高考数学《立体几何初步》专题 直线和平面平行学案

高考数学《立体几何初步》专题 直线和平面平行学案

第3课时 直线和平面平行

1．直线和平面的位置关系 、 、 ． 直线在平面内，有 公共点． 直线和平面相交，有 公共点． 直线和平面平行，有 公共点．

直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外． 2．直线和平面平行的判定定理

如果平面外 和这个平面内 平行，那么这条直线和这个平面平行． (记忆口诀：线线平行 线面平行) 3．直线和平面平行的性质定理

如果一条直线和一个平面 ，经过 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．(记忆口诀：线面平行 线线平行)

例1．如图，P 是∆ABC 所在平面外一点，M ∈PB ， 试过AM 作一平面平行于BC ，并说明画法的理论依据． 解：在平面PBC 内过M 点作MN∥BC，交PC 于N 点， 连AN 则平面AMN 为所求

根据线面平行的性质定理及判定定理

变式训练1：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 和AC 上的点，且A 1M ＝AN ． 求证：MN∥平面BB 1C 1C ．

证明：在面BA 1内作MM 1∥A 1B 1交BB 1于M 1 在面AC 内作NN 1∥AB 交BC 于N 1 易证MM 1 NN 1即可

例2. 设直线a∥α，P 为α内任意一点，求证：过P 且平行a 的直线 必在平面α内． 证明：设a 与p 确定平面β，且α∩β＝a' ，则a'∥a 又a ∥l l ∩a'＝p ∴a 与a'重合 ∴l ⊂α

典型例题 B

C

A P M

基础过关

变式训练2：求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行． 解：已知α∩β＝l a ∥α a ∥β 求证：a ∥l 证明：过a 作平面γ交平面α于b ，交平面β于C ， ∵a ∥α，∴a ∥b

同理，∵a ∥β ∴a ∥c ∴b ∥c 又∵b ⊄β 且c ⊂β ∴b∥β 又平面α经过b 交β于l ∴b ∥l 且a ∥b ∴a ∥l

例3. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧菱PD⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．

( 1 ) 证明：PA∥平面EDB ；

( 2 ) 求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值． (1 ) 证明：提示，连结AC 交BD 于点O ，连结EO ． ( 2) 解：作EF⊥DC 交DC 于F ，连结BF ．

设正方形ABCD 的边长为a ．∵ PD⊥底面ABCD ，∴PD⊥DC． ∴ EF∥PD，F 为DC 的中点．∴EF⊥底面ABCD ， BF 为BE 在底面ABCD 内的射影， ∠EBF 为直线EB 与底面ABCD 所成的角． 在Rt△BCF 中，BF ＝a CF BC 2

522=+ ∵ EF＝2

1

PD ＝2

a

，∴ 在Rt△EFB 中， tan∠EBF＝

55

=

BF EF ．所以EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为5

5． 变式训练3：如图，在四面体中截面EFGH 平行于对棱 AB 和CD ，试问：截面在什么位置时，其截面的面积最大？ 解：易证截面EFGH 是平行四边形

设AB ＝a CD ＝b ∠FGH＝α(a 、b 为定值，α为异面直线AB 与CD 所成的角) 又设FG ＝x GH ＝y 由平几得 CB

CG a x =

BC

BG b y =

∴

b

y

a x +＝1 ∴y ＝a

b (a －x)

∴S □ EFGH ＝FG·GH·sinα＝x ·a

b (a －x )sinα

＝a

b αsin x(a －x)

∵x ＞0 a －x ＞0 且x ＋(a －x)＝a 为定值

B

A

D

C

E P

A E F

B

H

G

C

D

∴当且仅当 x ＝a －x 即x ＝2

a 时(S □ EFGH )max ＝4

sin αab

例4．已知：∆ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AC 、AB 的中点，沿DE 将∆ADE 折起使A 到A'的位置，若平面A'DE⊥面BCDE ，M 是A'B 的中点，求证：ME∥面A'CD ． 证明：取A'C 的中点N ，连MN 、DN ， 则MN 2

1BC ，DE 2

1BC

∴MN DE ∴ME∥ND 又ME ⊄面A'CD ND ⊂面A'CD ∴ME∥面A'CD

变式训练4： (2005年北京)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点． ( 1 ) 求证：AC⊥BC 1； (2) 求证：AC 1∥平面CDB 1；

(3) 求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值．

解：（1）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5．

∴AC⊥BC，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴AC⊥BC 1；

（2）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴DE∥AC 1 ∴DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1；

（3）∵DE∥AC 1，∴CED 为AC 1与B 1C 所成的角，在△CED 中，ED ＝2

1AC 1＝2

5，CD ＝2

1AB ＝2

5，CE ＝2

1

CB 1＝22，∴cos∠CED =

5

2

22

52228=

⨯

⨯ ∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为5

2

2．

1．证明直线和平面平行的方法有：(1)依定义采用反证法；(2)判定定理；(3)面面平行性质；(4)向量法．

2．辅助线(面)是解、证有关线面问题的关键，要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作

A

D

B

B 1

C 1

A 1

C

小结归纳