数学建模存贮论部分

从 [ t1 , t 2 ] 看，最大缺货量在 [ t1 , t 2 ] 时间内得到了补 充，因此有 B ( P R )( t2 t1 ) ，于是有
PR R t1 ( P R )( t2 t1 ) t1 t2 P
从 [ t2 , t3 ] 看，最大存贮量 A ( P R )( t3 t 2 ) 从 [ t3 , t ] 看，最大存贮量在 [ t3 , t ] 时间内被消耗掉， 因此有 A R ( t t3 ) ，于是有
模型求解
dC (t ) C3 1 R2 2 C1( R ) dt 2 P t
令 dC (t ) 0 , 解得 t * dt 2PC3 C1( P R )
------ 最佳订货周期（最佳存贮周期）
最佳生产批量：
Q
*
* P t1
R * P t P
2PRC3 C1( P R)
C3 25元 次
R 2000件 年 ,
由模型Ⅲ中的公式可知最佳订货批量为
Q* Rt * 2RC3 (C1 C2 ) 2 2000 25 (10 30) C1C2 10 30
取整得，每次订购115件。
源自文库
200 3 115.47 3
2RC1C2C3 C1 C2
2 C3 R ( P R ) t2 [ C1 t 2C1 t2 ( C1 C2 ) ] t 2P t
2 C (t , t2 ) C3 R( P R)C1 R( P R) t2 2 (C1 C2 ) 2 t 2P 2P t t C (t , t ) R( P R) t2 2 [ 2C1 2(C1 C2 ) ] t2 2P t C (t , t 2 ) C (t , t 2 ) 0 , 0 ，得 令 t t 2 C3 t2 C1 R ( P R )C1C 2 , 2 t C1 C 2 2 P (C1 C 2 ) t
每月生产20件时， 1 Q*
40 3 （件） 3
* 最小费用C1 40 （元） 3
每月生产40件时， 2 20(件） Q*
* 最小费用C2 80 （元）
存贮模型Ⅲ 允许缺货，补充时间极短 模型假设
1）设需求是连续均匀的，即需求速度为常数R。 2）补充可以瞬时完成，即补充时间近似为零。 3）系统允许缺货，单位缺货费为C2. 4）单位存贮费为常数C1. 5）每次订货量不变，订购费为常数C3，不考虑 货物的价值（成本）。
最小费用为： C * C (t * , A* )
2 2000 10 30 25 500 3 866元 10 30
存贮模型Ⅳ 允许缺货，补充时间较长
模型假设
1）设需求是连续均匀的，即需求速度为常数R。 2）补充需要一定时间. 不考虑拖后时间，值考虑 生产时间，即一旦需要，生产可立即开始，但生产 需要一定周期。设生产是连续均匀的，即生产速度 为常数P，且设P＞K。 3）系统允许缺货，单位缺货费为C2. 4）单位存贮费为常数C1. 5）每次订货量不变，生产准备费用为常数C3，不 考虑货物的价值（成本）。
2C2C3 RC1 (C1 C2 )
B R(t
*
* t1 ) Q*
A
*
2RC1C3 C2 (C1 C2 )
最小费用为：
C C (t , A )
* * *
2RC1C2C3 C1 C2
例：某电子设备厂对一种元件的需求为 R 2000件 年 ,
订货提前期为零，每次订购费为25元。该元件每件成本50 元，年存贮费为成本的20%；如发生供货短缺，可在下批 货到达时补上，但缺货损失费为每件每年30元。试求最佳 订货批量及全年的总费用。 由题意可知，本题属于“允许缺货，补充时间极短”的 存贮模型。本题中： 单位存贮费： C1 50 20% 10 元 件 年 单位缺货费： C2 30 元 件 年 订购费： 需求速度：
( P R)( t 2 u )du 0
1 1 2 1 [ R t1 ( P R ) ( t2 t1 ) 2 ] t 2 2
1 PR 2 R 2 [ R( t2 ) ( P R ) ( t2 ) ] 2t P P
R( P R ) 2 t2 2P t
R ( P R ) C2 2 t2 故单位时间内的平均缺货费用为： 2P t
ⅲ） [ 0 , t ] 时间内的生产准备费用为 C3 ，故单位时间 内的平均准备费用为： C3 t 于是 [ 0 , t ] 时间内总的平均费用为：
C3 R ( P R ) C1 R ( P R ) C2 2 2 C ( t , t2 ) ( t t2 ) t2 t 2 Pt 2Pt
R R ( t t3 ) ( P R )( t3 t 2 ) t3 t 2 ( t t2 ) P
ⅰ）从存贮状态图可得时刻u的实际存贮量为
0 , 0 u t2 I (u ) ( P R)(u t 2 ) , t2 u t3 R(t u ) , t3 u t
确定型存贮模型Ⅱ 不允许缺货、补充时间较长 模型假设：
1. 需求是连续均匀的，即需求速度为常数R 。 2. 存贮的补充是由企业的生产来满足，但生产需 要一定的时间。设生产是连续均匀的，即生产 速度为常数P，同时设P>R。 3. 不允许缺货，即缺货惩罚费（单位缺货费）为 C2，取无穷大。 4. 每次订货量不变，订购费（或生产准备费）为
利用模型假设和存贮状态图，我们可以导出[ 0 , t ]时间内 的费用函数。 从[ 0 , t1 ]看，最大存贮量A=(P–R)t1；从[ t1 , t ]看，最大 存贮量A=R( t–t1)，故有 (P–R)t1=R( t–t1) 从中解得：t1=R t/P 于是[ 0 , t ]时间的平均存贮量为
Ru , 0 u t1 J (u ) ( P R)(t 2 u ) , t1 u t 2 0 , t2 u t
于是 [ 0 , t ] 时间内的平均缺货量为
1 t 1 0 J (u) du t t
0
t1
R u du
t2 t1
求t和A的值，使
C ( t , A ) 达到最小。
C (t , A) C3 A2C1 RC2 A2C2 令 2 0 2 2 t 2 t 2 Rt 2 Rt AC2 令 C (t , A) C1 A C2 0 A Rt Rt
该模型的存贮状态图为
Q
A 斜率为P－R
t1 O t2 t3 t 斜率为－R
T
B
模型分析：
[ 0 , t 2 ] 时间内存贮量为零，至 t1 时刻达到最大缺货量B。
[ t1 , t 2 ] 时间内产量一方面以速度R满足需求，另一方面
以速度(P-R)补充 [ 0 , t1 ] 时间内的缺货。至 t 2 时刻缺货 补足。
最佳生产时间：
* t1
R * t P
2 RC3 C1P( P R)
2C 3R( P R) C1P
2C1C 3R( P R) P
最大存贮量： 最小费用：
* A* ( P R)t1
C C (t )
* *
例 某产品每月需求量为8件，生产准备费用为100元，存 贮费用为5元/月· 件。在不允许缺货条件下，比较生产速度分 别为每月20件和每月40件两种情况下的经济批量和最小费用 用“不允许缺货，生产（补充）需一段时间”的模型求解 已知：C1=5元/月· 件，C3=100元，R=8件/月， P1=20件/月，P2=40件/月 。 由经济生产批量计算公式，可得
1 R PR 2 { ( P R ) [ ( t t2 ) ] R[ ( t t2 ) ]2 } 2t P P
R ( P R ) C1 ( t t2 ) 2 故单位时间内的平均存贮费用为： 2P t
ⅱ）从存贮状态图可得时刻u的实际缺货量为
R( P R ) ( t t2 ) 2 2P t
常数C3
5. 单位存贮费为常数C1。不考虑货物价值。 该模型的存贮状态图为
Q
A
t
T
0
t1
模型建立
1）[ 0 , t1 ]时间内产量一方面以速度R满足需求，另一方 面以速度(P—R)增加存贮，到t1时刻达到最大存贮量A，并 停止生产。 2）[ t1 ,t ]时间内以存贮满足需求，存贮以速度R减少，到 时刻t存贮降为零，进入下一个存贮周期。
时刻u时的实际缺货量 J (u ) 为：
A , 0u 0 , 0 u t1 0 R J (u ) R (u t1 ) , t1 u t Ru A , A u t R
于是 [ 0 , t ] 时间内的平均存贮量为：
1 t 1 AR A2 0 I (u) du t 0 ( A Ru ) du 2Rt t
于是 [ 0 , t ] 时间内的平均存贮量为
1 t
1 0 I (u) du t
t
0
t2
0 du
t3 t2
( P R)(u t 2 )du
R(t u )du t3
t
1 1 2 1 [ ( P R ) ( t3 t2 ) R ( t t3 ) 2 ] t 2 2
该模型的存贮状态图为
Q A
0 B
t1
T t
模型建立
1）[ 0 , t1 ]时间内以存贮满足需求，存贮以速度R减少， 至t1时刻，存贮降为零。 2） [ t1 , t ]时间内，存贮为零，至t时刻达到最大缺货量 B，进入下一个存贮周期。 利用模型假设和存贮状态图，我们可以导出[ 0 , t ]时间 内的费用函数。 从[ 0 , t1 ]看，最大存贮量为 A=Rt1 t1=A/R 从存贮状态图可得时刻u时的实际存贮量为 A A R( u ) , 0u R ( t1 u ) , 0 u t1 R R I (u ) A 0 , t1 u t 0 , ut R
[ t2 , t3 ] 时间内产量一方面以速度R满足需求，另一方面
以速度(P-R)增加存贮，至 t 3 时刻达到最大存贮量A，并 停止生产。
[ t3 , t ] 时间内以存贮满足需求，存贮以速度R减少，至 时刻t存贮降至零，并进入下一存贮周期。
从 [ 0 , t1 ] 看，最大缺货量 B R t 1
t 1 t1 ( ( P R ) u du R ( t u ) du ) 0 t1 t 1 1 1 2 ( Pt1 Rt 2 R t t1 ) t 2 2
1 R2 Rt t 其中t1 t1 2 2P
t1 R t P
于是单位时间内总的平均费用为 C3 1 R2 C (t ) C1( R )t t 2 P 求t的取值，使 C (t ) 达到最小。
由此可以解得最佳订货周期为：
2C3 (C1 C2 ) t C1C2 R
*
C2 R * 最大存贮量为： A t C1 C2
*
2C2C3 R C1 (C2 C3 )
最佳丁货批量为： Q Rt
* *
2RC3 (C1 C2 ) C1C2
A* * 最大缺货量为： t1 R
[ 0 , t ] 时间内的平均缺货量为：
1 t 1 t Rt A2 0 J (u)du t A R ( Ru A ) du 2 A 2Rt t
单位时间内总的平均费用为：
C3 A2C1 RC2t A2C2 C( t , A ) AC2 t 2 Rt 2 2 Rt