数学专升本考试试题

高等数学（二）命题预测试卷（二）

一、选择题（本大题共

5个小题，每小题4分，共20分。在每个

小题给出的选

项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）

1．下列函数中，当1→x 时，及无穷小量)1(x -相比是高阶无穷小的是（ ）

A ．)3ln(x -

B ．x x x +-232

C ．)1cos(-x

D ．12-x 2．曲线在),1(+∞内是（ ）

A ．处处单调减小

B ．处处单调增加

C ．具有最大值

D ．具有最小值 3．设)(x f 是可导函数，且1)

()2(lim

000

=-+→h

x f h x f x ，则)(0x f '为（ ）

A ．1

B ．0

C ．2

D ．2

1 4．若，则⎰1

)(dx x f 为（ ）

A ．2

1 B ．2ln 1- C ．1 D ．2ln 5．设等于（ ）

A ．z zxy

B ．1-z xy

C ．1-z y

D ．z y

二、填空题：本大题共

10个小题，10个空，每空4分，共40分，

把答案填在 题中横线上。

6．设2yx e z xy +=，则= ．

7．设x e x f x ln )(+='，则='')3(f ． 8．，则 ．

9．设二重积分的积分区域D 是4122≤+≤y x ，则 ．

10．= ．

11．函数的极小值点为 ． 12．若，则=a ．

13．曲线x y arctan =在横坐标为1点处的切线方程为 ．

14．函数在处的导数值为 ． 15． ．

三、解答题：本大题共13小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤。

16．（本题满分6分）

求函数

⎪⎩⎪⎨⎧

=≠==0

00

1arctan )(x x x

x f 的间断点． 17．（本题满分6分）

计算．

18．（本题满分6分）

计算⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++→x x x x 1

)1(arcsin ln lim ．

19．（本题满分6分）

设函数

⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01

)1ln(0 )(1

x x x xe x f x ，求)(x f '． 20．（本题满分6分）

求函数)sin(y x y +=的二阶导数． 21．（本题满分6分）

求曲线342)(x x x f -=的极值点． 22．（本题满分6分）

计算．

23．（本题满分6分）

若)(x f 的一个原函数为x x ln ，求⎰⋅dx x f x )(． 24．（本题满分6分）

已知，求常数k 的值． 25．（本题满分6分）

求函数5126),(23+-+-=y x x y y x f 的极值． 26．（本题满分10分）

求，其中D 是由曲线2x y =及2y x =所围成的平面区域． 27．（本题满分10分）

设⎰-=a

dx x f x x f 0

2)()(，且常数1-≠a ，求证：．

28．（本题满分10分）

求函数的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以

及渐近线并作出函数的图形．

参考答案

一、选择题

1．B 2．B 3．D 4．D 5．D 二、填空题

6．122+e 7． 8．

1

1

-x 9．π3 10．2

1-e 11．0=x 12．5 13． 14． 15．0 三、解答题

16．解 这是一个分段函数，)(x f 在点0=x 的左极限和右极限都存在．

2

1arctan lim )(lim 00π

-

==-→-→x x f x x

2

1arctan lim )(lim 00π

==+→+→x x f x x

)(lim )(lim 00

x f x f x x +

→-

→≠

故当0→x 时，)(x f 的极限不存在，点0=x 是)(x f 的第一类间断点．

17．解 原式=222

1121

11lim

1

21

lim 2

2

2=

=--+

=--++∞

→+∞→x

x x x x x x x ．

18．解 设x

x x x f 1)1(arcsin )(++=． 由于0=x 是初等函数)(ln

x f 的可去间断点，

故 []

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡++==→→→x x x x x x x f x f 1

00)1(arcsin lim ln )(lim ln )(ln lim

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++=→→x

x x x x 1

00)1(lim arcsin lim ln

1ln )0ln(==+=e e ．

19．解 首先在0≠x 时，分别求出函数各表达式的导数，即 当0>x 时，)1

1(1)()(1

2111x e x

xe

e

xe

x f x x

x

x

+=⋅+='='--

-

-

当01<<-x 时，[]1

1

)1ln()(+=

'+='x x x f ． 然后分别求出在0=x 处函数的左导数和右导数，即

0)1

1(lim )0(1

=+='-+→+x

e f x

x 从而)0()0(

+-'≠'f f ，函数在0=x 处不可导． 所以

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧<+>+='-0 1

10 )1

1()(1x x x x e x f x 20．解 )sin(y x y +=

)cos()cos()1)(cos(y x y y x y y x y +'++='++=' ① [])1()sin()cos()1)(sin(y y x y y x y y y x y '++-'++''+'++-='' []2)1)(sin()cos(1y y x y y x '++-=''+-

)

cos(1)1)(sin(2

y x y y x y +-'++-

='' ②

又由①解得