(完整版)二次根式及经典习题及答案

二次根式的知识点汇总

知识点一：二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，

如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围

1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意

义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等

于零即可。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没

有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性

（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即

0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质

（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.

知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或

0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；

2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；

3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点

1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平

方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，

而

2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无

意义，而.

二次根式

21.1 二次根式：

1. 有意义的条件是 。

2. 当__________

3. 1

1

m +有意义，则m 的取值范围是 。

4. 当__________x 是二次根式。

5. 在实数范围内分解因式：429__________,2__________x x -=-+=。

6. 2x =，则x 的取值范围是 。

7. 2x =-，则x 的取值范围是 。

8. )1x p 的结果是 。

9. 当15x ≤p 5_____________x -=。

10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。

11. =

成立的条件是 。

12. 若1a b -+()2005

_____________a b -=。

13. )))020x y x x y =-+f p 中，二次根式有（ ）

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）

15. 若23a p p ）

A. 52a -

B. 12a -

C. 25a -

D. 21a -

16. 若A =

=（ ）

A. 2

4a + B. 2

2a + C. ()2

2

2a + D. ()2

2

4a +

17. 若1a ≤

）

A. (1a -

B. (1a -

C. (1a -

D. (1a -

18.

=x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x f D. 2x ≥

19.

）

A. 0

B. 42a -

C. 24a -

D. 24a -或42a - 20.

下面的推导中开始出错的步骤是（ ）

(

)

(

)

()()

123224==-=

=∴=-∴=-Q L L L L L L L L L L L L L

A. ()1

B. ()2

C. ()3

D. ()

4 21. 2440y y -+=，求xy 的值。

22. 当a 1取值最小，并求出这个最小值。

23. 去掉下列各根式内的分母：

())10x f ())21x f

24. 已知2310x x -+=

25. 已知,a b (10b -=，求20052006a b -的值。

21.2 二次根式的乘除

1. 当0a ≤，0b p __________=。

2. _____,______m n ==。

3. __________==。

4. 计算：

_____________=。

5. 面积为，则长方形的长约为 （精确到0.01）。

6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ）

7. 已知0xy f ，化简二次根式的正确结果为（ ）

C. D. 8. 对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ ）

A. 2

a b =+a b =+

22a b =+a b =+

9. -和- ）

A. --f --p C. -=-不能确定

10. ） A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3 11. 计算：

()

1 ()2