二元一次方程组的相关概念基础知识讲解

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(完整版)二元一次方程组知识点及典型例题

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二元一次方程组小结与复习一、知识梳理(一)二元一次方程组的有关概念1.二元一次方程:含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。

2.二元一次方程的一个解:适合一个二元一次方程的一对未知数的值,叫这个二元一次方程的一个解。

任何一个二元一次方程都有无数个解。

3.方程组和方程组的解(1)方程组:由几个方程组成的一组方程叫作方程组。

(2)方程组的解:方程组中各个方程的公共解,叫作这个方程组的解。

4.二元一次方程组和二元一次方程组的解(1)二元一次方程组:含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫作二元一次方程组。

(2)二元一次方程组的解:二元一次方程组中各个方程的公共解,叫作这个二元一次方程组的解。

(二)二元一次方程组的解法: 1.代入消元法 2.加减消元法二、典例剖析题型一1.二元一次方程及方程组的概念。

二元一次方程的一般形式:任何一个二元一次方程经过整理、化简后,都可以化成0=++c by ax (a,b,c 为已知数,且a ≠0,b ≠0)的形式,这种形式叫二元一次方程的一般形式。

练习1、下列方程,哪些是二元一次方程,哪些不是?12).().(711)(6526)(=++-=++=-y x xy D y x C yx B x z x A练习2、若方程的值。

的二元一次方程,求、是关于)(n n mm y x y xm 43195=+--练习3、(1)若方程(2m -6)x |n |-1+(n +2)y 82-m =1是二元一次方程,则m =_______,n =__________.专题二:二元一次方程组的解法:解二元一次方程组的基本思想是消元转化。

(一)、代入消元法:1、直接代入 例1 解方程组②①y x x y ⎩⎨⎧=--=.134,32跟踪训练:解方程组:(1)90152x y x y+=⎧⎨=-⎩ (2)⎩⎨⎧-==+73825x y y x2、变形代入 例2 解方程组②①y x y x ⎩⎨⎧=+=-.1043,95跟踪训练:(1)⎩⎨⎧-=--=-.2354,42y x y x (2)⎩⎨⎧=+=+②①77322y x y x(3) ⎩⎨⎧=-=+.123,205y x y x (4) ⎩⎨⎧=-=+②①5231284y x y x(二)、加减消元法例题、解方程组(1)⎩⎨⎧=+=-524y x y x (2)⎩⎨⎧=-=-322543y x y x (3).⎩⎨⎧=+=+.1034,1353y x y x跟踪训练:(1) (2) (3)⎩⎨⎧=+=-1023724y x y x(4) (5)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--9275320232y y x y x (6)11,233210;x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩(三)、选择适当的方法解下列方程组 (1)⎩⎨⎧=+---=+.5)3()1(2),1(32x y x y (2)⎩⎨⎧-=+---=+--23)3(5)4(44)3()4(2y x y x(3)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-++=+3)43(4)1(3)2(311y x y x (4)x 2y+2=02y+22x536⎧⎪⎨⎪⎩---=题型三:代数式的变形 1、在方程=5中,用含的代数式表示为:= ,当=3时,= 。

七年级下-二元一次方程组的定义及解法

七年级下-二元一次方程组的定义及解法

二元一次方程组的定义及解法知识集结知识元二元一次方程(组)的定义知识讲解1. 二元一次方程的定义:含有两个未知数,且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫二元一次方程。

所以满足三个条件:①方程中有且只有两个未知数;②方程中含有未知数的项的次数为1;③方程为整式方程,就是二元一次方程。

注意:主要考查未知数的项的次数为1,方程必须为整式,不能为分式。

例:x=2y.2.二元一次方程组的定义:由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组,叫二元一次方程组。

注意三条:①方程组中有且只有两个未知数。

②方程组中含有未知数的项的次数为1。

③方程组中每个方程均为整式方程。

注意:二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起:①方程可以超过两个;②有的方程可以只有一元。

例题精讲二元一次方程(组)的定义例1.下列方程中,是二元一次方程的是().A.8x2+1=y B.y=8x+1C.y=D.xy=1例2.下列方程组中,是二元一次方程组的是().C.D.A.B.例3.有下列方程组:(1)(2)(3)(4),其中说法正确的是().A.只有(1)、(3)是二元一次方程组B.只有(3)、(4)是二元一次方程组C.只有(4)是二元一次方程组D.只有(2)不是二元一次方程组根据定义求字母的值知识讲解含有参数的二元一次方程组,根据二元一次方程的定义:1.二元的系数不为零。

2.未知数的次数为1。

注意:出现在选择填空题时,可以不用解出方程,可以直接将m,n的值代入验证即可。

例题精讲根据定义求字母的值例1.已知3 =y是二元一次方程,那么k的值是().A.2B.3C.1D.0例2.若﹣8 =10是关于x,y的二元一次方程,则m+n=.例3.'若(a-3)x+=9是关于x,y的二元一次方程,求a的值。

'由实际问题抽象出二元一次方程组知识讲解分析实际问题,找出等量关系,列出实际问题.例题精讲由实际问题抽象出二元一次方程组例1.4辆板车和5辆卡车一次能运27吨货,10辆板车和3车卡车一次能运货20吨,设每辆板车每次可运x吨货,每辆卡车每次能运y吨货,则可列方程组().A.B.C.D.例2.元旦期间,某服装商场按标价打折销售,小王去该商场买了两件衣服,第一件打6折,第二件打5折,共记230元,付款后,收银员发现两件衣服的标价牌换错了,又找给小王20元,请问两件衣服的原标价各是多少?解:设第一件衣服的原标价为x元,第二件衣服的原标价为y元;由题意可得方程组__________。

人教版初中数学第八章二元一次方程组知识点

人教版初中数学第八章二元一次方程组知识点

第八章 二元一次方程组8.1 二元一次方程组1、 二元一次方程的定义:每一个方程都含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.2、 二元一次方程组的定义:把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.3、 二元一次方程的解:一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解,二元一次方程有无数个解.4、 二元一次方程组的解:一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.1.方程组23x y x y +=+=⎧⎨⎩■的解为2x y ==⎧⎨⎩■,则被遮盖的两个数分别是( B ) A .1,2 B .5,1 C .2,-1 D .-1,9解:把x=2代入x+y=3中,得:y=1,把x=2,y=1代入得:2x+y=4+1=5,则被遮住得两个数分别为5,1,2.下列方程是二元一次方程的是( D )A .2132254y y B .2x -4y=5 C.xy=x+y D.x+(3-2y )=5 解:二元一次方程满足的条件:含有2个未知数,未知数的项的次数是1的整式方程.A 、是一元一次方程,故A 错误;B 、是二元二次方程,故B 错误;C 、是二元二次方程,故C 错误;D 、是二元一次方程,故D 正确;3.下列方程组中,是二元一次方程组的是( D )A .12xy x y =⎧⎨-=⎩B .52313x y y x-=⎧⎪⎨-=⎪⎩ C .20132x z x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ D .5723x x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解:A 、第一个方程值的xy 是二次的,故该选项错误;B 、1x是分式,故该选项错误; C 、含有3个未知数,故该选项错误;D 、符合二元一次方程组的定义;4.以方程组⎩⎨⎧+-=+=11x y x y 的解为坐标的点(x ,y )位于( C ) A .x 轴的正半轴 B .x 轴的负半轴C .y 轴的正半轴D .y 轴的负半轴解:解方程组⎩⎨⎧+-=+=11x y x y 可得⎩⎨⎧==10y x ,所以以方程组⎩⎨⎧+-=+=11x y x y 的解为坐标的点为(0,1),这个点的坐标位于y 轴的正半轴.5.已知2-=x ,y=3是二元一次方程5ax y +=的一个解,则a = -1 .解:把x=-2,y=3代入方程5ax y +=可得-2a+3=5,解得a=-1.6.若方程 2x 1-m + y m n +2 = 21是二元一次方程,则mn = -1 . 试题分析:由二元一次方程的定义:含有两个未知数,未知项的的次数为1的整式方程.可以得到m-1=1,2n+m=1,可求得m=2,n=12-,因此mn=-1. 8.2 消元——解二元一次方程组1、代入消元法解二元一次方程组:(1) 基本思路:未知数又多变少.(2) 消元法的基本方法:将二元一次方程组转化为一元一次方程.(3) 代入消元法:把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解.这个方法叫做代入消元法,简称代入法.(4) 代入法解二元一次方程组的一般步骤:1、 从方程组中选出一个系数比较简单的方程,将这个方程中的一个未知数(例如y )用含另一个未知数(例如x )的代数式表示出来,即写成y=ax+b 的形式,即“变”2、 将y=ax+b 代入到另一个方程中,消去y ,得到一个关于x 的一元一次方程,即“代”.3、 解出这个一元一次方程,求出x 的值,即“解”.4、 把求得的x 值代入y=ax+b 中求出y 的值,即“回代”5、 把x 、y 的值用{联立起来即“联”2、加减消元法解二元一次方程组(5) 两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法,简称加减法.(6) 用加减消元法解二元一次方程组的解1、 方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等,那么就用适当的数乘方程两边,使同一个未知数的系数互为相反数或相等,即“乘”.2、 把两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数、得到一个一元一次方程,即“加减”.3、 解这个一元一次方程,求得一个未煮熟的值,即“解”.4、 将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中,求出另一个未知数的值即“回代”.5、 把求得的两个未知数的值用{联立起来,即“联”.1.解方程组:2431x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解:24(1)31(2)x y x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧⎨+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎩①+②,得:5x=5 解得:x=1 把x=1代入(2),得:3+y=1 解得:y=-2 ∴方程组的解为:12x y =⎧⎨=-⎩ 2.解方程组: ⎩⎨⎧-=+=-1373y x y x解:①×3:9321x y -= ③②+③:1020x =2x =代入① 得:1y =-∴原方程组的解为:21x y =⎧⎨=-⎩3.解方程组:2()3()34()3153x y x y x y x y+--=⎧⎨++=+⎩.解:方程组整理得:2()3()34()3()15x y x y x y x y +--=⎧⎨++-=⎩①② ①+②得x+y=3③,把③代入①,得x-y=1④,③+④得:x=2,③-④得:y=1,则原方程组的解是21x y =⎧⎨=⎩. 4.已知:0)82(12=-++--y x y x ,求:x+3y 的平方根.解:由已知得⎩⎨⎧=-+=--08201y x y x 解得⎩⎨⎧==23y x ∴x+3y=3+2×3=9∴x+3y 的平方根是±38.3 实际问题与二元一次方程组1.请根据图中提供的信息,回答下列问题:一个水瓶与一个水杯分别是多少元?解:设一个水瓶x 元,由一个水杯(48-x )元,根据题意得:3x+4(48-x )=152解得:x=40∴48-x=48-40=8(元)答:一个水瓶40元,一个水杯8元.2.甲、乙两个车间工人人数不相等,若甲车间调10人到乙车间,则两车间人数相等;若乙车间调10人到甲车间,则甲车间的人数就是乙车间人数的2倍,求原来甲、乙两车间各有多少名工人?解:设原来甲车间有x 名工人,乙车间有y 名工人,根据题意得:⎩⎨⎧-=++=-)10(2101010y x y x 解得:⎩⎨⎧==5070y x 答:原来甲车间有70名工人,乙车间有50名工人.3.小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯,小锦买了20支笔和2盒笔芯,用了56元,小丽买了2支笔和3盒笔芯,仅用了28元,求每支中性笔和每盒笔芯的价格.解:设每支中性笔为x 元,每盒笔芯为y 元依题意得⎩⎨⎧=+=+283256220y x y x ∴⎩⎨⎧==82y x 答:每支中性笔2元,每盒笔芯为8元4.儿童节期间,文具商店搞促销活动,同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠,能比标价省14元,已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元,那么书包和文具盒的标价各是多少元.解:设书包和文具盒的标价分别为x 元、y 元,依题意得:0.8()1436x y x y x y +=+-⎧⎨-=⎩, 解这个方程组,得5416x y =⎧⎨=⎩;答:书包和文具盒的标价分别为54元、16元.。

七年级数学二元一次方程组(学生讲义)

七年级数学二元一次方程组(学生讲义)

第一章 二元一次方程组【知识要点】1.二元一次方程:含有两个未知数,且未知项的次数为1,这样的方程叫二元一次方程。

①二元一次方程左右两边的代数式必须是整式;(不是整式的化成整式) ②二元一次方程必须含有两个未知数;③二元一次方程中的“一次”是指含有未知数的项的次数,而不是某个未知数的次数。

2.二元一次方程的解:能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的解任何一个二元一次方程都有无数解。

3.二元一次方程组:①由两个或两个以上的整式方程组成,常用“ ”把这些方程联合在一起; ②整个方程组中含有两个不同的未知数,且方程组中同一未知数代表同一数量; ③方程组中每个方程经过整理后都是一次方程, 4.二元一次方程组的解:注意:方程组的解满足方程组中的每个方程,而每个方程的解不一定是方程组的解。

5.会检验一对数值是不是一个二元一次方程组的解6.二元一次方程组的解法:(1) 代入消元法 (2)加减消元法 三、理解解二元一次方程组的思想转化消元一元一次方程二元一次方程组四、解二元一次方程组的一般步骤(一)、代入法一般步骤:变形——代入——求解——回代——写解 (二)、加减法一般步骤:变形——加减——求解——代入——写解1.1 二元一次方程组的解法(1)用代入法解二元一次方程组例:解方程组 ⎩⎨⎧=+=+1523y x y x※解题方法:①编号:将方程组进行编号;②变形:从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形,用含有x (或y )的代数式表示y (或x ),即变成y=ax+b (或x=ay+b )的形式;③代入:将y=ax+b (或x=ay+b )代入另一个方程(不能代入原变形方程)中,消去y (或x ),得到一个关于x (或y )的一元一次方程;④求x (或y ):解这个一元一次方程,求出x (或y )的值;⑤求y (或x ):把x (或y )的值代入y=ax+b (或x=ay+b )中,求出y (或x )的值;⑥联立:用“{”联立两个未知数的值,就是方程组的解。

《二元一次方程组》知识讲解及例题解析

《二元一次方程组》知识讲解及例题解析

《二元一次方程组》知识讲解及例题解析◆知识讲解1.二元一次方程组的有关概念二元一次方程:含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1•的整式方程叫做二元一次方程.二元一次方程的解集:适合一个二元一次方程的每一对未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.对于任何一个二元一次方程,令其中一个未知数取任意一个值,都能求出与它对应的另一个未知数的值.因此,任何一个二元一次方程都有无数多个解.由这些解组成的集合,叫做这个二元一次方程的解集.二元一次方程组及其解:两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组.一般地,能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解.2.二元一次方程组的解法代入消元法:在二元一次方程组中选取一个适当的方程,将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,消去一个未知数得到一元一次方程,求出这个未知数的值,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消元法.加减消元法:两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相差,从而消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法,简称加减法.3.二元一次方程组的应用对于含有多个未知数的问题,利用列方程组来解,一般比列一元一次方程解题容易得多.列方程组解应用问题有以下几个步骤:(1)选定几个未知数;(2)依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程,组成方程组;(3)解方程组,得到方程组的解;(4)检验求得未知数的值是否符合题意,符合题意即为应用题的解.◆例题解析例1 已知21xy=⎧⎨=⎩是方程组2(1)21x m ynx y+-=⎧⎨+=⎩的解,求(m+n)的值.【分析】由方程组的解的定义可知21xy=⎧⎨=⎩,同时满足方程组中的两个方程,将21xy=⎧⎨=⎩代入两个方程,分别解二元一次方程,即得m 和n 的值,从而求出代数式的值.【解答】把x=2,y=1代入方程组2(1)21x m y nx y +-=⎧⎨+=⎩中,得22(1)12211m n ⨯+-⨯=⎧⎨+=⎩ 由①得m=-1,由②得n=0.所以当m=-1,n=0时,(m+n )=(-1+0)=-1.【点评】如果是方程组的解,那么它们就能满足这个方程组中的每一个方程. 例2 “5.12”汶川大地震后,灾区急需大量帐篷.•某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产,工厂决定转产,计划用3天时间赶制1000•顶帐篷支援灾区.若启用1条成衣生产线和2条童装生产线,一天可以生产帐篷105顶;•若启用2条成衣生产线和3条童装生产线,一天可以生产帐篷178顶.(1)每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶?(2)工厂满负荷全面转产,是否可以如期完成任务?如果你是厂长,你会怎样体现你的社会责任感?【解答】(1)设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各x ,y 顶,则210523178x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得:x=41;y=32答:每条成衣生产线平均每天生产帐篷41顶,每条童装生产线平均每天生产帐篷32顶.(2)由3×(4×41+5×32)=972<1000知,即使工厂满负荷全面转产,也不能如期完成任务.可以从加班生产,改进技术等方面进一步挖掘生产潜力,或者动员其他厂家支援等,想法尽早完成生产任务,为灾区人民多做贡献.例3 某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”和徽章两种奥运商品,根据下图提供的信息,•求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元?【分析】本题以图文形式提供了部分信息,主要考查学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力.【解答】设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x 元和y 元.依题意,得214523280x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组,得12510x y =⎧⎨=⎩ 故一盒“福娃”玩具的价格为125元,一枚徽章的价格为10元.例4 为满足用水量不断增长的需求,昆明市最近新建甲,乙,•丙三个水厂,这三个水厂的日供水量共计11.8万m 3,•其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍,丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m 3.(1)求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米?(2)在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600t 土石,运输公司派出A 型,B •型两种载重汽车,A 型汽车6辆,B 型汽车4辆,分别运5次,可把土石运完;或者A 型汽车3辆,B 型汽车6辆,分别运5次,也可把土石运完,那么每辆A 型汽车,每辆B 型汽车每次运土石各多少吨?(每辆汽车运土石都以准载重量满载)【分析】(1)可设甲水厂的日供水量是x 万m 3,则乙水厂的日供水量是3x 万m 3,丙水厂的日供水量是(12x+1)万m 3,由三个水厂的日供水量总和为11.8万m 3,可列方程x+3x+12x+1=11.8; (2)设每辆A 型汽车每次运土石xt ,B 型车每辆每次运土石yt ,•依题意可列方程组30206001530600x y x y +=⎧⎨+=⎩解方程后可求解.【解答】(1)设甲水厂的供水量是x 万m 3,则乙水厂的日供水量是3x 万m 3,丙水厂的日供水量是(12x+1)万m 3. 由题意得:x+3x+12x+1=11.8,解得x=2.4. 则3x=7.2,x+1=2.2.答:甲水厂日供水量是2.4万m 3,乙水厂日供水量是7.2万m 3,•丙水厂日供水量是2.2万m 3.(2)设每辆A 型汽车每次运土石xt ,每辆B 型汽车每次运土石yt ,由题意得: 30206001530600x y x y +=⎧⎨+=⎩ ∴1015x y =⎧⎨=⎩答:每辆A型汽车每次运土石10t,每辆B型汽车每次运土石15t.【点评】本例系统地考查了一元一次方程和二元一次方程组这两个重要内容,在同一背景下提供不同的动作方案是近年中考应用题的发展方法.。

第8讲 《二元一次方程组》复习讲义

第8讲    《二元一次方程组》复习讲义

《二元一次方程组》复习讲义知识导航知识点1 二元一次方程组的概念概念:含有个未知数,且且含有的次数都是1方程叫做二元一次方程.把具有相同未知数的两个二元一次方程组合在一起叫做二元一次方程组.知识点2 解二元一次方程组(1)二元一次方程的解:一般的,使二元一次方程两边的两个未知数的值,就是二元一次方程的解,二元一次方程有无数个解.(2)二元一次方程组的解:一般的,二元一次方程组的两个方程,叫做二元一次方程组的解.(3)解二元一次方程组的思想是.知识点3 解二元一次方程组的基本方法是:(1)消元法:把二元一次方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,并代入另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程.(2)消元法:当二元一次方组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程..知识点4 三元一次方程组及解法(1)三元一次方程组的概念:一个方程组中含有三个未知数,每个方程中含有未知数的项的次数都是,并且一共有,像这样的方程组叫做三元一次方程组.(2)三元一次方程组的解法:通过“代入”或“加减”进行消元,把“三元”化为“二元”,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而再转化为解一元一次方程.方法总结①方程思想:方程思想在中学数学中是一种非常重要的数学思想方法,是指在求指数学问题时,从已知和未知量之间的数学量关系入手,得出相等关系.把方字语言转化为符号语言即转化为方程(组),再通过解方程(组)使数学问题获得解决.②消元的数学思想消元是解方程的基本思想,消元的目的是将多元方程逐步转化为一元方程,本章中消元的两个基本策略是代入消元和加减消元.第三部分:考点突破考点1 二元一次方程组的概念 1.下列是二元一次方程的是.(1)2x-3y=5 (2) xy=3 (3) x+y=0 (4) x 2+x=1 (5) 3x-y=2z (6)(1/3)x+(1/2)y=1 2.如果8243352=----+b a b a y x 是二元一次方程,那么=-b a .考点2 方程组的解法及解的应用 3.解二元一次方程组 (1)⎩⎨⎧-=-=+13y x y x (2)⎩⎨⎧=+-=22332y x yx (3)(5)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+=-+725222z y x z y x z y x (4)4.已知关于x ,y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx +ny =7,2mx -3ny =4的解为⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =2.求m ,n 的值.考点3 方程组的应用5..小明带7元钱去买中性笔和橡皮(两种文具都买),中性笔每支2元,橡皮每块1元,那么中性笔能买__支.6.小明在某商店购买商品A 、B 共两次,这两次购买商品A 、B 的数量和费用如表:若小丽要购买3个商品A 和2个商品B ,则她要花费多少元钱?4 393 6 6 1627.某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱,甲矿泉水的成本是24元/箱,销售价是36元/箱;乙矿泉水的成本价是33元/箱,销售价是48元/箱. (1)该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱?(2)全部售完500箱矿泉水,该商场共获得利润多少元?8.某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间,据统计该校高一年级男生740人,使用了55间大寝室和50间小寝室,正好住满;女生730人,使用了大寝室50间和小寝室55间,也正好住满.(1)求该校的大小寝室每间各住多少人?(2)预测该校今年招收的高一新生中有不少于630名女生将入住寝室80间,问该校有多少种安排住宿的方案?9.由于电力紧张,某地决定对工厂实行鼓励错峰用电,规定:在每天7:00至24:00为用电高峰期,电价为a 元/度,每天0:00至7:00为用电平稳期,电价为b 元/度,若4月份在平稳期的用电量占当月用电量的31,5月份在平稳期的用电量占当月用电量的41,已知4月份用电12万度,交电费6.4万元,5月份用电16万度,交电费8.8万元.(1)求a 、b 的值;(2)若平稳期用电为x 万度,电费为y 元,已知6月份用电20万度. ①求出y 与x 之间的函数关系式;②为将电费控制在10万元至10.6万元之间,那么该厂6月份在平稳期用电量占当月总用电量比例应在什么范围?《二元一次方程组》过关测试卷(总分:100分 时间:60分钟 命题人:任艳霞)一、选择题(共6小题,每题4分,共24分) 1.下列方程组中,是二元一次方程组的是( )A .228423119 (237)54624x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩2.方程组⎩⎨⎧=-=-82352y x y x ,消去y 后得到的方程是( )A 、01043=--x xB 、8543=+-x xC 、8)25(23=--x xD 、81043=+-x x3.已知b a 、满足方程组⎩⎨⎧=-=+43125b a b a ,则b a +的值为( )A.-4B.4C.-2D.24.一等腰三角形的两边长为x ,y ,满足方程组⎩⎨⎧=+=-82332y x y x ,则此等腰三角形的周长为( )A.4B.5C.3 D5或45.若二元一次方程,,有公共解,则的取值( ) A 、3 B 、-3 C 、-4 D 、46.若0125=+-+++b a b a ,则=-2015)(a b ( )A.-1B.1C.20155D.-20155二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 7.方程52=+y x 的正整数解是_.8.已知关于x ,y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x +3y =k ,x +2y =-1的解互为相反数,则k 的值是____.9.若⎩⎨⎧==12y x 是方程⎩⎨⎧=+=-+12)1(2y nx m x 的解,则()=+2012n m 的值是__________.10.若,则= ,= .三、解答题(共56分) 11.(10分)解方程组 (1)⎩⎨⎧=+=-24352y x y x (2)⎩⎨⎧=+-=-632223y x y x12.(12分)已知方程组51542ax y x by +=⎧⎨-=-⎩,由于甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为131x y =-⎧⎨=-⎩,乙看错了方程②中的b 得到方程组的解为54x y =⎧⎨=⎩,若按正确的a 、b 计算,则原方程组的解是多少?13.(12分)运往灾区的两批货物,第一批共480吨,用8节火车车厢和20辆汽车正好装完;第二批共运524吨,用10节火车车厢和6辆汽车正好装完,求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨?14.(14)某服装店用6 000元购进A ,B 两种新式服装,按标价售出后可获毛利润3 800元(毛利润=售价-进价),这两种服装的进价、标价如下表所示:(1)求这两种服装各购进的件数;(2)如果A 种服装按标价的8折出售,B 种服装按标价的7折出售,那么这批服装全部售完后,服装店比按标价售出少收入多少元?15.某蛋糕产销公司A 品牌产销线,2015年的销售量为9.5万份,平均每份获利1.9元,预计以后四年每年销售量按5 000份递减,平均每份获利按一定百分数逐年递减;受供给侧改革的启发,公司早在2014年底就投入资金10.89万元,新增了一条B 品牌产销线,以满足市场对蛋糕的多元需求.B 品牌产销线2015年的销售量为1.8万份,平均每份获利3元,预计以后四年每年销售量按相同的份数递增,且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增;这样,2016年,A ,B 两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份,B 品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数. (1)求A 品牌产销线2018年的销售量;(2)求B 品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数.。

第4讲 二元一次方程(组)的概念与解法(学生版)

第4讲 二元一次方程(组)的概念与解法(学生版)

第4讲 二元一次方程(组)的概念与解法一、知识回顾:一、二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义定义:方程中含有两个未知数(一般用x 和y ),并且未知数的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解定义:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解. 特别说明:二元一次方程的每一个解,都是一对数值,而不是一个数值,一般要用大括号联立起来,即二元一次方程的解通常表示为⎩⎨⎧ba==y x 的形式.3. 二元一次方程组的定义定义:把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组. 此外,组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如,二元一次方程组3452x y x +=⎧⎨=⎩.4. 二元一次方程组的解定义:一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.二、二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想2.解二元一次方程组的基本方法:代入消元法和加减消元法 (1)用代入消元法解二元一次方程组的一般过程:①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形,用含有x (或y )的代数式表示y (或x ),即变成b ax y +=(或b ay x +=)的形式;②将b ax y +=(或b ay x +=)代入另一个方程(不能代入原变形方程)中,消去y (或x ),得到一个关于x (或y )的一元一次方程;③解这个一元一次方程,求出x (或y )的值;转化消元一元一次方程二元一次方程组④把x (或y )的值代入b ax y +=(或b ay x +=)中,求y (或x )的值; ⑤用“{”联立两个未知数的值,就是方程组的解. (2)用加减消元法解二元一次方程组的一般过程:①根据“等式的两边都乘以(或除以)同一个不等于0的数,等式仍然成立”的性质,将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式;②根据“等式两边加上(或减去)同一个整式,所得的方程与原方程是同解方程”的性质,将变形后的两个方程相加(或相减),消去一个未知数,得到一个一元一次方程; ③解这个一元一次方程,求出一个未知数的值;④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中,求出另一个未知数的值; ⑤将两个未知数的值用“{”联立在一起即可.二、经典例题:知识点一、二元一次方程(组)的概念【例1】若(a −2)x |a−1|−3y =5是关于x 、y 的二元一次方程,则a 的值为( ) A .0 B .2 C .0或2 D .1或2 【例2】下列各组数中,是二元一次方程3x −5y =8的解的是( )A .{x =1y =1B .{x =−1y =1C .{x =−1y =−1D .{x =1y =−1【例3】若{x =−1y =2是关于x ,y 的二元一次方程3x+ay=5的一个解,则a 的值为 【例4】如果{x =1,y =2是关于x ,y 的方程mx +2y =6的解,那么m 的值为() A .−2 B .−1 C .1 D .2【例5】下列方程中:①xy =1 ;②3x +2y =4 ;③2x +3y =0 ;④x 4+y3=7 ,二元一次方程有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 【例6】下列方程组是二元一次方程组的是( )A .{mn =2m +n =3 B .{5m −2n =01m+n =3C .{m +n =03m +2a =16D .{m =8m 3−n 2=1知识点二、二元一次方程组的解法【例7】用代入消元法解方程组 {y =x −13x −2y =5正确的化简结果是( ) A .3x −2x −2=5 B .3x −2x +2=5 C .3x −2x −1=5 D .3x −2x +1=5【例8】用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是( )A .由(1),得x=2−4y 3B .由(1),得y=2−3x 4C .由(2),得x=y+52D .由(2),得y=2x ﹣5【例9】解方程组。

完整版)二元一次方程组知识点归纳

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完整版)二元一次方程组知识点归纳二元一次方程组是数学中的基本概念,它包含了两个未知数,且未知数的项次数都是1.这样的方程被称为二元一次方程。

当两个二元一次方程具有相同的未知数时,它们可以被合并成一个二元一次方程组。

需要注意的是,一个或多个二元一次方程也可以单独组成一个方程组。

二元一次方程组的解是指使方程组中两个未知数相等的值。

一个二元一次方程有无数个解。

二元一次方程组的解是指满足方程组中两个方程的公共解。

例如,方程组x+y=5和6x+13y=89有解x=-24/7,y=59/7.有些方程组没有解,例如x+y=4和2x+2y=10.这是因为方程②化简后为x+y=5,这与方程①相矛盾。

消元是解决方程组的一种常用方法,它可以将方程组中的未知数个数由多化少。

代入消元法是一种常见的消元方法,它可以将一个方程中的未知数用另一个未知数的式子表示出来,然后代入另一个方程中,消元求解。

加减消元法是另一种解二元一次方程组的方法,它可以将两个方程相加或相减,消去其中一个未知数,从而得到一个关于另一个未知数的一元一次方程。

最后解出这个方程,求出未知数的值。

1.理解问题,明确未知量和已知量之间的关系;2.根据问题中的条件,列出方程(组);3.解方程(组),求出未知量的值;4.检验解是否符合实际情况;5.给出问题的答案,并附上解题过程。

七、注意事项1.在解题过程中,要注意符号的运用,避免出现计算错误;2.在列方程(组)时,要注意把问题中的信息全部转化为数学语言,避免遗漏;3.在解方程(组)时,要注意检查解的合理性,避免出现无解或多解的情况;4.在解应用题时,要注意理解问题的实际意义,避免出现解出的答案与实际情况不符的情况。

解二元一次方程组的方法主要有加减消元法和代入法。

在同一个方程中,如果同一未知数的系数不相等或不互为相反数,就可以用适当的数乘方程两边,使同一未知数的系数相等或互为相反数,即“乘”。

将两个方程的两边相加或相减,可消去一个未知数,得到一个一元一次方程,即“加减”。

(完整版)二元一次方程基本概念及基本解法讲解

(完整版)二元一次方程基本概念及基本解法讲解

二元一次方程一、二元一次方程的概念:含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是 1,像这样的方程叫做二元一次方程.注意:二元一次方程满足的三个条件:(1)在方程中“元”是指未知数, “二元”就是指方程中有且只有两个未知数 .(2) “未知数的次数为1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是 1.(3)二元一次方程的左边和右边都必须是整式^练习1:已知下列方程,其中是二元一次方程的有 .(1)2x-5=y; (2)x-1 = 4; (3)xy = 3;(4)x+y = 6; (5)2x-4y=7;一 1- 2 1 _ 2__ x4y -(6) x - 0; (7)5x — 1; (8)x - y 3; (9) x 8y 0; (10) ---------------- 6.2 y 2 2【变式1 ]下列方程中,属于二元一次方程的有()2A. xy 7 1B. 2x 1 3y 1C. 4x 5y 3x 5yD. 3x — 1 y二、二元一次方程的解:一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值, 叫做二元一次方程的一组解.注意:如:x y 10的解可以是练习2:二元一次方程 x-2y= 1有无数多个解,下列四组值中不是该方程解的是x 1 x 1C. D.y 0 y 1.............................. x 2【变式2】若方程ax 2y 4的一个解是 ,则a= .y 1三、二元一次方程组把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组 注意:组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数,例如3x 1 0也是二元一次方x 2y 5(1)二元一次方程的解都是一对数值,而不是一个数值, 般用大括号联立起来, 如:x 2, y 5.(2) 一般情况下,二元一次方程有无数个解, 即有无数多对数适合这个二元一次方程.x 1 B.y 1程组.练习3:下列方程组中,是二元一次方程组的是( )四、二元一次方程组的解一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解^注意:(1)二元一次方程组的解是一组数对, 它必须同时满足方程组中的每一个方程, 一般x a , 写成的形式.y b〃, ,、…,…一“ ,一,/ , 2x y 5T (2)一般地,二元一次方程组的解只有一个, 但也有特殊情况,如方程组无2x y 6一 一、… x y 1 ,…,解,而方程组 "的解有无数个.2x 2y 2【巩固练习】 一、选择题1 .下列方程中,属于二元一次方程的是(A. xy-7=1B. 2x-1 = 3y+12 .下列方程组是二元一次方程组的是()x 3 _3 .以为解建立一个二兀一次万程,不正确的是()y 11 x 25 A. 3x- 4y= 5 B. —xy 0 C. x +2y = - 3 D.— — y —3 2 362x y 3 34 .方程组的解是()x y 3C.2x 2 3y 7 5(x 9) 1 y B.3- y 2 8 x 2x 3 7yx 13z 5(x y) 2x 3z 7yD.5(x y) (x y) 8 2x 3y 1) 7C. 4x-5y=3x-5y0 2D. 3x 一y x y 5A.z x 3x y xy 4 C.3x y 41-x 2y 13D.2-x - y 2(x 3 22y)x 1 x 2A. B.y 2 y 1C.y 1D.「 ,、… 6x 5y 11, ①……5 .已知二元一次方程组 7,下列说法正确的是()3y 2x 7,②A.适合②的x, y 的值 是方程组的解①②B.适合①的x, y 的值 是方程组的解C.同时适合①和②的x, y 的值 不一定是方程组的解D.同时适合①和②的 x, y 的值 是方程组的解 6 .关于m, n 的两个方程2m n 3与3m 2n二、填空题7 .由x+2y =4,得到用y 表示x 的式子为x= x y 4 ,, …8 .在二元一次方程组中,有x 6 ,则y _______ , m ______2x m 3y9 .若 |x 2 (3y 2x)2 0 ,则二的值是次方程"工+如二一2的一个解,则2a-b-6的值是11 .已知以一 1|+[2>+1),=0 ,且2工一仙=4 ,则太=一一 .一 x 2 ........... .12 .右方程ax-2y = 4的一个解是 ,则a 的值是 ___________ .y 1三、解答题x 213,已知是一个二元一次方程的解,试写出一个符合条件的二元一次方程组.y 314.根据下列语句,分别设适当的未知数,列出二元一次方程或方程组.(1)甲数的1比乙数的2倍少7;33 .、1的公共解是(A.m 0B .n 3m 1 C.n 1m 0 1 D.n -21m - 2 n 2;得到用x 表示y 的式子为 y=x = 210.若"是二兀〔A —(2)摩托车的时速是货车的一倍,它们的速度之和是200km/h;2(3)某种时装的价格是某种皮装价格的 1.4倍,5件皮装比3件时装贵700元解二元一次方程方法1.代入消元法解二元一次方程组代入消元法解二元一次方程组的步骤有四步:(1)变形:将方程组中系数较简单的方程变形,将系数较简单的未知数用另一个未知 数表示出来;(2)代入:将变形的方程代入另一个方程,这样便消去一元,求出一个未知数的值; (3)代入:将求得的未知数的值代入变形后的方程(这一点要特别注意),求出另一个未知数的值;(4)写出方程组的解.一般地,当方程组中某个方程的某未知数的系数绝对值是 1或常数项为0时,用代入法简便.3x 2y 7, ① x 2y 5. ② x 5 2y.③ 3(5 2y) 2y 7,15 6y 2y 7, 8y 8, y 1.把y 1代入③,得 x 3.点评:此题方程②的系数较简单,且方程②中未知数x 的系数是1,因此考虑将方程②变形,并用含y 的代数式表示x.用代入消元法解二元一次方程组, 需先观察方程组的系数特点,判断消去哪个未知数较为简单 .代入消元时,要注意所代代数式的整体性,必要时可添加括号,以避免符号错误 .x 3y 4, ①变式2:用代入法解方程组:1 1-x -y 0.② 4 2方法2.加减消元法解二元一次方程组 加减消元法解二元一次方程组的步骤有四步:(1)变形:使方程组中某未知数的绝对值相等;(2)加减:若某未知数的系数相等,两方程相减;若某未知数的系数互为相反数,两 方程相加;这样便消去一元,求出一个未知数的值;(3)代入:将求得的未知数的值代入系数较简单的方程,求出另一未知数的值; (4)写出方程组的解.进行加减消元时,要注意做到以下几点:(1)当方程组比较复杂时,应先整理变形,把方程组整理成形如:a1x b 1yc 1’的形a 2xb 2yc 2式,若此时两未知数的绝对值都不相等, 则先观察哪个未知数的系数较易化为绝对值 (系数的最小公倍数的绝对值)相等的形式,且计算简单,然后将其化为系数的绝对值相等的形式例2解方程组 解析:由②,得 将③代入①,得所以原方程组的解是x 3,y 1.(2)两个未知数的值都可采用加减消元法的方法求出^(3)当方程组中的某一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍关系时,用加减法简 便.③-④,得 29m=-29 , m=-1. 将 m=-1 代入①,得-5+2 n=1, n=3.③ +④,得 29n=87, n=3.把 n=3 代入①,得 5m+6=1 , m=-1. 点评:此题方程组中的两方程, 两未知数的系数分别既不相等也不互为相反数,即绝对值不相等.因此先将两方程分别变形, 使某个未知数的系数的绝对值相等 .比较题中的两种方法, 先消去系数比较简单的未知数 n,解法较为简捷.另外用加减消元法解二元一次方程组,需 注意两方程相减时,符号的正确处理 . 练习f9x+2y=20 l3x+4y=10例3解方程组:5m 2n 1, ①7m 3n 16.②解析:法①②X2,得15m 6n 3, ③14m 6n 32.④所以原方程组的解为m 1, n3.法二:①X 7,②X 5,得35m 14n 35m 15n7, 80.④所以原方程组的解为m 1, n 3.(1)j 2戈-3产- 5[3x+2y=12"2y=3⑸" x 一第F ;J- -2=10附加题C3 (s- t) - 2 ts+t) =10 13 fs-t) +2 (s+t) =26x 2 y 1--- --- - 2(8) 3 2x 2 1 y d1。

【基础】二元一次方程(组)单元讲义

【基础】二元一次方程(组)单元讲义

二元一次方程组讲义一、二元一次方程(组)的概念①二元一次方程: 含有两个未知数,并且含有未知数项的次数都是1的方程。

注意:满足的四个条件:1、都是整式方程;2、只含有两个未知数;3、未知数的项最高次数都是一次;4、含有未知数的项的系数不为0.②二元一次方程组:含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫二元一次方程组。

注意:1)满足的三个条件:1、每个方程都是一次方程;2、方程组具有两个未知数;3、每个方程均为整式方程。

2)方程组的各个方程中,相同字母必须代表同一数量,否则不能将两个方程合在一起,组成方程组。

例题①二元一次方程:例1、下列方程①x x 263=+,②3=xy ,③42=-x y ,④y y x 2410=-,⑤21=+yx ,⑥532=+xy x ,⑦03=+-z y x ,⑧1332=+y x 中,二元一次方程有 个。

例2、方程14-=-x y ax 是二元一次方程,则a 的取值范围为 .例3、已知方程()132-=++m y m mx 是关于y x ,的二元一次方程,则m 的取值范围是 . 例4.若关于x ,y 的方程021=+-+n m y x 是二元一次方程,则n m +的和为 .例5、若1342=+--ba yx是关于x ,y 的二元一次方程,其中3≤+b a ,则=-b a .②二元一次方程组:例1、下列方程组中,二元一次方程组的个数是 .(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+21122y x y x ;(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-=+211y x y x ;(3)⎪⎩⎪⎨⎧=-=211y x xy ;(4)⎩⎨⎧==+01x y x ;(5)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+2111y x y x ;(6)⎩⎨⎧=+=+212z y y x ; (7)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+9114yx y x ;(8)⎩⎨⎧=-=-1y x xyy x .;(9)()⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-2312y y x x y x例5、若方程组()⎩⎨⎧=-=+-+-43332b a y x xy c x 是关于y x ,的二元一次方程组,则代数式c b a ++的值是 . 二、二元一次方程(组)的解①二元一次方程:注意:1)二元一次方程的每一个解,都是一对数值,而不是一个数值;2)二元一次方程的解使方程左右两边相等;3)一般情况下,一个二元一次方程有无数多组解,但并不是说任意一对数值都是它的解,当对解有限制条件时,二元一次方程的解的个数为有限个。

初一数学下册:二元一次方程组知识点汇总

初一数学下册:二元一次方程组知识点汇总

初一数学下册:二元一次方程组知识点汇总
#初一数学
一、二元一次方程组
1、概念:二元一次方程:含有两个未知数,且未知数的指数(即次数)都是1的方程,叫二元一次方程。

二元一次方程组:两个二元一次方程(或一个是一元一次方程,另一个是二元一次方程;或两个都是一元一次方程;但未知数个数仍为两个)合在一起,就组成了二元一次方程组。

2、二元一次方程的解和二元一次方程组的解:
使二元一次方程左右两边的值相等(即等式成立)的两个未知数的值,叫二元一次方程的解。

使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫二元一次方程组的解。

注:①、因为二元一次方程含有两个未知数,所以,二元一次方程的解是一组(对)数,用大括号联立;②、一个二元一次方程的解往往不是唯一的,而是有许多组;③、而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解,一般地,只有唯一的一组,但也可能有无数组或无解(即无公共解)。

3、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数:
用含X的代数式表示Y,就是先把X看成已知数,把Y看成未知数;用含Y的代数式表示X,则相当于把Y看成已知数,把X看成未知数。

例:在方程2x+3y=18中,用含x的代数式表示y为:___________,用含y的代数式表示x为:____________。

4、根据二元一次方程的定义求字母系数的值:
要抓住两个方面:①、未知数的指数为1,②、未知数前的系数不能为0
例:已知方程(a-2)x^(/a/-1)–(b+5)y^(b^2-24)=3是关于x、y的二元一次方程,求a、b的值。

(完整版)二元一次方程组的概念及解法

(完整版)二元一次方程组的概念及解法

二元一次方程组的概念及解法知识点梳理知识点一二元一次方程组的概念含有两个未知数,并且含有未知数的相的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程。

把两个二元一次方程合在一起就组成了一个方程组,像这样的方程组叫做二元一次方程组。

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解。

一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解。

典例分析例1、在方程组、、、、、中,是二元一次方程组的有个;例2、已知二元一次方程2x-y=1,若x=2,则y=;若y=0,则x=.变式1:方程x+y=2的正整数解是__________.变式2、在方程3x-ay=8中,如果是它的一个解,那么a的值为⎩⎨⎧==13 yx例3 方程组⎩⎨⎧=+=-521y x y x 的解是( )A 、 ⎩⎨⎧=-=21y xB 、⎩⎨⎧-==12y x C 、⎩⎨⎧==21y x D 、⎩⎨⎧==12y x例4、有一个两位数,它的两个数字之和为11,把这个两位数的个位数字与十位数字对调,所得的新数比原数大63,设原两位数的个位数字为,十位数字为,则用代数式表示原两位数为 ,根据题意得方程组。

例5、我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔同笼,上有三十头,下有九十四足。

问鸡兔各几何。

”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗?使找出问题的解。

知识点二 解二元一次方程 消元解二元一次方程⎧⎨⎩代入消元法加减消元法典例分析例1、 把方程2x -y -5=0化成含y 的代数式表示x 的形式:x = .化成含x 的代数式表示y 的形式:y = .例2、用代入消元法解下列方程 (1)、⎩⎨⎧-=-=+54032y x y x (2)、⎩⎨⎧=-=+15234932y x y x(3)23328x y x y -=-⎧⎨+=⎩(4)25342x y x y -=⎧⎨+=⎩例3、用加减消元法解下列方程 (1)、⎩⎨⎧-=-=+54032y x y x (2)、⎩⎨⎧=-=+15234932y x y x(3)23328x y x y -=-⎧⎨+=⎩ (4)25342x y x y -=⎧⎨+=⎩例4、解下列方程(1)⎩⎨⎧-=-+=-85)1(21)2(3y x x y (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+=184332y x yx(3)⎩⎨⎧=--=--023256017154y x y x (4)⎪⎩⎪⎨⎧=-=+234321332yx y x(5)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+1323241y x x y (6)⎩⎨⎧=+=+24121232432321y x y x例5 、若,则= ,= 。

初二数学重要知识点归纳:二元一次方程组的定义

初二数学重要知识点归纳:二元一次方程组的定义

初二数学重要知识点归纳:二元一次方程组的定义初二数学重要知识点归纳:二元一次方程组的定义1.二元一次方程:含有两个未知数,并且未知数的指数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程,一般形式是ax+by=c(a≠0,b≠0)。

如果一个方程含有两个未知数,并且所含未知项都为1次方,那么这个整式方程就叫做二元一次方程,有无穷个解,若加条件限定有有限个解。

二元一次方程组,则一般有一个解,有时没有解,有时有无数个解。

2.二元一次方程组:把两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组。

3.二元一次方程的解:一般地,使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。

4.二元一次方程组的解:一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。

5.消元:将未知数的个数由多化少,逐一解决的想法,叫做消元思想。

归纳:基本思路:“消元”——把“二元”变为“一元”。

6.代入消元:将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫做代入消元法,简称代入法。

7.加减消元法:当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,这种方法叫做加减消元法,简称加减法。

8.教科书中没有的几种解法(1)加减-代入混合使用的方法:特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元。

(2)换元法特点:两方程中都含有相同的代数式,换元后可简化方程也是主要原因。

(3)设参数法9.列方程(组)解应用题步骤:(1)审题。

理解题意。

弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,问题给出和涉及的相等关系是什么。

(2)设元(未知数)。

①直接未知数②间接未知数(往往二者兼用)。

一般来说,未知数越多,方程越易列,但越难解。

(3)用含未知数的代数式表示相关的量。

(4)寻找相等关系(有的由题目给出,有的由该问题所涉及的等量关系给出),列方程。

二元一次方程组知识总结

二元一次方程组知识总结

二元一次方程组知识总结
二元一次方程组知识总结
1.判断一个方程是不是二元一次方程,一般要将方程化为一般形式后再根据定义判断。

2.二元一次方程的解:一个二元一次方程有无数个解,而每一个解都是一对数值。

求二元一次方程的解的方法:若方程中的未知数为x,y,可任取x的一些值,相应的可算出y的值,这样,就会得到满足需要的数对。

3.二元一次方程组:两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组。

作为二元一次方程组的两个方程,不一定都含有两个未知数,可以其中一个是一元一次方程,另一个是二元一次方程。

4.二元一次方程组的解:使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解。

检验一对数值是不是二元一次方程组的解的方法是,将两个未知数分别代入方程组中的两个方程,如果都能满足这两个方程,那么它就是方程组的解。

5.运用代入法解方程组应注意的事项:
(1)不能将变形后的方程再代入变形前的那个方程。

(2)运用代入法要使解方程组过程简单化,即选取系数较小的方程变形。

(3)要判断求得的结果是否正确。

6.对二元一次方程组的解的理解:
(1)方程组的.解是指方程组里各个方程的公共解。

(2)“公共解”的意思,实际上包含以下两个方面的含义:
①因为任何一个二元一次方程都有无数个解,所以方程组的解必须是方程组里某一个方程的一个解。

②而这个解必须同时满足方程组里其中任何一个方程,因此二元一次方程组的解一定同时满足这个方程组里两个方程的任何一个方程。

《二元一次方程》 讲义

《二元一次方程》 讲义

《二元一次方程》讲义一、什么是二元一次方程在数学的世界里,二元一次方程是一个非常基础且重要的概念。

那到底什么是二元一次方程呢?简单来说,二元一次方程是指含有两个未知数(通常用 x 和 y 表示),并且未知数的最高次数都是 1 的整式方程。

例如:2x + 3y = 8 ,x 5y =-1 ,这些都是二元一次方程。

它的一般形式可以写成 Ax + By = C ,其中 A、B 不同时为 0 。

这里要注意几个关键点:首先,方程中必须含有两个未知数;其次,未知数的最高次数是 1 ;最后,方程必须是整式方程,也就是说分母中不能含有未知数。

二、二元一次方程的解既然有方程,那就会有解。

那什么是二元一次方程的解呢?对于一个给定的二元一次方程,如果存在一组数(x,y),将这组数代入方程后,能使方程左右两边相等,那么这组数就叫做这个二元一次方程的一个解。

比如对于方程 2x + 3y = 8 ,如果 x = 1 ,y = 2 ,代入方程左边得到 2×1 + 3×2 = 8 ,方程左右两边相等,所以(1,2)就是这个方程的一个解。

需要注意的是,二元一次方程一般有无数个解。

因为只要给定一个x 的值,就可以通过方程求出对应的 y 值。

三、二元一次方程组有时候,我们会遇到两个二元一次方程组合在一起的情况,这就形成了二元一次方程组。

例如:\\begin{cases}2x + 3y = 8 \\x 5y =-1\end{cases}\二元一次方程组的解,就是同时满足这两个方程的未知数的值。

求解二元一次方程组的方法主要有代入消元法和加减消元法。

四、代入消元法代入消元法是求解二元一次方程组的一种常用方法。

举个例子,对于方程组:\\begin{cases}x + y = 5 \\2x y = 1\end{cases}\我们可以从第一个方程中解出 x = 5 y ,然后将其代入第二个方程:2(5 y) y = 1 ,10 2y y = 1 ,10 3y = 1 ,-3y =-9 ,y = 3 。

七年级数学下册第1章二元一次方程组知识点梳理新版湘教版

七年级数学下册第1章二元一次方程组知识点梳理新版湘教版

第一章 二元一次方程组一、二元一次方程组1、概念:①二元一次方程:含有两个未知数,且未知数的指数(即次数)都是1的方程,叫二元一次方程。

②二元一次方程组:两个二元一次方程(或一个是一元一次方程,另一个是二元一次方程;或两个都是一元一次方程;但未知数个数仍为两个)合在一起,就组成了二元一次方程组。

2、二元一次方程的解和二元一次方程组的解:使二元一次方程左右两边的值相等(即等式成立)的两个未知数的值,叫二元一次方程的解。

使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫二元一次方程组的解。

注:①、因为二元一次方程含有两个未知数,所以,二元一次方程的解是一组(对)数,用大括号联立;②、一个二元一次方程的解往往不是唯一的,而是有许多组;③、而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解,一般地,只有唯一的一组,但也可能有无数组或无解(即无公共解)。

二元一次方程组的解的讨论:已知二元一次方程组①、 当a1/a2 ≠ b1/b2 时,有唯一解;②、 当a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2时,无解;③、 当a1/a2 = b1/b2 = c1/c2时,有无数解。

例如:对应方程组:①、 ②、 ③、例:判断下列方程组是否为二元一次方程组:①、②、 ③、 ④、3、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数:用含X 的代数式表示Y ,就是先把X 看成已知数,把Y 看成未知数;用含Y 的代数式表示X ,则相当于把Y 看成已知数,把X 看成未知数。

例:在方程 2x + 3y = 18 中,用含x 的代数式表示y 为:___________,用含y 的代数式表示x为:____________。

4、根据二元一次方程的定义求字母系数的值:a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 x + y = 4 3x - 5y = 9 x + y = 3 2x + 2y = 5 x + y = 4 2x + 2y = 8 a + b = 2 b + c = 3 x = 4 y = 5 3t + 2s = 5 ts + 6 = 0 x = 11 2x + 3y = 0要抓住两个方面:①、未知数的指数为1,②、未知数前的系数不能为0例:已知方程 (a-2)x^(/a/-1) – (b+5)y^(b^2-24) = 3 是关于x 、y 的二元一次方程,求a 、b 的值。

八年级下册二元一次方程组

八年级下册二元一次方程组

八年级下册二元一次方程组一、二元一次方程的定义。

1. 概念。

- 含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

例如:x + y=5,这里x和y是两个未知数,x的次数是1,y的次数也是1,而且整个方程是整式方程。

2. 一般形式。

- 二元一次方程的一般形式为ax+by = c(a、b、c是常数,a≠0,b≠0)。

二、二元一次方程组的定义。

1. 概念。

- 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组。

例如x + y = 5 2x - y = 1。

2. 解的概念。

- 二元一次方程组的解就是方程组中两个方程的公共解。

也就是使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值。

例如对于方程组x + y = 5 2x - y = 1,x = 2,y = 3就是它的解,因为当x = 2,y = 3时,x + y=2 + 3 = 5,2x-y=2×2 - 3=1。

三、二元一次方程组的解法。

1. 代入消元法。

- 步骤:- 从方程组中选一个系数比较简单的方程,将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。

例如对于方程组x + y = 5 2x - y = 1,由方程x + y = 5可得y = 5 - x。

- 将变形后的关系式代入另一个方程,消去一个未知数,得到一个一元一次方程。

把y = 5 - x代入2x - y = 1,得到2x-(5 - x)=1,即2x - 5+x = 1,3x=6,解得x = 2。

- 解这个一元一次方程,求出一个未知数的值。

这里求出x = 2。

- 将求得的这个未知数的值代入变形后的关系式中,求出另一个未知数的值。

把x = 2代入y = 5 - x,得y = 5 - 2 = 3。

2. 加减消元法。

- 步骤:- 当方程组中两个方程的同一未知数的系数相等或互为相反数时,把这两个方程的两边分别相减或相加,消去这个未知数,得到一个一元一次方程。

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举一反三:
【变式】写出解为 的二元一次方程组.
【答案】
解:此题答案不唯一,可先任构造两个以 为解的二元一次方程,然后将它们用“{”联立即可,现举一例:
∵ x=1,y=-2,
∴ =1-2=-1.
25y=2×1-5×(-2)=12.
∴ 就是所求的一个二元一次方程组.
注:任选的两个方程,只要其对应系数不成比例,联立起来即为所求.
举一反三:
【变式】若方程 的一个解是 ,则 .
【答案】3
3.已知二元一次方程 .
(1)用含有x的代数式表示y;(2)用含有y的代数式表示x;
(3)用适当的数填空,使 是方程的解.
【思路点拨】用含一个未知数的代数式表示另一个未知数,就是把要表示的未知数当未知数,把其他的未知数当已知数,然后再将方程变形.
(6) ;(7) ;(8) ;(9) ;(10) .
【思路点拨】按二元一次方程满足的三个条件一一检验.
【答案】(1)(4)(5)(8)(10)
【解析】只有(1)(4)(5)(8)(10)满足二元一次方程的概念.(2)为一元一次方程,方程中只含有一个未知数;(3)中含未知数的项的次数为2;(6)只含有一个未知数;(7)不是整式方程;(9)中未知数x的次数为2.
【总结升华】是否是二元一次方程组要满足“1、只有两个未知数;2、未知数的项最高次数都应是一次;3、都是整式方程”.
5.判断下列各组数是否是二元一次方程组 的解.
(1) (2)
【答案与解析】
解:(1)把 代入方程①中,左边=2,右边=2,所以 是方程①的解.
把x=3,y=-5代入方程②中,左边= ,右边= ,左边≠右边,所以 不是方程②的解.
所以 不是方程组的解.
(2)把 代入方程①中,左边=-6,右边=2,所以左边≠右边,所以 不是方程①的解,
再把 代入方程②中,左边==-1,右边=-1,左边=右边,所以 是方程②的解,但由于它不是方程①的解,所以它也不是方程组的解.
【总结升华】检验是否是方程组的解,应把数值代入两个方程,若两个方程同时成立,才是方程组的解,而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.
(2)一般情况下,二元一次方程有无数个解,即有无数多对数适合这个二元一次方程.
要点三、二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.
要点诠释:组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数,例如 也是二元一次方程组.
要点四、二元一次方程组的解
一般地,二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.
要点诠释:
(1)二元一次方程组的解是一组数对,它必须同时满足方程组中的每一个方程,一般写成 的形式.
(2)一般地,二元一次方程组的解只有一个,但也有特殊情况,如方程组 无解,而方程组 的解有无数个.
【典型例题】
类型一、二元一次方程
1.已知下列方程,其中是二元一次方程的有.
(1)25=y; (2)1=4; (3)=3; (4)=6; (5)24y=7;
【变式】已知:237,用关于y的代数式表示x,用关于x的代数式表示y.
【答案】
解:(1)27-3y, ;(2)37-2x,
类型三、二元一次方程组及方程组的解
4. 下列方程组中,是二元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A,B中未知数的次数高于或低于一次,而C中出现三个未知数,只有D选项满足题意,故正确答案为D.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解:当x=0,2y=-1,故B不是原方程的解.
当x=1,y=0时,2y=1,故C是原方程的解.
当x=-1,y=-1时,2y=1,故D是原方程的解.
【总结升华】判断一组数值是否是原方程的解,只需要将这组数值代入原方程,能使方程左右两边相等的未知数的值是原方程的解,否则,不是.
【答案与解析】
解:(1)将方程变形为3y=2 ,化y的系数为1,得 .
(2)将方程变形为 ,化x的系数为1,得 .
(3)把x=-2代入 得, y=1.
【总结升华】用含x的代数式表示y,其实质表示为“y=含x的代数式”的形式.在进行方程的变形过程中,有效地利用解一元一次方程的方法技巧很重要.
举一反三:
【总结升华】判断一个方程是否为二元一次方程的依据是二元一次方程的定义,对于比较复杂的方程,可以先化简,再根据定义进行判断.
举一反三:
【变式】下列方程中,属于二元一次方程的有( )
A. B. C. D.
【答案】B
类型二、二元一次方程的解
2.二元一次方程2y=1有无数多个解,下列四组值中不是该方程解的是( )
二元一次方程(组)的相关概念(基础)知识讲解
【学习目标】
1.理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义;
2.会检验一组数是不是某个二元一次方程(组)的解.
【要点梳理】
要点一、二元一次方程
含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.
要点诠释:二元一次方程满足的三个条件:
(1)在方程中“元”是指未知数,“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
(2)“未知数的次数为1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是1.
(3)二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
要点二、二元一次方程的解
一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的一组解.
要点诠释:
(1)二元一次方程的解都是一对数值,而不是一个数值,一般用大括号联立起来,如: .
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