##第十六讲 弯曲变形(积分法)

y
x2 x1 a
P/2 D B
Mechanic of Materials of
P
a
3P/2
A
x
a
C
当x1 = x2 = 2a时：θ1 = θ 2 AB P ′′ M ( x1 ) = − x1＝EI w1 2
Mechanic of Materials of
重点：积分法计算梁的弯曲变形。 重点：积分法计算梁的弯曲变形。 难点：确定积分常数的位移边界、 难点：确定积分常数的位移边界、连续条件 学时安排： 学时安排：2
第十六讲目录
第六章
平面弯曲
Mechanic of Materials of
目录
§6.1 工程中的弯曲变形问题 §6.2 挠曲线的微分方程 §6.3 用积分法求弯曲变形
A
~
Mechanic of Materials of
光滑连续条件
2、固定端 1、梁段
1、固定铰
~
2、中间铰
~
~
A
A
wA− = wA+
A
A
wA = 0
3、自由端 A
B
wA = 0 θA = 0
θ A = θA
−
wA− = wA+
+
θA ≠ θA
−
~
+
3、中间支承链杆
~
wB ≠ 0 θB ≠ 0
wA = wB = 0
Mechanic of Materials of
§6.3 用积分法求弯曲变形
求梁的转角方程和挠度方程， 例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大 y 挠度，梁的EI已知 已知。 挠度，梁的 已知。 1 建立坐标如图， 解：）建立坐标如图，写弯矩方程
A F
Mechanic of Materials of
3）列挠曲线近似微分方程 ）
Fb l x1 x1 ∈ [0, a] ′′ = M ( x) = Fb EI v x2 − F ( x2 − a ) l x2 ∈ [ a, l ]
Fb 2 F x − ( x − a)2 + C x ∈ [ a, l ] 2 2 2 2l 2 2
3）积分求转角、挠度方程 积分求转角、 积分一次： 积分一次：
1 dw = − Flx + Fx 2 + C EI = EIθ 2 dx
再积分一次： 再积分一次：
1 1 EI w = − Flx2 + Fx3 + Cx + D 2 6
6）确定最大转角和最大挠度
x = l,
θmax
Fl 2 Fl3 = θB = ， wmax = wB = 2EI 3EI
B
x
l
wB
x
θB
M (x) = −F(l − x)
2）列挠曲线近似微分方程
d 2w EI 2 = M (x) = − Fl + Fx dx
4）由位移边界条件确定积分常数 ' 当x=0, θ A = wA = 0 , wA = 0
C = 0，D = 0
5）转角方程和挠度方程
EIθ = −Flx + 1 2 1 1 Fx EI w = − Flx2 + Fx3 2 2 6
1
ρ
ρ----x位置上中性层曲线的 位置上中性层曲线的
曲率半径， 曲率半径，即该位置上 挠曲 线的曲率半径
w'' M = 1）若挠曲线 w = w (x) 则 k = = ± ） 2 3/2 ρ [1 + w' ] EI z 1
§6.2 Mechanic of Materials of
挠曲线的微分方程
x2
a
b
Fb(b2 − l 2 ) C1 = C2 = 6l
6）转角方程和挠度方程 7）确定最大转角和最大挠度 令
dθ =0 dx
Fb 2 Fb(b2 − l 2 ) x1 + C1 x1 ∈[0, a] EIθ(x) = 2l 2l 6l 6l Fb 2 F Fb(b2 − l 2 ) 2
x2 = l,
F
A
θA
w1 (0) = 0
w2 (l ) = 0
D
C
B
FB
θB x
Mechanic of Materials of
光滑连续条件 x1 = x2 = a, θ1(a) = θ2 (a) 则：D1 = D2 = 0
x1 = x2 = a, w1 (a) = w2 (a)
FA x1
wmax
D
C
B
FB
θB x
2）弯矩方程
Fb Fa , FB = l l
FA
x1
wmax
x2
a b Fb x x1 ∈[0, a] M ( x) = l 1 4） 4）积分求转角方程和挠度方程 Fb Fb 2 x2 − F(x2 − a) x2 ∈[a, l] x + C1 x1 ∈[0, a] l EIθ(x) = 2l 1
P
§6.2 Mechanic of Materials of
挠曲线的微分方程
一、弯曲变形的度量
1、梁的变形： 、梁的变形： 梁承载前后形状的变化称为变形，一般用各段梁曲率 梁承载前后形状的变化称为变形，一般用各段梁曲率 的变化表示。 的变化表示。 2、梁的位移： 、梁的位移： 梁变形前后位置的变化称为位移，位移包括线位移和角位移。 梁变形前后位置的变化称为位移，位移包括线位移和角位移。 位移和角位移 y P x
2
目录
§6.1 工程中的弯曲变形问题
位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性的。 位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性的。尽 管变形和位移都是弹性的，但在工程设计中， 管变形和位移都是弹性的，但在工程设计中，对于结构或构 件的弹性位移都有一定的限制 弹性位移过大， 弹性位移都有一定的限制。 件的弹性位移都有一定的限制。弹性位移过大，也会使结构 或构件丧失正常功能，即发生刚度失效 刚度失效。 或构件丧失正常功能，即发生刚度失效。
1、依据：积分法中常数由梁的约束条件(位移边界条件)与 依据：积分法中常数由梁的约束条件(位移边界条件) 变形连续条件确定。 变形连续条件确定。 2、约束条件：是指约束对于挠度和转角的限制： 约束条件：是指约束对于挠度和转角的限制： 在固定铰支座和辊轴 支 座 处 ， 约 束 条 件为 挠 度等于零： 度等于零：w=0; 在固定端处， 在固定端处， 约束条件为 挠 度和 转角 都等 于零 ： w=0，θ＝0。
Mechanic of Materials of
4、挠度w： 、挠度 ：
在小变形和忽略剪力影响的条件下， 在小变形和忽略剪力影响的条件下，线位移是截面形 心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为挠度 挠度w 心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为挠度 。 5、截面转角θ： 、截面转角 ： 横截面变形前后的夹角
w：向上为正
3、挠曲线: w = f (x) 、挠曲线
w=f(x)
纵向对称面上，作用横向力，变形后，轴线由原来的直线变成 纵向对称面上，作用横向力，变形后，轴线由原来的直线变成 曲线， 纵向对称面内的一条光滑的曲线， 曲线，为纵向对称面内的一条光滑的曲线，称为挠曲线 。
§6.2
y θ
挠曲线的微分方程
θ P x w w=f(x)
θA = θA ≠ 0
− +
§6.3 用积分法求弯曲变形
四、积分法求解步骤： 积分法求解步骤： 1、写出弯矩方程。当弯矩不能用一个函数式表 、写出弯矩方程。 达时，需写出分段弯矩方程。 达时，需写出分段弯矩方程。 2、将弯矩方程积分或分段积分，并写出式子。 2、将弯矩方程积分或分段积分，并写出式子。 3、写出梁变形的边界条件、连续性，求积分常 、写出梁变形的边界条件、连续性， 量。 4、写出挠曲线方程和转角方程。 、写出挠曲线方程和转角方程。
0
dw 令 dx = 0则： x =
Fb (l 2 − b2 )3 l 2 − b2 时，wmax = − (向下） 3 9 3EIl
例3
§6.3 用积分法求弯曲变形
例3：试求图示外伸梁A处转 角，D、C挠度。
x1 = Fra Baidu bibliotek，w1 = 0 → D1 = 0 当x1 = x2 = 2a时：w1 = w2 = 0
3、连续条件：梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一 连续条件：梁在弹性范围内加载， 条连续光滑曲线。 条连续光滑曲线。 梁段任意截面两侧的挠度、转角对应相等 梁段任意截面两侧的挠度、 wx-= wx+，θx-＝θx+
§6.3 用积分法求弯曲变形
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连 续条件确定。 续条件确定。 位移边界条件
§6.3 用积分法求弯曲变形
一、挠曲线的近似微分方程 EI z w '' = M ( x) -------挠曲线的近似微分方程 挠曲线的近似微分方程 二、积分法求梁的变形原理 积分一次得转角方程为： 积分一次得转角方程为：
M (x) θ= =∫ dx + C dx EI
Mechanic of Materials of
第十六讲的内容、要求、 第十六讲的内容、要求、重难点 内容
教学内容： 教学内容： 梁的挠曲近似微分方程， 梁的挠曲近似微分方程，积分法确定弯曲变形 教学要求： 教学要求：
1、了解梁变形的两个基本量（挠度和转角）及梁的挠曲近似 、了解梁变形的两个基本量（挠度和转角） 微分方程；梁的刚度条件;简单超静定梁的解法 简单超静定梁的解法. 微分方程；梁的刚度条件 简单超静定梁的解法 2、理解积分法计算梁的弯曲变形；提高梁的抗弯能力的途径 、理解积分法计算梁的弯曲变形；
逆时针向为正 θ： 时针向为正
tgθ = w' ( x) 6、转角与挠曲线的关系： 、转角与挠曲线的关系：
θ = w'(x)
§6.2 Mechanic of Materials of
挠曲线的微分方程
dθ
二、挠曲线的近似微分方程
M = 1、纯弯曲时： 、纯弯曲时： ρ EI z
M（x）---x位置上的弯矩 （ ） 位置上的弯矩 EIz---x位置上的抗弯刚度 位置上的抗弯刚度 M(x) dx M(x)
即:
dw 2）w ' = ----曲线 y=y(x)在x位置的斜率 ） 曲线 在 位置的斜率 dx
3）挠曲线的微分方程 ± ） M(x)>0 y
d w > 0 (w'' > 0) dx2
2
w ' = tgθ
w'' M (x) = [1+ w'2 ]3/2 EI z
M(x)<0 y x
d 2w < 0 (w'' < 0) 2 dx
x
M (x) w'' = [1+ w'2 ]3/2 EI z
------挠曲线的微分方程 挠曲线的微分方程
在小变形的前提下， 为小量。 4）挠曲线的近似微分方程 在小变形的前提下， θ 为小量。 ） M (x) w → EI z w '' = M ( x) 略去高阶无穷小： 略去高阶无穷小： '' = EI z
Fb 3 x + C1x1 + D1 x1 ∈[0, a] EI w(x) = 6l 1 Fb 3 F x2 − (x2 − a)3 + C2 x2 + D2 6l 6 x2 ∈[a, l]
例2
§ 7-2 用积分法计算弯曲变形
5）由边界条件确定积分常数 位移边界条件
x1 = 0,
dw
再积分一次得挠度方程为： 再积分一次得挠度方程为：
M (x) w = ∫∫ dxdx + Cx + D EI
由梁的边界条件、 注：C 、D由梁的边界条件、连续性条件决定 由梁的边界条件
§6.3 用积分法求弯曲变形
三、小挠度微分方程的积分常数的确定
Mechanic of Materials of
2l x2 − 2
( x2 − a) + C2 x2 ∈ [ a, l ]
6l
则：x = l时
Fab ( l + a) (逆时针） 6EIl
θmax = θB =
Fb 3 Fb(b2 − l 2 ) xa x + C1x1 + D1 x1 ∈[0, 1 ] EI v(x) = 6l 1 6l Fb 3 F Fb(b2 − l 2 ) 3 x2 − (x2 − a) + C2 x2 + D2 x2 0 6l 6l 6 x2 ∈[a, l]
§ 7-2 用积分法计算弯曲变形
求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， F 梁的EI已知 已知， 梁的 已知，l=a+b，a>b。 ， 。 由梁整体平衡分析得： 解 1）由梁整体平衡分析得：
FA =
A
θA
Mechanic of Materials of
Mechanic of Materials of
一、弯曲变形的意义： 弯曲变形的意义：
1、解决弯曲刚度问题 2、解决超静定问题 3、振动计算
二、实际例子
1、吊车梁的变形不能过大 吊车梁的变形不能过大
§6.1 工程中的弯曲变形问题 Mechanic of Materials of
P
2、车床车削工件 、