数学建模存贮论部分
数学建模研究——存贮问题
关于数学建模课程综合性教学内容的设计与研究胡京爽(青岛理工大学理学院，青岛 266033)1、引言数学建模课程的教学方法应当是丰富多彩的，主要的教学方法一般都是案例式教学，通过剖析各种各样的建模案例，让学生体会学习数学建模的实际过程，积累经验。
但是案例式教学内容不应当太过分散，不能完全就是一个一个案例讲解，而是应当从众多的案例中总结出蕴含在其中的某些共性和可遵循的规律，这种共性规律对于启发学生在解决类似问题时将会起到重要的作用。
存贮模型从最简单的微积分优化模型，到具有随机需求、随机供货以及多供应商的数学规划模型，通过详细解剖分析这些模型的特点，能让学生体会到从简单到复杂的循序渐进的建模过程；人口模型则是微分（常微和偏微）方程、差分方程、随机微分方程模型的综合体现，能够体现出利用客观的平衡规律，对同一个背景下的问题可以从不同的角度进行分析，用不同的数学理论与方法进行描述和求解的过程；0-1变量方法的使用则体现了数学建模方法中具有一定普遍意义的专门方法，用这种方法可以解决一系列的问题。
本文探讨的是在教学过程中，在学生掌握了一些基本的数学建模知识的基础上，如何设计教学内容，体现出数学模型方法的渐进性、灵活多样性、层次性、统一性等规律，让学生得到良好的建模实战训练，全面提高学生数学建模的综合素质和能力。
下面介绍三个实例，可以选为数学建模教学的参考案例。
2 教学案例及分析2.1 系列存贮优化模型存贮模型是一类重要的数学模型。
要根据市场需求量状况、存贮费用、订购费用、供货方的生产能力和供货时间、缺货的损失代价等，综合分析，确定使得费用最小或者使得盈利最大的计划。
该类模型类型丰富，层次分明，多种模型体现了有机的统一。
其数学理论方法涉及到简单的优化分析、综合的规划分析、随机优化分析等，特别是在计算离散数量的和时，用到了将离散和转换成定积分计算、并进而转换成计算几何图形面积的方法，在目标函数的构建上，利用平均值作为优化目标的建模方法等。
数学建模论文 两种随机存贮管理模型的建立和求解
两种随机存贮管理模型的建立和求解摘 要：本文建立了仓库容量有限条件下单品种、多品种的允许缺货随机存贮模型。
采用连续的时间变量更合理地描述了问题，简化了模型的建立。
模型的求解是一个以分段的平均损失费用函数作为目标的带约束最优化问题。
针对题目中的具体数据对随机量送货滞后时间的密度函数进行了估计，解出了单品种、多品种条件下最优订货点的值和存贮方案。
通过分情况讨论把单品种存贮模型推广为多品种（m 种）存贮模型，论证了目标函数的独立变量为21m -个,使模型更加清晰、求解方便。
类比控制论中的相关理论提出了一定条件下多品种存贮的最优性原理，给出了证明，指出该原理简化模型和验证模型求解结果的作用。
讨论了销售速率具有随机性时的存贮模型，实际当中调整修正订货点的方法，以及仓库最大存贮量的一种预测办法。
最后指出了模型的优缺点。
0问题重述工厂生产需定期地定购各种原料，商家销售要成批地购进各种商品。
无论是原料或商品，都有一个怎样存贮的问题。
存得少了无法满足需求，影响利润；存得太多，存贮费用就高。
因此说存贮管理是降低成本、提高经济效益的有效途径和方法。
问题1 某商场销售的某种商品。
市场上这种商品的销售速率假设是不变的，记为r ；每次进货的订货费为常数1c 与商品的数量和品种无关；使用自己的仓库存贮商品时，单位商品每天的存贮费用记为2c ，由于自己的仓库容量有限，超出时需要使用租借的仓库存贮商品，单位商品每天的存贮费用记为3c ，且32c c ≤；允许商品缺货，但因缺货而减少销售要造成损失，单位商品的损失记为4c ；每次订货，设货物在X 天后到达，交货时间X 是随机的；自己的仓库用于存贮该商品的最大容量为0Q ，每次到货后使这种商品的存贮量q 补充到固定值Q 为止，且Q Q <0；在销售过程中每当存贮量q 降到L 时即开始订货。
请你给出求使总损失费用达到最低的订货点*L （最优订货点）的数学模型。
问题 2 现给出来自某个大型超市的关于三种商品的真实数据，按你的模型分别计算出这三种商品各自相应的最优订货点*L 。
2005年中国大学生数学建模竞赛论文(仓库容量有限条件下的随机存贮管理)I.pdf
2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖
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北京化工大学：杜雪岭，宫项飞，倪冉
c1 ´ r c ´ Q0 (2Q - Q0 ) c3 ´ (Q - Q0 ) c ´ ( L - rx ) g 2 (x ) = + 2 + - 2 ，rx £ L £ Q0 + rx, Q - L + rx 2 ´ (Q - L + rx ) 2 ´ (Q - L + rx ) 2 ´ (Q - L + rx ) L - Q0 L <x< 即 r r
② 货 到 时 ， 商 品 的 库 存 量 q 介 于 0 与 Q0 之 间 。 此 时 订 货 周 期 Q - Q0 Q-L Q £T = + x £ ，整理得到此时 L 取值范围为： rx £ L £ Q0 + r ； r r r ③货到时，商品的库存量为零，即处于缺货状态。此时订货周期 Q-L Q T= + x > ，整理得此时 L 的取值范围为： L < rx 。根据上述三种情况分 r r 别画图即可得到仓库商品存贮状态示意图。
消费者 决定参数 r 商场 由 r ，x 确定参数 L 图.1 消费链示意图
*
供货方 决定参数 x
如图中所示， 在实际生活中消费者与商场的相互作用决定了商品的消费速率
存贮论(存储论,库存论)
订货周期
订货周期是指两次相邻订货之间的时间 。下一次的订货时间通常用以下两种方式来 确定：
1 连续检查：随时注意库存水平的变化，当 库存水平降到某一确定值时，立即订货。
2 定期检查：每次检查之间的时间间隔是相 等的，当库存水平降到某一确定值时，立即 订货。
存储问题的基本概念
存贮问题的基本要素 (1)需求率:指单位时间内对某种物品的需求量， 以R表示。 (2)定货批量：定货采用以一定数量物品为一 批的方式进行，一次定货包含某种物品的数量 称为批量,用Q表示. (3)定货间隔期:指两次定货之间的时间间隔， 用t表示.
|T0
1 2
Rt 2
|T0 )
1 T
(QT
1 2
RT 2 )
Q 1 RT Q 1 Q 1 Q.
2
22
C
TOC
TCC
C3 t
1 2
KR
C1Q
C3 t
1 2
KR
1 2
C1Rt,
求C的最小值,
dC dt
C3 D t2
1 2
C1R
0, t
2C3 , C1R
Q Rt 2RC3 , Q称为EOQ C1
第二节 经济定货批量的存贮模型
1.基本的EOQ(Economic order quality 经济定 货批量,1915年,英国,Harris)模型 设一种物品的需求率R(件/年)是已知常数,并 以批量Q供应给需求方,瞬间供货,不允许缺货, 货到后存在仓库中,并以速率R消耗掉.该类问 题只考虑两种费用:定货费 C3 (元/次),存贮费 C1(元/件·年),试确定每次的定货批量为多少时, 使全年的总费用为最少.
需求量
一种物资的需求方式可以是确定性 的，也可以是随机性的。在确定情况下， 假定需求量在所有各个时期内是已知的。 随机性的需求则表示在某个时期内的需求 量并不确切知道，但它们的情况可以用一 个概率分布来描述。
存贮论(数学建模)
⎧∂C(T ,t2 ) ⎪⎪ ∂T
=
0
⎨ ⎪
∂C
(T
,
t
2
)
=
0
⎪⎩ ∂t2
可得
（8）
T* =
2CD (CP + CS )
DCPCS
(1 −
D P
)
t2*
=
CP CP + CS
T
*
容易证明，此时的费用 C(T *,t2* ) 是费用函数 C(T ,t2 ) 的最小值。
因此，模型的最优存贮策略各参数值为：
记为 CD 。
（2）存贮费：所有用于存贮的全部费用，通常与存贮物品的多少和时间长短有关。
单位存贮费记为 CP 。
（3）短缺损失费：由于物品短缺所产生的一切损失费用，通常与损失物品的多少
和短缺时间的长短有关，记为 CS 。
3．存贮策略 所谓一个存贮策略，是指决定什么情况下对存贮进行补充，以及补充数量的多少。 下面是一些比较常见的存贮策略。
end 求得每个周期为 9 天，其中 9 天中有 4.5 天在生产，每次的生产量为 121 件，而且
缺货的时间有 3 天。总的费用（包括存贮费、订货费和缺货费）为 40414.52 元。 可以把模型一看作模型二的特殊情况。在模型二中，取消允许缺货和补充需要一定
时间的条件，即 CS → ∞ ， P → ∞ ，则模型二就是模型一。事实上，如将 CS → ∞ 和
C_P=1000;
P=9800;
C_D=500;
C_S=2000; T=(2*C_D*(C_P+C_S)/(D*C_P*C_S*(1-D/P)))^0.5; !单位为年; TT=T*365; !单位为天;
Q=D*T; T_S=C_P*TT/(C_P+C_S); !求缺货时间; T_P=D*TT/P; ! 求生产周期; C=2*C_D/T; ! 求年总费用;
存储论
大连大学
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随机性存储模型的策略
❖ (1) 定期订货，但订货数量需要根据上一个周期末剩下货物的数量决
定订货量。剩下的数量少，可以多订货。剩下的数量多，可以少订或不 订货。这种策略可称为定期订货法。
❖ (2) 定点订货，存储降到某一确定的数量时即订货，不再考虑间隔的 时间。这一数量值称为订货点，每次订货的数量不变，这种策略可称之 为定点订货法。
存储模型的基本介绍
存储模型的分类
存储模型大体分为两类：一类是确定性模型，即模型 中的变量皆为确定型的量，不包括任何随机变量；另一 类是随机性模型，即模型中含有随机变量。
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7 数学建模工作室
存储模型的分类
存储模型的分类
存储模型大体分为两类：一类是确定型模型，即模型 中的变量皆为确定型的量，不包括任何随机变量；另一 类是随机型模型，即模型中含有随机变量。
确定型存储模型
（4）允许缺货，补充时间极短的经济订购批量模型
基本假设：除允许缺货外，其余条件皆与模型一相同。
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确定型存储模型
从图上可知：
平均存储量 Q S T1 Q S 2
2T
2Q
平均缺货量 ST2 S 2 2T 2Q
因此，最优策略为：
Q* 2CD DCP CS
Q
C
1 2
1
D P
QC
P
CDD Q
因此，平均总费用为：
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Q确* 定CP型2C1D存DDP 储 模 型
T * Q* D
2CD P
CPDP D
A* 1 D Q* P
存储模型
间内，存贮以速度r减少。T、t均为待定参数。
由图易知 (p r)t r(T t)
可得
pt rT,
t rT p
即以速度 p生产 t 时间的产量等于T时间内的需求量。
T时间内的存贮量
t
( p r)xdx
0
T时间内的存贮费为
T
1
t
(
2
(rT p
rx)dx r)tTc2
解 已 知c1 5，p＝500／30，r＝100／30， c2 ＝
0.4／30，则
即最优生产周期为17天，生产时间为3.4天，生产 批量为56件。
四、模型三
模型三——允许缺货，生产时间很短。模型一、 二是在不允许缺货的情况下推导出来的，模型三是 允许缺货，并将缺货损失定量化来加以分析。
这里除假设允许缺货，其余条件与模型一相同，
1 2
(
p
r
)tT
则T时间内总的平均费用F（T）为
则有
与模型一中式相比较，它们只差因子 p pr
当p （生产速度很大）时，则生产时间很短，
即为模型一。
例2 某厂每月需某产品100件，生产能力为每月 500件，每批装配费为5元，每月每件产品存贮费 为0.4元，求最优生产周期、生产时间和生产批 量。
一、存贮问题的基本要素
一般的存贮问题通常包含下面5个基本要素。
（一）需求
需求是存贮系统的输出，需求量可以通过供 销渠道获得，它可以是确定的，如自动生产线上 每个班组对某种零件的需求量；它也可以是随机 的，如市场每天对某种商品的销售量。
（二）补充（订货或生产）
补充是存贮系统的输入，存贮物品的补充可以 由工厂生产获得，也可以通过订货得到。从订货到 货物入库，通常需要一段时间，称为滞后时间。由 于滞后时间的存在，管理者为了能及时补充，就必 须提前订货，所提前的时间称为提前时间。滞后时 间可以是随机的，也可以是确定的。
数学建模存贮论部分
货单位发货期间，每天发货量为10件。试求：
（1）最佳订货批量及最大缺货量；
（2）年最小费用。
解：本题属于“允许缺货、补充需要一段时间”的存贮模型
由题设可知：
R76件天， P10件天， C1133.7050元件天
2021/6/16
C23205元 0 件天， C35元 0
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271050(13.7525)
1( t
t1
(
0
P
R
)u
du
t
R(
t1
t
u
)
du
)
1 t
(
1 2
Pt12
1 2
Rt2 Rt t1 )
t1Rt P
1
Rt
R2
t
2
2P
其中t1 t1
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3
于是单位时间内总的平均费用为
C(t)C31C1(RR2)t
t2
P
求t的取值，使 C (t) 达到最小。
模型求解
ddC (tt)C t231 2C1(RR P2)
Ru J(u)(PR)(t2u)
, ,
0ut1 t1ut2
0
, t2ut
于是 [ 0 , t ]时间内的平均缺货量为
1 t 0 tJ ( u )d 1 u t 0 t1 R u d u t t 1 2 (P R )t2 ( u )d 0 u
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1 t[1 2Rt1 21 2(PR)(t2t1)2]
货物的价值（成本）。
该模型的存贮状态图为
Q
A
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0 B
t1 t
T
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33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候பைடு நூலகம்，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
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31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
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数学建模存贮论部分
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
十二章 存贮论
斜率（ 斜率（-R） Q
t 12图 12-1
T
所以， 所以，t时间内的平均总费用 经济订购批量 c + kR + 1 Rt C(t)随 的变化而变化, C(t)= t C(t)随t的变化而变化,其 公式或称经济 2c 批量公式C*是 图象为12-2,可见当t=t*时， C(t*)= C*是 图象为12-2,可见当t=t*时 12 可见当t=t* C(t)的最小值 的最小值。 C(t)的最小值。
3 1
3 1
C C(t) C* C1Rt
得：t* = 2 cR c 2c 因此： 因此：Q* = Rt* = c C* = C(t*) =
1 3
3 1
R
2c c R +
kR
c3/t+kR
t*
T
由于存贮单价k和补充量Q无关， 由于存贮单价k和补充量Q无关， 它是一常数，因此，存贮总价kQ 它是一常数，因此，存贮总价kQ 和存贮策略的选择无关。 和存贮策略的选择无关。所以为 了分析和计算的方便， 了分析和计算的方便，在求费用 函数C(t) C(t)时 函数C(t)时，常将这一项费用略 去
第二节 确定型存贮模型 不允许缺货， 一、模型一 不允许缺货，补充时间极短 为了便于描述与分析，对模型作如下假设： 为了便于描述与分析，对模型作如下假设： 需求是连续均匀的，即需求速度（单位时间需求量） 需求是连续均匀的，即需求速度（单位时间需求量） 是常数； R是常数； 补充可以瞬时实现，即补充时间（ 补充可以瞬时实现，即补充时间（拖后时间和生产 时间）近似为零； 时间）近似为零； 单位存贮费（单位时间内单位存贮物的存贮费用） 单位存贮费（单位时间内单位存贮物的存贮费用） c1，由于不允许缺货，故单位缺货费（ 为c1，由于不允许缺货，故单位缺货费（单位时间 内每缺少一单位存贮物的损失）c2为无穷大 为无穷大， 内每缺少一单位存贮物的损失）c2为无穷大，订货 每订购一次的固定费用） c3货物 存贮物） 货物（ 费（每订购一次的固定费用）为c3货物（存贮物） 单价为k 单价为k
数学建模 生产与存贮问题的探讨
生产与存贮问题的探讨摘 要在一定时期内,生产的成本费与库存费一直是厂家最关心的优化指标。
本文根据题中的条件针对如何在成本费与库存费之和最优的情况下，使总工时最小的问题，利用了多目标动态规划的方法，建立了生产与存储的优化模型。
我们知道增大生产量可以降低成本费，但如果超过市场的需求量,就会因积压增加存贮费而造成损失。
相反，如果减少生产量，虽然可以降低存贮费，但又会增加生产的成本费，同样会造成损失。
故可以找到一个生产计划使得生产的生产费与存贮费之和达到一个最小值,并且使他们所花的工时也最少。
我们根据实际生活中生产的部件的性质可以将生产模式分成两种情况：允许有缺货的情况和不允许有缺货的情况。
在模型一中,我们假设这种部件是不允许缺货的，于是目标函数为：∑∑==+++=6161)(7.03.0min k k k k k k c h p akx g在模型二中,我们假设这种部件是可以缺货的，但是我们要求上个月所缺的部件必须要在本月补回来。
如果中间某个月或者是某几个月出现缺货的现象,就会因为有损失费,面对这样的情况时,如果损失费比生产费少的话,对于这种方案公司还是可以考虑,根据这种情况我们可以得到目标函数为：∑∑==++++=6161)(7.03.0min k k k k k k k q p h c akx g我们建立的模型一和模型二都是以动态规划为主要解题思路，在模型中我们将生产费与库存费之和赋予0.7的权重值，总耗费工时数赋予0.3的权重值，假设每件产品的单位工时费为10元，每件产品每月的存贮费为20元，每件产品每月的缺货损失费为5元，因为产品的生产量与成本费成反比，设反比系数为S ，若生产量为X ，则成本费为S/X 元，设反比系数S 为840。
我们利用Lingo 软件求解，在没有缺货存在的条件下得到的最小成本费为5158元，总耗费工时数最少为382小时，一到六月的逐月分配方案为：7 4 5 4 3 4；在有缺货存在的条件下得到的最小成本费为4960元，总耗费工时数最少为363小时，一到六月的逐月分配方案为：6 3 4 3 3 8，每月的缺货量为：0 2 1 0 4 0。
5存储模型
即最优生产周期为17天，生产时间为3.4天，生产 批量为56件。
四、模型三
模型三——允许缺货，生产时间很短。模型一、 二是在不允许缺货的情况下推导出来的，模型三是 允许缺货，并将缺货损失定量化来加以分析。
这里除假设允许缺货，其余条件与模型一相同，
设单位时间每缺一件的损失为 c3 。
一、存贮问题的基本要素
一般的存贮问题通常包含下面5个基本要素。
（一）需求
需求是存贮系统的输出，需求量可以通过供 销渠道获得，它可以是确定的，如自动生产线上 每个班组对某种零件的需求量；它也可以是随机 的，如市场每天对某种商品的销售量。
（二）补充（订货或生产）
补充是存贮系统的输入，存贮物品的补充可以 由工厂生产获得，也可以通过订货得到。从订货到 货物入库，通常需要一段时间，称为滞后时间。由 于滞后时间的存在，管理者为了能及时补充，就必 须提前订货，所提前的时间称为提前时间。滞后时 间可以是随机的，也可以是确定的。
假设每隔T天订货Q，而货物在 t T1 时用完，有 一段时间，即T T1 长时间地缺货（这时需求速度仍
为 r ）（如图），则在T时刻的订货量 Q rT1
T时间内的存贮量 T1
t
(rT1
rx)dx
12rT12
；存贮费
1 2
rT12c2
T时间内的缺货量为
T
(rT1 rx)dx
则缺货损失费为
时间内的需求 rT ，即订货量 Q rT ，每次订货费
为 c1 ，货物单价为 k ，则订货费为 c1 krT
T时间内的存贮 量（如图）为
T
0
(rT
rt)dt
数学建模-生产与贮存
数学建模题目：生产与存贮问题姓名：班级：学号：联系方式：2010-5-26 摘要：关键字：生产与存贮，线性规划一个生产项目，在一定时期内,增大生产量可以降低成本费,但如果超过市场的需求量,就会因积压增加存贮费而造成损失。
相反,如果减少生产量,虽然可以降低存贮费,但又会增加生产的成本费,同样会造成损失。
因此,如何正确地制定生产计划,使得在一定时期内,生产的成本费与库存费之和最小,这是厂家最关心的优化指标，这就是生产与存贮问题。
本模型特点是未知量较多，但有限制条件，要求目标耗费符合线性关系，所以采用转化为线性规划问题借助计算机软件matlab来解决。
主要结果：半年内每月生产计划如下：第一个月15第二个月0第三个月8第四个月0第五个月0第六个月 4半年内每月库存量如下：第一个月9第二个月 4第三个月9第四个月7第五个月0第六个月0总耗费为408。
正文：1.问题分析此题是生产与存贮问题，最终目的是安排合理的生产计划来达到总的费用最小。
所以要搞清总费用：=总费用+总的存贮耗费总的生产耗费2.模型假设（1）.存贮耗费跟生产耗费都用 工时 衡量。
（2）.每月存贮的产品在下个月保持满足每月需求的情况下必须用完。
（3）.每月库存量包括月初库存（即上月的剩余量）和月末库存（本月剩余量）。
3.符号说明第i 个月月初的库存量Hi （i=1，2，3，4，5，6）第i 个月月末的库存量hi （i=1，2，3，4，5，6）第i 个月的生产量xi （i=1，2，3，4，5，6）第i 个月的需求量ki （i=1，2，3，4，5，6）第i 个月生产单位产品耗费工时pi （i=1，2，3，4，5，6） 第i 个月总生产耗费Pi （i=1，2，3，4，5，6）第i 个月存贮耗费 Si （i=1，2，3，4，5，6）第i 个月总耗费 Mi （i=1，2，3，4，5，6）总耗费 M库存单位产品每月耗费工时 T4.模型建立与求解首先把握整体，总费用：∑===61i i Mi M …………………… ①再细分到考虑单个月份的：Si Pi Mi += …………………… ②每月的生产耗费：pixi Pi ⨯= …………………… ③ 每月的存贮耗费： T hi Si ⨯= …………………… ④将③和④代入②，得：T hi pi xi i ⨯+⨯=M …………………… ⑤hi 即每月月末的库存量，第六个月为0：{6i 054321i xi hi hi =⋯⋯==⋯⋯-+==hi ki Hi ，，，，Hi 是每月月初的库存量，第一个月为2：{1i 265432i 1Hi =⋯⋯==⋯⋯=-=Hi Hi h i ，，，，所以，每月的hi 如下： 第一个月x1+2-8 第二个月x2+ x1+2-8 -5 第三个月x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 第四个月x4+ x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 -2 第五个月 x5+ x4+ x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 -2 -7第六个月 x6+ x5+ x4+ x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 -2 -7 -4又由于 h6=0，得：x6+x5+x4+x3+x2+x1=27 (I)还有90≤≤hi 和h6=x6+H6-4=0所以：0 ≤ x1+2-8 ≤ 90 ≤ x2+ x1+2-8 -5 ≤ 90 ≤x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 ≤ 9 0 ≤x4+ x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 -2 ≤ 9 0 ≤x5+ x4+ x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 -2 -7 ≤ 9 x6+ H6 - 4 =0解得：6≤x1 ≤ 150≤x2 ≤ 140≤x3 ≤ 120≤x4 ≤ 110≤x5 ≤ 110≤x6 ≤ 4将上述hi带入⑤，得每月的总耗费：第一个月11·x1 + x1+2-8第二个月18·x2 + x2+ x1+2-8 -5第三个月13·x3 + x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3第四个月17·x4 + x4+ x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 -2第五个月20·x5 + x5+ x4+ x3 + x2+ x1+2-8 -5 -3 -2 -7第六个月10·x6 + 0再将上面数据代入到①中，得：(42017)2)(⨯⨯+=7010654(181)115+)3)13(23(TxxT-M⨯TxxTxTTx⨯+⨯⨯++⨯⨯+++⨯+⨯⨯+到此把问题转化为了一个线性规划问题，如下：目标函数：⨯(421720))+⨯=706510(31()5(11184133(2))⨯+xxT-M⨯TxxTxTTx⨯T+⨯+⨯++⨯⨯+⨯++⨯+约束条件：6≤x1 ≤ 150≤x2 ≤ 140≤x3 ≤ 120≤x4 ≤ 110≤x5 ≤ 110≤x6 ≤ 4等式关系：x6+x5+x4+x3+x2+x1=27只要求出使M最小时的xi值即可，代入题目中各数据，暂取T=1，用matlab解得：半年内每月生产计划如下：第一个月15第二个月0第三个月8第四个月0第五个月0第六个月 4半年内每月库存量如下：第一个月9第二个月 4第三个月9第四个月7第五个月0第六个月0M=408注：Matlab程序请看附录5.结果分析与检验检验：xi分别取6，5，5，6，1，4等级组数据时，M都大于408。
数学建模存储问题论文
摘要本文主要探讨解决订货与存储问题，属于典型的存贮问题，并建立模型以得到最优订货方案。
所谓最优订货方案是指在满足市场需求并充分发挥存货功能的基础上使存货成本最低。
模型以存货成本最低为目标，建立起其与相关变量之间的函数关系得到目标函数。
进而，通过MATAL程序实现，并得出目标函数最优解，即最优订货方案。
关键词：经济批量订货；订货成本，成本利率解决订货与存储问题的最优方案设计（一）．问题的重述太原某食品加工厂每星期食用油的消耗量为80桶，每桶食用油的价格是250元。
在每次采购中的固定费用为580元，该费用与采购数量的大小无关，订购的食用油可以即时送达。
工厂财务成本的利率以每年15%计算，保存每桶食用油的库存成本为每星期11元。
根据题目要求，需要解决以下几个问题：（1）目前的方案是每次采购够用两个星期的食用油，计算这种方案下的平均成本。
（2计算最优订货量及相应的平均成本。
（3）若食用油供应商为推出促销价格：当食用油的一次购买量大于500桶时，为220元/桶，计算最优订货量及相应的平均成本。
（二）．问题的分析（1）计算以两周为周期的采购方案下的平均成本。
（2）通过典型的存贮模型来求出最优订货量及相应的平均成本。
（3）在典型的存贮模型中改进来建立批量采购模型，计算最优订货量及相应的平均成本。
（三）．模型建立与求解模型一：不允许缺货，补充时间极短。
为了便于分析和描述，对模型作如下假设：（1）需求是连续的，即单位时间（每周）的需求量是常数R；（2）不补充可以瞬时实现，及补充时间近似为零；（3）单位储存费用为C1，由于不允许缺货，故单位缺货C2为无穷大，订货固定费为C3，货物单价为K.订货费采用t-循环策略。
设订货周期为t ，订货时贮存已用尽，每次订货量为Q 。
则每次订货量Q 满足T 实间的需求，则Q=Rt 。
那么订货费为3C KRt +，t 时间内的平均订货费为：3C KRt t+ 由于需求是连续均匀的，故时间t 内的平均存贮费量为：0112t RTdT Rt t =⎰ 因此，t 时间内的平均存贮费为11C 2Rt 由于不允许缺货，故不考略缺货费用。
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最佳生产时间：
* t1
R * t P
2 RC3 C1P( P R)
2C 3R( P R) C1P
2C1C 3R( P R) P
最大存贮量： 最小费用：
* A* ( P R)t1
C C (t )
* *
例 某产品每月需求量为8件，生产准备费用为100元，存 贮费用为5元/月· 件。在不允许缺货条件下，比较生产速度分 别为每月20件和每月40件两种情况下的经济批量和最小费用 用“不允许缺货，生产（补充）需一段时间”的模型求解 已知：C1=5元/月· 件，C3=100元，R=8件/月， P1=20件/月，P2=40件/月 。 由经济生产批量计算公式，可得
确定型存贮模型Ⅱ 不允许缺货、补充时间较长 模型假设：
1. 需求是连续均匀的，即需求速度为常数R 。 2. 存贮的补充是由企业的生产来满足，但生产需 要一定的时间。设生产是连续均匀的，即生产 速度为常数P，同时设P>R。 3. 不允许缺货，即缺货惩罚费（单位缺货费）为 C2，取无穷大。 4. 每次订货量不变，订购费（或生产准备费）为
模型求解
dC (t ) C3 1 R2 2 C1( R ) dt 2 P t
令 dC (t ) 0 , 解得 t * dt 2PC3 C1( P R )
------ 最佳订货周期（最佳存贮周期）
最佳生产批量：
Q
*
* P t1
R * P t P
2PRC3 C1( P R)
从 [ t1 , t 2 ] 看，最大缺货量在 [ t1 , t 2 ] 时间内得到了补 充，因此有 B ( P R )( t2 t1 ) ，于是有
PR R t1 ( P R )( t2 t1 ) t1 t2 P
从 [ t2 , t3 ] 看，最大存贮量 A ( P R )( t3 t 2 ) 从 [ t3 , t ] 看，最大存贮量在 [ t3 , t ] 时间内被消耗掉， 因此有 A R ( t t3 ) ，于是有
2 C3 R ( P R ) t2 [ C1 t 2C1 t2 ( C1 C2 ) ] t 2P t
2 C (t , t2 ) C3 R( P R)C1 R( P R) t2 2 (C1 C2 ) 2 t 2P 2P t t C (t , t ) R( P R) t2 2 [ 2C1 2(C1 C2 ) ] t2 2P t C (t , t 2 ) C (t , t 2 ) 0 , 0 ，得 令 t t 2 C3 t2 C1 R ( P R )C1C 2 , 2 t C1 C 2 2 P (C1 C 2 ) t
( P R)( t 2 u )du 0
1 1 2 1 [ R t1 ( P R ) ( t2 t1 ) 2 ] t 2 2
1 PR 2 R 2 [ R( t2 ) ( P R ) ( t2 ) ] 2t P P
R( P R ) 2 t2 2P t
由此可以解得最佳订货周期为：
2C3 (C1 C2 ) t C1C2 R
*
C2 R * 最大存贮量为： A t C1 C2
*
2C2C3 R C1 (C2 C3 )
最佳丁货批量为： Q Rt
* *
2RC3 (C1 C2 ) C1C2
A* * 最大缺货量为： t1 R
[ 0 , t ] 时间内的平均缺货量为：
1 t 1 t Rt A2 0 J (u)du t A R ( Ru A ) du 2 A 2Rt t
单位时间内总的平均费用为：
C3 A2C1 RC2t A2C2 C( t , A ) AC2 t 2 Rt 2 2 Rt
该模型的存贮状态图为
Q A
0 B
t1
T t
模型建立
1）[ 0 , t1 ]时间内以存贮满足需求，存贮以速度R减少， 至t1时刻，存贮降为零。 2） [ t1 , t ]时间内，存贮为零，至t时刻达到最大缺货量 B，进入下一个存贮周期。 利用模型假设和存贮状态图，我们可以导出[ 0 , t ]时间 内的费用函数。 从[ 0 , t1 ]看，最大存贮量为 A=Rt1 t1=A/R 从存贮状态图可得时刻u时的实际存贮量为 A A R( u ) , 0u R ( t1 u ) , 0 u t1 R R I (u ) A 0 , t1 u t 0 , ut R
R ( P R ) C2 2 t2 故单位时间内的平均缺货费用为： 2P t
ⅲ） [ 0 , t ] 时间内的生产准备费用为 C3 ，故单位时间 内的平均准备费用为： C3 t 于是 [ 0 , t ] 时间内总的平均费用为：
C3 R ( P R ) C1 R ( P R ) C2 2 2 C ( t , t2 ) ( t t2 ) t2 t 2 Pt 2Pt
C3 25元 次
R 2000件 年 ,
由模型Ⅲ中的公式可知最佳订货批量为
Q* Rt * 2RC3 (C1 C2 ) 2 2000 25 (10 30) C1C2 10 30
取整得，每次订购115件。
200 3 115.47 3
2RC1C2C3 C1 C2
1 R PR 2 { ( P R ) [ ( t t2 ) ] R[ ( t t2 ) ]2 } 2t P P
R ( P R ) C1 ( t t2 ) 2 故单位时间内的平均存贮费用为： 2P t
ⅱ）从存贮状态图可得时刻u的实际缺货量为
R( P R ) ( t t2 ) 2 2P t
时刻u时的实际缺货量 J (u ) 为：
A , 0u 0 , 0 u t1 0 R J (u ) R (u t1 ) , t1 u t Ru A , A u t R
于是 [ 0 , t ] 时间内的平均存贮量为：
1 t 1 AR A2 0 I (u) du t 0 ( A Ru ) du 2Rt t
求t和A的值，使
C ( t , A ) 达到最小。
C (t , A) C3 A2C1 RC2 A2C2 令 2 0 2 2 t 2 t 2 Rt 2 Rt AC2 令 C (t , A) C1 A C2 0 A Rt Rt
常数C3
5. 单位存贮费为常数C1。不考虑货物价值。 该模型的存贮状态图为
Q
A
t
T
0
t1
模型建立
1）[ 0 , t1 ]时间内产量一方面以速度R满足需求，另一方 面以速度(P—R)增加存贮，到t1时刻达到最大存贮量A，并 停止生产。 2）[ t1 ,t ]时间内以存贮满足需求，存贮以速度R减少，到 时刻t存贮降为零，进入下一个存贮周期。
每月生产20件时， 1 Q*
40 3 （件） 3
* 最小费用C1 40 （元） 3
每月生产40件时， 2 20(件） Q*
* 最小费用C2 80 （元）
存贮模型Ⅲ 允许缺货，补充时间极短 模型假设
1）设需求是连续均匀的，即需求速度为常数R。 2）补充可以瞬时完成，即补充时间近似为零。 3）系统允许缺货，单位缺货费为C2. 4）单位存贮费为常数C1. 5）每次订货量不变，订购费为常数C3，不考虑 货物的价值（成本）。
最小费用为： C * C (t * , A* )
2 2000 10 30 25 500 3 866元 10 30
存贮模型Ⅳ 允许缺货，补充时间较长
模型假设
1）设需求是连续均匀的，即需求速度为常数R。 2）补充需要一定时间. 不考虑拖后时间，值考虑 生产时间，即一旦需要，生产可立即开始，但生产 需要一定周期。设生产是连续均匀的，即生产速度 为常数P，且设P＞K。 3）系统允许缺货，单位缺货费为C2. 4）单位存贮费为常数C1. 5）每次订货量不变，生产准备费用为常数C3，不 考虑货物的价值（成本）。
t 1 t1 ( ( P R ) u du R ( t u ) du ) 0 t1 t 1 1 1 2 ( Pt1 Rt 2 R t t1 ) t 2 2
1 R2 Rt t 其中t1 t1 2 2P
t1 R t P
于是单位时间内总的平均费用为 C3 1 R2 C (t ) C1( R )t t 2 P 求t的取值，使 C (t ) 达到最小。
R R ( t t3 ) ( P R )( t3 t 2 ) t3 t 2 ( t t2 ) P
ⅰ）从存贮状态图可得时刻u的实际存贮量为
0 , 0 u t2 I (u ) ( P R)(u t 2 ) , t2 u t3 R(t u ) , t3 u t
2C2C3 RC1 (C1 C2 )
B R(t
*
* t1 ) Q*
A
*
2RC1C3 C2 (C1 C2 )
最小费用为：
C C (t , A )
* * *
2RC1C2C3 C1 C2
例：某电子设备厂对一种元件的需求为 R 2000件 年 ,
订货提前期为零，每次订购费为25元。该元件每件成本50 元，年存贮费为成本的20%；如发生供货短缺，可在下批 货到达时补上，但缺货损失费为每件每年30元。试求最佳 订货批量及全年的总费用。 由题意可知，本题属于“允许缺货，补充时间极短”的 存贮模型。本题中： 单位存贮费： C1 50 20% 10 元 件 年 单位缺货费： C2 30 元 件 年 订购费： 需求速度：