北京理工大学复变函数与积分变换总结
复变函数与积分变换知识点总复习
解析函数 f (z) 的导数仍为解析函数, 它的 n阶
导数为:
f
(n)
( z0
)
n! 2πi
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2,)
其中C 为在函数 f (z) 的解析区域 D内围绕 z0 的
任何一条正向简单闭曲线, 而且它的内部全含于 D.
8.调和函数与解析函数的关系
调和函数
满足 Laplace
但u iv不是解析函数。
证明：
因为 u x
2x,
2u x 2
2,
u y
2 y,
2u y 2
2,
2u 2u 2 2 0,所以，u是调和函数。 x2 y2
同理 2v 6x2 y 2y3 , 2v 6x2 y 2y3 , x2 (x2 y2 )3 y2 (x2 y2 )3
2v x 2
解：u(x, y) a ln(x2 y2 ),v(x, y) arct an y ,则 x
u 2ax , u 2ay , v y , v x , x x2 y2 y x2 y2 x x2 y2 y x2 y2 在区域x 0内连续，且 u v , v u 在区域x 0上成立时，2a 1, x y x y 即，当a 1 时，函数f (z)在区域x 0内是解析的。
Байду номын сангаас
而 u y2, u 2xy, v 2xy, v x2,在复平面上
x
y
x
y
处处连续，当x y 0时满足C R方程，
故f (z)仅在(0,0)点可导，在复平面上处处不解析。
2）因为f (z) x2 iy,则u(x, y) x2, v(x, y) y,
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数与积分变换重要知识点归纳一、复变函数的基础知识1.复数与复平面：复数由实部和虚部构成，可以用复平面表示，实部表示横轴，虚部表示纵轴。
2.复变函数的定义：复变函数是将复数集映射到复数集的函数。
3.极坐标形式和指数形式：复数可以表示为极坐标形式和指数形式，这两种形式有助于分析复数运算和求解复变函数。
二、复变函数的性质与分析1.连续性与可导性：复变函数在复平面上的连续性与可导性是复变函数分析中重要的性质。
2.柯西-黎曼方程：一个函数在一些区域上可导，当且仅当其满足柯西-黎曼方程。
3.偏导数和全微分：复变函数的偏导数与全微分的概念与实变函数的类似，但存在一些差异。
三、积分变换的基础知识1.定积分：定积分是积分变换的基本操作，用于求解区间上的面积和曲线下的面积等问题。
2.不定积分：不定积分是对函数求原函数的逆过程，通过不定积分可以求出函数的原函数。
四、复积分与柯西公式1.复积分：复积分是对复变函数在一些区域上的积分，可以理解为沿着复平面上的曲线进行的积分运算。
2.柯西公式：柯西公式是复积分的重要定理，它将复变函数与曲线围城的区域之间的关系建立了起来。
3.洛朗级数展开：洛朗级数展开是复积分应用中的重要工具，可以将复变函数展开为无穷级数。
五、拉普拉斯变换与傅立叶变换1.拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是线性时不变系统中信号处理的重要工具，可以将时域函数转换为频域函数。
2.拉普拉斯变换的性质：拉普拉斯变换具有一系列的性质，例如位移定理、尺度定理和频率域乘法等。
3.傅立叶变换：傅立叶变换是将时域函数转换为频域函数的一种积分变换，广泛应用于信号分析和图像处理中。
以上是复变函数与积分变换的重要知识点的归纳总结。
这些知识点在数学及其应用中起到了重要的作用，对于理解和应用相关领域的知识具有重要意义。
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数与积分变换重要知识点归纳复变函数是指自变量和函数值都是复数的函数。
它是数学分析中重要的一个分支，具有广泛的应用。
而积分变换则是一种广泛应用于工程学科中的计算工具，可以将微分方程转化成简单的代数方程，便于求解。
下面是复变函数与积分变换的一些重要知识点的归纳：1.复变函数的运算规则：复变函数的加法、减法、乘法和除法规则与实变函数类似，但要注意复数的有序性和虚部的运算。
2.复变函数的全纯性：全纯性是复变函数的重要性质，全纯函数在其定义域内是无穷次可微的，且它的导函数在其定义域中也是全纯函数。
3.柯西－黎曼方程：复变函数的全纯性与柯西－黎曼方程有密切关系，柯西－黎曼方程是全纯函数必须满足的一个必要条件。
4.柯西－黎曼积分定理：柯西－黎曼积分定理是复变函数在闭合曲线上的积分与曲线内部的全纯函数的值之间的关系。
该定理在计算复分析中的积分问题时非常有用。
6.罗朗级数：罗朗级数是一种表示复变函数解析性质的展开式。
罗朗级数将复变函数分解为一个主项和无穷个奇异项的和，可以方便地用于计算复分析中的积分问题。
7.积分变换：积分变换是一种重要的数学工具，可以将一个函数映射到一个新的函数空间中，并可以将微分方程转化成代数方程。
常见的积分变换包括拉普拉斯变换、傅里叶变换和Z变换等。
8.拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是一种常用的积分变换方法，广泛应用于工程学科中的系统分析和控制理论等领域。
拉普拉斯变换可以将复杂的微分方程转化成简单的代数方程，方便进行求解。
9.傅里叶变换：傅里叶变换是一种重要的积分变换，可以将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的叠加。
傅里叶变换在信号处理、图像处理等领域中有广泛的应用。
10.Z变换：Z变换是一种离散时间域的积分变换，适用于离散系统的分析和设计。
Z变换可以将离散系统的差分方程转化成代数方程，便于求解。
复变函数与积分变换公式汇总情况
实用标准复变函数复习重点 (一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示 1）模：22z x y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx 之间的关系如下：当0,x >arg arctany z x =；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z x ππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算 1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法： 1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数和积分变换重要知识点归纳
.WORD.格式.复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换期末总结
复变函数与积分变换期末总结复变函数与积分变换是数学中重要的课程内容，对于理解和应用数学、物理、工程等领域都具有重要意义。
在这门课程中，我学习了复数、复变函数的性质和运算，并通过积分变换掌握了解析函数的积分和导数。
在期末总结中，我将对复变函数与积分变换的主要内容进行回顾和总结。
首先，我们先来介绍复数和复平面。
复数是由实部和虚部组成的数，通常用z = x + yi的形式表示。
其中，z是复数，x和y分别是实部和虚部。
我们可以将复数表示为在复平面上的点，实部与x坐标对应，虚部与y坐标对应。
复平面上的数可以进行加法、减法、乘法和除法的运算，这些运算保持了复数域的封闭性。
接着，我们讨论复变函数及其性质。
复变函数是将复数映射到复数的函数，即f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)分别是实部和虚部函数。
我们可以用几何矢量的形式表示复变函数，即f(z) =f(x + yi) = u(x, y) + iv(x, y) = ，f(z)，e^(iθ)。
其中，f(z)，表示复变函数的模，θ表示复变函数的幅角。
复变函数的导数和积分是复变函数研究的重要内容。
如果一个函数在其中一点处的导数存在，则称该函数在该点处可导。
在复分析中，复变函数的导数定义为极限的形式，即f'(z) = lim[(f(z+h)-f(z))/h]，其中h是一个趋近于0的复数。
利用导数的定义以及复变函数局部线性的特点，可以推导出复变函数的柯西-黎曼条件。
柯西-黎曼条件表示为∂u/∂x =∂v/∂y，∂v/∂x = -∂u/∂y。
满足柯西-黎曼条件的函数是解析函数。
通过解析函数的导数，我们可以得到解析函数的积分公式。
解析函数的积分只与积分路径有关，与路径的起点和终点无关。
这个性质称为路径独立性。
我们可以利用路径独立性，通过积分公式计算一些复变函数的实际积分。
积分公式包括柯西定理和柯西积分公式等。
柯西定理表示为∮ f(z)dz = 0，其中沿着封闭路径的积分等于0。
复变函数及积分变换重点公式归纳
复变函数及积分变换重点公式归纳复变函数是指定义在复数域上的函数，其自变量和函数值都是复数。
复变函数可以表示为两个实变量的函数，即f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)是实变量的函数。
复变函数的积分变换是指对复变函数进行积分变换，得到新的复变函数。
在复变函数的积分变换中，有一些重要的公式需要归纳，包括：1.度量公式：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其微分形式为dz=dx+idy。
根据度量公式，有dx=\frac{1}{2}(dz+d\bar{z})，dy=\frac{1}{2i}(dz-d\bar{z})。
2.柯西-黎曼方程：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，满足柯西-黎曼方程的充要条件是u_x=v_y和u_y=-v_x。
3.柯西-黎曼积分定理：对于一个闭合曲线C，如果复变函数f(z)在C内解析（即在C内柯西-黎曼方程成立），那么有\oint_C f(z)dz=0。
4.柯西积分公式：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西积分公式为\oint_C \frac{f(z)}{z-a} dz=2\pi i f(a)，其中C是D内包围点a 的闭合曲线。
5.柯西积分公式的推广：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西积分公式的推广形式为\oint_C \frac{f(z)}{(z-a)^n} dz=2\pi i \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}，其中C是D内包围点a的闭合曲线。
6.柯西积分公式的应用：柯西积分公式可以用于计算复变函数的积分，如计算围道上的积分或者在无穷远处的积分等。
7.柯西主值公式：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西主值公式为\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-a} dz=PV\frac{1}{2\pii}\int_C \frac{f(z)}{z-a} dz=PVf(a)+\frac{1}{2}f(a)，其中PV表示柯西主值。
复变函数与积分变换总结_1
复变函数与积分变换总结_1复变函数与积分变换总结_11.复变函数复变函数是定义在复数域上的函数。
和实变函数类似，复变函数也具有实部和虚部。
复变函数有很多重要的性质和定理，以下是其中的一些重要内容：（1）柯西-黎曼方程：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u和v为实变函数，它们分别表示f的实部和虚部。
如果f在局部有定义且可导，则f满足柯西-黎曼方程：∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x。
这个方程是复变函数可导的充分必要条件。
（2）柯西积分定理：柯西积分定理是复变函数理论中的重要定理，它表示若f是一个在区域D上解析的函数，则对于D内任意闭合曲线C，有∮Cf(z)dz=0。
这个定理说明，对于解析函数来说，沿着闭合曲线的积分值为0。
（3）柯西积分公式：柯西积分公式是复变函数理论中的另一个重要定理，它给出了在解析函数上对闭合曲线上的导数的表达式。
设f是D内的解析函数，z0是D内任意一点，且C是以z0为中心的一条简单闭曲线，且完全在D内，则有f(n)(z0)=n!/2πi∮C(f(z)/(z-z0)^(n+1))dz，其中n为正整数，f(n)(z0)表示f的n次导数在z0处的值。
2.积分变换积分变换是将一个函数通过其中一种数学变换转换为另一个函数的过程，常用的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换。
（1）傅里叶变换：傅里叶变换是将一个时间域上的函数转换为频域上的函数。
对于一个函数f(t)，它的傅里叶变换表示为F(ω)，其中ω是频域上的变量。
傅里叶变换具有线性性、位移性、尺度性和频域去掉奇点的特性。
傅里叶变换广泛应用于信号处理、图像处理等领域。
（2）拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是将一个时间域上的函数转换为复平面上的函数。
对于一个函数f(t)，它的拉普拉斯变换表示为F(s)，其中s是复平面上的变量。
拉普拉斯变换具有线性性、位移性、尺度性和频域去掉奇点的特性。
拉普拉斯变换在控制系统、信号处理等领域具有重要应用。
复变函数及积分变换重要知识点归纳
复变函数复习要点(一)复数的观点 1.复数的观点：z x iy ， x, y 是实数 , x Re z , yIm z .i 21.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小 .2.复数的表示 1）模： zx 2 y 2 ；2）幅角 ：在 z 0 时，矢量与 x 轴正向的夹角，记为Arg z （多值函数）；主值 arg z 是位于 ( , ] 中的幅角。
3） arg z 当 x与 arctan y之间的关系以下：xy0, arg z arctan；y 0,arg z arctany当 x 0, x ；yy 0,arg zarctanx4）三角表示 ： z z cosi sin，此中arg z ；注：中间必定是“ + ”号。
5）指数表示 ： z z e i ，此中arg z 。
(二) 复数的运算1.加减法 ：若 z 1 x 1 iy 1, z 2 x 2 iy 2 ，则 z 1 z 2x 1 x 2 i y 1 y 22.乘除法 ：1）若 z 1x 1 iy 1, z 2 x 2 iy 2 ，则z 1z 2 x 1 x 2 y 1 y 2 i x 2 y 1 x 1 y 2 ；z 1x 1 iy 1x 1iy 1 x 2 iy 2x 1x 2 y 1 y 2 y 1 x 2y 2x 1 。
z 2 x 2 iy 2 x 2 iy 2 x 2 iy 2x 22 y 22iy 22x 22）若 z 1 z 1 e i 1 , z 2 z 2 e i 2 , 则2i12； z 1 z 1i 12z 1z 2 z 1 z 2 ez 2z 2 e3.乘幂与方根1） 若 zz (cos i sin )z e i ，则 z n ni sin n )nz (cosnz e in 。
2） 若 zz (cosi sin )z e i，则n12k2k（有 n 个相异的值）nz zcosni sinn( k 0,1,2n 1)（三）复变函数1．复变函数： w f z ，在几何上能够看作把 z 平面上的一个点集 D 变到 w 平面上的一个点集 G 的映照 .2．复初等函数1）指数函数 ： e ze x cos y isin y ，在 z 平面到处可导，到处分析；且 e ze z 。
复变函数与积分变换复习重点总结
复变函数与积分变换复习重点总结一、复变函数基本概念1.复数的定义与运算规则。
复数由实部和虚部构成，在复平面上表示为点，加减乘除等运算遵循分配律。
2.复平面及相关概念。
复平面是复数集合在直角坐标系上的表示，实部和虚部在坐标轴上的投影分别对应x轴和y轴，共轭复数、模、幅角等概念。
3.复变函数的定义与性质。
复变函数表示为z的其中一种函数，具有实变量函数的性质，例如连续性、可微性等。
二、整函数1.整函数的定义与性质。
整函数指复变函数在全复平面都解析，可以用无穷级数表示为幂级数形式。
2.全纯函数与调和函数。
全纯函数是整函数的一种特殊情况，对应于实变量函数的解析函数，调和函数满足拉普拉斯方程。
3.零点与奇点。
零点是整函数取值为0的点，奇点是整函数在一些点上无定义或有定义但不解析的点。
4.极限定理与唯一性定理。
解析函数具有一致性和唯一性，即零点有稠密性，且相同函数在相同域上必然一致。
三、留数定理1.留数的概念与计算方法。
留数是复变函数在奇点处的残余，可以通过留数公式计算得到，留数与曲线积分的关系。
2. 留数定理与积分公式。
留数定理为计算曲线闭合积分提供了便捷的方法，包括留数定理、Cauchy积分公式、Cauchy积分定理等。
3.洛朗展开与留数计算。
洛朗展开将复变函数表示为一部分主要项和无穷级数项的形式，通过计算主要项的留数可以快速得到积分结果。
四、解析函数与幂级数展开1.解析函数的定义与性质。
解析函数是在一些域上解析的复变函数，具有在其定义域上处处可微的特点，可以表示为幂级数形式。
2.幂级数展开与泰勒级数。
将解析函数表示为幂级数展开的形式，其中泰勒级数是幂级数的一种特殊情况，可以用于近似计算。
3.余项估计与收敛半径。
余项估计用于估计幂级数展开的误差范围，收敛半径表示幂级数展开的有效范围。
4.解析函数的四则运算与复合函数。
解析函数具有基本的四则运算和复合运算规则，可通过幂级数展开来计算。
五、积分变换1.积分变换的基本概念与性质。
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。
复变函数与积分变换知识点总结
复变函数与积分变换知识点总结复变函数与积分变换是数学中重要的概念和工具，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
复变函数是指定义在复平面上的函数，具有复数作为自变量和函数值，积分变换是指通过对函数进行积分操作来获得新的函数。
本文将对复变函数与积分变换的相关知识进行总结，包括复变函数的定义与性质、积分变换的定义与性质、常见的复变函数以及常见的积分变换。
一、复变函数的定义与性质1. 复变函数的定义：复变函数是指定义在复平面上的函数，具有复数作为自变量和函数值。
一般来说，复变函数可以写成f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy表示复平面上的点，u(x,y)和v(x,y)分别是实部和虚部函数。
2.复变函数的性质：（1）连续性：复变函数在复平面上连续，当且仅当实部和虚部函数分别在该点连续。
（2）可微性：复变函数在复平面上可微，当且仅当实部和虚部函数具有一阶连续偏导数，并满足复合函数的求导法则。
（3）调和函数：实部和虚部函数都是二阶偏导数连续的函数，若满足拉普拉斯方程△u=0，则称u(x,y)为调和函数。
二、积分变换的定义与性质1. 积分变换的定义：积分变换是一种将函数通过积分操作转换为另一种函数的方法。
一般来说，积分变换可以写成F(s)=∫f(t)e^(-st)dt，其中s为复变量，f(t)为原函数。
2.积分变换的性质：（1）线性性：积分变换具有线性性质，即对于常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有积分变换[a*f(t)+b*g(t)](s)=a*F(s)+b*G(s)。
（2）平移性：若对于函数f(t)，其积分变换为F(s)，则e^(at)*f(t)的积分变换为F(s-a)。
（3）卷积性：若函数f(t)和g(t)的积分变换分别为F(s)和G(s)，则f(t)*g(t)的积分变换为F(s)*G(s)。
三、常见的复变函数1. 复指数函数：复指数函数的表达式为e^(z)=e^(x+iy)=e^x*cos(y)+ie^x*sin(y)，其中x和y分别是实部和虚部。
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2）区域分解性
C
f (z)dz f (z) dz f (z) dz
C1 C2
6
3）取反性
C
f (z) dz
f (z) dz
C
4）估值不等式
| f(x) | M | f (z)dz | | f (z) |dz Ml
C C
4.积分的计算
zz zz 直角坐标方程表示：F (z) F(x, y) F( , ) 2 2i 直角坐标表示 复数的模等式表示 复数角表示 参数表示：F(z)=F(x(t),y(t))=F(z(t));z(t)=x(t)+y(y)i
二级结论： Az z z z D =0....圆； z z D =0....直线； x x0 r cos y y0 r sin z z0 r (cos sin i ) z0 r ei
2.函数的解析性
z n n z n 1
(C ) 0
f (z)
1 (z)
n
z zn
1
1 1 1 zn n
1 z
1 ln z (主值或某一固定分支) z
区域内解析 区域内可导；点的解析 点的可导
（注：33页有问题；不存在绝对值运算，全部都是模运算；高阶运 yi,e e
i
5)向量表示法：模、幅角、全部幅角、幅角主值 3.复数的运算 复数中不会有隐藏解的出现，两边一一对应。 复数的比较大小、加减乘除、交换律、结合律、分配率、共轭运算、乘幂与方根（欧拉 公式） （方根对应图形）
z z1 z2 z1 z2 ; z z1 z2 z1 z2 ; z (
最新大学考试复习资料-复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比拟大小，但其模〔为实数〕有大小.1〕模：z=2〕幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z 〔多值函数〕；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3〕()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；4〕三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+〞号。
5〕指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算：假设111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+± ：1〕假设111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2〕假设121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=1） 假设(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=。
2） 假设(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭〔有n 个相异的值〕〔三〕复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射. 2．复初等函数1〕指数函数：()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z z e e '=。
复变函数与积分变换学习小结
工程数学学习小结在结束了大一两个学期的高等数学学习后，我们迎来了专为工科专业设置的两门工程数学课程：复变函数和积分变换。
刚接触这两门课程时，我并没有做出特别的心理准备，以为它跟其他课程一样，都有高中知识做铺垫，只要认真去体会，就能明白其中的含义。
但后来发现我的“以为”是错误的，尽管两门课程的课本加起来还不及高等数学一册书的厚度，但其中蕴含的知识的难度却非常大。
刚开始学习到复变函数和解析函数的概念时，我还依旧尝试着用原来积累的知识的底子去理解它，虽然感觉很吃力。
就这样一直持续到复变函数学习的结束，感觉自己的大脑里识别的仍然是那些先前学过的旧知识，而对新加入的类似柯西黎曼方程、柯西古萨定理等等的知识仅仅停留在概念表面而已，对它们并没有一个系统的认识，就好像它们和大脑里原来识别的东西有排斥一样，自己始终没有接受这些东西。
在复变函数学的半清不楚的状态下，我们又迎来了积分变换的学习。
完全措手不及。
在课上大容量的信息灌输下我完全没有时间静下心去体会每个公式蕴含的含义以及它们之间的各种联系。
此时此刻，我想到了两个特别贴切的比喻。
复变函数好比是“雪”，而积分变换则好比是“霜”，所以，两门课程前后连在一起，构成了我当时十分尴尬的境地。
不过，好在还有“绝地逢生”这种说法。
当我被折磨得感觉实在无望的时候，却有同学告诉我：“积分变换特别好学，只要把公式背过就OK了。
”虽然他的话的准确性有待考证，但是它却提醒了我，我似乎把问题想复杂了，应该换一种角度去理解这两门课程的真正内涵所在。
翻开两本书的第一页，我看到复变函数和积分变换两门课程所包含的理论方法大都应用在数学、自然科学和工程技术中，是解决很多工程问题的有力工具。
那一刻，我仿佛才明白了赋予它工程数学这个名称的含义。
后来在网络上的查询中我又了解到线性代数也属于工程数学，怪不得学习复变和积分两门课程的困难、疑惑有种似曾相识的感觉，原来这都归因于我对工程数学的理解及适应不够到位。
复变函数与积分变换总结
第二章小结
本章主要介绍了解析函数的概念，给出了一些初等函数的定义，并研究了这些初等函数的性质, 主要知识点有
一、与函数解析有关的问题：要看解析，先看可导
1. 解析与可导的关系：
区域内等价，一点处并不等价，一点处解析是比一点处可导更强的概念
2. 一元实变函数具有的一些求导运算法则对复变函数同样成立，如四则运算、复合运算、反函数求导等
3.形式较简单的函数在一点可导的判断及求导方法
(1). 可导定义
(2). 转化为这些复变函数对应的两个二元实变函数的讨论
a. 判断可导：可微性、C-R 方程
b. 求导：'()u v f z i x x
∂∂=+∂∂ 4. 形式较复杂函数在一点可导判断及求导步骤：
拆解为一些形式较简单的函数；研究这些函数的可导性并求导；利用求导法则得原函数的可导性及导数
二、与初等函数有关的问题及要求
1. 熟记各种初等函数的定义公式、解析性及求导公式
2. 高数中的初等函数与复变函数中初等函数的区别
z e 仅是一个记号、指数函数的周期为2()k i k Z π∈；负实数的对数有意义、
11
,n
n n Lnz nLnz Lnz Lnz ==在复数范围内不再成立；(0)b bLna a e a =≠；sin 1,cos 1z z ≤≤在复数范围内不再成立
三、与三角函数及双曲函数有关的复数方程的求解步骤
1. 根据三角函数及双曲函数的定义将所给方程用iz e 或z e 表示
2. 整理为关于iz e 或z e 的一元二次方程后并配方、开方
3. 利用方程w e z =解的公式得原方程解公式
例 求解方程shz i =。
复变函数与积分变换 苯基
复变函数与积分变换苯基
一、复变函数
复变函数是指定义在复平面上的函数，其自变量和因变量都是复数。
复变函数具有许多特殊的性质，例如解析性、调和性、全纯性等等。
复变函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
复变函数的研究可以追溯到18世纪，欧拉是最早研究复变函数的数学家之一。
19世纪初，高斯和柯西对复变函数的研究做出了重要贡献，他们发现了复变函数的解析性和调和性之间的关系，奠定了复变函数理论的基础。
二、积分变换
积分变换是指将一个函数通过积分运算转换成另一个函数的过程。
常见的积分变换有拉普拉斯变换、傅里叶变换、Z变换等等。
积分变换在信号处理、控制理论、电路分析等领域都有广泛的应用。
积分变换的研究可以追溯到19世纪初，傅里叶是最早研究积分变换的数学家之一。
20世纪初，拉普拉斯对积分变换做出了重要贡献，他发现了拉普拉斯变换的重要性，并将其应用于电路分析和控制理论中。
三、苯基
苯基是指苯分子中的一个苯环上的一个氢原子被取代后形成的基团。
苯基是有机化学中常见的基团之一，它具有稳定性和反应活性，可以参与许多有机反应。
苯基的研究可以追溯到19世纪初，当时化学家们开始研究苯分子的结构和性质。
20世纪初，苯基的化学性质和反应机理得到了进一步的研究，为有机合成和材料科学等领域的发展做出了重要贡献。
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零碎知识点
1.实数、虚数、共轭复数 2.复数的表示形式（相互一一对应） （这几个貌似都为考点） 1）定义法： z x yi 2）复平面坐标表示法：有助于平行四边法则的运用 3）三角函数表示法： z r (cos sin i)
4)欧拉公式表示法： z r (cos sin i) re
zz zz 直角坐标方程表示：F (z) F(x, y) F( , ) 2 2i 直角坐标表示 复数的模等式表示 复数角表示 参数表示：F(z)=F(x(t),y(t))=F(z(t));z(t)=x(t)+y(y)i
二级结论： Az z z z D =0....圆； z z D =0....直线； x x0 r cos y y0 r sin z z0 r (cos sin i ) z0 r ei
零碎知识点
1.复积分基本概念:曲线方向、积分路径、被积函数 2.复积分的存在条件
C
f (z) dz udx udy vdx vdy
C
3.复积分的性质 1）线性性
C
kf (z) dz k f (z)dz; [ f (z) g(z)]dz f (z) g (z)
2)对数函数 w Lnz ln | z | (arg(z) 2n )i
性质：
1 多值函数，因为Arg为多值 <2>单值函数lnz:lnz=ln|z|+arg(z)i,Lnz=lnz+2k i
3）幂函数 z e
aLnz
有助于求解不容易求解的幂方程。
5
4）三角函数与双曲函数
z x yi
e x (cosy sinyi)
性质：
1 | e z | e x (模) 2 Arg (e z ) y 2 ( 0, 1, 2.....) 3 Re(e z ) e x cos y 4 Im(e z ) e x sin y 5 f (z) f(z) 6 为周期函数，周期2 i 7 z 2n i时，e z 1
零碎知识点
1.复变函数的求导 1）求导条件：
u v u v ; x y y x u v v u f (z) i i x x y y
2）求导法则：
4
[f(z) g(z)] f (z) g(z) f (z) f (z) g(z) g(z) f(z) [{f(z) g(z)] f(z) g(z) f (z) g(z) [ ] g (z) g (z) 2 f [g(z)] f (g(z)) g(z) Lnz
参数方程法（基本）：z(t)=x(t)+y(y)i( <t< )--> f (z) dz f [z(t)]z(t) dt(一维积分) C 1.积分路径闭路 2.内部解析 f (z) dz 0 C 复积分路径无关性 区域内部解析 f (z) dz f (z) dz(化为一维时，计算完全一样) C 定义： =C +C1 C2 ... Cn ； n 复闭路定理（沿围线积分的方法） f (z) dz 0; f (z) dz f (z) dz i 1 Ck C 内部存在奇点时，外部路径积分的求取方法 目的只在于分解奇点，形状各异 n! f (z) f (n) (z 0 ) dz n 1 2 i ( z z ) 0 C 下部有且仅有一个奇点，上部在区域内解析 高阶导数定理 当下部奇点过多时，采用复闭路定理将区域分解 目的只在于分解奇点，形状各异 高阶只需要一个奇点，而复闭路可剥离奇点 Cauchy积分定理为高阶导数定理的特例 y 调和函数 已知调和函数u (x, y), 求 v(x, y) : v(x, y) x (x, y ) dx (x, y) dy c x0 y 0 x y0 z在0处的罗朗展开
6.罗朗级数与 Taylor 级数完全一样，除了分解时必须考虑双边
7.罗朗级数求积分： 1）找到收敛域、收敛半径—>展开形式2）写出罗朗展开式得出c（ ） -1 2 ic1 同样可以采用高阶导数公式
2.sin jn与cosjn在复变函数时，尽量分解成e jn
1.lim(z n ) 0, z n 必发散，反之不成立。 n 1.普通法 2.绝对收敛的判定 2.an、b n两项判别法 3.复级数收敛性的判别 3.普通an、b n两项判别法——> ak A0 ; bk B0 ; k 0 k 0 n 4.根据级数收敛的定义： lim zn lim Sn n n i 0
6.简单曲线与光滑曲线
arg(z i) 开集、有界、无界、 0 | z 1 i | 2去心圆、
7.复变函数的概念
4
射线
1）复变函数只是一个映射对应关系，难以画出图像（由于其本质为点点对应而不是数数对 应） 2.matlab 复变函数图像的理解
3
z x yi; w u vi; w(z) w(x, y) u(x, y) v(x, y) i u (z) v(z) i; w(z) u(z) v(z) i
cos z
eiz eiz 2 cos yi chy
sin z
eiz eiz 2i chyi cos y
e z e z e z e z shy 2 2 sin yi ishy i sin y shyi chy
基本三角公式
（注明：乘以变量化为平方，但2.2处两个问题）
z1 z ) 1 zz |2 ; z z 2 Re(z); z z 2ilm( z )
2
4.复变函数的意义 从几何的角度上看，复变函数是一个复平面上的点集到另一个复平面上的一个映射。 在直角坐标系复平面上，自变量记作 z x yi ，函数值记作 w u vi 。那么复变函 数 w f (z) 就等价于两个二元函数 u u(x, y), v v(x, y) ，即一个复变函数的映射，等同 于两个二元实函数的映射。 在物理学或力学中， 可以用复变函数来建立 “平面场” 的数学模型， 例如在流体力学中， 平面流速场的速度分布可用复函数 V＝V（z）＝Vx（x，y）＋i Vy（x，y）来表示，其中， Vx（x，y）和 Vy（x ，y）是坐标轴方向的速度分量（不是偏导数记号） ，V（z）则称为复 速度。 5.复平面上各种曲线方程的表示（即映射中原像的描述）
北京理工大学
----复变函数与积分变换总结
1
第一章：复数和复变函数及其极限
复数在实际工程中有着广泛的应用，其可以表示模和相位，比如，负电压与负电流。 （显而易见， 复数的引入对物理学发展意义重大。 因为， 许多物理量不只有大小， 还有方向） 在数学上，所有的多项式都存在解，所有的多项式都可以分解为一次项式的乘积。
8
zk z 2 z3 z e 1 ... | z | k ! 2! 3! k 0 (1) k sin z z 2 k 1 | z | (2 k 1)! k 0 (1) k 2 k cos z z | z | Taylor常见初等展开式 k 0 (2 k)! 以收敛形式为核心的间接展开 1 z k | z | 1 1 z k 0 (1) k k 1 ln(1 z) z | z | 1 k 1 k 0 a! (1 z) a 1 z k | z | 1 k 1 (a k)!k! 2.利用四则运算、微分积分(*千万不要忘记微分积分*)
我们常用的复平面，就是用来表示一个像的实部虚部关系的，即一个点集。 8.复映射 单叶型函数、函数映射尽量采用参数方程的表达形式 9.整线性映射及其保圆型
平移:w=z a; 旋转:w=ei z; 伸缩 : w | a | z
复数运算尽量用方程形式转化到实数域、
第二章：解析函数
本章为后面研究奠定基础，为复变函数的主要研究对象。
5.Taylor级数（幂级数展开式、唯一性、展开点的解析性） 1.找到收敛形式、收敛半径（奇点到展开点的距离）<有时需要拓展收敛域> f (n) (z 0 ) Taylor展开步骤 2.定义法：f(z)= ck (z z 0 ) k ;ck ; 有些麻烦，有些不麻烦 n! k 0 3.以收敛形式为核心的间接展开法
i
5)向量表示法：模、幅角、全部幅角、幅角主值 3.复数的运算 复数中不会有隐藏解的出现，两边一一对应。 复数的比较大小、加减乘除、交换律、结合律、分配率、共轭运算、乘幂与方根（欧拉 公式） （方根对应图形）
z z1 z2 z1 z2 ; z z1 z2 z1 z2 ; z (
7
复级数
从完美数学角度研究复变函数。进行级数分解有助于：1.进一步研究函数的性质 2. 易于积分运算 3.易于进行估值
零碎知识点
1.级数项的收敛性 : 单边收敛法： lim zn ; 双边收敛法： lim an a0 , lim bn b0 ;
n n n
2.函数的解析性
z n n z n 1
(C ) 0
f (z)
1 (z)
n
z zn
1
1 1 1 zn n
1 z
1 ln z (主值或某一固定分支) z
区域内解析 区域内可导；点的解析 点的可导
（注：33页有问题；不存在绝对值运算，全部都是模运算；高阶运算变化为斜率） 3.初等解析函数 1）指数函数 z x yi,e e
C C C C