枚举-递归-回溯
搜索算法入门详解
搜索算法⼊门详解什么是搜索算法搜索算法是利⽤计算机的⾼性能来有⽬的的穷举⼀个问题解空间的部分或所有的可能情况，从⽽求出问题的解的⼀种⽅法。
现阶段⼀般有枚举算法、深度优先搜索、⼴度优先搜索、A*算法、回溯算法、蒙特卡洛树搜索、散列函数等算法。
在⼤规模实验环境中，通常通过在搜索前，根据条件降低搜索规模；根据问题的约束条件进⾏剪枝；利⽤搜索过程中的中间解，避免重复计算这⼏种⽅法进⾏优化。
搜索⽅式⾸先给⼤家扫个盲在搜索中，不仅仅只有常见的递归式搜索，也存在着⼀部分正向迭代式搜索,但是在真正的使⽤中递归式搜索占到了绝⼤多数，基本上所有的递归式搜索⽤是递归都可以实现只不过代价⽐较⼤⽐如我们想要求出数字 1 - 3之间所有数字的全排列这个问题很简单，简单到不想⽤⼿写。
还是写⼀下吧对于这个问题我们只⽤三重循环就可以完全搞定它int n = 3;for(int i = 1;i <= n ;i ++){for(int j = 1;j <= n ;j ++){for(int k = 1;k <= n; k++){if(i != j && i != k && j != k){printf("%d %d %d\n",i ,j ,k);}}}}这个时候有同学就会问了，既然⽤递推就可以实现我们的搜索那么我们为什么还要费劲的去写递归呢？原因是之前举的哪⼀个例⼦规模很⼩，如果此时我们讲n 换成10 我们需要枚举 1 - 10的全排列那么你⽤递推的话代码⼤致式这样的int n = 3;for(int i = 1;i <= n ;i ++){for(int j = 1;j <= n ;j ++){for(int k = 1;k <= n; k++){for(int o = 1; 0 <= n ;o++){for(int p = 1;p <= n ; p++){for(){for().......不写了我吐了}}}}}}⾸先不说你有没有⼼情实现，光是变量的字母引⽤就够你喝⼀壶了这⾥n = 10 还没超过26，那如果超过了26，你岂不是要把汉字搬来了....这⾥就暴露出⼀个问题。
回溯算法的应用场景
回溯算法的应用场景回溯算法是一种经典的问题求解算法，常用于解决组合问题、排列问题、搜索问题等。
它通过不断地尝试和回退来寻找问题的解，可以在有限的时间内找到问题的所有解，或者找到满足特定条件的解。
下面将介绍回溯算法的几个常见应用场景。
1. 组合问题组合问题是指从给定的一组元素中选取若干个元素，使得它们满足一定的条件。
例如，在一副扑克牌中选取若干张牌，使得它们的点数之和等于给定的目标值。
回溯算法可以通过枚举所有可能的组合来解决这类问题。
具体实现时，可以使用递归或迭代的方式进行求解。
2. 排列问题排列问题是指从给定的一组元素中选取若干个元素进行全排列，使得每个元素都不重复出现。
例如，在一组数字中找出所有可能的排列。
回溯算法可以通过枚举所有可能的排列来解决这类问题。
具体实现时，同样可以使用递归或迭代的方式进行求解。
3. 搜索问题搜索问题是指在给定的搜索空间中找到满足一定条件的解。
例如，在迷宫中找到从起点到终点的路径，或者在一个图中找到满足特定条件的子图。
回溯算法可以通过不断地尝试和回退来搜索所有可能的解，并找到满足条件的解。
在搜索问题中，通常使用深度优先搜索来实现回溯算法。
4. 数独问题数独问题是指在一个9×9的网格中填入1至9的数字，使得每行、每列和每个小方格中的数字均不重复。
回溯算法可以通过逐个地尝试填入数字，并不断检查当前状态是否满足条件来解决数独问题。
当无法继续填入数字时，回溯算法会回退到前一步继续尝试其他可能的解。
5. 棋盘问题棋盘问题是指在一个给定大小的棋盘上放置一定数量的棋子，使得它们满足一定的规则。
例如，在N皇后问题中，要在一个N×N大小的棋盘上放置N个皇后，使得它们任意两个皇后都不在同一行、同一列或同一对角线上。
回溯算法可以通过逐行地尝试放置皇后，并检查每次放置是否满足规则来解决这类问题。
回溯算法的应用场景不仅限于上述几个例子，还涉及到许多其他问题，如密码破解、迷宫生成、单词搜索等。
八皇后问题详细的解法
若无法放下皇后则回到上一行， 即回溯
当n行的皇后都已确定后，我们 就找到了一种方案
check2 (int a[ ],int n)
queen21(例) 1 b加约束的枚举算法{//i多nt次i; 被调用，只是一重循环
{int a[9]; for (a[1]=1;a[1]<=8;a[1]++) for (a[2]=1;a[2]<=8;a[2]++)
八皇后问题
1
1八皇后问题背景 2盲目的枚举算法 3加约束的枚举算法 4回溯法及基本思想 5 回溯法应用 6八皇后问题的递归回溯算法 7八皇后问题的非递归回溯算法
2
【背景】 八皇后问题是一个以国际象棋为背
景的问题： 如何能够在 8×8 的国际象棋棋盘上
放置八个皇后，使得任何一个皇后都 无法直接吃掉其他的皇后？为了达到 此目的，任两个皇后都不能处于同一 条横行、纵行或斜线上。
for(a[8]=1;a[8]<=8;a[8]++) 此算法可读性很好，
{if (check(a,8)==0)continue; 体现了“回溯”。但
else for(i=1;i<=8;i+nt(a[i]); }
题，而不能解决任意
}}}}}}}
的n皇后问题。
18
2 回溯法应用-算法说明
按什么顺序去搜？ 目标是没有漏网之鱼，尽量速度快。
5
2 【问题设计】盲目的枚举算法
a 盲目的枚举算法
通过8重循环模拟搜索空间中的88个状态；
按枚举思想，以DFS的方式，从第1个皇后在第1列开 始搜索，枚举出所有的“解状态”：
从中找出满足约束条件的“答案状态”。
回溯与递归
回溯与递归
回溯和递归都是算法中常用的概念，通常用于解决一些复杂的问题。
回溯（Backtracking）是一种试探性的算法思想，它可以在解
决问题的过程中进行“回溯”，即通过不断的尝试，找到一条解决问题的路径。
回溯算法通常应用于求解每一个可能的解，并对每一个解进行检查，最终找到一个满足条件的解。
回溯算法通常使用递归的方式实现，每次尝试一个可能的解，如果该解行不通，就回溯到前一步，再尝试另一个可能的解，直到找到一个满足条件的解。
递归（Recursion）是一种算法思想，它将问题的求解转化为
对自身的调用，通常包含一个或多个基准情况和一个或多个递归情况。
递归算法通常需要将问题分解成若干个子问题，然后递归求解每一个子问题的解，最终将子问题的解合并成原问题的解。
递归算法通常用于处理数据结构中的树、图、链表等结构，并可以方便地实现回溯算法。
总的来说，回溯算法是通过尝试所有可能的解来找到一个满足条件的解，而递归算法是通过逐层递归求解子问题的解，最终得到原问题的解。
在实际应用中，回溯算法和递归算法常常相互结合，并且可以通过剪枝等方式进行优化，提高算法的效率。
回溯法的基本概念
回溯法的基本概念回溯法，也叫试探法，是一种基于深度优先搜索的算法。
它是一种非常实用的解决问题的方法，通常用来解决那些需要尝试许多可能性的问题。
在回溯法中，我们需要枚举所有的可能性，并根据条件进行深度搜索，直到找到所有的解或达到终止条件。
回溯法的基本思想是：将问题分成多个小问题来解决，每个小问题都需要尝试不同的解决方案，直到找到最优解或达到终止条件。
当我们尝试的方案不符合要求时，我们需要“回溯”（撤销上一步的操作），尝试其他解决方案。
回溯法的应用非常广泛，比如在图形学、人工智能、网络协议设计等领域都有广泛的应用。
在算法竞赛中，回溯法是一个非常重要的算法，也是我们必须要掌握的算法之一。
使用回溯法的关键在于如何组织搜索空间。
我们需要确定搜索树的遍历顺序和搜索深度，以及如何剪枝搜索空间。
通常情况下，我们可以使用递归函数来实现回溯算法。
这个递归函数需要接收状态参数，在每一次递归调用中，我们需要将状态参数进行更新，并考虑是否达到了终止条件。
在回溯算法的实现中，通常要注意以下几点：1. 前缀和预处理：如果我们需要快速传递状态信息，可以使用前缀和预处理技术。
2. 剪枝：剪枝是一种优化手段，可以在搜索中减少不必要的计算。
比如我们可以根据当前状态进行剪枝，减少搜索量。
3. 记忆化搜索：如果我们需要多次查询相同的状态，可以使用记忆化搜索来优化。
这样可以避免重复计算，提高算法效率。
4. 双向搜索：双向搜索可以从起点和终点同时进行搜索，这样可以减少搜索时间和空间复杂度。
总之，回溯法是一种非常实用的算法，在实际问题求解中具有广泛的应用。
要想掌握回溯法，需要多做题、多思考，掌握其基本原理和常见技巧，逐步提高自己的解题能力。
递归回溯算法
递归回溯算法简介递归回溯算法是一种解决问题的算法思想，它通过不断地尝试所有可能的解决方案，并在每一步中进行回溯，即撤销上一步的选择，直到找到满足条件的解。
这种算法思想通常用于解决组合优化问题，如全排列、子集、背包等。
概念解析•递归：递归是指一个函数调用自身的过程。
在递归回溯算法中，递归函数通常用于尝试解决问题的每一步。
•回溯：回溯是指当无法继续前进时，回退到上一层的过程。
在递归回溯算法中，回溯通常用于撤销上一步的选择，以尝试其他可能的解决方案。
算法框架递归回溯算法的框架通常包括以下几个步骤：1.确定递归函数的输入参数和返回值：通常需要传入当前的状态和已经做出的选择，返回解决方案或最优解。
2.确定递归函数的终止条件：当满足终止条件时，停止继续递归，返回解决方案或最优解。
3.确定每一步的选择范围：根据实际情况，确定可以做出的选择范围。
4.根据选择范围，在每一步中进行递归调用：对每一个选择进行递归调用，尝试解决问题的下一步。
5.在每一步中进行回溯：如果当前选择导致无法继续前进，进行回溯，撤销上一步的选择，尝试其他可能的解决方案。
6.处理结果：根据实际需求，对每一个解决方案进行处理，如输出结果、更新最优解等。
应用场景递归回溯算法在很多问题中都有应用，特别是在组合优化问题中更为常见。
下面列举几个常见的应用场景：1. 全排列全排列是指将一组元素进行排列，列出所有可能的排列情况。
对于一个含有n个元素的集合，全排列的结果共有n!种可能。
算法思路：1.从集合中选择一个元素作为当前位置的元素。
2.使用递归算法求解剩余元素的全排列。
3.当集合中只剩下一个元素时，输出当前排列情况。
4.撤销上一步的选择，尝试其他可能的排列情况。
2. 子集子集是指在一个集合中，取出部分或全部元素形成的集合。
对于一个含有n个元素的集合，子集的结果共有2^n种可能。
算法思路：1.不选择当前元素，进入下一层递归。
2.选择当前元素，进入下一层递归。
如何计算出所有组合
如何计算出所有组合计算所有组合是一个经典的组合问题，可以通过递归、迭代、回溯等多种方法来实现。
下面将介绍其中几种常见的方法。
1.递归方法递归是一种通过函数不断调用自身的方法。
在计算所有组合时，可以使用递归来不断缩小问题规模，直到问题规模为1时返回最终结果。
首先，定义一个递归函数，输入为待组合的列表和每个组合的长度。
然后，递归函数根据组合长度和待组合列表的长度进行条件判断，如果组合长度为1，则直接返回待组合列表的每个元素。
如果待组合列表长度小于等于组合长度，则直接返回待组合列表。
否则，递归调用函数，将问题规模缩小为原始列表中除第一个元素之外的元素列表，组合长度减1、然后将第一个元素依次与新的元素列表中的元素组合，得到新的组合列表。
最后，将新的组合列表与原始列表中的第一个元素组合，并返回。
示例代码如下所示：```pythonif n == 1:return [[x] for x in lst]elif len(lst) <= n:return [lst]else:result = []for i in range(len(lst)-n+1):for ele in rest:result.append([lst[i]] + ele)return result```2.迭代方法迭代方法则是通过循环来计算所有组合。
与递归方法类似，迭代方法需要对问题规模进行缩小，并通过迭代来不断求解子问题。
首先，初始化一个结果列表，并将第一个元素添加到结果列表中。
然后，依次遍历原始列表中的每个元素，将当前元素与结果列表中已有的组合进行组合，并将新的组合添加到结果列表中。
然后，将当前元素与其他元素的组合进行组合，并将新的组合添加到结果列表中。
最后，返回结果列表。
示例代码如下所示：```pythonresult = [[x] for x in lst[0]]for ele in lst[1:]:for lst_ele in result:return result```3.回溯法回溯法是一种通过试错的方法来计算所有组合的方法。
递推-递归-分治-回溯
递推算法在程序编辑过程中，我们可能会遇到这样一类问题，出题者告诉你数列的前几个数，或通过计算机获取了数列的前几个数，要求编程者求出第N项数或所有的数列元素（如果可以枚举的话），或求前N项元素之和。
这种从已知数据入手，寻找规则，推导出后面的数的算法，称这递推算法。
典型的递推算法的例子有整数的阶乘，1，2，6，24，120…，a[n]=a[n-1]*n(a[1]=1)；前面学过的2n，a[n]=a[n-1]*2(a[1]=1)，菲波拉契数列：1，2，3，5，8，13…，a[n]=a[n-1]+a[n-2](a[1]=1,a[2]=2)等等。
在处理递推问题时，我们有时遇到的递推关系是十分明显的，简单地写出递推关系式，就可以逐项递推，即由第i项推出第i+1项，我们称其为显示递推关系。
但有的递推关系，要经过仔细观察，甚至要借助一些技巧，才能看出它们之间的关系，我们称其为隐式的递推关系。
下面我们来分析一些例题，掌握一些简单的递推关系。
例如阶梯问题：题目的意思是：有N级阶梯，人可以一步走上一级，也可以一步走两级，求人从阶梯底走到顶端可以有多少种不同的走法。
这是一个隐式的递推关系，如果编程者不能找出这个递推关系，可能就无法做出这题来。
我们来分析一下：走上第一级的方法只有一种，走上第二级的方法却有两种（两次走一级或一次走两级），走上第三级的走法，应该是走上第一级的方法和走上第二级的走法之和（因从第一级和第二级，都可以经一步走至第三级），推广到走上第i级，是走上第i-1级的走法与走上第i-2级的走法之和。
很明显，这是一个菲波拉契数列。
到这里，读者应能很熟练地写出这个程序。
在以后的程序习题中，我们可能还会遇到菲波拉契数列变形以后的结果：如f(i)=f(i-1)+2f(i-2)，或f(i)=f(i-1)+f(i-2)+f(i-3)等。
我们再来分析一下尼科梅彻斯定理。
定理内容是：任何一个整数的立方都可以写成一串连续的奇数和，如：43=13+15+17+19=64。
枚举问题知识点总结
枚举问题知识点总结一、枚举问题的定义枚举问题是指通过遍历所有可能的情况，找出所需结果的一类数学问题。
通常来说，枚举问题可以分为两类：一是在已知条件下求解未知问题，例如排列组合、求解最优解等；二是在未知条件下求解已知问题，例如密码破解、密码学等。
二、枚举问题的性质1. 可计算性：枚举问题在理论上是可计算的，通过遍历所有可能的情况来寻找解决方案。
2. 时间复杂度：枚举问题通常会伴随着高时间复杂度，特别是在问题规模较大时，需要耗费较长时间来进行计算。
3. 空间复杂度：枚举问题在求解过程中会占用较大的空间，需要存储所有可能的情况，并进行比较和分析。
三、枚举问题的应用1. 组合数学：在组合数学中，枚举问题经常用于求解排列组合、子集问题等，例如有多少种不同的排列方式、有多少种不同的子集组合等。
2. 最优解问题：在求解最优解问题时，枚举方法是经常使用的一种解决方案，通过遍历所有可能的情况来寻找最优解。
3. 密码破解：在密码学中，枚举方法可以用于破解密码，通过遍历所有可能的密码组合来寻找正确的密码。
四、枚举问题的解题方法1. 遍历法：枚举问题的解题方法之一是遍历法，通过循环遍历所有可能的情况来寻找解决方案。
2. 递归法：递归法是枚举问题的另一种解题方法，通过递归的方式来遍历所有可能的情况并寻找解决方案。
3. 剪枝法：在解决枚举问题时，剪枝法是一种常用的优化方法，通过对可能情况进行排除和精简，减少计算量和提高效率。
五、枚举问题的实例1. 求解排列组合问题：例如求解 n 个元素的排列有多少种不同的方式，求解 n 个元素的组合有多少种不同的方式。
2. 求解最优解问题：例如求解 n 个元素的最大子序列和、求解 0-1 背包问题等。
3. 密码破解：例如通过暴力破解的方式来遍历所有可能的密码组合，寻找正确的密码。
六、总结枚举问题在数学中具有重要的地位，它涉及到多个领域的知识和技巧。
通过本文对枚举问题的定义、性质、应用以及解题方法的总结和讲解，希望读者能够对枚举问题有更深入的理解，并且在解答相关问题时能够更加得心应手。
24点 有理数 算法技巧
24点有理数算法技巧24点是一种简单而有趣的纸牌游戏，它可以帮助玩家锻炼思维逻辑和算术能力。
本文将介绍24点游戏的规则和一些解题的算法技巧。
24点游戏的规则很简单，玩家需要从扑克牌中抽取4张牌，然后通过加、减、乘、除的运算符号，将这4个数字组合起来，使得最终结果等于24。
每个数字只能使用一次，而且最终的结果必须是一个有理数。
在游戏中，玩家可以根据需要使用括号改变运算顺序。
那么如何解决24点游戏呢？下面将介绍几种常用的算法技巧。
1. 枚举法：这是最简单也是最直接的方法。
通过枚举所有可能的组合，计算出每一种组合的结果，看是否等于24。
这种方法的优点是简单易懂，适用于小规模的问题。
但是缺点也很明显，当数字更多时，组合的可能性会变得非常庞大，计算量也会增加。
2. 回溯法：回溯法是一种递归的算法，通过不断尝试不同的运算和组合，来寻找满足条件的解。
回溯法的核心思想是不断地减小问题规模，直到找到最终的解。
在24点游戏中，回溯法可以通过递归函数来实现。
递归函数的参数可以是当前的表达式、已经使用过的数字和剩余的数字等。
通过不断地尝试不同的运算符号和数字，最终找到满足条件的解。
3. 逆波兰表达式：逆波兰表达式是一种不需要括号的数学表达式表示方法，可以方便地进行计算。
在24点游戏中，可以使用逆波兰表达式来表示运算过程，从而简化计算的过程。
将原始的中缀表达式转换成逆波兰表达式，然后通过栈来计算表达式的值，最终得到结果。
这种方法的优点是减少了括号的使用，使表达式更加简洁，计算过程也更加清晰。
4. 数学技巧：除了算法上的技巧，数学上的一些技巧也可以帮助解决24点游戏。
例如，可以通过乘法的交换律和结合律，将一个表达式转换成另一个等价的表达式，从而简化计算过程。
另外，可以通过观察数字之间的关系，找到一些特殊的组合方式，来得到解。
24点游戏是一种锻炼思维逻辑和算术能力的有趣游戏。
通过使用枚举法、回溯法、逆波兰表达式和数学技巧等算法技巧，可以帮助玩家解决24点游戏中的难题。
学习电脑信息五大常用算法之四：回溯法
五大常用算法之四：回溯法五大常用算法之四：回溯法1、概念回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程,主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回,尝试别的路径。
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。
但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择,这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点"。
许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法"的美称。
2、基本思想在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。
当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解,如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯.（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。
若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束.而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
3、用回溯法解题的一般步骤：（1）针对所给问题,确定问题的解空间:首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个(最优)解。
（2）确定结点的扩展搜索规则（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
4、算法框架(1）问题框架设问题的解是一个n维向量(a1，a2,………，an),约束条件是ai(i=1,2，3，…。
,n)之间满足某种条件,记为f（ai)。
（2）非递归回溯框架1：int a[n］,i；2：初始化数组a［］；3: i = 1；4: while (i〉0(有路可走）and （未达到目标）) // 还未回溯到头5：{6：if（i > n）// 搜索到叶结点7：｛8: 搜索到一个解，输出；9: ｝10：else// 处理第i个元素11: ｛12：a［i]第一个可能的值；13: while(a［i］在不满足约束条件且在搜索空间内) 14：｛15：a［i］下一个可能的值；16：｝17: if（a[i]在搜索空间内）18: {19：标识占用的资源;20: i = i+1; // 扩展下一个结点21: }22: else23: {24：清理所占的状态空间；// 回溯25：i = i –1;26: ｝27: ｝（3）递归的算法框架回溯法是对解空间的深度优先搜索，在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单，其中i为搜索的深度,框架如下：1: int a［n］；2：try（int i）3：{4：if（i>n）5: 输出结果；6：else7：｛8: for(j = 下界; j 〈= 上界; j=j+1) // 枚举i所有可能的路径9：{10: if（fun(j）) // 满足限界函数和约束条件11: ｛12: a[i］= j；13：。
递归法和回溯法
递归法和回溯法有人说，回溯实际上是递归的展开，但实际上。
两者的指导思想并不一致。
打个比方吧，递归法好比是一个军队要通过一个迷宫，到了第一个分岔口， 有 3 条路，将军命令 3 个小队分别去探哪条路能到出口，3 个小队沿着 3 条路分 别前进， 各自到达了路上的下一个分岔口，于是小队长再分派人手各自去探路— —只要人手足够 （对照而言， 就是计算机的堆栈足够） 最后必将有人找到出口， ， 从这人开始只要层层上报直属领导，最后，将军将得到一条通路。
所不同的是， 计算机的递归法是把这个并行过程串行化了。
而回溯法则是一个人走迷宫的思维模拟——他只能寄希望于自己的记忆力， 如果他没有办法在分岔口留下标记（电视里一演到什么迷宫寻宝，总有恶人去改 好人的标记）。
想到这里突然有点明白为什么都喜欢递归了， 他能够满足人心最底层的虚荣 ——难道你不觉得使用递归就象那个分派士兵的将军吗？想想汉诺塔的解法， 也 有这个倾向，“你们把上面的 N－1 个拿走，我就能把下面的挪过去，然后你们 在把那 N－1 个搬过来”。
笑谈，切勿当真。
这两种方法的例程，我不给出了，网上很多。
我只想对书上的递归解法发表 点看法，因为书上的解法有偷梁换柱的嫌疑——迷宫的储存不是用的二维数组， 居然直接用岔路口之间的连接表示的——简直是人为的降低了问题的难度。
实际 上，如果把迷宫抽象成（岔路口）点的连接，迷宫就变成了一个“图”，求解入 口到出口的路线， 完全可以用图的遍历算法来解决，只要从入口 DFS 到出口就可 以了； 然而， 从二维数组表示的迷宫转化为图是个很复杂的过程。
并且这种转化， 实际上就是没走迷宫之前就知道了迷宫的结构，显然是不合理的。
对此，我只能 说这是为了递归而递归，然后还自己给自己开绿灯。
但迷宫并不是只能用上面的方法来走，前提是，迷宫只要走出去就可以了， 不需要找出一条可能上的最短路线——确实，迷宫只是前进中的障碍，一旦走通了，没人走第二遍。
递归和回溯
递归和回溯递归和回溯是计算机科学中重要的概念，它们被广泛地应用在算法和程序设计中。
递归（Recursion）是指一种程序设计技术，它将问题的解决方法分解为更小的子问题，依次解决子问题，最后将各个子问题的解合并起来得到问题的解。
而回溯（Backtracking）则是指一种试探性的搜索算法。
回溯算法通过递归依次试探问题的每一种可能解决办法，对于无解或者不符合要求的情况进行回溯，寻找新的解决方案。
本文将从定义、应用、优化三方面详细讲解递归和回溯算法。
一、递归的定义及应用1.1 递归的概念递归是一种程序设计技巧，它将一个问题分解为更小的子问题，问题的解决方法与子问题的解决方法相同，通过递归调用子问题的解决方法，最终得到问题的解决方法。
递归有两个必要条件：一是递归终止条件（递归出口）；二是递归调用（自调用）。
综上所述，递归程序必须具备的特点是具有递归出口和自调用两个基本属性。
1.2 递归的应用递归在程序设计中的应用非常广泛，常见的应用包括：树结构遍历、排序、搜索、字符串处理、图的深度优先搜索等等。
递归应用最为广泛的领域是算法和操作系统。
在算法领域中，递归是解决分治、动态规划等问题的主要思想，如快速排序、归并排序和斐波那契数列等都是基于递归设计的。
在操作系统中，递归的应用也比较广泛，比如UNIX系统中使用递归算法实现打印目录下所有文件的函数，Windows系统中使用递归算法查询注册表等。
1.3 实例分析：斐波那契数列斐波那契数列是指：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……。
其中第1项和第2项为1，从第3项开始，每一项为前两项的和。
斐波那契数列可以用递归方式写出如下代码：```c++ int fib(int n) { if (n <= 2){ return 1; } return fib(n - 1) + fib(n - 2); } ```该递归函数表示了斐波那契数列的定义，在递归函数中，首先判断n是否小于等于2，如果是，直接返回1；如果不是，继续递归调用fib(n-1)和fib(n-2)，最后将两个递归函数的返回结果相加作为函数的返回结果。
C语言高级特性递归与回溯算法
C语言高级特性递归与回溯算法C语言高级特性：递归与回溯算法递归和回溯算法是C语言中一种非常重要的高级特性，它们在解决一些复杂问题和优化代码时发挥着关键的作用。
本文将会介绍递归和回溯算法的原理和应用，并通过具体的示例来说明它们的使用方法。
一、递归算法递归是指一个函数在执行过程中调用自身的过程。
递归算法通常包括两个部分：递归出口和递归调用。
递归出口是指当满足某个条件时结束递归的条件，而递归调用则是指在函数内部调用自身来解决规模更小的问题。
递归算法在解决一些具有重复性结构的问题时非常高效。
例如，计算一个数的阶乘，可以使用递归算法来实现：```c#include <stdio.h>int factorial(int n) {if (n == 0 || n == 1) { //递归出口return 1;} else {return n * factorial(n - 1); //递归调用}}int main() {int n = 5;printf("The factorial of %d is %d\n", n, factorial(n));return 0;}```上述代码定义了一个计算阶乘的递归函数factorial。
在函数内部，通过递归调用来计算规模更小的问题，直到n等于0或1时返回结果。
二、回溯算法回溯算法是一种通过尝试所有可能的解来找到问题解决方法的搜索算法。
在遇到有多个解可选的情况下，回溯算法会尝试每一种可能，并通过剪枝策略来避免不必要的计算。
回溯算法通常涉及到构建决策树和遍历树上的节点。
以八皇后问题为例，考虑如何在8x8的棋盘上放置8个皇后，使得每个皇后都不会互相攻击。
下面是用回溯算法解决八皇后问题的示例代码：```c#include <stdio.h>#define N 8int board[N][N];int isSafe(int row, int col) {int i, j;// 检查当前位置的列是否安全for (i = 0; i < row; i++) {if (board[i][col] == 1) {return 0;}}// 检查当前位置的左上方是否安全for (i = row, j = col; i >= 0 && j >= 0; i--, j--) { if (board[i][j] == 1) {return 0;}}// 检查当前位置的右上方是否安全for (i = row, j = col; i >= 0 && j < N; i--, j++) { if (board[i][j] == 1) {return 0;}}return 1;}int solve(int row) {int col;if (row >= N) { // 所有行都已经安全放置皇后，找到解 return 1;}for (col = 0; col < N; col++) {if (isSafe(row, col)) {board[row][col] = 1; // 放置皇后if (solve(row + 1)) { // 递归调用return 1;}board[row][col] = 0; // 回溯，撤销放置皇后}}return 0;void printBoard() {int i, j;for (i = 0; i < N; i++) {for (j = 0; j < N; j++) {printf("%d ", board[i][j]); }printf("\n");}}int main() {if (solve(0)) {printf("Solution:\n");printBoard();} else {printf("No solution found.\n"); }return 0;}上述代码使用回溯算法来解决八皇后问题。
回溯算法
三、回溯的一般步骤
回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的
上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算 法。
二、回溯的一般描述
procedure rbacktrack(k); begin if k > n then return else for each x(k)，如果x(k)∈t(x(1)…x(k-1))且 b(x(1)…x(k))=true do begin if x(1)…x(k)是一个解 then write(x(1)…x(k) else rbacktrack(k+1); end; end;
演示
一、回溯的概念
像走迷宫这样，遇到死路就回头的搜索思路
就叫做“回溯”。
从问题的某种可能情况出发，搜索所有能到
达的可能情况，然后以其中一种可能的情况 为新的出发点，继续向下探索，当所有可能 情况都探索过且都无法到达目标的时候，再 回退到上一个出发点，继续探索另一个可能 情况，这种不断回头寻找目标的方法称为 “回溯法”。
二、回溯的一般描述
可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：
对于已知的由n元组（x1，x2，…，xn）组成 的一个状态空间E={（x1，x2，…，xn） ∣xi∈Si ，i=1，2，…，n}，给定关于n元组 中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足 D的全部约束条件的所有n元组。其中Si是分 量xi的定义域，且 |Si| 有限，i=1，2，…， n。我们称E中满足D的全部约束条件的任一 n元组为问题P的一个解。
骑士遍历
骑士遍历问题的解空间是从左下角到右上角
node、扩展节点）。 从E-节点可移动到一个新节点。 如果能从当前的E-节点移动到一个新节点，那么这个新 节点将变成一个活节点和新的E-节点，旧的E-节点仍是 一个活节点。 如果不能移到一个新节点，当前的E-节点就“死”了 （即不再是一个活节点），那么便只能返回到最近被考 察的活节点（回溯），这个活节点变成了新的E-节点。 当我们已经找到了答案或者回溯尽了所有的活节点时， 搜索过程结束。
回溯算法和递归的关系
回溯算法和递归的关系回溯算法和递归是两个在计算机科学中常用的概念，它们之间有着紧密的关系。
本文将从回溯算法和递归的定义、特点、应用以及它们之间的联系等方面进行阐述。
一、回溯算法与递归的定义回溯算法是一种通过不断地尝试所有可能的解决方案来找到问题解的方法。
它通常用于解决那些具有多个解的问题，其中每个解都需要满足一定的约束条件。
递归是一种自我调用的算法，通过将一个大问题拆分成一个或多个相同类型的小问题来解决。
递归算法在解决问题时，会不断地调用自身，直到达到基本情况，然后再一层一层地返回结果。
二、回溯算法与递归的特点1. 回溯算法的特点：- 回溯算法通过尝试所有可能的解，逐步构建问题的解空间，并在搜索过程中剪枝，以提高效率。
- 回溯算法通常采用深度优先搜索的方式，即先尝试最深的路径，然后再回溯到上一层。
- 回溯算法的时间复杂度通常较高，因为它需要遍历所有可能的解空间。
2. 递归的特点：- 递归算法可以将一个大问题化解成一个或多个相同类型的小问题，从而简化解决过程。
- 递归算法通常需要一个或多个基本情况，用来结束递归调用，否则可能陷入无限循环。
- 递归算法的时间复杂度通常较高，因为它需要不断地调用自身。
三、回溯算法与递归的应用1. 回溯算法的应用：- 八皇后问题：在一个8x8的棋盘上放置8个皇后，使得它们互相之间不能攻击到对方。
使用回溯算法可以找到所有可能的解。
- 0-1背包问题：有一组物品，每个物品有重量和价值，要求在不超过背包容量的情况下，选择一些物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。
使用回溯算法可以枚举所有可能的选择。
2. 递归的应用：- 阶乘计算：计算一个正整数的阶乘，可以使用递归算法，将问题拆分成更小的子问题。
- 斐波那契数列：计算斐波那契数列的第n项，可以使用递归算法，将问题拆分成计算前两项的子问题。
四、回溯算法与递归的联系回溯算法和递归有着密切的联系，它们之间存在着相互调用的关系。
在回溯算法中，通常会使用递归来实现对解空间的搜索。
回溯算法要点总结
回溯算法要点总结
本质
暴⼒搜索、枚举
使⽤场景
1.组合问题:N个数⾥⾯按⼀定规律找出k个数的组合
2.排列问题:N个数按⼀定规则全排序，有⼏种排列⽅式
3.切割问题:⼀个字符串按⼀定规则有⼏种切割⽅式
4.⼦集问题:⼀个N个数的集合⾥有多少符合条件的⼦集
5.棋盘问题:N皇后,解数独等等
要点
1. 回溯算法都可以抽象成⼀个树。
1.1 递归纵向遍历树，递归层数=树⾼
1.2 for循环横向遍历树，循环次数等于每层的节点数
2. 回溯与递归总是成对出现的,所以递归三部曲也适⽤回溯算法
3. 递归控制for循环嵌套的数量
优化
通过剪枝提⾼效率
在40题中发现⼀个新思路:先进⾏排序，排序的⽬的是为了剪枝
在求和问题中，排序之后加剪枝是常见的套路！
如果输⼊有重复元素且排序后的结果与排序前的结果没有差别，可以看了先排序。
模板
void backtrack(路径, 选择列表):
if 满⾜结束条件:
result.add(路径)
return
for 选择 in 选择列表:
做选择
backtrack(路径, 选择列表)
撤销选择
组合问题
什么适合可以使⽤startIndex来控制for循环的起始位置？
多个集合取组合，各个集合之间互不影响,就不⽤startIndex
⼀个集合取组合，就需要startIndex
切割问题
切割问题其实类似组合问题
排列问题
每层都是从0开始搜索
需要visited数组记录path路径⾥放了哪些元素。
acwing 回溯法模(mú)板
acwing 回溯法模(mú)板
1、递归和回溯的联系？
递归是回溯的基础，实际上回溯只是在递归的基础上，加上回溯操作。
因此递归和回溯是密不可分的。
2、回溯算法有什么用？
回溯本质上是暴力搜索算法，之所以需要回溯暴力搜索，是因为有一些问题仅仅依靠for循环是枚举不了答案。
例如：组合、排列、字符串切割、棋盘问题、子集。
这几个问题通过for循环是不能够枚举答案的。
因此需要回溯来构造答案，根据一定的枚举规则在问题解空间里面搜索
3、回溯算法的一些特点
回溯算法必然可以使用一颗n叉树来表示。
因为递归是回溯的基础，递归本身可以用树来表示，所以回溯也可以用树来表示。
n叉树的深度就表示递归的深度，宽度表示枚举元素的个数。
4、回溯的代码模板
5、训练回溯算法
需要练习多一些相关的题目，简单的先从全排列，重复元素排列，子集，组合等基本题目开始。
回溯算法还涉及剪枝。
当解空间过大，树中有一些分支是可以提前剪掉，从而加速搜索答案的过程。
回溯(Backtracking)基本原理
回溯算法1回溯(Backtracking)基本原理2007年9月26日张铭认识感性认识——皇后问题八皇后问题八皇后问题的一个解图示四皇后问题及其解空间树解表示成一个4维向量，<x 1,x 2,x 3,x 4>解空间树四皇后问题的解空间树直观分析原理描述原理描述结点分支判定条件：原理描述方式一：递归回溯void backtrack( int递归回溯算法解释constraint()方式二：迭代回溯void iterativeBacktrack() {效率分析提高时间效率的策略效率分析实战训练：背包问题构造解空间树0-1背包问题的一个解可以表示为一个0-1 <0,1,1,1> 对应于可行解：x 0=0, x 1=1, x 2=1, x 3=1. 重量：13，价值：282n搜索过程分析引子：可切割背包问题Constraintbound()回溯算法float btKnapsack(int递归函数：void backtrack(int// W存储各物品重量限界函数时间复杂度分析取决于空间复杂度分析运行数据已知1112n=8, M=11000155.1 257maxValue= 159运行实例分析更大的例子基本回溯小结回溯适应于求解组合搜索问题(组合优化问题)高级回溯讨论估计回溯算法的平均效率算法计算结点数回溯算法例Monte Carlo 方法估计四后问题的效率case1．<1,4,2>：1+4+4×2+4×2 = 21case2解空间的结点数为17必要条件多米诺性质？求不等式的整数解影响算法效率的因素分支限界技术实现方法装载问题用回溯法求解回溯法求解template<class T>void Loading<T>::maxLoading(int i){ // 从第i 层结点搜索n= 4r=19cw=0C分支限界法Queue<Type> Q; //活动结点队列Q.Add(-1);//同层结点尾标志-1AB C -1D E F 优先队列式分支限界法解装载问题搜索顺序不同的搜索空间背包问题背包问题搜索算法搜索顺序搜索空间搜索顺序搜索空间不同搜索顺序的比较代码思考新的搜索顺序搜索空间搜索顺序小结回溯和搜索一、字母的有限重全排列题意分析<a,b,c><a,a,c>for 效率分析回溯算法二、火车进出栈问题判断火车的出栈顺序是否合法回溯算法82解题思路利用合法的重构找冲突找不合法的结构回溯生成所有合法的出站序列第一类算法，有两个小方案第二类算法思想伪码void Train(n);<1,2>提高效率途径回溯算法四、布线问题印刷电路板将布线区域划分成其他线路不允许穿过被封锁的方格。
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一、暴力求解法（枚举法/ 穷举法）概念：什么是枚举法？在进行归纳推理时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因而得出一般结论，那么这结论是可靠的，这种归纳方法叫做枚举法。
即，把所要解决问题的所有可能性都列举出来，一一试验。
枚举应用简单举例：求1~100之间的素数；求水仙花数；鸡兔同笼问题；百元买百鸡问题；整数（分数）拆分问题；排列问题……枚举算法因为要列举问题的所有可能的答案，所有它具备以下几个特点：1、得到的结果肯定是正确的；2、可能做了很多的无用功，浪费了宝贵的时间，效率低下。
3、通常会涉及到求极值（如最大，最小，最重等）。
4、数据量大的话，可能会造成时间崩溃。
采用枚举算法解题的基本思路：（1）确定枚举对象、枚举范围和判定条件；（2）一一枚举可能的解，验证是否是问题的解下面我们就从枚举算法的的优化、枚举对象的选择以及判定条件的确定，这三个方面来探讨如何用枚举法解题。
例1：百元买百鸡问题：有一个人有一百块钱，打算买一百只鸡。
到市场一看，大鸡三块钱一只，小鸡一块钱三只，不大不小的鸡两块钱一只。
现在，请你编一程序，帮他计划一下，怎么样买法，才能刚好用一百块钱买一百只鸡？算法分析：我们以三种鸡的个数为枚举对象（分别设为x,y,z），以三种鸡的总数（x+y+z）和买鸡用去的钱的总数(x*3+y*2+z/3)为判定条件，穷举各种鸡的个数。
（1）基本算法：for (x=0;x<=100;x++)for (y=0;y<=100;y++)for(z=0;z<=100;z++)if(x+y+z==100 && z%3==0 && x*3+y*2+z/3==100)输出x,y,z（2）优化算法：只需要枚举2种鸡x（x<=33）和y（y<=50)，第3种根据约束条件100-x-y可得:for (x=0;x<=33;x++)for (y=0;y<=50;y++){Z=100-x-y;if (z%3==0 && x*3+y*2+z/3==100)输出x,y,z小结：对于枚举算法，加强约束条件，缩小枚举的范围，是程序优化的主要考虑方向。
1.枚举对象的选择问题：在枚举算法中，枚举对象的选择是非常重要的，它直接影响着算法的时间复杂度，选择适当的枚举对象可以获得更高的效率。
如下例：例2：将1,2...9共9个数分成三组，分别组成三个三位数，且使这三个三位数构成1:2:3的比例，试求出所有满足条件的三个三位数。
例如：三个三位数192，384，576满足以上条件。
我们分别设三个数为x,2x,3x，以x为枚举对象，穷举的范围将大大缩小。
例3. 五猴分桃：五只猴子一起摘了一堆桃子,因为太累了,它们商量决定,先睡一觉再分.一会其中的一只猴子来了,它见别的猴子没来,便将这堆桃子平均分成5份,结果多了一个,就将多的这个吃了,并拿走其中的一份.一会儿,第2只猴子来了,他不知道已经有一个同伴来过,还以为自己是第一个到的呢,于是将地上的桃子堆起来,再一次平均分成5份,发现也多了一个,同样吃了这1个,并拿走其中一份.接着来的第3,第4,第5只猴子都是这样做的.......,根据上面的条件,问这5只猴子至少摘了多少个桃子?第5只猴子走后还剩下多少个桃子?算法分析：我们设总的桃子数为S0，五子猴子分得的桃子数分别为S1，S2，S3，S4，S5，则有以下关系式：S0 = 5*S1 + 1；4*S1 = 5*S2 + 1；4*S2 = 5*S3 + 1；4*S3 = 5*S4 + 1；4*S4 = 5*S5 + 1；我们可以枚举桃子总数S0，从5开始直到满足条件，此时S0的值就是最少的总桃子数。
对应程序如下：int main(void){int s[6] = {0};int i;for(s[0]=5; ;s[0]++){s[1] = s[0] - 1;if (s[1]%5) // （s[0] – 1）要能被5整除elses[1] /= 5;s[2] = 4 * s[1] - 1;if (s[2]%5) // （4 * s[1] - 1）要能被5整除continue;elses[2] /= 5;s[3] = 4 * s[2] - 1;if (s[3]%5)continue;elses[3] /= 5;s[4] = 4 * s[3] - 1;if (s[4]%5)continue;elses[4] /= 5;s[5] = 4 * s[4] - 1;if (s[5]%5)continue;elses[5] /= 5;break; //很关键，什么时候结束枚举}printf("摘了%d个桃子, 剩下%d个桃子\n", s[0], s[5]*4);for (i=0; i<6; i++)printf("%d ", s[i]);return 0;}程序输出：摘了3121个桃子, 剩下765个桃子。
根据程序结果我们知道循环体执行了3116次，同时我们可以知道第5个猴子分得255个桃子，所以如果枚举S5，则循环体只需执行了255次。
对应程序如下：#include <stdio.h>int main(void){int s[6] = {0};int i;for(s[5]=1; ;s[5]++){s[4] = 5 * s[5] + 1;if (s[4]%4)elses[4] /= 4;s[3] = 5 * s[4] + 1;if (s[3]%4)continue;elses[3] /= 4;s[2] = 5 * s[3] + 1;if (s[2]%4)continue;elses[2] /= 4;s[1] = 5 * s[2] + 1;if (s[1]%4)continue;elses[1] /= 4;s[0] = 5 * s[1] + 1;break;}printf("摘了%d个桃子, 剩下%d个桃子\n", s[0], s[5]*4);return 0;}我们可以发现求S4，S3，S2，S1的表达式完全是一样的，所以我们可以用一个函数或者循环来表示，改进后的程序如下：#include <stdio.h>int main(void){int s[6] = {0};int i;for(s[5]=1; ;s[5]++){for (i=4; i>0; i--){s[i] = 5 * s[i+1] + 1;if (s[i]%4)break;elses[i] /= 4;}if (i == 0){s[0] = 5 * s[1] + 1;break;}}printf("摘了%d个桃子, 剩下%d个桃子\n", s[0], s[5]*4);return 0;}2.如何确定枚举范围？例4：分数拆分问题（输入正整数k，找到所有的正整数x≥y，使得1/k=1/x+1/y。
）分析：由于x≥y，有1/x≤1/y，因此1/k-1/y≤1/y，即y≤2k。
这样只需要在2k范围内枚举y，然后根据y尝试计算出x即可。
3.约束条件的确定在枚举法解题中，判定条件的确定也是很重要的，如果约束条件不对或者不全面，就穷举不出正确的结果，我们再看看下面的例子。
例3：高斯日记。
计算1777年4月30日（高斯出生日）之后第8113天的日期是多少。
例4：大小之差。
由6个数字（允许重复）组成的最大6位数与最小6位数之间的差值也是一个6位数，且刚好包含了这6个数字。
（2014第五届蓝桥杯校内赛C语言B组）综合举例1：古堡算式（ABCDE * ？= EDCBA）（1）枚举对象，可以有两种选择：a）对每一个字符进行0~9的枚举；b）利用一个5位数进行10000~99999的枚举；（2）枚举范围设定对于用5位数来枚举的方式，根据条件“各字符均不相同”、以及乘上一个1位数后仍然是5位数的情况，可缩小枚举范围为12345~49876。
（3）约束条件，根据题目可知有两个约束条件：a）各字符均不相同（即：A!=B && A!=C && A!=D && A!=E && B!=C && B!=D && B!=E && C!=D && C!=E && D!=E）b）算式（即ABCDE * ？== EDCBA）下面分别按上述两种枚举对象给出程序代码：方法一：#include<stdio.h>int x[5]; //用于存放5个字符对应的5个数字void calc(int &a, int &b) // 计算5位数的值{int i;a=b=0;for (i=0; i<5; i++){a = 10 * a + x[i];b = 10 * b + x[5-i-1];}return;}int main(int argc, char* argv[]){int flag[10]={0}, a=0, b=0, t; //flag数组用于表示各数字是否被选用for (x[0]=0; x[0]<=9; x[0]++){flag[x[0]] = 1;for (x[1]=0; x[1]<=9; x[1]++)if (!flag[x[1]]){flag[x[1]] = 1;for (x[2]=0; x[2]<=9; x[2]++)if (!flag[x[2]]){flag[x[2]] = 1;for (x[3]=0; x[3]<=9; x[3]++)if (!flag[x[3]]){flag[x[3]] = 0;for (x[4]=0; x[4]<=9; x[4]++)if (!flag[x[4]]){calc(a,b);for (t=2; t<=9; t++)if (a*t==b) //约束条件printf("A=%d\nB=%d\nC=%d\nD=%d\nE=%d\n?=%d\n", x[0],x[1],x[2],x[3],x[4],t);}flag[x[3]] = 0;}flag[x[2]] = 0;}flag[x[1]] = 0;}flag[x[0]] = 0;}return 0;}方法二：int main(int argc, char* argv[]){int A,B,C,D,E,t,x,y;for (x=12345; x<=49876; x++){A = x/10000;B = (x%10000)/1000;C = (x%1000)/100;D = (x%100)/10;E = x % 10;if (A!=B && A!=C && A!=D && A!=E && B!=C && B!=D && B!=E && C!=D && C!=E && D!=E ){y = E*10000+D*1000+C*100+B*10+A;for (t=2; t<=9; t++)if (x * t==y)printf(“A=%d\nB=%d\nC=%d\nD=%d\nE=%d\n?=%d\n",A,B,C,D,E,t);}}return 0;}综合举例2：警察抓住A B C D四名罪犯，其中一人是小偷。