解直角三角形专题复习

1．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝6， cos B＝23，则 BC 的长为( A )
A．4 18 13
C. 13
B．2 5 12 13
D. 13
2．如图，从热气球 C 处测得地面 A，B 两点的俯 角分别为 30°，45°，如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100 米，点 A，D，B 在同一直线上，则 AB 两点间 的百度文库离是( D )
(3)边角之间的关系： sin A＝ac，cos A＝bc，tan A＝ab， sin B＝bc，cos B＝ac，tan B＝ba.
3．解直角三角形的类型
已知条件
解法
两直角边 (如 a，b)
斜边、一直 角边(如 c，a)
由 tan A＝ab，求∠A；∠B ＝90°－∠A； c＝ a2＋b2
由 sin A＝ac，求∠A；∠B ＝90°－∠A； b＝ c2－a2
∠APC ＝ 45°， ∴AC ＝ PC ＝ 40
2×
2 2
＝
40(
海
里)．在 Rt△BPC 中，∠B＝30°，BC＝tanPC30°＝40×3 3
＝40 3(海里)．∴AB＝AC＋BC＝(40＋40 3)海里．
5．为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某 高速公路建设工程中，需修建隧道 AB，如图，在山外 一点 C 测得 BC 的距离为 200 米，∠CAB＝54°，
考点二 解斜三角形 例 2 (2012·安徽)如图，在△ABC 中，∠A＝30°， ∠B＝45°，AC＝2 3，求 AB 的长．
【点拨】作出△ABC 斜边上的高，将三角形转化为 两个含有特殊角的直角三角形．
解：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°. ∵∠B＝45°， ∴∠BCD＝∠B＝45°， ∴CD＝BD. ∵∠A＝30°，AC＝2 3， ∴CD＝AC·sin 30°＝ 3，AD＝AC·cos 30°＝3. ∴BD＝CD＝ 3. ∴AB＝AD＋BD＝3＋ 3. 温馨提示：当三角形不是直角三角形时，可以通过
解：如图，根据题意，知∠CAD＝45°，∠CBD＝ 54°，AB＝112 m.
在 Rt△ACD 中，∵∠ACD＝∠CAD＝45°， ∴AD＝CD.又∵AD＝AB＋BD， ∴BD＝AD－AB＝CD－112. 在 Rt△BCD 中， ∵tan∠BCD＝BCDD，∠BCD＝90°－∠CBD＝36°. ∴CD·tan 36°＝BD＝CD－112， ∴CD＝1－1ta1n2 36°≈1－1102.73≈415(m)． 答：天塔的高度 CD 约为 415 m.
中考复习系列
解直角三角形及应用
内 江 市 五 初 中 徐宇
考点一 解直角三角形
1．解直角三角形的定义 由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有 未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中， 除直角外，一共有 5 个元素即 3 条边和 2 个锐角)．
2．直角三角形的边角关系 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的 对边分别为 a，b，c. (1)三边之间的关系： a2＋b2＝c2 ； (2)两个锐角之间的关系： ∠A＋∠B＝90° ；
A．8 m
B．8 3 m
C.
83 3
m
D.
43 3
m
4．如图，一艘海轮位于灯塔 P 的东北方向，距离 灯塔 40 2 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间 后，到达位于灯塔 P 的南偏东 30°方向上的 B 处，则 海轮行驶的路程 AB 为 （40＋40 3）海里(结果保留 根号)．
解析：在 Rt△APC 中，AP＝40 2海里，
A．200 米 B．200 3米
C．220 3米
D．100( 3＋1)米
解析：∵∠ACD＝60°，CD＝100 米， ∴AD＝CD·tan∠ACD＝100 3米． ∵∠BCD＝45°，CD＝100 米， ∴BD＝CD＝100 米． ∴AB＝AD＋BD＝100( 3＋1)米． 故选 D.
3．某人想沿着梯子爬上高 4 m 的房顶，梯子的倾 斜角(梯子与地面的夹角)不能大于 60°，否则就有危险， 那么梯子的长至少为( C )
已知条件
一锐角与邻 边(如∠A，b)
一锐角与对 边(如∠A，a)
斜边与一锐 角(如 c，∠A)
解法
∠B＝90°－∠A； a＝b·tan A；c＝cobs A
∠B＝90°－∠A； b＝tana A；c＝sina A ∠B＝90°－∠A；a＝ c·sin A；b＝c·cos A
温馨提示 解直角三角形的思路可概括为“有斜斜边用弦 正弦、余弦，无斜用切正切，宁乘勿除，取原 避中”.
作高构造直角三角形求解.
考点三 锐角三角函数的应用
例 3 (2013·天 津 )天塔 是天津市 的标志性 建筑之 一．某校数学兴趣小组要测量天塔的高度．如图，他们 在点 A 处测得天塔的最高点 C 的仰角为 45°，再往天塔 方向前进至点 B 处测得天塔 的最高点 C 的仰角为 54°， AB＝112 m．根据这个兴趣 小组测得的数据，计算天塔 的高度 CD.(tan 36°≈0.73， 结果保留整数)
考点二
解直角三角形的应用
1．仰角、俯角：如图①，在测量时，视线与水平
线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水
平线下方的角叫做俯角．
2．坡度(坡比)、坡角：如图②，坡面的高度 h 和 水平距离 l 的比叫做坡度(或坡比)，即 i＝tan α＝ hl ，坡面与水平面的夹角 α 叫做坡角．
3．方向角：指南或指北的方向线与目标方向线所 成的小于 90°的水平角，叫做方向角．如图③，表示北 偏东 60°方向的一个角． 注意：东北方向指北偏东 45°方向， 东南方向指南偏东 45°方向，西北 方向指北偏西 45°方向，西南方向指南偏西 45°方向．我们一般画图的方位为上北 下南，左西右东．
∠CBA＝30°，求隧道 AB 的长．(参考数据： sin 54°≈0.81，cos 54°≈0.59，tan 54°≈1.38，
3≈1.73 ，精确到个位)
解：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D， 在 Rt△BCD 中， ∵∠CBA＝30°，BC＝200 米． ∴CD＝12BC＝100(米)，BD＝100 3≈173(米)．在 Rt△ACD 中， ∵tan∠CAB＝CADD， ∴AD＝ta1n0504°≈72(米)． ∴AB＝AD＋BD＝245(米)． 答：隧道 AB 的长约为 245 米．