高考数学《立体几何初步》专题 直线和平面平行学案
202新数学复习第七章立体几何7.4直线平面平行的判定及其性质学案含解析
第四节直线、平面平行的判定及其性质课标要求考情分析1。
以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．1.直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容．2．题型主要以解答题的形式出现,解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.知识点一直线与平面平行的判定定理和性质定理应用判定定理时，要注意“内”“外"“平行”三个条件必须都具备,缺一不可．知识点二平面与平面平行的判定定理和性质定理1。
平面与平面平行还有如下判定：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行．2．平面与平面平行还有如下性质：(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）(1）若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面．（×)(2)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α。
（×）（3）若直线a∥平面α，P∈平面α，则过点P且平行于a 的直线有无数条．（×)(4）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行．(×）（5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)2．小题热身（1）如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α的(D) A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交（2）下列命题中正确的是（D)A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α(3)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的(B）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（4)如图，在正方体ABCD。
高中立体几何教案5篇
高中立体几何教案5篇第一篇：高中立体几何教案高中立体几何教案第一章直线和平面两个平面平行的性质教案教学目标1．使学生掌握两个平面平行的性质定理及应用；2．引导学生自己探索与研究两个平面平行的性质定理，培养和发展学生发现问题解决问题的能力．教学重点和难点重点：两个平面平行的性质定理；难点：两个平面平行的性质定理的证明及应用．教学过程一、复习提问教师简述上节课研究的主要内容（即两个平面的位置关系，平面与平面平行的定义及两个平面平行的判定定理），并让学生回答：（1）两个平面平行的意义是什么？（2）平面与平面的判定定理是怎样的？并用命题的形式写出来？（教师板书平面与平面平行的定义及用命题形式书写平面与平面平行的判定定理）（目的：（1）通过学生回答，来检查学生能否正确叙述学过的知识，正确理解平面与平面平行的判定定理．（2）板书定义及定理内容，是为学生猜测并发现平面与平面平行的性质定理作准备）二、引出命题（教师在对上述问题讲评之后，点出本节课主题并板书，平面与平面平行的性质）师：从课题中，可以看出，我们这节课研究的主要对象是什么？生：两个平面平行能推导出哪些正确的结论．师：下面我们猜测一下，已知两平面平行，能得出些什么结论．（学生议论）师：猜测是发现数学问题常用的方法．“没有大胆的猜想，就作不出伟大的发现．”但猜想不是盲目的，有一些常用的方法，比如可以对已有的命题增加条件，或是交换已有命题的条件和结论．也可通过类比法即通过两个对象类似之处的比较而由已经获得的知识去引出新的猜想等来得到新的命题．（不仅要引导学生猜想，同时又给学生具体的猜想方法）师：前面，复习了平面与平面平行的判定定理，判定定理的结论是两平面平行，这对我们猜想有何启发？生：由平面与平面平行的定义，我猜想：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个面．师：很好，把它写成命题形式．（教师板书并作图，同时指出，先作猜想、再一起证明）猜想一：已知：平面α∥β，直线a 求证：a∥β．生：由判定定理“垂直于同一条直线的两个平面平行”．我猜想：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．[教师板书]α，猜想二：已知：平面α∥β，直线l⊥α．求证：l⊥β．师：这一猜想的已知条件不仅是“α∥β”，还加上了“直线l⊥α”．下面请同学们看课本上关于判定定理“垂直于同一直线的两平面平行”的证明．在证明过程中，“平面γ∩α=a，平面γ∩β=a′”．a与a′是什么关系？生：a∥a′．师：若改为γ不是过AA′的平面，而是任意一个与α，β都相交的平面γ．同学们考虑一下是否可以得到一个猜想呢？（学生讨论）生：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，也必与另一个平面相交．” [教师板书] 猜想三：已知：平面α∥β，平面γ∩α=a，求证：γ与β一定相交．师：怎么作这样的猜想呢？生：我想起平面几何中的一个结论：“一条直线与两条平行线中的一条相交，也必与另一条相交．”师：很好，这里实质用的是类比法来猜想．就是把原来的直线类似看作平面．两平行直线类似看作两个平行平面，从而得出这一猜想．大家再考虑，猜想三中，一个平面与两个平行平面相交，得到的交线有什么位置关系？生：平行师：请同学们表达出这个命题．生：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． [教师板书]猜想四：已知：平面α∥β，平面γ∩α=a，γ∩β=b．求证：a∥b．[通过复习定理的证明方法，既发现了猜想三，猜想四，同时又复习了定理的证明方法，也为猜想四的证明，作了铺垫] 师：在得到猜想三时，我们用到了类比法，实际上，在立体几何的研究中，将所要解决的问题与平面几何中的有关问题作类比，常常能给我们以启示，发现立体几何中的新问题．比如：在平面几何中，我们有这样一条定理：“夹在两条平行线间的平行线段相等”，请同学们用类比的方法，看能否得出一个立体几何中的猜想？生：把两条平行线看作两个平行平面，可得猜想：夹在两个平行平面间的平行线段相等． [教师板书] 猜想五：已知：平面α∥β，AA′∥BB′，且A，B∈α，B，B′∈β．求证：AA′=BB′．[该命题，在教材中是一道练习题，但也是平面与平面平行的性质定理，为了完整体现平面与平面平行的性质定理，故尔把它放在课堂上进行分析]三、证明猜想师：通过分析，我们得到了五个猜想，猜想的结论往往并不完全可靠．得到猜想，并不意谓着我们已经得到了两个平面平行的性质定理，下面主要来论证我们得到的猜想是否正确．[师生相互交流，共同完成猜想的论证] 师：猜想一是由平面与平面平行的定义得到的，因此在证明过程中要注意应用定义．[猜想一证明] 证明：因为α∥β，所以α与β无公共点．又因为a α，所以 a与β无公共点．故a∥β．师：利用平面与平面平行的定义及线面平行的定义，论证了猜想一的正确性．这便是平面与平面平行的性质定理一．简言之，“面面平行，则线面平行．”[教师擦掉“猜想一”，板书“性质定理一”] [论证完猜想一之后，教师与学生共同研究了“猜想二”，发现，若论证了“猜想四”的正确性质，“猜想二”就容易证了，因而首先讨论“猜想三，猜想四”] 师：“猜想三”是类比平面几何中的结论得到的，还记得初中时，是怎么证明的？[学生回答：反证法] 师：那么，大家可否类比初中的证明方法来证明“猜想三”呢？生：用反证法：假设γ与β不相交，则γ∥β．这样过直线a有两个平面α和γ与β平行．与“过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”矛盾．故γ与β相交．师：很好．由此可知：不只是发现问题时可用类比法，就是证明方法也可用类比方法．不过猜想三，虽已证明为正确的命题，但教材中并把它作为平面与平面平行的性质定理，大家在今后应用中要注意．[猜想四的证明] 师：猜想四要证明的是直线a∥b，显然a，b共面于平面γ，只需推导出a与b无公共点即可．生：（证法一）因为a∥β，所以 a与β无公共点．又因为a α，b β．所以 a与b无公共点．又因为a γ，b 所以a∥b．师：我们来探讨其它的证明方法．要证线线平行，可以转化为线面平行．生：（证法二）因为a α，又因为α∥β，所以a∥β．又因为a γ，且γ∩β=b，所以a∥b．师：用两种不同证法得出了“猜想四”是正确的．这是平面和平面平行的性质定理二．[教师擦掉“猜想四”，板书“性质定理二”] 师：平面与平面平行的性质定理二给出了在两个平行平面内找一对平行线的方法．即：“作一平面，交两面，得交线，则线线平行．”同时也给我们证明两条直线平行的又一方法．简言之，“面面平行，则线线平行”．[猜想二的证明] 师：猜想二要证明的是直线l⊥β，根据线面垂直的判定定理，就要证明l和平面β内的两条相交直线垂直．那么如何在平面β内作两条相交直线呢？[引导学生回忆：“垂直于同一直线的两个平面平行”的定理的证明] γ，生：（证法一）设l∩α=A，l∩β=B．过AB作平面γ∩α=a，γ∩β=a′．因为α∥β，所以a∥a′．再过AB作平面δ∩α=b，δ∩β=b′．同理b∥b′．又因为l⊥α，所以l⊥a，l⊥b，所以l⊥a′，l⊥b′，又a′∩b′=β，故l⊥β．师：要证明l⊥β，根据线面垂直的定义，就是要证明l和平面β内任何一条直线垂直．生：（证法二）在β内任取一条直线b，经过b作一平面γ，使γ∩α=a，因为α∥β，所以a∥b，因此l⊥α，a α，故l⊥a，所以l⊥b．又因为b为β内任意一条直线，所以l⊥β．[教师擦掉“猜想二”，板书“性质定理三”] [猜想五的证明] 证明：因为AA′∥BB′，所以过AA′，BB′有一个平面γ，且γ∩α=AB，γ∩β=A′B′．因为α∥β，所以AB∥A′B′，因此AA′ B′B为平行四边形．故AA′=BB′．[教师擦掉“猜想五”，板书“性质定理四”] 师：性质定理四，是类比两条平行线的性质得到的．平行线的性质有许多，大家还能类比得出哪些有关平行平面的猜想呢？你能证明吗？请大家课下思考．[因类比法是重要的方法，但平行性质定理已得出，故留作课下思考]四、定理应用师：以上我们通过探索一猜想一论证，得出了平面与平面平行的四个性质定理，下面来作简单的应用．例已知平面α∥β，AB，CD为夹在α，β间的异面线段，E、F分别为AB，CD的中点．求证：EF∥α，EF∥β．师：要证EF∥β，根据直线与平面平行的判定定理，就是要在β内找一条直线与EF平行．证法一：连接AF并延长交β于G．因为AG∩CD=F，所以 AG，CD确定平面γ，且γ∩α=AC，γ∩β=DG．因为α∥β，所以AC∥DG，所以∠ACF=∠GDF，又∠AFC=∠DFG，CF=DF，所以△ACF≌△DFG．所以AF=FG．又 AE=BE，所以EF∥BG，BG 故EF∥β．同理：EF∥α．师：要证明EF∥β，只须过EF作一平面，使该平面与β平行，则根据平面与平面平行性质定理即可证．证法二：因为AB与CD为异面直线，所以A CD．β．在A，CD确定的平面内过A作AG∥CD，交β于G，取AG中点H，连结AC，HF．因为α∥β，所以AC∥DG∥EF．因为DG β，所以HF∥β．又因为 E为AB的中点，因此EH∥BG，所以EH∥β．又EH∩FH=H，因此平面EFH∥β，EF 所以EF∥β．同理，EF∥α．平面EFH，师：从以上两种证明方法可以看出，虽然是解决立体几何问题，但都是通过转化为平面几何的问题来解决的．这是解决立体几何问题的一种技能，只是依据的不同，转化的方式也不同．五、平行平面间的距离师：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段．两个平行平面有几条公垂线？这些公垂线的位置关系是什么？生：两个平行平面有无数条公垂线，它们都是平行直线．师：夹在两平行平面之间的公垂线段有什么数量关系？根据是什么？生：相等，根据“夹在两个平行平面间的平行线段相等．”师：可见夹在两个平行平面的公垂线段长度是唯一的．而且是夹在两个平行平面间的所有线段中最短的．因此我们把这公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离．显然两个平行平面的距离等于其中一个平面上的任一点到另一个平面的垂线段的长度．六、小结1．由学生用文字语言和符号语言来叙述两个平面平行的性质定理．教师总结本节课是由发现与论证两个过程组成的．简单的说就是：由具体问题具体素材用类比等方法猜想命题，并由转化等方法论证猜想的正确性，得到结论．2．在应用定理解决立体几何问题时，要注意转化为平面图形的问题来处理．大家在今后学习中一定要注意掌握这一基本技能．3．线线平行、线面平行与面面平行的判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系．在学习中应发现其内在的科学规律：低一级位置关系判定着高一级位置关系；高一级位置关系一定能推导低一级位置关系．下面以三种位置关系为纲应用转化的思想整理如下：七、布置作业课本：p．38，习题五5，6，7，8．课堂教学设计说明1．本节课的中心是两个平行平面的性质定理．定理较多，若采取平铺直叙，直接地给出命题，那样就绕开了发现、探索问题的过程，虽然比较省事，但对发展学生的思维能力是不利的．在设计本教案时，充分考虑到教学研究活动是由发现与论证这样两个过程组成的．因而把“如何引出命题”和“如何猜想”作为本节课的重要活动内容．在教师的启发下，让学生利用具体问题；运用具体素材，通过类比等具体方法，发现命题，完成猜想．然后在教师的引导下，让学生一一完成对猜想的证明，得到两个平面平行的性质定理．也就在这一“探索”、“发现”、“论证”的过程中，培养了学生发现问题，解决问题的能力．在实施过程中，让学生处在主体地位，教师始终处于引导者的位置．特别是在用类比法发现猜想时，学生根据两条平行线的性质类比得出许多猜想．比如：根据“平行于同一条直线的两条直线平行”得到“平行于同一个平面的两个平面平行．”根据“两条直线平行，同位角相等”等，得到“与两个平行平面都相交的直线与两个平面所成的角相等”等等，当然在这些猜想中，有的是正确的，有的是错误的，这里不一一叙述．这就要求教师在教学过程中，注意变化，作适当处理．学生在整节课中，思维活跃，沉浸在“探索、发现”的思维乐趣中，也正是在这种乐趣中，提高了学生的思维能力．2．在对定理的证明过程中，课上不仅要求证出来，而且还考虑多种证法．对于定理的证明，是解决问题的一些常用方法，也可以说是常规方法，是要学生认真掌握的．因此教师要把定理的证明方法，作为教学的重点内容进行必要的讲解，培养学生解决问题的能力．3．转化是重要的数学思想及数学思维方法．它在立体几何中处处体现．实质上处理空间图形问题的基本思想方法就是把它转化为平面图形的问题，化繁为简．特别是在线线平行，线面平行，面面平行三种平行的关系上转化的思想也有较充分的体现，因而在小结中列出三个平行关系相互转让的关系图，一方面便于学生理解，记忆，同时通过此表，能马上发现三者相互推导的关系，能打开思路，发现线索，得到最佳的解题方案．第二篇：高中立体几何高中立体几何的学习高中立体几何的学习主要在于培养空间抽象能力的基础上，发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
高中数学_直线与平面平行的判定教学设计学情分析教材分析课后反思
直线与平面平行的判定（教学设计）一、教学内容分析本节教材选自人教A版数学必修二，本节内容在立体几何学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。
本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理。
本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大。
二、设计思想本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定，理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。
三、教学目标通过直观感知——观察——操作确认的认识方法，理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。
培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力，逻辑思维能力。
让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。
四、教学重点与难点重点：理解直线与平面平行的判定定理难点：会用判定定理证明简单的线面平行的问题五、教学过程设计（一）知识准备.新课引入提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面α有哪几种位置关系？并完成下表：(多媒体幻灯片演示)位置关系公共点符号表示图形表示我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为提问2：根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。
[设计意图：通过提问，学生复习并归纳空间直线与平面位置关系引入本节课题，并为探寻直线与平面平行判定定理作好准备。
高中数学第一章立体几何初步1.2.3第1课时直线与平面平行学案苏教版必修20722192
高中数学第一章立体几何初步1.2.3第1课时直线与平面平行学案苏教版必修207221921．通过直观感知、操作确认直线与平面的位置关系及线面平行的判定定理．(重点) 2．理解并会证明直线与平面平行的性质定理．(难点)3．会用图形语言和符号语言描述直线和平面平行的判定定理和性质定理．(重点、易错点)[基础·初探]教材整理1 直线和平面的位置关系阅读教材P32的内容，完成下列问题．直线和平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α.(×)(2)若直线a在平面α外，则a∥α.(×)(3)若直线a∩b＝∅，b⊂α，则a∥α.(×)(4)若直线a∥平面α，则直线a平行于平面α内的无数条直线．(√)教材整理2 直线与平面平行的判定阅读教材P33例1以上部分内容，完成下列问题．直线与平面平行的判定定理(1)自然语言：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(2)图形语言：如图1－2－34所示．图1－2－34(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊄αb ⊂αa ∥b ⇒a ∥α.1．如果直线a ∥b ，且a ∥平面α，那么b 与平面α的位置关系是________． 【解析】 若a ∥b ，且a ∥平面α，则b 与平面α的位置关系如图所示．【答案】 b ∥α或b ⊂α2．能保证直线a 与平面α平行的条件是__________(填序号).【导学号：41292026】(1)b ⊂α，a ∥b ；(2)b ⊂α，c ∥α，a ∥b ，a ∥c ；(3)b ⊂α，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，且AC ∥BD ； (4)a ⊄α，b ⊂α，a ∥b .【解析】 由线面平行的判定定理可知(4)正确． 【答案】 (4)教材整理3 直线与平面平行的性质阅读教材P 33例1以下部分内容，完成下列问题． 直线与平面平行的性质定理(1)自然语言：如果一条直线和一个平面平行 ，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．图1－2－35(2)图形语言：如图1－2－35所示． (3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫l ∥αl ⊂βα∩β＝m ⇒l ∥m .1．已知a ，b 是两条相交直线，a ∥α，则b 与α的位置关系是________． 【答案】 相交或平行2．如图1－2－36所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于直线DE ，则DE 与AB 的位置关系是__________．图1－2－36【解析】 ∵ABC －A 1B 1C 1是三棱柱， ∴A 1B 1∥AB .又∵A 1B 1⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， ∴A 1B 1∥平面ABC .∵A 1B 1⊂平面A 1B 1ED ，平面A 1B 1ED ∩平面ABC ＝DE ， ∴A 1B 1∥DE ，∴DE ∥AB . 【答案】 平行[小组合作型]直线与平面的位置关系(1)下列说法中，正确的有__________．(填序号)①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．(2)下列命题中，a，b，l表示直线，α表示平面．①若a⊂α，b⊄α，且a，b不相交，则a∥b；②若a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊄α，且l和a，b均不相交，则l∥α；③若点A∉a，则过点A可以作无数个平面与a平行；④若a与α内的无数条直线不相交，则a∥α.其中正确的命题有______．(把你认为正确的序号都填上)【精彩点拨】利用线面平行的定义，借助图形分析判断．【自主解答】(1)如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线垂直于这条直线，那么在这个平面内与所作直线平行的直线都与已知直线垂直，有无数条，所以②正确；对于③显然错误；而④，也有可能相交，所以也错误．(2)①错误．如图(a)，满足a⊂α，b⊄α，且a，b不相交，但a与b不平行．②错误．如图(b)，满足a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊄α，且l和a，b均不相交，但l 与α相交．③正确．如图(c)，点A∉a，过点A可以作无数个平面与a平行．④错误．当a与α相交时，也有a与α内的无数条直线不相交．【答案】(1)②(2)③空间中直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．[再练一题]1．下列命题中正确的个数是________个．①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点． 【解析】 ①中，l 可与α相交，故①错．②中，α内的直线可能与l 异面，故②错．③中，另一条直线可能在这个平面内，故③错．④中，由l 与α平行的定义知④正确．【答案】 1直线与平面平行的判定定理的应用如图1－2－37, M ，N 分别是底面为矩形的四棱锥P －ABCD 的棱AB ，PC 的中点，求证：MN ∥平面PAD .图1－2－37【精彩点拨】 取PD 中点E ，证明EN 綊AM .【自主解答】 如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，NE ，∵N 是PC 的中点，∴EN 綊12DC .又∵AM 綊12CD ，∴NE 綊AM .∴四边形AMNE 是平行四边形． ∴MN ∥AE .又∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD .利用判定定理证明直线与平面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．[再练一题]2．如图1－2－38，S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AM SM ＝DN NB.图1－2－38求证：MN ∥平面SBC .【证明】 连结AN 并延长交BC 于P ，连结SP ，∵AD ∥BC ，∴DN NB ＝ANNP，又∵AM SM ＝DN NB， ∴AM SM ＝AN NP，∴MN ∥SP ，又MN ⊄平面SBC ，SP ⊂平面SBC ， ∴MN ∥平面SBC .[探究共研型]线面平行的性质定理的应用探究1 若a ∥α，b ⊂α，那么a 与b 的位置关系是怎样的？a 与b 有没有可能平行？在什么条件下平行？【提示】 a 与b 平行或异面，当a ，b 同在一平面内时，a ∥b .探究2 如图1－2－39，若a ∥b ，a ⊂α，b ⊂α，α∩β＝c ，且c ∥a .那么a 与β，b与β是什么关系？图1－2－39【提示】a∥β，b∥β.探究3 一个长方体木块如图1－2－40所示，要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开，应该怎样画线？图1－2－40【提示】在平面A1C1内，过点P作EF∥B1C1，分别交A1B1，C1D1于E，F.连结BE，CF，则BE，CF和EF就是所要画的线，如图．四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM 上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：PA∥GH.图1－2－41【精彩点拨】要证线线平行，先证线面平行，再证另一线为过已知直线的平面与已知平面的交线．【自主解答】如图，连结AC交BD于点O，连结MO，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 的中点． 又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM .根据直线和平面平行的判定定理，则有PA ∥平面BMD . ∵平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ，根据直线和平面平行的性质定理，∴PA ∥GH .证明与平行有关的问题时，线面平行的判定定理、性质定理、公理4常结合起来使用，并常利用下面的关系：线线平行――→判定定理线面平行――→性质定理线线平行．运用线面平行的性质定理时，应寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线需作出辅助平面．[再练一题]3．如图1－2－42，将上例条件改为“已知四边形ABCD 是平行四边形，四边形BDPF 也是平行四边形，M 是线段PF 的中点．求证：BM ∥平面APC .图1－2－42【证明】 记AC 与BD 的交点为O ，连结OP .∵O，M分别为BD，PF的中点，四边形BDPF是平行四边形，∴OB∥MP且OB＝MP，∴四边形OBMP是平行四边形，∴BM∥OP，∵OP⊂平面APC，BM⊄平面APC，∴BM∥平面APC.1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)正确的个数为________．①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.【答案】02．长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，与EF平行的长方体的面有________个.【导学号：41292027】【解析】如图，∵EF∥A1B1，∴EF∥平面A1B1C1D1.同理EF∥平面ABCD，EF∥平面DD1C1C.【答案】 33．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， (1)与直线AB 平行的平面是________； (2)与直线AA 1平行的平面是________； (3)与直线AB 1平行的平面是________． 【解析】 如图，可知：AB ∥平面A 1B 1C 1D 1，AB ∥平面CDD 1C 1； AA 1∥平面BCC 1B 1，AA 1∥平面CDD 1C 1； AB 1∥平面CDD 1C 1.【答案】 (1)平面A 1B 1C 1D 1，平面CDD 1C 1 (2)平面BCC 1B 1，平面CDD 1C 1 (3)平面CDD 1C 14．直线a ∥平面α，过α内一点A 的所有直线中与直线a 平行的直线条数为__________． 【解析】 过直线a 和点A 的平面与平面α有一条交线l ，只有l 满足在平面α内过点A 且与a 平行．【答案】 15．正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE ，BD 上各取一点P ，Q ，且AP ＝DQ .图1－2－43求证：PQ ∥平面BCE .【证明】 如图所示， 在平面ABEF 内过P 作PM ∥AB 交BE 于点M ，在平面ABCD 内过点Q 作QN ∥AB 交BC 于点N ，连结MN .∵PM ∥AB ，∴PM AB ＝PEAE.又∵QN∥AB∥CD，∴QNDC＝BQBD，即QNAB＝BQBD.∵正方形ABEF与ABCD有公共边AB，∴AE＝DB.∵AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴PM＝QN.又∵PM∥AB，QN∥AB，∴PM∥QN.∴四边形PQNM为平行四边形．∴PQ∥MN.又∵MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE.∴PQ∥平面BCE.11。
高考数学一轮复习 第十章 立体几何初步 第68课 直线与平面平行教案
直线与平面平行一、教学目标1．借助手中的笔与课本，让学生直观感受直线与平面平行的位置关系，并能够用图形来表示，进一步培养学生的空间想象能力；2．理解并掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，能运用其解决有关问题；3．通过运用两个定理解决有关问题，是学生感受化归的数学思想，培养学生数学地分析问题、解决问题的能力．二、基础知识回顾与梳理【回顾要求】1：阅读必修二第32-34页完成以下任务:其中2.直线和平面平行的判定理与性质定理;(1) 直线和平面平行的判定理：一条直线与的一条直线平行，则该直线与此平面平行，用符号表示为. 用图形表示为:_______________(2).直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个，则过这条直线的任一平面与此平面的与该．用符号表示为：⇒a∥b.用图形表示为:_______________【要点解析】1.线面平行,线面相交,线在面内是通过公共点个数定义.2:利用直线和平面平行的判定定理来证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线，把握几何体的结构特征，合理利用几何体中的三角形的中位线，平行四边形对边平行等平面图形的特点找线线平行关系是常用方法．同时线面平行的位置关系是最基本的位置，证明方法当然是用线面平行的判定定理，但更多的情况下，用面面平行的性质定理反而方便．3:一要熟练掌握所有判定定理与性质定理，梳理好几种位置关系的常见证明方法，如证明线面平行，既可以构造线线平行，也可以构造面面平行．而证明线线平行常用的是三角形中位线性质，或构造平行四边形；二要用分析与综合相结合的方法来寻找证明的思路；三要注意表述规范，推理严谨，避免使用一些虽然正确但不能作为推理依据的结论．4本节内容是高考考查的重点内容，主要以考查线面平行、面面平行为主，试题主要分两大类：一类是空间中线面平行、面面平行的判断与证明；另一类是围绕平行的探究性问题．5解决探究性问题一般要采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．6:线面平行的判定，可供选用的定理有：①若a ∥b ，a ⊄α，b ⊂α，则a ∥α. ②若α∥β，a ⊂α，则a ∥β.(3)判定两平面平行，可供选用的定理有：若a ，b ⊂α，a ，b 相交，且a ∥β，b ∥β，则α∥β.三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏．课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误．本课诊断练习４小题也可以当堂完成训练和讲评．2、结合课件点评．必要时借助实物投影仪，有针对地投影几位学生的解答过程． 题1. 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面和底面所在的平面中 (1)与直线AB 平行的平面是_______________________ (2)与直线AC 平行的平面是_______________________【分析与点评】问题1：空间中直线与平面的位置关系有哪些？问题2：要找线面平行，只要找什么？答案：111111D C B A C CDD 和面面， 1111D C B A 面 题2．已知不重合的直线a ，b 和平面α， ① 若a∥α，b ⊂α，则a∥b； ② 若a∥α，b∥α，则a∥b； ③ 若a∥b，b ⊂α，则a∥α； ④ 若a∥b，a∥α，则b∥α或b ⊂α，上面命题中正确的是 (填序号).【分析与点评】借助实物（笔和课桌）让学生自己动手，摆放所有的可能性．通过最熟悉的几何体—长方体，让学生在图形中画出上述的几种情形，增强学生的空间想象力和读图能力． 【答案】④题3． 如果直线a 平行于平面α，则平面α内有 条直线与a 平行． 【分析与点评】问题1：空间中两条直线的位置关系有哪些？问题2：在α内任意作一条直线b ，由线面平行的定义知道直线a 与直线b 没有公共点，那么可以由此就断定a 与b 平行吗？【交流与讨论】1．关键词“任意”、“所有”、“无数”的区别．2．如果直线a 垂直于平面α，则平面α内有 条直线与a 垂直． 【答案】无数（交流与讨论中2的答案为“任意”或“所有”）题4．已知直线,a b ，平面α，且b α⊂，则“a ∥b ”是“a ∥α”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一） 【分析与点评】先引导学生回忆命题的充分性与必要性的定义．提出下列问题：11111D 11111B 1A 1M'１． 由“a ∥b ”能推出“a ∥α”吗？（直线a 与平面α是怎样的位置关系） ２． 由“a ∥α”能推出“a ∥b ”吗？３． 已知直线,a b ，平面α，且b α⊂，则“a ∥α”是“a ∥b ”的 条件． 【答案】既不充分也不必要 3、要点归纳（1）判断命题正确与错误时，一般错误的命题只要举出反例，正确的命题要进行简单的证明。
高三数学高考(立体几何初步)专题学案：平面与平面平行 学案
- 1 - / 3第6课时平面与平面平行1．两个平面的位置关系： 2．两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (记忆口诀：线面平行，则面面平行) 3、两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的平行． (记忆口诀：面面平行，则线线平行) 4．两个平行平面距离和两个平行平面同时的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的，两个平行面的公垂线段的，叫做两个平行平面的距离．例1．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1中点． (1) 求证：平面AMN ∥平面EFDB ； (2) 求异面直线AM 、BD 所成角的余弦值． 解：(1) 易证EF ∥B 1D 1 MN ∥B 1D 1∴EF ∥MN AN ∥BE 又MN∩AN ＝N EF∩BE ＝E ∴面AMN ∥面EFDB(2) 易证MN ∥BD ∴∠AMN 为AM 与BD 所成角 易求得 cos ∠AMN ＝1010变式训练1：如图，α∥β，AB 交α、β于A 、B ，CD 交α、β于C 、D ，AB ⋂CD ＝O ，O 在两平面之间， AO ＝5，BO ＝8，CO ＝6．求CD ． 解：依题意有AC ∥DBOD COOB AO =即OD685=∴OD ＝548∴CD ＝548＋6＝578例2 . 已知平面α∥平面β，AB 、CD 是夹在平面α和平面β间的两条线段，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且nm FDCF EBAE ==．求证：EF ∥α∥β．证明：1°若AB 与CD 共面，设AB 与CD 确定平面γ，则α∩γ＝AC β∩γ＝BDA 1 ABC B 1 C 1 EF M ND 1 DBDβ αACO- 2 - / 3∵α∥β ∴AC ∥BD 又∵FDCFEB AE =∴EF ∥AC ∥BD ∴EF ∥α∥β 2°若AB 与CD 异面，过A 作AA'∥CD 在AA'截点O ，使nmFD CF EB AE OA AO ===1' ∴EO ∥BA' OF ∥A'D∴平面EOF ∥α∥β ∴EF 与α、β无公共点 ∴EF ∥α∥β变式训练2：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是CC 1、B 1C 1、C 1D 1的中点． 求证：(1) AP ⊥MN ； (2) 平面MNP ∥平面A 1BD ．证明：(1) 连BC 1易知AP 在BCC 1B 1内射影是BC 1 BC 1⊥MN ∴AP ⊥MN (2) ∵⇒⎭⎬⎫PM B A BD PN ////1面MNP ∥面A 1BD例3.已知a 和b 是两条异面直线．(1) 求证：过a 和b 分别存在平面α和β，使α∥β； (2) 求证：a 、b 间的距离等于平面α与β的距离．(1) 在直线a 上任取一点P ，过P 作b'∥b ，在直线b 上取一点Q 过Q 作a'∥a 设a, b'确定一个平面α a', b 确定平面β a'∥aa ⊂α ∴a'∥α 同理b ∥α 又a'、b ⊂β ∴α∥β 因此，过a 和b 分别存在两个平面α、β(2) 设AB 是a 和b 的公垂线，则AB ⊥b ，AB ⊥a ∴AB ⊥a' a'和b 是β内的相交直线，∴AB ⊥β 同理AB ⊥α 因此，a, b 间的距离等于α与β间的距离．变式训练3：如图，已知平面α∥平面β，线段PQ 、PF 、QC 分别交平面α于A 、B 、C 、点，交平面β于D 、F 、E 点，PA ＝9，AD ＝12，DQ ＝16，△ABC 的面积是72，试求△DEF 的面积．解：平面α∥平面β，∴AB ∥DF ，AC ∥DE ， ∴∠CAB ＝∠EDF ．在△PDF 中，AB ∥DF ，DF ＝AD PA PA +AB ＝37AB ，同理DE ＝74AC ．QFD ECABαβP- 3 - / 3S △DEF ＝21DF·DE sin ∠EDF ＝34S △ABC ＝96．例4.如图，平面α∥平面β，∆ABC ．∆A 1B 1C 1分别在α、β内，线段AA 1、BB 1、CC 1交于点O ，O 在α、β之间，若AB ＝2AC ＝2，∠BAC ＝60°，OA :OA 1＝3:2． 求∆A 1B 1C 1的面积．解：∵α∥β AA 1∩BB 1＝O ∴AB ∥A 1B 1 同理AC ∥A 1C 1 BC ∥B 1C 1∴△ABC ∽△A 1B 1C 1 S △ABC ＝21AB·AC·sin60°＝2323111==OA OA B A AB ∴49111=∆∆C B A ABC S S ∴111C B A S ∆＝932 变式训练4：如图，在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，点E 是PD 的中点．（1）证明：PA ⊥平面ABCD ，PB ∥平面EAC ；（2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的正切值． （1）证：因为底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°， 所以AB ＝AD ＝AC ＝a ，在△PAB 中，由PA 2＋AB 2＝2a 2＝PB 2知PA ⊥AB ， 同理，PA ⊥AD ，所以PA ⊥平面ABCD ． 因为PB ＝PD ＋DC ＋CB ＝2ED ＋DC ＋DA ＝(ED ＋DA )＋(ED ＋DC )＝EA ＋EC ∴PB 、EA 、EC 共面．PB ⊄平面EAC ，所以PB ∥平面EAC ．（2） 解：作EG ∥PA 交AD 于G ，由PA ∥平面ABCD ，知EG ⊥平面ABCD ．作GH ⊥AC 于H ，连结EH ，则EH ⊥AC ，∠EHG 即为二面角θ的平面角．又E 是PD 的中点，从而G 是AD 的中点，EG ＝21a ，AG ＝21a ，GH ＝AG sin 60°＝43a ，332． 1．判定两个平面平行的方法：(1)定义法；(2)判定定理． 2．正确运用两平面平行的性质．3．注意线线平行，线面平行，面面平行的相互转化：线∥线⇔线∥面⇔面∥面．B 1A 1C 1 βα BCAO DEACBP。
直线与平面平行判定教学设计
直线与平面平行判定教学设计直线与平面平行的判定一、教材分析直线和平面平行额判定是高中数学必修课第二册第一章第三节的内容，本章的前两节的内容是分别介绍了平面的基本的性质和空间的平行直线与异面直线，因此我们在学习了这些基本的知识之后，从而来进一步的研究直线与平面之间的关系。
直线与平面的问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。
通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，是学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象能力和逻辑推理的能力。
二、学情分析由于学生在初中已学习了平面上两直线平行的各种判定办法，但由于时间长了，也需要再作一些必要的复习。
通过对两条直线的平行的判定的复习，让学生从中获得一些关于直线与平面平行的知识。
线面平行来转换成线线平行这样的转换思想也是学生首次接触的，应该加以必要的强化与引导。
让学生的对抽象概括的能力以及推理论证的能力得以提高。
三、教学目标1.知识能力的目标（1）直观感知、操作确认，归纳概括出判定定理，对判定定理的构成要素及其关系有较清晰的认识，能用三种语言对判定定理进行表述。
初步掌握利用线面平行判定定理证明线面平行的一般步骤。
（2）使学生进一步了解平行的判定方法，学会准确地使用数学语言表述集合对象的位置关系，并运用判定定理解决一些简单的直线和平面平行的推理论证。
2.过程方法目标（1）通过观察、思考、探究等提出问题，以问题引导学生思维活动，经历从实际背景中抽象出数学模型、从现实的生活空间抽象出几何图形和几何问题的过程，发展学生的空间观念、几何直觉(即把握图形的能力)与一定的归纳概括能力;（2）学习和证明问题的过程在想想、猜猜、证证的过程中完成.培养学生先猜后证，运用合情推理去猜想，再运用逻辑推理去证明的推理论证能力.进一步理解掌握化归与转化思想。
懂得将立体问题平面化、线面问题线线化）3.情感态度价值观目标（1）通过数学思辨和推理过程培养学生说理、批判、质疑的严谨风格和理性精神；（2）领会数学科学的应用价值，激发学生的数学学习兴趣.四、教学重点、教学难点教学重点：判定定理的引入与理解。
高中数学第一章立体几何初步1.2.2第1课时平行直线、直线与平面平行学案新人教B版必修2(2021
2017-2018学年高中数学第一章立体几何初步1.2.2 第1课时平行直线、直线与平面平行学案新人教B版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第一章立体几何初步1.2.2 第1课时平行直线、直线与平面平行学案新人教B版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.2。
2 第1课时平行直线、直线与平面平行[学习目标] 1.能认识和理解空间平行线的传递性,会证明空间等角定理.2.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用两个定理解决空间中的平行关系问题.[知识链接］1。
直线和平面的位置关系有：平行、相交、直线在平面内.2.当直线与平面无公共点时,直线和平面平行。
［预习导引]1.平行直线的定义及平行公理在平面几何中,我们把在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线。
平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行。
2.基本性质4平行于同一条直线的两条直线互相平行,即如果直线a∥b，c∥b，那么a∥c.3。
等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同，那么这两个角相等。
解决学生凝难点：4。
直线和平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示5.定理条件结论符号语言判定如果不在一个平面内的一条这条直线和这个l⊄α，m⊂直线和平面内的一条直线平行平面平行α,l∥m⇒l∥α性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交这条直线和这两个平面的交线平行l∥α，l⊂β,α∩β＝m⇒l∥m要点一基本性质4及等角定理的应用例1 如图，已知棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点.（1)求证:四边形MNA1C1是梯形;（2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1。
2019_2020学年高中数学第1章立体几何初步1_5_1_1直线与平面平行的判定学案北师大版必修2
一直线与平面平行的判定直线和平面平行的判定定理判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行．( )(2)过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行．( )(3)如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行．( )[答案] (1)×(2)√(3)×题型一线面平行的判定定理的理解【典例1】下列说法中正确的是( )A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∥b，bα，则a∥αD．若直线a∥b，bα，那么直线a平行于平面α内的无数条直线[思路导引] 直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况．直线与平面内无数条直线平行，直线不一定与平面平行，有可能在平面内．[解析] 选项A中，直线lα时l与α不平行；直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况，所以选项B不正确；选项C中直线a可能在平面α内；选项D正确．故选D.[答案] D线面平行判定定理应用的误区(1)条件不全，最易忘记的条件是aα与bα.(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．[针对训练1] 有以下三种说法，其中正确的是( )①若直线a与平面α相交，则α内不存在与a平行的直线；②若直线b∥平面α，直线a与直线b垂直，则直线a不可能与α平行；③直线a，b满足a∥α，且bα，则a 平行于经过b的任何平面.A．①②B．①③C．②③D．①[解析] ①正确．②错误，反例如图(1)所示．③错误，反例如图(2)所示，a，b可能在同一平面内．故选D.[答案] D题型二直线与平面平行的判定【典例2】如图，M，N分别是底面为矩形的四棱锥P－ABCD的棱AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD.[思路导引] 在平面PAD 中找一条与MN 平行的直线是本题的关键． [证明] 如图所示，取PD 的中点E ，连接AE ，NE, 因为N 是PC 的中点， 所以NE ∥CD ，NE ＝12CD .又因为在矩形ABCD 中，M 是AB 的中点， 所以AM ∥CD 且AM ＝12CD .所以NE ∥AM ，NE ＝AM .所以四边形AMNE 是平行四边形． 所以MN ∥AE .又因为AE 平面PAD ，MN 平面PAD ，所以MN ∥平面PAD .利用直线和平面平行的判定定理来证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线，常利用平行四边形的性质、三角形与梯形中位线性质、平行线截线段成比例定理、平行公理等．[针对训练2] 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为C 1B 的中点，P 为AB 的中点，证明DP ∥平面ACC 1A 1.[证明] 连接AC1，因为P为AB的中点，D为C1B的中点，所以DP∥AC1，又因为AC1平面ACC1A1，DP平面ACC1A1，所以DP∥平面ACC1A1.题型三线面平行判定定理的实际应用【典例3】一木块如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，应该怎样画线？[思路导引] 本题的关键是找一个平面，使之与线AC、VB平行，那么该平面与面VAB、面VAC、面VBC、面ABC的交线即为画线．[解] 在平面VAC内经过P作EF∥AC，且与VC的交点为F，与VA的交点为E，在平面VAB内，经过点E作EH∥VB，与AB交于点H，如图所示．在平面VBC内经过点F作FG∥VB，与BC交于点G连接GH，则EF、FG、GH、HE为截面与木块各面的交线．证明：∵EH∥VB，FG∥VB∴EH∥FG可知E、H、G、F四点共面.∵VB平面EFGH，EH平面EFGH∴VB∥平面EFGH.同理可证AC∥平面EFGH.判定直线与平面平行的两类方法(1)用定义①用反证法说明直线与平面没有公共点；②若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线都与另一个平面无公共点，由此可得线面平行．(2)用判定定理设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，注意说明已知直线不在平面内．[针对训练3] 如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D、E、F、G分别是棱AP、AC、BC、PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形．[证明] (1)因为D、E分别为AP、AC的中点，所以DE∥P C.又因为DE平面BCP，PC平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)因为D、E、F、G分别为AP、AC、BC、PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.所以四边形DEFG为平行四边形．又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG.所以四边形DEFG为矩形．1．圆台的底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是( )A．平行B．相交C．在平面内D．不确定[解析] 圆台底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点，则它们平行．[答案] A2．下列结论中正确的是( )A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥αB．若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的任意一条直线都平行C．四边形确定一个平面D．过平面α外一点作与平面α平行的直线有无数条[答案] D3．a∥b，且a与平面α相交，那么直线b与平面α的位置关系是( )A．必相交B．有可能平行C．相交或平行D．相交或在平面内[解析] 如图所示：[答案] A4．在三棱锥A－BCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是( )A．平行B．相交C．直线AC在平面DEF内D．不能确定[解析] 如图所示∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC.又EF平面DEF，AC平面DEF，∴AC∥平面DEF.[答案] A课后作业(七)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是( )A．b∥αB．b与α相交C．bαD．b∥α或b与α相交[解析] 可能平行，此时a与b确定的平面与平面α平行；也可能相交，此时a与b 确定的平面与平面α相交．故选D.[答案] D2．直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面( )A．有且只有一个B．有无数多个C．有且只有一个或不存在D．不存在[解析] 取直线a上任一点A，则点A和直线b确定一个平面记为β，在β内过A点作直线c∥b，由a∩c＝A，则直线a、c确定唯一的平面记为α，∵c∥b，cα，bα.∴b∥α有且仅有一个．故选A.[答案] A3．若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是( ) A．MN∥βB．MN与β相交或MNβC．MN∥β或MNβD．MN∥β或MN与β相交或MNβ[解析] ∵MN是△ABC的中位线，∴MN∥BC，∵平面β过直线BC，∴若平面β过直线MN，符合要求；若平面β不过直线MN，由线线平行的判定定理知MN∥β.故选C.[答案] C4．如果直线l、m与平面α、β、γ满足：β∩γ＝l，m∥l，mα，则必有( ) A．l∥αB．lαC．m∥β且m∥γD．m∥β或m∥γ[解析] 当平面α与β，γ都相交或者与一个相交时，∵β∩γ＝l，m∥l，mα且mβ，mγ，∴m∥β，m∥γ；当平面α与平面β或者γ相交于m时，则m∥β或者m∥γ；故选D.[答案] D5．如图P为平行四边形ABCD所在平面外一点，Q为PA的中点，O为AC与BD的交点，下面说法错误的是( )A．OQ∥平面PCD B．PC∥平面BDQC．AQ∥平面PCD D．CD∥平面PAB[解析] ∵O为平行四边形ABCD对角线的交点，∴AO＝OC，又Q为PA的中点，∴QO∥PC.由线面平行的判定定理，可知A、B正确，又ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，故CD∥面PAB，故D正确．故选C.[答案] C6．如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是________________．[解析] 无论怎样转动，都有CD∥AB，所以CD∥α或CDα.[答案] CD∥α或CDα7．已知l、m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“mα，l ∥m”中另外添加的一个条件是________．[解析] 根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“lα”．[答案] lα8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是________．直线MD与平面BCC1B1的位置关系是________．[解析] 因为M是A1D1的中点，所以直线DM与直线AA1相交，所以DM与平面A1ACC1有一个公共点，所以DM与平面A1ACC1相交．取B1C1中点M1，MM1綊C1D1，C1D1綊CD，∴四边形DMM1C为平行四边形，∴DM綊CM1，∵DM平面BCC1B1，CM1平面BCC1B1，∴DM∥平面BCC1B1.[答案] 相交平行9．如图，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求证：SA∥平面MDB.[证明] 连接AC交BD于点O，连接OM.∵M为SC的中点，O为AC的中点，∴OM∥SA，∵OM平面MDB，SA平面MDB，∴SA∥平面MDB.10.如图所示，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.[证明] (1)∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD.∵EH平面BCD，BD平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2)∵BD∥EH，BD平面EFGH，EH平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.应试能力等级练(时间25分钟)11．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条[解析] 由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与面D1EF平行．故选D.[答案] D12．如果AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC 的位置关系是( )A．平行B．相交C．AC在此平面内D．平行或相交[解析] 把这三条线段放在正方体内，如图．显然AC∥EF，A C⃘平面EFG.EF平面EFG，故AC∥平面EFG.故选A.[答案] A13．已知直线b，平面α，有以下条件：①b与α内一条直线平行；②b与α内所有直线都没有公共点；③b与α无公共点；④b不在α内，且与α内的一条直线平行．其中能推出b∥α的条件有________．(把你认为正确的序号都填上)[解析] ①中b可能在α内，不符合；②和③是直线与平面平行的定义，④是直线与平面平行的判定定理，都能推出b∥α.[答案] ②③④14．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)[解析] ①设MP中点为O，连接NO.易得AB∥NO，又AB平面MNP，所以AB∥平面MNP.②若下底面中心为O，易知NO∥AB，NO平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．③易知AB∥MP，又AB平面MNP，④易知存在一直线MC∥AB，且MC平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．[答案] ①③15．如图所示，四边形ABCD，四边形ADEF都是正方形，M∈BD，N∈AE，且BM＝AN.求证：MN∥平面CDE.[证明] 证法一：如图所示，作MK⊥CD于K，NH⊥DE于H，连接KH.因为四边形ABCD和四边形ADEF都是正方形，所以BD＝AE，又因为BM＝AN，所以MD＝NE，又因为∠MDK＝∠NED＝45°，∠MKD＝∠NHE＝90°，所以△MDK≌△NEH，所以MK＝NH.又因为MK∥AD∥NH，所以四边形MNHK是平行四边形，所以MN∥KH.又因为MN平面CDE，KH平面CDE，证法二：如图所示，连接AM 并延长交CD 所在直线于G ，连接GE .因为AB ∥CD ， 所以AM MG ＝BMMD ，因为四边形ABCD 和四边形ADEF 都是正方形，所以BD ＝AE ，又BM ＝AN ，所以MD ＝NE ，所以AM MG ＝ANNE ，所以MN ∥GE ，又因为GE 平面CDE ，MN 平面CDE .所以MN ∥平面CDE .。
新教材高中数学第8章立体几何初步8.5.1直线与直线平行8.5.2直线与平面平行学案含解析新人教A
8.5 空间直线、平面的平行8.5.1 直线与直线平行8.5.2 直线与平面平行学习目标核心素养1.能熟悉和明白空间直线平行的通报性 , 相识等角定理．(要点)2.把握直线与平面平行的判定定理和性子定理 , 并能利用这两个定明白决空间中的平行干系题目．(要点)3.利用直线与平面平行的判定定理和性子定理证实空间平行题目．(难点)1.经过根本领实4和等角定理 , 造就直观想象的焦点素质.2.借助直线与平面平行的判定与性子定理 , 晋升逻辑推理的焦点素质.在生涯中 , 注重到门扇的双方是平行的 , 当门扇绕着一边动弹时 , 另一边一直与门框地点的平面没有大众点 , 此时门扇动弹的一边与门框地点的平面给人以平行的印象．题目 : (1)上述题目中存在着稳定的地址干系是指什么？(2)假设判定直线与平面平行 , 由上述题目你能得出一种要领吗？1．根本领实4笔墨表述 : 平行于统一条直线的两条直线平行．这一性子叫做空间平行线的通报性．标记表述 :⎭⎪⎬⎪⎫a∥bb∥c⇒a∥c.2．等角定理假设是空间中两个角的两条边划分对应平行 , 那么这两个角相称或互补．3．直线与平面平行的判定及性子定理前提结论图形说话标记说话判定假设是平面外一条直线与此平面内的一条直线平行该直线与此平面平行⎭⎪⎬⎪⎫l⊄αm⊂α且l∥m⇒l∥α性子一条直线与一个平面平行 , 假设是过该直线的平面与此平面订交该直线与交线平行⎭⎪⎬⎪⎫l∥αl⊂βα∩β＝m⇒l∥m思索 : 假设一条直线平行于一个平面内的一条直线 , 那么这条直线和这个平面平行 ,对吗？[提醒] 凭据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误．1．思索辨析(准确的画〞√〞 , 错误的画〞×〞)(1)假设是一个角的双方与另一个角的双方划分平行 , 那么这两个角相称．( )(2)假设是两条订交直线和另两条订交直线划分平行 , 那么这两组直线所成的锐角(或直角)相称．( )(3)假设是两条直线同时平行于第三条直线 , 那么这两条直线彼此平行．( ) [谜底] (1)×(2)√(3)√2．已知AB∥PQ , BC∥QR , 假设∠ABC＝30° , 那么∠PQR即是( )A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都差池B[因为AB∥PQ , BC∥QR ,以是∠PQR与∠ABC相称或互补．因为∠ABC＝30° , 以是∠PQR＝30°或150°.]3．以下前提中能确立直线a与平面α平行的是( )A．a⊄α , b⊂α , a∥bB．b⊂α , a∥bC．b⊂α , c⊂α , a∥b , a∥cD．b⊂α , A∈a , B∈a , C∈b , D∈b , 且AC＝BDA[由直线与平面平行的判定定理知选A．]4．已知直线l∥平面α , P∈α , 那么过点P且平行于l的直线有________条．1[如以下图 ,∵l∥平面α , P∈α ,∴直线l与点P确立一个平面β , α∩β＝m ,∴P∈m, ∴l∥m且m是独一的．]根本领实4、等角定理的应用【例1】如以下图 , 在正方体ABCDA1B1C1D1中 , M , M1划分是棱AD和A1D1的中点．(1)求证 : 四边形BB1M1M为平行四边形 ;(2)求证: ∠BMC＝∠B1M1C1.[思绪探讨] (1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形 , 可证其一组对边平行且相称 ; (2)可联合(1)利用等角定理证实或利用三角形全等证实．[解] (1)∵ABCDA1B1C1D1为正方体．∴AD＝A1D1 , 且AD∥A1D1 ,又M , M1划分为棱AD , A1D1的中点 ,∴AM＝A1M1且AM∥A1M1 ,∴四边形AMM1A1为平行四边形 ,∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1 ,∴MM1＝BB1且MM1∥BB1 ,∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)法一 : 由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形 ,∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形 ,∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M1C1偏向相似 ,∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二 : 由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形 ,∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形 ,∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC ,∴△BCM≌△B1C1M1 ,∴∠BMC＝∠B1M1C1.1．空间两条直线平行的证实一是界说法 : 即证实两条直线在统一个平面内且两直线没有大众点 ;二是利用平面图形的有关平行的性子 , 如三角形中位线 , 梯形 , 平行四边形等关于平行的性子 ;三是利用根本领实4 : 找到一条直线 , 使所证的直线都与这条直线平行．2．求证角相称一是用等角定理 ; 二是用三角形全等或相似．[跟进练习]1．如以下图 , 已知E , F , G , H划分是空间四边形ABCD的边AB , BC , CD , DA 的中点．(1)求证 : E , F , G , H四点共面 ;(2)假设四边形EFGH是矩形 , 求证 : AC⊥BD．[证实] (1)在△ABD中 ,∵E , H划分是AB , AD的中点, ∴EH∥BD．同理FG∥BD , 那么EH∥FG.故E , F , G , H四点共面．(2)由(1)知EH∥BD ,同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形 ,∴EH⊥GH.故AC⊥BD．直线与平面平行的判定【例2】如以下图 , 空间四边形ABCD中 , E、F、G、H划分是AB、BC、CD、DA的中点．求证 : (1)EH ∥平面BCD ; (2)BD ∥平面EFGH .[思绪探讨] (1)要证EH ∥平面BCD , 只要证EH ∥BD 即可 ; (2)要证BD ∥平面EFGH , 只要证BD ∥EH 即可． [解] (1)∵EH 为△ABD 的中位线 , ∴EH ∥BD ． ∵EH ⊄平面BCD , BD ⊂平面BCD , ∴EH ∥平面BCD ．(2)∵BD ∥EH , BD ⊄平面EFGH , EH ⊂平面EFGH , ∴BD ∥平面EFGH .1．利用直线与平面平行的判定定理证实线面平行 , 要害是探求平面内与已知直线平行的直线．2．证实线线平行的要领常用三角形中位线定理、平行四边形性子、平行线分线段成比例定理、根本领实4等．[跟进练习]2．已知有大众边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 差别在一个平面内 , P , Q 划分是对角线AE , BD 上的点 , 且AP ＝DQ .求证 : PQ ∥平面CBE .[证实] 如以下图 , 作PM ∥AB 交BE 于点M , 作QN ∥AB 交BC 于点N , 毗连MN , 那么PM ∥QN , PM AB ＝EP EA , QN CD ＝BQ BD.∵EA ＝BD , AP ＝DQ , ∴EP ＝BQ . 又∵AB ＝CD , ∴PMQN ,∴四边形PMNQ 是平行四边形 , ∴PQ ∥MN .又∵PQ ⊄平面CBE , MN ⊂平面CBE , ∴PQ ∥平面CBE .直线与平面平行的判定与性子[探讨题目]1．假设直线l∥平面α , 那么l平行于平面α内的全部直线吗？[提醒] 不是．2．假设a∥α , 过a与α订交的平面有几多个？这些平面与α的交线与直线a有什么干系？[提醒] 假设a∥α , 那么过a且与α订交的平面有很多个．这些平面与α的交线与直线a彼此平行．【例3】求证 : 假设是一条直线和两个订交平面都平行 , 那么这条直线和它们的交线平行．[思绪探讨] 先写出已知求证 , 再借助线面平行的性子定理求解．[解] 已知直线a , l , 平面α , β知足α∩β＝l , a∥α ,a∥β.求证 : a∥l.证实 : 如以下图 , 过a作平面γ交平面α于b, ∵a∥α ,∴a∥b.相同过a作平面δ交平面β于c ,∵a∥β, ∴a∥c.那么b∥c.又∵b⊄β , c⊂β, ∴b∥β.又∵b⊂α , α∩β＝l, ∴b∥l.又∵a∥b, ∴a∥l.假设两个订交平面划分过两条平行直线 , 那么它们的交线和这两条平行直线平行．[解] 已知 : a∥b , a⊂α , b⊂β , α∩β＝l.求证 : a∥b∥l.证实 : 如以下图, ∵a∥b , b⊂β , a⊄β ,∴a∥β ,又a⊂α , α∩β＝l, ∴a∥l , 又a∥b ,∴a∥b∥l.线面平行的性子和判定常常瓜代利用 , 也就是经过线线平行获得线面平行 , 再经过线面平行得线线平行.利用线面平行的性子定明白题的详细步调 : 1确立或探求一条直线平行于一个平面 ; 2确立或探求过这条直线且与这个平行平面订交的平面 ;3确立交线 ; 4由性子定理得出线线平行的结论.一、知识点比背1．根本领实4 ;2．等角定理 ;3．直线与平面平行的判定与性子二、要领比背证实线与线、线与面的平行干系的一样平常纪律是 : 〞见了已知想性子 , 见了求证想判定〞 , 也就是说〞发明已知 , 转化结论 , 沟通已知与未知的干系〞．这是剖析息争决题目的一样平常头脑要领 , 而作帮助线和帮助面每每是沟通已知和未知的有用本领．1．假设是直线a∥平面α , 那么直线a与平面α内的( )A．一条直线不订交B．两条直线不订交C．很多条直线不订交D．恣意一条直线不订交D[直线a∥平面α , 那么a与α无大众点 , 与α内的直线固然均无大众点．] 2．已知角α和角β的双方划分平行且一组边偏向相似 , 另一组边的偏向相反 , 假设α＝45° , 那么β＝________.135°[由等角定理可知β＝135°.]3．假设a , b是两条异面直线 , 且a∥平面α , 那么b与α的地址干系是________．平行或订交或b在α内[如以下图 , 在正方体ABCDA1B1C1D1中 ,设平面ABCD为α , A1B1为a , 那么a∥α , 当划分取EF , BC1 , BC为b时 , 均知足a与b异面 , 于是b∥α , b∩α＝B , b⊂α(个中E , F为棱的中点)．]4．过正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求证 : BB1∥EE1.[证实]如以下图, ∵CC1∥BB1 ,∴CC1∥平面BEE1B1.又∵平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1 ,∴CC1∥EE1.因为CC1∥BB1 ,∴BB1∥EE1.。
高考数学(立体几何初步)专题 直线和平面平行学案
第3课时 直线和平面平行1．直线和平面的位置关系、、． 直线在平面内，有公共点． 直线和平面相交，有公共点． 直线和平面平行，有公共点．直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外． 2．直线和平面平行的判定定理如果平面外和这个平面内平行，那么这条直线和这个平面平行． (记忆口诀：线线平行线面平行) 3．直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面，经过平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．(记忆口诀：线面平行线线平行) 例1．如图，P 是∆ABC 所在平面外一点，M ∈PB ， 试过AM 作一平面平行于BC ，并说明画法的理论依据． 解：在平面PBC 内过M 点作MN∥BC，交PC 于N 点， 连AN 则平面AMN 为所求根据线面平行的性质定理及判定定理变式训练1：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 和AC 上的点，且A 1M ＝AN ． 求证：MN∥平面BB 1C 1C ．证明：在面BA 1内作MM 1∥A 1B 1交BB 1于M 1 在面AC 内作NN 1∥AB 交BC 于N 1 易证MM 1 NN 1即可例2. 设直线a∥α，P 为α内任意一点，求证：过P 且平行a 的直线 必在平面α内． 证明：设a 与p 确定平面β，且α∩β＝a' ，则a'∥a 又a ∥ll ∩a'＝p∴a 与a'重合 ∴l ⊂α变式训练2：求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．BCAPM解：已知α∩β＝la ∥α a ∥β 求证：a ∥l 证明：过a 作平面γ交平面α于b ，交平面β于C ， ∵a ∥α，∴a ∥b同理，∵a ∥β ∴a ∥c ∴b ∥c 又∵b ⊄β 且c ⊂β ∴b∥β 又平面α经过b 交β于l ∴b ∥l 且a ∥b ∴a ∥l例3. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧菱PD⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．( 1 ) 证明：PA∥平面EDB ；( 2 ) 求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值． (1 ) 证明：提示，连结AC 交BD 于点O ，连结EO ． ( 2) 解：作EF⊥DC 交DC 于F ，连结BF ．设正方形ABCD 的边长为a ．∵ PD⊥底面ABCD ，∴PD⊥DC． ∴ EF∥PD，F 为DC 的中点．∴EF⊥底面ABCD ， BF 为BE 在底面ABCD 内的射影， ∠EBF 为直线EB 与底面ABCD 所成的角． 在Rt△BCF 中，BF ＝a CF BC 2522=+ ∵ EF＝21PD ＝2a，∴ 在Rt△EFB 中， tan∠EBF＝55=BF EF ．所以EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为55． 变式训练3：如图，在四面体中截面EFGH 平行于对棱 AB 和CD ，试问：截面在什么位置时，其截面的面积最大？ 解：易证截面EFGH 是平行四边形设AB ＝a CD ＝b ∠FGH＝α(a 、b 为定值，α为异面直线AB 与CD 所成的角) 又设FG ＝x GH ＝y 由平几得 CB CG a x =BCBG b y =∴bya x +＝1 ∴y ＝ab (a －x)∴S □ EFGH ＝FG·GH·sinα＝x ·ab (a －x )sinα＝ab αsin x(a －x)∵x ＞0 a －x ＞0 且x ＋(a －x)＝a 为定值 ∴当且仅当 x ＝a －xBADCE PA E FBHGCD即x ＝2a 时(S □ EFGH )max ＝4sin αab例4．已知：∆ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AC 、AB 的中点，沿DE 将∆ADE 折起使A 到A'的位置，若平面A'DE⊥面BCDE ，M 是A'B 的中点，求证：ME∥面A'CD ． 证明：取A'C 的中点N ，连MN 、DN ， 则，∴MN DE ∴ME∥ND 又ME ⊄面A'CD ND ⊂面A'CD ∴ME∥面A'CD变式训练4： (2005年)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点． ( 1 ) 求证：AC⊥BC 1； (2) 求证：AC 1∥平面CDB 1；(3) 求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值．解：（1）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5．∴AC⊥BC，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴AC⊥BC 1；（2）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴DE∥AC 1 ∴DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴A C 1∥平面CDB 1；（3）∵DE∥AC 1，∴CED 为AC 1与B 1C 所成的角，在△CED 中，ED ＝21AC 1＝25，CD ＝21AB ＝25，CE ＝21CB 1＝22，∴cos∠CED =522252228=⨯⨯ ∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为522．1．证明直线和平面平行的方法有：(1)依定义采用反证法；(2)判定定理；(3)面面平行性质；(4)向量法．2．辅助线(面)是解、证有关线面问题的关键，要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作用．ADBB 1C 1A 1C。
立体几何第一章直线和平面平行直线教案
高中立体几何教案第一章直线和平面平行直线教案教学目标1．了解公理4的内容及其初步应用；2．初步了解空间四边形概念的定义及其画法．教学重点和难点空间四边形是立体几何中很重要的一个概念，它与第二章中所讲的三棱锥、四面体这两个概念是相互联系、相互转化但是又有区别的三个不同的概念，所以使学生了解并掌握空间四边形的概念是本节课的重点，而掌握空间四边形的画法是它的难点．教学设计过程师：在平面几何我们讲过定理：平行于同一条直线的两直线平行．这定理在立体几何中还成立不成立？我们可先观察教室中与此有关的模型，再看一看用三根小棍所组成的模型．生：这定理在立体几何中仍成立．师：对，这定理在立体几何中是可以证明的，但为了减少学习立体几何的难度，所以我们不再作为定理要去证明，而把它作为公理，这就是我们今天所要讲的公理4．（板书）公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行．师：下面我们应用公理4来判断下列两直线的位置关系．在正方体ABCD－A1B1C1D1中．（如图1）（1）AB与C1D1是什么位置关系？为什么？生：因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以它的每一个面都是正方形．所以A1B1∥AB，A1B1∥C1D1，所以AB∥C1D1，平行于同一直线的两直线平行．师：（2）A1D1与BC是什么样的位置关系？为什么？生：因为A1D1与BC同平行于B1C1，所以A l D1∥BC．师：（3）如果M、N分别为B1B、C1C的中点，问A1D1与MN是什么样的位置关系？生：由平面几何可知MN∥B1C1，A1D1∥B1C1，所以MN∥A1D1．师：（4）AC与A1C1是什么位置关系？为什么？生：因为AA1BB1，CC1BB1，所以AA1CC1，所以四边形A1ACC1是平行四边形，故AC∥A1C1．师：（5）AD1与BC1是什么位置关系？为什么？生：与（4）同理可知四边形ABC1D1是平行四边形，所以AD1∥BC1．师：在正方体中ABCD－A1B1C1D1中，相对两个面的对角线如AC∥A1C1，BC1∥AD1，A1B∥D1C 等，今后在证有关题时可做结论来用，不要求再证明．师：下面我们来看课本第12页例．（抄题）例已知：四边形ABCD是空间四边形（四个顶点不共面的四边形），E，H分别是边AB，AD中点，F，G分别是CB，CD上的点，且师：括号内“四个顶点不共面的四边形”就是空间四边形这个概念的定义．（同时拿出四根小棍组成首尾相连接的空间四边形的模型让学生观察）这就是空间四边形的模型．师：对这空间四边形的模型，我们从各个不同的角度来观察，从什么位置的视角来画出空间四边形的直观图，才能使这直观图有较强的立体感．当我们从正面来看模型时，这时直观图是什么形状呢？上黑板上来画．生：是这样的形状．（如图2）师：当我们从俯视这个视角来看这个模型，所画出的直观图又是什么样的形状呢？生：可能是这样两种形状．（如图3）师：对．所以从正面这个视角和俯视这个视角来画空间四边形这个模型的直观图时，它们的立体感都不强．而当我们从正侧和后侧这两个视角来画这空间四边形模型的直观图时，立体感才比较强．（如图4）图（2）是高考试卷中出现过的空间四边形的直观图，对空间四边形的直观图的这两种不同视角所得出的两个不同的直观图相比较而言，立体感较强．一般来说，以后画空间四边形时，我们经常采用图（1）所画的直观图．对于最简单的一个空间四边形，由于视角的不同可以画出不同的直观图．关于这点我国宋代有名的诗人苏东坡在他一首哲理诗中就曾经表述过．“横看成岭侧成峰，远近高低各不同．不识庐山真面目，只缘身在此山中．”所以今后在从立体模型画出它的直观图时，一定要注意选择好视角，选择好视角的标准就是所画出的直观图既富有立体感，又能表达出模型中各主要部分的位置关系和度量关系．下面我们就以图4的（1），（2）为基础把第12页中的例题的条件在图中标出，并给予证明．（如图6）师：要证四边形EFGH为梯形，就是要证什么呢？生：要证EH∥HG且EH≠FG．师：怎样证EH∥FG．生：连BD．师：为什么想到连BD？生：因为连BD后，空间四边形ABCD就可以转化为有一公共边的两个三角形，即△ABD 和△CBD．师：很好！连BD看起来很简单，但它的思想很重要，就是把所要解的立体几何问题转化归结为平面几何问题．这种把立体几何问题化归为平面几何问题是我们在解立体几何时最主要，最常用的一种方法，所以从今天起我们就要逐步理解、掌握这种化归方法．连完BD后，我们又如何证明呢？BD，所以EH∥FG（公理4），EH＜FG，由梯形的定义可知四边形EFGH为梯形．师：我们已经证明了这个例题．在证明这题的过程中我们要理解并掌握以下三点：第一，空间四边形的概念；第二，如何选择视角，画出有立体感的空间四边形的直观图；第三，在解立体几何题时，如何自觉地、有意识地把它化归为平面几何问题．现在，我提出一个思考题．在梯形EFGH中，EH＜FG，所以当我们延长FE，GH后，它们一定相交，假设这交点为P．问P点在哪一条直线上？为什么？（这里也可以根据学生水平的情况，直接问P点和直线AC是什么样的关系？为什么？）（这时教师把FE， GH延长后的交点P画出来，让学生观察直观图）生：P点可能在直线AC上．师：对．P点是在直线AC上，我们怎样证明呢？我们首先要想一想P点是如何产生的？生：P点是FE和GH延长后的交点，即FE∩GH=P．师：既然FE∩GH=P，那么我们可知P点在哪一条直线上？生：P∈FE上．师：FE又在哪一个平面内？生：FE 平面ABC．师：所以P点一定在哪一个平面内？生：P∈平面ABC．师：P点又应该在哪一个平面内？生：因为P∈GH，GH 平面ADC，所以P∈平面ADC．师：所以P点是平面ABC和平面ADC的公共点．两个平面的公共点应该在哪一条直线上？生：根据公理2，两个平面的公共点应该在这两个平面的交线上．平面ABC∩平面ACD=AC，所以P∈AC．师：对，这种证明的方法比较特殊，实际是应用了元素与集合、集合与集合之间关系来证明的．这种证明方法具有一般性，即要证一个点在一条直线上，只要证这个点是某两个平面的公共点，而这条直线是这两个平面的交线即可，因为由公理2保证两个平面的公共点一定在一条直线上．同样，当我们要证三点共线时，我们只要证明这三个点都是某两个平面的公共点，那么这三个点一定在一条直线上．师：今天我们讲了公理4及其应用，讲了空间四边形这个概念及其画法．特别要理解在解有关立体几何问题时把它化归为平面几何问题的主要方法．作业课本第页，第题．补充题1．求证：若空间四边形的对角线相等，则顺次连结四边中点所得的四边形的对角线互相垂直．[提示：证四边中点所连的四边形是菱形]2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和D1C1的中点，求证四边形EFDB是梯形．[提示：连D1B1]3．空间四边形ABCD，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且E，F，G，H共面，EH和FG不平行，求证：EH和FG的交点K在直线BD上．[提示：证明K点是平面ABD和平面CBD的公共点]4．△ABC在平面α外，AB的延长线交平面α于P，CB的延长线交平面α于Q，AC的延长线交平面α于R．求证：P，Q，R三点在同一条直线上．[提示：证明这三点是两个平面的公共点]课堂教学设计说明首先，师、生都要理解课本的编者为什么要在此处安排这个例题呢？目的有四：一是建立一个新概念——空间四边形，复习一个旧概念——梯形；二是灵活应用在立体几何中刚学过的知识：平面的基本性质，两条直线的位置关系，公理4以及平面几何中的有关知识；三是初步培养学生的空间想象能力和发展学生的逻辑思维能力；四是使学生初步理解并掌握解立体几何问题把它化归为平面几何问题的这一种数学中常用的化归方法．第二，在前一个设计说明中，我们引入一个“视觉语言”这个概念，关于这个概念今后在设计说明还会经常使用．为了使“视觉语言”有最好的视觉效果，必须选择从立体模型到画出这个模型的直观图的视角．我们有时从一些教学参考书中看到，由于不注意视角的选择，所画的直观图不但不能起到正面的“视觉语言”的效果，而是相反的起到负面的效果．就是学生不但不能看懂它，而且有时还产生错觉．所以，对每一个直观图教师都要精心设计，使之有最佳的视觉效果，关于这一问题，后面我们还要进一步阐述．关于在讲课过程中引用的苏东坡的哲理诗是我在看了余秋雨所著《文化苦旅》第292页后在脑中立刻闪出可以在这节课中引用的，这绝不是为了卖弄，而是这首诗在这里是画龙点睛之笔，绝妙的说明了在观察对象时由于不同的视角而所产生不同的印象．从讲课的效果来看，学生背过这首诗，能完全理解并引起共鸣．在数学课上恰当地引用一些哲学的、文学的语言会使课堂气氛更生动活泼，更有一种文化气息，这也是素质教育的一个方面吧！下面在这里顺便说一下关于等角定理的设计说明．关于等角定理可用类比思想引入，并用四根小棍组成两角做演示，学生很容易了解了定理．关于定理的证明，也是把它化归为平面几何问题，学生也很容易理解．所以关于等角定理不再另写教案．但是，在讲过等角定理和推论后，在课本第14页上的“注意：由上面定理的证明可知：平面里的定义、定理等，对于非平面图形，需要经过证明才能应用”可能被忽视．所以在这里要强调的是教师一定要重视这个“注意”，讲好这个“注意”，并且使学生真正理解这个“注意”．为此，可向学生提出：试举出平面几何中的定理，在立体几何中不能成立的例子．这个问题很难，很多学生都回答不出来．可能只有一些好学生能想出在平面几何中的定理：垂直于同一直线的两直线平行，在立体几何中不成立．因为这时这两直线可能平行、可能相交、可能异面，用三根小棍一演示，学生就容易理解．如果学生再回答不出别的例子，教师可事先准备好如下例子．当然教师也可课前做好有关模型，使学生观察模型后自己得出相应的结论．用一张平行四边形硬纸，沿对角线折起，这时对边仍然相等，但它是一个空间四边形而不是平行四边形．所以两组对边相等的四边形是平行四边形这个平面几何中的定理在立体几何中不能成立．当我们把平行四边形ABCD一张硬纸沿对角线AC折起后，∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD仍成立．但这时ABCD已经是空间四边形．所以两组对角相等的四边形是平行四边形这个平面几何定理在立体几何中不能成立．用一张菱形ABCD的硬纸，沿对角线BD折起，这时四边形ABCD的四边AB=BC=CD=DA仍成立，但它已经是空间四边形，不是菱形．所以四边相等的四边形是菱形这个平面几何定理，在立体几何中不能成立．最难使学生理解的是三个角是直角的四边形是矩形这个平面几何中的定理在立体几何中也不能成立．可做如下模型演示给学生看：一个矩形ABCD的硬纸板，用一根小棍PD垂直于平面ABCD于D，连PA，PC，从模型我们可以观察出∠PAB=∠ABC=∠BCP=90°，这时四边形PABC虽然有三个角是直角，但它不是矩形而是一个空间四边形．这时如果让学生仔细观察可以发现∠APC＜90°．也就是说我们可以发现“空间四边形四内角和小于360°”这是立体几何中的一个定理．关于这个定理的证明可参看1989年版《立体几何（甲种本）全一册教学参考书》（江苏教育学院编，人民教育出版社出版）第198页．虽然举出了上述五个例子，但是学生还是不容易一下子就理解的．因为在初中二年半的时间里学平面几何，长期在二维平面，“爬行状态”的思维方式要转化到在三维空间的“站立状态”的思维方式要有一个“思想解放”的过程．这过程不是一下子就能完成的，而且一定会有反复．要理解这种反复是自然的．我们一定要给学生讲清，在平面几何中是“真理”（定理）的，为什么在立体几何中不再是“真理”（定理）呢？因为任何真理都应以时间、地点、条件为转移的．现在因为条件变了，我们在立体几何中研究的是空间图形，上述五个例子中虽然它们都满足了平面几何有关条件，但是我们都不能证明它们是平面图形，所以平面几何中的定理对它也就失去了有效性．言归正题，经过以上阐述，现在对课本中第14页的“注意：由上面定理的证明可知：平面的定义、定理等，对于非平面图形，需要经过证明才能应用”的重要性，一定有了较深刻的理解．所以在讲过等角定理证明后，一定要讲好这“注意”，使学生起到“解放思想”这个作用重点难点重点：①平面的概念与基本性质②空间直线、平面之间的各种位置关系难点：①应用平面基本性质证明点共线、线共点、点线共面等②应用公理4及等角定理解决有关问题③异面直线的判定、异面直线所成的角知识归纳1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．公理2：不共线的三点确定一个平面．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个公共点的公共直线即交线．2．空间两条直线(1)空间两条直线的位置关系有相交、平行、异面．(2)平行直线①公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．②等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．(3)异面直线①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．②两条异面直线所成的角：对于两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．若两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直．异面直线所成的角的范围是(0，]．3．直线和平面的位置关系(1)直线在平面内——有无数个公共点；(2)直线和平面相交——有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行——没有公共点直线和平面相交或平行统称直线在平面外．4．平面与平面位置关系(1)平行——没有公共点；(2)相交——有一条公共直线．误区警示1．等角定理是求空间中两条直线所成角的基础，运用定理时，应注意“这两个角相等或互补”，只有在“方向相同”时才相等．2．同一平面内两条直线不平行则必相交，但在空间中则不然，平面几何中的一些结论在空间中未必成立．一、共线与共面问题证明共线时，所共的直线一般定位为两个平面的交线；证明共面问题时，一般先由已知条件确定一个平面(有平行直线的先用平行直线确定平面)，再证共它元素在该平面内．二、平移转化法求异面直线所成角的关键——平移直线异面直线所成角的大小，是用过空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角(或直角)来定义的．因此，平移直线是求异面直线所成角的关键．这里给出几种平移直线的途径．(1)在已知平面内平移直线构造可解的三角形，或根据实际情况构造辅助平面，在辅助平面内平移直线构造可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之一；这种方法常常是取两条异面直线中的一条和另一条上一点确定一个平面，在这个平面内过这个点作这条直线的平行线，或在两条异面直线上各选一点连线，构造两个辅助面过渡．[例1]如下图所示，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中点，求异面直线AM和CN所成角的余弦值．(2)利用平行平面平移直线构成可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之二；这种方法常见于两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可利用面面平行的性质，将一条直线平移到另一条所在的平面内．[例2]如右图所示，正方体AC1中，B1E1＝D1F1＝，求BE1与DF1所成角的余弦值．(3)整体平移几何体，构造可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之三．这种方法常常是将原有几何体上再拼接上同样的一个几何体(相当于将原几何体作了一个平移)创造平移直线的条件．[例3]如下图长方体AC1中，AB＝12，BC＝3，AA1＝4，N在A1B1上，且B1N＝4.求BD1与C1N所成角的余弦值．[例1]如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF ∶FB＝2 ∶1，CG GD＝3 ∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连结EH.(1)求AH HD(2)求证：EH 、FG 、BD 三线共点．变试题：如图，在四面体ABCD 中作截图PQR ，PQ 、CB 的延长线交于M ，RQ 、DB 的延长线交于N ，RP 、DC 的延长线交于K .求证M 、N 、K 三点共线．[例2] 如下图所示正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点．问：(1)AM 和CN 是否是异面直线？说明理由．(2)D 1B 和CC 1是否是异面直线？说明理由．变式题： 已知m 、n 为异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面β，α∩β＝l ，则l( )A ．与m 、n 都相交B ．与m 、n 中至少一条相交C ．与m 、n 都不相交D ．与m 、n 中的一条直线相交[例3](08·江西)设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是() A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直变式题(09·江苏)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号________(写出所有真命题的序号)．[例4]已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()变式题：(2009·四川)如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．检测题一、选择题1．(2010·深圳市调研)已知E、F、G、H是空间内四个点，条件甲：E、F、G、H四点不共面，条件乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．(2010·江西文，11)如图，M 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，给出下列四个命题：①过M 点有且只有一条直线与直线AB ，B 1C 1都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线AB ，B 1C 1都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线AB ，B 1C 1都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线AB ，B 1C 1都平行． 其中真命题是( )A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③3．(09·湖南)平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( )A ．3B ．4C ．5D ．64． 过平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有( )A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条5．已知a 、b 、c 是相异直线，α、β、γ是相异平面，下列命题中正确的是( ) A ．a 与b 异面，b 与c 异面⇒a 与c 异面 B ．a 与b 相交，b 与c 相交⇒a 与c 相交 C ．α∥β，β∥γ⇒α∥γ D ．a ⊂α，b ⊂β，α与β相交⇒a 与b 相交6．(2010·广东柳州铁一中高考冲刺)三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为1，P 为侧棱B 1B 上的点，则四棱锥P －ACC 1A 1的体积为( )A.23B.13C ．2D ．17．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值为( )A.3010 B.12 C.3015 D.15108．(文)直线l⊂平面α，经过α外一点A与l、α都成30°角的直线有且只有()A．1条B．2条C．3条D．4条(理)(2010·江西理)过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()A．1条B．2条C．3条D．4条9．(2010·湖北文，4)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()A．①②B．②③C．①④D．③④10．(文)(2010·淄博一中)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则α∥β是l⊥m的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(理)(09·福建)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2二、填空题11．如图是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，则在正方体中，直线MN 与直线PB的位置关系为________．(从相交、平行、异面、重合中选填)12．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为______．13．(文)(2010·江苏盐城调研)已知l是一条直线，α，β是两个不同的平面．若从“①l⊥α；②l∥β；③α⊥β”中选取两个作为条件，另一个作为结论，试写出一个你认为正确的命题________．(请用代号表示)(理)已知直线l1、l2与平面α.则下列结论中：①若l1⊂α，l2∩α＝A，则l1、l2为异面直线②若l1∥l2，l1∥α，则l2∥α③若l1⊥l2，l1⊥α，则l2∥α④若l1⊥α，l2⊥α，则l1∥l2正确结论的序号是________．14．(文)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．(理)(2010·上海大同中学模拟)给出如下四个命题：①有三个角是直角的四边形一定是矩形；②不共面的四点可以确定四个平面；③空间四点不共面的充要条件是其中任意三点不共线；④若点A、B、C∈平面M，且点A、B、C∈平面N，则平面M与平面N重合．其中真命题的序号是________．三、解答题15．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是A1A的中点，求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．16．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，若A1C交平面BDEF于点R，试确定点R的位置．17．(2010·湖南文)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM⊥平面A1B1M.重点：线面、面面平行的判定定理与性质定理及应用难点：定理的灵活运用知识归纳一、直线与平面平行1．判定方法(1)用定义：直线与平面无公共点．(3)其它方法：⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊂β⇒a ∥α 2．性质定理：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b 二、平面与平面平行1．判定方法(1)用定义：两个平面无公共点(2)判定定理：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥βb ∥βa ⊂αb ⊂αa ∩b ＝P ⇒α∥β (3)其它方法：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥β⇒α∥β；⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b c ∥da ，c ⊂αb ，d ⊂βa ∩c ＝A b ∩d ＝B ⇒α∥β.2．性质定理：⎭⎪⎬⎪⎫α∥βγ∩α＝a γ∩β＝b ⇒a ∥b 3．两条直线被三个平行平面所截，截得线段对应成比例． 误区警示1．应用线面平行、面面平行的判定定理与性质定理时，条件不足或条件与结论不符是常见的错误，解决的方法是弄清线线、线面、面面平行关系的每一个定理的条件和结论，明确这个定理是干什么用的，具备什么条件才能用．其中线面平行的性质定理是核心，证题时，找(或作)出经过已知直线与已知平面相交的平面是解题的关键，另外在证明平行关系时，常见错误是(1)“两条直线没有公共点则平行”；(2)“垂直于同一条直线的两直线平行”，不恰当的把平面几何中的一些结论迁移到立体几何中来，解决的关键是先说明它们在同一个平面内．2．注意弄清“任意”、“所有”、“无数”、“存在”等量词的含义．3．注意应用两平面平行的性质定理推证两直线平行时，不是两平面内的任意直线，必须找或作出第三个平面与两个平面都相交，则交线平行．应用二面平行的判定定理时，两条相交直线的“相交”二字决不可忽视．4．要注意符合某条件的图形是否惟一，有无其它情形．一、转化的思想解决空间线面、面面平行关系的问题关键是作好下列转化[例1]已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.二、解题技巧要能够灵活作出辅助线、面来解题，作辅助线、面一定要以某一定理为理论依据．[例1](08·湖南)若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是() A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α变式题：(2010·浙江理)设m，l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m。
新教材高中数学第11章立体几何初步直线与平面平行教案新人教B版必修第四册
新教材高中数学：11.3.2 直线与平面平行学习目标核心素养1.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题．(重点)2．利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题．(难点)1.通过空间直线与平面位置关系的学习，培养直观想象的数学核心素养．2．借助直线与平面平行的判定与性质的学习，提升数学抽象、逻辑推理的数学核心素养.前面我们已经通过一些常见几何体直观认识了直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交，其中后两种位置关系又统称为直线在平面外，根据平面的基本事实2，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，它是我们判断一条直线是否在平面内的重要依据．如果一条直线与平面的公共点个数不是两个，若有且只有一个，则直线与平面相交，若没有公共点，则直线与平面平行．思考：(1)直接判定一条直线与一个平面有没有公共点，是否很容易做到？为什么？(2)假设直线m在平面α内，将直线m平移出平面α，平移后的直线记为l，试判断直线l与平面α的位置关系，并说明理由．1．直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示定理条件结论图形语言符号语言判定定理平面外的一条直线与平面内的一条直线平行这条直线与这个平面平行________l⎭⎪⎬⎪⎫l⊄α，m⊂α，l∥m⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交这条直线与两平面的交线平行⎭⎪⎬⎪⎫l∥α，l⊂β，α∩β＝m⇒l∥m[拓展]直线与平面平行的性质定理与判定定理的关系线面平行的判定定理与性质定理常常交替使用：先通过线线平行找出线面平行，再通过线面平行推出线线平行．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与平面不相交，则直线与平面平行．( )(2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行．( )(3)直线l上有无数多个点在平面α外，则l∥α. ( )(4)过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行．( )[提示](1)错误．若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行．(2)错误．当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行．(3)错误．直线l也可能与平面α相交．(4)错误．在棱柱的上底面内，过一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故(4)错．[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．下列说法正确的是( )A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a∥直线bB．若直线a∥平面α，直线a与直线b相交，则直线b与平面α相交C．若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面αD．若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点D[A中直线a与直线b也可能异面、相交，所以不正确；B中，直线b也可能与平面α平行，所以不正确；C 中，直线b 也可能在平面α内，所以不正确；根据直线与平面平行的定义知D 正确．]3．若a ，b 是异面直线，a ∥α，则b 与α的关系是( ) A ．b ∥α或b ⊂α B ．b 与α相交或b ⊂α或b ∥α C ．b 与α相交或b ∥αD ．b 与α相交或b ⊂αB [如图，长方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，①A ′D ′与AB 异面，A ′D ′∥平面BC ′，而AB 与平面BC ′相交； ②A ′D ′与BB ′异面，A ′D ′∥平面BC ′，而BB ′在平面BC ′内；③分别取AB ，A ′B ′中点E ，F ，EF 与A ′D ′异面，A ′D ′∥平面BC ′，而EF 与平面BC ′平行．]4．如图所示，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝AN ND，则MN 与平面BDC 的位置关系是________．平行 [因为在△ABD 中AM MB ＝AN ND，所以MN ∥BD ，又因为MN ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，所以MN ∥平面BCD ．]证明直线与平面平行【例1】 如图，在三棱台DEF ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．求证：BD ∥平面FGH .[思路探究] 要证明BD ∥平面FGH ，需在平面FGH 内找到一条直线平行于BD ，进而转化为线线平行的证明．[证明]在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，连接CD、FG.设CD∩FG＝O，则O为CD的中点．又H为BC的中点，所以OH∥BD．又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.应用判定定理证明线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：(1)空间直线平行关系的传递性法．(2)三角形中位线法．(3)平行四边形法．(4)成比例线段法．提醒：线面平行判定定理应用的误区(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”．(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．[跟进训练]1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )A[A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB．因为QD∩平面MNQ＝Q，所以QD与平面MNQ相交，所以直线AB与平面MNQ相交．B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，所以AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，所以AB∥NQ.又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.故选A．]线面平行性质定理的应用【例2】α于M，N两点．求证：AM∶MC＝BN∶ND．[证明] 连接AD 交平面α于点E ，连接ME 和NE . 如图所示，因为平面ACD ∩α＝ME ，CD ∥α，所以CD ∥ME ，所以AM MC ＝AE ED.同理可得EN ∥AB ， 所以AE ED ＝BN ND ，所以AM MC ＝BNND，即AM ∶MC ＝BN ∶ND ．利用线面平行的性质定理证明线线平行的四个步骤(1)在已知图形中确定(或寻找)一条直线平行于一个平面． (2)作出(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面． (3)得出交线．(4)根据线面平行的性质定理得出结论．[跟进训练]2．求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行． [解] 已知：α∩β＝l ，a ∥α，a ∥β，求证：a ∥l . 证明：如图，过a 作平面γ交α于b .∵a ∥α，∴a ∥b .过a 作平面ε交平面β于c . ∵a ∥β，∴a ∥c ，∴b ∥c . 又b ⊄β且c ⊂β，∴b ∥β.又平面α过b交β于l，∴b∥l.∵a∥b，∴a∥l.线面平行判定定理与性质定理的综合运用[探究问题]1．如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)是否都和平面α平行？[提示]平行．2．若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的所有直线吗？[提示]不是．3．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？[提示]若a∥α，则过a且与α相交的平面有无数个．这些平面与α的交线与直线a 之间相互平行．【例3】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点P∈BB1(P不与B，B1重合)，PA∩A1B＝M，PC∩BC1＝N.求证：MN∥平面ABCD．[证明]连接AC，A1C1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形ACC1A1是平行四边形，所以AC∥A1C1，因为AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1.因为AC⊂平面PAC，平面A1BC1∩平面PAC＝MN，所以AC∥MN.因为MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD．利用线面平行的判定定理和性质定理的关键及思考方向关键：是过直线作平面与已知平面相交．思考方向：若条件中含有线线平行，可考虑线面平行的判定定理的条件；若条件中含有线面平行，可考虑线面平行的性质定理得线线平行．[跟进训练]3．如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________．平行四边形[因为平面ADC∩α＝EF，且CD∥α，所以EF∥CD；同理可证GH∥CD，EG∥AB，FH∥AB．所以GH∥EF，EG∥FH.所以四边形EFHG是平行四边形．]知识：1．直线与平面平行的判定定理的理解判定直线l和平面α平行时，必须具备三个条件①直线l在平面α外，即l⊄α；②直线m在平面α内，即m⊂α；③两直线l，m平行，即l∥m.这三个条件缺一不可．2．直线与平面平行的性质定理的理解应用性质定理时，必须具备的三个条件①直线l平行于平面α，即l∥α，②直线l在平面β内，即l⊂β，③两平面α与β相交，即α∩β＝m.这三个条件缺一不可．方法：1．证明线面平行的一般方法使用直线与平面平行的判定定理时，关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线，一般遵循“先找后作”的原则，即现有的平面中没有出现与已知直线平行的直线时，我们再考虑添加辅助线．具体操作中，我们可以利用几何体的特征，合理利用中位线定理，或者构造平行四边形等证明两直线平行．2．应用线面平行的性质定理的方法用线面平行的性质证明线线平行的关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行．还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面．1．下列条件中能确定直线a与平面α平行的是( )A．a⊄α，b⊂α，a∥bB．b⊂α，a∥bC．b⊂α，c⊂α，a∥b，a∥cD．b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BDA[由直线与平面平行的判定定理知选A．]2．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有( )A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．以上都有可能C[由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．] 3．正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E三点的平面的位置关系是________．平行[如图所示，连接BD交AC于点O.在正方体中容易得到点O为BD的中点．又因为E为DD1的中点，所以OE∥BD1.又因为OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.]4．直三棱柱ABCA1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD．[证明]如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．。
2019_2020学年高中数学第八章立体几何初步8.5.2直线与平面平行学案新人教A版
8．5.2 直线与平面平行问题导学预习教材P 135－P 138的内容，思考以下问题： 1．直线与平面平行的判定定理是什么？2．直线与平面平行的性质定理是什么？1．直线与平面平行的判定定理用该定理判断直线a 和平面α平行时，必须同时具备三个条件： (1)直线a 在平面α外，即a ⊄α. (2)直线b 在平面α内，即b ⊂α. (3)两直线a ，b 平行，即a ∥b .2．直线与平面平行的性质定理(1)线面平行的性质定理成立的条件有三个：①直线a与平面α平行，即a∥α；②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即a⊂β.以上三个条件缺一不可．(2)定理的作用：①线面平行⇒线线平行；②画一条直线与已知直线平行．(3)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )(2)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α.( )(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．( )(4)若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α.( )(5)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点．( )答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√能保证直线a与平面α平行的条件是( )A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BDD．a⊄α，b⊂α，a∥b答案：D如图，在三棱锥SABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )A ．EF 与BC 相交B ．EF ∥BC C ．EF 与BC 异面D ．以上均有可能解析：选B .因为平面SBC ∩平面ABC ＝BC ，又因为EF ∥平面ABC ，所以EF ∥BC . 已知l ，m 是两条直线，α是平面，若要得到“l ∥α”，则需要在条件“m ⊂α，l ∥m ”中另外添加的一个条件是________．解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l ⊄α”． 答案：l ⊄α直线与平面平行的判定如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是BC ，CC 1，BB 1的中点，求证：EF ∥平面AD 1G .【证明】 连接BC 1，则由E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，知EF ∥BC 1. 又AB═∥A 1B 1═∥D 1C 1，所以四边形ABC 1D 1是平行四边形， 所以BC 1∥AD 1，所以EF ∥AD 1. 又EF ⊄平面AD 1G ，AD 1⊂平面AD 1G ， 所以EF ∥平面AD 1G .应用判定定理证明线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有： ①空间直线平行关系的传递性法； ②三角形中位线法； ③平行四边形法； ④成比例线段法．[提醒] 线面平行判定定理应用的误区(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”． (2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．1．如图，下列正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，则不能得出AB ∥平面MNP 的是( )解析：选C.在题图A ，B 中，易知AB ∥A 1B 1∥MN ，MN ⊂平面MNP ，AB ⊄平面MNP ，所以AB ∥平面MNP ；在图D 中，易知AB ∥PN ，PN ⊂平面MNP ，AB ⊄平面MNP ，所以AB ∥平面MNP .2．已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不同在一个平面内，P ，Q 分别是对角线AE ，BD 上的点，且AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面CBE .证明：如图，作PM ∥AB 交BE 于点M ，作QN ∥AB 交BC 于点N ，连接MN ，则PM ∥QN ，PM AB ＝EP EA ，QN CD ＝BQ BD. 因为EA ＝BD ，AP ＝DQ ， 所以EP ＝BQ .又因为AB ＝CD ，所以PM ═∥QN ， 所以四边形PMNQ 是平行四边形， 所以PQ ∥MN .又因为PQ ⊄平面CBE ，MN ⊂平面CBE ， 所以PQ ∥平面CBE .线面平行性质定理的应用如图，P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过点G 和AP 作平面，交平面BDM 于GH .求证：AP ∥GH .【证明】 如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接MO . 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以点O是AC的中点．又因为点M是PC的中点，所以AP∥OM.又因为AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，所以AP∥平面BDM.因为平面PAHG∩平面BDM＝GH，AP⊂平面PAHG，所以AP∥GH.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA＝3.F在棱PA 上，且AF＝1，E在棱PD上．若CE∥平面BDF，求PE∶ED的值．解：过点E作EG∥FD交AP于点G，连接CG，连接AC交BD于点O，连接FO.因为EG∥FD，EG⊄平面BDF，FD⊂平面BDF，所以EG∥平面BDF，又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF，EG⊂平面CGE，CE⊂平面CGE，所以平面CGE∥平面BDF，又CG⊂平面CGE，所以CG∥平面BDF，又平面BDF∩平面PAC＝FO，CG⊂平面PAC，所以FO∥CG.又O为AC的中点，所以F为AG的中点，所以FG＝GP＝1，即G是PF的中点，又EG∥FD，所以E为PD的中点，所以PE∶ED＝1∶1.1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是( )A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的所有直线不相交解析：选D.若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α.2．给出下列命题：①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.①中，直线可能与平面相交，故①错；②是正确的；③中，一条直线与平面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故③错．3．三棱台ABCA1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是( )A．相交B．平行C．在平面内D．不确定解析：选B.在三棱台ABCA1B1C1中，AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1.4．如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.证明：如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则DF∥BC1.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.[A 基础达标]1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是( )A．直线m在平面α外B．直线m与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行D．直线m与平面α内的一条直线平行解析：选C.选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B 与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m 与平面α平行，故选项C符合题意．2.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则( )A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能解析：选B.因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.3．已知直线a∥平面α，a∥平面β，α∩β＝b，则a与b( )A．相交B．平行C．异面D．共面或异面解析：选B.因为直线a∥α，a∥β，所以在平面α，β中分别有一直线平行于a，不妨设为m，n，所以a∥m，a∥n，所以m∥n.又α，β相交，m在平面α内，n在平面β内，所以m∥β，所以m∥b，所以a∥b.4．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH 时，下列结论中正确的是( )A．E，F，G，H一定是各边的中点B．G，H一定是CD，DA的中点C ．BE ∶EA ＝BF ∶FC ，且DH ∶HA ＝DG ∶GCD ．AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC解析：选D.由于BD ∥平面EFGH ，由线面平行的性质定理，有BD ∥EH ，BD ∥FG ，则AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC .5．若直线l ∥平面α，则过l 作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a ，b ，c ，…，那么这些交线的位置关系为( )A ．都平行B ．都相交且一定交于同一点C ．都相交但不一定交于同一点D ．都平行或交于同一点解析：选A.因为直线l ∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l ∥a ，l ∥b ，l ∥c ，…，所以a ∥b ∥c ∥…，故选A.6．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 分別是对角线A 1D 、B 1D 1的中点，则正方体6个表面中与直线EF 平行的平面有________________．解析：如图，连接A 1C 1，C 1D ， 所以F 为A 1C 1的中点， 在△A 1C 1D 中，EF 为中位线， 所以EF ∥C 1D ，又EF ⊄平面C 1CDD 1，C 1D ⊂平面C 1CDD 1，所以EF ∥平面C 1CDD 1.同理，EF ∥平面A 1B 1BA .故与EF 平行的平面有平面C 1CDD 1和平面A 1B 1BA . 答案：平面C 1CDD 1和平面A 1B 1BA7．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：因为在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝2 2.又E 为AD 的中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，所以EF ∥AC ，所以F 为DC 的中点， 所以EF ＝12AC ＝ 2.答案： 28.如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：因为EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ACD ，平面ACD ∩平面AB 1C ＝AC ， 所以EF ∥AC ，又E 为AD 的中点，AB ＝2， 所以EF ＝12AC ＝12×22＋22＝ 2.答案： 29．如图所示，四棱锥P ABCD 的底面是边长为1的正方形，E 为PC 的中点，PF ＝2FD ，求证：BE ∥平面AFC .证明：如图，连接BD ，交AC 于点O ，取PF 的中点G ，连接EG ，ED ，ED 交CF 于点M ，连接MO .在△PCF 中，E ，G 分别为PC ，PF 的中点， 则EG ∥FC .在△EDG 中，MF ∥EG ，且F 为DG 的中点，则M 为ED 的中点． 在△BED 中，O ，M 分别为BD ，ED 的中点， 则BE ∥MO .又MO ⊂平面AFC ，BE ⊄平面AFC ，所以BE ∥平面AFC .10．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，C 1D 1的中点，求证：EF ∥平面BDD 1B 1.解：如图，取D 1B 1的中点O ，连接OF ，OB . 因为OF ═∥12B 1C 1，BE ═∥12B 1C 1， 所以OF ═∥BE ，所以四边形OFEB 是平行四边形，所以EF ∥BO . 因为EF ⊄平面BDD 1B 1，BO ⊂平面BDD 1B 1， 所以EF ∥平面BDD 1B 1.[B 能力提升]11．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH ∥FG，则EH与BD的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．不确定解析：选A.因为EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，所以EH∥平面BCD.因为EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.12．已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于a的直线( )A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，一定不在α内C．只有一条，一定在α内D．有无数条，一定在α内解析：选C.若这样的直线不只一条，由基本事实4知，这些直线互相平行，这与这些直线都过点P矛盾，因此只有一条．又由直线与平面平行的性质定理知，这条直线一定在α内．13.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，M 是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，所以OM∥PD，又OM⊄平面PCD，且OM⊄平面PDA，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC均相交．14.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE.证明：因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°，所以△ABC∽△EFG，∠EGF＝90°，由于AB＝2EF，因此BC＝2FG.如图，连接AF，由于FG ∥BC ，FG ＝12BC ，在▱ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则AM ∥BC ，且AM ＝12BC ， 因此FG ∥AM 且FG ＝AM ，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM ∥FA .又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，所以GM ∥平面ABFE .[C 拓展探究]15．如图，斜三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点D 1为A 1C 1上的点．当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1?解：如图，取D1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1. 连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形，所以点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点，所以OD 1∥BC 1.又因为OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1，所以BC 1∥平面AB 1D 1.所以当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1.。
高中数学第八章立体几何初步直线与平面平行第1课时直线与平面平行的判定2教案新人教A版必修第二册
第1课时直线与平面平行的判定在直线与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，本节内容既是直线与直线平行关系延续和提高，也是后续研究平面与平面平行的基础，既巩固了前面所学的内容，又为后面内容的学习做了知识上和方法上的准备，在教材中起着承前启后的作用。
课程目标1．理解直线和平面平行的判定定理并能运用其解决相关问题.2．通过对判定定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳直线和平面平行的判定定理，找平行关系；2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.重点：直线与平面平行的判定定理及其应用.难点：直线与平面平行的判定定理，找平行关系.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入问题1.观察开门与关门，门的两边是什么位置关系．当门绕着一边转动时，此时门转动的一边与门框所在的平面是什么位置关系？1【答案】平行.问题2.请同学门将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？桌面内有与l 平行的直线吗？【答案】平行，有.问题3.根据以上实例总结在什么条件下一条直线和一个平面平行？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本135-137页，思考并完成以下问题1、直线与平面平行的判定定理是什么？2、怎样用符号语言表示直线与平面平行的判定定理？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、直线与平面平行的判定定理2四、典例分析、举一反三题型一直线与平面平行的判断定理的理解例1下列命题中正确的个数是( )①若直线a不在α内,则a∥α②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α③若直线l与平面α平行,则l与α内的任意一条直线都平行④若l与平面α平行,则l与α内任何一条直线都没有公共点⑤平行于同一平面的两直线可以相交A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】①a⊄α,则a∥α或a与α相交,故①不正确;②当l与α相交时,满足条件,但得不出l∥α,故②不正确;③若l∥α,则l与α内的无数条直线异面,并非都平行,故③错误;若l∥α,则l与α内的任何直线都没有公共点,故④正确;若a∥α,b∥α,则a与b可以相交,也可以平行或异面,故⑤正确.解题技巧（判定定理理解的注意事项）(1)明确判定定理的关键条件.(2)充分考虑各种可能的情况.(3)特殊的情况注意举反例来说明.跟踪训练一1.设a,b是空间中不同的直线,α,β是不同的平面,则下列说法正确的是( )A.a∥b,b⊂α,则a∥αB.a⊂α,b⊂β,α∥β,则a∥bC.a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α∥β34D.α∥β,a ⊂α,则a ∥β 【答案】D.【解析】A,B,C 错;在D 中,α∥β,a ⊂α,则a 与β无公共点,所以a ∥β,故D 正确.故选D. 题型二 直线与平面平行的判断定理的应用例2 在空间四边形ABCD 中,E ，F 分别是AB ，AD 的中点,求证:EF ∥平面BCD .【答案】证明见解析【解析】∵AE =EB,AF =FB,∴EF ∥BD.ll ⊄平面lll ,ll ⊂平面lll . ∴ EF ∥平面BCD解题技巧： (判定定理应用的注意事项)(1)欲证线面平行可转化为线线平行解决.(2)判断定理中有三个条件,缺一不可,注意平行关系的寻求.常常利用平行四边形、三角形中位线、等比例线段、相似三角形. 跟踪训练二1.如图,已知OA,OB,OC 交于点O,AD12OB,E,F 分别为BC,OC 的中点.求证:DE ∥平面AOC.【答案】证明见解析【解析】证明在△OBC中,因为E,F分别为BC,OC的中点,OB,所以FE 12又因为AD1OB,所以FE AD.2所以四边形ADEF是平行四边形.所以DE∥AF.又因为AF⊂平面AOC,DE⊄平面AOC.所以DE∥平面AOC.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本139页练习1、2、3题，143页习题8.5的4、5、6题.56本节课，从内容上来说，学生基本掌握判定定理，但是在应用中，书写证明过程不太规范，需提高学生的逻辑思维能力.从方法上来说，通过本节课判定定理的学习，学生理解证明一条直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条与此直线平行的直线就可以了，让学生初步感知空间问题可以转化为平面问题解决.。
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高考数学《立体几何初步》专题 直线和平面平行学案
第3课时 直线和平面平行
1．直线和平面的位置关系 、 、 ． 直线在平面内，有 公共点． 直线和平面相交，有 公共点． 直线和平面平行，有 公共点．
直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外． 2．直线和平面平行的判定定理
如果平面外 和这个平面内 平行，那么这条直线和这个平面平行． (记忆口诀：线线平行 线面平行) 3．直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面 ，经过 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．(记忆口诀：线面平行 线线平行)
例1．如图，P 是∆ABC 所在平面外一点，M ∈PB ， 试过AM 作一平面平行于BC ，并说明画法的理论依据． 解：在平面PBC 内过M 点作MN∥BC，交PC 于N 点， 连AN 则平面AMN 为所求
根据线面平行的性质定理及判定定理
变式训练1：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 和AC 上的点，且A 1M ＝AN ． 求证：MN∥平面BB 1C 1C ．
证明：在面BA 1内作MM 1∥A 1B 1交BB 1于M 1 在面AC 内作NN 1∥AB 交BC 于N 1 易证MM 1 NN 1即可
例2. 设直线a∥α，P 为α内任意一点，求证：过P 且平行a 的直线 必在平面α内． 证明：设a 与p 确定平面β，且α∩β＝a' ，则a'∥a 又a ∥l l ∩a'＝p ∴a 与a'重合 ∴l ⊂α
典型例题 B
C
A P M
基础过关
变式训练2：求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行． 解：已知α∩β＝l a ∥α a ∥β 求证：a ∥l 证明：过a 作平面γ交平面α于b ，交平面β于C ， ∵a ∥α，∴a ∥b
同理，∵a ∥β ∴a ∥c ∴b ∥c 又∵b ⊄β 且c ⊂β ∴b∥β 又平面α经过b 交β于l ∴b ∥l 且a ∥b ∴a ∥l
例3. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧菱PD⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．
( 1 ) 证明：PA∥平面EDB ；
( 2 ) 求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值． (1 ) 证明：提示，连结AC 交BD 于点O ，连结EO ． ( 2) 解：作EF⊥DC 交DC 于F ，连结BF ．
设正方形ABCD 的边长为a ．∵ PD⊥底面ABCD ，∴PD⊥DC． ∴ EF∥PD，F 为DC 的中点．∴EF⊥底面ABCD ， BF 为BE 在底面ABCD 内的射影， ∠EBF 为直线EB 与底面ABCD 所成的角． 在Rt△BCF 中，BF ＝a CF BC 2
522=+ ∵ EF＝2
1
PD ＝2
a
，∴ 在Rt△EFB 中， tan∠EBF＝
55
=
BF EF ．所以EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为5
5． 变式训练3：如图，在四面体中截面EFGH 平行于对棱 AB 和CD ，试问：截面在什么位置时，其截面的面积最大？ 解：易证截面EFGH 是平行四边形
设AB ＝a CD ＝b ∠FGH＝α(a 、b 为定值，α为异面直线AB 与CD 所成的角) 又设FG ＝x GH ＝y 由平几得 CB
CG a x =
BC
BG b y =
∴
b
y
a x +＝1 ∴y ＝a
b (a －x)
∴S □ EFGH ＝FG·GH·sinα＝x ·a
b (a －x )sinα
＝a
b αsin x(a －x)
∵x ＞0 a －x ＞0 且x ＋(a －x)＝a 为定值
B
A
D
C
E P
A E F
B
H
G
C
D
∴当且仅当 x ＝a －x 即x ＝2
a 时(S □ EFGH )max ＝4
sin αab
例4．已知：∆ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AC 、AB 的中点，沿DE 将∆ADE 折起使A 到A'的位置，若平面A'DE⊥面BCDE ，M 是A'B 的中点，求证：ME∥面A'CD ． 证明：取A'C 的中点N ，连MN 、DN ， 则MN 2
1BC ，DE 2
1BC
∴MN DE ∴ME∥ND 又ME ⊄面A'CD ND ⊂面A'CD ∴ME∥面A'CD
变式训练4： (2005年北京)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点． ( 1 ) 求证：AC⊥BC 1； (2) 求证：AC 1∥平面CDB 1；
(3) 求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值．
解：（1）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5．
∴AC⊥BC，且BC 1在平面ABC 内的射影为BC ，∴AC⊥BC 1；
（2）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴DE∥AC 1 ∴DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1；
（3）∵DE∥AC 1，∴CED 为AC 1与B 1C 所成的角，在△CED 中，ED ＝2
1AC 1＝2
5，CD ＝2
1AB ＝2
5，CE ＝2
1
CB 1＝22，∴cos∠CED =
5
2
22
52228=
⨯
⨯ ∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为5
2
2．
1．证明直线和平面平行的方法有：(1)依定义采用反证法；(2)判定定理；(3)面面平行性质；(4)向量法．
2．辅助线(面)是解、证有关线面问题的关键，要充分发挥在化空间问题为平面问题的转化作
A
D
B
B 1
C 1
A 1
C
小结归纳
用．。