格林函数与输运

《多粒子物理学》读书报告：格林函数与输运

内容提要：1概述；

2单粒子性质的格林函数表述；

3用格林函数推导迁移率中1-α项

1概述 1． 1金属中电子输运特性

对于金属

*

m e τμ-

=， μσ0en -=，

τ是输运驰豫时间，它的物理意义是处在某动量本征态的电子的平均寿命，即0=t 时一个处于某动量本征态的电子在τ=t 时完全失去了对其原有动量的记

忆。输运驰豫时间包括各种相互作用的贡献主要有杂质散射﹑电子-声子相互作用﹑电子-电子相互作用等等：

∑=--i

i 11ττ

即输运驰豫时间由各种机构中i τ最小的决定。

绝对零度时，纯金属晶体中电子不受散射，具有无穷大电导。T >0时实际金属的电阻是由电子受到杂质和晶格振动的散射引起的。在室温时，典型金属的电阻率约为10-8Ω.m ，随着温度降低到室温以下，电阻近似线性地减小（图1,see, p.131 in Ref.[1]），在低温时水平地达到一定值。低温时的电阻率与试样的纯度密切相关，对于高纯度的退火单晶体，约可以达到室温电阻率的10-4倍。不纯试样中的附加电阻在整个温度范围内近似地与温度无关。这个事实叫做马赛厄司定则（Mathiessen rule ，又翻译为马提生定则（1862））。这个附加电阻是由于杂质引起的电子散射，在低温下它构成电阻的主要部分。杂质散射电阻与温度无关的事实暗示出可动电子的浓度与温度无关，这与半导体中电子浓度与温度呈指数函数关系大不一样。声子散射电阻依赖于温度，在高温时可变得很大。这两部分电阻具有可加性，因此可分别处理。

上述金属中的杂质不含磁性杂质。磁性杂质的散射将导致低温下电阻值的对数上升，称为近藤(Kondo)效应。

1． 2半导体输运特性

半导体中的散射仍可分为电离杂质和晶格振动的散射两大类。晶格振动的散射又分为声学波和光学波散射两种。声学波通过两种方式散射电子：引起密度变化从而产生形变势（声学声子形变势散射）；在没有反演中心的极性晶体中引起压电极化（压电散射,长声学波明显）。光学波也通过两种方式散射电子：二种不

等价原子之间的相对移动所引起的形变势（光学波形变势散射）；在极性晶体中伴随光学波的极化所产生的微扰势（极性光学波散射）。后者只有纵光学波（LO 声子）才产生，横光学波不产生。对于离子性晶体，这时电子与LO 声子形成极化子（详见后文）。

各种散射机制中，电离杂质散射﹑声学声子形变势散射﹑压电散射中驰豫时间与电子能量的关系可统一地写成[2]

r E 0ττ=

对于不同的散射机构0τ和r 有不同的值。电离杂质散射r =3/2；声学声子形变势散射r =-1/2；压电散射r =1/2。光学声子形变势散射形式比较复杂，这里略。对于极性光学声子散射不能有驰豫时间的定义。

对于不同的散射机构，i τ随温度的变化关系不同。电离杂质散射I τ～2/3T ；声学声子形变势散射as τ～2/3-T ；压电散射PZ τ～2/1-T 。光学声子形变势散射形式比较复杂，这里略。在低温下I τ值最小，所以低温下主要散射机构是电离杂质散射。典型半导体中各种散射机构下迁移率温度的变化关系如图2（p.135 in Ref.2）所示。

一般地0en -=

σμ中电子浓度0n 可通过霍尔效应精确测定，0

n σ

叫做霍尔迁移率，它与我们常规定义的电导率迁移率相差一个常数因子。图3(Fig.7.9 in Ref.3)

是CdTe 霍尔迁移率的温度依赖关系。

1． 3极性光学波散射

长期以来电导问题是用Boltzmann 方程处理的[4]。1958年Edward 首先将格林函数方法应用于输运问题。Kadanoff 和Baym 用格林函数方法证明，在金属中只有k F l >>1时Boltzmann 方程才是正确的，这里k F 是费米波矢，l 是平均自由程。现在格林函数已经用于推导很多不同系统的输运性质，包括Boltzmann 方程不适用的情况。格林函数方法的优点是，用它可以推导出输运系数的准确表达式，然后在各种条件下作近似计算。

严格的计算必须同时考虑晶格振动和杂质对电子的散射。单独考虑这两种散射时计算方法非常相近。下面只考虑晶格振动（LO 声子）的散射，不考虑杂质散射，电子哈密顿为Frohlich 极化子的哈密顿[3]

)(12

/10

0+

-+++

++∑

+

∑+∑=q q p qp

q p q q

q p p

p p a a c c q

M a a c c H νωε (7.2.1)

2

/12

/3020

)

2()(4B m M ωπα =

)11()2(02/102εεωα-=∞ B m e

B

p m p 22

=ε 其中0ω为LO 声子的频率。我们讨论弱耦合(1<<α)的情况，所以极化子尺寸很大，是所谓的大极化子。 1． 4极化子迁移率理论

有许多关于极化子迁移率的理论[3]，例如 （1）通过求解Boltzmann 方程(BE)；

（2）通过计算电流-电流关联函数（见后文）；

><⎰-=)0().(1)(0

u u i j j T e d i ττν

ωπτβ

ωτ

式中u 是(x,y,z )之一，当系统各向同性时><>=

<)0().(3

1

)0().(j j T j j T u u ττττ所以 ><⎰-=)0().(31)(0

j j T e d i i ττνωπτβ

ωτ。

令δωωi i +→则可由电流-电流关联函数得到推迟的电流-电流关联函数。

]})

({Im[lim 0ω

ωπσωret →-=(久保公式)

0→ω说明得到的是直流电导。在久保公式中，为了求直流电导需要先计算交流

电导，然后取极限0→ω。若开始就从直流电场出发则计算要麻烦一些。久保的上述理论又叫线性响应理论。 （3）通过计算力-力关联函数；

><⎰-=)0().(31)(0

F F T e d i R i ττωτβ

ωτ

令δωωi i +→则可由力-力关联函数得到推迟的力-力关联函数。

]})({Im[lim 1

020

2ωωρωret R n e →-=

力-力关联函数的严格推导是由Mahan 给出的。

（4）通过求解量子Boltzmann 方程(QBE)。

QBE 与BE 的差别是：BE 是关于分布函数 ),,(t r v f 的微分方程；而 QBE 是关于Wigner 分布函数 ),,,(t r k f ω的微分方程。