1.1.7柱锥台球的体积--公开课PPT课件
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1.1.7柱、锥、台和球的体积(共17张PPT)
α
等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等。
棱柱和圆柱的体积
设有底面积都等于S， 高都等于h的任意一个 棱柱、一个圆柱和一 个长方体，使它们的 下底面在同一个平面α 内（右图）
s
s
s
根据祖暅原理，可知它们的体积相等。由于长方体的体积 等于它的底面积乘于高，于是我们得到柱体的体积公式
V柱体=S·h
其中S是柱体的底面积，h是柱体的高
S′=0
1 V锥体= 3 Sh
这里S是底面积,h是高
球的体积
V球= 4 R3
3
球的表面积：S球面 4R2
S1
R
4 3
R3
V球
1 3
RS1
1 3
RS2
1 3
RS3
1 3
RS球面
例1、如图所示，在长方体ABCD-A‘B’C‘D’中，用截面 截下一个棱锥C-A’DD’,求棱锥C-A‘DD’的体积与剩余部 分的体积之比。
3
5、有一个正四棱台形状的油槽，最多装油190L，假如它的 两底面边长分别等于60cm和40cm.则它的深度为_7_5_c_m__.
2、在正方体ABCD-A’B’C’D’中，三棱锥A’-BC’D的体积是 正方体体积的___1_/_3___.
3、体一和个圆正柱方的体体和积一比个为圆_柱__等__高__，_.并且侧面积相等，则这个正方
4
4、已知正四棱锥的侧面积都是等边三角形，它的斜高为 3 这个正四棱锥的体积为_4____2 __。
6
18
8
6
5 15
15
11
11
课堂小结
V柱体=Sh
V锥体= 1 Sh 1 r 2h
课件5：1.1.7 柱、锥、台和球的体积
[跟踪训练] 1．已知某圆台的上、下底面面积分别是 π，4π，母线长为 2，则这个圆台的 体积是________．
解析：设圆台的上、下底面半径分别为 r 和 R，高为 h，
则 S 上＝πr2＝π，S 下＝πR2＝4π，∴r＝1，R＝2，∵l＝2，
∴h＝
3，∴V＝13π(12＋22＋1×2)×
3＝7
所以体积为13×(
2)2×
3＝2
3 3，所以该几何体的体积为
2π＋2
3
3 .
[答案] C
【规律方法】 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则 可直接利用公式求解． (2)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体 的直观图，然后根据条件求解．
(×)
(2)锥体的体积等于底面面积与高之积
( ×)
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差
(√ )
2. 如图所示，正方体 ABCD -A1B1C1D1 的棱长为 1，
则三棱锥 D1-ACD 的体积是
()
1 A. 6
1 B. 3
1 C. 2
D．1
答案：A
3．若圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，则圆锥的体积是________． 解析：由已知圆锥的高 h＝4， 所以 V 圆锥＝13π×32×4＝12π. 答案：12π 4．若一个球的直径是 12 cm，则它的体积为________ cm3. 解析：由题意知其半径为 R＝122＝6(cm)， 故其体积为 V＝43πR3＝43×π×63＝288 π(cm3)． 答案：288π
故球的表面积 S 表＝4πR2＝16π.
2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面
高中数学人教B版必修2课件：1.1.7 柱、锥、台和球的体积
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:设圆柱的底面半径为r,高为h,如图,
ℎ = ������sin������, 2π������ = ������cos������, ������cos������ 所以 h=msin α,r= 2π , 则由题意可知: 所以 V 圆柱 =πr2h=π
������cos������ 2 · msin 2π
答案: 3 3
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型二
有关锥体体积的问题
【例2】 (1)若圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形,则其 体积等于 . (2)若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6 cm,在棱AB,AD,AA1上分 别取点P,Q,R,使得AP=2 cm,AQ=3 cm,AR=4 cm,则三棱锥A-PQR的 体积为 .
α=
������3 sin������cos2 ������ . 4π
反思 对于几何体的侧面展开图问题,要注意展开前后的“变”与“不 变”.对此题而言,为了求体积要抓住关键元素,即圆柱的底面半径、 高.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练1】 如图①是一个水平放置的正三棱柱ABCA1B1C1,D是棱BC的中点.正三棱柱的主视图如图②.则该正三棱柱 ABC-A1B1C1的体积为 .
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练3】 若某几何体的三视图(单位:cm)如图,则此几何体 的体积是 .
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解析:此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体,而 V 正四棱台 =
课件3：1.1.7 柱、锥、台和球的体积
典型例题 由 S 侧＝4×12(10＋20)·E1E＝780，得 EE1＝13， 在直角梯形 EOO1E1 中，O1E1＝12A1B1＝5， OE＝12AB＝10，
典型例题
∴O1O＝ E1E2－(OE－O1E1)2＝12， V 正四棱台＝31×12×(102＋202＋10×20)＝2 800 (cm3). 故正四棱台的体积为 2 800 cm3.
典型例题 ∴OO′⊥AO′， ∴AO′＝ 23R＝ 3 (cm)，∴R＝2 cm， ∴V 球＝43πR3＝332π(cm3)，S 球＝4πR2＝16π(cm2). 即球的体积为332π cm3，表面积为 16π cm2.
方法归纳
球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半 径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角 三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法.
∴AE＝ 23×6＝3 3.∴AH＝32AE＝2 3.
课堂检测 在△ABC 中， S△ABC＝12BC·AE＝21×6×3 3＝9 3. 在 Rt△SHA 中，SA＝ 15，AH＝2 3， ∴SH＝ SA2－AH2＝ 15－12＝ 3. ∴V 正三棱锥＝13S△ABC·SH＝13×9 3× 3＝9.
方法归纳
求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体 的高.要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的 轴截面寻求相关量之间的关系.
跟踪训练
3.本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分 别为2 cm和4 cm，侧棱长为2 cm，求该棱台的体积.”
跟踪训练 解：如图，正四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中，上、下底面边长 分别为 2 cm 和 4 cm，
知识梳理
教材整理2 柱体、锥体、台体和球的体积公式 其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′ 和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径.
课件8：1.1.7 柱、锥、台和球的体积
设 O1M＝x，易知 O1M⊥AB，则 O1A＝ 22＋x2，
O1C＝CM－O1M＝ 62－22－x.
又 O1A＝O1C，∴ 22＋x2＝ 62－22－x.
解得
x＝7 4
2.则
O1A＝O1B＝O1C＝9
4
2 .
在 Rt△OO1A 中，O1O＝R2，∠OO1A＝90°，OA＝R.
由勾股定理得(R2)2＋(9
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
1．长方体的体积 (1)若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积 为V长方体＝ abc . (2)若长方体的底面积和高分别为S、h，那么它的体积 V长方体＝ Sh .
2．祖暅原理：幂势既同，则积不容异 这就是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行 于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的 面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅 原理可说明： 等底面积、等高 的两个柱体或锥体的体 积相等．
4
2)2＝R2.解得
R＝3
2
6 .
故 S 球＝4πR2＝54π，V 球＝43πR3＝27 6π.
[通一类]
4．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球
的体积是其余两个球的体积之和的
()
A．1倍
B．2倍
C．3倍
D．4倍
【解析】半径大的球的体积也大，设三个球的半径分 别为 x,2x,3x， 则最大球的半径为 3x，其体积为43π×(3x)3， 其余两个球的体积之和为34πx3＋43π×(2x)3， ∴43π×(3x)3÷[43πx3＋43π×(2x)3]＝3.
[通一类] 2．一个边长为2的正三角形，绕它的对称轴旋转一周，如 图，求所得几何体的体积．
解：正三角形 SAB 绕对称轴 SO 旋转一周，得到
课件9：1.1.7 柱、锥、台和球的体积
∴2R＝ 3a，R＝ 23a. ∴V＝43πR3＝43π 23a3＝ 23πa几何体，它的任何截面均为 圆，过球心的截面都是轴截面，因此球的问题常转化为圆的有关问 题解决．
跟踪训练 3 球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台
的侧面积之比为 3∶4，则球的体积与圆台的体积之比为 ( )
3．直三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V，已知点 P、Q 分别为 AA1、CC1
上的点，而且满足 AP＝C1Q，则四棱锥 B—APQC 的体积是 ( B )
1 A.2V
1 B.3V
1 C.4V
2 D.3V
【课堂小结】
1．求几何体的体积，需要求与其体积有关的各个量，但有时各个 量不一定都要求出，而只需求出与其体积有关的各量的组合． 2．“割补”是求体积的一种常用策略，运用时，要注意弄清“割补” 前后几何体体积之间的数量关系．
由已知 S 球∶S 圆台侧＝4πR2∶π(r1＋r2)2＝3∶4，
(Vr1球＋∶rV2)2圆＝台＝13613Rπ2.r21＋43r1πrR2＋3 r22·2R ＝r1＋r22R22－r1r2＝136R22R－2 R2＝163，故选 A.
【答案】A
【当堂检测】
1．设正六棱锥的底面边长为 1，侧棱长为 5，那么它的体积为 ( B )
答 体积没有发生变化，从这个事实中能够猜测出两等高的几何体若在 所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．
小结 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于 这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相 等，那么这两个几何体的体积相等．
探究点二 棱柱、圆柱和球的体积 问题 1 等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系如何？ 答 应用祖暅原理可以说明它们的体积相等． 问题 2 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？ 答 如果设 S 为底面面积，h 为高，一般柱体的体积公式为 V 柱＝Sh. 问题 3 底面半径是 r，高是 h 的圆柱体的体积的计算公式如何表示？ 答 V 圆柱＝Sh＝πr2h.
跟踪训练 3 球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台
的侧面积之比为 3∶4，则球的体积与圆台的体积之比为 ( )
3．直三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V，已知点 P、Q 分别为 AA1、CC1
上的点，而且满足 AP＝C1Q，则四棱锥 B—APQC 的体积是 ( B )
1 A.2V
1 B.3V
1 C.4V
2 D.3V
【课堂小结】
1．求几何体的体积，需要求与其体积有关的各个量，但有时各个 量不一定都要求出，而只需求出与其体积有关的各量的组合． 2．“割补”是求体积的一种常用策略，运用时，要注意弄清“割补” 前后几何体体积之间的数量关系．
由已知 S 球∶S 圆台侧＝4πR2∶π(r1＋r2)2＝3∶4，
(Vr1球＋∶rV2)2圆＝台＝13613Rπ2.r21＋43r1πrR2＋3 r22·2R ＝r1＋r22R22－r1r2＝136R22R－2 R2＝163，故选 A.
【答案】A
【当堂检测】
1．设正六棱锥的底面边长为 1，侧棱长为 5，那么它的体积为 ( B )
答 体积没有发生变化，从这个事实中能够猜测出两等高的几何体若在 所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．
小结 祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于 这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相 等，那么这两个几何体的体积相等．
探究点二 棱柱、圆柱和球的体积 问题 1 等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系如何？ 答 应用祖暅原理可以说明它们的体积相等． 问题 2 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？ 答 如果设 S 为底面面积，h 为高，一般柱体的体积公式为 V 柱＝Sh. 问题 3 底面半径是 r，高是 h 的圆柱体的体积的计算公式如何表示？ 答 V 圆柱＝Sh＝πr2h.
高中人教B版数学必修2课件1.1.7 柱、锥、台和球的体积
名称
体积(V)
棱柱 Sh
柱体
圆柱
πr2h
锥体
棱锥 圆锥
台体
棱台 圆台
1 3 ������ℎ
1 3 π������2ℎ
1 3 ℎ(������ +
S·S'+ ������′)
1 3 πℎ(������2 + ������������′ + ������′2)
-5-
1.1.7 柱、锥、台和 球的体积
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
123
名师点拨 柱体、锥体、台体的体积有如下关系:
-6-
1.1.7 柱、锥、台和 球的体积
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
.
答案:Sh
-4-
1.1.7 柱、锥、台和 球的体积
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知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
123
2.柱、锥、台的体积 柱体、锥体、台体的体积公式如下表,其中S',S分别表示上、下 底面的面积,h表示高,r'和r分别表示上、下底面圆的半径.
A.4倍 B.8倍 C.64倍 D.16倍
解析:设气球原来半径为 R,则现在半径为 4R,此时体积 V=
人教B版高中数学必修二1.1.7 柱、锥台和球的体积教学课件
高为 3 ，求这个正四棱锥的体积.
牛刀小试
5.等边三角形的边长为a,它绕其一边所在的直线 旋转一周，求所得旋转体的体积.
小结:
记住常见几何体的体积公式.
V柱体= Sh
V锥体=
1 Sh 3
V台体=
1 h(s 3
+
ss' + s')
V球
=
4 3
R
3
牛刀小试
1. 已知长方体的铜块长、宽、高分别是2,4,8， 将它熔化后转成一个正方体形的铜块（不计损 耗），求铸成的铜块的棱长_____
2. 火星的直径约是地球的一半，地球的体积是火 星体积的__________倍
3. 已知圆锥的母线长为5cm,高为4cm,求这个圆锥 的体积
牛刀小试
4.已知正四棱锥的侧面都是等边三角形，它的斜
s 和高 h 的积. 圆柱的底面半径为r，高为h，体积为
_.
例1 一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面 积相等，求这个正方体和圆柱的体积之比.
设正方体棱长为a,圆柱底面圆半径为r,高为h
锥体的体积
如图：三棱柱ABC-A'B'C' ,底面积为S,高为h.
问A 从A点出发棱柱能分C 割成A几个三棱锥？
C B
例2 如图所示在长方体 ABCD ABCD
用截面截下一个棱锥 C ADD，求
棱锥 C ADD的体积与剩余部分的
体积比.
D
C
A
B
D A
C B
台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
x
牛刀小试
5.等边三角形的边长为a,它绕其一边所在的直线 旋转一周，求所得旋转体的体积.
小结:
记住常见几何体的体积公式.
V柱体= Sh
V锥体=
1 Sh 3
V台体=
1 h(s 3
+
ss' + s')
V球
=
4 3
R
3
牛刀小试
1. 已知长方体的铜块长、宽、高分别是2,4,8， 将它熔化后转成一个正方体形的铜块（不计损 耗），求铸成的铜块的棱长_____
2. 火星的直径约是地球的一半，地球的体积是火 星体积的__________倍
3. 已知圆锥的母线长为5cm,高为4cm,求这个圆锥 的体积
牛刀小试
4.已知正四棱锥的侧面都是等边三角形，它的斜
s 和高 h 的积. 圆柱的底面半径为r，高为h，体积为
_.
例1 一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面 积相等，求这个正方体和圆柱的体积之比.
设正方体棱长为a,圆柱底面圆半径为r,高为h
锥体的体积
如图：三棱柱ABC-A'B'C' ,底面积为S,高为h.
问A 从A点出发棱柱能分C 割成A几个三棱锥？
C B
例2 如图所示在长方体 ABCD ABCD
用截面截下一个棱锥 C ADD，求
棱锥 C ADD的体积与剩余部分的
体积比.
D
C
A
B
D A
C B
台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
x
高二数学(人教B版)必修2课件：1.1.7柱、锥、台和球的体积(共21张PPT)教学课件
二、提出问题
普
思考：如何求其它几何体的体积？
通
高 祖暅原理：幂势既同，则积不容异
中
课
程
标
准
Liangxiangzhongxue
问题：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的 体积如何？
三、概念形成
普 概念1.柱体（棱柱和圆柱）的体积
通 高 中 课 程
棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向得到，因此，
程 标 准
V锥体
1 3
Sh
h
h
Liangxiangzhongxue
S
S
S
三、概念形成
普 概念3.台体（棱台、圆台）的体积
通
棱台和圆台分别是棱锥和圆锥用平行于底面的平面截去
高 中 课
一个锥体得到的。因此台体的体积可以用两个锥体体积的 差来计算。体积公式如下：
程 标 准
V台 体1 3hS SS'S'
四、应用举例
普 通
例2．如图，长方体 A B C D A ' 中B ' ，C 用' D 截' 面截下一个棱
锥
C ， 求A 棱'锥D D ' 的体积C 与 剩A 余'D 部D 分'的体积之比。
高
中
课
程
D'
C'
标 准
A'
B'
Liangxiangzhongxue
D
A
C B
四、应用举例
普 通 高
例3．有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8g/c)m六3角螺帽 共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm,内孔直 径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个 （ 取
1.1.7柱锥台和球的体积
1.两种方法:化整为零的思想方法和“分割,求 和,取极限”的数学方法. 2.一个观点:在一定条件下,化曲为直的辨证观 点. 3.一个公式:半径为R的球的体积是
4.解决两类问题:两个几何体相切和相接
作适当的轴截面
1.1.7柱、锥、台和球的体积
体积：几何体占有空间部分的大小叫做它的体积 初中学过的体积公式
长方体的体积等于它的长、宽、高的积
即：V长方体= abc
推论1:长方体的体积等于它的底面积S和高h的积
即：V长方体= Sh
推论2:正方体的体积等于它的棱长a的立方 即：V正方体= a 3
二、讲授新课:
取一摞书放在桌面上，并改变它们的形 状，观察改变前后的体积是否发生变化？
s
s
1 V台体 3 h(s
ss' s')
1 V锥体 3 sh
实践感悟：
倒米实验：将一个底面半径和高都为R的圆锥放入一个底面 半径和高都为R的圆柱内，使圆锥的底和圆柱的 底重合，并给这个模型内装满米，然后把这个模 型中的米全倒进半径为R的半球内，你会发现…….
结论：
R
R
演示
1 2 V球
球内切于正方体
侧棱长为5cm
S侧 6 52 150 cm2
例3：A、B、C是球面上三点，已知AB=18cm ，BC=24cm，AC=30cm，平面ABC与球心的 距离恰好为球半径的一半，求球的表面积。
O
R dB
A
ß
rH
C
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来 的几倍? 8倍
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长 是4cm,求这个球的体积.
球外接于正方体
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球 切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各 顶点,求这三个球的体积之比.
课件4：1.1.7 柱、锥、台和球的体积
原来的 4 倍．
第一章 1.1 1.1.7
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修2
4．将一铜球放入底面半径为16cm的圆柱玻璃容器中，水 面升高9cm，则这个铜球的半径为________cm.
【答案】12 【解析】设铜球的半径为 R，由题意，得43πR3＝π·162·9， 解得 R＝12.
第一章 1.1 1.1.7
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修2
3．棱锥和圆锥的体积： (1)如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积为S，高是h，那么
1 它的体积V锥体＝__3_S_h____.
(2)如果圆锥的底面半径是r，高是h，则它的体积是V圆锥 ＝___13_π_r2_h__.
第一章 1.1 1.1.7
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导命·人题教方B版向·数3 学球·必的修2体积 例3 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC
两两垂直且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积． [解] ∵PA、PB、PC 两两垂直，且 PA＝PB＝PC＝a， ∴以 PA、PB、PC 为相邻的三条棱可以构造正方体．
例4 如图所示，已知等腰梯形ABCD的上底AD＝2cm，下 底BC＝10cm，底角∠ABC＝60°，现绕腰AB旋转一周，求所 得的旋转体的体积．
第一章 1.1 1.1.7
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修2
[错解] 所得旋转体是如图所示的组合体．
第一章 1.1 1.1.7
第一章 1.1 1.1.7
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修2
∴旋转后所得几何体的体积 V＝13π·BF·FC2＋13π·EF·(DE2 ＋FC2＋DE·FC)
1.1.7体积
思想： 化归 类比
3.球的体积
实验:
给出如下几何模型
R
R
步骤
１．拿出圆锥 和圆柱
２．将圆锥倒立放入 圆柱
３．取出半球和新的几何体做它们的截面
R
结论:截面面积相等
则两个几何体的体积相等
R
R
R
1
2 V球 ＝
R2 R 1 R2 R
3
５．球的体积计算公式：
V球
4 R3
3
C’ C’ C’ C’ C’ C’
3
１
A A A AAA
2 BB’’ B’ B’ B’ B’ B’ 就是三棱锥1 和另两个三棱
C C C C C CC C C C C C 锥2、3。
B B B B B BB
A’
1
A
A’
A’
3
C’
2 B’
B’
C 三棱锥1、2的底
C
C
△ABA’、△B’A’B
的面积相等。
1.1.7 柱、锥、台和球的 体积（第二课时）
祖暅原理：幂势既同，则积不容异
等底面积，等高的两个柱体体积相等； 等底面积，等高的两个锥体体积相等；
（二）锥体（棱锥、圆锥）的体积
在小学我们就通过比较容积的方法，验证了圆 锥的体积是等底面积、等高的圆柱的体积的三分 之一。
割 补 法
3
C’
B’
1
A
C
C
C
B
B
V1＝V2＝V3＝
1 3
V棱柱
定理证明：
已知：三棱锥1（A1-ABC）的底面积S,高是h. 求证证明::把柱V三 三，棱棱然锥＝锥后1313把1S以这h△个A三BC棱为柱底分面割、成AA三1为个侧三棱棱补锥成，一就个是三三棱
3.球的体积
实验:
给出如下几何模型
R
R
步骤
１．拿出圆锥 和圆柱
２．将圆锥倒立放入 圆柱
３．取出半球和新的几何体做它们的截面
R
结论:截面面积相等
则两个几何体的体积相等
R
R
R
1
2 V球 ＝
R2 R 1 R2 R
3
５．球的体积计算公式：
V球
4 R3
3
C’ C’ C’ C’ C’ C’
3
１
A A A AAA
2 BB’’ B’ B’ B’ B’ B’ 就是三棱锥1 和另两个三棱
C C C C C CC C C C C C 锥2、3。
B B B B B BB
A’
1
A
A’
A’
3
C’
2 B’
B’
C 三棱锥1、2的底
C
C
△ABA’、△B’A’B
的面积相等。
1.1.7 柱、锥、台和球的 体积（第二课时）
祖暅原理：幂势既同，则积不容异
等底面积，等高的两个柱体体积相等； 等底面积，等高的两个锥体体积相等；
（二）锥体（棱锥、圆锥）的体积
在小学我们就通过比较容积的方法，验证了圆 锥的体积是等底面积、等高的圆柱的体积的三分 之一。
割 补 法
3
C’
B’
1
A
C
C
C
B
B
V1＝V2＝V3＝
1 3
V棱柱
定理证明：
已知：三棱锥1（A1-ABC）的底面积S,高是h. 求证证明::把柱V三 三，棱棱然锥＝锥后1313把1S以这h△个A三BC棱为柱底分面割、成AA三1为个侧三棱棱补锥成，一就个是三三棱
高中数学 1.1.7柱、锥、台和球的体积课件 新人教B版必修2
第三十八页，共47页。
∴旋转后所得几何体的体积 V＝13π·BF·FC2＋13π·EF·(DE2＋ FC2＋DE·FC)
＝13π×5×(5 3)2＋13π×4×[( 3)2＋(5 3)2＋ 3×5 3] ＝249π(cm3)． 答：所得的旋转体的体积为 249πcm3.
第三十九页，共47页。
[辨析] 错解中，将所得旋转体漏掉了扣除以圆台上底面为 底面，高为1cm的圆锥(yuánzhuī)的体积．
第四十一页，共47页。
所以旋转后所得几何体的体积为
V
＝
1 3
π·BF·FC2
＋
1 3
π·EF·(DE2＋FC2＋DE·FC)－13π·AE·DE2
＝13π×5×(5 3)2＋13π×4×[( 3)2＋(5 3)2＋ 3×5 3]－13
π×1×( 3)2＝248π(cm3)．
答：所得的旋转体的体积为 248πcm3.
第三十三页，共47页。
体积为8的一个正方体，其全面积(miàn jī)与球O的表面积 (miàn jī)相等，则球O的体积等于________．
[答案]
8 6π π
[解析] 设正方体棱长为 a，球半径为 r.
∵a3＝8，∴a＝2，又∵4πr2＝6a2，∴r＝
6 π.
∴V 球＝43π
6π3＝8
6π π.
第四十二页，共47页。
思想方法技巧
第四十三页，共47页。
割补法 如图，在多面体ABCDEF中，
已知面ABCD是边长为4的正方形，AB∥EF，EF＝2，EF与平面 AC的距离(jùlí)为3，求该多面体的体积．
第四十四页，共47页。
[分析] 该多面体不是规则几何体，不易直接求体积，需要 (xūyào)将其分割转化为多个锥体的体积和．
∴旋转后所得几何体的体积 V＝13π·BF·FC2＋13π·EF·(DE2＋ FC2＋DE·FC)
＝13π×5×(5 3)2＋13π×4×[( 3)2＋(5 3)2＋ 3×5 3] ＝249π(cm3)． 答：所得的旋转体的体积为 249πcm3.
第三十九页，共47页。
[辨析] 错解中，将所得旋转体漏掉了扣除以圆台上底面为 底面，高为1cm的圆锥(yuánzhuī)的体积．
第四十一页，共47页。
所以旋转后所得几何体的体积为
V
＝
1 3
π·BF·FC2
＋
1 3
π·EF·(DE2＋FC2＋DE·FC)－13π·AE·DE2
＝13π×5×(5 3)2＋13π×4×[( 3)2＋(5 3)2＋ 3×5 3]－13
π×1×( 3)2＝248π(cm3)．
答：所得的旋转体的体积为 248πcm3.
第三十三页，共47页。
体积为8的一个正方体，其全面积(miàn jī)与球O的表面积 (miàn jī)相等，则球O的体积等于________．
[答案]
8 6π π
[解析] 设正方体棱长为 a，球半径为 r.
∵a3＝8，∴a＝2，又∵4πr2＝6a2，∴r＝
6 π.
∴V 球＝43π
6π3＝8
6π π.
第四十二页，共47页。
思想方法技巧
第四十三页，共47页。
割补法 如图，在多面体ABCDEF中，
已知面ABCD是边长为4的正方形，AB∥EF，EF＝2，EF与平面 AC的距离(jùlí)为3，求该多面体的体积．
第四十四页，共47页。
[分析] 该多面体不是规则几何体，不易直接求体积，需要 (xūyào)将其分割转化为多个锥体的体积和．
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3.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、 台、球等常见的几何体的体积和.
.
18
作业
P32：练习A组1、2；练习B组2；习题1-1A组10；习题11B组4、5、6
.
19
.
20
例4:
已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.
求：(1）棱锥B1-A1BC1的体积 。
V V A1
解:
下底边长分别等于60cm和40cm，求它的深度．7 5 c m
V柱体Sh
S = S'
1 V台体3S SS'S' h
S' = 0
1 V锥体 3 S h
S=S'
S'
S'=0
S
S
S
（429年～500年）
.
6
问题：两个底面积相等、高也相等的柱 体或锥体的体积如何？
.
7
棱柱和圆柱的体积
h
s
S
S
底面积相等，高也相等的柱体的体积也相等
.
8
二、几何体的体积 1．柱体的体积
V柱体= sh
V圆柱= r2h
等底面积、等高的锥体间的体积有何关系? 类似的,底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等.
1.1.7柱、锥、台和球的体积
1. 掌握柱、锥、台和球体的体积的求法.（重点） 2.了解柱、锥、台和球的体积计算公式；能运用柱、锥 、台和球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关
的实际问题.（难点）
.
2
一、问题： ⑴若长方形的长和宽分别为a和b，你能表示它
的面积吗？ S长方形＝ab
⑵若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么 它的体积如何计算呢？
求：棱锥C1-BA1D的体积？
D1
C1
A1
B1
DO
A
.
C
B
23
练习4:
(方法2)
D1 A1
D D1
D A
已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1. 求：棱锥C1-BA1D的体积？
C1 D1
A
1
C
1
D
B
1
D A
C
A1 B
B
.
C1
C B
C1 B
1
B 24
1．用一张长12cm、宽8cm的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，
求这个圆柱的体积． 2 8 8 c m 3 或 1 9 2 c m 3
2．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为 4cm，
现将它熔化后铸成一个正方体的铜块，那么铸成的铜
块的棱长为多少（不计损耗）？4 c m 3．若一个六棱锥的高为10cm，底面是边长为6cm大的正
六边形，求这个六棱锥的体积．180 3cm3 4．一个正四棱台形油槽可以装没有190升，假如它的上、
S为底面积,h为高.
s
s
.
10
2．锥体体积
A1
以三棱柱为例
C1 B1
A
C
B
如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是Ｓ，
高是ｈ，那么它的体积是：
V锥体
1 3
Sh
如果圆锥的底面半径是ｒ，高是ｈ，那么它的
体积是：
Ｖ圆锥＝
1 3
πｒ２ｈ
h
h
S
S
.
S
12
3．台体的体积
设棱台上底面积为S‘， 下底面积为S，高为h， 大棱锥的高为h1，小 棱锥的高为h2，则
D1
解 V : V A1
A 1D 1C 1A B C D 正 方 A 1B 1D 1 体 C 1A B C D
V棱B 锥 A1B1C1
a31a3 6
D
5 a3
A
6
所以多面体A1D1C1-ABCD的体积为
5 a3 6
.
C1 B1
C B
22
练习4:
(方法1)
已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.
我国古代著名数学家祖冲之在计算圆周 率等问题方面有着光辉的成就。祖冲之的儿 子祖暅也在数学上有突出贡献。祖暅在实践 的基础上，于5世纪末提出了这个体积计算原
理。 祖暅提出这个原理，要比其他国家的数 学家早一千多年。在欧洲直到17世纪，才有 意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri .B， 1598年--1647年）提出上述结论。
VV P AB C V P D A B C D
1(S SSS)h 3
两个底面积相等、高也相等的棱台（圆台）的体积 相等
1
Ｖ圆台＝ 3 πh
(r12r1r2r22)
柱、锥、台体积的关系：
S S
S 0
V柱体=Sh
V台体 1 3(S SSS)h
1 V锥体= 3 ShFra bibliotek.14
5、球的体积
R R
V球
=
4 3
C
的底面面积为
1S 2
高是h,所以棱锥
CAA'DD'
B
的体积 VCA'DD1312Sh16Sh余下的体积
Sh1Sh5Sh 66
所以体积比为 1 : 5
1.柱体、锥体、 台体的体积
.
柱体 V Sh
S S'
台体V1(S SSS)h 3 S'0
锥体 V 1 S h 3
17
2.球的体积公式
V球=3 4πR31 34R2R
πR3
.
15
例 1：如图，在长方体 A B C D A B C D 中，
截下一个棱锥 CADD ,求棱锥的体积与剩
余部分的体积之比。
D'
解： 长方体可以看成直四棱柱 AD'AD ' BC'BC '
A'
设它的底面 ADD'A' 面积为S，高为h，
C' B'
则它的体积为V Sh因为棱锥 CA'DD' D
V长方体＝abc
你能否用另外一种形式来表示长方体的体积 呢？
V长方体＝Sh
取一摞书放在桌面上(如图所示) ，并改变它们 的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？
.
4
作图验证
.
5
祖暅原理 ：幂势既同，则积不容异。
两等高的几何体,若在所有等高处的水平截面的面积相等 ，则这两个几何体的体积相等．
棱B 1锥 A 1B1C 棱B 锥 A 1B 1 C 1
1 3SA1B1C1 BB1
11a2 a 3 2
1 a3
A
6
所以棱锥B1-A1BC1的体积为
1 a3 6
D1
O D
.
C1 B1
B
21
例4:
已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.
求：(2）多面体A1D1C1-ABCD的体积？
.
18
作业
P32：练习A组1、2；练习B组2；习题1-1A组10；习题11B组4、5、6
.
19
.
20
例4:
已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.
求：(1）棱锥B1-A1BC1的体积 。
V V A1
解:
下底边长分别等于60cm和40cm，求它的深度．7 5 c m
V柱体Sh
S = S'
1 V台体3S SS'S' h
S' = 0
1 V锥体 3 S h
S=S'
S'
S'=0
S
S
S
（429年～500年）
.
6
问题：两个底面积相等、高也相等的柱 体或锥体的体积如何？
.
7
棱柱和圆柱的体积
h
s
S
S
底面积相等，高也相等的柱体的体积也相等
.
8
二、几何体的体积 1．柱体的体积
V柱体= sh
V圆柱= r2h
等底面积、等高的锥体间的体积有何关系? 类似的,底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等.
1.1.7柱、锥、台和球的体积
1. 掌握柱、锥、台和球体的体积的求法.（重点） 2.了解柱、锥、台和球的体积计算公式；能运用柱、锥 、台和球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关
的实际问题.（难点）
.
2
一、问题： ⑴若长方形的长和宽分别为a和b，你能表示它
的面积吗？ S长方形＝ab
⑵若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么 它的体积如何计算呢？
求：棱锥C1-BA1D的体积？
D1
C1
A1
B1
DO
A
.
C
B
23
练习4:
(方法2)
D1 A1
D D1
D A
已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1. 求：棱锥C1-BA1D的体积？
C1 D1
A
1
C
1
D
B
1
D A
C
A1 B
B
.
C1
C B
C1 B
1
B 24
1．用一张长12cm、宽8cm的矩形铁皮围成圆柱形的侧面，
求这个圆柱的体积． 2 8 8 c m 3 或 1 9 2 c m 3
2．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为 4cm，
现将它熔化后铸成一个正方体的铜块，那么铸成的铜
块的棱长为多少（不计损耗）？4 c m 3．若一个六棱锥的高为10cm，底面是边长为6cm大的正
六边形，求这个六棱锥的体积．180 3cm3 4．一个正四棱台形油槽可以装没有190升，假如它的上、
S为底面积,h为高.
s
s
.
10
2．锥体体积
A1
以三棱柱为例
C1 B1
A
C
B
如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是Ｓ，
高是ｈ，那么它的体积是：
V锥体
1 3
Sh
如果圆锥的底面半径是ｒ，高是ｈ，那么它的
体积是：
Ｖ圆锥＝
1 3
πｒ２ｈ
h
h
S
S
.
S
12
3．台体的体积
设棱台上底面积为S‘， 下底面积为S，高为h， 大棱锥的高为h1，小 棱锥的高为h2，则
D1
解 V : V A1
A 1D 1C 1A B C D 正 方 A 1B 1D 1 体 C 1A B C D
V棱B 锥 A1B1C1
a31a3 6
D
5 a3
A
6
所以多面体A1D1C1-ABCD的体积为
5 a3 6
.
C1 B1
C B
22
练习4:
(方法1)
已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.
我国古代著名数学家祖冲之在计算圆周 率等问题方面有着光辉的成就。祖冲之的儿 子祖暅也在数学上有突出贡献。祖暅在实践 的基础上，于5世纪末提出了这个体积计算原
理。 祖暅提出这个原理，要比其他国家的数 学家早一千多年。在欧洲直到17世纪，才有 意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri .B， 1598年--1647年）提出上述结论。
VV P AB C V P D A B C D
1(S SSS)h 3
两个底面积相等、高也相等的棱台（圆台）的体积 相等
1
Ｖ圆台＝ 3 πh
(r12r1r2r22)
柱、锥、台体积的关系：
S S
S 0
V柱体=Sh
V台体 1 3(S SSS)h
1 V锥体= 3 ShFra bibliotek.14
5、球的体积
R R
V球
=
4 3
C
的底面面积为
1S 2
高是h,所以棱锥
CAA'DD'
B
的体积 VCA'DD1312Sh16Sh余下的体积
Sh1Sh5Sh 66
所以体积比为 1 : 5
1.柱体、锥体、 台体的体积
.
柱体 V Sh
S S'
台体V1(S SSS)h 3 S'0
锥体 V 1 S h 3
17
2.球的体积公式
V球=3 4πR31 34R2R
πR3
.
15
例 1：如图，在长方体 A B C D A B C D 中，
截下一个棱锥 CADD ,求棱锥的体积与剩
余部分的体积之比。
D'
解： 长方体可以看成直四棱柱 AD'AD ' BC'BC '
A'
设它的底面 ADD'A' 面积为S，高为h，
C' B'
则它的体积为V Sh因为棱锥 CA'DD' D
V长方体＝abc
你能否用另外一种形式来表示长方体的体积 呢？
V长方体＝Sh
取一摞书放在桌面上(如图所示) ，并改变它们 的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？
.
4
作图验证
.
5
祖暅原理 ：幂势既同，则积不容异。
两等高的几何体,若在所有等高处的水平截面的面积相等 ，则这两个几何体的体积相等．
棱B 1锥 A 1B1C 棱B 锥 A 1B 1 C 1
1 3SA1B1C1 BB1
11a2 a 3 2
1 a3
A
6
所以棱锥B1-A1BC1的体积为
1 a3 6
D1
O D
.
C1 B1
B
21
例4:
已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.
求：(2）多面体A1D1C1-ABCD的体积？