高中数学方法转化与化归思想

归纳拓展
本题若从正面讨论则需分类讨论求解， 本题若从正面讨论则需分类讨论求解， 繁不堪
轴相交”着手， 言，但从其反面“三条抛物线都不与 x 轴相交”着手，求出 但从其反面“ a 的取值范围，再求其补集，则使问题简单得多了．一个题 的取值范围，再求其补集，则使问题简单得多了． 目若出现多种成立的情况，则不成立的情况一般较少，易从 目若出现多种成立的情况，则不成立的情况一般较少， 反面考虑，在概率计算中有较多这样的问题． 反面考虑，在概率计算中有较多这样的问题．
解析 设 f(x)＝2x， ，则符合题意，结合图象知④正确．
四、函数、不等式、方程之间的转化 函数、不等式、 m 例 4 设函数 f(x)＝ex－1＋ (m∈R)， ＝ ∈ ， x (1)若 f(x)在(1,2)上为单调减函数，求实数 m 的取值范围； 若 上为单调减函数， 的取值范围； 在 上为单调减函数 (2)若 f(x)在 x＝1 处有极值，且函数 g(x)＝f(x)－n 在 (0， 若 在 ＝ 处有极值， ＝ － ， ＋∞)上有零点，求 n 的最小值． 上有零点， 的最小值． 上有零点
归纳拓展 本题如果从已知条件 a2＝ a1·a9⇒(a1＋2d)2＝ a1(a1 3 a1＋a3＋a9 的关系后，代入所求的式子： ＋ 8d)，解得 a1 与 d 的关系后，代入所求的式子： ， a2＋ a4＋ a10 a1＋ (a1＋2d)＋(a1＋ 8d) ＋ 也能求解，但计算较繁锁， ＝ ，也能求解，但计算较繁锁， (a1＋d)＋(a1＋ 3d)＋(a1＋9d) ＋ ＋ 易错． 因此， 把抽象数列转化为具体的简单的数列进行分析， 易错． 因此 ， 把抽象数列转化为具体的简单的数列进行分析， 可以很快得到答案． 可以很快得到答案．
＋ ＋ － λ·2k＝ [(k－1)＋1]λk 1＋ 2k 1. － ＋ ＋ ＋
这就是说， 这就是说，当 n＝k＋1 时等式也成立． ＝ ＋ 时等式也成立． 可知， － ∈ 都成立． 由①②可知， an＝ (n－1)λn＋2n 对任意 n∈N*都成立． ①② 可知
时采用了特殊化的方法， 这是归纳—— 归纳拓展 本题求 an 时采用了特殊化的方法， 这是归纳 猜想——证明的归纳推理，当问题难以入手时，应先对特殊 证明的归纳推理，当问题难以入手时， 猜想 证明的归纳推理 情况或简单情形进行观察、分析， 情况或简单情形进行观察、分析，发现问题中特殊的数量或 关系结构或部分元素，然后推广到一般情形， 关系结构或部分元素 ，然后推广到一般情形，以完成从特殊 情形的研究到一般问题的解答的过渡， 这就是特殊化的化归 情形的研究到一般问题的解答的过渡， 策略． 策略． 数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性，解题时 ， 数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性，解题时，有时 需要把一般问题化归为特殊问题， 有时需要把特殊问题化归 需要把一般问题化归为特殊问题， 为一般问题． 为一般问题．
பைடு நூலகம்
(2)简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题 简单化原则：将复杂问题转化为简单问题， 简单化原则 转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法 ， 转化为二维平面问题 ，通过简单问题的解决思路和方法，获得 对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的． 对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的． (3)具体原则：化归方向应由抽象到具体． 具体原则：化归方向应由抽象到具体． 具体原则 (4)和谐统一性原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更 和谐统一性原则：转化问题的条件或结论， 和谐统一性原则 符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使 符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题， 其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律． 其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律． (5)正难则反的原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题 正难则反的原则：当问题正面讨论遇 到困难时 到困难时， 正难则反的原则 的反面；或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的； 的反面；或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的；设法 从问题的反面去探求，使问题获得解决． 从问题的反面去探求，使问题获得解决 ．
变式训练 2 已知集合 A＝{y|y2－(a2＋ a＋1)y＋a(a2＋ 1)>0}， ＝ ＋ ＋ ， B＝{y|y2－ 6y＋8≤0}， A∩B≠∅，则实数 a 的取值范围 ＝ ＋ ≤ ， 若 ∩ ≠ ____________________． 为{a|a>2 或－ 3<a< 3} ．
解析 由题意得 A＝{y|y>a2＋1 或 y<a}，B＝{y|2≤y≤4}， 我们不妨先考虑当 A∩B＝∅时 a 的取值范围．如图：
变式训练 1
e4 e5 e6 ， ， (其中 e 为自然常数 的大小关系是 其中 为自然常数)的大小关系是 16 25 36
e4 e5 e6 ＜ ＜ 16 25 36 ． ____________．
e4 e4 e5 e5 e6 e6 解析 由于 ＝ 2， ＝ 2， ＝ 2，故可构造函数 f(x) 16 4 25 5 36 6 ex e4 e5 e6 ＝ 2，于是 f(4)＝16，f(5)＝ 25，f(6)＝36. x ex ex·x2－ex·2x ex(x2－2x) 而 f′(x)＝ 2′＝ ＝ ，令 f′(x)＞0 x x4 x4 得 x＜0 或 x＞2，即函数 f(x)在(2，＋∞)上单调递增，因 e4 e5 e6 此有 f(4)＜f(5)＜f(6)，即16＜ 25＜ 36.
a≤2 由 2 a ＋1≥4
a≤2 得 a≥ 3或a≤－
3
，
∴a≤－ 3或 3≤a≤2. 即 A∩B＝∅时，a 的取值范围为 a≤－ 3或 3≤a≤2. 而 A∩B≠∅时，a 的取值范围显然是其补集，从而所求范围 为{a|a>2 或－ 3<a< 3}．
三、抽象问题与具体问题的转化 已知等差数列{a 的公差 ≠ ， 例 3 已知等差数列 n}的公差 d≠0，且 a1、 a3、 a9 成等比
分类突破
一、特殊与一般的转化
＋ 在数列{a 中 例 1 在数列 n}中，a1＝2，an＋1＝ λan＋ λn 1＋(2－λ)2n ， － ＋
(n∈N*)，其中 λ＞0.求数列 n}的通项公式． ∈ ， 求数列{a 的通项公式 的通项公式． ＞ 求数列
解
a2＝2λ＋λ2＋(2－λ)×2＝λ2＋22，
a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)×22＝2λ3＋23， a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)×23＝3λ4＋24. 由此猜想数列{an}的通项公式为 an＝(n－1)λn＋2n，n∈N*. 下面用数学归纳法证明． ①当 n＝1 时，a1＝2，等式成立．
时等式成立， ②假设当 n＝k(k≥2 且 k∈N*)时等式成立， ＝ ≥ ∈ 时等式成立 即 ak＝(k－1)λk＋2k， － 那么 ak＋ 1＝ λak＋ λk＋1＋(2－λ)2k＝λ(k－1)λk＋ λ·2k＋λk＋1＋2k＋1 － －
二、正难则反的转化与化归 已知三条抛物线： y＝ y＝ 例 2 已知三条抛物线： ＝x2＋4ax－4a＋3， ＝x2＋ (a－1)x － ＋ ， － 轴相交， ＋ a2，y＝x2＋ 2ax－2a 中至少有一条与 x 轴相交，求实数 ＝ － a 的取值范围． 的取值范围．
∆1＝(4a)2－4(3－4a)<0 2 2 解 令 y＝0，由∆2＝(a－1) －4a <0 ， ∆ ＝(2a)2＋8a<0 3 3 解得－ <a<－1， 2 3 ∴满足题意的 a 的取值范围是 a≤－ 或 a≥－1. 2
变式训练 3 已知定义在实数集 R 上的函数 y＝f(x)恒不为 ＝ 恒不为 零，同时满足 f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且当 x＞0 时，f(x)＞1， ＋ ＝ ， ＞ ＞ ，
④ 一定有________(填序号 ． 填序号)． 那么当 x＜0 时，一定有 ＜ 填序号
＜－1； ① f(x)＜－ ；②－1＜f(x)＜0；③ f(x)＜1；④0＜f(x)＜1. ＜－ ＜ ＜ ； ＜ ； ＜ ＜
3．转化与化归思想常用到的方法 ． (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式 直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、 直接转化法 或基本图形问题． 或基本图形问题． (2)换元法： 换元法： 换元法 运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式 运用“换元 ” 降幂等，把较复杂的函数、方程、 降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于 解决的基本问题． 解决的基本问题． (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式 与空间形 数形结合法：研究原问题中数量关系 解析式 解析式)与空间形 数形结合法 图形)关系 式 (图形 关系，通过互相变换获得转化途径． 图形 关系，通过互相变换获得转化途径． (4)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易 构造法： 构造” 一个合适的数学模型， 构造法 于解决的问题． 于解决的问题． (5)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题， 坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题， 坐标法 是转化方法的一个重要途径． 是转化方法的一个重要途径．
§4 转化与化归思想 方法解读
1．转化与化归思想 ． 所谓转化与化归思想， 所谓转化与化归思想， 就是将待解决的问题和未解决的 问题，采取某种策略， 问题 ，采取某种策略，转化归结为一个已经能解决的问 题； 或者归结为一个熟知的具有确定解决方法和程序的 问题；归结为一个比较容易解决的问题， 问题 ；归结为一个比较容易解决的问题，最终求得原问 题的解． 题的解． 2．转化与化归思想的原则 ． (1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题， 熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题， 熟悉已知化原则 将未知的问题转化为已知问题， 将未知的问题转化为已知问题，以便于我们运用熟知的 知识、经验和问题来解决． 知识、 经验和问题来解决．
13 a1＋ a3＋ a9 数列， 的值是________． 数列， 则 的值是 16 ． a2＋ a4＋ a10
解析 由题意知， 只要满足 a1、 3、 9 成等比数列的条件， a a {an}取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的． 因 此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可选取数列 a1＋a3＋a9 1＋3＋9 13 * an＝n(n∈N )，则 ＝ ＝ . a2＋a4＋a10 2＋4＋10 16
(6)类比法： 运用类比推理 ，猜测问题的结论 ，易于确定转 类比法：运用类比推理，猜测问题的结论， 类比法 化途径． 化途径． (7)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化 ， 并证 特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化， 特殊化方法 明特殊化后的结论适合原问题． 明特殊化后的结论适合原问题． (8)等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题， 等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题， 等价问题法 达到转化的目的． 达到转化的目的． (9)加强命题法：在证明不等式时 ， 原命题难以得证 ， 往往 加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证， 加强命题法 把命题的结论加强， 把命题的结论加强 ， 即命题的结论加强为原命题的充分条 反而能将原命题转化为一个较易证明的命题， 件 ，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证 明不等式时，原命题往往难以得证 ，这时常把结论加强， 明不等式时，原命题往往难以得证，这时常把结论加强 ，使 之成为原命题充分条件，从而易证． 之成为原命题充分条件 ，从而易证． (10)补集法：如果正面解决问题有困难，可把原问题结果看 补集法：如果正面解决问题有困难， 补集法 作集合 A，而包含问题的整体问题的结果类比为全集 U，通 ， ， 及补集∁ 使原问题得以解决． 过解决全集 U 及补集∁ UA 使原问题得以解决．