大学物理-第二章2-3 动量和动量定理

t
0
P F d t d p p p0
P0
3
力 F 对时间的积累，称为力 F 的冲量(implus)，即 t I F dt
所以 I p p mv mv 0 0
t0
此式表示，在运动过程中，作用于质点的合力 在一段时间内的冲量等于质点动量的增量。这个结 论称为动量定理。 F为恒力时 I = F (t - t 0 ) F 为变力，且作用时间很短时，可用平均值来代替 t t0 F d t F I = F (t - t 0 ) t t0 4
16
三、 动量守恒定律
如果
Fi 0
n i 1
即
n
则
mi vi 恒矢量
i 1
n d ( mi vi ) 0 d t i 1
在外力的矢量和为零的情况下，质点系的总动量
不随时间变化——动量守恒定律。
m v
i 1 n i
n
ix
恒量
恒量
(当 Fix 0 时) (当 Fiy 0 时) (当 Fiz 0 时)

A 跳水运动中游泳池的设计深度
24
F b S v k b S
dv 2 m = kv dt
v
2
F k v
2
m d v= kv d x
m v0 x ln k v
1 1
dv x k = d x v0 v 0 m
3
k 0.251.010 0.08kg m 20kg m
t
此式表明，合外力在某一方向的冲量等于在该方
向上质点系动量的增量。
12
2、质心 实际上是与质点系统质量分布有关的一个代表点， 它的位置在平均意义上代表着质量分布的中心。
质点系的质心 m1r m r m r 2 2 n n rC 1 位置为 m1 m2 mn
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解 根据动量守恒定律得

l

mv (m m0 )u
根据机械能守恒定律得
1 (m m0 )u 2 (m m0 ) gh 2
v
m0
s
由图知 h = l - l 2 - s 2 解以上三个方程的联立方程组得
m m0 v 2 g (l - l 2 - s 2 ) m
23
工程应用
C
ydm ,z dm
C
zdm dm
13
注意: (1)质心的坐标值与坐标系的选取有关； (2)质量分布均匀、形状对称的实物，质心位 于其几何中心处； (3)不太大的实物，质心与重心相重合。 例1 求半径为R、顶角为2的均匀圆弧的质心。 解 选择如图所示的坐标系，圆弧关于x 轴对称 设圆弧的线密度为 ， 取质量元dm = R d 坐标为x=R cos
m1v1 m2 v2 (m1 m2 )u
所以
m1v1 m2 v2 u m1 m2
例1 如图所示的装置称为冲击摆, 可用它来测定子弹 的速度。质量为m0的木块被悬挂在长度为 l的细绳下
端, 一质量为 m的子弹沿水平方向以速率 v射中木块 ,
并停留在其中。木块受到冲击而向斜上方摆动, 当到 达最高位置时 , 木块的水平位移为 s 。试确定子弹的 速度。
18
例2-16 如图所示, 大炮在发射时炮身会发生反冲现
象。设炮身的仰角为θ, 炮弹和炮身的质量分别为m和 M, 炮弹在离开炮口时的速率为v, 若忽略炮身反冲时 与地面的摩擦力忽略, 求炮身的反冲速率。 解 设x轴沿水平向右， 根据动量守恒定律得
v
u
- M u m v cos 0
F m 2 gh t 3.0 10 (2 9.8 1.5) 1.0 10
6 2 3 1/2
y
解得
F
h
N
mg
O
1.63 10 N
根据牛顿第三定律，重锤对工件的平均冲力大小
6 F F 1.63 10 N 方向竖直向下
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二、质点系动量定理和质心运动定理
m
n n drC dri m mi mi vi =mvC dt i 1 dt i 1
d n maC ( mi vi ) dt i 1 n d n Fi ( mi vi ) dt i 1 i 1
Fi m aC
n i 1
n n
mi ri
i 1 n
n
mi
i 1

mi ri
i 1
n
m
n
质点系质心的直 mi xi mi yi mi zi , yC i 1 ,zC i 1 角坐标分量式 xC i 1
m m m
若质量是连续分
布，质心分量式
xC
xdm ,y dm
m 50 kg v0 14m s
1
(10米跳台)
v 2 m s
25
1
x 4.865m
工程应用

B 质心运动定理在爆破中的应用
26
注意：动量是状态量，冲量为过程量。 动量定理可写成 分量式，即
I x m v x m v0 x I y mv y mv0 y I z mv z mv0 z
此式表示，冲量在某个方向的分量等于该方向上
质点动量分量的增量，冲量在任一方向的分量只能
改变自己方向的动量分量，而不能改变与它相垂直 的其他方向的动量分量。
O
dθ
α α
dl
θ
x
14
则圆弧质心坐标为
xC xdm dm
x R d R d

2 R cos d R d

R sin

3、质心运动定理 由质点系动量定理的微分形式得
rC mi ri
i 1 n
6
(4)质点的动量和动能是两个相近易混淆的物理概念。 (5)力作用结果：力作用于物体可能不对物体作功，动能 可能不变，但是必定产生冲量，动量必定改变。 (6) 冲量是力对时间的积累，其产生的效应是物体动量 的改变。
(7) 功是力对空间的积累，其产生的效应是物体动能的改 变。
7
例2-14 质量为m=3.0103kg的重锤从高度为h=1.5m
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质点系质心的运动与这样一个质点的运动具有相 同的规律，该质点的质量等于质点系的总质量，作 用于该质点的力等于作用于质点系的外力矢量和。 称为质心运动定律。 不管物体的质量如何分布，也不管外力作用在物 体的什么位置上，质心的运动就象是物体的全部质
量都集中于此，而且所有外力也都集中作用其上的
一个质点的运动一样。在引入质心的概念之后，对 解决比较复杂的机械运动问题会很便利。
力的冲量等于质点系动量的增量。这个结论称为质 点系动量定理。 其分量式
F d t m v m v t0 ix i ix i i0 x t t0 Fiydt mi viy mi vi0 y . t F d t m v m v t0 iz i iz i i0 z
i , j 1 j i
所以 两边同乘以 dt,积分得
d n Fi ( mi vi ) （微分形式） d t i 1 i 1
n

t
t0
n n Fi d t mi vi mi vi（积分形式） 0 n i 1 i 1 i 1
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上式表明，在一段时间内，作用于质点系的合外
i 1
17
n
其分量式
m v
i 1 n
i 1 n
m v
i 1 i
i 1 n
i
iy
iz
恒量
注意：
(1) 系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化； (2) 在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过 程中，往往可忽略外力，近似动量守恒； (3) 动量守恒可在某一方向上成立； (4) 定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量 和应是同一时刻的动量之和； (5) 动量守恒定律在微观高速范围仍适用； (6) 动量守恒定律只适用于惯性系。
处自由下落打在工件上，经t=1.0102s 时间速度变 为零。若忽略重锤自身的重量，求重锤对工件的平 均冲力。 解 取重锤为研究对象，y 轴 竖直向上。重锤与工件接触时， 动量大小为
y
m 2gh
根据动量定理得
F
h
O
mg
8

t
0
F dt mv2 mv1
即
Ft 0 (m 2gh)
10
质点系以内的别 的质点作用在质 点系内第一个质 点上的力的合力

i2
将以上n 个方程两边分别相加得 n n d n Fi F'ij ( mi vi ) d t i 1 i 1 i , j 1
j i
由于内力成对出现，根据牛顿第三定律得 n F'ij 0
1、质点系动量定理
一个由n个质点组成的质点系，对于各个质点有 n d F1 F'1i m1v1 质点系以外的质 dt i 1
点作用在质点系 内第一个质点上 的力的合力
i 1
n d F2 F'2i m2 v2 dt i 1 n d Fn Fni mn vn dt i 1 in
⑶
⑸
⑹
若 m1 = m2
则有 u1 v2 , u2 v1 （两物体速度交换）
21
若 m2 m1，且v2 0; 则有u1 -v1 , u2 0. (u2 v1 ) 若 m1 m2，且v2 0; 则有u1 v1, u2 2v1