第三讲混合策略纳什均衡

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工人应选择“不偷懒”
老板选择“不监督”
假定老板选择混合战略（0.2，0.8)
工人选择“偷懒’……
工人选择“偷懒”期望支付为(-1)×0.2+3×0.8=2.2
工人选择“不偷懒”（期望）支付为2×0.2+2×0.8=2
工人应选择“偷懒”
PPT文档演“模板 不偷懒’……
老板选择“监督”
工人选择
第三讲混合策略纳什均衡
混合策略的引进
一、扑克牌对色游戏 •乙
•红
•黑
•红 •甲
•黑
•-1， 1 •1， -1
•1， -1 •-1， 1
•不存在前面定义的纳什均衡策略组合。
•这类博弈很多，引出混合策略纳什均衡概念。
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第三讲混合策略纳什均衡
混合策略的相关概念
◆混合策略是一种按照什么概率选择这个纯策略、
按照什么概率选择那种纯策略的策略选择指示。
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第三讲混合策略纳什均衡
期望支付
例：
•参与 •S11 人2 p
•S12 p
•参与人2
•S21 •q
•S22 •1-q
u1，u2
u3，u4
1- u5，u6
u7，u8
•◆参与人1的混合策略：（p,1-p) • 参与人2的混合策略：(q,1-q) •◆参与人1的期望支付： •如果参与人1选择S11：
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•得：q=1/3
•夫妻之争博弈的混合策略纳什均衡
•
策略
得益
•妻子 （0.75，0.25） 0.67
•丈夫 （1/3，2/3） 0.75
第三讲混合策略纳什均衡
◆可见，这个结果明显不如夫妻双方能交流协商
第三讲混合策略纳什均衡
对于大企业，因一旦偷税数额就巨大，所 以，税务部门在随机检查时放在大企业上的可 能性就大一些；而给定税务部门检查大企业的 可能性较大，大企业偷漏税的行为就较少，否 则就容易被逮个正着。所以，偷漏税较多的就 是一些中小企业，大企业纳税的积极性较高。 同样的道理，在犯罪或对错误的监督惩罚博弈 中，也是混合博弈，人们可能总是大错不犯小 错不断。
当田忌出下马时，齐威王最好的选择是出下马
而不是上马。孙膑的计谋中假定齐威王是傻子
，当田忌出下、上、中马时，他仍然按上、中
、下马出，当然要输了。事实上，当田忌出下
马时，齐威王应出下马，但齐威王出下马时，
田忌不应出下马而是出中马，但此时齐威王又
应出中马而不是下马了，……。这样，博弈不
会有纯战略的均衡。
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◆设p和1-p分别为妻子选择时装表演和足球的概率；
◆如果妻子不想让丈夫利用自己的选择倾向占上风，则自
己的概率选择应使丈夫选择两种策略的期望得益相同：
•得：p=3/4
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第三讲混合策略纳什均衡
◆设q和1-q分别为丈夫选择时装表演和足球的概率。同 样，如果丈夫不想让妻子利用自己的选择倾向占上风 ，则自己的概率选择应使妻子选择两种策略的期望得 益相同：
•丈 夫
•时 装 •足 球
•妻 •时装 •子 •足球
•2， 1 •0， 0
•0， 0 •1， 3
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•夫妻之争第三讲混合策略纳什均衡
◆但显然，双方的偏好不同，妻ຫໍສະໝຸດ Baidu喜欢前一个，丈夫喜欢
后一个。故在纯策略的范围内，该博弈也是无法对两博 弈方的选择提出确定性建议，因此也需要考虑博弈方采 用混合策略的可能性。
以混合战略博弈我们来看下面几个 例子。
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第三讲混合策略纳什均衡
例子1 为什么一般人总是小错不断，大 错不犯；偷税漏税的一般是中小企业， 大企业会老老实实地交税？
税务部门不会对所有企业的交税情
况每一次都去检查，因为这样做的成本
太高，得不偿失。所以，税务部门总是
随机地对企业的交税情况进行检查。
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第三讲混合策略纳什均衡
田忌的谋士孙膑了解了田忌的困境
后，就打听到这样一个消息：尽管齐威
王的上、中、下三匹马都要比田忌的对
应上、中、下三匹马好，但碰巧的是田
忌的上马可胜齐威王的中马，田忌的中
马可胜齐威王的下马。于是，孙膑为田
忌献计：下一次比赛中第一局时田忌出
下马对齐威王的上马输一局，第二局田
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第三讲混合策略纳什均衡
企业也是随机地在交税与偷漏税之 间进行选择。税收部门与企业间进行的 是混合战略博弈。因为如果企业总是交 税，税务部门就最好不检查；但给定不 检查，企业就会偷漏税。所以，两者只 有在随机地检查与不检查，企业随机地 在偷漏税与交税之间选择，才会达成均 衡。
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第三讲混合策略纳什均衡
混合策略均衡
•工人
假定老板选择混合战略（0.5，
•监督 •老板
•不监督
•偷懒 1，-1 -2，3
•不偷懒
0.5) 工人选择“偷懒”期望支付
-1，2 •0. 为 (-1)×0.5+3×0.5=1
2，2
5 工人选择“不偷懒”期望支 •0. 付为2×0.5+2×0.5=2
条件必须是工人也不会重复地选择纯策略。
因此，老板以概率q选择监督必然意味着在这种情况下 工人没有合适的纯策略选择。====老板的选择必须使工人 在两个纯策略之间随机选择。
n 工人什么情况下随机选择？
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第三讲混合策略纳什均衡
混合策略均衡
◆当工人选择任何一个策略的期望支付相等时，只能随机 选择。于是，3-4q=2 ，即q*=1/4,1- q*=3/4。这样，当老板选 择（1/4，3/4）的混合战略时，可以使工人在两个纯战略之 间无差异。 ◆ 同理，假设工人选择(p,1-p)，(p,1-p)成为其最优混合战略 的条件是老板在选择监督与选择不监督之间无差异，即 1×p+(-1)(1-p)=(-2)p+2(1-p)，即p*=1/2,1- p*=1/2。 ◆当老板选择（1/4，3/4），工人选择（1/2，1/2）时，刚 好互为彼此的最优反应，达到纳什均衡状态,称为混合战略 纳什均衡。
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第三讲混合策略纳什均衡
石头、剪刀、布
•博弈方2
•石 头 •剪 子 •布
•博 •石 头 •0， 0 •1， -1 •-1， 1
•弈 •方 •1
•剪 子 •-1， 1 •0， 0 •1， -1 •布 •1， -1 •-1， 1 •0， 0
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第三讲混合策略纳什均衡
但是，我们知道，玩这个游戏总是 以对方不易猜出的随机方式出招。事实 上，可以通过数学证明，当双方都以每 个战略按1/3的概率出招时，达成一种 双方都不愿改变这种概率分布的局面。 这被称为“混合战略纳什均衡”，而这 种以随机方式选择纯战略的博弈被称为 “混合战略博弈”。
•最优化一阶条件为：-4q+1=0 q*=1/4
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第三讲混合策略纳什均衡
混合战略均衡的求解方法
◆方法2：支付等值法
自己选择策略概率分布使对方不会偏好于任何行 动，即选择每一个策略都会得到相同的收益。
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第三讲混合策略纳什均衡
例子
例：博弈方1的混合策略（p,1-p)
博弈方2的混合策略（q,1-q） •博弈方2
n 博弈方2的期望得益为：
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第三讲混合策略纳什均衡
多重均衡博弈和混合策略
一、夫妻之争的混合策略纳什均衡
◆首先，该博弈有两个纳什均衡，本博弈的两个博弈方 不会害怕对方猜到自己的选择，他们主观上并不想隐 藏自己的选择。因此，该博弈中两博弈方的决策思路
和原则应该与没有纳什均衡的严格竞争博弈有所不同。
忌出上马对齐威王的中马，第三局田忌
出中马对齐威王的下马，这样可连赢两
局，最后净胜一千斤铜。田忌依计而行
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第三讲混合策略纳什均衡
这个故事曾经被很多人当作博弈论的例
子来演绎，但实际上这个故事与博弈论无关。
博弈论会假定所有局中人都是理性的，不能假
定一些局中人聪明而另一些局中人却是傻子。
•支付最大化法求混合战略纳什均衡
•监 •老 督 板 •不监
督
•工 •偷 人 1懒，-1
-2，3
•p
•不偷 懒-1，2
2，2 •1-p
•给定工人的混合战 略为(p,1-p)，老板的 •q 混合战略为(q,1-q)
•1-q
•工人的期望支付函数为
•(-1)pq+2(1-p)q+3p(1-q)+2(1-p)(1-q)=-4pq+p-2q+2
纯策略 等价于混合策略
，即选择纯策略
的概率为1，选择任何其他纯策略的概率为0。
•◆混合策略纳什均衡：包含混合策略的策略组合，构成纳 什均衡。
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第三讲混合策略纳什均衡
混合策略均衡
设
是n人策略式博弈
的一个混合策略组合。如果对于所有的 ，
对于每一个 都成立，则称混合策略
组合
是这个博弈的一个纳什均衡。
第三讲混合策略纳什均 衡
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2020/12/8
第三讲混合策略纳什均衡
引言
◆有些博弈不存在纳什均衡，或者纳什均衡不唯
一，如猜硬币博弈，前述纳什均衡分析就无法 对博弈方的选择和博弈结果作明确的预测。 ◆这部分对不存在纳什均衡和存在多个纳什均衡 的博弈作一些讨论。
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第三讲混合策略纳什均衡
•如果参与人1选择S12：
•EV1（p,q)=
•◆参与人2的期望支付： •EV2（p,q)=
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第三讲混合策略纳什均衡
混合策略均衡
例：监督博弈
•老 •监 板督
•不监 督
•工
•偷 人 •不偷
1懒，-1
懒-1，2
-2，3
2，2
•给定工人偷懒，老板的最优 •选择是监督；给定老板监督， •工人的最优选择是不偷懒； •给定工人不偷懒，老板的最 •优选择是不监督；给定老板 •不监督，工人的最优选择是 •偷懒；如此循环。
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第三讲混合策略纳什均衡
例子2 田忌赛马新编
春秋战国时期，齐威王常与旗下大将田 忌赛马。规则是：每次赛三局，每一局齐威王 与田忌各出一匹马比赛奔跑速度。每一局中的 胜者赢败方一千斤铜。田忌有上、中、下三匹 马，而齐威王也有上、中、下三匹马。每次比 赛，第一局田忌出上马，齐威王也出上马；第 二局田忌出中马，齐威王也出中马；第三局， 田忌出下马，齐威王也出下马。齐威王的上马 比田忌的上马好，齐威王的中马也比田忌的中 马好，齐威王的下马还是比田忌的下马好。于 是，每次比赛的结果都是田忌连输三局。
博弈方1：
•C
•D
•博 •弈 •A
•2， 3 •5， 2
由
可得 ：q=0.8
•方 •B •3， 1 •1， 5 •1
博弈方2：
由
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可得 ：p=0.8
第三讲混合策略纳什均衡
n 博得弈双方方1 的策策（略略0及.8相，0应.2得）益期2.：6望得益
博弈方2 （0.8，0.2） 2.6
其中，博弈方1的期望得益为：
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第三讲混合策略纳什均衡
混合策略均衡
◆参与人1和参与人2的混合策略组合 构成均
衡的必要条件：
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第三讲混合策略纳什均衡
混合战略均衡的求解方法
◆方法1：支付最大化法
给定其他参与人的混合战略，自己选择行动的概 率分布要使自己期望支付最大化。
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第三讲混合策略纳什均衡
混合策略均衡
什么情况下达到纳什均衡状态？
n 假定存在一个概率q，老板选择混合策略（q，1-q） n 工人选择“偷懒”期望收益为(-1)×q+3×(1-q)=3-4q n 工人选择“不偷懒”收益为2 n 如果老板真的以概率q选择监督，1-q选择不监督，那么意 味着他不会始终重复地选择某个纯策略，而他不重复选择的
被选择的策略。 ➢ ◆混合策略 ➢ 混合策略：以一定的概率分布选择某几个行动的
策略。
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第三讲混合策略纳什均衡
混合策略
•◆混合策略定义：在n人博弈的策略式表述
中，假定参与人 有K个纯策略：
，那么，概率
分布
称为 的一个混合策略，这里
是 选择 的概率，对于所有
的
。
•◆ 显然，纯策略可以理解为混合策略的特例，比如说，
第三讲混合策略纳什均衡
两人只能玩混合战略博弈，齐威 王分别以1/6随机的概率选择出上、中 、下马的任一排列，田忌也如此。由于 齐威王存在绝对优势，他平均看来仍然 会赢田忌一千斤铜。
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第三讲混合策略纳什均衡
混合策略均衡
◆纯策略与纯策略纳什均衡 纯策略：肯定会被选择——以100%的概率——
◆混合策略表明：参与人可以按照一定的概率，随 机地从纯策略集合中选择一种纯策略的实际行动 。
◆期望值：假定存在 个可能的取值 ，
并且这些取值发生的概率分别为： 值为：
，则期望
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第三讲混合策略纳什均衡
••混合策略博弈
小孩玩的游戏“石头，剪子，布” ，也是一种博弈。但是，这个博弈有一 种有趣的特征，即给定一方的任何选择 ，另一方都有制胜对方的战略，因而这 个战略不是最优的。任何“纯战略”都 不是最优的，纯战略是“石头，剪子， 布”中的任何一个。