中考数学专题——全等三角形
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DE＝BE， (2)在△ DEA 和△ BEC 中∠DEA＝∠BEC
AE＝CE ∴△DEA≌△BEC(SAS) ∴∠A＝∠C
(3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；(A SA )
(3)(2018·柳州)如图，A E 和 B D 相交于点 C ，∠A ＝∠E ，A C ＝E C . 求证：△A B C ≌△E D C .
考点 2 全等三角形的判定
7.(例 2)(2018·恩施州)如图，点 B 、F 、C 、E 在一条直线上，
FB ＝C E ，A B ∥E D ，A C ∥F D ，A D 交 B E 于 O .求证：A D
与 B E 互相平分．
证明：∵FB＝CE ∴FB＋FC＝CE＋FC，即 BC＝EF ∵AB∥ED，∴∠B＝∠E ∵AC∥FD，∴∠ACB＝∠EFD
B组
14.(2017·新疆)如图，在四边形 A B C D 中，A B ＝A D ，C B＝ C D ，对角线 A C ，B D 相交于点 O ，下列结论中： ①∠A B C ＝∠A D C ； ②A C 与 B D 相互平分； ③A C ，B D 分别平分四边形 A B C D 的两
组对角；
④四边形 A B C D 的面积 S＝12A C ·B D .
二、核心例题 考点 1 全等三角形的性质
5.(例 1)如图，点 D 在 A B 上，点 E 在 A C 上，且 A D ＝A E ， A B ＝A C ，若∠B ＝20°，则∠C ＝__2_0_°____.
6.(成都中考)如图，△A B C ≌△A ′B ′C ′，其中，A B ＝2， B C ＝4.则 A ′B ′＋B ′C ′＝___6_____.
证明：(1)∵DA＝EB
∴DA＋AE＝EB＋AE，即 DE＝AB
EF＝BC 在△ FDE 和△ CAB 中FD＝CA
DE＝AB ∴△FDE≌△CAB(SSS)
(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；(SA S)
(2)(2018·广州)如图，A B 与 C D 相交于点 E ，A E ＝C E ，D E ＝B E .求证：∠A ＝∠C .
(1)证明：∵△ADE 与△ AFE 关于 AF 成轴对称 ∴AF＝AD，∠AFG＝∠D＝90°，∴AF＝AB 在 Rt△ ABG 和 Rt△ AFG 中AABG＝＝AAFG
∴Rt△ ABG≌Rt△ AFG，即△ ABG≌△AFG.
(2)解：设 BG＝x
∵△ABG≌△AFG，∴GF＝BG＝x
∵E 是 DC 中点，∴DE＝EC＝3
∠B＝∠E 在△ ABC 和△ FED 中BC＝ED
∠ACB＝∠EFD
∴△ABC≌△FED(ASA) ∴AC＝DF
∠ACF＝∠DFO 在△ ACO 和△ DFO 中∠AOC＝∠DOF
AC＝DF ∴△ACO≌△DFO(AAS) ∴AO＝OD，OF＝OC
又∵BE＝CE，∴BF＋OF＝CE＋OC
即 BO＝EO，∴AD 与 BE 互相平分
∴FE＝DE＝3，∴GE＝3＋x，GC＝6－x
在 Rt△ CGE 中 GE2＝GC2＋EC2
∴(3＋x)2＝(6－x)2＋9，∴x＝2
三、中考实战 A组
13.(2018·安顺)如图，点 D ，E 分别在线段 A B ，A C 上，C D 与 B E 相交于 O 点，已知 A B ＝A C ，现添加以下的哪个条 件仍不能判定△A B E ≌△A C D ( D ) A .∠B ＝∠C B ．A D ＝A E C ．B D ＝C E D ．B E ＝C D
8.(2018·昆明)如图，在△A B C 和△A D E 中，A B ＝A D ，∠B
＝∠D ，∠1＝∠2.求证：B C ＝D E .
证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3 即∠BAC＝∠DAE
∠BAC＝∠DAE 在△ ABC 和△ ADE 中AB＝AD
∠B＝∠D ∴△ABC≌△ADE(ASA) ∴BC＝DE
9.(例 3)(2017·南充)如图，D E ⊥A B ，C F⊥A B ，垂足分别是
点 E，F ，D E ＝C F，A E ＝B F .求证：A C ∥B D . 证明：∵AE＝BF，∴AF＝BE
DE＝CF 在△ DEB 和△ CFA 中∠DEB＝∠CFA＝90°
AF＝BE ∴△DEB≌△CFA(SAS)
AC＝BC 在△ ACE 和△ BCD 中∠ACE＝∠BCD
CE＝CD ∴△ACE≌△BCD(SAS)
∴∠CBD＝∠CAE ∵∠CAE＋∠BAO＝60°， ∴∠CBD＋∠BAO＝60° ∠AOB＝180°－∠BAO－∠ABP－∠CBD ＝180°－(∠BAO＋∠CBD＋∠ABP)＝180°－60°－60°＝60°
AB＝AB ∴△ABD≌△ABC ∴AC＝AD
(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等．(H L )
(5)已知：如图 E ，F 为线段 B C 上的两点，且 A E ⊥B C 于点 E ，D F ⊥B C 于点 F ，A B ＝D C ，B F ＝C E .求证：∠A ＝∠D .
(5)∵BF＝CE，∴BE＝CF
∴∠A＝∠B，∴AC∥BD
Baidu Nhomakorabea
10.(2017·孝感)如图，已知 A B ＝C D ，A E ⊥B D ，C F⊥B D ， 垂足分别为 E ，F ，B F ＝D E .求证：A B ∥C D .
证明：∵BF＝DE，∴BE＝DF
在 Rt△ ABE 和 Rt△ CDF 中BAEB＝＝DCDF ∴Rt△ ABE≌Rt△ CDF(HL)
(2)解：∵AC＝10 ∴DF＝5 ∴在等腰 Rt△ EDF 中，EF＝5 2.
12.(广东中考)如图，在边长为 6 的正方形 A B C D 中，E 是 边 C D 的中点，将△A D E 沿 A E 对折至△A F E ，延长 E F 交 B C 于点 G ，连接 A G . (1)求证：△A B G ≌△A F G ； (2)求 B G 的长．
∠A＝∠E (3)在△ ABC 和△ EDC 中AC＝EC
∠BCA＝∠DCE ∴△ABC≌△EDC(ASA)
(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等； (A A S)
(4)(2018·宜宾)如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D . 求证：A C ＝A D .
∠1＝∠2 (4)在△ ABD 和△ ABC 中∠C＝∠D
量关系，并证明.
解：(1)∵在等腰直角△ ABC 中， ∴∠CAB＝45° ∴∠MAH＝45°－α ∴∠AMQ＝90°－(45°－α)
∴∠AMQ＝45°＋α
(2)连接 AQ.∵AC 垂直平分 QP，∴AQ＝AP
∴∠QAC＝∠CAP＝α
又∵∠QAM＝45°＋α，∴∠QAM＝∠AMQ，∴QA＝QM
过点 M 作 MN⊥QB 于点 N ∵∠MQN＋∠APQ＝∠PAC＋∠APQ＝90°
在 Rt△ AEB 和 Rt△ DFC 中，BAEB＝＝CCFD ∴Rt△ AEB≌Rt△ DCF(HL) ∴∠A＝∠D
4. 证明三角形全等的思路
4. 如图，若 A D ⊥B C 于点 D ，要证△A B D ≌△A C D ，则需
补充的条件是： (1)方法一：___B_D_＝__C__D_______， 判断三角形全等的依据是__S_A__S___； (2)方法二：__A_B__＝__A_C________， 判断三角形全等的依据是___H_L____； (3)方法三：__∠__B_＝__∠__C_______， 判断三角形全等的依据是 A A S； (4)方法四：__∠__B_A_D_＝__∠__C__A_D__， 判断三角形全等的依据是 A SA .
(1)证明：在△ BDG 和△ ADC 中∠BDG＝∠ADC DG＝DC
∴△BDG≌△ADC(SAS) ∴BG＝AC，∠BGD＝∠CAD 又∵在 Rt△ ADC 和 Rt△ BDG 中，DE，DF 是斜边中线．
∴DE＝12BG，DF＝21AC，∴DE＝DF
∵E，F 是 BG，AC 中点
∴BE＝12BG，CF＝12AC ∴BE＝DE，DF＝CF ∴∠BED＝∠GBD，∠CDF＝∠C ∴∠BED＝∠CAD， 又∵∠CAD＋∠C＝90°，∴∠BED＋∠CDF＝90° ∴∠EDF＝180°－90°－90°，∴DE⊥DF
正确的是__①__④____(填写所有正确结论的序号)．
15.(2017·恩施州)如图，△A B C 、△C D E 均为等边三角形，
连接 B D ，A E 交于点 O ，B C 与 A E 交于点 P .求证：∠A O B
＝60°. 证明：∵△ABC，△ CDE 均为等边三角形 ∴∠BCA＝∠ECD＝60° ∴∠BCA＋∠BCE＝∠ECD＋∠BCE 即∠ACE＝∠BCD，
∴∠D＝∠B，∴AB∥CD
考点 3 全等三角形与其它知识的综合
11. (例 4)(2017·齐齐哈尔)如图，在△ ABC 中，AD⊥BC 于 D，
BD＝AD，DG＝DC，E，F 分别是 BG，AC 的中点．
(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF.
(2)连接 EF，若 AC＝10，求 EF 的长． BD＝AD
∠A＝∠B 在△ AEC 和△ BED 中∠C＝∠BDE
AE＝BE ∴△AEC≌△BED(AAS) (2)解：∵∠1＝42°，∴∠2＝42°
∵△AEC≌△BED，∴ED＝EC
又∵∠1＝42°，∴∠C＝∠EDC＝69° ∴∠BDE＝∠C＝69°
17.(2017·北京)在等腰直角△A B C 中，∠A C B ＝90°，P 是线 段 B C 上一动点(与点 B 、C 不重合)，连接 A P ，延长 B C 至点 Q ，使得 C Q ＝C P ，过点 Q 作 Q H ⊥A P 于点 H ，交 A B 于点 M . (1)若∠PAC ＝α，求∠A M Q 的大小(用含 α的式子表示)． (2)用等式表示线段 M B 与 P Q 之间的数
∴∠MQN＝∠PAC，∴∠MQN＝∠QAC
∠MNQ＝∠ACQ ∴在△ QAC 和△ QMN 中∠MQN＝∠QAC
MQ＝AQ
∴△QAC≌△QMN，∴QC＝MN 又∵PQ＝2QC，MB＝ 2MN，∴PQ＝ 2MB
谢谢！
C组
16.(2017·苏州)如图，∠A ＝∠B ，A E ＝B E ，点 D 在 A C 边 上，∠1＝∠2，A E 和 B D 相交于点 O . (1)求证：△A E C ≌△B E D ； (2)若∠1＝42°，求∠B D E 的度数．
(1)证明：在△ DEC 中，∠1＋∠C＝∠2＋∠BDE. 又∵∠1＝∠2，∴∠C＝∠BDE
2. 如图，△A B C ≌△D E F ，下列判断错误的是( C ) A .A B＝D E B . ∠B ＝∠E C .A C ＝E F D .S△ABC ＝S△D EF
3. 全等三角形的判定方法 (1)有三边对应相等的两个三角形全等；(SSS)
3.(1)(2018·泸州)如图，E F ＝B C ，D F ＝A C ，D A ＝E B .求证： ∠F ＝∠C .
PPT课程 第19课 全等三角形 主讲老师:
一、知识要点 1. 全等三角形的定义
能完全重合的两个三角形叫全等三角形. 对应练习
1. 如图△A B C ，沿直线 A C 对折与△A D C 重合，则 △A B C ≌_△__A__D_C__.
2. 全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边、对应角相等； (2)全等三角形的对应角平分线、对应边上的中线、对应 边上的高相等； (3)全等三角形的周长相等、面积相等.
AE＝CE ∴△DEA≌△BEC(SAS) ∴∠A＝∠C
(3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；(A SA )
(3)(2018·柳州)如图，A E 和 B D 相交于点 C ，∠A ＝∠E ，A C ＝E C . 求证：△A B C ≌△E D C .
考点 2 全等三角形的判定
7.(例 2)(2018·恩施州)如图，点 B 、F 、C 、E 在一条直线上，
FB ＝C E ，A B ∥E D ，A C ∥F D ，A D 交 B E 于 O .求证：A D
与 B E 互相平分．
证明：∵FB＝CE ∴FB＋FC＝CE＋FC，即 BC＝EF ∵AB∥ED，∴∠B＝∠E ∵AC∥FD，∴∠ACB＝∠EFD
B组
14.(2017·新疆)如图，在四边形 A B C D 中，A B ＝A D ，C B＝ C D ，对角线 A C ，B D 相交于点 O ，下列结论中： ①∠A B C ＝∠A D C ； ②A C 与 B D 相互平分； ③A C ，B D 分别平分四边形 A B C D 的两
组对角；
④四边形 A B C D 的面积 S＝12A C ·B D .
二、核心例题 考点 1 全等三角形的性质
5.(例 1)如图，点 D 在 A B 上，点 E 在 A C 上，且 A D ＝A E ， A B ＝A C ，若∠B ＝20°，则∠C ＝__2_0_°____.
6.(成都中考)如图，△A B C ≌△A ′B ′C ′，其中，A B ＝2， B C ＝4.则 A ′B ′＋B ′C ′＝___6_____.
证明：(1)∵DA＝EB
∴DA＋AE＝EB＋AE，即 DE＝AB
EF＝BC 在△ FDE 和△ CAB 中FD＝CA
DE＝AB ∴△FDE≌△CAB(SSS)
(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；(SA S)
(2)(2018·广州)如图，A B 与 C D 相交于点 E ，A E ＝C E ，D E ＝B E .求证：∠A ＝∠C .
(1)证明：∵△ADE 与△ AFE 关于 AF 成轴对称 ∴AF＝AD，∠AFG＝∠D＝90°，∴AF＝AB 在 Rt△ ABG 和 Rt△ AFG 中AABG＝＝AAFG
∴Rt△ ABG≌Rt△ AFG，即△ ABG≌△AFG.
(2)解：设 BG＝x
∵△ABG≌△AFG，∴GF＝BG＝x
∵E 是 DC 中点，∴DE＝EC＝3
∠B＝∠E 在△ ABC 和△ FED 中BC＝ED
∠ACB＝∠EFD
∴△ABC≌△FED(ASA) ∴AC＝DF
∠ACF＝∠DFO 在△ ACO 和△ DFO 中∠AOC＝∠DOF
AC＝DF ∴△ACO≌△DFO(AAS) ∴AO＝OD，OF＝OC
又∵BE＝CE，∴BF＋OF＝CE＋OC
即 BO＝EO，∴AD 与 BE 互相平分
∴FE＝DE＝3，∴GE＝3＋x，GC＝6－x
在 Rt△ CGE 中 GE2＝GC2＋EC2
∴(3＋x)2＝(6－x)2＋9，∴x＝2
三、中考实战 A组
13.(2018·安顺)如图，点 D ，E 分别在线段 A B ，A C 上，C D 与 B E 相交于 O 点，已知 A B ＝A C ，现添加以下的哪个条 件仍不能判定△A B E ≌△A C D ( D ) A .∠B ＝∠C B ．A D ＝A E C ．B D ＝C E D ．B E ＝C D
8.(2018·昆明)如图，在△A B C 和△A D E 中，A B ＝A D ，∠B
＝∠D ，∠1＝∠2.求证：B C ＝D E .
证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3 即∠BAC＝∠DAE
∠BAC＝∠DAE 在△ ABC 和△ ADE 中AB＝AD
∠B＝∠D ∴△ABC≌△ADE(ASA) ∴BC＝DE
9.(例 3)(2017·南充)如图，D E ⊥A B ，C F⊥A B ，垂足分别是
点 E，F ，D E ＝C F，A E ＝B F .求证：A C ∥B D . 证明：∵AE＝BF，∴AF＝BE
DE＝CF 在△ DEB 和△ CFA 中∠DEB＝∠CFA＝90°
AF＝BE ∴△DEB≌△CFA(SAS)
AC＝BC 在△ ACE 和△ BCD 中∠ACE＝∠BCD
CE＝CD ∴△ACE≌△BCD(SAS)
∴∠CBD＝∠CAE ∵∠CAE＋∠BAO＝60°， ∴∠CBD＋∠BAO＝60° ∠AOB＝180°－∠BAO－∠ABP－∠CBD ＝180°－(∠BAO＋∠CBD＋∠ABP)＝180°－60°－60°＝60°
AB＝AB ∴△ABD≌△ABC ∴AC＝AD
(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等．(H L )
(5)已知：如图 E ，F 为线段 B C 上的两点，且 A E ⊥B C 于点 E ，D F ⊥B C 于点 F ，A B ＝D C ，B F ＝C E .求证：∠A ＝∠D .
(5)∵BF＝CE，∴BE＝CF
∴∠A＝∠B，∴AC∥BD
Baidu Nhomakorabea
10.(2017·孝感)如图，已知 A B ＝C D ，A E ⊥B D ，C F⊥B D ， 垂足分别为 E ，F ，B F ＝D E .求证：A B ∥C D .
证明：∵BF＝DE，∴BE＝DF
在 Rt△ ABE 和 Rt△ CDF 中BAEB＝＝DCDF ∴Rt△ ABE≌Rt△ CDF(HL)
(2)解：∵AC＝10 ∴DF＝5 ∴在等腰 Rt△ EDF 中，EF＝5 2.
12.(广东中考)如图，在边长为 6 的正方形 A B C D 中，E 是 边 C D 的中点，将△A D E 沿 A E 对折至△A F E ，延长 E F 交 B C 于点 G ，连接 A G . (1)求证：△A B G ≌△A F G ； (2)求 B G 的长．
∠A＝∠E (3)在△ ABC 和△ EDC 中AC＝EC
∠BCA＝∠DCE ∴△ABC≌△EDC(ASA)
(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等； (A A S)
(4)(2018·宜宾)如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D . 求证：A C ＝A D .
∠1＝∠2 (4)在△ ABD 和△ ABC 中∠C＝∠D
量关系，并证明.
解：(1)∵在等腰直角△ ABC 中， ∴∠CAB＝45° ∴∠MAH＝45°－α ∴∠AMQ＝90°－(45°－α)
∴∠AMQ＝45°＋α
(2)连接 AQ.∵AC 垂直平分 QP，∴AQ＝AP
∴∠QAC＝∠CAP＝α
又∵∠QAM＝45°＋α，∴∠QAM＝∠AMQ，∴QA＝QM
过点 M 作 MN⊥QB 于点 N ∵∠MQN＋∠APQ＝∠PAC＋∠APQ＝90°
在 Rt△ AEB 和 Rt△ DFC 中，BAEB＝＝CCFD ∴Rt△ AEB≌Rt△ DCF(HL) ∴∠A＝∠D
4. 证明三角形全等的思路
4. 如图，若 A D ⊥B C 于点 D ，要证△A B D ≌△A C D ，则需
补充的条件是： (1)方法一：___B_D_＝__C__D_______， 判断三角形全等的依据是__S_A__S___； (2)方法二：__A_B__＝__A_C________， 判断三角形全等的依据是___H_L____； (3)方法三：__∠__B_＝__∠__C_______， 判断三角形全等的依据是 A A S； (4)方法四：__∠__B_A_D_＝__∠__C__A_D__， 判断三角形全等的依据是 A SA .
(1)证明：在△ BDG 和△ ADC 中∠BDG＝∠ADC DG＝DC
∴△BDG≌△ADC(SAS) ∴BG＝AC，∠BGD＝∠CAD 又∵在 Rt△ ADC 和 Rt△ BDG 中，DE，DF 是斜边中线．
∴DE＝12BG，DF＝21AC，∴DE＝DF
∵E，F 是 BG，AC 中点
∴BE＝12BG，CF＝12AC ∴BE＝DE，DF＝CF ∴∠BED＝∠GBD，∠CDF＝∠C ∴∠BED＝∠CAD， 又∵∠CAD＋∠C＝90°，∴∠BED＋∠CDF＝90° ∴∠EDF＝180°－90°－90°，∴DE⊥DF
正确的是__①__④____(填写所有正确结论的序号)．
15.(2017·恩施州)如图，△A B C 、△C D E 均为等边三角形，
连接 B D ，A E 交于点 O ，B C 与 A E 交于点 P .求证：∠A O B
＝60°. 证明：∵△ABC，△ CDE 均为等边三角形 ∴∠BCA＝∠ECD＝60° ∴∠BCA＋∠BCE＝∠ECD＋∠BCE 即∠ACE＝∠BCD，
∴∠D＝∠B，∴AB∥CD
考点 3 全等三角形与其它知识的综合
11. (例 4)(2017·齐齐哈尔)如图，在△ ABC 中，AD⊥BC 于 D，
BD＝AD，DG＝DC，E，F 分别是 BG，AC 的中点．
(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF.
(2)连接 EF，若 AC＝10，求 EF 的长． BD＝AD
∠A＝∠B 在△ AEC 和△ BED 中∠C＝∠BDE
AE＝BE ∴△AEC≌△BED(AAS) (2)解：∵∠1＝42°，∴∠2＝42°
∵△AEC≌△BED，∴ED＝EC
又∵∠1＝42°，∴∠C＝∠EDC＝69° ∴∠BDE＝∠C＝69°
17.(2017·北京)在等腰直角△A B C 中，∠A C B ＝90°，P 是线 段 B C 上一动点(与点 B 、C 不重合)，连接 A P ，延长 B C 至点 Q ，使得 C Q ＝C P ，过点 Q 作 Q H ⊥A P 于点 H ，交 A B 于点 M . (1)若∠PAC ＝α，求∠A M Q 的大小(用含 α的式子表示)． (2)用等式表示线段 M B 与 P Q 之间的数
∴∠MQN＝∠PAC，∴∠MQN＝∠QAC
∠MNQ＝∠ACQ ∴在△ QAC 和△ QMN 中∠MQN＝∠QAC
MQ＝AQ
∴△QAC≌△QMN，∴QC＝MN 又∵PQ＝2QC，MB＝ 2MN，∴PQ＝ 2MB
谢谢！
C组
16.(2017·苏州)如图，∠A ＝∠B ，A E ＝B E ，点 D 在 A C 边 上，∠1＝∠2，A E 和 B D 相交于点 O . (1)求证：△A E C ≌△B E D ； (2)若∠1＝42°，求∠B D E 的度数．
(1)证明：在△ DEC 中，∠1＋∠C＝∠2＋∠BDE. 又∵∠1＝∠2，∴∠C＝∠BDE
2. 如图，△A B C ≌△D E F ，下列判断错误的是( C ) A .A B＝D E B . ∠B ＝∠E C .A C ＝E F D .S△ABC ＝S△D EF
3. 全等三角形的判定方法 (1)有三边对应相等的两个三角形全等；(SSS)
3.(1)(2018·泸州)如图，E F ＝B C ，D F ＝A C ，D A ＝E B .求证： ∠F ＝∠C .
PPT课程 第19课 全等三角形 主讲老师:
一、知识要点 1. 全等三角形的定义
能完全重合的两个三角形叫全等三角形. 对应练习
1. 如图△A B C ，沿直线 A C 对折与△A D C 重合，则 △A B C ≌_△__A__D_C__.
2. 全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边、对应角相等； (2)全等三角形的对应角平分线、对应边上的中线、对应 边上的高相等； (3)全等三角形的周长相等、面积相等.