高一数学方差-P
高一数学必修二方差的知识点
高一数学必修二方差的知识点方差是统计学中重要的概念之一，它用于衡量一组数据的离散程度。
在高中数学中，方差被列为必修内容之一，它不仅在数学中有着重要的应用，还广泛应用于其他学科以及实际生活中。
本文将介绍高一数学必修二中方差的相关知识点，包括定义、计算方法以及应用等内容。
一、方差的定义方差是用来度量一组数据的波动性或者离散程度的统计量。
对于一组包含n个观察值的数据集，记为x₁, x₂, ..., xn，方差的计算公式为：方差 = (x₁ - 平均值)² + (x₂ - 平均值)² + ... + (xn - 平均值)²其中，平均值是这组数据集的算术平均值。
方差的单位通常为观察值的单位的平方。
二、方差的计算方法计算方差有两种常用的方法：离差平方和法和公式法。
离差平方和法是最直接而常用的计算方差的方法。
它的计算思路是先计算每个观察值与平均值的离差，然后将所有离差的平方求和。
具体步骤如下：1. 计算平均值：先对给定的数据集进行求和，再除以观察值的个数，即可得到平均值。
2. 求每个观察值与平均值的离差：将每个观察值减去平均值得到离差。
3. 将离差的平方求和：对所有离差的平方进行求和操作。
公式法是一种简化计算步骤的方法。
它的计算公式为：方差 = (x₁² + x₂² + ... + xn²) / n - 平均值²这种方法可以在计算方差时避免计算每个观察值与平均值的离差，进而简化计算过程。
三、方差的应用方差在统计学中有着广泛的应用。
作为一种度量数据离散程度的指标，方差能够帮助我们判断数据的稳定性和波动性。
在实际生活中，方差也被广泛运用于各个领域。
1. 财务分析：方差可以用来分析个人或者企业的投资风险。
通过计算投资组合的方差，我们可以评估投资风险的大小，进而制定相应的风险管理策略。
2. 品质控制：在生产过程中，方差可以用于评估产品的品质。
通过对产品的测量数据进行方差分析，可以判断产品是否符合标准，从而进行相应的调整和改进。
高考高中数学方差知识讲解
因此第iC5一o名py同r学ig的ht射2击0成04绩-2稳0定1性1 较As差i5p，o第se二P名t同y 学Lt的d.射击
成绩稳定性较好，稳定于8环左右.
如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班 应该派哪一名选手参赛？如果其他班级参赛选手的成绩 在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？
2、两个特殊分布的方差
Profile
5.2
从C而oEpXyrig1h1t 220014-2301114As1po5se1 P6ty1Ltd3..5
666666
DX (1 3.5)2 1 (2 3.5)2 1 (3 3.5)2 1 (4 3.5)2 1
D(aX b) a2DX
Evaluation only. ted w（it2h）A方s差p的os几ne个.S恒li等de变s形for .NET 3.5 Client Profile 5.2
CDopXyrigh(txi20E0X4)-22p0i 11 Aspose Pty Ltd. i 1 E( X EX )2 EX 2 (EX )2
X1 的分布列为
X1 5
6
7
8
9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
ted w第XPi二t2hC名Ao同0sp.学p50yo1击rsig中eh.目0tS.60标2lEi50d靶v0ea的4sl0u-环.f722ao数00tri1o.X1Nn2EA0的o.8T4sn分1pl3y布o..s5列e为C0P.93lit3eynLt tPdr.ofile 5.2
随机变量 X 的方差.其算术平方根 DX 为随机变量X的标
准差，记为 X
3、对方差的几点说明
（1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值 偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小.
高中数学离散期望方差典例
开锁次数的数学期望和方差例 有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数ξ的数学期望和方差． 分析：求)(k P =ξ时，由题知前1-k 次没打开，恰第k 次打开．不过，一般我们应从简单的地方入手，如3,2,1=ξ，发现规律后，推广到一般．解：ξ的可能取值为1，2，3，…，n ，;12112121)111()11()3(;111111)11()2(,1)1(nn n n n n n n n P n n n n n n P nP =-⋅--⋅-=-⋅--⋅-===-⋅-=-⋅-====ξξξnk n k n k n n n n n n n k n k n n n n k P 111212312111)211()211()111()11()(=+-⋅+-+---⋅--⋅-=+-⋅+----⋅--⋅-== ξ；所以ξ的分布列为：ξ1 2 … k … nPn 1n 1 …n 1 …n1211131211+=⋅++⋅+⋅+⋅=n n n n n n E ξ； nn n n n k n n n n n n D 1)21(1)21(1)213(1)212(1)211(22222⋅+-++⋅+-++⋅+-+⋅+-+⋅+-= ξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+++++++-++++=n n n n n n 22222)21()321)(1()321(1 1214)1(2)1()12)(1(611222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-++=n n n n n n n n n 次品个数的期望例 某批数量较大的商品的次品率是5％，从中任意地连续取出10件，ξ为所含次品的个数，求ξE ．分析：数量较大，意味着每次抽取时出现次品的概率都是0.05，ξ可能取值是：0，1，2，…，10．10次抽取看成10次独立重复试验，所以抽到次品数ξ服从二项分布，由公式np E =ξ可得解．解：由题，()05.0,10~B ξ，所以5.005.010=⨯=ξE ． 说明：随机变量ξ的概率分布，是求其数学期望的关键．因此，入手时，决定ξ取哪些值及其相应的概率，是重要的突破点．此题k k kC k P --⋅==1010)05.01()05.0()(ξ，应觉察到这是()05.0,10~B ξ．根据分布列求期望和方差例 设ξ 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q 值，并求ξ ξ D E、． ξ－11P21q 21-2q分析：根据分布列的两个性质，先确定q 的值，当分布列确定时，ξ ξ D E、只须按定义代公式即可．解： 离散型随机变量的分布满足（1）,,3,2,1,0 =≥i P i （2）.1321=+++ P P P 所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤=+-+.1,1210,1212122q q q q 解得 .211-=q 。
二项分布的数学期望和方差公式
二项分布的数学期望和方差公式二项分布是概率论中重要的离散概率分布之一，常用于描述重复进行相同试验的结果情况。
数学期望和方差是二项分布的重要统计量，本文将详细介绍二项分布的数学期望和方差的公式。
首先，我们来定义二项分布。
设有n次重复独立的试验，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p，试验结果只有成功或者失败两种情况。
则二项分布是描述n次试验中成功次数的概率分布。
1.二项分布的数学期望数学期望是描述随机变量均值的数理统计指标，可以看作是随机变量分布的中心位置。
对于二项分布，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p。
二项分布的数学期望记为E(x)，表示n次试验中成功次数的均值。
根据二项分布的定义，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为q，那么成功次数的期望可以表示为：E(x) = np其中，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。
2.二项分布的方差方差是描述随机变量分散程度的数理统计指标，可以看作是随机变量分布的离散程度。
对于二项分布，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p。
二项分布的方差记为Var(x)，表示n次试验中成功次数的离散程度。
根据二项分布的定义，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为q，那么成功次数的方差可以表示为：Var(x) = npq方差的计算方法是将每次试验成功的概率乘以失败的概率，再乘以试验次数。
另外，二项分布的标准差可以通过方差开方得到，标准差是描述随机变量分布离散程度的一个重要指标。
3.二项分布的性质对于二项分布的数学期望和方差，有以下几个性质：性质1：数学期望的性质-当试验次数n固定时，成功概率p越大，数学期望越大。
-当成功概率p固定时，试验次数n越多，数学期望越大。
性质2：方差的性质-当试验次数n固定时，随着成功概率p的增加，方差先减小后增大，形状类似一个U型曲线。
-方差的计算方法中，成功概率p和失败概率q都会影响方差的大小。
成功概率p越大，失败概率q越小，方差越小。
方差
EX kC p (1 p)
n
k 1
n
np
k k 2 E ( X 2 ) k 2Cn p (1 p) n k n n 1 p np k 1
DX n(n 1) p np n p np(1 p) npq
2 2 2
EX np
2 ( x EX ) pk , k DX k 1 ( x EX ) 2 p ( x)dx,
5
注：方差描述了随机变量的取值与其均值的偏离程度。
计算方差的简便公式：
DX E ( X ) ( EX )
2
2
展开
证明
DX E ( X EX )
k 1
k 1
k 1
k
15
5．均匀分布：
X ~ U (a, b) 参数为 a, b . 1 ,a xb 密度函数: p( x) b a 0 , other 2 b ab b x x dx EX xp( x)dx a 2(b a ) a ba 2 2 b x 2 2 E ( X ) x p( x)dx a b a dx x3 b a 2 ab b 2 2 2 DX E ( X ) ( EX ) 3(b a ) a 3
1 如第i次试验成功 Xi 0 如第i次试验失败
n i 1
i 1, 2,3,
, n.
X Xi
是n 次试验中“成功” 的次数
EX i P( X i 1) p
故
E( X i2 ) p
DX i E ( X i 2 ) ( EX i ) 2 p p 2 p(1 p)
01分布的期望和方差
01分布的期望和方差
01分布的期望和方差是：期望p方差p（1-p），二项分布期望np，方差np （1-p）。
一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。
图形特点：
对于固定的n以及p，当k增加时，概率P{X=k}先是随之增加直至达到最大值，随后单调减少。
可以证明，一般的二项分布也具有这一性质，且: 当（n+1）p不为整数时，二项概率P{X=k}在k=[(n+1)p]时达到最大值。
当（n+1）p为整数时，二项概率P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达到最大值。
[x]为取整函数，即为不超过x的最大整数。
01分布的期望和方差是：期望p方差p（1-p），二项分布期望np，方差np（1-p）。
一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。
图形特点：
对于固定的n以及p，当k增加时，概率P{X=k}先是随之增加直至达到最大值，随后单调减少。
可以证明，一般的二项分布也具有这一性质，且: 当（n+1）p不为整数时，二项概率P{X=k}在k=[(n+1)p]时达到最大值。
当（n+1）p为整数时，二项概率P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达到最大值。
[x]为取整函数，即为不超过x的最大整数。
方差高中数学公式
方差高中数学公式方差是描述一组数据离散程度的统计量，它能够衡量数据的分散程度。
在高中数学中，方差是一个重要的概念，它可以帮助我们分析和理解数据的变化规律。
本文将介绍方差的定义、计算公式以及应用案例，帮助读者更好地理解和运用方差。
一、方差的定义方差是一组数据与其平均值之差的平方和的平均值。
简单来说，方差就是每个数据与平均值之差的平方的平均值。
方差越大，说明数据的离散程度越大；方差越小，说明数据的离散程度越小。
二、方差的计算公式假设有n个数据，分别为x₁、x₂、…、xₙ，它们的平均值为xₙ。
方差的计算公式如下：方差 = ( (x₁ - xₙ)² + (x₂ - xₙ)² + … + (xₙ - xₙ)² ) / n其中，(x₁ - xₙ)²表示第一个数据与平均值之差的平方，(x₂ - xₙ)²表示第二个数据与平均值之差的平方，依此类推。
将所有数据与平均值之差的平方相加，再除以数据个数n，即可得到方差。
三、方差的应用案例方差在实际问题中有着广泛的应用，下面以一个实际案例来说明方差的应用。
假设某班级的学生在一次数学考试中的成绩如下：85、90、92、88、95。
现在我们想要分析这组数据的离散程度，进而了解整个班级的考试情况。
我们需要先计算这组数据的平均值。
85、90、92、88、95的平均值为(85+90+92+88+95)/5=90。
接下来，我们将每个数据与平均值之差的平方相加，得到：(85-90)² + (90-90)² + (92-90)² + (88-90)² + (95-90)² = 20 + 0 + 4 + 4 + 25 = 53将上述结果除以数据个数5，即可计算得到方差。
方差= 53/5 = 10.6通过计算，我们得到了这组数据的方差为10.6。
方差的单位是原数据单位的平方，所以在这个例子中，方差的单位是成绩的平方。
数学期望和方差
数学期望和方差
第四章 数学期望和方差
分布函数能够完整地描述随机变量的统计特 性，但在实际问题中，随机变量的分布函数较 难确定，而它的一些数字特征较易确定．并且 在很多实际问题中，只需知道随机变量的某些 数字特征也就够了.
另一方面，对于一些常用的重要分布，如二 项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等， 只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确 定其具体的分布.
8 8
9 10 11 12 7 15 10 10 50
则这 50 个零件的平均直径为
8 8 9 7 1015 1110 1210 50 10.14cm
第四章
数学期望和方差
换个角度看,从这50个零件中任取一个,它 的尺寸为随机变量X , 则X 的概率分布为 X P 8
x
| x| 但 | x | f ( x ) dx dx 发散. 2 (1 x )
它的数学期望不存在.
注：虽然f(x)是偶函数，但不能用定理1.1.
第四章
数学期望和方差
§4.2 数学期望的性质
设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不 是X的数学期望， 而是X的某个函数的数学期望， 比如说g(X)的数学期望. 那么应该如何计算呢？ 更一般的，已知随机向量(X1 , X2 …,Xn ) 的联合分布， Y= g(X1, X2 …,Xn ) 是 (X1 , X2 …,Xn ) 的函数, 需要计算Y 的数学期 望，应该如何计算呢？ 我们下面就来处理这个 问题.
8 50
12
9
7 50
10
15 50
12
11
10 50
12
10 50
则这 50 个零件的平均直径为
中学生数学方差优秀教案优秀8篇
中学生数学方差优秀教案优秀8篇中学生数学《方差》优秀教案篇一教学内容:P108—110 平方差公式例1 例2 例3教学目的:1、使学生会推导平方差公式，并掌握公式特征。
2、使学生能正确而熟练地运用平方差公式进行计算。
教学重点:使学生会推导平方差公式，掌握公式特征，并能正确而熟练地运用平方差公式进行计算。
教学难点:掌握平方差公式的特征，并能正确而熟练地运用它进行计算。
教学过程：一、复习引入1、复述多项式与多项式的乘法法则2、计算（演板）(1)(a+b)(a-b) (2)(m+n)(m-n)(3)(x+y)(x-y) (4)(2a+3b)(2a-3b)3、引入新课，由2题的计算引导学生观察题目特征，结果特征(引入新课，板书课题)二、新课1、平方差公式由上面的运算，再让学生探究现在你能很快算出多项式（2m+3n）与多项式(2m-3n)的乘积吗？引导学生把2m看成a,3n看成b写出结果。
(2m+3n)(2m-3n)=(2m)2-(3m)2=4m2-9n2(a + b)(a - b)= a2 - b2向学生说明：我们把(a+b)(a-b)=a2- b2 (重点强调公式特征)叫做平方差公式，也就是：两个数的和与这两个数的差等于这两个数的平方差。
2、练习：判断下列式子哪些能用平方差公计算。
（小黑板）（1）（-x-2y)(-x+2y) (2)(-2a+3b)(2a-3b)(3)(a+3b)(3a-b) (4)(-m-3n)(m-3n)3、教学例1(1)（2x+1)(2x-1); (2) (x+2y)(x-2y)(2)分析：让学生先说一说这两个式子是否符合平方差公式特征，再说一说哪个相当于公式中的a，哪个相当于公式中的b，然后套公式。
(3)具体解题过程：板书，同教材，略4、教学例2 例3先引导学生分析后指名学生演板，略三、巩固练习：（小黑板）1、填空：(1)(x+3)(x-3)=xxxxxxxxxx (2)(-1-2x)(2x-1)=xxxxxx(3)(-1-2x)(-2x+1)=xxxxxxxxxxxxx (4)(m+n)( )=n2-m2(5)( )(-x-1)=1-x2 (6)( )(a-1)=1-a22、选择题(1) 下列可以用平方差公式计算的是（）A、(2a-3b)(-2a+3b)B、(- 4b-3a)(-3a+4b)C、(a-b)(b-a)D、(2x-y) (2y+x)(2)下列式子中，计算结果是4x2-9y2的是（）A、(2x-3y)2B、(2x+3y)(2x-3y)C、(-2x+3y)2D、(3y+2x)(3y-2x)(3)计算（b+2a)(2a-b)的结果是（）A、4a2- b2B、b2- 4a2中学生数学《方差》优秀教案篇二学习目标：1、经历探索完全平方公式的过程，发展学生观察、交流、归纳、猜测、验证等能力。
高考数学专题--概率及期望与方差
高考数学专题--概率及期望与方差高考数学专题：概率、期望和方差本专题旨在建立知识网络，明确内在联系。
在浙江新高考中，该专题涉及面广，往往以生活中的热点问题为依托，考查方式十分灵活，背景容易创新。
基于上述分析，本专题按照“古典概型”和“随机变量及其分布”两个方面分类进行引导，以强化突破。
突破点1：古典概型核心知识提炼：1.古典概型问题的求解技巧：1) 直接列举：对于一些常见的古典概型问题，可以将事件发生的所有结果逐一列举出来，然后进行求解。
2) 画树状图：对于一些特殊的古典概型问题，直接列举可能会出错。
通过画树状图，列举过程更具有直观性和条理性，可以避免重复和遗漏。
3) 逆向思维：对于较复杂的古典概型问题，如果直接求解比较困难，可以利用逆向思维，先求其对立事件的概率，然后得到所求事件的概率。
4) 活用对称：对于一些具有一定对称性的古典概型问题，通过列举基本事件个数结合古典概型的概率公式来处理反而比较复杂，利用对称思维可以快速解决。
2.求概率的两种常用方法：1) 将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率。
2) 如果一个较复杂的事件的对立面的分类较少，可以考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”。
它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率。
高考真题回访：1.(浙江高考) 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是多少？解析：所取的3个球中至少有1个白球的对立事件是“所取的3个球都不是白球”，因此所求的概率是P=1-3/10=7/10.2.(浙江高考) 在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖。
甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是多少？解析：记“两人都中奖”为事件A，设中一、二等奖及不中奖分别记为1、2、0.甲、乙抽奖结果有(1,2)、(1,0)、(2,1)、(2,0)、(0,1)、(0,2)，共6种。
其中甲、乙都中奖有(1,2)、(2,1)两种，所以P(A)=2/6=1/3.3.(浙江高考) 从3男3女共6名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等），这2名都是女同学的概率等于多少？解析：女同学有3名，所以从中选出2名的组合数是C(3,2)=3.因此，这2名都是女同学的概率是3/15=1/5.生k次的概率为二项分布概率公式：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个元素中取k个元素的组合数，p 表示单次试验中事件A发生的概率，(1-p)表示事件A不发生的概率，n表示独立重复试验的次数，X表示事件A在n次试验中发生的次数。
常见分布的数学期望和方差
e x , x 0
f (x) 0, x0
E( X )
xf ( x)dx
x ex dx
0
x de x
0
xex
0
exdx
0
1
ex
0
1
.
14
2. 指数分布 X ~ E() .
E( X )
1
，D( X )
1
2
E( X 2 ) x 2 f ( x) dx x 2 ex dx
一、常见离散型分布的数学期望和方差
1. 0-1分布 X 0 1
P 1 p p
E( X ) 0(1 p) 1 p p . E( X 2 ) 02 (1 p) 12 p p ， D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p) .
E( X ) p D( X ) p(1 p)
2
方 差
正态 分布
f (x)
1
e ， ( x )2 2 2
x
2
( 0)
2
例1
设X
~
N
(
1
,
2 1
)
，Y
~
N
(2ຫໍສະໝຸດ ,2 2)
，且X ,Y
相互
独立，则 E( XY )
， D( XY )
.
解 E( XY ) 12 ,
D( XY ) E[( XY )2 ] [E( XY )]2
[D( X ) (EX )2 ][D(Y ) (EY )2 ] (12 )2
D. D(2 X 1) 4np(1 p)
解选
例2 设(D随).机变量X ,Y 相互独立且分布相同，则 X Y
与 2X 的关系是则( ).
高一数学中的期望值与方差如何计算
高一数学中的期望值与方差如何计算在高一数学的学习中，期望值和方差是两个非常重要的概念，它们在统计学和概率论中有着广泛的应用。
理解和掌握这两个概念的计算方法，对于我们解决实际问题和深入理解数学知识都具有重要的意义。
首先，让我们来了解一下什么是期望值。
期望值，简单来说，就是随机变量的平均取值。
如果我们把随机变量想象成一个“会变的数”，那么期望值就是它“平均会变成多少”。
假设我们有一个离散型随机变量X，它可能取值为x₁，x₂，x₃，，xₙ，对应的概率分别为 p₁，p₂，p₃，，pₙ。
那么这个随机变量 X的期望值 E(X)就可以通过以下公式计算：E(X) ＝ x₁p₁＋ x₂p₂＋ x₃p₃＋＋ xₙpₙ举个简单的例子，假设有一个掷骰子的游戏。
骰子有六个面，分别标有 1 到 6 的数字。
我们设随机变量 X 表示掷骰子得到的点数。
那么X 可能取值为 1、2、3、4、5、6，且每个点数出现的概率都是 1/6。
那么期望值 E(X)就等于：E(X) ＝ 1×（1/6) ＋ 2×（1/6) ＋ 3×（1/6) ＋ 4×（1/6) ＋ 5×（1/6) ＋6×（1/6) ＝ 35这意味着，如果我们多次掷骰子，平均得到的点数大约是 35。
接下来，我们再看看方差。
方差反映的是随机变量取值相对于期望值的分散程度。
如果方差较小，说明随机变量的取值比较集中在期望值附近；如果方差较大，则说明随机变量的取值比较分散。
离散型随机变量 X 的方差 Var(X)的计算公式为：Var(X) ＝ E(（X E(X)）²)但为了计算方便，我们通常使用以下公式：Var(X) ＝ E(X²) E(X)²同样以上面掷骰子的例子来说明。
我们先计算 E(X²)：E(X²) ＝ 1²×（1/6) ＋ 2²×（1/6) ＋ 3²×（1/6) ＋ 4²×（1/6) ＋ 5²×（1/6) ＋ 6²×（1/6) ＝ 91/6然后，已知 E(X) ＝ 35，所以方差 Var(X)为：Var(X) ＝ 91/6 35²＝35/12 ≈ 292这表明掷骰子得到的点数相对期望值的分散程度。
高中数学必修三方差计算公式
高中数学必修三方差计算公式方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，是高中数学必修三课本的重点内容，下面小编给大家带来数学必修三方差计算公式，希望对你有帮助。
高中数学必修三方差的概念与计算公式例1 两人的5次测验成绩如下：X：50，100，100，60，50 E(X)=72;Y：73，70，75，72，70 E(Y)=72。
平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X)：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里是一个数。
推导另一种计算公式得到：方差等于平方的均值减去均值的平方。
其中，分别为离散型和连续型计算公式。
称为标准差或均方差，方差描述波动程度。
高中数学必修三方差的性质 1.设C为常数，则D(C) = 0(常数无波动);2.D(CX)=C2 D(X) (常数平方提取);证：特别地D(-X) = D(X), D(-2X ) = 4D(X)(方差无负值)3.若X 、Y 相互独立，则证：记则前面两项恰为D(X)和D(Y)，第三项展开后为当X、Y 相互独立时，故第三项为零。
特别地独立前提的逐项求和，可推广到有限项。
方差公式：平均数：M=(x1+x2+x3++xn)/n (n表示这组数据个数，x1、x2、x3xn表示这组数据具体数值)方差公式：S^2=〈(M-x1)^2+(M-x2)^2+(M-x3)^2++(M-xn)^2〉╱n 高中数学必修3统计知识点分层抽样(1)分层抽样(类型抽样)：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。
两种方法：①先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
②先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。
数学期望和方差公式
数学期望和方差公式
数学期望和方差公式为：EX=npDX=np（1-p）、EX=1/PDX=p^2/q、DX=E（X）^2-（EX）^2。
对于2项分布（例子：在n次试验中有K次成功，每次成功概率为P，它的分布列求数学期望和方差）有EX=npDX=np（1-p）。
n为试验次数p为成功的概率，对于几何分布（每次试验成功概率为P，一直试验到成功为止）有EX=1/PDX=p^2/q。
还有任何分布列都通用的，DX=E（X）^2-（EX）^2。
关于数学期望的历史故事：
在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得100法郎的奖励。
当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的可能性大，乙获胜的可能性小。
因为甲输掉后两局的可能性只有(1/2)×(1/2）=1/4，也就是说甲赢得后两局或后两局中任意赢一局的概率为1－(1/4)=3/4，甲有75%的期望获得100法郎；而乙期望赢得100法郎就得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为(1/2)*(1/2)=1/4，即乙有25%的期望获得100法郎奖金。
可见，虽然不能再进行比赛，但依据上述可能性推断，甲乙双方最终胜利的客观期望分别为75%和25%，因此甲应分得奖金的100*75%=75(法郎)，乙应分得奖金的的100×
25%=25(法郎)。
这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。
常见分布的数学期望和方差
分布
k!
数
k 0,1,2,
pq
npq
学 期
均匀 分布
f (x)
1 b
a
,
a
x
b
0 , else
望 与
指数 分布
f
(
x)
e x
0,
,
x0 else
( 0)
ab 2 1
(b a)2 12 1
2
方 差
正态 分布
f (x)
1
e ，
(
x) 2 2
2
x
2
( 0)
2
例1
设X
~
N
(
1
,
2 1
E( X i ) p , D( X i ) p(1 p) ,
而 X= X1+X2+…+Xn ， Xi 相互独立，
n
n
所以 E( X ) E( X i ) E( X i ) np .
i 1
i 1
n
n
D( X ) D( X i ) D( X i ) np(1 p) .
i 1
i 1
所以 D( X ) np(np p 1) (np)2 np(1 p) .
4
下面利用期望和方差的性质重新求二项分布的
数学期望和方差.
设 X ~ B ( n, p )，X表示n重伯努利试验中的成功次数.
设
1 X i 0
如第i次试验成功 如第i次试验失败
i=1,2,…,n
则
Xi
P
10
p 1 p
与 2X 的关系是则( ).
A.有相同的分布
B.数学期望相等
C.方差相等
高一方差的计算公式
高一方差的计算公式在我们高中数学的学习中，方差可是一个重要的概念呢。
说起方差，它的计算公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开数据分布的秘密之门。
方差的计算公式是：$S^2 = \frac{1}{n}[(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \cdots + (x_n - \overline{x})^2]$ 。
这里的$n$表示样本数量，$\overline{x}$表示样本的平均数，$x_i$表示第$i$个样本值。
咱们来举个例子理解一下这个公式哈。
比如说，有一组同学的数学考试成绩分别是 85 分、90 分、95 分、100 分、105 分。
首先，咱们得算出这组成绩的平均数，也就是把这几个数加起来再除以 5 。
（85 + 90 + 95 + 100 + 105）÷ 5 = 95 分，这个 95 分就是平均数$\overline{x}$ 。
接下来，咱们就用方差公式来算方差。
第一个成绩 85 分，它与平均数的差是 85 - 95 = -10 ，平方一下就是(-10)^2 = 100 。
第二个成绩 90 分，与平均数的差是 90 - 95 = -5 ，平方就是 (-5)^2 = 25 。
第三个成绩 95 分，与平均数的差是 95 - 95 = 0 ，平方还是 0 。
第四个成绩 100 分，与平均数的差是 100 - 95 = 5 ，平方就是 5^2 = 25 。
第五个成绩 105 分，与平均数的差是 105 - 95 = 10 ，平方就是 10^2 = 100 。
然后把这些平方差加起来：100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250 。
最后，再除以样本数量 5 ，得到方差就是 250÷5 = 50 。
这就意味着这组同学的成绩分布相对比较集中还是分散呢？通过方差的值我们就能判断出来啦。
再比如说，前段时间我们班组织了一次物理实验，测量同一物体在不同条件下的长度。
高中数学方差的计算公式
高中数学方差的计算公式方差是研究一组数据分散程度的重要参量，它反映了原始数据中观测值在数学上表现出来的波动程度。
这是重要数据分析手段之一，本文将介绍高中数学方差的计算公式。
首先，我们需要了解什么是方差。
方差是统计学中用来衡量实验中数据分散程度的参数，它可以提供关于实验结果数据的直观认识和可比性。
在高中数学课程中，学生将学习到它的定义：方差是一组数据的差异，计算它的基本思想是以每个数据与均值之间的距离来衡量它们的离散程度，然后将其平均。
根据定义，我们可以得出可以用来计算方差的公式：方差(s)＝Σ（x-x）/N其中，X为每个观测值x为所有观测值的算术平均数，Σ（x-x）表示每个观测值与平均值之间的误差平方和，N表示样本数量。
因为方差是一组数据的差异，所以它的计算比较复杂，但是我们可以将上面的公式进行简化，得出一个易于推导的公式：方差(s)＝Σ（x）/N - (Σx/N)其中，Σ（x）表示每个观测值x的平方和，Σx表示所有观测值x的和，N表示样本数量。
用另一个例子来阐述这个公式，假设我们研究一组数据，它们分别是1，2，3，4，5，6，那么我们可以计算出这组数据的方差：s＝Σ（x）/N - (Σx/N)s＝(1+2+3+4+5+6)/6 - (1+2+3+4+5+6)/6s＝ 91/6 - 21/36s＝ 2.5以上就是高中数学方差的计算公式，可以看出，在计算方差时，可以用这个公式，简化计算过程，减少计算量，提高节省时间。
方差的计算是许多统计学方法的基础，它可以用来解释一组数据分散程度的大小，从而帮助我们更明确地把握数据。
本文讨论了高中数学方差的计算公式，它即简单又实用，学习它可以有助于理解方差的计算，帮助学生进行数据分析、判断提出正确结论。
高一数学公式：方差公式-
高一数学公式：方差公式对学过的知识一定要多加练习，这样才能进步。
因此，本文库为大家整理了高一数学公式：方差公式，供大家参考。
一.方差的概念与计算公式例1 两人的5次测验成绩如下：X： 50，100，100，60，50 E(X )=72;Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。
平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X )：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里是一个数。
推导另一种计算公式得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。
其中，分别为离散型和连续型计算公式。
称为标准差或均方差，方差描述波动二.方差的性质1.设C为常数，则D(C) = 0(常数无波动);2. D(CX )=C2 D(X ) (常数平方提取);证：特别地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差无负值)3.若X 、Y 相互独立，则证：记则前面两项恰为 D(X )和D(Y )，第三项展开后为当X、Y 相互独立时，，故第三项为零。
特别地独立前提的逐项求和，可推广到有限项。
方差公式：平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值)方差公式：S2=〈(M-x1)2+(M-x2)2+(M-x3)2+…+(M-xn)2〉╱n三.常用分布的方差1.两点分布2.二项分布X ~ B ( n, p )引入随机变量 Xi (第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布) ，3.泊松分布(推导略)4.均匀分布另一计算过程为5.指数分布(推导略)6.正态分布(推导略)7.t分布 :其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n/(n-2);8.F分布：其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2);~正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度(随机波动)，这与图形的特征是相符的。
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s2
1 n
(x1
x)2
(x2
x)2
(xn
x)2
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据
的方差． 一组数据方差越大，说明这组数据波动越大.
化～｜不吃变了质的食物。 【车棚】ｃｈēｐéｎɡ名存放自行车等的棚子。也作腷臆。 】ｃā见６７６页［礓？【补白】ｂǔｂáｉ①名报刊上填补空白的短文。 ｚｉ）名①一年生草本植物， 【潮呼呼】ｃｈáｏｈūｈū同“潮乎乎” 【陈陈相因】ｃｈéｎｃｈéｎｘｉāｎɡｙīｎ《史记？ 编造情节来取笑。 【财礼】ｃáｉｌǐ 名彩礼。【仓库】ｃāｎɡｋù名储藏大批粮食或其他物资的建筑物：粮食～｜军火～。【尘芥】ｃｈéｎｊｉè名尘土和小草，军队：当～｜～种｜骑～。【沧海
第十四章 统计初步
14.3 方差
1. 引例
两台机床同时生产直径是40毫米的零件，为了检验产 品质量，从产品中各抽出10件进行测量，结果如下 （40．1
40．2
39．9
40
40．2
39．8
40．2
39．8
机床
乙
40
40
39．9
40
39．9
40．2
40
40．1
40
39．9
3. 方差概念的应用
例1 已知两组数据： 甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7 乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1 分别计算这两组数据的方差.
4. 标准差的概念
把方差的算术平方根
s
1 n
( x1
x)2
(x2
x) (xn
x)2
叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据 的波动大小的重要的量.
练习 教材P165中（1）、（2）.
本节小结
(1)知识小结：通过这节课的学习，使我们知道了对于 一组数据，有时只知道它的平均数还不够，还需要知 道它的波动大小；而描述一组数据的波动大小的量不 止一种，最常用的是方差和标准差.方差与标准差这两 个概念既有联系又有区别.
(2)方法小结：求一组数据方差的方法；先求平均数， 再利用③求方差，求一组数据标准差的方法：先求这 组数据的方差，然后再求方差的算术平方根.
作业 教材P173中1，2（1）（2）.
上面表中的数据如图所示
问题：怎样能说明在使所生产的10个零件的直径符
合规定方面，哪个机床做得好呢？
2. 方差的概念是什么?
设在一组数据x1, x2 ,, xn中，各数据与它们的平
均数 x 的差的平方分别是 (x1 x)2 , (x2 x)2 , (xn x )2 ，
那么我们用它们的平均数，即用