134最短路径问题教案

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13.4课题学习最短路径问题教案 2022-2023学年人教版八年级上册数学

13.4课题学习最短路径问题教案1. 教学目标•理解最短路径问题的概念，并能够用数学方法解决问题；•学会使用迪杰斯特拉（Dijkstra）算法求解最短路径问题；•能够应用最短路径算法解决实际问题。

2. 教学准备•教材《人教版八年级上册数学》；•课件和平面图纸；•笔、纸、计算器等学习工具。

3. 教学过程3.1 导入新课•引导学生回忆并复习最短路径的概念，提问：什么是最短路径问题？在生活中你遇到过哪些最短路径问题？•提出本节课的学习目标：本节课我们将学习如何使用最短路径算法解决问题。

3.2 讲解最短路径算法•通过课件演示，介绍迪杰斯特拉（Dijkstra）算法的基本思想和步骤。

•让学生观察演示，并与其实际经验联系，让他们理解算法的原理。

3.3 示例演练•给出一个具体的图模型，以实际问题为背景，让学生通过计算找到最短路径。

•引导学生使用迪杰斯特拉算法的步骤，一步一步地解答问题。

•让学生自己尝试计算，并用白板记录解题过程。

3.4 练习训练•给学生分发练习题，让他们在规定时间内解答问题。

•在解答结束后，与学生一起讨论答案和解题思路。

•解答过程中，引导学生关注算法的优化，比较不同方法的时间复杂度和空间复杂度。

3.5 拓展应用•通过课堂讨论和实例分析，引导学生拓展到更多实际应用，如电路设计、物流路径优化等。

•鼓励学生积极思考，并给予一定的发散思维的空间。

4. 总结与反思4.1 知识总结•通过本节课的学习，了解了最短路径问题的概念和解决思路；•学会使用迪杰斯特拉算法求解最短路径问题；•发现了最短路径问题在实际生活中的应用。

4.2 学习反思•学生通过课堂演练和练习题，掌握了最短路径算法的基本步骤；•课堂上学生的参与度和思维能力都较高，但个别学生对于算法的代价和优化还存在理解欠缺的情况。

4.3 教学反馈•在课堂上积极引导学生思考和讨论，帮助学生更好地理解和运用最短路径算法；•对于学生在课堂上的表现和习题的完成情况给予及时的反馈和指导。

13.4课题学习最短路径问题教学设计

13.4 课题学习最短路径问题（第一课时）一、内容和内容解析1.内容利用轴对称研究某些最短路径问题。

2.内容解析最短路径问题是人教版八年级上册第十三章第四节内容，本节课以一个实际问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段之和最小问题，并建立数学模型,学会用数学的眼光观察现实世界.初步了解利用图形变换——轴对称的方法来解决最值问题，体会用数学的思维思考现实世界。

从内容上来看，在本章节之前学生已经学习了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，以及简单的轴对称知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

本节课既轴对称知识运用的延续，从初中数学的角度来看，也是中考数学的热点问题之一，本节课的教学内容是解决中考最值综合问题的基础，具有承上启下作用。

本节课的教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

二、目标和目标解析1.目标（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。

（2）通过实际问题的提出，能够抽象为数学问题，并建立数学模型，利用所掌握的数学知识完成严谨的推理过程，然后再解决实际问题。

体会数学在实际生活中的价值。

2.目标解析达成目标 1 的标志是:学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线"，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。

达成目标 2 的标志是：课题学习本身是考察综合能力，注重现实背景，学生能从生活中自己发现问题，并抽象成数学模型，掌握转化的探究方法，将不熟悉的模型转化成所学过简单的数学模型，通过合作探究，解决问题。

三、教学问题诊断分析已形成的：我校八年级学生已经学习轴对称相关的简单知识，掌握了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，思维活跃，敢于尝试，具备一定的动手操作能力和小组合作意识，同时也具备一定的数学抽象能力和数学建模能力。

八年级数学人教版上册13.4最短路径问题教学设计

八年级数学人教版上册13.4最短路径问题教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解最短路径问题的背景和应用，知道其在现实生活中的重要性。
2.掌握图形中两点间线段最短的性质，能够运用这一性质解决实际问题。
3.学会使用三角形两边之和大于第三边的原理，解决最短路径问题。
4.掌握运用数学符号和表达式来描述最短路径问题，并能运用相关公式进行计算。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习情况，提供适当的引导和帮助。同时，注重启发式教学，激发学生的兴趣和思考，引导学生主动探究，培养他们解决问题的能力。通过师生互动、生生互动，促进学生之间的交流与合作，使他们在探索最短路径问题的过程中，不断提高自己的数学素养和思维能力。
三、教学重难点和教学设想
5.能够运用所学的最短路径知识，解决一些简单的实际问题。
（二）过程与方法
在本章节的学习过程中，学生将通过以下方法培养解决问题的能力：
1.通过观察和分析实际生活中的最短路径问题，激发学生的学习兴趣，培养学生从生活中发现数学问题的意识。
2.通过自主探究、合作交流的方式，引导学生从简单问题入手，逐步深入，掌握解决最短路径问题的方法。
c.教师介绍三角形两边之和大于第三边的原理，并解释其在解决最短路径问题中的应用。
（三）学生小组讨论
1.教学内容：让学生分组讨论，共同探究解决最短路径问题的方法。
2.教学过程：
a.教师给出几个具有挑战性的最短路径问题，要求学生分组讨论。
b.学生在小组内分享思路，共同寻找解决问题的方法。
c.教师巡回指导，给予提示和建议，帮助学生解决问题。
五、作业布置
为了巩固学生对最短路径问题的理解，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，特布置以下作业：

134将军饮马——最短路径问题教学设计

134将军饮马——最短路径问题教学设计13.4将军饮马——最短路径问题教学设计一、教学内容解析为了解决生产，经营中省时省力省钱而希望寻求最佳的解决方案而产生了最短路径问题.初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，为理论基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.本节内容是在学生研究平移、轴对称等变换的基础上对数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体进行变式设计，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.从中，让学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题，分析问题和解决、验证问题的全过程，感悟数学各部分内容之间，数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生研究数学的兴趣，加深对所学数学内容的理解，它既是轴对称、平移知识运用的延续，又能培养学生自行探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用。

基于以上分析，本节课的教学重点确定为：[教学重点]利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.二、教学目标解析新课程标准明确要求，数学研究不仅要让学生获得必要的数学知识、技能，还要包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面得到发展.因此，确定教学目标如下：[教学目标]能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感.[目标解析]达线目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变成两点处在直线的异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能经由进程逻辑推理证实所求距离最短，在探索问题的进程中，体会轴对称、平移的感化，体会感悟转化的数学思想.三、学生学情诊断八年级的学生直接经验少，理解本领差，抽象思维水平较低，处于直觉经验型思维向逻辑思维的过渡阶段，辩证思维还只是处在萌芽和初始的状态上.最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手.解答：“当点A、B在直线的同侧时，如何在上找点C，使AC与CB的和最小”，需要将其转化为“直线异侧的两点，与上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解和操作方面的困难.在证实“最短”时，需要在直线上任取一点，证实所连线段和大于或等于所求作的线段和.这种思路和办法，一些学生还想不到.在解答“使处在直线两侧的两线段和最小”的问题，需要把它们平移拼接在一起，一些学生想不到.教学时，教师可以让学生首先思考“直线的异侧的两点，与上的点的线段和最小”，给予学生开导，在证实“最短”时，点拨学生要另选一个量，经由进程与求证的那个量举行比较来证实，同时让学生体会“任意”的感化，因此确定本节课的教学难点为：[教学难点]如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.四、教学策略分析建构主义理论的核心是“知识不是被动接受的而是认知主体积极建构的.”根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点和实际水平，教学上采用“引导——探究——发现——证明——归纳总结”的教学模式，鼓励引导学生、开动脑筋、大胆尝试，在探究活动中培养学生创新思维与想象能力.教师的教法：突出解题办法的引导与开导，注重思维惯的造就，为学生搭建介入和交流的平台.经由进程对“将军饮马问题”而改编与设计，增强数学教室兴趣性,相同背景，不同问题，由浅入深、层层递进，有利于学生分析与解决问题，同时利用现代的信息技术，直观地展示图形的变化进程，进步学生研究兴趣与激情.学生的学法：突出探究与发现，思考与归纳提升，在动手探究、自主思考、互动交流中，获取知识与能力.5、教学基本流程探索新知——运用新知——拓展新知——提炼新知——课外思考六、教学过程设计（一）探索新知1、建立模型问题1唐朝诗人XXX的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的指挥部A地出发，到一条笔直的河边使他所走的路线全程最短？追问1，这是一个实际问题，你打算首先做什么呢？师生活动：将A、B两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线饮马，然后到军营B地，到河滨什么地方饮马可追问2，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学的问题吗？师生活动：学生交流讨论，回答并相互补充，最后达成共识：（1）行走的路线：从A地出发，到河边饮马，然后到B 地；上的点.设C为直线l（2）路线全程最短转化为两条线段和最短；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线上的一个动点，上面的问题转化为：当点C在的什么位置时，AC与CB的和最小［设计意图］从数学史上久负盛名的“将军饮马问题”引入，增长学生们的数学底蕴，进步其人文思想.同时引导学生分析题意，画出图形.将实际问题转化为数学问题更有利于分析问题、解决问题.2、解决问题问题2如图点A、B在直线的同侧，点C位直线位置时，AC与CB的和最小？上的一个动点，当点C在的什么师生活动：让学生独立思考、画图分析，并展示如果学生有困难，教师作如下提示：（1）如图，如果军营B地在河对岸，点C在此受到什么启发呢？的什么位置时，AC与CB的和最小？由（2）如图，如何将点B“移”到保持CB与CB´的长度相等？的另一侧B´处，且满足直线上的任意一点C，都学生在老师的开导引导下，完成作图.［设计意图］先通过学生对本题的思考尝试，并展示，师生共同纠错，提高认识与辩证思想，再通过老师的引导启发明白解决这个问题应该运用轴对称的性质，将两点在直线同侧的问题，转化为两点在直线异测的问题，提高学生的空间想象能力与逻辑思维能力，让学生在思考和解决问题的过程中，提高甄别是非的能力，感悟转化的数学思想.3、证明“最短”问题3，为什么这种作法是正确的呢？你能用所学的知识证明AC+CB最短吗？师生活动：分组讨论，教师引导点拨，结合多媒体的演示，师生共同完成证明过程.证明：如图，在直线上任取一点Cˊ.连接AC´、BC´、B´C´.由轴对称的性质可知：BC=B´CBC´.=B´C´∴XXX=AB´AC´+BC´=AC´+B´C´当C´与C不重合时AB´＜AC´+C´B´∴AC+BC＜AC´+C´B当C´与C重合时AC+BC=AC´+C´B总之，AC+BC≤AC´+C´B即AC+BC最短［设计意图］利用现代信息技术，经由进程移动点C´的位置，可发觉：当C´与C不重合时，AC+BC＜AC´+C´B，当C´与C重合时，XXX让学生很容易知道AC+BC最短，消除学生的疑虑，发挥了多媒体的感化，让学生进一步体会作法的正确性，进步了逻辑思维本领.4、小结新知回顾前面的探究进程，我们是经由进程怎样的进程，借助什么解决问题的？体现了什么数学思想？师生活动：学生回答，并相互补充.［设计意图］让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，明确解题的方法与策略，为后面进一步的研究探究做准备.（二）运用新知XXX，如果将军从指挥部A地出发，先到河滨a某一处饮马，再到草地边b某一处牧马，然后来到军营B地，请画出最短路径.师生活动：分组讨论，教师点拨，点学生上台操作演示，画出最短路径.［设计意图］对前面所学的解题办法与思路得以巩固，让学生构成技能，进一步体会感悟数学中的转化思想，点学生下台操作演示，进步他们的学生兴趣与理论本领，体会成功的高兴，激发他们进一步探究问题的欲望.（三）拓展新知有一天，将军突发奇想：如果从指挥部A地出发，到一条笔直的河边a某处饮马，然后沿着河边行走一定的路程，再来到军营B地，到河边什么地方饮马可使所走的路线全程最短？师生举动：1、老师首先解释行走肯定的路程的含义，引导学生将实际问题抽象为数学问题，再提出如下问题：（1）要使所走的路线全程最短，实际上是使几条线段之和最短？（2）怎样将问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.2、分组讨论，师生共同分析.3、完成作图，体会作图的步调与分析问题的思路的联系与区别.［设计意图］本题在“将军饮马问题”的背景下进行改编，有造桥选址问题的影子，既增强了课堂教学的趣味性，又完成了教学任务，可谓一举两得..教学由问题引领，老师引导，学生小组合作讨论交流的方式，充分发挥现代信息技术的作用完成分析与解答的过程，让学生学得轻松与愉悦，培养了学生的应用意识、创新意识、综合与分析能力，在解决问题的过程中，体会作图题的解题方法与策略.让学生的能力得到进一步锻炼与提高.（四）提炼新知师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1、本节课研讨问题的进程是什么？2、解决上述问题运用了什么知识？。

人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题优秀教学案例

3.课堂小结，教师引导学生总结本节课的学习内容，使学生对最短路径问题有一个全面的认识。
4.鼓励学生在课后进行深入研究，不断提高自己的数学素养。
五、案例亮点
1.生活实例引入：通过引入实际生活中的最短路径问题，如旅行路线规划、物流配送等，使学生能够直观地理解最短路径问题的意义和应用，提高学生的学习兴趣。
3.教师引导学生运用坐标系、函数、图论等知识，分析问题、解决问题。
（三）小组合作
1.学生分组进行讨论，培养学生的团队合作意识。
2.教师组织小组间的交流与分享，促进学生间的互帮互助。
3.教师巡回指导，针对不同小组的特点进行针对性指导。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，总结最短路径问题的解决方法。
人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为“人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题”，是在学生已经掌握了平面直角坐标系、一次函数和二次函数等基础知识的基础上进行学习的。通过对最短路径问题的探究，旨在培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和解决问题的能力。
3.组织学生探讨、交流最短路径问题的解决方法，培养学生合作学习的能力。
4.引导学生运用图论中的最短路径算法解决实际问题，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。
5.对学生进行评价，了解学生对最短路径问题的理解和运用程度，及时进行教学调整。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
2.设计具有挑战性和吸引力的数学问题，激发学生的求知欲。
3.创设轻松、愉快的学习氛围，使学生在课堂上敢于发表自己的观点，培养学生的创新精神。
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，如“如何找到两点之间的最短路径？”、“最短路径问题在实际生活中有哪些应用？”等。

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结合课程内容，本节课的主要任务是让学生掌握利用坐标系求解两点间最短路径的方法，并能够运用到实际问题中。为了达到这个目标，我设计了一系列具有层次性的教学活动，如自主探究、合作交流、教师讲解等，旨在激发学生的学习兴趣，培养他们的动手操作能力和解决问题的能力。同时，我还将结合学生的学情，对教学内容进行适当的拓展，以提高学生的思维品质和创新能力。
2.组织学生进行课堂展示，让他们分享自己的学习心得和解决问题的方法，培养他们的表达能力和沟通能力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
（五）作业小结
1.布置具有实践性和拓展性的作业，让学生运用所学知识解决实际问题，提高他们的应用能力。
2.要求学生在作业中总结最短路径问题的解决方法，培养他们的归纳总结能力。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示实际，激发他们的学习兴趣。
2.设计具有挑战性和趣味性的实例，让学生在解决问题的过程中，自然引入最短路径问题的概念和方法。
3.创设合作交流的氛围，让学生在小组内共同探讨问题，激发他们的思考和创造力。
（二）讲授新知
1.引导学生关注最短路径问题的本质，即寻找两点间的最优路径，让学生在解决问题的过程中，自然而然地掌握相关知识。
2.通过提问、设疑等方式，引导学生思考最短路径问题的解决方法，激发他们的求知欲和好奇心。
3.讲解最短路径问题的解决方法，如坐标系法、动态规划法、图论等，让学生了解多种解决思路。
3.教师及时批改作业，给予学生反馈，帮助他们发现不足，提高学习效果。
本节课的教学内容与过程注重知识的传授、方法的训练和情感的培养，充分体现了教育的人文关怀和学生的全面发展。通过本节课的学习，学生将更好地掌握最短路径问题的解决方法，提高他们的数学素养和实际应用能力，为未来的学习和生活打下坚实基础。

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3.小组合作学习：教师将学生分成小组，鼓励学生进行合作交流，共同探讨最短路径问题的解决方法。通过小组合作，学生可以互相学习、互相借鉴，提高解决问题的能力，同时培养团队合作精神和沟通能力。
4.多媒体教学手段：利用多媒体教学手段，如图片、视频等，展示实际问题情境，让学生更直观地感受到问题的背景和意义，提高学习效果。
在现实生活中，最短路径问题具有广泛的应用，如道路规划、网络路由等。因此，本节课的教学案例将以实际问题为背景，引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的数学应用意识。
为了提高教学效果，本节课将采用小组合作、讨论交流的教学方法，让学生在探讨最短路径问题的过程中，提高自主学习能力和合作意识。同时，教师将以引导者、组织者的角色参与教学，为学生提供必要的帮助和指导，确保教学活动的顺利进行。
（三）小组合作
1.教师将学生分成小组，鼓励学生进行合作交流，共同探讨最短路径问题的解决方法。
2.教师引导学生进行小组讨论，鼓励学生分享自己的思路和观点，培养学生的合作意识和团队精神。
3.教师巡回指导，参与小组讨论，为学生提供必要的帮助和指导，确保每个学生都能参与到教学活动中来。
（四）反思与评价
1.教师引导学生进行自我反思，总结自己在解决最短路径问题过程中的思路和方法，找出自己的不足之处。
3.教师介绍迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法，讲解这两种算法的原理和步骤，并通过示例进行演示。
4.教师引入动态规划思想，讲解如何运用动态规划解决最短路径问题，并给出动态规划解决最短路径问题的步骤。
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成小组，并提出讨论问题，如“比较迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法的优缺点”、“如何运用动态规划解决最短路径问题？”等。
2.利用多媒体教学手段，展示实际问题情境，让学生直观地感受到最短路径问题的重要性和实用性。

人教版数学八年级上册《13.4 课题学习最短路径问题》教学设计2

人教版数学八年级上册《13.4 课题学习最短路径问题》教学设计2一. 教材分析《人教版数学八年级上册》第13.4课题学习“最短路径问题”是本册内容的一个重要组成部分。

本节课主要让学生了解最短路径问题的背景和应用，掌握利用图的性质和简单的图算法解决最短路径问题的方法。

通过本节课的学习，学生能够进一步提高分析问题和解决问题的能力，培养逻辑思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了图的相关知识，如图的定义、图的表示方法、图的性质等。

同时，学生也了解了一些简单的算法，如深度优先搜索、广度优先搜索等。

但部分学生对这些知识的掌握程度不够扎实，对算法的理解也相对模糊。

因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，引导他们更好地理解和掌握本节课的内容。

三. 教学目标1.了解最短路径问题的背景和应用，理解最短路径的概念。

2.掌握利用图的性质和简单的图算法解决最短路径问题的方法。

3.培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的解决方法，如迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法等。

2.教学难点：算法的原理和实现，以及如何将实际问题转化为最短路径问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.案例教学法：分析具体的最短路径问题案例，让学生直观地了解问题的解决过程。

3.算法分析法：引导学生分析算法的原理和实现，提高学生的逻辑思维能力。

4.小组合作学习：鼓励学生分组讨论和合作解决问题，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示最短路径问题的背景、应用和解决方法。

2.案例材料：准备一些具体的最短路径问题案例，供学生分析和讨论。

3.编程环境：为学生提供编程环境，以便他们在课堂上实践算法。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示最短路径问题的背景和应用，如地图导航、网络通信等。

引导学生关注最短路径问题，激发学生的学习兴趣。

人教版数学八年级上册教学设计《13-4 课题学习最短路径问题》

人教版数学八年级上册教学设计《13-4 课题学习最短路径问题》一. 教材分析《13-4 课题学习最短路径问题》是人教版数学八年级上册的教学内容。

这一课题主要让学生了解最短路径问题的背景和意义，掌握解决最短路径问题的方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习这一课题前，已经掌握了图的基本概念和相关性质，具备了一定的数学思维能力。

但对于解决实际问题的能力还有待提高，因此，在教学过程中，需要注重引导学生将数学知识应用到实际问题中。

三. 教学目标1.了解最短路径问题的背景和意义。

2.掌握解决最短路径问题的方法。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的背景和意义，解决最短路径问题的方法。

2.教学难点：如何将实际问题转化为最短路径问题，如何运用图论知识解决最短路径问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.案例教学法：分析具体的最短路径问题，让学生在分析中掌握解决方法。

3.小组合作学习法：培养学生团队合作精神，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.课件：制作课件，展示最短路径问题的实际应用场景。

2.案例：收集一些具体的最短路径问题，用于教学实践。

3.教学工具：尺子、圆规、直尺等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示最短路径问题的实际应用场景，如地图导航、物流配送等，引导学生关注最短路径问题。

2.呈现（10分钟）介绍最短路径问题的背景和意义，提出解决问题的方法，如迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法等。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析具体的最短路径问题，选取小组代表进行分享，讲解解决问题的思路和方法。

4.巩固（10分钟）针对学生分享的最短路径问题，进行总结和点评，引导学生明确解决最短路径问题的关键步骤。

5.拓展（10分钟）让学生思考如何将最短路径问题应用到实际生活中，提出自己的见解和想法。

八年级数学人教版上册13.4课题学习最短路径问题(第一课时)优秀教学案例

3.课堂小结：对本节课的教学内容进行简要回顾，提醒学生注意问题解决的方法和技巧。
（五）作业小结
1.作业布置：布置一些有关最短路径问题的课后作业，让学生进一步巩固所学知识，提高解决问题的能力。
2.作业反馈：对学生的作业进行及时批改和反馈，指出其中的错误和不足，给予肯定和建议。
3.课后拓展：鼓励学生参加数学竞赛、研究性学习等活动，拓宽视野，培养创新精神。同时，关注学生在学习过程中的情感态度和价值观的培养，引导他们关爱他人、乐于助人，形成良好的品德素养。
2.利用多媒体展示典型实例，让学生更好地理解和掌握最短路径问题的解决方法。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养他们的合作精神和团队意识。
4.注重个体差异，给予学生个性化的指导，帮助他们在原有基础上得到提高。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，让他们感受到数学在生活中的实际应用，提高学生学习数学的积极性。
4.反思与评价：引导学生进行自我反思和同伴评价，培养学生的批判性思维和自我改进的能力。同时，教师对学生的学习过程和结果进行评价，注重鼓励性评价，激发学生的学习兴趣和自信心。
5.课后拓展与情感态度培养：布置相关的课后作业，让学生进一步巩固所学知识，提高解决问题的能力。同时，关注学生在学习过程中的情感态度和价值观的培养，引导他们关爱他人、乐于助人，形成良好的品德素养。
五、案例亮点
1.生活情境导入：通过生活情境导入新课，使学生能够直观地感受到最短路径问题的实际意义，激发学生的学习兴趣和积极性。
2.多媒体辅助教学：利用多媒体展示典型的最短路径问题实例，使抽象的问题具体化、形象化，有助于学生更好地理解和掌握知识。
3.问题导向与小组合作：提出具有挑战性的问题，引导学生进行小组讨论和合作交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

134《最短路径问题》教案

学科：数学授课教师：年级：八总第课时课题13.4：最短路径问题课时利用轴对称解决两点之间最短路径问题知识与技能通过问题解决培养学生转化问题能力教学目标过程与方法情感价值观数学来源实际服务生活，培养数学学习兴趣教学重点利用轴对称解决两点之间最短路径问题教学难点如何把问题转化为“两点之间，线段最短”教学方法创设情境－主体探究－合作交流－应用提高媒体资源多媒体投影教学过程学生设计教学教学活动流程活动意图创设1、在平面内连接两点的所有线中线段最短。

思考引入情境2、什么是两点之间的距离？回答课题直线思考异侧异侧已知点 A 、B 分别是直线 l 异侧的两点，如何在 l分析两点两点上找到一个点，使得这个点到 A、B 两点的距离和最短？最短最短路径路径直线如图，牧童在 A 处放马，其家在 B 处， A 、 B 到河岸的距离分直线同侧别为 AC 和 BD ，且 AC=BD ，若点 A 到河岸 CD 的中点的距离探究同侧两点为 500 米，则牧童从 A 处把马牵到河边饮水再回家，最短距离合作两点最短是多少米交流最短路径路径变式练习如图，∠ XOY内有一点 P，在射线 OX上找出一点 M，在射探究线 OY上找出一点 N，使 PM+MN+NP最短．合作巩固交流深化如图，正方形ABCD，AB边上有一点 E，AE=3，EB=1，在 AC上有一点 P，使 EP+BP为最短．求：最短距离EP+BP．合作交流应用练习应用提高提高提高如图，村庄 A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸 a、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥 CD ，问桥址应如何选择，才能使 A 村到 B 村的路程最近？课堂利用轴对称解决两点之间最短路径问题小结作业P93 页：第 15 题布置教学反思。

八年级数学人教版上册13.4最短路径问题(第一课时)优秀教学案例

二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解最短路径问题的实际应用背景，认识到最短路径问题在生活中的重要性。
2.掌握利用图的性质寻找最短路径的方法，能够运用所学知识解决实际问题。
3.了解最短路径问题的基本概念，如路径、权重、最短路径等。
4.学会使用图论中的算法求解最短路径问题，如迪杰斯特拉算法。
（二）过程与方法
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.生活情境引入：通过展示城市交通网络图，引导学生关注实际生活中的最短路径问题，激发学生的学习兴趣。
2.创设问题情境：提出问题：“如何在城市交通网络中找到从一个地点到另一个地点的最短路径？”引导学生思考和提出解决问题的方法。
（二）讲授新知
1.图的基本概念：介绍图的定义、图的节点和边等基本概念，为学生理解最短路径问题打下基础。
5.知识拓展与延伸：在教学过程中，不仅关注学生对知识的掌握程度，还注重引导学生思考最短路径问题在其他领域的应用，激发学生的学习兴趣和拓展思维。通过知识拓展与延伸，学生能够更好地将所学知识应用于实际生活中，提高他们的数学应用能力。
在教学过程中，我以城市交通网络为背景，设计了一系列具有挑战性的问题，引导学生从实际情境中发现问题、提出问题，激发学生的探究兴趣。同时，我充分发挥学生的主体作用，组织学生进行合作探究，引导他们通过画图、讨论等方式，寻找解决问题的策略。
在教学评价方面，我注重过程性评价与终结性评价相结合，不仅关注学生对知识的掌握程度，更注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。通过本节课的教学，使学生能够运用所学的知识解决实际生活中的最短路径问题，提高他们的数学应用意识。
3.评价原则：评价应具有客观性、发展性、指导性，能够激发学生的学习动力和自我提升意识。

人教版初中数学八年级上册13.4最短路径问题(教案)

（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示最短路径的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“最短路径在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《最短路径问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过如何找到两点间最短距离的情况？”（如从家到学校的最短路线）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索最短路径的奥秘。
（3）在复杂图形中寻找最短路径时，可以引导学生从简单图形出发，逐步增加难度，让学生掌握解题方法；
（4）结合实际应用，可以设计一些案例，如旅行商问题、工程选址问题等，指导学生如何将所学知识运用到实际中。
在教学过程中，教师应针对这些难点和重点，运用生动形象的语言、具体实例和操作演示，帮助学生理解、掌握和运用相关知识。同时，注意关注学生的反馈，适时调整教学方法和进度，确保学生透彻理解本节课的核心内容。
（3）在实际图形中寻找最短路径，如三角形、四边形等；
（4）将现实生活中的问题转化为数学模型，利用数学知识求解。
举例：讲解最短路径概念时，可以通过实际生活中的例子（如地图上两点间的最短距离）进行说明，使学生理解并掌握这个核心概念。
2.教学难点
（1）如何将实际问题抽象为数学模型，找到最短路径；

人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题》优秀教学案例

（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成若干小组，每组选择一个最短路径问题进行研究和探究；
2.引导学生相互讨论、交流，共同解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通能力；
3.教师巡回指导，针对不同小组的问题，提供适当的帮助和指导，促进学生的思考和发展。
（四）总结归纳
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，总结自己在解决问题过程中的优点和不足；
人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题》优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题》，是在学生已经掌握了平面直角坐标系、一次函数和二次函数等知识的基础上进行学习的。八年级的学生思维活跃，好奇心强，具备一定的探究能力，但同时在学习过程中容易忽视数学与实际生活的联系，对最短路径问题的理解停留在理论层面。因此，本节课的教学案例旨在通过生活实例，引导学生感受最短路径问题在实际生活中的应用，培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。
2.组织学生进行评价，让学生互相评价，提高学生的自我认知和评价能力；
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注学生的全面发展，给予极的反馈和鼓励。
（五）作业小结
1.教师布置与本节课相关的基础性作业和拓展性作业，巩固学生对最短路径问题的理解和掌握；
2.鼓励学生运用所学知识解决实际生活中的最短路径问题，提高学生的数学应用意识；
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用多媒体展示实际生活中的最短路径问题，如快递员送快递、旅行家规划旅行路线等，让学生感受到最短路径问题在现实生活中的重要性；
2.设计具有挑战性的问题，如学校到图书馆的最短路径是什么？引导学生思考并尝试解决；
3.创设情境，让学生扮演不同角色，如导演、导游等，规划最短路径，提高学生的参与度和积极性。

13.4课题学习最短路径问题教案人教版八年级数学上册

课题 13.4 课题学习最短路径问题课型新授课教师版本人教版八年级上册教学设计教学目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想．3.让学生体验在数学学习活动中充满了探索与创造，在探索中学会与人合作、交流; 在探索中体验成功的快乐，增强学好数学的信心。

教学重点体会图形的变化在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想教学难点利用轴对称解决简单的最短路径问题. 教学方法探索式合作教学法教学用具多媒体辅助教学教学过程教师活动学生活动设计意图创设情境激趣引入相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路径最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．提出问题:（1）故事中涉及最短路径问题，我们已经学习了哪两种最短路径问题？（2）如图，连接A 、B 两点的所有连线中，哪条最短？（3）2.如图，点P 是直线l 外一点，点P 与该直线l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？学生思考教师展示问题，并观察图片，获得感性认识在教师的引导下回顾旧知识从生活中问题出发，唤起学生的学习兴趣及探索欲望.体会数学知识来源于实践,又服务于实践为本节课的学习打下知识基础。

问题引导探究新知探究点1 异侧两点到直线上一点的最短路径问题1.现在假设点A,B 分别是直线异侧的两个点，如何在上找到一个点，使得这个点到点A ，点B 的距离的和最短？方法总结：简记：一连二找点探究点2 将军饮马问题1.如图，将军从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地，将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？提出问题:（1）请你将实际问题简化为数学模型（2）饮马的位置有几种选择？（3）所走路径用符号语言表述2.猜测点C 在直线的什么位置可使路径最短方法总结：简记：一作二连三找点3.你能用所学的知识证明上图中你所作的点C 使AC +BC 最短吗？以口诀的形式展示作图方法，加深学生对问题一作图的理解记忆。

人教版八年级上册数学13.4课题学习最短路径问题优秀教学案例

3.培养学生自主探究、发现问题、分析问题、解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.让学生在解决实际问题的过程中，体验数学的乐趣，提高学生学习数学的兴趣。
2.培养学生面对困难时积极思考、勇于挑战的精神，增强学生的自信心。
3.使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的数学应用意识和社会责任感。
三、教学重难点
2.跨学科教学：结合其他学科的知识，如地理、信息技术等，拓宽学生的知识视野，培养学生的综合能力。
六、教学资源
1.教材：人教版八年级上册数学教材。
2.辅助材料：相关的最短路径问题的案例、练习题和拓展问题。
3.现代教育技术：多媒体课件、网络资源等。
七、教学评价
1.学生评价：通过学生的课堂表现、作业完成情况和练习成绩等方面进行评价。
（二）讲授新知
在导入新课后，我会开始讲解最短路径问题的相关知识。首先，我会向学生们介绍最短路径问题的定义，让学生们明白什么是最短路径。接着，我会讲解解决最短路径问题的基本方法，如坐标系法、函数法等。在讲解的过程中，我会结合具体的例子，让学生们更直观地理解这些方法。
（三）学生小组讨论
在讲授完新知识后，我会让学生们进行小组讨论。我会给每个小组提供一个实际问题，让他们运用所学知识，合作解决这个最短路径问题。这样的讨论，可以培养学生的团队合作精神，也可以让学生们在实践中加深对知识的理解和应用。
3.互动评价：小组之间进行互动评价，相互学习和提高。
（四）反思与评价
1.自我反思：引导学生对自己的学习过程进行反思，发现自身的优点和不足，制定改进措施。
2.同伴评价：学生之间相互评价，给予意见和建议，促进共同进步。
3.教师评价：教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的个体差异，给予鼓励和指导。

13.4最短路径问题教学设计.doc

13.4课题学习最短路径问题教学内容：前面我们研究的关于“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”等问题，我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究这类问题。

还要借助轴对称、平移变换进行研究。

本节以数学史中的一个故事一一“将军饮马问题”为引例展开对“最短路径问题”的探究，让学生经历将实际问题抽象为数学问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。

教学目标：1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题2、在谈最短路径的过程中，学会“轴对称”、“平移”的实际应用，感悟化归的数学思想。

重点难点：重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。

难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

学情分析：1、学生的观察、操作、猜想能力较强，但推理、归纳、证明和运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导。

此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识。

2、学生已经学习过“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”，以及轴对称和平移作为本节知识的基础。

教学策略：最短路径问题本质上说是最值问题，作为八年级学生，在此前很少涉及最值问题，会感到陌生，无从下手。

设置导学案，是让学生通过自己的观察、类比、推理来发现问题的解决方向。

先让学生解答“直线1异侧的两点，与直线1上的点的线段的和最小”的问题有助于学生去思考“当点A、B在直线1的同侧时，如何在1上找到点C,使AC与BC的和最小”。

为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化这两个问题让学生通过先自己完成，再小组解惑，最后师生共同探讨的方式来完成。

教学过程:1、观看微课视频请同学们先预习课本71、72页，观看微课。

2、独立完成导学案完成'导学案'的问题1——问题3.3、小组讨论，解决问题小组谈论，解决以下问题（教师适当引导）：对比问题1和问题2,有什么相同之处和什么不同之处？能不能参照问题1来解决问题2呢？用的是什么方法？这样做的原理是什么？你能证明吗？解决问题3运用了什么数学知识？4、练习提升探究1、已知：如图，在射线0A、您之间有一点C求作：分别在以、0B上确定一点犯儿使CMVMNVNC最小. / A探究2.如图：C为马厩，D为帐篷，0A是草地，0B是河流。

13.4最短路径问题教案

第十三章轴对称13.4 课题学习最短路径问题【教材分析】教学目标知识技能能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用.过程方法在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透感悟转化思想.情感态度通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性.重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题难点如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题【教学流程】环节导学问题师生活动二次备课情境引入如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，走哪条路最近？你的理由是什么？前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．教师出示问题，引导学生思考、回答，引入课题。

自主探究探究点一探索最短路径问题活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用教师出示问题情境，激发学生学习兴趣和探究欲望.合作交流自主探究合作交流轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？答：将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？答：(1)从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地，再回到B地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(如图)．问题2：如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？追问3：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？追问4：你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？展示点评：作法：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l交于点C.则点C即为所求．追问5、你能用所学的知识证明AC＋BC最短吗？让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识:教师引导学生，联想轴对称知识解决，尝试作法，师生共同矫正，教师引导学生通过合作交流完成证明；证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC＝B′C，BC′＝B′C′.∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴AC＋BC＜AC′＋BC′.即AC＋BC最短.探究点二选址造桥问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．)展示点评：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．解：在直线a上取任意一点M′，作M′N′⊥b 于点N′，平移AM，使点M′移动到点N′的位置，点A移动到点A′的位置，连接A′B交直线b于点N，过点N作MN⊥a于点M，则路径AMNB最短．理由如下：如图，点M′为直线a上任意一点(不与点M重合)，∵线段A′N′是线段AM平移得到的∴AA′＝MN′，A′N′＝AM∴AM′＋MN′＋BN′＝A′N′＋AA′＋BN′∵MN平行AA′且MN＝AA′学生证明后，教师提出下面问题，引导学生小组讨论解决：证明AC＋BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，师生共总结方法：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题．利用三角形的三边关系，若直线l上任意一点(与点C 不重合)与A，B两点的距离和都大于AC＋BC，就说明AC＋BC最小. C′的代表的是除点C以外直线l上的任意一点．教师引导学生自主、合作探寻解题思路，展示；方法总结：解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法将河的宽度为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距∴MN可以看作是AA′经过平移得到的∴A′N＝AM∴AM＋NB＝A′N＋NB∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB ＝A′B<A′N′＋BN′∴AM＋NB＝A′N＋NB∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB ＝A′B<A′N′＋BN′∴AM＋NB<AM′＋BN′∵MN＝MN′∴AM＋MN＋NB<AM′＋M′N′＋N′B，即路径AMNB最短．离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法(如利用轴对称或平移等)转化在一条线段上，从而解决这个问题．尝试应用1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是米.4、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。