数与积分变换总结
1
第一章：Βιβλιοθήκη Baidu数和复变函数及其极限
复数在实际工程中有着广泛的应用，其可以表示模和相位，比如，负电压与负电流。 （显而易见， 复数的引入对物理学发展意义重大。 因为， 许多物理量不只有大小， 还有方向） 在数学上，所有的多项式都存在解，所有的多项式都可以分解为一次项式的乘积。
z1 z ) 1 z2 z2
z z; z z z | z |2 ; z z 2 Re(z); z z 2ilm( z )
2
4.复变函数的意义 从几何的角度上看，复变函数是一个复平面上的点集到另一个复平面上的一个映射。 在直角坐标系复平面上，自变量记作 z x yi ，函数值记作 w u vi 。那么复变函 数 w f (z) 就等价于两个二元函数 u u(x, y), v v(x, y) ，即一个复变函数的映射，等同 于两个二元实函数的映射。 在物理学或力学中， 可以用复变函数来建立 “平面场” 的数学模型， 例如在流体力学中， 平面流速场的速度分布可用复函数 V＝V（z）＝Vx（x，y）＋i Vy（x，y）来表示，其中， Vx（x，y）和 Vy（x ，y）是坐标轴方向的速度分量（不是偏导数记号） ，V（z）则称为复 速度。 5.复平面上各种曲线方程的表示（即映射中原像的描述）
零碎知识点
1.复变函数的求导 1）求导条件：
u v u v ; x y y x u v v u f (z) i i x x y y
2）求导法则：
4
[f(z) g(z)] f (z) g(z) f (z) f (z) g(z) g(z) f(z) [{f(z) g(z)] f(z) g(z) f (z) g(z) [ ] g (z) g (z) 2 f [g(z)] f (g(z)) g(z) Lnz
2.函数的解析性
z n n z n 1
(C ) 0
f (z)
1 (z)
n
z zn
1
1 1 1 zn n
1 z
1 ln z (主值或某一固定分支) z
区域内解析 区域内可导；点的解析 点的可导
（注：33页有问题；不存在绝对值运算，全部都是模运算；高阶运算变化为斜率） 3.初等解析函数 1）指数函数 z x yi,e e
2.sin jn与cosjn在复变函数时，尽量分解成e jn
1.lim(z n ) 0, z n 必发散，反之不成立。 n 1.普通法 2.绝对收敛的判定 2.an、b n两项判别法 3.复级数收敛性的判别 3.普通an、b n两项判别法——> ak A0 ; bk B0 ; k 0 k 0 n 4.根据级数收敛的定义： lim zn lim Sn n n i 0
i
5)向量表示法：模、幅角、全部幅角、幅角主值 3.复数的运算 复数中不会有隐藏解的出现，两边一一对应。 复数的比较大小、加减乘除、交换律、结合律、分配率、共轭运算、乘幂与方根（欧拉 公式） （方根对应图形）
z z1 z2 z1 z2 ; z z1 z2 z1 z2 ; z (
7
复级数
从完美数学角度研究复变函数。进行级数分解有助于：1.进一步研究函数的性质 2. 易于积分运算 3.易于进行估值
零碎知识点
1.级数项的收敛性 : 单边收敛法： lim zn ; 双边收敛法： lim an a0 , lim bn b0 ;
n n n
参数方程法（基本）：z(t)=x(t)+y(y)i( <t< )--> f (z) dz f [z(t)]z(t) dt(一维积分) C 1.积分路径闭路 2.内部解析 f (z) dz 0 C 复积分路径无关性 区域内部解析 f (z) dz f (z) dz(化为一维时，计算完全一样) C 定义： =C +C1 C2 ... Cn ； n 复闭路定理（沿围线积分的方法） f (z) dz 0; f (z) dz f (z) dz i 1 Ck C 内部存在奇点时，外部路径积分的求取方法 目的只在于分解奇点，形状各异 n! f (z) f (n) (z 0 ) dz n 1 2 i ( z z ) 0 C 下部有且仅有一个奇点，上部在区域内解析 高阶导数定理 当下部奇点过多时，采用复闭路定理将区域分解 目的只在于分解奇点，形状各异 高阶只需要一个奇点，而复闭路可剥离奇点 Cauchy积分定理为高阶导数定理的特例 y 调和函数 已知调和函数u (x, y), 求 v(x, y) : v(x, y) x (x, y ) dx (x, y) dy c x0 y 0 x y0 z在0处的罗朗展开
6.罗朗级数与 Taylor 级数完全一样，除了分解时必须考虑双边
7.罗朗级数求积分： 1）找到收敛域、收敛半径—>展开形式2）写出罗朗展开式得出c（ ） -1 2 ic1 同样可以采用高阶导数公式
6.简单曲线与光滑曲线
arg(z i) 开集、有界、无界、 0 | z 1 i | 2去心圆、
7.复变函数的概念
4
射线
1）复变函数只是一个映射对应关系，难以画出图像（由于其本质为点点对应而不是数数对 应） 2.matlab 复变函数图像的理解
3
z x yi; w u vi; w(z) w(x, y) u(x, y) v(x, y) i u (z) v(z) i; w(z) u(z) v(z) i
C C C C
2）区域分解性
C
f (z)dz f (z) dz f (z) dz
C1 C2
6
3）取反性
C
f (z) dz
f (z) dz
C
4）估值不等式
| f(x) | M | f (z)dz | | f (z) |dz Ml
C C
4.积分的计算
零碎知识点
1.复积分基本概念:曲线方向、积分路径、被积函数 2.复积分的存在条件
C
f (z) dz udx udy vdx vdy
C
3.复积分的性质 1）线性性
C
kf (z) dz k f (z)dz; [ f (z) g(z)]dz f (z) g (z)
zz zz 直角坐标方程表示：F (z) F(x, y) F( , ) 2 2i 直角坐标表示 复数的模等式表示 复数角表示 参数表示：F(z)=F(x(t),y(t))=F(z(t));z(t)=x(t)+y(y)i
二级结论： Az z z z D =0....圆； z z D =0....直线； x x0 r cos y y0 r sin z z0 r (cos sin i ) z0 r ei
z x yi
e x (cosy sinyi)
性质：
1 | e z | e x (模) 2 Arg (e z ) y 2 ( 0, 1, 2.....) 3 Re(e z ) e x cos y 4 Im(e z ) e x sin y 5 f (z) f(z) 6 为周期函数，周期2 i 7 z 2n i时，e z 1
第三章：复积分
复空间上面的积分，很简单的就是求原函数。这是最直观的。通过一个起点，加上他的 变化情况，然后作出还原原来的情况的能力就是复函数的积分。 具体来讲，电子领域，你可以对应上去，将几个变量联系到复空间领域，然后就可以知 道他们的一致变化情况。这也许是一个想法。积分变换的目的就是得到真正的变化情况。复 积分也是如此。
5.Taylor级数（幂级数展开式、唯一性、展开点的解析性） 1.找到收敛形式、收敛半径（奇点到展开点的距离）<有时需要拓展收敛域> f (n) (z 0 ) Taylor展开步骤 2.定义法：f(z)= ck (z z 0 ) k ;ck ; 有些麻烦，有些不麻烦 n! k 0 3.以收敛形式为核心的间接展开法
零碎知识点
1.实数、虚数、共轭复数 2.复数的表示形式（相互一一对应） （这几个貌似都为考点） 1）定义法： z x yi 2）复平面坐标表示法：有助于平行四边法则的运用 3）三角函数表示法： z r (cos sin i)
4)欧拉公式表示法： z r (cos sin i) re