概率论与数理统计课件 2.2第二章 一维随机变量及其分布
概率论与数理统计课件：随机变量及其分布
随机变量及其分布
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§2.2 离散型随机变量及其分布律
定义 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk , k = 1, 2,
X 取各个可能值的概率,即事件{ X xk } 的概率，为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
称此为离散型随机变量 X 的分布律.
随机变量及其分布
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定义2.1 设随机试验E, 其样本空间S, 若对样本
空间每一个样本点e, 都有唯一一个实数X(e)与之对
应，那么就把这个定义域为S的单值实值函数X=X(e),
称为随机变量。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z 或希腊字母 ξ,η等表示.
而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.
量方面，如，投掷一枚均匀骰子，我们观察出现的点
数。
记X=“出现的点数”
则X的可能取1, 2, …, 6中任一个数，可见X是变量；
又X取那个值不能事先确定，故此X的取值又带有随机
性.
有了随机变量，有关事件的表示也方便了，如
{X=2}, {X≤2}, ……
随机变量及其分布
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这样的例子还有很多. 又如，研究手机的使用寿命
或写成
随机变量及其分布
5
P( X k )
6
k 1
1
, k 1, 2,
6
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常见离散型随机变量
（一）“0-1”分布
设随机变量 X 只可能取 0 和1 两个值，它的分布律
为
k
P X k p（
1 p)1k k 0,1
(0 p 1)
概率论与数理统计图文课件最新版-第2章-随机变量及其分布
函数 f ( x)，使得对于任意实数 x 有:
x
F ( x) f (t)dt ( P( X x))
则称 X 为连续型变量，f ( x)为 X 的概率密度函数 注 ▲ 连续型随机变量与离散型随机变量的区别
离散型： P( X xk ) 0 连续型：P( X xk ) 0
机
多，而且还不能一 一列
变 连续型随机变量 量
举，而是充满一个区间
例如，“电视机的寿命”，实际中
常 遇到的“测量误差”等等.
概率统计
第二章知识结构图
随机变量
离散型随 机变量
连续型随 机变量
分布律
分布 函数
函数的 分布
概率 密度
分布 函数
函数的 分布
定义 常用分布
概率统计
定义 常用分布
第四节 连续型随机变量及其概率密度
0 x 0
则称 X 为服从参数 的指数分布.
概率统计
二 . 连续型随机变量的分布函数
定义: 若定义在 (, )上的可积函数 f ( x)
满足： (1). f ( x) 0
(2). f ( x)dx 1
f (x)确定了 分布函数F(x)，
则称 F ( x)
x
f ( x)dx
f (x)是F(x)的 导函数， F(x)是f (x)的一
(2) 某段时间内候车室的旅客数目为 X , 则它也是一个随机变量，它可以取 0 及一切 自然数。X 是定义在样本空间，则：
S e {人数 人数 0}
X X (e)的值域RX [0, )
概率统计
二. 随机变量的分类 离散型随机变量
概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布
6 6 X ~ ( ), 且 P X 0 e 即 e e 6
P { X 2 } 1 P { X 2 } 1 P { X 0 } P { X 1 }
6 6 1 e 6 e 0 . 9826
A={X=1}，B={X=2}，C={X=0}
② 设Y为进行5次试验中成功的次数，则 D={Y=1}，F={Y1},G={Y3}
随机变量的分类
离散型随机变量 随机变量 连续型 非离散型 奇异型（混合型）
§2 离散型随机变量的分布律(P27)
定义 若随机变量X取值x1, x2, …, xn, … ，且取这些 值的概率依次为p1, p2, …, pn, …, 则称 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 为X的分布律。 可表为 X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )， 或…
k k n
k 0 , 1 , , n
若以X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数， P(A)=p, 则称X服从参数为n,p的二项分布。 记作X~b(n,p), 其分布律为：
P { X k } p ( 1 p ), ( k 0 , 1 ... n ) C n
kk
n k
例2 掷一颗骰子10次，求（1）双数点出现6次的概率？ （2）“3”点出现两次的概率？ 解：(1)设X表出现双数点的次数，则X~b(10，1/2） 6 6 10 6 6 10 1 1 1 所求概率： P ( X 6 ) C ( ) ( ) C ( ) 10 10 2 2 2 (2) 设Y表出现“3”点的次数，则Y~b(10，1/6） 2 1258 所求概率为： P ( Y 2 ) C () () 10
概率论与数理统计--第二章
X
1, 0,
w 合格品； w 不合格品.
例2 一射手对目标进行射击，击中目标记为1分， 未中目标记为0分.设X表示该射手在一次射击中的得 分，它是一个随机变量，可以表示为
1, w 击中； X 0, w 未中.
例3 观察一个电话交换台在一段时间（0，T）内接 到的呼叫次数．如果用X表示呼叫次数， 那么 {X k} (k 0,1,2, )表示一随机事件， 显然 {X k} (k 0,1,2, )也表示一随机事件．
第二章 一维随机变量及其分布
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
随机变量 离散型随机变量 随机变量的分布函数 连续型随机变量及其概率密度 随机变量的函数的分布
第一节 随机变量
定义 设X ＝X (w )是定义在样本空间W上的实值函
数，称X ＝X (w )为随机变量.
随机变量通常用大写字母X，Y，Z，W，...等表示．
第二节 离散型随机变量
定义 如果随机变量的全部可能取的值只有有限个 或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机 变量.
一般地，设离散型随机变量 X 所有可能取的值为
xk (k 1,2, )
X 取各个可能值的概率，即事件{X xk }, 2,L 称（1）式为离散型随机变量X的分布律 .
与第二台机器发生故障的概率分别为0.1，0.2，以X 表示系统中发生故障的机器数，求X 的分布律．
解 设Ai表示事件“第i台机器发生故障”，i 1,2
P{X 0} P( A1 A2 ) 0.9 0.8 0.72
P{X 1} P(A1 A2 ) P(A1A2 ) 0.1 0.8 0.9 0.2 0.26 P{X 2} P(A1A2 ) 0.1 0.2＝0.02
《概率论与数理统计》第二章 随机变量及其分布
两点分布或（0-1）分布
对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个
元素，即Ω={ω1,ω2}，我们总能在Ω上定义一个服从 (0-1)分布的随机变量
来描述这个随机X试验X的(结)果 。10,,当当
1, 2.
例如，对新生婴儿的性别进行登记，检查产品的质量 是否合格，某车间的电力消耗是否超过负荷以及前面多 次讨论过的“抛硬币”试验等都可以用(0-1)分布的随 机变量来描述。(0-1)分布是经常遇到的一种分布。
设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是 P{X＝k}＝pk(1-p)1-k，k＝0，1 (0<p<1)， 则称X服从(0-1)分布或两点分布。
(0-1)分布的分布律也可写成
X
0
1
pk
1-p
p
二项分布与伯努利试验
考虑n重伯努里试验中，事件A恰出现k次的概率。 以X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，X是一个 随机变量，我们来求它的分布律。X所有可能取的值为o， 1，2，…，n．由于各次试验是相互独立的，故在n次试 验中，事件A发生k次的概率为
X
x1
x2
…
xn
…
pk
p1
p2
…
pn
…
在离散型随机变量的概率分布中，事件 “X=x1”， “X=x2”....“X=xk”,...构成一个完备事件 组。因此，上述概率分布具有以下两个性质：
(1) pk 0, k 1, 2,L
(2) pk 1
k
满足上两式的任意一组数 pk , k 1, 2,L 都可以成为 离散型随机变量的概率分布。对于集合xk , k 1, 2,L
P{ X
k}
20 k
(0.2)k
概率论与数理统计第2章随机变量及其分布
1 4
)0
(
3 4
)10
C110
(
1 4
)(
3 4
)9
0.756.
(2)因为
P{X
6}
C160
(
1)6 4
(
3 4
)4
0.016
,
即单靠猜测答对 6 道题的可能性是 0.016,概率很小,所
以由实际推断原理可推测,此学生是有答题能力的.
二项分布 b(n, p) 和 (0 1) 分布 b(1, p ) 还有一层密切关
P{X 4} P(A1 A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.48 ,
P{X 6} P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.08 , P{X 10} P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.32 , 即 X 的分布律为
X 0 4 6 10
P 0.12 0.48 0.08 0.32
点 e, X 都有一个数与之对应. X 是定义在样本空间 S 上的
一个实值单值函数,它的定义域是样本空间 S ,值域是实数
集合 {0,1,2},使用函数记号将 X写成
0, e TT , X＝X (e) 1, e HT 或TH ,
2, e HH.
▪
例2.2 测试灯泡的寿命.
▪
样本空间是 S {t | t 0}.每一个灯泡的实际使用寿命可
(2)若一人答对 6 道题,则推测他是猜对的还是有答 题能力.
解 设 X 表示该学生靠猜测答对的题数,则
X
~
b(10,
1) 4
.
(1) X 的分布律为
P{X
k}
C1k0
(
1)k 4
(
3 4
概率论与数理统计教程华东师大茆诗松版第二章PPT课件
7/28/2020
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第二章 随机变量及其分布
分布列的基本性质
(1) pi 0， (非负性)
(2) pi 1. (正则性)
i
第10页
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第二章 随机变量及其分布
注 意 点 (1)
第11页
求离散随机变量的分布列应注意： (1) 确定随机变量的所有可能取值; (2) 计算每个取值点的概率.
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第二章 随机变量及其分布
第5页
注 意 点 (1)
(1) 随机变量X()是样本点的函数， 其定义域为 ，其值域为R=(，) 若 X 表示掷一颗骰子出现的点数， 则 {X=1.5} 是不可能事件.
(2) 若 X 为随机变量，则 {X = k} 、 {a < X b} 、……
均为随机事件.
0,
F
(
x)
0 .4 ,
0
.8
,
1 ,
x0 0 x1 1 x2 2 x
解：
X0 1 2 P 0.4 0.4 0.2
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第二章 随机变量及其分布
第15页
2.1.4 连续随机变量的密度函数
➢ 连续随机变量X的可能取值充满某个区间 (a, b).
➢ 因为对连续随机变量X，有P(X=x)=0， 所以无法仿离散随机变量用 P(X=x) 来描述连续 随机变量X的分布.
例2.1.1 已知 X 的分布列如下：
第13页
X0 1 2 P 1/3 1/6 1/2
求 X 的分布函数.
解：
0,
F
(
x)
1 / 1 /
3, 2,
《概率论与数理统计教程》课件
2-7
随机变量的分类
仅可能取得有限个或 可数无穷多个数值
离散型随机变量 随机变量 连续型随机变量
2-8
§2.2 离散随机变量
一. 概率分布
二. 概率函数及其性质 三. 几何分布 四. 频率分布表
2-9
概率分布
定义 随机变量X一切可能值为x1, x2, ... , xn, ... , 而取 得这些值的概率分别为p(x1), p(x2), ... , p(xn) , ... , 称为离散型随机变量的概率分布或分布律。 可以列出概率分布表如下：
1. 当一批产品总数 N很大，而抽取样品的个 数 n 远小于 N 时，可用二项分布来近似地 计算超几何分布的概率，即 m n m C M C N M M m m n m Cn p q , p n N CN
2. 实际应用中，当n/N10%时，不放回抽样（样品 中的次品数服从超几何分布）与放回抽样（样品 中的次品数服从二项分布）区别不大。
2 - 13
课堂练习
1. P{ X i } 2a i ,i 1,2 , , 求常数a. 2. 下面给出的数列能否成为某一随机变量的 分布列: 0.1,0.2,0.3,0.4.
3. 设随机变量X的概率分布为
X P 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 a
求:(1)a的值; (2)P(X≤1); (3)P(1≤X<3) 4. 某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每 次击中目标的概率是0.6,求击中目标次数X的概 2 - 14 率分布.
P(X=n)=qn-1p, (n=1,2,...)
几何分布
2 - 15
频率分布表
频率分布表
X
f n ( xi )
x1
概率论与数理统计 第2章
§2.2 一维离散型随机变量及其分布律
一、一维离散型随机变量的分布律
定义：设 ～离散型r.v.，它可能取的数值是 x1,x2,…,xn,…，又设
P xi pi i 1,2,, n,
则称下表
P
x1 p1
x2 p2
… …
xk pk
… …
为离散型r.v.的分布律或概率分布。
k
k!
e
e
k!
k 0
k
e e 1
13
⑶ 泊松分布亦是一个重要分布，它是一种散
点子分布，如布匹上的瑕疵点数；放射粒子
数；一段时间内的电话呼唤数及侯车人数等都
服从泊松分布。 例7：设书的某页中印刷错误的个数 服从 0.1 的泊松分布，试求该页中有印刷错误的概率。 例8：设 服从参数为 的泊松分布，已知
1
2、具体而言： 变量的值取决于试验的结果～随机变量，用 希腊字母 , , 表示。 以前所学的变量～普通变量，用英文字母 x,y,z,a,b,c等表示。 随机变量所取的值用普通变量表示。 3、～随机变量；a～数；
a 或 a ～随机事件，或发生或不发生； P a ～它的概率。
3
4、按取值的不同，随机变量可分为两类： ⑴ 离散型随机变量～它可能取的值是有限数 组和可数无穷多个值。 ⑵ 连续型随机变量～它可以在一个区间或数 轴上任意取值。 二、二维随机变量 在某些实际问题中，需用两个或两个以上的随 机变量来描述随机试验的结果。
4
定义：设某个随机试验的基本事件空间为
， 和 是定义在该基本事
19
§2.3 二维离散型随机变量及其分布律 一、联合分布律与边缘分布律 定义：设二维r.v. , 只能取有限对或者最多
概率论与数理统计-第二章-随机变量及其分布函数ppt课件
表格: X
x1 x2
pk
p1 p2
概率分布图：
1P
xn
pn
0.5
x4 x3
x1
x2
X
.
由概率的性质易知离散型随机变量的分布列
pk
满足下列特征性质:
k 1
① pk 0(k 1,2,) [非负性]
②
pk 1 [规范性]用于确定待定参数
k 1
③ F( x) P( X x) P(X xi ). xi x
1. 2
.
【例2】设随机变量X的分布函数为
aex b, x 0
F(x)
0,
x0
解： 因为 F(x) 在 x=0 点右连续
求: 常数 a 和 b。
所以 lim F ( x) lim (ae x b) a b 0
x0
x0
又因为 F () lim (ae x b) b 1 x
1、两点分布 或（0 - 1）分布
two-point distribution
定义1 设离散型随机变量X的分布列为
X0 1 pk 1 p p
其中 0<p<1
则称 X 服从（0 - 1）分布，记作 X ～（0 - 1）分布
F(x)
（0 - 1）分布的分布函数
0 , x0 F ( x) 1 p, 0 x 1
X = “三次试验中 A 发生的次数”，
{ X 2} A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 P{X 2} P(A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 )
P(A1A2 A3 ) P(A1A2 A3 ) P(A1A2A3 ) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2 )P(A3 ) C32 p2(1 p)32
概率论与数理统计PDF版课件2-1
第二章随机变量及其分布§2.1 随机变量§2.2 离散型随机变量§2.3 连续型随机变量§2.4 随机变量函数的分布一、随机变量的概念§2.1 随机变量观察下列随机试验：例1(见教材P44){123456},,,,,.Ω=试验1掷一个骰子，观察其出现的点数.记掷出的点数为X .样本空间注X 的取值依随机试验的结果而确定，这个结果是数.分析§2.1 随机变量观察下列随机试验：例1(见教材P44)试验2 掷一枚均匀的硬币，观察是否出现正面.样本空间H 表示出现正面，T 表示出现{H T},Ω=，1,0X ⎧=⎨⎩出现正面，，出现反面.注X 的取值不是数，它依随机试验的结果而确定，具有随机性.反面. 令分析1. 随机变量的定义2) 随机变量通常用大写英文字母X 、Y 、Z 等表示, 小写字母x,y,z 等表示随机变量所取的值.注1) 随机变量实质是一个定义在样本空间Ω上，取值为实数的函数；设Ω是随机试验E 的样本空间,如果对于∀ω∈Ω,都有定义1唯一确定的实数X (ω)与之对应,则称X (ω)为随机变量，简记为X .2.用随机变量表示随机事件例2(见教材P45)分析掷一枚均匀的硬币,观察是否出现正面.X 是随机变量,用H 表示出现正面,T 表示出现反面.样本空间为记{H T},Ω=，1,0X ⎧=⎨⎩出现正面，，出现反面.出现反面,{0}X =表示出现正面.{1}X =表示例3 (见教材P45)分析掷一枚均匀的硬币两次,观察出现正面、用H表示出现正面,T表示出现反面.样本空间为：{HH,HT,TH,TT}Ω=记X为出现正面的次数,则X是一个随机变量,{0}X=={TT}，{1}X=={HT,TH}，{2}X=={TT}反面情况.例4(见教材P45)分析掷一个骰子, 观察其出现的点数.样本空间为：{1,2,3,456}Ω=，，，记掷出的点数为X,则X是一个随机变量,而且(),Xωω={1}X=表示事件“掷出的点数是1点”,即{ω| X(ω)= 1}={1}. {4}X≤表示事件“掷出的点数不超过4”,即{ω| 1≤X(ω)≤4}={1,2,3,4}.例5(见教材P45)分析测试某灯泡的使用寿命(单位：小时).样本空间为：{0}t |t Ω=≥，记灯泡的使用寿命为X ,则X 是一个随机变量,(),0,X t t t =≥{1000}X >表示事件“该灯泡的使用寿命超过1000小时”;{100400}X ≤≤表示事件“该灯泡的使用寿命大于等于100小时但不超过400小时”,{100≤X ≤400}={t |100≤X (t )≤400}=[100，400].二、分布函数设X 为随机变量,则称定义在全体实数上的函数为X 的分布函数.注(1){X ≤x }是事件{ω| X (ω)≤x }的简写形式；1. 分布函数的定义定义2F (x ) =P {X ≤x }, -∞< x < +∞,分布函数:F (x ) =P {X ≤x }, -∞< x < +∞xX ≤]0x 122121{}{}{}()()P x X x P X x P X x F x F x <≤=≤-≤=-x 1x 2xX o 注(3)若把x 看作数轴上的点，则随机变量X 的分布函数F (x )的函数值就是X 的可能取值落在区间(-∞, x ]上的概率.第二章随机变量及其分布§2.1随机变量(1) 0≤F (x ) ≤1;(2) 单调不减，即对于任何x 1<x 2,有F (x 1) ≤F (x 2);(3) 右连续,对任何实数x ,有F (x+0)=F (x );2. 分布函数的性质(4)()lim ()0,()lim () 1.x x F F x F F x →-∞→+∞-∞==+∞== 注若一个函数F (x )满足上面的4条性质,则函数F (x )一定可以作为某一个随机变量的分布函数.因此,这4条性质可作为判别某个函数是否为分布函数的充要条件.第二章随机变量及其分布§2.1随机变量若F 1(x ),F 2(x ),…,F n (x )均是分布函数,下列函数是否为分布函数?1(1)()n i i i a F x =∑=a 1F 1(x )+a 2F 2(x )+…+a n F n (x )；1(1,n i i i a a ==∑≥0,i =1,2,…,n )1(2)()n ii F x =∏=F 1(x )F 2(x )…F n (x );拓展问题1(3)1[1()].ni i F x =--∏详细分析见75页“重要补存及扩展问题”中一.例6(见教材P46)分析下列函数中,可以作为随机变量分布函数的是( ).(A) F (x )=21.1x+(B) F (x )=3142π+arctan x.(C) F (x )=0,0,,0.1x x x x ≤⎧⎪⎨>⎪+⎩(D) F (x )=2πarctan x+1.(A)中，F (+∞)=0≠1；(B)中，F (-∞)=12≠0；(D)中，F (+∞)=2≠1；可验证(C)满足分布函数的4条性质.C(1) P {X ≤b }=F (b ); P {a <X ≤b }=F (b )-F (a );(2) P {a ≤X ≤b }=F (b )-F (a )+P {X =a};3. 用分布函数表示相关事件的概率设X 的分布函数为F (x )，则(3) P {X <b }=F (b -0),其中; (0)lim ()x bF b F x -→-=(4) P {a ≤X <b }=F (b -0)-F (a -0),P {a < X <b }=F (b -0)-F (a );(5) P {X =b }=F (b )-F (b -0).例7 (见教材P47)解已知随机变量X 的分布函数为,0()0,0λx A Be x F x x -⎧+>=⎨≤⎩，，其中λ>0. 求(1) A , B ；(2) P {−1< x < 1}.(1) 由1=F (+∞)= =A ,以及分布函数右连续有lim ()λx x A Be -→+∞+00lim ()lim ()λx x x F x A Be ++-→→=+=A +B =F (0)=0，故A =1,B =−1.(2) P {−1< x < 1} =F (1−0) − F (−1) +λA Be -=. 1.λe -=-第二章随机变量及其分布§2.1随机变量注求分布函数F(x)中的未知参数一般可利用其右连续性以及F(-∞)=0,F(+∞)=1.拓展问题分布函数能唯一确定随机变量?详细分析见75页“重要补存及扩展问题”中的一.第二章随机变量及其分布§2.1随机变量离散型随机变量随机变量§2.2连续型随机变量§2.3非离散型也非连续型随机变量详见75页“重要补存及扩展问题”中的3。
概率论与数理统计ppt课件
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
*
例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从袋中不放回摸两球， 记A={恰是一红一黄}，求P(A)． 解：
（注：当L>m或L<0时，记 ）
例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件， 记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)． 解：
*
第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
*
第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验 第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归
解： 设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3 A={ 这人通过考核 }，
亦可：
*
例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。
利用乘法公式
与 不相容
（1）若为放回抽样：
（2）若为不放回抽样：
解： 设 Ai={第i次取到红牌}，i=1,2 B={取2张恰是一红一黑}
①
②
①
1 2 N
①
②
1 2 N
……
东华大学《概率论与数理统计》课件 第二章 一维随机变量
P(
=
xi
)，得
0
F
(
x
)
=
0.5 0.5 + 1− 2q
0.5 + 1 − 2q + q2
, x. −1 , x [ −1, 0 ) , x [ −1, 0 ) , x [1, + )
0
, x −1
F
(
x
)
=
0.5
, x [ −1, 0 )
2 − 0.5 , x [ 0,1)
P{ X
1}, 2
P{3 X 5},
2
2
解： X 的分布函数为
0, x −1
F(
x
)
=
0.25, 0.75,
−1 x 2 2 x3
1,
x3
1 P{X } = P{X = −1} = 0.25,
2
3
5
P{ X } = P{X = 2} = 0.5,
2
2
例9 设是离散型随机变量，分布列为：
试求常数c及其分布函数。
解：利用规范性
+
b
1 = p( x)dx = cdx = c(b − a)
−
a
c = 1 b−a
1
p(
x
)
=
b
−
a
,
0 ,
x (a, b) 其它
称服从(a,b)上的均匀分布，记为 ~ U(a,b)
利用分布函数是密度函数积分的定义得
当x a时，F ( x) =
1
, x [1, + )
例10 一汽车沿街道行驶，需经过三个设红 绿灯的道口，若每个道口信号灯显示红绿 灯的时间相等，且各信号灯工作相互独立， 以 记该 车首次遇到红灯前已通过的道口 数，求的概率分布。
概率论与数理统计教程茆诗松版第二章ppt课件
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第二章 随机变量及其分布
第8页
2.1.3 离散随机变量的分布列
➢ 设离散随机变量 X 的可能取值为： x1，x2，……，xn，……
称 pi=P(X=xi)， i =1, 2, …… 为 X 的分布列.
➢ 分布列也可用表格形式表示：
X x1 P p1
x2 …… xn …… p2 …… pn ……
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第二章 随机变量及其分布
注 意 点 (2)
第11页
对离散随机变量的分布函数应注意： (1) F(x)是递增的阶梯函数; (2) 其间断点均为右连续的; (3) 其间断点即为X的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值.
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第二章 随机变量及其分布
第二章 随机变量及其分布
第1页
第二章 随机变量及其分布
§2.1 随机变量及其分布 §2.2 随机变量的数学期望 §2.3 随机变量的方差与标准差 §2.4 常用离散分布 §2.5 常用连续分布 §2.6 随机变量函数的分布 §2.7 分布的其他特征数
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第二章 随机变量及其分布
(2) F(x) 是 (∞, +∞) 上的连续函数; (3) P(X=x) = F(x)F(x0) = 0;
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第二章 随机变量及其分布
注意点(2)
第18页
(4) P{a<X≤b} = P{a<X<b} = P{a≤X<b} = P{a≤X≤b} = F(b)F(a).
(5) 当F(x) 在x点可导时, p(x) = F ( x )
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离散型随机变量的分布列
X p
或
x1 , x2 , , xn , p1 , p2 , , pn ,
x1 x2 xk p1 p2 pk
性质
(1) pi 0, i1,2,
(2) pi 1. i 1
注：此时分布函数为 F(x)P(Xx)pi
且 P(aXb)pi
xix
axib
分布律确定概率
b(2)k
b2 3
k1
k1 3
1 2
2
b
3 1
2b
1
3
3
b 1. 2
几种常见的离散型分布
0-1分布(二点分布 ) △定义： 若随机变量X的分布律为:
X
0
1
P
1－p
p
则称X服从参数为p 的二点分布或(0-1)分布,
△背景：样本空间只有两个样本点的情况 都可以用两点分布来 描述。
如：上抛一枚硬币。
例 设一个袋中装有3个红球和7个白球，现在从中
A=“一次实验中抽到次品”，P(A)=3/12,
n=5 p=1/4 记X为共抽到的次品数，则
X ~ B(5, 1) 4
P {X2}C 5 2 1 4 2 11 4 52
例 一大批种子发芽率为90%，今从中任取10粒.
求播种后, 求（1）恰有8粒发芽的概率；（2）不 小于8粒发芽的概率。
解 记X为发芽的种子数，则
特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了
对应关系
随机变量的定义
随机变量 设随机试验的样本空间为Ω，如果对于每一
个样本点 ，均有唯一的实数 X ( ) 与
之对应，称 X X() 为样本空间Ω上
的随机变量(样本点的函数)。
随机变量的两个特征:
1) 它是一个变量，它的取值随试验结果而改变 2) 随机变量在某一范围内取值，表示一个随机事件
由定义，显然有
•
分布函数的这三个性质称为随机变量 分布函数的特征性质。
柯尔莫哥洛夫存在性定理：
1 F(x) 1 x2
是不是某一随机变量的分布函数？
不是
因为 lim F(x) 0 x
1
函数
G(
x)
1
x2
1
(x 0) (x 0)
可作为分布函数
• P(Xk)b(k;n,p). X~B(n,p)
P(aXb)akbb(k;n,p)akbknpk(1p)nk P(Xb)kbb(k;n,p)kbknpk(1p)nk.
例从一批由9件正品、3件次品组成的产品中,有放回地
抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到两次次品的概率.
解有放回地抽取5件,可视为5重Bernoulli实验
随机变量的实例
例
➢ 某个灯泡的使用寿命X。 X 的可能取值为 [0,+)
➢ 某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数Y. Y 的可能取值为 0，1，2，3，...,
➢ 在[0，1]区间上随机取点，该点的坐标X. X 的可能取值为 [0，1]上的全体实数。
随机变量的严格定义
•
•
随机变量的分布函数
•
X～B（10, 0.9）
(1) P(X=8)= C1800.980.120.1937
(2) P(x8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)
C 1 8 00 .9 8 0 .1 2 C 1 9 00 .9 9 0 .1 C 1 1 0 00 .9 1 0 0 .9 2 9 8
例 已知发射一枚地对空导弹可“击中”来犯敌机的概
故
P(X≥1)=
P(X=1)+P(X=2)
51 3 5427 19019019095
实际上，这仍是古典概型的计算题，只是表达 事件的方式变了
例 从一批次品率为p的产品中，有放回抽样直到抽到
次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数X的分布律。
解 记Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,… 则 Ai , i=1,2,3,… 是相互独立的！ 且
第二章 一维随机变量及其分布
随机变量的概念及其分布函数 一维离散型随机变量 一维连续型随机变量 一维随机变量函数的分布
试验结果的数量化
例 设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白 球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。
取球结果为: 两个白球;两个红球;一红一白 如果用X表示取得的红球数，则X的取值可为0，1，2。 此时， “两只红球”= “X取到值2”, 可记为 {X=2} “一红一白”记为 {X=1}, “两只白球”记为 {X=0}
分布函数是一种分析性质良好的函数， 便于处理，而且给定了分布函数就可以算出 各种事件的概率，因而引进分布函数使许多 概率问题得以简化为函数的运算，这样就能 利用数学分析的许多结果，这就是引入随机 变量的好处之一。
一维离散型随机变量
离散型随机变量
若随机变量的取值只有有限个或可列多个(可数)， 则称它为离散型随机变量。
X -1 1 2
P 1/3 1/2
1/6
解
求分布律举例
例1 设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任
意抽取2件，如果用X表示取得的次品数，求随机变量 X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。
解：X的可能取值为 0，1，2
P(X=0)
C 127
C
2 20
136 190
=P({抽得的两件全为正品})
( X=k )对应着事件 A1A2Ak1Ak
X的所有可能取值为 1，2，3，… ,k,…
P(X=k)= P(A1A2 Ak1Ak)(1-p)k-1p ,k=1,2,…
例 设随机变量X的分布律为
P X k b( 2)k , k 1, 2,3,
3
试确定常数b.
解
由分布律的性质,有
P(X k)
随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，
并且用数“1”代表取得红球，“0”代表取得
白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型
随机变量
1 X 0
（取得红球） （取得白球）
其概率分布为 P(X 1) 3 10
P(X 0) 7 10
即X服从两点分布。
二项分布
P{ X k} Cnk pk qn k ,其中, q 1 p, k 0,1,2,, n
率是0.96，问在同样条件下需发射多少枚导弹才能保 证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于0.999?
P(X=1)
C
31C
1 17
C
2 20
51 190
=P({只有一件为次品})
P(X=2)
C
2 3
C
2 20
3 190
=P({抽得的两件全为次品})
故 X的分布律为
X0 1 2
pk
136 190
51
3
190
190
而{至少抽得一件次品}={X≥1} = {X=1}{X=2}
注意：{X=1}与{X=2}是互不相容的！