复变函数总结

第一章 复数的运算与复平面上的拓扑

1.复数的定义

一对有序实数（x,y ）构成复数z x iy =+,其中()()Re ,Im x z y z ==.21i =-， X 称为复数的实部，y 称为复数的虚部。 复数的表示方法 1）

模：

z =

2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值

()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

3）()arg z 与

arctan

y

x 之间的关系如下：

当0,x >

arg arctan

y

z x =；

当0,arg arctan 0,0,arg arctan y

y z x x y y z x ππ⎧

≥=+⎪⎪<⎨

⎪<=-⎪⎩

4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+” 5）指数表示：i z z e θ

=，其中arg z θ=

2.复数的四则运算

1）.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+± 2）.乘除法：

3）若111222,z x iy z x iy =+=+，则

()()

1212122112z z x x y y i x y x y =-++；

()()()()112211112121221

222222222222222

x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。

4）若

12

1122,i i z z e z z e θθ==, 则

()

121212i z z z z e θθ+=；

()121122

i z z e z z θθ-=

5.无穷远点得扩充与扩充复平面

复平面对内任一点z , 用直线将z 与N 相连, 与球面相交于P 点, 则球面上除N 点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,

而N 点本身可代表无穷远点, 记作∞.这样的球面称作复球面 这样的球面称作复球面.

扩充复平面---引进一个“理想点”: 无穷远点 ∞ 复平面的开集与闭集

复平面中领域，内点，外点，边界点，聚点，闭集等概念 复数序列的极限和复数域的完备性 复数的极限，，柯西收敛定理，魏尔斯特拉斯定理，聚点定理等从实数域里的推广，可以结合实数域中的形式来理解。

第二章 复变量函数

1.复变量函数的定义

1）复变函数的反演变换（了解） 2）复变函数性质

反函数 有界性 周期性， 3）极限与连续性 极限：

连续性

2.复变量函数的形式偏导

1）复初等函数

).

( ),( , , , , . z f w z w iv u w z G iy x z G =+=+=记作复变函数简称的函数是复变数那末称复变数之对应与就有一个或几个复数每一个复数中的对于集合按这个法则个确定的法则存在如果有一的集合是一个复数设.

)( )(,)0(0 )( ,0 , , 0

)( 0000时的极限趋向于当为那末称有时使得当相应地必有一正数对于任意给定的存在如果有一确定的数内的去心邻域定义在设函数z z z f A A z f z z A z z z z f w ερδδεδερ<-≤<<-<><-<=

. )( , )( .

)( ),()(lim 000

内连续在我们说内处处连续在区域如果处连续在那末我们就说如果D z f D z f z z f z f z f z z =→

2)指数函数：()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z

z

e

e

'=。

注：z

e 是以2i π为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3)对数函数： ln (arg 2)Lnz z i z k π=++(0,1,2)

k =±± （多值函数）；

主值：

ln ln arg z z i z

=+。（单值函数）

Lnz 的每一个主值分支ln z 在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且

()1

lnz z '=

；

注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）

4)乘幂与幂函数：

(0)b bLna

a e a =≠；(0)

b bLnz

z e z =≠

注：在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且

()1

b

b z bz -'=。

5)三角函数：

sin cos sin ,cos ,t ,22cos sin iz iz iz iz e e e e z z z z gz ctgz i z z ---+====

sin ,cos z z 在z 平面内解析，且()()sin cos ,cos sin z z z z ''

==-

注：有界性

sin 1,cos 1

z z ≤≤不再成立；（与实函数不同）

6）双曲函数

,22z z z z

e e e e shz chz ---+==

； shz 奇函数，chz 是偶函数。,shz chz 在z 平面内解析()(),shz chz chz shz ''

==

第三章 解析函数的定义

1.复变量函数的导数

复变量函数的解析性

, , , )( 00的范围不出点点中的一为定义于区域设函数D z z D z D z f w ∆+= , )()(lim 000存在如果极限z z f z z f z ∆-∆+→∆,

)( . )( 00的导数在这个极限值称为可导在那末就称z z f z z f .

)( ,

)(000解析在那末称导的邻域内处处可及在如果函数z z f z z z f