解直角三角形专题复习
中考数学专题复习：解直角三角形
中考数学专题复习：解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在RE△ABC中,∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则∠A的正弦可表示为：sinA= ,∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ,它们弦称为∠A的锐角三角函数【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与有关,与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< cosA< tanA> 】二、特殊角的三角函数值：【名师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的,要在理解的基础上结合表格进行记忆2、当时,正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而sin A3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=⑵若∠A+∠B=900,则sinA= cosA.tanB= 】三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素,求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：RT∠ABC中,∠C900 三边分别为a、b、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形,再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度,用i表示,即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示,则i=hl=⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA表示OB表示OC表示（也可称西南方向）3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形,转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形⑶解数学问题答案,从而得到实际问题的答案【名师提醒：在解直角三角形实际应用中,先构造符合题意的三角形,解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例1 （•内江）如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255思路分析：利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O,根据网格的特点,CD⊥AB,在Rt△AOC中,CO=2211+=2；AC=2213+=10；则sinA=OCAC=25510=．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理,作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．对应训练1．（•贵港）在平面直角坐标系中,已知点A（2,1）和点B（3,0）,则sin∠AOB的值等于（）A．55B．52C．32D．121．A考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质；勾股定理．专题：计算题．分析：过A作AC⊥x轴于C,利用A点坐标为（2,1）可得到OC=2,AC=1,利用勾股定理可计算出OA,然后根据正弦的定义即可得到sin∠AOB的值．解答：解：如图过A作AC⊥x轴于C,∵A点坐标为（2,1）,∴OC=2,AC=1,∴OA=22OC AC+=5,∴sin∠AOB=1555ACOA==．故选A．点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中,一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了点的坐标与勾股定理．考点二：特殊角的三角函数值例2 （•孝感）计算：cos245°+tan30°•sin60°= ．思路分析：将cos45°=22,tan30°=33,sin60°=32代入即可得出答案．解：cos245°+tan30°•sin60°=12+33×32=12+12=1．故答案为：1．点评：此题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键．对应训练（•南昌）计算：sin30°+cos30°•tan60°．思路分析：分别把各特殊角的三角函数代入,再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．解：原式=13322+⨯=1322+=2．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．考点三：化斜三角形为直角三角形例3 （•安徽）如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长．6．思路分析：过C作CD⊥AB于D,求出∠BCD=∠B,推出BD=CD,根据含30度角的直角三角形求出CD,根据勾股定理求出AD,相加即可求出答案．解：过C作CD⊥AB于D,∴∠ADC=∠BDC=90°,∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD,∵∠A=30°,AC=23,∴CD=3,∴BD=CD=3,由勾股定理得：AD=22=3,AC CD∴AB=AD+BD=3+3,答：AB的长是3+3．点评：本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质和判定,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,关键是构造直角三角形,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目．对应训练3．（•重庆）如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形．若AB=2,求△ABC的周长．（结果保留根号）3．考点：解直角三角形；三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：根据等边三角形性质求出∠B=60°,求出∠C=30°,求出BC=4,根据勾股定理求出AC,相加即可求出答案．解答：解：∵△ABD是等边三角形,∴∠B=60°,∵∠BAC=90°,∴∠C=180°－90°－60°=30°,∴BC=2AB=4,在Rt△ABC中,由勾股定理得：AC=2222BC AB-=-=,4223∴△ABC的周长是AC+BC+AB=23+4+2=6+23．答：△ABC的周长是6+23．点评：本题考查了勾股定理,含30度角的直角三角形,等边三角形性质,三角形的内角和定理等知识点的应用,主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力,此题综合性比较强,是一道比较好的题目．考点四：解直角三角形的应用例4 （•张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=15千米,CD=32千米,请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数,2≈1.41436≈2.45）（2）求∠ACD的余弦值．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）连接AC ,根据AB =BC =15千米,∠B =90°得到∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米,再根据∠D =90°利用勾股定理求得AD 的长后即可求周长和面积； （2）直接利用余弦的定义求解即可． 解：（1）连接AC∵AB =BC =15千米,∠B =90°∴∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米 又∵∠D =90°∴AD =22 -AC CD =22(152)(32)123-=（千米）∴周长=AB +BC +CD +DA =30+32+123=30+4.242+20.784≈55（千米） 面积=S △ABC +18 6 ≈157（平方千米） （2）cos ∠ACD =CD 321==AC 5152点评：本题考查了解直角三角形的应用,与时事相结合提高了同学们解题的兴趣,解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解． 对应训练6．（•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图,观测点设在A 处,离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒,∠BAC =75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米,参考数据：sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,3≈1.732,60千米/小时≈16.7米/秒）考点：解直角三角形的应用．专题：计算题．分析：（1）由于A到BC的距离为30米,可见∠C=90°,根据75°角的三角函数值求出BC的距离；（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度,与60千米/小时进行比较即可．解答：解：（1）法一：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=75°,AC=30,∴BC=AC•tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）．法二：在BC上取一点D,连接AD,使∠DAB=∠B,则AD=BD,∵∠BAC=75°,∴∠DAB=∠B=15°,∠CDA=30°,在Rt△ACD中,∠ACD=90°,AC=30,∠CDA=30°,∴AD=60,CD=303,BC=60+303≈112（米）（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7 （米/秒）=60（千米/小时）∴此车没有超过限制速度．点评：本题考查了解直角三角形的应用,理解正切函数的意义是解题的关键．【聚焦山东中考】1．（•济南）如图,在8×4的矩形网格中,每格小正方形的边长都是1,若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上,则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．31．A考点：锐角三角函数的定义．A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定3考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．分析：首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA－12=0,sinB－22=0,然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数,再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数即可．解答：解：∵|cosA－12|+（sinB－22）2=0,∴cosA－12=0,sinB－22=0,∴cosA=12,sinB=22,∴∠A=60°,∠B=45°,则∠C=180°－∠A－∠B=180°－60°－45°=75°,故答案为：75°．点评：此题主要考查了非负数的性质,特殊角的三角函数值,三角形内角和定理,关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．5．（•潍坊）校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于21米,在l上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米,参考数据：3=1.73,2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速？说明理由．5．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中,利用正切函数,即可求得AD与BD的长,继而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒,即可求得这辆校车的速度,比较与40千米/小时的大小,即可确定这辆校车是否超速．解答：解：（1）由題意得,在Rt△ADC中,AD=CD==21 3tan303=36.33,在Rt△BDC中,BD=CD==7 3tan303=12.11,则AB=AD－BD=36.33－12.11=24.22≈24.2（米）。
24 解直角三角形复习
2.如图2，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学 帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分 别是0.5米和15米，已知小华的身高为1.6米， 那么分所住楼房的高度 为________米．
3．如图3，两建筑物AB和CD的水平 距离为30米，从A点测得D点的俯角为 30°，测得C点的俯角为60°，则建 筑物CD的高为______米．
2 2
1
60°
1 2
3 2
3 3
3 2
300 450
1 2
1 2
2
3
450
1
┌
600
1
┌
3
概念反馈
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
（1）仰角和俯角
（2）坡度
tan α ＝
视线
h
l
铅 垂 线
仰角 水平线
俯角
北
α为坡角
视线
h α
A
（3）方位角
西
30°
l
B
O 45°
南
东
解直角三角形：(如图)
铁塔底部B的仰角为45°．已知塔高AB=20m，观察点
E到地面的距离EF=35m，求小山BD的高（精确到 0.1m，
3 ≈1.732）．
题型4 应用举例
1．有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知
道树高的人．小敏想知道校园内一棵大树的高（如图 1），她测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮助她算 出树高AB约为________米．（注：①树垂直于地面； ②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64， tan50°≈1.2）
题型3 解斜三角形
1、如图6所示，已知：在△ABC中，∠A=60°， ∠B=45°，AB=8，求△ABC的面积（结果可保留根 号）．
《解直角三角形》中考复习
解直角三角形教学目标：（1）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA,cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值。
（2）能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
（3）能利用已知三角函数值，进行计算和化简。
（4）了解正弦余弦和正切间的关系解决问题。
同时能在实际问题中找到直角三角形，利用锐角三角函数解决实际问题。
教学重点：用锐角三角函数解直角三角形。
教学难点：利用锐角三角函数解决实际问题。
教学过程：一、知识梳理1、锐角三角函数的定义2、特殊角的三角函数值3、解直角三角形4、在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念 （1视线铅垂线水平线（2）方位角（3）坡度：tan α=h/l5、同角三角函数之间的关系： Sin 2α+cos 2α=1tan α=aa cos sin6、互余两角的三角函数关系： sin(900-α)=cos α cos(900-α)=sin α7、函数的增减性：（00<α<900）（1）sin α,tan α的值都随着α的增大而增大 （2）Cos α的值随着α的增大而减小 二、典型例题 （一）基础检测1、 [2014·威海] 如图22－1，在网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是( )图22－1A.3 1010 B .12 C .13 D .10102、已知∠A 为锐角，sinA ＝1715，求cosA 、tanA 的值。
3、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求∠A 的三角函数值。
（1）a=9 b=12 (2)a=5 b=124、在△ABC 中，AB=AC ＝4，BC=6，求∠B 的三角函数值。
5、如图,在Rt △ABC 中,锐角A 的邻边和斜边同时扩大100倍,tanA 的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍C.不变D.不能确定6、(2015·丽水）如图,点A 为∠α边上的任意一点,作AC ⊥BC 于点C ,CD ⊥AB 于点D ,下列用线段比表示cos α的值,错误．．的是( ) A.BD BC B.BC AB C.AD AC D.CD AC（二）考点分类类型之一 求三角函数值例 [2013·四川] 如图23－1所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为 ( )图23－1A.12B.55C.1010D.255类型之二 特殊锐角的三角函数值的应用命题角度：1. 30°、45°、60°的三角函数值；2. 已知特殊三角函数值，求角度．例 1 [2012·济宁] 在△ABC 中，若∠A 、∠B 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos A －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B －222＝0，则∠C ＝________.例2（2015•绍兴）计算：1)21(41)1(45cos 2-+++-︒π练一练1、（2015·金华）如图，正方形ABCD 和正三角形AEF 都内接于⊙O ，EF 与BC，ADα(第6题)CD 分别相交于点G ，H ，则EFGH的值是【 】A.B. C.D. 22、（2015·湖州）如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D ，若OD =2，tan ∠OAB =，则AB 的长是( ) A. 4 B. 2C. 8D. 4类型之三 解直角三角形 命题角度：利用三角函数解直角三角形；例1（2016丽水）数学拓展课程《玩转学具》课堂中,小陆同学发现:一副三角板中,含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等.于是,小陆同学提出一个问题:如图,将一副三角板直角顶点重合拼放在一起,点B ,C ,E 在同一直线上.若BC=2,求AF 的长.请你运用所学的数学知识解决这个问题.例2（2015衢州）如图，已知某广场菱形花坛ABCD 的周长是24米，60BAD ∠=︒，2623(第19题)则花坛对角线AC 的长等于【 】A. B. 6米 C. D. 3米例3（2016衢州）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A=30°，则sin ∠E 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．三、拓展提高1、（2015绍兴）如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是45°，向前走6m 到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和30°。
解直角三角形专题
解直角三角形(1)一、专题考点归纳（一）热点透析1．通过实际问题引入锐角三角函数以及直角三角形的边角关系，让学生理解锐角三角函数的概念。
2、通过综合运用勾股定理，直角三角形两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。
3．通过教把实际问题转化为直角三角形问题的教学引入，从而引导学生把实际问题转化为数学问题来解决，善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系4．在实际应用过程中深入对三角函数知识的理解，培养分析问题的能力，逐步渗透数形结合、化归、方程等数学思想方法。
（二）知识回顾(一)对知识点的考查：(二)考试热点：在中考试卷中，对于锐角三角形的概念，直角三角形中的边角关系，简单的解直角三角形等知识点的考查多以填空题和和选择题的形式出现，而运用解直角三角的知识解决实际问题，则成为近年来中考的热点。
(三)考试命题趋势及学习对策：针对中考命题趋势，解直角三角形问题，关键是正确运用直角三角形中的边角关系，同时要注意运用勾股定理、代数式的变形及方程思想。
解非直角三角形时，一定要通过作辅助线构造出直角三角形，将非直角三角形问题转换为直角三角形问题。
本知识点复习备考时应注意以下几点：1、熟练掌握锐角三角函数的概念，灵活应用特殊三角函数值来解决相关计算、求直角三角形的边和角等问题，能根据实际情况构造、构造出直角三角形解决问题。
2、解答有关斜角问题时，能灵活地将其转换为易解答的直角三角形问题求解。
二、高频考点专题链接考点一：直角三角形的性质考点讲解：1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
可表示如下：∠A=30°∠C=90°⇒BC=21AB ∠C=90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可表示如下：∠ACB=90°D 为AB 的中点⇒CD=21AB=BD=AD 4、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+5、射影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90°CD ⊥AB ⇒ AB AD AC ∙=2，BD AD CD ∙=2，AB BD BC ∙=26、常用关系式，由三角形面积公式可得：等面积法AB ∙CD=AC ∙BC考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
辅导解直角三角形概念及复习教案及习题附答案
解直角三角形一、知识点讲解：1．解直角三角形的依据在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么（1）三边之间的关系为（勾股定理）（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系为2．其他有关公式面积公式：（hc为c边上的高）3．解直角三角形的条件在除直角C外的五个元素中，只要已知其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余三个元素。
4．解直角三角形的关键是正确选择关系式在直角三角形中，锐角三角函数是勾通三角形边角关系的结合部，只要题目中已知加未知的三个元素中有边，有角，则一定使用锐角三角函数，应如何从三角函数的八个公式中迅速而准确地优选出所需要的公式呢？（1）若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某三角函数（2）若求角：一般用已知边比已知边（斜边放在分母），去寻找未知角的某三角函数。
（3）在优选公式时，尽量利用已知数据，避免“一错再错”和“累积误差”。
5．解直角三角形时需要注意的几个问题（1）在解直角三角形时，是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小，这是数形结合为一种形式，所以在分析问题时，一般先根据已知条件画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之间的关系去进行计算，这样可以帮助思考，防止出错。
（2）有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而把它们转化为直角三角形的问题来解决。
（3）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算二、例题解析：例1、已知直角三角形的斜边与一条直角边的和是16cm，另一条直角边为8cm，求它的面积，解：设斜边为c，一条直角边为a，另一条直角边b=8cm，由勾股定理可得，由题意，有c+a=16 ，b=8例2、在△ABC中，求：a、b、c的值及∠A。
解：，由直角三角形的边角关系，得，即又∵a+b=3+例3、已知△ABC中，∠C=90°，若△ABC的周长为30，它的面积等于30，求三边长。
中考数学复习专题15解直角三角形
解直角三角一、单选题1．（2021·浙江温州市）图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若1AB BC ==．AOB α∠=，则2OC 的值为（ ）A ．211sin α+B ．2sin 1α+C ．211cos α+D ．2cos 1α+【答案】A【分析】根据勾股定理和三角函数求解．【详解】∵在Rt OAB 中，AOB α∠=，1AB =∴1=sin sin AB OB αα= 在Rt OBC 中，1BC =，2222221111sin sin OC OB BC αα⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭故选：A ． 【点睛】本题主要考查勾股定理和三角函数．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ．2．（2021·浙江金华市）如图是一架人字梯，已知2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC 为（ ）A ．4cos α米B ．4sin α米C ．4tan α米D ．4cos α米【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得到12BD DC BC ==，根据余弦的定义即可，得到答案． 【详解】过点A 作AD BC ⊥，如图所示：∵AB AC =，AD BC ⊥，∴BD DC =，∵DC co ACα=，∴cos 2cos DC AC αα=⋅=， ∴24cos BC DC α==，故选：A ． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键．3．（2021·湖北随州市）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知3sin cos 5αβ==，则梯子顶端上升了（ ）A ．1米B ．1.5米C ．2米D ．2.5米【答案】C 【分析】根据梯子长分别利用三角函数的正弦定义求出CD =CE sin β与AD =AB sin α，两线段作差即可．【详解】解：如图所示标记字母，根据题意得AB =CE =10米，∵sin β45===， 在Rt △ECD 中，sin 4105CD CD CE β===，∴CD =410=85⨯， 在Rt △ABD 中，sin 3=105AD AD AB α==，∴310=65AD =⨯，∴AC =CD -AD =8-6=2．故选择C ．【点睛】本题考查三角函数的定义，解直角三角形，掌握正弦与余弦的平方关系以及锐角三角函数的定义是解题关键．4．（2021·湖南株洲市）某限高曲臂道路闸口如图所示，AB 垂直地面1l 于点A ，BE 与水平线2l 的夹角为()090αα︒≤≤︒，12////EF l l ，若 1.4AB =米，2BE =米，车辆的高度为h （单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度．①当90α=︒时，h 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；②当45α=︒时，h 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；③当60α=︒时，h 等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．则上述说法正确的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【分析】①,,A B E 三点共线，直接计算可得；②做出辅助线，构造直角三角形，利用特殊角的三角函数，求出h ；③方法同②．【详解】如图过E 点作EM AB ⊥交AB 的延长线于点M ，12////EF l l ∴MEB α∠= 则sin h AM AB BE α==+⨯①当90α=︒时,,,A B E 三点共线， 1.42 3.4 3.3h AE AB BE ==+=+=>∴h 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口，故①正确．②当45α=︒时，sin 1.42 1.4 1.41 2.81 2.92h AB BE α=+⨯=+⨯≈+=< ∴h 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故②正确．③当60α=︒时，sin 1.42 1.4 1.73 3.13 3.1h AB BE α=+⨯=+≈+=> ∴ h 等于3.1米的车辆可以通过该闸口，故③错误．综上所述：说法正确的为：①②，共2个．故选：C ．【点睛】本题考查了三角函数的应用，二次根式的估值，正确的作图，计算和对比选项是解题关键． 5．（2021·湖南衡阳市）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC 为6米，则自动扶梯AB 的长约为（sin370.6,cos370.8,tan370.75︒≈︒≈︒≈）（ ）．A ．7.5米B ．8米C ．9米D ．10米【答案】D 【分析】结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得：sin 370.6BC AB ︒=≈ ∵6BC =米∴6100.60.6BC AB ===米故选：D ． 【点睛】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解． 6．（2021·天津）tan30︒的值等于（ ）A B C ．1 D ．2【答案】A【分析】根据30°的正切值直接求解即可．【详解】解：由题意可知，tan 30︒=，故选：A ． 【点睛】本题考查30°的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可．7．（2021·重庆）如图，在建筑物AB 左侧距楼底B 点水平距离150米的C 处有一山坡，斜坡CD 的坡度（或坡比）为1:2.4i =，坡顶D 到BC 的垂直距离50DE =米（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内），在点D 处测得建筑物顶A 点的仰角为50°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin500.77︒≈；cos500.64︒≈；tan50 1.19︒≈）A ．69.2米B ．73.1米C ．80.0米D ．85.7米【答案】D 【分析】作DF ⊥AB 于F 点，得到四边形DEBF 为矩形，首先根据坡度的定义以及DE 的长度，求出CE ，BE 的长度，从而得到DF =BE ，再在Rt △ADF 中利用三角函数求解即可得出结论．【详解】如图所示，作DF ⊥AB 于F 点，则四边形DEBF 为矩形，∴50DE BF ==,∵斜坡CD 的坡度（或坡比）为1:2.4i =，∴在Rt △CED 中，15tan 2.412DE C CE ∠===， ∵50DE =，∴120CE =，∴15012030BE BC CE =-=-=，∴30DF =，在Rt △ADF 中，∠ADF =50°，∴tan tan 50 1.19AF ADF DF∠=︒==， 将30DF =代入解得：35.7AF =，∴AB =AF +BF =35.7+50=85.7米，故选：D ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，理解坡度的定义，准确构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数是解题关键．8．（2021·云南）在ABC 中，90ABC ∠=︒，若s n 3100,5i A A C ==，则AB 的长是（ ） A ．5003 B ．5035 C ．60 D ．80【答案】D【分析】根据三角函数的定义得到BC 和AC 的比值，求出BC ，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵∠ABC =90°，sin ∠A =BC AC =35，AC =100，∴BC =100×3÷5=60，∴AB ，故选D ．【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键．9．（2021·山东泰安市）如图，为了测量某建筑物BC 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B 在同一水平线上的A 点出发，沿斜坡AD 行走130米至坡顶D 处，再从D 处沿水平方向继续前行若干米后至点E 处，在E 点测得该建筑物顶端C 的仰角为60°，建筑物底端B 的俯角为45°，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，斜坡AD 的坡度1:2.4i =．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC 的高度约为（ ）（参1.732≈）A ．136.6米B ．86.7米C ．186.7米D ．86.6米【答案】A 【分析】作DF ⊥AB 于F 点，EG ⊥BC 于G 点，根据坡度求出DF =50，AF =120，从而分别在△BEG 和△CEG 中求解即可．【详解】如图，作DF ⊥AB 于F 点，EG ⊥BC 于G 点，则四边形DFBG 为矩形，DF =BG ，∵斜坡AD 的坡度1:2.4i =，∴15tan 2.412DF DAF AF∠===， ∵AD =130，∴DF =50，AF =120，∴BG =DF =50，由题意，∠CEG =60°，∠BEG =45°，∴△BEG 为等腰直角三角形，BG =EG =50，在Rt △CEG 中，CG EG∴6505136.BC BG CG ≈=+=+米，故选：A ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解坡度的定义，准确构建合适的直角三角形是解题关键．10．（2021·重庆）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA 和N D ．甲在山脚点C 处测得通信基站顶端M 的仰角为60°，测得点C 距离通信基站MA 的水平距离CB 为30m ；乙在另一座山脚点F 处测得点F 距离通信基站ND 的水平距离FE 为50m ，测得山坡DF 的坡度i =1：1.25．若58ND DE =，点C ，B ，E ，F 在同一水平线上，则两个通信基站顶端M 与顶端N 的高度差为（ ）（参考数据：1.73≈≈）A ．9.0mB ．12.8mC ．13.1mD ．22.7m【答案】C 【分析】分别解直角三角形Rt DEF △和Rt MBC ，求出NE 和MB 的长度，作差即可．【详解】解：∵50FE m =，DF 的坡度i =1：1.25，∴:1:1.25DE EF =，解得40m DE =， ∴5258ND DE m ==，∴65NE ND DE m =+=，∵60MCB ∠=︒，30m BC =，∴tan 60MB BC =⋅︒=，∴顶端M 与顶端N 的高度差为6513.1NE MB m -=-≈，故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是解题的关键．11．（2021·四川泸州市）在锐角ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，有以下结论：2sinA sinB sinCa cb R ===（其中R 为ABC的外接圆半径）成立．在ABC 中，若∠A =75°，∠B =45°，c =4，则ABC 的外接圆面积为（ ）A ．163πB ．643πC ．16πD ．64π【答案】A【分析】方法一：先求出∠C ，根据题目所给的定理，2sin c R C = , 利用圆的面积公式S 圆=163π． 方法二：设△ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ⊥AB 于D ，由三角形内角和可求∠C =60°，由圆周角定理可求∠AOB =2∠C =120°，由等腰三角形性质，∠OAB =∠OBA =30，由垂径定理可求AD =BD =2，利用三角函数可求OA，利用圆的面积公式S 圆=163π． 【详解】解:方法一：∵∠A =75°，∠B =45°，∴∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，有题意可知42=sin sin 6032c R C ===︒，∴3R =，∴S 圆=222163R OA ππππ===⎝⎭． 方法二：设△ABC 的外心为O ，连结OA ，OB ，过O 作OD ⊥AB 于D ，∵∠A =75°，∠B =45°，∴∠C =180°-∠A -∠B =180°-75°-45°=60°，∴∠AOB =2∠C =2×60°=120°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA =()1180120302︒-︒=︒， ∵OD ⊥AB ，AB 为弦，∴AD =BD =122AB =，∴AD =OA cos30°， ∴OA=cos302AD ÷︒==S 圆=2221633R OA ππππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为A ．【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键．三、填空题1．（2021·四川广元市）如图，在44⨯的正方形网格图中，已知点A 、B 、C 、D 、O 均在格点上，其中A 、B 、D 又在O 上，点E 是线段CD 与O 的交点．则BAE ∠的正切值为________．【答案】12【分析】由题意易得BD =4，BC =2，∠DBC =90°，∠BAE =∠BDC ，然后根据三角函数可进行求解．【详解】解：由题意得：BD =4，BC =2，∠DBC =90°，∵∠BAE =∠BDC ，∴1tan tan 2BC BAE BDC BD ∠=∠==，故答案为12． 【点睛】本题主要考查三角函数及圆周角定理，熟练掌握三角函数及圆周角定理是解题的关键． 2．（2021·浙江衢州市）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE 与地面平行，支撑杆AD ，BC 可绕连接点O 转动，且OA OB =，椅面底部有一根可以绕点H 转动的连杆HD ，点H 是CD 的中点，F A ，EB 均与地面垂直，测得54cm FA =，45cm EB =，48cm AB =．（1）椅面CE 的长度为_________cm ．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD 绕着支点H 带动支撑杆AD ，BC 转动合拢，椅面和连杆夹角CHD ∠的度数达到最小值30时，A ，B 两点间的距离为________cm （结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈）【答案】40 12.5【分析】（1）过点C 作CM 垂直AF ，垂足为M ，MFC AFB ∆∽，列比例求出CM 长度，则CE =AB -CM ；（2）根据图2可得OCD OBA ∽，对应袋图3中求出CD 长度，列比例求AB 即可．【详解】解：（1）过点C 作CM 垂直AF ，垂足为M ，∵椅面CE 与地面平行，∴MFC AFB ∆∽， ∴54454854CM FM FA EB CM AB FA FA --==⇔=，解得：CM =8cm ， ∴CE =AB -CM =48-8=40cm ；故答案为：40；（2）在图2中，∵OA OB =，椅面CE 与地面平行，∴BCE ADM ∠=∠，∵90AM BE AMD BEC =∠=∠=︒，，∴AMD BEC ≌，∴DM CE =，∴8MC ED cm ==，∴488832CD cm =--=，∵H 是CD 的中点，∴1162CH HD CD ===， ∵椅面CE 与地面平行，∴COD BOA ∽，∴322483CO CD BO AB ===， 图3中，过H 点作CD 的垂线，垂足为N ，因为1162CH HD CD === ，=30CHD ∠︒， ∴15CHN DHN ∠=∠=︒，∴2sin15=8.32CD CH cm =︒，∴28.323CO CD OB AB AB =⇔=， 解得：12.4812.5AB cm =≈，故答案为：12.5．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点，找到对应相似三角形并正确列出比例是解决本题的关键．3．（2021·浙江绍兴市）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD 上，时钟中心在矩形ABCD 对角线的交点O 上．若30cm AB =，则BC 长为_______cm （结果保留根号）．【答案】303 【分析】根据题意即可求得∠MOD =2∠NOD ，即可求得∠NOD =30°，从而得出∠ADB =30°，再解直角三角形ABD 即可．【详解】解：∵时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD 上，时钟中心在矩形ABCD 对角线的交点O ， ∴∠MOD =2∠NOD ， ∵∠MOD +∠NOD =90°，∴∠NOD =30°，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD //BC ，∠A =90°，AD =BC ，∴∠ADB =∠NOD =30°，∴()30==303cm tan 30tan 30==AB BC AD 故答案为：【点睛】本题考查的矩形的性质、解直角三角形等知识；理解题意灵活运用所学知识得出∠NOD =30°是解题的关键．4．（2021·湖北武汉市）如图，海中有一个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60︒方向上；航行12n mile 到达C 点，这时测得小岛A 在北偏东30方向上．小岛A 到航线BC 的距离是__________n mile 1.73≈，结果用四舍五入法精确到0.1）．【答案】10.4【分析】过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，根据题意，得∠ABC =30°，∠ACD =60°，从而得到AC =BC =12,利用sin 60°=AD AC计算AD 即可 【详解】过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，根据题意，得∠ABC =30°，∠ACD =60°，∴∠ABC =∠CAB =30°，∴AC =BC =12,∵sin 60°=AD AC ，∴AD =AC sin 60°=122⨯ 1.73610.38≈⨯=≈10.4故答案为：10.4. 【点睛】本题考查方位角，解直角三角形，准确理解方位角的意义，构造高线解直角三角形是解题的关键． 5．（2021·四川乐山市）如图，已知点(4,3)A ，点B 为直线2y =-上的一动点，点()0,C n ，23n -<<，AC BC ⊥于点C ，连接AB ．若直线AB 与x 正半轴所夹的锐角为α，那么当sin α的值最大时，n 的值为________．【答案】12【分析】设直线y ＝﹣2与y 轴交于G ，过A 作AH ⊥直线y ＝﹣2于H ，AF ⊥y 轴于F ，根据平行线的性质得到∠ABH ＝α，由三角函数的定义得到sin α5BA =，根据相似三角形的性质得到比例式234GB n n +=-，于是得到GB 14=-（n +2）（3﹣n ）14=-（n 12-）22516+，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，设直线y ＝﹣2与y 轴交于G ，过A 作AH ⊥直线y ＝﹣2于H ，AF ⊥y 轴于F ，∵BH ∥x 轴，∴∠ABH ＝α，在Rt △ABH 中，AB =,sin α5BA=，即sin α5BA = ∵sinα随BA 的减小而增大，∴当BA 最小时sinα有最大值；即BH 最小时，sinα有最大值，即BG 最大时，sinα有最大值， ∵∠BGC ＝∠ACB ＝∠AFC ＝90°，∴∠GBC +∠BCG ＝∠BCG +∠ACF ＝90°，∴∠GBC ＝∠ACF ，∴△ACF ∽△CBG ，∴BG CG CF AF=， ∵(4,3)A ，()0,C n 即234BG n n +=-，∴BG 14=-（n +2）（3﹣n ）14=-（n 12-）22516+， ∵23n -<<∴当n 12=时，BG 最大值2516=故答案为：12． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线证得△ACF ∽△CBG 是解题的关键．6．（2021·四川乐山市）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C 处测得石碑顶A 点的仰角为30，她朝石碑前行5米到达点D 处，又测得石顶A 点的仰角为60︒，那么石碑的高度AB 的长=________米．（结果保留根号）【分析】先根据已知条件得出△ADC 是等腰三角形，再利用AB =sin 60°×AD 计算即可 【详解】解：由题意可知：∠A =30°，∠ADB =60°∴∠CAD =30°∴△ADC 是等腰三角形，∴DA =DC 又DC =5米故AD =5米在Rt △ADB 中，∠ADB =60°∴AB =sin 60°×AD 5= 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形，熟练记忆特殊角的锐角三角函数值是关键 7．（2021·浙江）如图，已知在Rt ABC 中，90,1,2ACB AC AB ∠=︒==，则sin B 的值是______．【答案】12【分析】在直角三角形中，锐角B 的正弦=锐角B 的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案． 【详解】解： 90,1,2ACB AC AB ∠=︒==，1sin ,2AC B AB ∴== 故答案为：12 【点睛】本题考查的是锐角的正弦的含义，掌握锐角的正弦的定义是解题的关键．8．（2021·浙江宁波市）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，BEC △与FEC 关于直线EC 对称，点B 的对称点F 在边AD 上，G 为CD 中点，连结BG 分别与,CE CF 交于M ，N 两点，若BM BE =，1MG =，则BN 的长为________，sin AFE ∠的值为__________．【答案】2 1【分析】由BEC △与FEC 关于直线EC 对称，矩形,ABCD 证明,BEC FEC ≌再证明,BCN CFD ≌ 可得,BN CD = 再求解2,CD = 即可得BN 的长； 先证明,AFE CBG ∽ 可得：,AE EF CG BG = 设,BM x = 则,1,2,BE BM FE x BG x AE x ====+=- 再列方程，求解,x 即可得到答案． 【详解】解： BEC △与FEC 关于直线EC 对称，矩形,ABCD,BEC FEC ∴≌ 90,ABC ADC BCD ∠=∠=∠=︒90,,,,EBC EFC BEC FEC BE FE BC FC ∴∠=∠=︒∠=∠==,BM BE = ,BEM BME ∴∠=∠ ,FEC BME ∴∠=∠//,EF MN ∴ 90BNC EFC ∴∠=∠=︒， 90,BNC FDC ∴∠=∠=︒90BCD ∠=︒, 90,NBC BCN BCN DCF ∴∠+∠=︒=∠+∠,NBC DCF ∴∠=∠ ,BCN CFD ∴≌ ,BN CD ∴=矩形,ABCD //,//,AB CD AD BC ∴ ,BEM GCM ∴∠=∠,1,BEM BME CMG MG G ∠=∠=∠=为CD 的中点，,GMC GCM ∴∠=∠ 1,2,CG MG CD ∴=== 2.BN ∴=如图，,//,BM BE FE MN EF == 四边形ABCD 都是矩形，,//,90,AB CD AD BC A BCG ∴=∠=∠=︒ ,AEF ABG ∠=∠90,AFE AEF ABG CBG ∠+∠=︒=∠+∠ ,AFE CBG ∴∠=∠,AFE CBG ∴∽ ,AE EF CG BG ∴= 设,BM x = 则,1,2,BE BM FE x BG x AE x ====+=- 2,11x x x -∴=+ 解得：x = 经检验：x =x =2AE EF ∴== sin 1.AE AFE EF ∴∠=== 故答案为： 1. 【点睛】本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，分式方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．9．（2021·四川乐山市）在Rt ABC 中，90C ∠=︒．有一个锐角为60︒，4AB =．若点P 在直线AB 上（不与点A 、B 重合），且30PCB ∠=︒，则CP 的长为________．2【分析】依据题意画出图形，分类讨论，解直角三角形即可．【详解】解：情形1：60A ∠=︒，则30B ∠=︒，，∵30PCB ∠=︒，∴60ACP ∠=︒，∴ACP △是等边三角形，∴122CP AC AB ===；情形2：60B ∠=︒，则30A ∠=︒，2BC =，AC =∵30PCB ∠=︒，∴CP AB ⊥，∴1122AC BC AB CP ⋅=⋅，解得CP =情形3：60B ∠=︒，则30A ∠=︒，2BC =，AC =∵30PCB ∠=︒，∴CP AC ==2．【点睛】本题考查解直角三角形，掌握分类讨论的思想是解题的关键．10．（2021·浙江杭州市）sin30°的值为_____． 【答案】12【详解】根据特殊角的三角函数值计算即可：sin30°=12． 三、解答题1．（2021·青海）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度2AD =米，且两扇门的大小相同（即AB CD =），将左边的门11ABB A 绕门轴1AA 向里面旋转35︒，将右边的门11CDD C 绕门轴1DD 向外面旋转45︒，其示意图如图2，求此时B 与C 之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据sin350.6︒≈，cos350.8︒≈ 1.4≈）．【答案】1.4米【分析】作BE ⊥AD 于点E ，作CF ⊥AD 于点F ，延长FC 到点M ，使得BE =CM ，则EM =BC ，在Rt △ABE 、Rt △CDF 中可求出AE 、BE 、DF 、FC 的长度，进而可得出EF 的长度，再在Rt △MEF 中利用勾股定理即可求出EM 的长，此题得解．【详解】解：作BE ⊥AD 于点E ，作CF ⊥AD 于点F ，延长FC 到点M ，使得BE =CM ，如图所示．∵AB =CD ，AB +CD =AD =2，∴AB =CD =1．在Rt △ABE 中，AB =1，∠A =35°，∴BE =AB •sin ∠A=1sin35⨯︒≈0.6，AE =AB •cos ∠A ≈0.8．在Rt △CDF 中，CD =1，∠D =45°，∴CF =CD •sin ∠D ≈0.7，DF =CD •cos ∠D ≈0.7．∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴BE ∥CM ，又∵BE =CM ，∴四边形BEMC 为平行四边形，∴BC =EM ，CM =BE ．在Rt △MEF 中，EF =AD -AE -DF =0.5，FM =CF +CM =1.3，∴EM ，∴B 与C 之间的距离约为1.4米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直角三角形，利用勾股定理求出BC 的长度是解题的关键．2．（2021·四川成都市）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A 处安置测倾器，测得点M 的仰角33MBC ∠=︒，在与点A 相距3.5米的测点D 处安置测倾器，测得点M 的仰角45MEC ∠=︒ （点A ，D 与N 在一条直线上），求电池板离地面的高度MN 的长．（结果精确到1米；参考数据：sin330.54,cos330.84,tan330.65︒≈︒≈︒≈）【答案】8米【分析】过E 作EF ⊥MN 于F ，连接EB ，设MF =x 米，可证四边形FNDE ，四边形FNAB 均是矩形，设MF =EF =x ，可求FB = x +3.5，由tan ∠MBF =0.653.5MF x FB x =≈+，解得 6.5x ≈米，可求MN =MF +FN =6.5+1.6≈8米．【详解】解：过E 作EF ⊥MN 于F ，连接EB ，设MF =x 米，∵∠EFN =∠FND =∠EDN =∠A =90°， ∴四边形FNDE ，四边形FNAB 均是矩形，∴FN =ED =AB =1.6米，AD =BE =3.5米，∵∠MEF =45°，∠EFM =90°，∴MF =EF =x ,∴FB =FE +EB =x +3.5，∴tan ∠MBF =0.653.5MF x FB x =≈+，∴解得 6.5x ≈米，经检验 6.5x ≈米符合题意， ∴MN =MF +FN =6.5+1.6=8.1≈8米．【点睛】本题考查矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程，掌握矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程是解题关键．3．（2021·山东聊城市）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A 处向正南方向走300米到达革命纪念碑B 处，再从B 处向正东方向走到党史纪念馆C 处，然后从C 处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D 处，最后从D 处回到A 处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【答案】420米【分析】过D 点分别作DE ⊥BC ，DF ⊥AB ，垂足分别是点E ，点F ．由三角函数可求120CE ≈，160DE ≈．可证四边形 BEDF 是矩形，可求AF ＝140,在Rt △ADF 中，利用三角函数可求DF ＝AF ·tan65°≈299.60.,可求BC ＝BE ＋CE ≈420（米）．【详解】解∶过D 点分别作DE ⊥BC ，DF ⊥AB ，垂足分别是点E ，点F ．由题意得，CDE ∠＝37°．在R △CDE 中∵sin 37,cos37,200CE DE CD CD CD︒=︒==， 200sin372000.60120CE ∴=⋅︒≈⨯=，200cos372000.80160DE =⋅≈⨯=︒．,,AB BC DE BC DF AB ⊥⊥⊥，90B DEB DFB ∴∠=∠=∠=︒．∴四边形 BEDF 是矩形，∴BE ＝DF ，BF ＝DE ＝160，∴AF ＝AB －BF ＝300－160＝140.在Rt △ADF 中，tan 65DF AF︒=，∴DF ＝AF ·tan65°≈140×2.14＝299.60. ∴BC ＝BE ＋CE ＝299.60＋120≈420（米）．所以，革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为 420米．【点睛】本题考查解直角三角形应用，矩形判定与性质，掌握锐角三角函数的定义与矩形判定和性质是解题关键．4．（2021·四川广元市）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D 点处时，无人机测得操控者A 的俯角为75︒，测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒．已知操控者A 和小区楼房BC 之间的距离为45米，小区楼房BC 的高度为米．（1）求此时无人机的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB 的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A ，B ，C ，D都在同一平面内．参考数据：tan 752︒=tan152︒=．计算结果保留根号）【答案】（1）()30米；（2）()6秒【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，解直角三角形即可求出DE 的值，进而得到DH 的值；（2）先利用特殊角的三角函数值求出∠BAC 的度数，接着求出∠GF A 的度数，作辅助线构造直角三角形求出DG 和GF ，进而得到DF 的值，最后除以无人机速度即可．【详解】解：如图1，过D 点作DH ⊥AB ，垂足为点H ，过C 点作CE ⊥DH ，垂足为点E ，可知四边形EHBC 为矩形，∴EH =CB ，CE =HB ，∵无人机测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒，测得操控者A 的俯角为75︒，DM ∥AB ，∴∠ECD =45°，∠DAB =75°，∴∠CDE =∠ECD =45°，∴CE =DE ，设CE =DE =HB =x ，∴AH =45-x ，DH =DE +EH =x +在Rt △DAH 中，DH =tan75°×AH =(()245x +-，即(()245x x +=-，解得：x =30，∴DH = 30∴此时无人机的高度为()30米； （2）如图2所示，当无人机飞行到图中F 点处时，操控者开始看不见无人机，此时AF 刚好经过点C ，过A 点作AG ⊥DF ，垂足为点G ，此时，由（1）知，AG =30（米），∴°30153===15tan 7523AG DG ++；∵1533tan =453BC CAB AB ∠==，∴°=30CAB ∠∵DF ∥AB ，∴∠DF A =∠CAB =30°，∴°45tan 30GA GF ==,∴=30DF GF DG -=,因为无人机速度为5米/秒，所以所需时间为3065（秒）；所以经过()6秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．【点睛】本题综合考查了解直角三角形的应用，涉及到了等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形等知识，解决本题的关键是读懂题意，能从题意与图形中找出隐含条件，能构造直角三角形求解等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．5．（2021·四川资阳市）资阳市为实现5G 网络全覆盖，2020－2025年拟建设5G 基站七千个．如图，在坡度为1:2.4i =的斜坡CB 上有一建成的基站塔AB ，小芮在坡脚C 测得塔顶A 的仰角为45︒，然后她沿坡面CB 行走13米到达D 处，在D 处测得塔顶A 的仰角为53︒（点A 、B 、C 、D 均在同一平面内）（参考数据：434sin 53,cos53,tan 53553︒≈︒≈︒≈）（1）求D 处的竖直高度；（2）求基站塔AB 的高．【答案】（1）5米；（2）19.25米【分析】（1）过点D 作DE ⊥CM ，根据坡度及勾股定理求DE 的长度；（2）延长AB 交CM 于点F ，过点D 作DG ⊥AF ，则四边形DEFG 是矩形，然后利用锐角三角函数和坡度的概念解直角三角形【详解】解：（1）过点D 作DE ⊥CM∵斜坡CB 的坡度为1:2.4i =∴设DE =x ，则CE =2.4x在Rt △CDE 中，222(2.4)13x x +=解得：x =±5（负值舍去）∴DE =5 即D 处的竖直高度为5米；（2）延长AB 交CM 于点F ，过点D 作DG ⊥AF ，则四边形DEFG 是矩形∴GF =DE =5，CE =2.4DE =12，由题意可得：∠ACF =45°，∠ADG =53°设AF =CF =a ，则DG =EF =a -12，AG =AF -GF =a -5∴在Rt △ADG 中，tan 53AG DG ︒=，54123a a -=-解得：a =33 经检验：33a =符合题意，∴DG =33-12=21， 又∵斜坡CB 的坡度为1:2.4i =∴12.4BG DG =，121 2.4BG =解得：BG =8.75 ∴AB =AF -GF -BG =19.25即基站塔AB 的高为19.25米．【点睛】本题考查解直角三角形、坡度、坡角、仰角、勾股定理、三角函数等知识，熟练掌握这些知识就解决问题的关键，属于中考常考题型．6．（2021·江苏宿迁市）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P 处测得正前方水平地面上某建筑物AB 的顶端A 的俯角为30°，面向AB 方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B 的俯角为45°，已知建筑物AB 的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1≈1.414≈ =1.732)．【答案】无人机飞行的高度约为14米．【分析】延长PQ ，BA ，相交于点E ，根据∠BQE ＝45°可设BE ＝QE ＝x ，进而可分别表示出PE ＝x ＋5，AE＝x －3，再根据sin ∠APE ＝AE PE ，∠APE ＝30°即可列出方程35x x -=+ 【详解】解：如图，延长PQ ，BA ，相交于点E ，由题意可得：AB ⊥PQ ，∠E ＝90°，又∵∠BQE ＝45°，∴BE ＝QE ，设BE ＝QE ＝x ，∵PQ ＝5，AB ＝3，∴PE ＝x ＋5，AE ＝x －3，∵∠E ＝90°，∴sin ∠APE ＝AE PE ，∵∠APE ＝30°，∴sin30°＝35x x -=+解得：x ＝7≈14，答：无人机飞行的高度约为14米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，难度适中，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．7．（2021·浙江嘉兴市）一酒精消毒瓶如图1，AB 为喷嘴，BCD ∆为按压柄，CE 为伸缩连杆，BE 和EF 为导管，其示意图如图2，108DBE BEF ∠=∠=︒，6cm BD =，4cm BE =．当按压柄BCD ∆按压到底时，BD 转动到'BD ，此时'//BD EF （如图3）．（1）求点D 转动到点'D 的路径长；（2）求点D 到直线EF 的距离（结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin360.59︒≈，cos360.81︒≈，tan360.73︒≈，sin720.95︒≈，cos720.31︒≈，tan72 3.08︒≈）【答案】（1）65π；（2）点D 到直线EF 的距离约为7.3cm ．【分析】（1）根据题目中的条件，首先由108DBE BEF ∠=∠=︒，'//BD EF ，求出'D BE ∠，再继续求出'DBD ∠，点D 转动到点'D 的路径长，是以BD 为半径，B 为圆心的圆的周长的一部分，根据'DBD ∠占360︒的比例来求出路径；（2）求点D 到直线EF 的距离，实际上是过点D 作EF 的垂线交EF 于某点，连接两点所确定的距离即为所求，但这样做不好求解．于是把距离拆成两个部分，放在两个直角三角形中，分别利用直角三角形中锐角三角函数知识求出每段的距离，再求和即为所求．【详解】解：（1）如图，∵'//BD EF ，108BEF ∠=︒，∴'18072D BE BEF ∠=︒-∠=︒．∵108DBE ∠=︒，∴''1087236DBD DBE D BE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．又∵6BD =，∴点D 转动到点'D 的路径长()3666cm 1805ππ⨯⨯==． （2）如图，过点D 作'DG BD ⊥于点G ，过点E 作'EH BD ⊥于点H ．在Rt DGC △中，sin DG DBD BD'∠=∴sin36 3.54DG BD =⋅︒≈． 在Rt BHE 中，sin EH EBH BE ∠=∴sin72 3.80EH BE =⋅︒≈． ∴ 3.54 3.807.347.3DG EH +=+=≈．又∵'//BD EF ，∴点D 到直线EF 的距离约为7.3cm ．【点睛】本题考查了两点间转动的路径问题、点到直线的距离问题，锐角三角函数知识，解题的关键是：确定路径是在圆上，占圆周长的多少，就转化成角度间的比值问题了；距离问题，当直接求解比较困难的时候，看是否能把所求拆分成几个部分，再逐一突破．8．（2021·江苏连云港市）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB 摆成如图1所示．已知 4.8m AB =，鱼竿尾端A 离岸边0.4m ，即0.4m AD =．海面与地面AD 平行且相距1.2m ，即 1.2m DH =．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC 与海面HC 的夹角37BCH ∠=︒，海面下方的鱼线CO 与海面HC 垂直，鱼竿AB 与地面AD 的夹角22BAD ∠=︒．求点O 到岸边DH 的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角53BAD ∠=︒，此时鱼线被拉直，鱼线 5.46m BO =，点O 恰好位于海面．求点O 到岸边DH 的距离．（参考数据：3sin 37cos535︒=︒≈，4cos37sin 535=︒︒≈，3tan 374︒≈，3sin 228︒≈，15cos2216︒≈，2tan 225︒≈）【答案】（1）8.1m ；（2）4.58m【分析】（1）过点B 作BF CH ⊥，垂足为F ，延长AD 交BF 于点E ，构建Rt ABE △和Rt BFC △，在Rt ABE △中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE ,AE ;再用BE EF +求出BF ，在Rt BFC △中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC ，用CF AE AD CH ;（2）过点B 作⊥BN OH ，垂足为N ，延长AD 交BN 于点M ，构建Rt ABM 和Rt BNO ，在Rt ABM 中，根据53°和AB 的长求出BM 和AM ，利用BM +MN 求出BN ，在Rt BNO 中利用勾股定理求出ON ，最后用HN +ON 求出OH ．【详解】（1）过点B 作BF CH ⊥，垂足为F ，延长AD 交BF 于点E ，则AE BF ⊥，垂足为E ． 由cos AE BAE AB∠=，∴cos 22 4.8︒=AE ，∴1516 4.8=AE ，即 4.5AE =， ∴ 4.50.4 4.1=-=-=DE AE AD ，由sin BE BAE AB ∠=，∴sin 22 4.8︒=BE ， ∴38 4.8=BE ，即 1.8BE =，∴ 1.8 1.23=+=+=BF BE EF ． 又tan ∠=BF BCF CF ，∴3tan 37︒=CF ，∴334=CF ，即4CF =， ∴4 4.18.1=+=+=+=CH CF HF CF DE ，即C 到岸边的距离为8.1m ．（2）过点B 作⊥BN OH ，垂足为N ，延长AD 交BN 于点M ，则AM BN ⊥，垂足为M ． 由cos ∠=AM BAM AB ，∴cos53 4.8︒=AM ，∴35 4.8=AM ， 即 2.88=AM ，∴ 2.880.4 2.48=-=-=DM AM AD ． 由sin ∠=BM BAM AB ，∴sin 53 4.8︒=BM ，∴45 4.8=BM ， 即 3.84=BM ，∴ 3.84 1.2 5.04=+=+=BN BM MN ．∴ 2.1====ON ，∴ 4.58=+=+=OH ON HN ON DM ，即点O 到岸边的距离为4.58m ．【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度．9．（2021·浙江绍兴市）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l ，底座AB 固定，高AB 为50cm ，连杆BC 长度为70cm ，手臂CD 长度为60cm ．点B ，C 是转动点，且AB ，BC 与CD 始终在同一平面内，（1）转动连杆BC ，手臂CD ，使143ABC ∠=︒，//CD l ，如图2，求手臂端点D 离操作台l 的高度DE 的长（精确到1cm ，参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈）．（2）物品在操作台l 上，距离底座A 端110cm 的点M 处，转动连杆BC ，手臂CD ，手臂端点D 能否碰到点M ？请说明理由．【答案】（1）106cm ；（2）能碰到，见解析【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数值解直角三角形即可完成求解；（2）求出端点D 能够到的最远距离，进行比较即可得出结论．【详解】解：（1）过点C 作CP AE ⊥于点P ，过点B 作BQ CP ⊥于点Q ，如图1，143ABC ∠=︒，53CBQ ∴∠=︒，∴在Rt BCQ △中，()sin53700.856CQ BC cm =⋅︒≈⨯=， ()50PQ AB cm ==．//CD l ，()5650106DE CP CQ PQ cm ∴==+=+=．∴手臂端点D 离操作台 l 的高度DE 的长为106cm ．。
解直角三角形知识点复习
解直角三角形知识点复习一、 知识回顾：1.在R t △ABC 中，∠C=90°， AC=b ，则BC=a ，AB=c则sinA=斜边的对边A ∠ = = ；cosA= = = ； tanA= = = . ∴ < sinA < ， < cosA < ， < tanA < .Sin49º sin58º ，cos37º cos40º ，(填大于或小于) 2. 在R t △ABC 中，∠C=90°,AC=6,BC=8,则AB= ， sinA= ，cosB= , cosA= ，sinB= ， tanA= ,tanB= .3.互为余角三角函数关系：Sin(90º-∠A)= ,cos(90º-∠A)= 。
4.同角三角函数关系：Sin 2A+ = 1 , tanA= 。
5.6.解直角三角形定义：在直角三角形中，除 外，已知 ，且至少有 ， ，叫做 。
7. 在R t △ABC 中，∠C=90°则（1）三边关系： ；(2)两锐角关系： ； （3）边与角的关系：sinA=cosB= ,cosA= = , tanA= = . 8.解直角三角形类型：（1）在R t △ABC 中∠C=90°, a=3，b=1，解这个直角三角形； （2）在R t △ABC 中∠C=90°，a=3,c=2，解这个直角三角形； （3）在R t △ABC 中∠C=90°∠A=60°，a=3，解这个直角三角形；（4）在R t △ABC 中∠C=90°∠A=60°，c=2，解这个直角三角形。
9.解直角三角形应用常识：（1）仰角，俯角 ； （2）坡面的铅直高度用h 表示，水平宽度用l 表示，则坡面的坡度表示为 ， 如果把坡面与水平面的夹角记为α（叫做坡角），那么坡度i 等于坡角的 。
解直角三角形专题复习
三角形专题一． 知识要点： 1、锐角三角函数的定义.cot tan cos sin 90Rt 的对边的邻边＝，的邻边的对边＝，斜边的邻边＝，斜边的对边＝，＝中，△如图，在A A A A A A A A A A C ABC ∠∠∠∠∠∠︒∠BACac2、特殊角的三角函数值3、互为余角的三角函数关系sinA ＝cos （90º－A ）， cos A ＝sin （90º－A ）， tan A ＝cot （90º－A ）， cot A ＝an （90º－A ）．4、锐角三角函数值随角度的变化规律当角度在0—90°变化时，正弦、正切值随角度的增大（或减小）而增大 （或减小）；余弦、余切值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）．5、锐角的三角函数值的取值范围0＜sin α＜1， 0＜cos α＜1， tan α＞0， cot α＞0．6、解直角三角形（1）由直角三角形中除直角外的已知两个元素（至少有一个是边），求出其余的三个未知元素的过程，叫做解直角三角形．（2）在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，可供解直角三角形的依据是： ①直角三角形角的关系：∠A ＋∠B ＝90º； ②直角三角形边的关系：a 2＋b 2＝c 2； ③直角三角形的边角的关系： ．＝＝，＝＝，＝＝，＝＝abA B baB A c bA B c a B A cot tan cot tan cos sin cos sin （3）直角三角形的解法（4）在实际问题中常用的几种角 ①俯角和仰角在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的角叫做俯角． ②坡度与坡角如图，通常坡面的竖直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用字母i 表示，即lhi ==αtan ，其中α是坡面与水平面的夹角即坡角．hαl二.典型例题:例1．在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度.如图（左），虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角θ愈小，楼梯的安全程度愈高.如图（右），设计者为提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由θ1减至θ2，这样楼梯占用地板的长度由d 1增加到d 2，已知d 1=4 m ，∠θ1=40°,∠θ2=36°，求楼梯占用地板的长度增加了多少？（精确到0.01 m ）参考数据：sin36°=0.5878,cos36°=0.8090,tan36°=0.7256,sin40°=0.6428,cos40°=0.7660,tan40°=0.8391.分析：此题是日常生活中的常见事例，考查对生活常识的了解.楼梯的倾斜角变小时，斜度线要变长，即由AC 增加到AD ，楼梯所占用地板的长度也增长，即由BC 到BD ，所求的增加部分就是DC 的长，分别在直角三角形ABC 、ABD 中求出BC 和BD 长即可求出CD 长.解：∵在Rt △ABC 中，BC=d 1,∠ACB=∠θ1,∴AB=BC ·tanACB=BC ·tan θ1=d 1·tan40°=4tan40°. 又∵在Rt △ABD 中，BD=d 2,∠ADB=∠θ2, ∴AB=BD ·tanADB=BD ·tan θ2=d 2·tan36°， ∴DC=d 2－d 1=4.62－4=0.62（m ）. 答：楼梯占用地板的长度增加了0.62 m.例2．如图，北部湾海面上，一艘解放军舰正在基地A 的正东方向且距A 地40海里的B 处训练，突然接到基地命令，要舰前往C 岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治.已知C 岛在A 的北偏东60°方向，且在B 的北偏西45°方向，军舰从B 处出发，平均每小时行驶20海里，需要多长时间才能把渔民送到基地医院？（精确到0.1 h ）分析：这是一道常见的基本图形题，通过作辅助线CD ⊥AB 于D ，构造可解的直角三角形ADC 、BDC ，求出AC 和BC 的长，可采用代数的方法列方程求解.解：过C 作CD ⊥AB 于D ，由题意知∠CAB=30°,∠CBD=45°，AB=40海里.设CD=x ，则BD=x ，BC=2x ，在Rt △ADC 中，AC=2x,AD=2x ·cos30°=3x ，∵AB=40， ∴3x ＋x=40，∴x=20(3－1)，∴AC ＋BC=2x ＋2x=2×20(3－1)＋ 2×20(3－1)=20(2＋2)(3－1).∵军舰的速度是20海里/时，∴所需时间为20)13)(22(20-+≈2.5（h ）.答：需要2.5小时才能把渔民送到基地医院.例3．已知：如图，A 、B 、C 三个村庄在一条东西走向的公路沿线上，AB=2 km.在B 村的正北方向有一个D 村，测得∠DAC=45°,∠DCB=28°，今将△ACD 区域进行规划，除其中面积为0.5 km 2的水塘外，准备把剩余的一半作为绿地，试求绿化用地面积.（结果精确到0.1 km 2,sin28°=0.4695,cos28°=0.8829,tan28°=0.5317）分析：要求绿地的面积就是三角形ADC 的面积减去水塘的面积，所以先要求出AC 、DB 的长.在直角三角形ABD 中，利用正切求出DB ，然后在直角三角形DBC 中求出BC 的长，进而求出AC 的长.解：在Rt △ABD 中，∵∠ABD=90°，∠DAB=45°,∴AB=BD=2 km. 在Rt △DBC 中，∵∠DCB=28°，∴tanDCB=BCDB，∴BC=︒28tan BD =5371.02≈3.72（km ）.∴S △ACD =21 (AB ＋BC)·BD=21×5.72×2=5.72(km 2).∴S 绿地=21 (S △ADC －0.5)= 21(5.72－0.5)≈2.6(km 2). 答：绿化用地的面积为2.6 km 2.例4．如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)分析：要求DB 的长，需分别在Rt △ABC 和Rt △ACD 中求出BC 和DC.根据题意，在Rt △ABC 中，∠ABC=45°，AB ＝12 m ，则可根据勾股定理求出BC ；在Rt △ADC 中，坡比为1：1.5，即tanD=1：1.5，由BC ＝AC ，可求出CD.解.根据题意，在Rt △ABC 中，∠ABC=45°，所以△ABC 为等腰直角三角形.设BC=AC ＝xm ，则 x 2+x 2＝122， x=62，所以BC ＝AC=62.在Rt △ADC 中，tanD=5.11CD AC =, 即5.11CD 26=CD=92. 所以DB ＝CD-BC ＝92-62=32(m).例5．如图，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在BC 和土坡的坡面CD 上，如果CD 与地面成45°，∠A=60°,CD=4 m,BC=(46－22) m ，求电线杆AB 的长为多少米？分析：求AB 的长需求直角三角形ABE 中的BE 长，而BC=(46－22) m ，只要求出CE 的长即可，所以在直角三角形DFC 中，由坡面CD 可求CF 、DF ；在Rt △DFE 中，求出EF ，由线段BC 、CF 和EF 求得BE 的长.解：如图延长AD 交地面于E ，过D 作DF ⊥CE 于F ，∵在Rt △DFC 中，∠DCF=45°，CD=4 m,∴CF=DF=CD ·sin45°=4×22=22（m ）； 在Rt △DFE 中，62332230tan DF EF ==︒=（m ）， ∴BE=BC ＋CF ＋FE=()6662222264=++-（m ）.∴在Rt △ABE 中，∠A=60°，2636660tan BE AB ==︒=（m ）.答：电线杆AB 的长为62米.例6．如图，由于水资源缺乏，B 、C 两地不得不从黄河上的扬水站A 处，在A 、B 、C 之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：若图1－5－12(a)(b)(c)中实线表示管道铺设线路.在图(b)中，AD ⊥BC 于D ；在图(c)中，OA=OB=OC ，为减少渗漏节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC 恰好是一个边长为a 的等边三角形，请你通过计算,判断哪个铺设方案好.A(a) (b)(c)分析：本题贴近实际，题型新颖，是一道理论与实践相结合的好题，由题意知，只要求出管道的长度再相加即可，利用等边三角形的知识与三角函数相结合解决.解：如图(a)所示方案的线路总长为AB ＋AC=2a.在图(b)中，在Rt △ABD 中，AD=AB ·sin60°=23a,∴图(b)所示的方案线路总长为AD ＋BC=(23＋1)a. 在图(c)中，延长AO 交BC 于点E ，∴AB=AC,OB=OC,∴OE ⊥BC,BE=EC=21a,在Rt △OBE 中，∠OBE=30°,a 3323a2130cos BE OB ==︒=, ∴图(c)所示的线路总长为OA ＋OB ＋OC=3OB=3a. ∵a 2a 123a 3<⎪⎪⎭⎫⎝⎛+<,∴图(c)所示的方案最好. 例7．已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠A=120°，BD=BC=43，求梯形的面积.分析：求梯形的面积需要求出梯形的两底AD 、BC 和高的长，而BC 的长已知，只需求出AD 和高的长即可.图1解法一：过点B 作BE ⊥DA 交DA 的延长线于E ，（如图1） ∵∠BAD=120°，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ， ∴∠ABC=60°,∠1=∠2=∠3=30°.∵在Rt △BED 中，BD=34，∠3=30°， ∴BE=BD ·sin30°322134=⨯=，ED=BD ·cos30°=62334=⨯. ∵在Rt △BEA 中,∠EAB=60°,BE=23，∴233260tan BE AE ==︒=.∴AD=DE －AE=6－2=4. ∴S 梯形=()()12343234421BE BC AD 21+=⨯+⨯=⋅+. 解法二：过D 点作DF ⊥BC 于F ，过A 点作AH ⊥BD 于H ，（如图2）图2∵∠BAD=120°，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ， ∴∠ABC=60°，∠1=∠2=∠3=30°. ∴△ABD 是等腰三角形，∴DH=21BD=21×43=23. 在Rt △AHD 中，4233230cos DH AD ==︒=.又∵在Rt △BDF 中，DF=BD ·sin30°322134=⨯=， ∴S 梯形()()12343234421BE BC AD 21+=⨯+⨯=⋅+=.例8．高为12.6米的教学楼ED 前有一棵大树AB （如图1）．（1）某一时刻测得大树AB 、教学楼ED 在阳光下的投影长分别是BC=2.4米，DF=7.2米，求大树AB 的高度．（3分）（2）用皮尺、高为h 米的测角仪，请你设计另．一种．．测量大树AB 高度的方案，要求： ①在图2上，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标记在图上（长度用字母m 、n …表示，角度用希腊字母α、β …表示）；（3分）②根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树AB 高度（用字母表示）．（3分）解：连结AC 、EF（1）∵太阳光线是平行线∴AC ∥EF ∴∠ACB=∠EFD∵∠ABC=∠EDF=90°∴△ABC ∽△EDF ∴DFBC ED AB =∴2.74.26.12AB = ∴AB=4.2答：大树AB 的高是4.2米．（2）（方法一）如图MG=BN=mAG=m tan α ∴AB=（m tan α＋h ）米（方法二）htan tan tan tan m AB h cot cot mAB cot cot mAG +β-αβα=+α-β=∴α-β=∴或例9.阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ．过A 作AD ⊥BC 于D(如图)，则sinB=c AD ，sinC=bAD，即AD=csinB ，AD=bsinC ， 于是csinB=bsinC ，即Csin cB sin b =． 同理有A sin a C sin c =，B sin bA sin a =． 所以Csin cB sin b A sin a ==………(*) 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．(1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论(*)和有关定理就可以 求出其余三个未知元素c 、∠B 、∠C ，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：第一步：由条件a 、b 、∠ A∠B ； 第二步：由条件 ∠A 、∠B．∠C ； 第三步：由条件．c ．(2)一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以28．4海里／时的速度按北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西70°的方向上(如图11)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0．1．参考数据：sin40°=0．6 4 3，sin65°=0．90 6，sin70°=0．940，sin7 5°=0．9 6 6)．解：(1)B sin b A sin a =, ∠A+∠B+∠C=180°，a 、∠A 、∠C 或b 、∠B 、∠C ，A sin a C sin c =或Csin cB sin b =(2)依题意，可求得∠ABC=65°，∠A=40°. BC=14．2． AB ≈21．3．答：货轮距灯塔A 的距离约为21.3海里．例10.某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树AB 的影长AC 为9米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．（1）求出树高AB ；（2）因水土流失，此时树AB 沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414， 3≈1.732）解：（1）在Rt △A BC 中，∠BAC ＝90°，∠C ＝30°∵tanC ＝ACAB∴AB ＝AC·tanC ＝9×33≈5.2（米） （2）以点A 为圆心，以AB 为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，点D 为切点，DE ⊥AD交AC 于E 点，（如图）在Rt △ADE 中，∠ADE ＝90°，∠E ＝30°， ∴AE ＝2AD＝2×5.2＝10.4（米）答：树高AB 约为5.2米，树影有最长值，最长值约为10.4米．例11.如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD.且建筑物周围没有开阔平整地带.该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可以直接测得。
解直角三角形复习要点
解直角三角形复习知识点一、测量：①构造相似三角形测量物体的方法：构造可以测量的与三角形相似的小三角形，利用对应线段成比例的性质计算所求线段。
②运用勾股定理构造直角三角形进行测量时，常用的测量工具一般有：刻度尺、量角仪。
★解决问题时用到的知识：⑴等腰三角形的“三线合一”⑵三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。
二、锐角三角函数：①概念：锐角A 的三角函数，记作sinA 、cosA 、tanA 、cotA ，即sinA=斜边的对边A ∠=ca，cosA=斜边的邻边A ∠=cb ，tanA=的邻边的对边A A ∠∠=b a ，cotA=的邻边A A ∠∠=b.分别叫做锐角∠A★关于三角函数概念的几点解释：①sinA 、cosA 、tanA 、cotA 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角（注意数形结合，构造直角三角形）②sinA 不是sin 与A 的乘积，而是一个整体，其他函数同样不能拆开来理解。
③由定义易得：0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0，cotA ＞0。
④当角的顶点处只有一个角或用希腊字母表示时，三角函数式中的“∠”习惯上省略。
如sinA 、 cosa 等，但对用三个字母或阿拉伯数字表示的角，角的符号“∠”不能省略，如tan ∠ABC 、 cot ∠1不能写成tanABC 、cot1.⑤sinA 、cosA 、tanA 、cotA 是线段之间的一个比值（数值），没有单位，其大小只与∠A 的 大小有关，而与直角三角形的边长无关。
★注：对于锐角∠A 的每一个确定的度数，其对应的三角函数值也是唯一确定的。
三、直角三角形的性质：①如上图：在Rt △ABC 中，∠C=90°②两锐角的关系：直角三角形的两个锐角互余。
∠A+∠B=90°③三边关系：勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
BC 2+ AC 2 =AB 2 或（a 2+b 2=c 2）变形式子：BC 2 =AB 2- AC 2，AC 2 =AB 2 -BC 2……等的应用。
2024年中考数学总复习专题18解直角三角形复习划重点 学霸炼技法
叫做坡度(或坡比)，用字母 i 表示；
比)、坡角
坡面与水平面的夹角 α 叫坡角，i＝
h
tan α＝ .如图(3)
l
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专题十八
解直角三角形
中考·数学
一般指以观测者的位置为中心，将正
北或正南方向作为起始方向旋转到目
方向角
标方向所成的角(一般指锐角)，通常
表达成北(南)偏东(西)××度．如图
专题十八
解直角三角形
中考·数学
(2)sin ∠ADC的值．
∵AD 是△ABC 的中线，
1
∴CD＝ BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1.
2
∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，
AE
2
∴sin ∠ADC＝
＝
.
DE
2
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解直角三角形
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[规律方法]
解此类题的一般方法
(1)构造直角三角形．
(2)理清直角三角形的边、角关系．
(3)利用特殊角的三角函数值解答问题．
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专题十八
研究4
解题模型分析
解直角三角形
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常见解直角三角形模型
■命题角度1：母子型
基本
模型
AB＝AB；BD＋DC＝BC
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BC＝BC；AD＋DB＝AB
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演变
模型
BC＝EF；
解直角三角形
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[对接教材]
人教：九下P60～P84；
北师：九下P2～P27；
解直角三角形专题复习
解直角三角形专题复习一. 本周教学内容：直角三角形边角关系专题复习 一. 知识体系：1. 三种三角函数与直角三角形中边与角的关系，在Rt △中 ①的对边的斜边tan ααα=∠∠②的对边的斜边sin ααα=∠∠③的邻边的斜边cos ααα=∠∠在此应注意的问题是无论是求哪一个角的三角函数，一定要先把这个角放在直角三角形中 2. 特殊角的三角函数值，可用表格来说明注：此表可借助特殊直角三角形三边的关系来记忆3. 三角函数的有关计算（对于一般角的三角函数值可利用计算器）41234.三角函数的应用（）测山的高度（）测楼的高度（）测塔的高度（）其它⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪二. 例题分析例1. 如图在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=6，D 是AC 上一点，若tan ∠=DBA AD 15，求的长。
A E B分析：解三角函数题目最关键的是要构造合适的直角三角形，把已知角放在所构造的直角三角形中。
本题已知所以可以过作于把放于tan ,,∠=⊥∠DBA D DE AB E DBA Rt DBE 15∆中，然后根据正切函数的定义，即可弄清DE 与BE 的长度关系，再结合等腰Rt △的性质，此题就不难解答了。
解：过D 作DE ⊥AB 于E ∴△DBE 和△DEA 为Rt △tan ∠==∴==DBE DE BE DE x BE x 155设则∴=+=AB DE BE x 6又为等腰为等腰 ∆∆∆∆ACB Rt A Rt DEA Rt ∴∠=∴45∴==∴=AE DE xAD x 2又， AC AB AC x x =∴==∴=∴=62626622∴==⋅==AD x AD 22222即例2. 如图湖泊的中央有一个建筑物AB ，某人在地面C 处测得其顶部A 的仰角为60°，然后，自C 处沿BC 方向行100m 到D 点，又测得其顶部A 的仰角为30°，求建筑物的高（结果保留根号）A分析：本题的关键在于（1）DB-CB=100（2）Rt △ABC 与Rt △ADB 有一条共同的线段AB ，因此只要利用Rt △ABC 和Rt △ADB 分别用AB 表示出DB 和CB 即可列出方程DB-CB=100，问题便可迎刃而解。
中考专题复习：《解直角三角形》
N
A
Q
如图所示，在坡角为 30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长 度至少需 ( D ) A．4m B.6m C．(6+2 )m D.(2+2 )m
1．如图所示，某地下车库的入口处有斜坡AB，其 坡度i=1∶1.5，且AB= 13 m.
0
2，山坡与地面成30
则他上升
30
的倾斜角，某人上坡走60米， 3 米，坡度是____________ 3
在Rt△ABC中，∠C=90°：
c sin A c cos A 。 ⑴已知∠A、 c, 则a=__________;b=_________
b cos A 。 b tan A ⑵已知∠A、 b, 则a=__________;c=_________
a a sin A 。 tan A ⑶已知∠A、 a，则b=__________;c=_________ 斜边
1
1 2
┌
3
BHale Waihona Puke A B53 3
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念
（1）仰角和俯角
（2）坡度
tan α ＝
视线
h l
铅 垂 线
仰角 水平线
俯角
北
α为坡角
视线
h α
A
（3）方位角
西
30°
l
B
O 45°
南
东
链接中考
C
D A B
C
D
C
E
A
链接中考3
一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上， AB∥CF，∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°, AC=10,试求CD的长．
c a
2
中考专题复习解直角三角形（含答案）
中考专题复习解直⾓三⾓形（含答案）中考数学专题解直⾓三⾓形第⼀节锐⾓三⾓函数1、勾股定理：直⾓三⾓形两直⾓边、的平⽅和等于斜边的平⽅。
2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直⾓，则∠A的锐⾓三⾓函数为(∠A可换成∠B)：定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐⾓)余弦(∠A为锐⾓)正切(∠A为锐⾓)(倒数)余切(∠A为锐⾓)3、任意锐⾓的正弦值等于它的余⾓的余弦值；任意锐⾓的余弦值等于它的余⾓的正弦值。
4、任意锐⾓的正切值等于它的余⾓的余切值；任意锐⾓的余切值等于它的余⾓的正切值。
5、30°、45°、60°特殊⾓的三⾓函数值(重要)三⾓函数30°45°60°116、正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增⼤⽽增⼤，cos随的增⼤⽽减⼩。
7、正切、余切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增⼤⽽增⼤，cot随的增⼤⽽减⼩。
第⼆节解⾓直⾓三⾓形1、解直⾓三⾓形的定义：已知边和⾓（两个，其中必有⼀条边）→求所有未知的边和⾓。
依据：①边的关系：；②⾓的关系：∠A+∠B=90°；③边⾓关系：（见前⾯三⾓函数的定义）。
2、应⽤举例：(1)仰⾓：视线在⽔平线上⽅的⾓；俯⾓：视线在⽔平线下⽅的⾓。
(2)坡⾯的铅直⾼度和⽔平宽度的⽐叫做坡度(坡⽐)。
⽤字母表⽰，即。
坡度⼀般写成的形式，如等。
把坡⾯与⽔平⾯的夹⾓记作(叫做坡⾓)，那么。
【重点考点例析】考点⼀：锐⾓三⾓函数的概念例1 如图所⽰，△ABC的顶点是正⽅形⽹格的格点，则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255对应训练1．在平⾯直⾓坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于（）A．55B．52C．32D．12考点⼆：特殊⾓的三⾓函数值例2 计算：cos245°+tan30°?sin60°=．对应训练（2012?南昌）计算：sin30°+cos30°?tan60°．考点三：化斜三⾓形为直⾓三⾓形例3 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．对应训练3．如图，在Rt △ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三⾓形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）考点四：解直⾓三⾓形的应⽤例4 黄岩岛是我国南海上的⼀个岛屿，其平⾯图如图甲所⽰，⼩明据此构造出该岛的⼀个数学模型如图⼄所⽰，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千⽶，CD=32千⽶，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和⾯积；（结果保留整数，参考数据2≈1.414，3≈1.73 ，6≈2.45）（2）求∠ACD的余弦值．对应训练6．超速⾏驶是引发交通事故的主要原因之⼀．上周末，⼩明和三位同学尝试⽤⾃⼰所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳⼤道的距离（AC）为30⽶．这时，⼀辆⼩轿车由西向东匀速⾏驶，测得此车从B处⾏驶到C处所⽤的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳⼤道60千⽶/⼩时的限制速度？（计算时距离精确到1⽶，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千⽶/⼩时≈16.7⽶/秒）【聚焦中考】1．如图，在8×4的矩形⽹格中，每格⼩正⽅形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．32．把△ABC三边的长度都扩⼤为原来的3倍，则锐⾓A的正弦函数值（）A．不变B．缩⼩为原来的13C．扩⼤为原来的3倍D．不能确定3．计算：tan45°+ 2cos45°= ．4．在△ABC中，若∠A、∠B满⾜|cosA- 12|+（sinB-22）2=0，则∠C= ．5.校车安全是近⼏年社会关注的重⼤问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动⼩组设计了如下检测公路上⾏驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取⼀点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21⽶，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1⽶，参考数据：3=1.73，2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千⽶/⼩时，若测得某辆校车从A到B⽤时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．6．如图，某校教学楼AB的后⾯有⼀建筑物CD，当光线与地⾯的夹⾓是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下⾼2⽶的影⼦CE；⽽当光线与地⾯夹⾓是45°时，教学楼顶A在地⾯上的影⼦F与墙⾓C有13⽶的距离（B、F、C在⼀条直线上）（1）求教学楼AB的⾼度；（2）学校要在A、E之间挂⼀些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25）【备考真题过关】⼀、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB的值是（）A．23B．35C．34D．452．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB的值是（）A．45B．35C．34D．433．如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB= 23，则BC的长为（）A．4 B．25C．181313D．1213134．2cos60°的值等于（）A．1 B．2C．3D．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为（）A．12B．22C．32D．16．如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则C( ）A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°．7．在“测量旗杆的⾼度”的数学课题学习中，某学习⼩组测得太阳光线与⽔平⾯的夹⾓为27°，此时旗杆在⽔平地⾯上的影⼦的长度为24⽶，则旗杆的⾼度约为（）A．24⽶B．20⽶C．16⽶D．12⽶8．如图，某⽔库堤坝横断⾯迎⽔坡AB的坡⽐是1：3，堤坝⾼BC=50m，则应⽔坡⾯AB的长度是（）A．100m B．1003m C．150m D．503m1．如图，为测量某物体AB的⾼度，在D点测得A点的仰⾓为30°，朝物体AB⽅向前进20⽶，到达点C，再次测得点A的仰⾓为60°，则物体AB的⾼度为（）A．10⽶B．10⽶C．20⽶D．⽶2．⼩明想测量⼀棵树的⾼度，他发现树的影⼦恰好落在地⾯和⼀斜坡上，如图，此时测得地⾯上的影长为8⽶，坡⾯上的影长为4⽶．已知斜坡的坡⾓为30°，同⼀时刻，⼀根长为1⽶、垂直于地⾯放置的标杆在地⾯上的影长为2⽶，则树的⾼度为（）A．（6+）⽶B．12⽶C．（4﹣2）⽶D．10⽶3．如图，从热⽓球C处测得地⾯A、B两点的俯⾓分别是30°、45°，如果此时热⽓球C处的⾼度CD为100⽶，点A、D、B在同⼀直线上，则AB两点的距离是（）A．200⽶B．200⽶C．220⽶D．100（）⽶⼆、填空题9．在△ABC中∠C=90°，AB=5，BC=4，则tanA= ．10．tan60°= ．11．若∠a=60°，则∠a的余⾓为，cosa的值为．12．如图，为测量旗杆AB的⾼度，在与B距离为8⽶的C处测得旗杆顶端A的仰⾓为56°，那么旗杆的⾼度约是⽶（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）三、解答题13．如图，定义：在直⾓三⾓形ABC中，锐⾓α的邻边与对边的⽐叫做⾓α的余切，记作ctanα，即ctanα== ACBC，根据上述⾓的余切定义，解下列问题：（1）ctan30°= ；（2）如图，已知tanA=34，其中∠A为锐⾓，试求ctanA的值．14．⼀副直⾓三⾓板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=122，试求CD的长．15．为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某⾼速公路建设⼯程中需修隧道AB，如图，在⼭外⼀点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，3≈1.73，精确到个位）16.如图，某⾼速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地⾯1500m，⾼度C处的飞机，测量⼈员测PABQ24.5°49°41°北东南西得正前⽅A 、B 两点处的俯⾓分别为60°和45°，求隧道AB 的长.17.如图，⾃来⽔⼚A 和村庄B 在⼩河l 的两侧，现要在A ，B 间铺设⼀知输⽔管道．为了搞好⼯程预算，需测算出A ，B 间的距离．⼀⼩船在点P 处测得A 在正北⽅向，B 位于南偏东24.5°⽅向，前⾏1200m ，到达点Q 处，测得A 位于北偏东49°⽅向，B 位于南偏西41°⽅向．（1）线段BQ 与PQ 是否相等？请说明理由；（2）求A ，B 间的距离．（参考数据cos41°＝0.75）练习作业：1. 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据表中的数据求其它元素的值：a b c ∠A ∠B 12 30° 4 45° 260°5 35 4 28 CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．3.计算ooo5sin 302cos60tan 45-－ oo o o2cos 45tan 30sin 45tan 60-+?4．如图所⽰，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=443，?求△ABC的⾯积（结果可保留根号）．例5.已知：如图所⽰，在△ABC中，AD是边BC上的⾼，E?为边AC?的中点，BC=14，AD=12，sinB=45，求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值．例6.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=10，AC=5，求sinB?sinC的值.。
【解直角三角形】专题复习
【解直角三角形】专题复习考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°， ∠C=90° ⇒BC=21AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°，D 为AB 的中点⇒CD=21AB=BD=AD 4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、射影定理（可利用相似证明）：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项， 每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90°CD ⊥AB ⇒ BD AD CD ∙=2 AB AD AC ∙=2 AB BD BC ∙=2 6、常用关系式：由三角形面积公式可得： AB ∙CD=AC ∙BC考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
考点三、锐角三角函数的概念1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c asin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即batan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念：锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值三角函数 0° 30°45°60°90° sinα212223 1cos α 123 2221 0tan α 033 13不存在cot α 不存在31 33 04、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ，tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系 1cos sin 22=+A A （3）倒数关系 tanA ∙tan(90°—A)=1 （4）弦切关系 tanA=AAcos sin 5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦（或正切）值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦（或余切）值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
解直角三角形】专题复习(知识点+考点+测试)
解直角三角形】专题复习(知识点+考点+测试)解直角三角形》专题复一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余。
几何表示：因为∠C=90°，所以∠A+∠B=90°。
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
几何表示：因为∠C=90°，且∠A=30°，所以BC=AB。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
几何表示：因为∠ACB=90°，D为AB的中点，所以CD=AB=BD=AD。
4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
几何表示：在Rt△ABC中，因为∠ACB=90°，所以a²+b²=c²。
5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。
即：因为∠ACB=90°，CD⊥AB，所以CD²=AD•BD，AC²=AD•AB，BC²=BD•AB。
6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。
（a•b=c•h）由上图可得：AB•CD=AC•BC。
二、锐角三角函数的概念在△ABC中，∠C=90°，锐角A的正弦、余弦、正切、余切分别为sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b，cotA=b/a。
锐角三角函数的取值范围：-1≤sinα≤1，-1≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.三、锐角三角函数之间的关系1）平方关系：同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1，即sin²A+cos²A=1.2）倒数关系：互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数，即tanA•tan(90°—A)=1，cotA•cot(90°—A)=1.3）弦切关系：tanA= sinA/cosA，cotA=cosA/sinA。
解直角三角形的整理和复习
学习难点：把实际问题转化为解直角三角形的数学问题。
1．解直角三角形的定义 由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有 未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中， 除直角外，一共有 5 个元素，即 3 条边和 2 个锐角)．
2、解直角三角形的依据
三边之间的关系： a2＋b2＝c2（勾股定理）；
D.16 5
3、如图，Rt△ABC 中，∠A＝90°，AD⊥BC 于点 D，
若 BD∶CD＝3∶2，则 tan∠ B＝( D )
3
2
6
6
A. 2
B. 3
C. 2
D. 3
4、(2014·安顺)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，
E 为线段 AB 上一点且 AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC 于 F，连接 FB，
B．cot∠AED D．cos∠AED
．
4.如图,某地下车库的入口处有斜坡AB, 其坡度
i=1:1.5, 则AB= 13 m.
5. 计算：
（2012年南宁市） (1).2 sin
60°
3 tan
30°
1 3
0
(1)2009
（2011年青海） 12 4sin 600 (3 π）0 ( 1)1 3
大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，
求飞机的高度PO .
P
C
30° A
45°
200米
O
B
3、如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，小亮 乘坐的一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏 西60˚，航行24海里到C处，见岛A在北偏西30˚，货 轮继续向西航行，有无触礁的危险？
A
解直角三角形复习
８．等腰三角形一腰上的高线长为1cm，这个高 与底边的夹角的正切值为1，则这个等腰三角形的 面积是____________.
9.若某一斜坡的坡度i=１： 3 ，则坡面的坡角为_________.
10、在△ABC中，∠C=90°,a=5,b=5， 解这个直角 三角形.
A
11.如图，在△ABC中，
已知AC=6，∠C=75°，
５．计算： tan10°·tan20°·tan30°…tan80°=_____
sin 3cos ６．已知α为锐角tanα=，则 2 co s 3s in =_____
７．若∠ A为锐角，且tan A=，则（ ）
A．0°＜∠A＜30°
B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
ca
cos B=
c
a
tan A=
b tan B= b
a
b
cot A=
a
cot B= a
b
三.解直角三角形的应用
1.重点是把实际问题转化为数学问题. 2.仰角、俯角在我们进行测量时，在视线与水平线所成的 角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的角 叫做俯角(如图7-１-２所示).
图7-１-２
∠B=45°，
求△ABC的面积。
B
C
12.某段公路，每ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ进100m，路面就上升4m，则路面的坡
度为( )
A. 1 50
C.22°
1 B. 25
D. 39
156 13.如图7-１-４所示，是某市的一块三角形空地，准备在
上面种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售
价为a元，则购买这种草皮至少需要( )
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(3)边角之间的关系： sin A＝ac，cos A＝bc，tan A＝ab， sin B＝bc，cos B＝ac，tan B＝ba.
3．解直角三角形的类型
已知条件
解法
两直角边 (如 a，b)
斜边、一直 角边(如 c，a)
由 tan A＝ab，求∠A；∠B ＝90°－∠A； c＝ a2＋b2
由 sin A＝ac，求∠A；∠B ＝90°－∠A； b＝ c2－a2
解：如图，根据题意，知∠CAD＝45°，∠CBD＝ 54°，AB＝112 m.
在 Rt△ACD 中，∵∠ACD＝∠CAD＝45°， ∴AD＝CD.又∵AD＝AB＋BD， ∴BD＝AD－AB＝CD－112. 在 Rt△BCD 中， ∵tan∠BCD＝BCDD，∠BCD＝90°－∠CBD＝36°. ∴CD·tan 36°＝BD＝CD－112， ∴CD＝1－1ta1n2 36°≈1－1102.73≈415(m)． 答：天塔的高度 CD 约为 415 m.
已知条件
一锐角与邻 边(如∠A，b)
一锐角与对 边(如∠A，a)
斜边与一锐 角(如 c，∠A)
解法
∠B＝90°－∠A； a＝b·tan A；c＝cobs A
∠B＝90°－∠A； b＝tana A；c＝sina A ∠B＝90°－∠A；a＝ c·sin A；b＝c·cos A
温馨提示 解直角三角形的思路可概括为“有斜斜边用弦 正弦、余弦，无斜用切正切，宁乘勿除，取原 避中”.
中考复习系列
解直角三角形及应用
内 江 市 五 初 中 徐宇
考点一 解直角三角形
1．解直角三角形的定义 由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有 未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中， 除直角外，一共有 5 个元素即 3 条边和 2 个锐角)．
2．直角三角形的边角关系 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的 对边分别为 a，b，c. (1)三边之间的关系： a2＋b2＝c2 ； (2)两个锐角之间的关系： ∠A＋∠B＝90° ；
作高构造直角三角形求解.
考点三 锐角三角函数的应用
例 3 (2013·天 津 )天塔 是天津市 的标志性 建筑之 一．某校数学兴趣小组要测量天塔的高度．如图，他们 在点 A 处测得天塔的最高点 C 的仰角为 45°，再往天塔 方向前进至点 B 处测得天塔 的最高点 C 的仰角为 54°， AB＝112 m．根据这个兴趣 小组测得的数据，计算天塔 的高度 CD.(tan 36°≈0.73， 结果保留整数)
考点二
解直角三角形的应用
1．仰角、俯角：如图①，在测量时，视线与水平
线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水
平线下方的角叫做俯角．
2．坡度(坡比)、坡角：如图②，坡面的高度 h 和 水平距离 l 的比叫做坡度(或坡比)，即 i＝tan α＝ hl ，坡面与水平面的夹角 α 叫做坡角．
3．方向角：指南或指北的方向线与目标方向线所 成的小于 90°的水平角，叫做方向角．如图③，表示北 偏东 60°方向的一个角． 注意：东北方向指北偏东 45°方向， 东南方向指南偏东 45°方向，西北 方向指北偏西 45°方向，西南方向指南偏西 45°方向．我们一般画图的方位为上北 下南，左西右东．
A．8 m
B．8 3 m
C.
83 3
m
D.
43 3
m
4．如图，一艘海轮位于灯塔 P 的东北方向，距离 灯塔 40 2 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间 后，到达位于灯塔 P 的南偏东 30°方向上的 B 处，则 海轮行驶的路程 AB 为 （40＋40 3）海里(结果保留 根号)．
解析：在 Rt△APC 中，AP＝40 2海里，
∠APC ＝ 45°， ∴2 2
＝
40(
海
里)．在 Rt△BPC 中，∠B＝30°，BC＝tanPC30°＝40×3 3
＝40 3(海里)．∴AB＝AC＋BC＝(40＋40 3)海里．
5．为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某 高速公路建设工程中，需修建隧道 AB，如图，在山外 一点 C 测得 BC 的距离为 200 米，∠CAB＝54°，
∠CBA＝30°，求隧道 AB 的长．(参考数据： sin 54°≈0.81，cos 54°≈0.59，tan 54°≈1.38，
3≈1.73 ，精确到个位)
解：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D， 在 Rt△BCD 中， ∵∠CBA＝30°，BC＝200 米． ∴CD＝12BC＝100(米)，BD＝100 3≈173(米)．在 Rt△ACD 中， ∵tan∠CAB＝CADD， ∴AD＝ta1n0504°≈72(米)． ∴AB＝AD＋BD＝245(米)． 答：隧道 AB 的长约为 245 米．
A．200 米 B．200 3米
C．220 3米
D．100( 3＋1)米
解析：∵∠ACD＝60°，CD＝100 米， ∴AD＝CD·tan∠ACD＝100 3米． ∵∠BCD＝45°，CD＝100 米， ∴BD＝CD＝100 米． ∴AB＝AD＋BD＝100( 3＋1)米． 故选 D.
3．某人想沿着梯子爬上高 4 m 的房顶，梯子的倾 斜角(梯子与地面的夹角)不能大于 60°，否则就有危险， 那么梯子的长至少为( C )
1．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝6， cos B＝23，则 BC 的长为( A )
A．4 18 13
C. 13
B．2 5 12 13
D. 13
2．如图，从热气球 C 处测得地面 A，B 两点的俯 角分别为 30°，45°，如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100 米，点 A，D，B 在同一直线上，则 AB 两点间 的距离是( D )
考点二 解斜三角形 例 2 (2012·安徽)如图，在△ABC 中，∠A＝30°， ∠B＝45°，AC＝2 3，求 AB 的长．
【点拨】作出△ABC 斜边上的高，将三角形转化为 两个含有特殊角的直角三角形．
解：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°. ∵∠B＝45°， ∴∠BCD＝∠B＝45°， ∴CD＝BD. ∵∠A＝30°，AC＝2 3， ∴CD＝AC·sin 30°＝ 3，AD＝AC·cos 30°＝3. ∴BD＝CD＝ 3. ∴AB＝AD＋BD＝3＋ 3. 温馨提示：当三角形不是直角三角形时，可以通过