2.3二维拉普拉斯方程的边值问题

u yy ( u rr r y u r y ) r y u r r yy ( u r r y u y ) y u yy
6
u rr
1 r
0
ur
1 r
2
u 0 ( 0 r r0 ),
u | r r f ( ).
A 0
(4 1) B0 ,
0
其中A 0 , B 0 是任意常数。 只有当 A 0 0 时，函数 才满足周期性条件。因此，当 0 时，问题(41) ( ) B . 的解为 2 0 代入问题(42)中的方程 r R ' ' rR ' R 0 , 再将 R 0 ( r ) C 0 ln r D 0 , 其通解为 其中C 0 , D 0 是任意常数。只有当 C 0 0 时，函数 R 0 才满足有界性条件。 | R ( 0 ) | . 因此，当 0 时，问题(42) 的解为 R 0 ( r ) D 0 . 1 从而得原方程(39)的一个非0解 u ( r , ) B D a .
2
' ' 0 .
由于温度函数 u ( r , ) 是单值的，所以当 从 变到 2 时，u ( r , 2 ) u ( r , ) 成立， 从而有
( 2 ) ( ).
同时，根据问题的物理意义，圆内各点处的温度 应该是有界的，因而 | u ( 0 , ) | R (r ) 应满足条件
2 2
( n 1, 2 , )
解 作变换 r e t 则有
Rr Rt 1 r ,
t ln r
R rr ( R tt 1 r ) 1 r Rt ( 1 r
2
)
1 r
2
R tt
1 r
2
Rt ,
代入原方程有
R tt R t R t n R 0
补充知识点： 欧拉(Euler)方程的一般形式
x y
1 n
n
(n)
P1 x
n 1
y
( n 1 )
Pn 1 xy ' Pn y f ( x ).
其中 P P 是常数， f ( x ) 是已知函数。 问题1： 满足如下欧拉(Euler)方程的函数 R ( r ) 求
r R rr rR r n R 0 ,
5
u rr
1 r
0
ur
1 r
2
u 0 ( 0 r r ), 0
u | r r f ( ).
练习：验证拉普拉斯方程 u xx u yy 系下的形式为
x r cos ,
(3 9) (4 0) 0 在极坐标
u rr
1 r
ur
1 r
2
u 0
(3 0) (3 1) (3 2)
的解为
u ( x, y )

n 1
a

n
y
(a n e
a
bne

n a
y
) sin
n a
x
(37)
其中
a n bn
n b
2 a

f ( x ) sin
n a b
n a
xdx ,
0
( n 1, 2 , ).
g ( x ) sin n a
2
0
2 R

0
sin 2 d
1 2R
特别的，
a 0 2
16
又由于
bn
1
R
1
n

2
sin sin n d
( n 1, 2 , ),
0
则有
bn
2 R
n

2
[cos( 1 n ) cos( 1 n ) ] d
其中C 0 , D 0 是任意常数。
2
2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题
对于某些特殊区域上的拉普拉斯方程边值问题， 也可以应用分离变量法来求解。 一、矩形域上拉普拉斯方程的边值问题 解下列定解问题：
u xx u yy 0 ( 0 x a , 0 y b ), u ( x , 0 ) f ( x ), u ( x , b ) g ( x ), u (0, y ) 0, u (a , y ) 0 .
2
R tt n R 0
2
Rn C ne
nt
Dne
nt
.
再将 t ln r 代入还原得
n
原方程通解为
R n (r ) C n r
Dnr
n
.
( n 1, 2 , )
1
问题2： 满足如下可降阶的二阶微分方程的函数 求
R (r )
r R ' ' rR ' 0
提示： 作极坐标变换
r x y ,
2 2
y r sin ,
u
r

x
y
arctan
y x
.
u x u r rx u x
u y u r ry u y
u xx ( u rr r x u r x ) r x u r r xx ( u r r x u x ) x u xx
( n 1, 2 , ),
(4 4)
13
因此，定解问题(39)(40)
u rr 1 r
0
ur
1 r
2
u 0 ( 0 r r0 ),
u | r r f ( ).
( 0 2 )
的解由级数解(43)给出
u (r , ) 1 2 a0
(3 9) (4 0)
设方程(39)的解为
u ( r , ) R ( r ) ( ),
(3 9) (4 0)
代入方程(39)得
R '' 1 r R ' 1 r
2
R '' 0
分离变量则有
2
r R ' ' rR ' R

''

其中比值 为常数。
7
由此可得两个常微分方程
r R ' ' rR ' R 0 ,
(3 0) (3 1) (3 2)
3
定解问题
u xx u yy 0 ( 0 x a , 0 y b ), u ( x , 0 ) f ( x ), u ( x , b ) g ( x ), u (0, y ) 0, u (a , y ) 0 .
u (r , ) 1 2 a0

n 1

( a n cos n b n sin n ) r .
n
为了确定系数a 得 1
u ( r0 , ) 2
n
, b n ,由边界条件(40)即 u | r r0 f ( ).
(4 3)
a0

n 1

( a n cos n b n sin n ) r 0 f ( ) ,
an
1
R
n

n
2
sin cos n d
( n 0 , 1, 2 , ),
0
则有
an
1 2 R

1


2
[sin( 1 n ) sin( 1 n ) ] d
0
1 R
n
2 n 1
2
,
( n 1)
a1
R
1

2
sin cos d
n

n 1

( a n cos n b n sin n ) r .
其中系数
a n , b n , 由式(44)确定
(4 3)
an
1
r0
1
n


0
2
f ( ) cos n d
0
( n 0 , 1, 2 , ),
bn
2
r0
n
f ( ) sin n d
, )
1 2
a0

n 1

( a n cos n b n sin n ) r 0 f ( ) ,
n
( 0 2 ),
由傅里叶级数理论， 2 知 a r f ( ) cos
n n 0
2

2
nd
0 0
0 0 0
2
0
10
' ' 0 .
( 2 ) ( ).
3.当 0 时， 方程的通解为
( ) A cos
(4 1)
,
B sin
( n 1, 2 , ),
其中 A , B 是任意常数。 由于 (
n
2
2 ) ( ),
n
的一系列特解
u n ( r , ) ( a n cos n b n sin n ) r
n n n n n n
( n 1, 2 , ),
其中 a A C , b B C 是任意常数。 由于方程(39)是线性齐次的，利用叠加原理，可 得到该方程满足单值性和有界性的级数解为

成立，由此知
| R ( 0 ) | .
8
这样，我们就得到两个常微分方程的定解问题
' ' 0 .
( 2 ) ( ).
(4 1)
(4 | R ( 0 ) | . 2) 我们先从问题(41)入手，对 分三种情形讨论： 1.当 0 时，方程的通解为
( ) Ae

r R ' ' rR ' R 0 ,
2
Be

,
其中A , B 是任意常数。 由于这样的函数不满足周 期 性条件，因此 不能取负值。
9
' ' 0 .
( 2 ) ( ).
2.当 0 时， 方程的通解为 0 ( )
4
ane
a
bne

2 a

a
xdx ,
0
二、圆域上拉普拉斯方程的边值问题 考察一半径为 r0 的圆形模板稳恒状态下的温 度 分布问题，设板的上下两面绝热，圆周边界上的 温度已知为 f ( ) ( 0 2 ), 且 f ( 0 ) f ( 2 ). 试求稳恒状态下的温度分布规律。 由于稳恒状态下的温度满足拉普拉斯，并且区 域是圆形的， 为了应用分离变量法，拉普拉斯方程 采用极坐标形式更方便。 我们用 u ( r , ) 来表示圆形薄板内 ( r , ) 点处的温度 则所述问题可以表示成下列定解问题：
2
n n n n n
再将 n
0,
为了保证 | R ( 0 ) |
,
只有取 D n
n
0 ( n 1, 2 , ),
所以
11
R n (r ) C n r .
( n 1, 2 , ),
2 n ( n 1, 2 , ), 那么，当
时，我们得到方程(39)
2
解 设 R' P(r ) 代入原方程有
1 P dP 1 r dr
2
R'' P'(r )
r P ' ( r ) rP ( r ) 0
ln P ln r C
P (r )
C r
因此有
R'(r )
C r
原方程通解为
R ( r ) C 0 ln r D 0 ,
( n 1, 2 , ),
(4 4)
14
例1
求下列问题的解
u rr 1 r ur 1 r
2
u 0 ( 0 r R ),
u ( R , ) sin .
解
利用公式
an
bn
1
r0
1
n


0
2
f ( ) cos n d
0
( n 0 , 1, 2 , ),
( n 0 , 1, 2 , ),
0
b n r0
n
2 2
1

n
2
f ( ) sin n d
0
( n 1, 2 , ),
an
r0
1


0
2
f ( ) cos n d
0
( n 0 , 1, 2 , ),
bn
2
r0
n
f ( ) sin n d
此时问题(41)中的方程的解可表示成
n ( ) A n cos n B n sin n .
代入问题(42)中的方程 r 2 R ' ' rR ' R 2 2 r R ' ' rR ' n R 0 , 得欧拉(Euler)方程 R (r ) C r D r . 其通解为
2
r0
n
f ( ) sin n d
( n 1, 2 , ),
( n 0 , 1, 2 , ),
(4 4)
an
1
R
1
n


0
2
sin cos n d
0
bn
2
R
n
sin sin n d
( n 1, 2 , ),
15
由于