数学：平面向量的坐标教案北师大版必修[1]

２—４平面向量的坐标

一、教学目标：

１．知识与技能

（１）掌握平面向量正交分解及其坐标表示. （２）会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算. （３）理解用坐标表示的平面向量共线的条件. ２．过程与方法

教材利用正交分解引出向量的坐标，在此基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；最后通过讲解例题，巩固知识结论，培养学生应用能力.

３．情感态度价值观

通过本节内容的学习，使同学们对认识到在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系（即点或向量都可以看作有序实数对的直观形象）；让学生领悟到数形结合的思想；培养学生勇于创新的精神.

二.教学重、难点

重点：平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示. 难点：平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示.

三.学法与教学用具

学法：（１）自主性学习+探究式学习法：

（２）反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机.

四.教学设想

【创设情境】

（回忆）平面向量的基本定理（基底） a

=λ１1e +λ２2e

其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.

【探究新知】

（一）、平面向量的坐标表示

１．在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数（坐标）来表示 思考：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？

取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量j y i x a += 记作：a =（x, y ） 称作向量a

的坐标

如：a =−→−OA =j i 22+=（２, ２） b =−→−OB =j i -2=（２, １）

c =−→

−OC =j i 5-=（１, ５）i =（１, 0） j =（0, １） 0=（0,

0）

由以上例子让学生讨论：

１向量的坐标与什么点的坐标有关？ ２每一平面向量的坐标表示是否唯一的？ ３两个向量相等的条件是？（两个向量坐标相等） [展示投影]思考与交流： 直接由学生讨论回答：

思考１．（１）已知a （x １, y １） b （x ２, y ２） 求a +b ，a

b

的坐标

（２）已知a （x, y ）和实数λ, 求λa

的坐标

解：a +b

=（x １i +y １j ）+（x ２i +y ２j ）=（x １+ x ２）i + （y １+y ２）j 即：a +b

=（x １+ x ２,y １+y ２） 同理：a

b

=（x １x ２, y １y ２）

O

B

C

A

x

y a b

c

λa

=λ（x i +y j ）=λx i +λy j ∴λa

=（λx, λy ）

结论：１.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

２.实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。 思考２.已知),(),,(2211y x B y x A 你觉得−→

−AB 的坐标与A 、B 点的坐标有什么关系？

∵−→

−AB =−→

−OB

−→

−OA =（ x ２, y ２）

（x １,y １）

= （x ２ x １, y ２

y １）

结论：３.一个向量的坐标等于表示此向量的有向

线段终点的坐标减去始点的坐标。

[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）

例１．已知三个力1F （３, ４）, 2F （２, ５）, 3F （x, y ）的合力1F +2F +3F =0

求3F 的坐标.

解：由题设1F +2F +3F =0 得：（３, ４）+ （２, ５）+（x, y ）=（0, 0）

即：⎩⎨⎧=+-=++054023y x ∴⎩

⎨⎧=-=15y x ∴3F （５,１）

例４．已知平面上三点的坐标分别为A （

２, １）, B （

１, ３）, C （３, ４），求点D 的

坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。 解：当平行四边形为ABCD 时，

仿例２得：D １=（２, ２） 当平行四边形为ACDB 时，

仿例２得：D ２=（４, 6） 当平行四边形为DACB 时， 仿例２得：D ３=（6, 0）

O

x

y

B(x 2, y 2)

A(x 1, y 1)

O

y

B A

C D 1

D 2

D 3

【巩固深化，发展思维】

１．若M （３, —２） N （—５, —１） 且 2

1=−→

−MP −→−

MN , 求P 点的坐标；

解：设P （x, y ） 则（x —３, y+２）=

21（—8, １）=（—４, 2

1） ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-21243y x ∴⎪⎩

⎪

⎨⎧-=-=231y x ∴P 点坐标为（—１, —23）

２．若A （0, １）, B （１, ２）, C （３, ４） 则−→

−AB

２−→

−BC =（—３,—３）

３．已知：四点A （５, １）, B （３, ４）, C （１, ３）, D （５, —３） 求证：四边形ABCD 是梯形。

解：∵−→−AB =（—２, ３） −→−DC =（—４, 6） ∴−→−AB =２−→

−DC ∴−→

−AB ∥−→

−DC 且 |−→

−AB |

|−→

−DC | ∴四边形ABCD 是梯形

【探究新知】

[展示投影]思考与交流：

思考：共线向量的条件是有且只有一个实数λ使得．．．．．．．．．．．b =．λ．a

，那么这个条件如何用坐标来表示

呢？

设),(),,(2211y x b y x a ==其中≠

由b a λ=得 ),(),(2211y x y x λ=⎩⎨

⎧==⇒21

2

1y y x x λλ

消去λ：01221=-y x y x ∵≠∴22,y x 中至少有一个不为0

结论：a ∥b

（0≠b ）用坐标表示为01221=-y x y x

注意：

１消去λ时不能两式相除 ∵y １, y ２有可能为0．

２这个条件不能写成

2

2

11x y x y = ∵21,x x 有可能为0．