高考数学专题几何证明选讲

编写说明：考虑到复习实际，本书将选修4－5不等式选讲与前面第六章不等式、推理与证明整合编写。

选修4－1几何证明选讲

第一节相似三角形的判定及有关性质

1．平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．

推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．

2．平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质

(1)判定定理：

(2)

1．在使用平行线截割定理时易出现对应线段、对应边对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角对应失误． [试一试]

1．如图，F 为▱ABCD 的边AD 延长线上的一点，DF ＝AD ，BF 分别交DC ，AC 于G ，E 两点，EF ＝16，GF ＝12，则BE 的长为________．

解析：由DF ＝AD ，AB ∥CD 知BG ＝GF ＝12，又EF ＝16知EG ＝4，故BE ＝8.

答案：8

2．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，则CD ＝________. 解析：∵∠BAC ＝∠ADC ，∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△DAC ，∴BC AC ＝AC CD ，∴CD ＝AC 2BC ＝

8216＝4.

答案：4

1．判定两个三角形相似的常规思路 (1)先找两对对应角相等；

(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；

(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．

2．借助图形判断三角形相似的方法 (1)有平行线的可围绕平行线找相似；

(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例； (3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边． [练一练]

1.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且AD

DB ＝2，

那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．

解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，

∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝2

3，∴S △ADE S △ABC ＝49， ∴

S △ADE

S 四边形DBCE ＝4

5.

答案：45

2.如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，BC 2＝BD ·AB ，则∠ACB ＝______.

解析：在△ABC 与△CBD 中， 由BC 2＝BD ·AB ， 得

BC BD ＝AB

BC

，且∠B ＝∠B ， 所以△ABC ∽△CBD .则∠ACB ＝∠CDB ＝90°. 答案：90°

平行线分线段成比例定理的应用

，AE 交BD 于

F ，则BF ∶FD ＝________.

解析：∵AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3， ∴BE ∶AD ＝2∶5. ∵AD ∥BC ，

∴BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5.即BF ∶FD ＝25.

答案：2∶5

2.(2013·惠州调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.

解析：由DE ∥BC 得

DE BC ＝AE AC ＝3

5

，∵DE ＝6，∴BC ＝10. 又因为DF ∥AC ，所以BF BC ＝BD AB ＝CE AC ＝2

5，即BF ＝4.

答案：4

3.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，则EF BC ＋FG

AD ＝________.

解析：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ， 故

EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC

＝1. 答案：1 [类题通法]

比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.

相似三角形的判定及性质

[典例] O 内一点E ，

过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P .已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.

[解析] 由PE ∥BC 知，∠A ＝∠C ＝∠PED .在△PDE 和△PEA 中，∠APE ＝∠EPD ，∠A ＝∠PED ，故△PDE ∽△PEA ，则PD PE ＝PE

P A

，于是PE 2＝P A ·PD ＝3×2＝6，所以PE ＝ 6.

[答案]

6

[类题通法]

1．判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．

2．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等． [针对训练]

(2013·佛山质检)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.

解析：由于∠B ＝∠D ，∠AEB ＝∠ACD ，所以△ABE ∽△ADC ，从而得AB AD ＝AE

AC

，解得AE ＝2，故BE ＝AB 2－AE 2＝4 2.

答案：4 2

射影定理的应用

[典例] AD ⊥BC 于D

∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE EC

.

[证明] 由三角形的内角平分线定理得，