量子力学-变量可分离型的三维定态问题 Ⅲ. 三维各向同性谐振子 Ⅳ. 带电粒子在外电磁场中的薛定谔方程

由于原子很小，在实验室中，产生的 磁场在原子范围内可看作一均匀场（ B ）
A 1 Br 2
(Ax
,
Ay
, Az
)
1 2
(Byz
Bz y,
Bz x
Bxz,
Bx y
Byx)
取 B 方向为 z 方向，则
A 1 (yB, xB,0) 2
i
t
1 2
(Px
q 2
yB)2
(Py
q 2
xB)2
Pz 2
V( r )
的，
EN
(N
3 ) 2
2．每条能级是简并的。简并度
gN
1 2
(N
1)( N
2)
3．当 N 为偶，l 0,2,4N ，
当 N 为奇，l 1,3,5N 。
当 N 为偶
gN
(2l
0,2,N
1)
2
N 2
(N 2
1)
(N 2
1)
1 2
(N
1)(N
2)
当 N 为奇
N1 N1 N1 1
gN (2l 1) 2
1
2
r
2 na0
r
a0
4 02 e2
En
2 2a02n2
e2 80a0n2
l 0,1,2,n 1,
l m l
当
n
给定
nr 0,1,2,3,n 1 l n 1, n 2,0
b. 关于氢原子能级和波函数的讨论 1）氢原子能谱和简并度
En
e2 8a0n2
l 0,1,2,n 1,
l m l
费恩曼定理）
若 Hˆ Hˆ () ( 是 Hˆ 中含有的某一参
量)，其本征态 un () ( 已归一) ，本征值 En () 。于是有
un (),
Hˆ ()
un ()
En ()
例如：求 r1,r2 ，
r 1
z a0n2
1 an2
r2
(2l
2 1)2
ze2 40 a n3
(l
1
1 2)a2
一条能级有 n2 重简并，且宇称可不同.
（ n nr l 1 ）(1)l
2）径向位置概率分布
Pnldr r2dr Rnl 2 Ylm 2d
Rnl 2r2dr
3) 概率密度随角度的变化：
wlm()
Ylm
2
2l 1 4
(l (l
m)! m)!
Plm (cos)
2
l
wlm
ml
m1 m2 m1 m2
的粒子在势场 V(r) 中运动。
P,Er
(R,r,t)
1 (2)3
2
ei(PREPt) /
uEr
(r)eiErt /
pˆ 2
2
V(r
)
uEr
(r)
EruEr
(r)
2. 氢原子：
a. 氢原子的能量本征值和本征函数
相互作用只与质子和电子间的距离
r 有关
2 2
2
e2 4 0r
由于电子空间运动（处于 unlm 态），
氢原子的磁矩是量子化的
Mz Lz
e 2
gl
e 2
称为轨道回磁比。如取 e 2 为单位，gl 1
这是电子轨道运动产生的磁矩特征。 5） rs 的平均值 (如氢原子处于 unlm 态)
s 1 n2
rs
(2s
1)a0
rs1
s 4
[(2l
1)2
s2
]a
2 0
rs2
Effect C. 带电粒子在均匀强磁场中的运动
Ⅲ. 三维各向同性谐振子
A. 本征值和本征函数
取力学量完全集 (Hˆ , Lˆ2, Lˆ z ) 来分类能 级及相应的本征函数。
2
2m
1 r
2 r2
r
Lˆ 2 2r2
unlm
1 2
m2r2unlm
Eunlm
其特解 unlm Rnl Ylm
t 2
1 Pˆ (*Pˆ Pˆ*) q Pˆ (*A)
2
i (*) 1 Pˆ Re(*Pˆ) q Pˆ (* A)
t
ˆj 0 t
这即为带电粒子在外电磁场中的概率守恒
的微分形式。而带电粒子在外电磁场中的
概率通量矢为
ˆj
1
Re
*(Pˆ
qA)
2．规范不变性
在经典电动力学中，知道电磁场具有
从而证得
f t
i 1 (Pˆ qA)2 q V t 2m
Hˆ
即经规范变换
U
ei
qf
，方程的结构形式不
变，物理可观测量保持不变。
B. 正常塞曼效应
当氢原子，类氢离子或碱金属等原子 置于较强的外磁场中，将会发现他们的每 一条标志光谱线分裂为三条，这就是通常 称的简单塞曼效应或正常塞曼效应。（而 原来能级分裂成单数能级（2l+1）条）
u(r)
Eu(r)
变量分离
u(r)
RnlYlm
l (r) r
Ylm
代入得
d2 d2
l
()
l(l 1) 2
l
()
l
()
1 4
l
()
0
其中
(
8E 2
)1
2
r
a0
402 e2
1 2 a0 2E
由 0， ，方程的渐近解的
讨论可令
l ()
l1e
1 2
vl
()
代入方程得
vl [2(l 1) ]vl (l 1 )vl 0
令 则有
2
m
， r
，
2E
，
2 2
(R)
[
2
l(l 2
1) ](R )
0
当 ，方程的渐近形式为
2 2
(R)
2
(R
)
0
由
2 2
(e2 / 2 )
(e2 / 2 )
e2 2 / 2
e2 /2
~
e2 2 / 2
所以，在 有渐近解
R ~ e2 2
当 0 ，方程的渐近形式为
0
其中，r0 1
，r 1
1 n2a0
，r 2
(2l
2 1)n3a 02
E. 类氢离子：类氢离子是核中有 z 个
质子，外面仅有一个电子：如
He , Li , Be
只要 e2 ze2 ，并代
a
4ze02 2，而
mNme mN me
，得类氢离子能量本征值
En
ze2 80an
2
Ⅱ. Hellmann－Feynman定理（海尔曼－
n3
5.6 5.7 5.9 5.12 5.15
第十五讲
第五章 变量可分离型的三维定态问题
Ⅲ. 三维各向同性谐振子
A. 本征值和本征函数
B. 本征值和本征波函数性质的讨论
Ⅳ. 带电粒子在外电磁场中的薛定谔方
程，恒定均匀场中带电粒子运动。
A. 带电粒子在外电磁场中的薛定谔方程 B. 正常塞曼效应 Normal Zeeman
2 2
(R)
l(l 1) 2
(R)
0
所以 0 有渐近解
R ~ l1
令 R l1e2 2v
代入，得方程
v [2(l 1) 22]v ( 2l 3)v 0
令 y 2
则方程为
yv(y)
(l
3) 2
y
v(y)
(2l
3 4
)
v(y)
0
这即为合流超比方程，要在 y＝0 处有正
常解则
v(y) cF( 2l 3 ,l 3 , y)
例 有 l=2 和 l=1 两条能级。在无外 场下发生跃迁的光波频率为
E
由偶极矩跃迁选择定则
1
m mi
mf
0
1
eB 2
eB 2
m 1 m 0 m 1
C. 带电粒子在均匀强磁场中的运动
当磁场足够强时，B2 项不能忽。这时
薛定谔方程为
1 (Pˆ qA)2u Eu 2
qB 2
Lˆ z
V(r) (r)
E(r)
Leabharlann Baidu
考虑碱金属和类氢离子 q e ，V(r)
是有心力场。若无磁场时，
Pˆ 2
2
V(r)
unlm
Enlunlm
则
Enlm
Enl
eB m 2
所以，原来是 (2l+1) 重简并的能级，在外
磁场下分裂为(2l+1)条，各条能级的能量
差为
eB 2
L
L
eB 2
称为拉摩频率
规范不变性
A A A f ,
则 B A A, 而在量子力学中
f t
E A A
t
t
Hˆ 1 (Pˆ qA)2 q(r) V(r) 2
方程为 经变换后
i Hˆ t
Hˆ 1 (Pˆ qA)2 q V(r)
并有
2
i 1 (Pˆ qA)2 q V(r) Hˆ t 2
作为力学量完全集来分类 。
3
Enxnynz
(nx
ny 3
nz
) 2
(N )
2
N nx ny nz
nxnynz unx (x)uny (y)unz (z)
Ⅳ. 带电粒子在外电磁场中的薛定谔方程， 恒定均匀场中带电粒子运动
A. 带电粒子在外电磁场中的薛定谔方程 在经典力学中，当质量为 m 的带有电
J ej 0 （ Plm (cosθ )是实函数）
J
em r sin
unlm
2
概率电荷通量矢仅在 e 方向上有，
且大小对 对称。因此，通过截面 d
的环电流元为
dI
em r sin
unlm
2 d
环电流产生的磁矩
e
Mz SdI 2 m Bm
B
e 2
9.273 1024焦耳/特斯拉，称为玻尔磁子.
若为均匀磁场，B 在 z方向，我们可取
i Pˆ 2 q A P q2 A2 q V
t 2
2
该方程有性质 1. 概率守恒
i* 1 * P2 q * A P q2 *A2 q* *V
t 2
2
i * 1 P2* q A P* q2 A2* q * V*
t 2
2
i (*) 1 (*Pˆ 2 Pˆ 2* ) q A (*P Pˆ* )
4
2
为使在无穷远处 Rnl 0 ，因此要求
截断成多项式，即
2l
3 4
nr
2
E
4nr
2l
3,
EN
(N
3 ) 2
其中 N 2nr l
当给定 N
l N,N 2,1 0
N1
nr 0,1,
2 N
2
N为奇 N为偶 N为奇
N为偶
B. 本征值和本征波函数性质的讨论：
1. 三维各向同性谐振子的能级是等间距
荷为 q 的粒子，在电磁场中的经典哈密顿
量为 H 1 p qA(r,t) 2 q(r,t) 2m
其中 P 为正则动量
因此，在量子力学中，带电粒子在外 电磁场及外场中的薛定谔方程为
i 1 i qA2 q(r,t) V(r)
t 2
取库仓规范 ， A 0 ，得 Pˆ A A Pˆ
1 2
Pˆ 2
qB 2
Lˆ z
q2B2 8
(x2
y2
)
V(r
)
第三项 第二项
qB2 4Lz
~
ea02 4
B 106 B
T
(a0 5.29 1011m,
h 4.1357 1015 Wb e
1T 1Wb m2 )
当在不太强磁场时，可忽第三项。于 是，不含时间的薛定谔方程可表为
P2 2
这时，
Hˆ
Pˆ 2 2M
pˆ 2 2
V(r)
Hˆ R
Hˆ r
[R , Pˆ ] i
Pˆ pˆ 1 pˆ 2 iR
M m1 m2 R m1r1 m2 r2
m1 m2
[x ,pˆ ] i
m1 m2 m1 m2
pˆ
( pˆ 1 m1
pˆ 2 m2
)
ir
r r1 r2
这样，一个体系可看作二部分运动合 成，一是质心运动，它是自由运动；另一 个是相对运动,是一个质量为
第十四讲提要
第五章 变量可分离型的三维定态问题 Ⅰ.有心势 D. 氢原子 E. 类氢离子 Ⅱ. Hellmann－Feynman定理（海尔 曼－费恩曼定理）
D. 氢原子 1. 两体问题的质心运动的分离
质量为 m1和 m2 的两个物体，若相
互作用仅与它们的位置差有关。
V(r1, r2) V(r1 r2)
1,3,N
2
2
2
(N 1)(N 2) 2
所以，宇称为
(1)N
4. 可以求得归一化的波函数
unrlm
3
2l2nr (2l 2nr nr![(2l 1)!!]2
1)!!1
2
(r
)l
e
1 2
2r2
F(
nr
,l
3 2
,2r2 )Ylm
( m)1 2
nr
Nl 2
三维各向同性谐振子也可用 (Hˆ x,Hˆ y ,Hˆ z )
()
l
Yl*m
Ylm
ml
2l 1 4
Pl
(cos0)
2l 1 4
b. 关于氢原子能级和波函数的讨论 4）电流分布和磁矩（电流的概率分布） 根据概率通量矢
j
i 2
(u*nlmunlm
unlmu*nlm )
er
r
e
r
e
1 r sin
概率电荷通量矢为
J ej
其分量 Jr ejr 0 （ Rnl 是实函数）
这是一合流超几何方程
v [ ]v v 0
它有解 F(, ,) 和 1F( 1,2 ,)
F(, ,) 称为合流超几何函数。
unlm(r,,) RnlYlm
2 na0
3
2
(n l)!
1
2n(n
l
1)!
2
(2l
1
1)! nl
en
2
F(nr ,2l
2,n )
Ylm
n
8En 2
只要
U eiF(r,t),
F(r,
t)
qf
这即为量子力学规范不变性。
虽然波函数变了，但所有物理可观测量
保持不变，方程的结构形式不变。
证明：
i eiF(r,t)i q f eiF(r,t)
t
t t
eiF( r ,t
)
1 2m
(Pˆ
qA)2
q
V(r)
q
f t
eiF( r ,t )
eiF(r ,t ) (Pˆ
qA)
Pˆ
qA
(i
)(
i
qf
)
i qf
e
1 2m
Pˆ
qA
(i
)(
i
qf
) 2
i qf
e
qeiF(r,t) q f eiF(r,t) V(r)eiF(r,t) t
1
Pˆ qA qf
2
i
e
qf
qei F( r ,t )
q
f
eiF(r,t) V(r)eiF(r,t)
2m
t
A A A f ,