清华大学第二学期高等数学期末考试模拟试卷及答案

清华大学第二学期期末考试模拟试卷

一．填空题（本题满分30分，共有10道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．

1. 设向量AB 的终点坐标为()7,1,

2-B ，它在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依

次为4、4-和7，则该向量的起点A 的坐标为___________________________．

2. 设a 、b 、c

都是单位向量，且满足0 =++c b a ，则=⋅+⋅+⋅a c c b b a

_____________________________． 3. 设()()xy xy z 2

cos sin +=，则

=∂∂y

z

_____________________________． 4. 设y

x z =，则

=∂∂∂y

x z

2___________________． 5. 某工厂的生产函数是),(K L f Q =，已知⑴. 当20,64==K L 时，

25000=Q ；

（2）当20,64==K L 时，劳力的边际生产率和投资的边际生产率为270='L

f ，350='K f 。如果工厂计划扩大投入到24,69==K L ，则产量的近似增量为_______________

6. 交换积分顺序，有()=⎰⎰

--2

21

,

y y y

dx y x f dy

_____________________________．

7. 设级数

∑∞

=1

n n

u

收敛，且

u u

n n

=∑∞

=1

，则级数()=+∑∞

=+1

1n n n u u __________．

8. -p 级数

∑∞

=1

1

n p n 在p 满足_____________条件下收敛． 9. 微分方程x x y sin +=''的通解为=y ______________________．

10. 对于微分方程x

e

y y y -=+'+''23，利用待定系数法求其特解*

y 时，应设其特

解=*

y ______________________ （只需列出特解形式，不必具体求出系数）． 答案： 1. ()0,3,2-A ；

2. 2

3

-

； 3. ()()()xy xy x xy x sin cos 2cos -； 4. ()x y x

y ln 11

+-；

5. 2750单位；

6.

()()⎰⎰⎰⎰----+1

111

1

1

2

,

,

x x

dy y x f dx

dy y x f dx ；

7. 02u u -； 8. 1>p ； 9.

213

sin 6

1C x C x x ++-； 10. x

Axe

y -=*

．

二．（本题满分8分） 求过点()3,2,10-P ，且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程．

解：

所求直线l 过点()3,2,

10-P ，设其方向向量为s

，

由于l 平行于平面12=+z x 和23=-z y ，所以其方向向量s

同时垂直于向量

{}2,0,11=n 与{}3,1,02-=n ．

因此，方向向量s

可取为 ，

k j i k

j i s n s

++-=-=⨯=323

10201 ．

从而所求直线方程为

1

3

3221-=

-=-+z y x ． 三．（本题满分8分）

设函数⎪⎭

⎫

⎝⎛=x y x z

F x u k

,，其中k 是常数，函数F 具有连续的一阶偏导数．试求z

u z y u y x u x

∂∂+∂∂+∂∂． 解：

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂-22211,,,x y x y x z F x x z x y x z F x x y x

z

F kx x u k

k

k ⎪⎭

⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛=---x y x

z F yx x y x

z F zx x y x z F kx

k k k ,,,22

12

1

⎪⎭⎫

⎝⎛'=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∂∂-x y x z F x x x y x z

F x y u k k ,1,21

2

⎪⎭

⎫ ⎝⎛'=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∂∂-x y x

z F x x x y x

z F x z u k k ,1,11

1 所以， z

u

z y u y x u x

∂∂+∂∂+∂∂

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=---x y x

z F yx x y x z F zx x y x z F kx x k k k ,,,

22

12

1 ⎪⎭

⎫

⎝⎛'⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛'⋅+--x y x

z F x z x y x z

F x

y k k ,,11

21

⎪⎭

⎫

⎝

⎛=x y x z

F kx k

, 四．（本题满分8分）

计算二重积分⎰⎰

≤++=

4

222

2

y x y x

dxdy e I 的值．

解：

作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，则有

⎰⎰⎰⎰==

≤++2

20

4

2

222

2rdr e d dxdy e

I r y x y

x πθ

()12

1242

2

-=⋅=e e

r ππ．

五．（本题满分8分）

某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x 台和y 台，成本函数为

xy y x y x c -+=222),

( （万元）

若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？ 解：

即求成本函数()y x c ,

在条件8=+y x 下的最小值